（地球探测与信息技术专业论文）地震信号的小波去噪方法研究.pdf

摘要 提高地震资料的信噪比是地震信号数字处理的重要任务，因此地震资料去噪 方法的研究一直是地震勘探领域的研究热点。随着数字信号处理技术的发展，很 多优秀的去噪方法涌现出来，如何结合地震资料的特点，运用合适的去噪方法来 提高地震资料的信噪比，具有重要的的现实意义。 近年来兴起的小波分析方法以其良好的时频分析能力迅速成为非平稳信号 处理的有力工具，基于小波分析的去噪方法更是大量涌现，且被证明其具有传统 傅立叶变换去噪方法所不能比拟的优越性。本文研究了四种小波去噪方法，分析 了四种方法各自的特点。处理结果表明，小波变换模极大值去噪方法，在低信噪 比的信号去噪中具有优势，适合信号中混有白噪声且含有较多奇异点的情况；小 波变换尺度间相关性去噪方法比较适合噪声水平不是很高的信号去噪，且具有较 好的边缘重构能力；小波变换阈值萎缩去噪方法广泛的适应性，且有很好的去噪 效果；平移不变量小波阈值去噪方法，能很好的抑制阈值去噪方法的伪吉布斯效 应，且能得到更好的视觉效果。 本文把以上四种小波去噪方法应用于地震资料处理，通过人工合成地震记录 和实际地震资料的处理证明了方法的有效性，达到了提高地震资料信噪比的目 的。 关键词：地震资料，随机噪声，去噪，小波变换 s t u d yo nm e t h o d so f n o i s er e m o v i n gb yw a v e l e ta n dt h e i ra p p l i c a t i o n st o s e i s m i cd a t ap r o c e s s i n g a b s t r a c t i m p r o v i n gt h es i g n a l t o - n o i s er a d i oi sa ni m p o r t a n tt a s ki nt h es e i s m i cd a t a p r o c e s s i n g ，t h e r e f o r et h es t u d yo fd e n o i s i n gm e t h o d si sa l w a y sh o ti n s e i s m i c e x p l o r i n g w i t ht h ed e v e l o p m e n to fd i g i t a ls i g n a l sp r o c e s s i n gt e c h n o l o g y , m a n y e x c e l l e n td e - n o i s i n gm e t h o d sc o m ef o r t h i nt h es e i s m i cd a t ad e n o i s i n g t h e r ei sa l l 油_ p o r t a n tr e s e a r c ha s p e c tt h a tc h o o s i n gt h es u i t a b l ed e n o i s i n gm e t h o db a s e do nt h e f e a t u r eo f s e i s m i cd a t a w a v e l e ta n a l y s i sb e c o m e sap o w e r f u lt o o li nt h ef i e l do fn o n s t a t i o n a r ys i g n a l s p r o c e s s i n gi nt h el a s tf e wy e a r s ，b e c a u s eo f i t sg o o da b i l i t yo f t i m e - f r e q u e n c ya n a l y s i s i nt h es a n l et i m e ，m a n yd e n o i s i n gm e t h o d sb a s e do nw a v e l e tt r a n s f o r ma r ec o m i n g o u t f u r t h e r m o r et h e ya l ep r o v e dt ob es u p e r i o rt ot r a d i t i o n a lf o u r i e rt r a n s f o r m d e n o i s i n gm e t h o d s f o u rw a v e l e tt r a n s f o r md e - n o i s i n gm e t h o d sa r es t u d i e di n t h i s p a p e r t h ep r o c e s s i n g r e s u l t si n d i c a t et h a tt h em o l dm a x i m u mv a l u ew a v e l e t t r a n s f o r md e n o i s i n gh a sa d v a n t a g ei nt h el o ws i g n a l t o n o i s er a t i od a t e ，a n dt h e m e t h o df i t si nt h ec o n d i t i o nt h a tc o n t a i n sw h i t en o i s ea n dm a n ys i n g u l a r i t i e s s p a t i a l l y s e l e c t i v en o i s ef i l t r a t i o ni sm o r ef i ti nt h eo fh i g h e rs i g n a l t o n o i s er a t i o ，a n di t s c a p a b i l i t yo fe d g er e c o n s t r u c t i o ni sb e t t e r ；b e s i d e st h ew a v e s h r i n km e t h o dh a s w i d e s p r e a da p p l i c a b i l i t ya n di t se f f e c to f d e - n o i s i n gi sa l s ov e r yg o o d ；t h et r a n s l a t i o n i n v a r i a n tw a v e l e tt h r e s h o l dv a l u ed e - - n o i s i n gm e t h o dc a nr e s t r a i np s e u d o - g i b b sf o r m w a v e s h r i n kt h r e s h o l dd e - n o i s i n gm e t h o d , a n dg e tb e t t e rv i s u a le f f e c t t h ep a p e ra p p l i e st h ef o u rm e t h o d su p w a r d st ot h es e i s m i cd a t ap r o e e s s i n g ， p r o v e st h ev a l i d i t yo ft h e s em e t h o d st h r o u g hs y n t h e t i cs e i s m i cr e c o r d i n ga n dt h e p r a c t i c a ls e i s m i cd a t a , t h e na c h i e v e st h eg o a lo fi m p r o v i n gt h es i g n a l - t o n o i s er a d i oi n s e i s m i cd a t ap r o c e s s i n g k e yw o r d s ：s e i s m i cd a t a , r a n d o mn o i s e ，d e - n o i s e ，w a v e l e tt r a n s f o r m n 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的成果。尽我所知，除论文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得 中南大学或其他单位的学位或证明而使用过的材料。与我共同工作的 同志对本研究所作的贡献已在论文的致谢语中作了明确的说明。 作者签名： 日期：年月日 关于学位论文使用授权说明 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留学位论文，允许学位论文被查阅；学校可以公布学位论文的全 部或部分内容，可以采用复印、缩印或其他手段保存学位论文；学校 可根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文。 作者签名：导师签名：日期：年月 中南大学硕十学位论文 第一章绪论 第一章绪论 1 1 课题研究的背景，目的及意义 地震勘探是地球物理中重要的方法之一，一般由三个工作环节组成：数据采 集、数据处理与分析、地质解释。野外采集的地震资料中包含着有关地下构造和 岩性的有用信息。但这些信息是叠加在干扰背景上且被一些外界因素所扭曲的， 信息之间往往是相互交织的。因此不宜直接利用野外资料作地质解释。地震资料 数字处理的任务就是改造野外地震资料并从中提取有用的地质信息，为地震勘探 的地质解释提供可靠资料。人们对地震资料数字处理提出了三高要求，即高信噪 比、高分辨率、高保真性。其中信噪比是基础，所以提高信噪比是地震资料处理 的首要任务。地震资料数字处理包括若干个步骤：数据预处理、静校正、动校正、 水平叠加、信号去噪、偏移处理等。其中，信号去噪被用于从地震资料中提取有 用信息，去除干扰，提高地震资料信噪比。为了提高信噪比，人们根据信号和噪 声的各种特征差异，设计了许多去噪方法，并在应用中并取得了很好的成果。 地震信号去噪的很多方法都是利用短时傅立叶变换来滤波去噪，但是短时傅 立叶变换不能同时兼顾时间分辨率和频率分辨率。小波变换的出现较好地解决了 这个矛盾，它在时域和频域都具有很好的局部化特性，是对信号进行分析和处理 强有力的工具。把小波变换去噪方法引入地震资料去噪处理中，必将成为提高地 震勘探资料信噪比的有力工具。 本文的工作即是针对地震信号中的特点，发挥小波变换良好的时频局部化能 力，研究利用小波变换为基础的地震信号去噪方法，以期达到提高地震信号的信 噪比和分辨率的目的。 1 2 地震资料去噪方法的研究历史和现状“1 叮 在地震勘探中，地震记录信噪比的高低，将直接影响地震资料的可靠性、参 数提取的精度及提高分辨率的效果等。去噪研究在地震资料处理中占有非常重要 的地位。在提高分辨率地震勘探中，地震记录的频带很宽，在有效波的频带范围 内可能包含有多种类型的噪声，这使得有效地进行信噪分离更显得十分重要。 中南大学硕士学位论文 第一章绪论 目前地震信号处理中应用的去噪方法有很多种，各种方法都有其使用条件， 并要根据噪声的类型合理选用去噪方法方能取得好的效果。地震信号的噪声可分 为两种：相干噪声和随机噪声。相干噪声包括面波、多次波、折射鸣震等，随机 噪声包括环境噪声、测量误差、地面微震等。相干噪声在时间上的出现具有规律 性，有明显的运动学特征，它和有效波存在着频谱差异、视速度差异或到达时间 的差异等，因此可用滤波、方向特性、相干性等来去除相干噪声，针对不同性质 的噪声有不同的处理方法，相干噪声的去除通常有切除、带通滤波、f k 域消除 等 7 1 方法 去除相干噪声主要利用有效波和相干噪声的差异对相干噪声进行滤波。过去 采用模拟电滤波器进行滤波，但模拟电滤波器存在着严重的缺点，如结构复杂、 改变特性较困难、存在不需要的相位移等，后来广泛采用了数字滤波的方法。数 字滤波主要利用有效波和噪声之间频率和视速度方面的差异来压制噪声，分别称 为频率滤波和视速度滤波。又因频率滤波只需对单道数据进行运算，故称为一维 频率滤波。实现视速度滤波需同时处理多道数据，故称为二维视速度滤波。一维 频率滤波需要使用一维傅立叶变换将地震信号变换到频率域，使其频谱与滤波器 的传输函数相乘，达到滤波的目的。二维视速度滤波是建立在二维傅立叶变换基 础上的，沿地面直测线观测到的地震波是一个随时间和空间变化的波，通过二维 正、反傅立叶变换可以得到其频率波数谱和频率波数谱的时空函数。如果有效波 和噪声的平面简谐波成分有差异，则有效波的平面谐波成分以与噪声的平面谐波 成分不同的视速度传播，则可用二维视速度滤波将它们分开，达到压制噪声，提 高信噪比的目的。 随机噪声没有统一的规律，它在整张记录上随机出现，频带很宽，视速度不 确定，无一定的传播方向，因此不能采用去除相干噪声的方法去除随机噪声。去 除随机噪声方法的理论依据是：假设地质结构的变化相对于测线来说较为缓慢 ( 这个假设在大多情况下是合理的) ，这样，地震剖面上相邻地震道共深度点的有 效信号具有较强的相关性，而随机噪声是没有相关性的，从而利用该相关性增强 有效信号能量，抑制噪声能量。常用的随机噪声去除方法有f 奴域预测滤波方法、 相干加强去噪方法、k l 变换方法等【8 1 ，这些方法在实际应用中都取得了较好的 效果。因此，只有地震记录满足某种去噪方法所需要的条件，方能取得很好的效 果。否则，去噪效果就差，使有效波产生明显畸变。实际地震记录中波场有时是 复杂的。设计既能保持有效波的动力学特征，又能最大限度地压制噪声的去噪方 法，一直是地球物理工作者所追求的目标。 地震信号去噪的很多方法都要用到傅立叶变换，对于确定信号和平稳随机过 程，傅立叶变换是信号分析和处理的理论基础，有着非凡的意义，起着重大的作 2 中南大学硕十学位论文第一章绪论 用。但是，傅立叶变换有它明显的缺陷，信号任何时刻的微小变化会牵动整个频 谱。反过来，任何有限频段上的信息都不足以确定在任意时一问小范围的信号。 实际信号往往是时一变信号、非平稳过程，了解它们的局部特性常常是很重要的。 人们通过预先加窗的方法使频谱反映时间局部特性，即采用短时傅立叶变换。短 时傅立叶变换是用时间窗的一段信号来表示它在某个时刻的特性，显然，窗越宽， 时间分辨率越差，但为提高时间分辨率而缩短窗宽时，又会减低频率分辨率。因 此短时傅立叶变换不能同时兼顾时问分辨率和频率分辨率。 小波变换是八十年代后期发展起来的应用数学分支 9 1 ，具有多分辨分析的特 点，而且在时频域都具有表征信号局部特性的能力。它在低频部分具有较高的频 率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率 分辨率，所以被誉为分析信号的显微镜。小波变换在很多方面取代了傅里叶变换 与短时傅罩叶变换，在地震资料处理中的各个方面都有所应用与发展，己被证明 是地震资料处理中的一个有利的工具。 我国将小波分析引入地震资料处理工作从2 0 世纪9 0 年代开始，己经进行了 大量的理论与时间工作研究，如利用小波变换进行地震资料的分解与重构及提取 信号的瞬时特征；利用正交小波变换进行多道波阻抗反演；利用小波变换分时分频 相关处理和阈值噪音压制的方法压制地震资料中的噪声等。概括起来，在地震资 料处理中，小波变换己用于以下方面：地震资料解释 1 0 1 ；噪音压制【1 l - 1 3 1 ，地震数 据压缩 1 4 - 1 6 】；地震记录道内插1 1 7 】；提高地震资料分辨率1 8 - 2 0 1 ；数值计算【2 l 】( 如波 场延拓，波动方程反问题等) ；地震数据特征分析1 2 2 1 ；地震资料重采样等。 近年来小波去噪的发展成果丰富，具有影响力的主要有以下几种田。j ：1 9 9 2 年，m a l l a t 等人提出了基于信号奇异性( s i n g u l a r i t y ) 的信号和图像多尺度边缘表示 法，利用l i p s c h i t z 指数在多尺度上对信号和图像及噪声的数学特性进行描述， 并提出模极大值重构滤波方法。1 9 9 4 年，x uy a n s u n 提出了一种基于信号尺度间 相关性的空域相关滤波算法( s p a t i a l l ys e l e c t i v en o i s ef i l t r a t i o n , s s n f ) 。d o n o h o 和j o h n s t o n 等人，于1 9 9 7 年提出了信号去噪的软阈值方法和硬阙值方法，推导 出计算通用阈值的公式，并从理论上证明了该阈值是最优的。同年，c o i f i n a n 和 d o n o h 提出了平移不变小波去噪。j o h n s t o n e 等人1 9 9 7 年给出一种相关噪声去除 的小波阈值估计器。c h a n g e 等人在2 0 0 0 年将自适应阈值和平移不变去噪思想结 合起来，提出了一种针对图像的空域自适应小波阈值去噪方法，所选阈值可随图 像本身的统计特性而作自适应的改变。总而言之，基于小波去噪方法的研究仍然 是极其的活跃，特别是对阈值去噪方法的研究。由于这种方法简单有效，而成为 目前研究最广泛的方法，近几年来不断有许多改进的阈值方法被提出，极大的丰 富了小波去噪的内容。 3 中南大学硕士学位论文第一章绪论 小波变换在地震资料去除噪声方面的研究，已经发展出大量针对不同的噪声 的小波处理方法，实践证明，小波变换在地震资料去除噪声中有多方面的作用， 对于高频噪声、随机噪音和面波干扰都能够有效地压制。小波变换的逐渐发展和 趋向成熟，在地震勘探中的应用日益广泛、深入，对它的理论和特征的学习，并 将其应用到地震资料处理中迸一步发展具有重要的现实意义。虽然小波变换方法 在去除地震资料噪声工作仍处于发展阶段，但由于其无可比拟的多尺度分析特 征，必将在去除噪声工作的各个方面发挥重要的作用。 1 3m a t i a b 及其小波工具箱简介删 本文所编的程序是基于m a t l a b 软件实现的。m a na b 诞生在2 0 世纪7 0 年代，翻译为矩阵( m a t r i x ) 和实验室( l a b o r a t o r y ) 的组合。是由美国的 m a l h w o r k s 公司推出，到2 0 0 6 年已经发展到2 0 0 6 版本。现已成为国际上公认的 最优秀的数值计算和仿真分析软件。经过多年的工程实践，人们已经发现m 作 为计算工具和科技资源，可以扩大科学研究的范围、提高工程生产的效率、缩短 开发周期、加快探索步伐、激发创造活力。 m a t l a b 具有强大的功能的核心是一个基于矩阵运算的快速解释程序。它 以交互式接受用户输入的各项指令，输出计算结果。它提供了一个开放式的集成 环境，用户可以运行系统提供的大量命令，包括数值计算、图形绘制。具体来说， m a t l a b 具有如下功能： ( 1 ) 数据分析和可视化功能；( 2 ) 建模、仿真、原型开发；( 3 ) 数值和符号计算； ( 4 ) 数字信号处理；( 5 ) 自动控制模拟；( 6 ) 控制系统设计；( 7 ) 动态分析；( 8 ) 数字图 像信号处理；( 9 ) 工程与科学绘图；( 1 0 ) 应用开发；( 1 1 ) 图形用户界面设计；( 1 2 ) 其它多种工具箱。 m a t l a b 的工具箱，为使用m a t l a b 的不同领域内的研究人员提供了捷径。 迄今为止，在m a t l a b 2 0 0 6 a 版本中己有6 7 种工具箱面世，内容涉及信号处理、 自动控制、图像处理等众多专业和领域。这些工具箱大致可分为两类：功能型工 具箱和专业型工具箱。功能型工具箱主要用来扩充m a t l a b 的符号计算功能、 图形建模仿真功能、文字处理功能以及与硬件实时交互功能，能应用于多种学科。 而专业型工具箱是专业性很强的，如控制工具箱、信号处理工具箱等。 综上所述，m a t l a b 强大的功能和功能丰富的各种工具箱，使它具有如下 特点：( 1 ) 开放式的体系结构；( 2 ) 先进的界面技术；( 3 ) 丰富的技术支持；( 4 ) 集成 了许多领域专家的智慧。 在m a t l a b 的小波分析工具箱( w a v e l e tt o o l b o x ) 中包含以下几类函数：小波 4 中南大学硕士学位论文 第一章绪论 分析件的通用函数、小波函数、一维小波变换函数、二维小波交换函数，小波包 算法函数、信号号和图像的消噪与压缩函数、树操作应用函数、小波分析中的i o 函数。小波变换工多箱的功能强大，主要有以下几个方面 ( 1 ) 研究小波和小波包的性质和特点； ( 2 1 连续小波变换的小波设计； ( 3 ) 离散小波变换的小波设计； ( 4 ) 小波包变换的小波设计； f 5 ) 信号和图像的延拓； ( 6 ) 图像融合和图像增强； ( 7 ) 信号、图像去噪和压缩。 ( 8 ) 方便的图形( g u i ) 界面 本文将主要借助小波工具箱对信号和图像进行处理，这大大简化了本次课题 研究的程序编制工作，并使我对小波的理解有很大的帮助。 1 ，4 本文的研究和工作 本文主要进行了以下的研究工作： 1 针对信号与噪声的小波变换模极大值在不同尺度的传播特性，对小波模 极大去噪方法原理进行了讨论，给出了该方法的处理流程，对关键处理步骤进行 了讨论，给出了其重构算法，最后编制程序，对理论模型和实际地震记录进行了 的处理，并讨论了处理结果。 2 针对信号与噪声的小波变换模极大值在不n r 度的传播特性，对小波变 换尺度间相关性方法进行了讨论，详细分析了算法的原理，给出了算法步骤，并 编制程序，对理论模型和实际地震资料的去噪处理，讨论了处理结果。 3 针对信号与噪声的小波变换特性研究，对小波阈值萎缩去噪方法进行了 讨论，研究了阂值选取的方法，用多个实例研究了阈值选取对去噪效果的影响， 并对理论模型及实际地震记录进行了处理，比较了多种小波类型和阈值选取对处 理效果的影响。 4 研究了阈值去噪方法产生伪吉布斯现象的原因，给出了平移不变量小波 阈值去噪方法的算法原理和流程，并用理论模型和实际地震记录验证了该方法的 效果。 5 对以上四种方法的优缺点及其适用范围进行了讨论。 中南大学硕士学位论文第一章绪论 1 5 本文的组织结构 本文的内容共分为以下五章来论述： 第一章是本文的绪论部分，着重论述了地震信号去噪的意义，地震噪声的 特点和成因，地震资料去噪的历史和现状，并简介了本文的研究内容。 第二章介绍了小波变换的发展史及其理论基础。 第三章介绍了四种小波变换去噪方法l - ，j 、波变换模极大值去噪；2 ，j 、波变 换尺度间相关性去噪；3 ，j 、波变换阈值萎缩去噪；4 平移不变量小波阈值去噪。 并对它们在地震资料去噪中的效果进行了讨论 第四章总结了本文的研究成果，并对以后的工作方向作了展望。 6 中南大学硕十学位论文第二章小波分析的基本理论 第二章小波分析的基本理论 2 1 小波分析概述 小波分析是近年来发展起来的新的数学分支，目前已成为国际上极为活跃 的研究领域，它已被广泛应用于图像处理、语音人工合成、地震勘探、大气湍流 等领域。 长期以来，在地震数据处理中，f o u r i e r 分析是最基本的数学工具。在数学 上，人们常用函数来刻划信号，通常总是把时间或空问作为自变量，而把反映某 一信号的物理量作为函数。信号的一个重要特征是它的频率选择性( 或频谱) ， 在数学上也就是信号所表示的函数的f o u r i e r 变换。通常人们进行的频谱分析、 滤波等数据处理方法，从数学的角度看来就是对一个函数作f o u r i e r 变换进行分 析、加工处理的种种技巧，这方面人们已有极丰富的内容和各种行之有效的方法。 但是f o u r i e r 变换反映的是信号或函数的整体特征，在不少实际问题中，人们关 心的是穿过含油气层的地震波特征；在图形识别的边缘检测中，人们关心的是信 号突变部分的位置等等。为了弥补f o u r i e r 变换在这方面的不足，g a b o r 3 0 l ( 1 9 4 6 ) 引入了加窗f o u r i e r 变换( 亦称短时f o u r i e r 变换) 的概念。他用一个在有限区 间( 称为窗口) 外恒等于零的光滑函数去乘所要研究的函数，然后对它作f o u r i e r 变换，这种变换确实能反映函数在窗口内部的频率特征，因而在研究信号的局部 性质的问题中起了一定作用。但是，g a b o r 引进的这种f o u r i e r 变换的窗口位置 虽然可随参数而任意移动，但是其窗口的大小和形状却与频率无关，而是固定不 变的。这与“高频信号的分辨率应比低频信号的高，因而品率愈高，窗口应愈小” 这一要求不符，加上g a b o r 变化的其他一些缺点，使它的应用范围受到一定的 限制。 随着研究的深入，突变信号和非平稳信号的分析和处理已成为人们研究的 主要课题。因此，寻找一种既能保持傅氏变换的优点，又能弥补傅氏变换不足的 正交展开系已成为人们研究的热点。小波变换便是在这种背景下迅速发展起来的 一种新的理论。 小波变换的基本思想来源于函数的伸缩与平移，它是通过基小波函数 ( m o t h e rw a v e l e t ) 的伸缩与平移来构成一系列分辨率不同的正交投影空间及其 7 中南大学硕士学位论文 第二章小波分析的基本理论 对应的基，这是小波变换不同于傅氏变换之所在，正因如此，小波变换就不再要 求信号是平稳性的。小波变换具有可变的时间和频率分辨率，这些性质在理论或 应用中都非常重要。 小波分析方法的提出，可以追溯到1 9 1 0 年h a a r 3 1 提出的构造小波规范 正交基的思想及1 9 3 8 年l i t t l e w o o d - p a l e y 3 2 l 对傅氏级数建立的l - p 理论。其 后，c a l d e r o n t 3 3 l 与1 9 7 5 年用其早年发现的再生公式给出抛物型空间上的原 子分解，该公式的离散形式已接近小波展开，但真正的小波研究高潮却开始于8 0 年代，1 9 8 1 年s t r o n m b e r g 引入了s o b o l e v 空间h 的正交基对h a r r 系进行了 改造，证明了小波函数的存在性。1 9 8 2 年，b a t t l e 【3 4 1 在构造量子场论中使用了类 似c a l d e r o n 再生公式的展开。1 9 8 4 年，法国科学家m o f l e t 和g r o s s m a n p ”j 根据地震数据的分析和要求，提出了连续小波变换的几何体系，其仿射群下的不 变性为小波兴起奠定了基础。1 9 8 4 至1 9 8 8 年间，m e y e r 、b a t t l e 和l e m a r i e p 分别给出了具有快速衰减特性的校波基函数，使小波变换得以进一步发展。1 9 8 7 年m a l l a t l 3 9 】将计算机视觉领域内的多尺度分析思想引入到小波变换中，提出了 多分辨分析的概念，统一了在此以前的m e y e r 、b a t t l e 和l e m a r i e 等提出的具 体小波函数的构造，研究了小波变换的离散形式，给出了用于信号分析和重构的 快速小波变换算法一m a l l a t 算法，m m l a t 算法的提出将小波理论和传统的滤波 方法联系起来，并且使人们在进行小波变换时不必给出小波的具体表达式，从而 大大简化了小波应用难度，便于工程技术人员去理解和掌握小波理论1 4 0 j 。与f f t 算法的出现类似，m a l l a t 算法极大地推动了小波变换在实际信号分析中的应用。 1 9 8 8 年，d a u b e c h i e s l 4 1 - 4 2 1 将m a l l a t 多分辨分析的思想与b u r t 和a d e l s o n 的塔 形分解方案相结合，证明并给出具有有限支集的正交小波基。1 9 q 0 年，美国a & m 大学的c u i ( 崔锦泰) 和c o h e n l 4 3 - 4 4 1 进而研究了非正交小波基的构造方法，提出 了线性相位小波基的构造理论。与此同时，c o i i m a n n 和w i c h e r h a u s e r t 4 5 j 提出了 小波理论，引入了最优选择的概念，使小波变换的理论又向前迈进了一大步。 经过十几年的发展，小波分析不仅在理论和方法上不断取得突破性的进展， 而且已深入到非线性逼近、分形和混沌学、计算机图形学、数字通信、地震勘探、 雷达成像、图像处理、计算机视觉、编码压缩、生物医学、时变估计和检测以及 语音信号处理等诸多领域，其涉及面之广、影响之大、发展之迅猛是空前的。目 前，小波分析已成为一门多学科综合、交叉发展的技术领域。 2 2 小波变换及其性质 小波变换是一种窗口面积固定，但时间窗和频率窗都可改变的时频局部化分 中南大学硕十学位论文第二章小波分析的基本理论 析方法。即在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，而在高频部 分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率。这种特性使得小波变换对信号具 有自适应的能力，被誉为“数学显微镜”。 2 1 1 小波的定义及小波基函数 小波( w a v e l e t ) ，即小区域的波，是一个有始有终的小的“波浪”，如图2 - 1 。 图2 - 1 小波m e y e r 一个函数妒o ) 要成为小波，必须满足其约束条件 o = e 妒2 d w 0 0 ( 2 - 1 ) 其中5 f ，( f ) e ( r ) ，痧( 们为y ( f ) 的f o u r i e r 变换。 式( 2 一1 ) 称为小波的容许条件，满足容许条件的函数妒( f ) 称为一个允许小波 或小波母函数。 容许条件意味着矿( o ) = o ，即跏( f 净= o 这表明小波具有零平均且有波动 性。将小波母函数妒o ) 进行平移和伸缩，可得到函数妒。( f ) ： 圳2 丽1y 睁) 其札6 鲫直删 c z 吲 称 f ，。j o ) 为小波基函数，简称小波。d 是尺度因子，反映函数的尺度( 或宽 度) ，6 是平移因子，它检测小波在瑚上的平移位置。赤是一爪归吡因子， 它使不同口值的小波。( f ) 保持相同的能量。 假设小波 f ，( f ) 的窗口宽度为厶f ，窗口中心为t o ，则可求出小波虬。( r ) 的窗口 中南大学硕士学位论文第二章小波分析的基本理论 中心为：t o = a t o + b ，窗口宽度为t a ，b = a t 。同样，假设驴( w ) 为( f ) 的f o u r i e r 变换，其频域窗口中心为。，窗口宽度为街，设| 】f ，。j e ) 的f o u r i e r 变换：j o 妒。0 ) ， 那么，有。0 ) = a l 2 e - j a v ( a w ) ，其频域窗口中心为。= 三，其窗口宽度 为吃。= 二m 。若称t a 国为窗口函数的窗口面积，则有： 1 4 如，b a 国。j = 口4 ，2 厶甜= a t 4 口 a 所以小波y 础o ) 的窗口面积不随参数a b 的变化而变化。将不同a ，b 值下的y 础( f ) 的时频窗口绘在同一张图上，可得到小波基的相平面，如图2 - 2 所示。 由此，我们可得到小波时频 分析特点： ( 1 ) 尺度的倒数1 a 在一 定意义上对应于频率，即尺度越 小，对应的频率越高，尺度越大， 对应的频率越低。 ( 2 ) 在任何b 值上，小波 的时、频窗口的大小t 和a 国 都随频率缈( 或尺度的a ) 的变 化而变化。 图2 - 2 小波基的相平面 ( 3 ) 在任何尺度、时间点上，窗口面积保持不变，也即时间、尺度分辨率 是相互制约的，不可能同时得到提高。 2 1 2 连续小波变换( e _ f r ) 将任意l 2 ( r ) 空间中的函数f i t ) 在小波基下展开，称这种展开为函数露) 的连续小波变换( c o n t i n i u sw a v e l e tt r a n s f o r m ，简称为c w n ，其表达式为： l t q ( a 功挑一南e 朋攻等 c 2 吲 其中，a ( a o ) 、b 、t 均为连续变量， 为平方可积函数空间的内积，两 为妒( ) 的复共轭。 可看出小波变换也是一种积分变换，w t _ ，( a ，b ) 为小波变换系数。但它不同 于f o u r i e r 变换的地方是，小波基具有尺度和平移两个参数，所以函数一经变换， 就意味着将一个时间函数投影到二维的时间尺度相平面上，这有利于提取信 i o 中南大学硕十学位论文 第二章小波分析的基本理论 号函数的某些本质特征。 若吵满足容许条件( 2 - - 1 ) ，则连续小波存在逆变换，逆变换公式如下： 厂( f ) = 毒e 吗g ，6 ( t 吖1 i d a d b ( 2 _ 4 ) 、一v 其中q = 2 万e 眵( w 】2 州d w 2 1 3 离散小波变换( d w r ) 在实际应用中，为r 方便计算机进行分析、处理，信号f i t ) 都要离散化为离 散序列，得到离散小波变换，记为d w t ( d i s c r e t ew a v e l e tt r a n s f o r m ) 。所谓d w t 是指对尺度a 和平移b 进行离散化。 在连续小波变换中，令参数a = 2 ，je z ，而参数b 仍取连续值，则有二进 小波： 9 2 s , b ( f ) = 2 了y ( 2 7 ( t - b ) ) ( 2 5 ) 这时，g t le l 2 ( r ) 的二进小波变换定义为： 哆，咖) ，n ，( f ) 2 d ( f 沙( 等弘 ( 2 吲 小波在满足如下条件，能由二进小波变换可以重构信号苁t ) 。 定义2 1 一个函数( f ) f ( r ) n r ) ，如果存在两个正常数a 与b ，且 0 a s b o o ，使得： 2 v 口胄一 o ，一p ( 2 w 】曰 ( 2 7 ) j e z 则 爿1 1 0 q l = = 萎爿岬，6 ) 酶圳： 且存在彩满足 v c o r 一 o ) 歹歹劢( 2 ，c o ) = 1 t e a 使得原信号傅) 可由二进小波变换得到重构。 若对式2 5 中的平移参数b 进行二进离散，即b = 2 k ，j ，k e z ( 2 8 ) ( 2 9 ) 中南大学硕士学位论文 第二章小波分析的基本理论 从而得到如下二迸离散小波( d y a d i cd i s c r e t ew a v e l e t ) 二，、 雎( ，) = 22 【2 t k j ( 2 - - 1 0 ) 二进小波介于连续小波和离散小波之间，它只是对尺度参数进行离散化，而 在时域上仍保持平移量连续变化。因此二进小波变换仍具有连续小波变换的平移 不变性，离散小波是不具有平移不变性的。 离散小波变换具有以下的特性： ( 1 ) 吵，j ( f ) 是小波函数妒o ) 在尺度上的伸缩和时域上的平移得到的。随， 的变化， c ，( f ) 在频域上处于不同的频段，随k 的变化，妒m ( ，) 在时域上处于不 同的阶段，所以离散小波变换是一种信号的时间一频率分析。 ( 2 ) 尺度j 增大时，m o ) 在时域上伸展，在频域上收缩，中心频率降低， 交换的时域分辨率降低，频域分辨率提高；尺度减小时，y ( f ) 在时域上收缩， 在频域上伸展，中心频率升高，变换的时域分辨率提高，频域分辨率降低。所以， 离散小波变换是一种多分辨率的时一频域分析。 2 2 多分辨率分析 多分辨率分析( m u l t i r e s o l u t i o n a n a l y s i s ，m r a ) 是构造离散小波基的基本 框架，也是信号在小波基下进行分解和重构的基本理论保证。1 9 8 5 年，m a l l a t 分析了由c r o i s i e r 、e s t e b a n 、和g a l a n d 提出的用于数字电话的正交镜像滤波器 ( q u a d r a t u r e m i r r o r f i l t e r ，q m f ) 、由b u r t 和a d e l s o n 提出的用于数字影像处理 的金字塔算法和由s t r o m b e r g 等提出的标准正交小波基之间的密切联系，将计算 机视觉中的多尺度分析思想引入到小波分析中，提出了m r a 概念，统一了在此 前的所有具体的正交小波基的构造，形成了构造正交小波基的一个框架。 2 2 1 尺度函数和尺度空间 定义函数烈t ) f ( r ) 为尺度函数( s c a l ef u n c t i o n ) ，若其整数平移系列 纸( f ) = 妒( f 一七) 满足 ( 仇o ) ，吼妫= ( 2 1 1 ) 定义由吼( f ) 在工2 ( r ) 空间构成的闭子区间为，称为零尺度空间： 中南大学硕十学位论文第二章小波分析的基本理论 = 而碱，k z ( 2 一1 2 ) 同( 2 - - 1 0 ) 表示的小波函数相似，假设尺度函数在平移的同时又进行了尺 度的伸缩，得到了一个尺度和位移均可变化的函数集合： 仍，。( ，) = 2 一；p ( 2 一，f 一七) = 体( 2 一- ，) ( 2 1 3 ) 则称每一固定尺度j 上的平移系列仇( 2 一，r ) 所构成的空间v j 为尺度为j 的尺 度空间： 巧= 面而万可，七z ( 2 - - 1 4 ) 对于任意，( f ) e ，有 厂( f ) = q 仇( 2 1 ) = 2 一j q 葩一，f k ) ( 2 1 5 ) it 由此，尺度函数妒o ) 在其不同尺度下的平移系列构成了一系列的尺度空间 e j 。，由式( 2 1 3 ) ，随着j 尺度的增大，函数纺 ( f ) 的定义域变大，且实际 的平移问隔( 2 i f ) 也变大，则它的线性组合式( 2 1 5 ) 不能表示函数( 小于该 尺度) 的细微变化，因此其构成的尺度空间只能包括大尺度的缓慢信号。相反， 随着尺度的减小，函数伊，j ( ，) 的定义域变小，且实际的平移间隔( 2 f ) 也变小， 则它的线性组合式( 2 1 5 ) 便能表示函数的更细微( 小尺度范围) 变化，因此 其构成的尺度空间所包含的函数增多( 包括小尺度信号和大尺度缓变信号) ，尺 度空间变大，即随着尺度的减小，其尺度空间增大。 2 2 2 多分辨率分析的概念 如图2 3 ，若把尺度 理解为照相机的镜头的 话，当尺度由大到小变化 时，就相当于将照相机镜 头由远及近地接近目标。 在大尺度空问里，对应远 镜头下观察到的目标，只 能看到目标大致的概貌。 在小尺度空间里，对应近 镜头下观察目标，可观测 口专j 一。i 口 j 口一一惭 图2 3 小波变换的比喻解释 中南大学硕士学位论文第二章小波分析的基本理论 到目标的细微部分。因此，随着尺度由大到小的变化，在各尺度上可以由粗至精 地观察目标，这就是多尺度( 即多分辨率) 的思想。 定义2 2 1 若l 2 ( r ) 空问的一串闭子区间序列( v j ) j 。：满足下列条件，称 为多分辨率分析： 1 ) 单调性：( o ) c v 一1c - - v o cv l ，v j e ； ( 2 1 6 ) 2 ) 逼近性：n 一= o 可丐= r ( r ) ， 一x ；黾集f f x 的闭包；( 2 一1 7 ) 3 ) 伸缩性：，( r ) 一营f ( 2 t ) 一+ i ，v j z ；( 2 - - 1 8 ) 4 ) 平移不变性：f ( t ) e v f ( t k ) v j ，v k e z ； ( 2 1 9 ) 5 ) r i e s z 基存在性：存在函数妒( t ) ev o ，使得 而一k ) ) k 。：构成v o 空间的r i e s z 基。即是线性无关的，且存在常数彳与口，满足o a b o o ，使得对任意的 s ( t ) ev o ，总存在序列 t k 。：e 1 2 使得 ，( t ) = c 。p ( f k ) t ； 且 。 2 彳：蔓l c 。i b i i s l l ： 则称妒( t ) 为尺度函数，并称伊( t ) 生成l 2 ( r ) 的一个多分辨分析( 巧) 。：。 2 2 3 小波函数和小波空间 由上定义可知，多分辨率分析的一系列尺度空间是由同一尺度函数在不同尺 度下构成的，也即一个多分辨率分析( v i ) j 。：对应一个尺度函数。虽然有 u = l 2 ( r ) ，但由式( 2 - - 1 6 ) 知，( v j ) j ；：空间相互包容，不具有正交性。因 j e = ， 此它们的基仍，。( f ) = 2 一j 妒( 2 一r 一七) 在不同尺度间不具有正交性，也即试j ( t ) k ；k 不能作为空间的正交基。 为了寻找一组三2 ( 矗) 空间的正交基，定义尺度空间( v i ) i 。：的补空间如下： 设为在+ l 中的补空间，即 k i - v m + l o ，玎，m 上 ( 2 2 0 ) 显然，任意子空间瞩与是相互正交的，并且上，当m n 和m ， n z ，由式( 2 1 6 ) 和( 2 1 7 ) 知： 中南大学硕士学位论文第二章小波分析的基本理论 r ( r ) = 璺 ( 2 2 1 ) 1 e ； 因此，( w j ) j ；：构成了l 2 ( r ) 的一系列正交子空间，并且，由式( 2 2 1 ) 得 。n 一且= 巧巧一i ( 2 - - 2 2 ) 若设砂。j ；七z 为空间得一组正交基，由