（应用数学专业论文）一类非线性微分方程边值问题的解及应用.pdf

瞳阜师范大学硕士学位论文 一类非线性微分方程边值问题的解及应用 摘要 随着科学技术的不断发展，各种各样的菲线性问题已日益引起人们的广泛关 注，非线性分析已成为现代数学中的重要研究方向之一而非线性泛函分析是非 线陛分析中的一个重要分支，因其能很好的解释自然界中的各种各样的自然现象 受到了国内外数学界和自然科学界的重视非线性微分方程边值问题源于应用数 学，物理学，控制论等各种应用学科中，是目前非线性泛函分析中研究最为活跃 的领域之一，带有p l a p l a c i a n 算子非线性微分方程边值问题又是近年来讨论的 热点【1 3 ，1 4 ，1 7 ，2 3 ，2 4 ，29 】 带p l a p l a c i a n 算子的微分方程边值问题出现在不同的物理和自然现象中， 非牛顿流体理论，多孔介质中气体的湍流理论 1 1 ，1 2 ，非线性弹力，非线性燃烧 理论，人口生态模型，大批学者致力于p l a p l a c i a n 算子微分方程解的存在性研 究 3 0 ，3 1 】，并得到较好的结果 本文利用锥理论，a v e r y - p e t e r s o n s 不动点定理，不动点指数理论，研究了几 类带p - l a p l a c i a n 算子非线性微分方程边值问题，将主要结果应用到非局部微分 方程边值问题上 本文共分为三章： 在第一章中，我们利用a v e r y p e t e r s o n s 不动点定理，讨论实b a n a c h 空间中 一类带p - l a p l a c i a n 微分方程边值问题的正解， ( 1 】1 ) 其中如( s ) = i s l p 一2 5 ，p 1 ，( 咖) 一1 = ，；1 + ；= 1 我们得到边值问题( 1 1 1 ) 至 少三个正解的存在性 + 似 啪厂厶地 | i = ，l、j r l ，叭删州 “” u u 曲阜师范大学硕士学位论文 在第二章中，我们利用不动点定理，研究了边值问题 l ( 如( u 化) ) ) 7 + a ( t ) f ( t ，乱( ) ，u 俅) ) = 0 ，t ( 0 ，1 ) ， 以0 ) = z 2 m ( s 沁，( s ) d s ， ( 2 1 1 ) 卜一：1 m ( 枇灿， 其中如( s ) = i s l p 一2 s ，p 1 ，( 咖) 一1 = 妒g ，；1 + ；= 1 我们得到边值问题( 2 1 1 ) 至 少三个对称正解的存在性 在第三章中，我们利用不动点指数 3 】，讨论了如下非线性项变号的边值问题 多个正解的存在性： 惟 u ) ) ) 7 + n ( t ) ，( t ，缸( t ) ) = 0 ，t ( 0 ，1 ) ， = f o x m ( s ) ( s ) d s ， ( 3 1 1 ) = 办s m s ) d s ， 其中c v ( s ) = i s l p 一2 s ，p 1 ，( 咖) 一1 = 九，；1 + i 1 = 1 我们得到边值问题( 3 1 1 ) 至 少存在两个正解 本文前一部分，我们利用a v e r y - p e t e r s o n s 不动点定理，在非线性项包含一阶 导数的情况下，讨论了带p l a p l a c i a n 微分方程边值问题的多个( 对称) 正解存在 性，把主要结果应用到积分边值问题上后一部分，在非线性项变号的情况下， 讨论了积分边值问题多解存在性 关键词：锥；半序；正解；a v e r y - p e t e r s o n ，s 不动点定理；不动点指数； 边值问题；多解；全连续算子 曲阜师范大学硕士学位论文 a b s t r a c t a l o n gw i t hs c i e n c e sa n dt e c h n o l o g y sd e v e l o p m e n t ，v a r i o u sn o n l i n e a rp r o b l e m sh a v ea r o u s e dp e o p l e sw i d e s p r e a di n t e r e s td a yb yd a y , t h en o n l i n e a ra n a l y s i s h a sb e c o m eo n ei m p o r t a n tr e s e a r c hd i r e c t i o n si nm o d e r nm a t h e m a t i c s t h en o n - l i n e a rf u n c t i o n a la n a l y s i si sa ni m p o r t a n tb r a n c hi nn o n l i n e a ra n a l y s i s ，b e c a u s e i tc a ne x p l a i nv a r i o u sn a t u r a lp h e n o m e n o n t h eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo fn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ss t e m sf r o mt h ea p p l i e dm a t h e m a t i c s ，t h ep h y s i c s j t h ec y b e r n e t i c sa n de a c hk i n do fa p p l i c a t i o nd i s c i p l i n e i ti so n eo fm o s ta c t i v e d o m a i n so ff u n c t i o n a la n a l y s i ss t u d i e sa tp r e s e n t t h eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m o fn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o nw i t hp - l a p l a c i a ni st h eh o ts p o ta tp r e s e n t 【1 3 ，1 4 ，1 7 ，2 3 ，2 4 ，2 9 t h ee q u a t i o nw i t hp - l a p l a c i a na r i s e s i nt h em o d e l i n go fd i f f e r e n tp h y s i c a l a n dn a t u r a lp h e n o m e n a ，n o n - n e w t o n i a nm e c h a n i c s ，n o n l i n e m f l o wl a w s 1 l ，1 2 ， n o n l i n e a re l a s t i c t y , c o m b u s t i o nt h e o r y ，p o p u l a t i o nb i o l o g y , m a n ya u t h o r sh a v e s t u d i e dt h ee x i s t e n c eo ft h es o l u t i o nf o rp - l a p l a c i a na n do b t a i n e dm a n yg o o d r e s u l t s 3 0 ，3 1 i nt h i sp a p e r ，w eu s et h ec o n et h e o r y , a v e r y - p e t e r s o n sf i x e dp o i n tt h e o r y ， a sw e l la 8t h ef i x e dp o i n ti n d e xt h e o r yt os t u d ys e v e r a lk i n d so fb o u n d a r yv a l u e p r o b l e m sf o rn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o nw i t hp - l a p l a c i a na n dw ea p p l yt h e m a i nr e s u l t st oi n t e g r a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rt h ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n t h et h e s i si sd i v i d e di n t ot h r e ec h a p t e r sa c c o r d i n gt oc o n t e n t s i nc h a p t e r1 ，w eu s ea v e r y - p e t e r s o n sf i x e dp o i n tt h e o r e mt oi n v e s t i g a t et h e p o s i t i v es o l u t i o n so fac l a s so fb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sw i t hp - l a p l a c i a ni nb a n a c hs p a c e s ， 豁嬲，f 一叫0 ，。u ， w h e r ec p ( s ) = | s | p q s ，p 1 ，( 九) q = 九，；1 + ；= 1 w eo b t a i nt h ee x i s t e n c e o fa tl e a s tt h r e ep o s i t i v e , s o l u t i o n sf o rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ( 1 1 1 ) i nc h a p t e r2 ，w eu s et h ef i x e dp o i n tt h e o r yt oi n v e s t i g a t es y m m e t r i cp o s i t i v e 堂皇堕薹盔堂堡主堂垡迨塞 一 s o l u t i o n so fb o u n d a r yp r o b l e m s ， 鬟a ( t ) f 茏( t 0 t0 f ( 如( 也俅) ) ) 7 + ，u ( t ) ，u 他) ) = ， ( ，1 ) ， ( 2 1 1 ) w h e r e ( s ) = 一2 s ，p 1 ，( ) 一1 = 如，；1 + ；1 = 1 w eo b t a i nt h ee x i s t e n c e o fa tl e a s tt h r e es y m m e t r i cp o s i t i v es o l u t i o n sf o rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ( 2 1 1 ) i nc h a p t e r3 ，w eu s et h ef i x e dp o i n ti n d e xt h e o r y 【3 】t oi n v e s t i g a t ep o s i t i v e s o l u t i o n so fb o u n d a r yp r o b l e m sw i t hs i g nc h a n g i n gn o n h n e a r i t y ， 隧攀刈“0 j 1 ) ， ( 3 1 1 ) w h e r e 如( s ) = 一2 s ，p 1 ，( 如) - 1 = 如，；1 + ；i = 1 w eo b t a i nt h a tt h e r e e x i s ta tl e a s tt w od i f f e r e n ts o l u t i o n sf o rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s f i a t ，w eu s ea v e r y - p e t e r s o n sf i x e dp o i n tt h e o r e mt oi n v e s t i g a t et h ee x i s t e n c eo fm u l t i p l e ( s y m m e t r i c ) p o s i t i v es o l u t i o n sf o rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sw i t h p l a p l a c i a n ，t h a tt h en o n l i n e a rt e r mi n v o l v e st h ef i r s t o r d e rd e r i v a t i v ee x p l i c i t l y ，a n da p p l yt h em a i nr e s u l t st oi n t e g r a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s a tl a s t ，w e i n v e s t i g a t em u l t i p l ep o s i t i v es o l u t i o n so fb o u n d a r yp r o b l e m sw i t hs i g nc h a n g i n g n o n l i n e a r i t ya n do b t a i nt h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n sf o ri n t e g r a lb o u n d a r y v a l u ep r o b l e m s k e y w o r d s ：c o n e ；o r d e r i n g ；p o s i t i v es o l u t i o n s ；a v e r y - p e t e r s o n s f i x e d p o i n tt h e o r e m ；f i x e dp o i n ti n d e x ；b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ；m u l t i p l es o l u t i o n s ； c o m p l e t e l yc o n t i n u o u so p e r a t o r 曲阜师范大学硕士学位论文原创性说明 本人郑重声明：此处所提交的硕士论文一类非线性微分方程边值问题的解 及应用，是本人在导师指导下，在曲阜师范大学攻读硕士学位期间独立进行研 究工作所取得的成果论文中除注明部分外不包含他人已经发表或撰写的研究成 果对本文的研究工作做出重要贡献的个人和集体，均已在文中已明确的方式注 明。本声明的法律结果将完全由本人承担 作者躲( 刃鲤嗍：7 厶弓 曲阜师范大学硕士学位论文使用授权书 【一类非线性微分方程边值问题的解及应用系本人在曲阜师范大学攻读硕 士学位期间，在导师指导下完成的硕士学位论文本论文的研究成果归曲阜师范 大学所有，本论文的研究内容不得以其他单位的名义发表本人完全了解曲阜师 范大学关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关部门送交论文的 复印件和电子版本，允许论文被查阅和借阅本人授权曲阜师范大学，可以采用 影印或其他复制手段保存论文，可以公开发表论文的全部或部分内容 作者签名i 【习舀卫 导臌鳓 日期：枷。7 。弓 嗍7 节 | 第一章带p - l a p l a c i a n 算子微分方程非局部边值问题的 三个正解 1 1 引言 自i l i n 和m o i s e e r 5 1 讨论二阶线性常微分方程多点边值后，许多学者开始关 注非线性微分方程多点边值问题【4 ，8 ，2 5 ，2 6 ，27 ，我们称之为非局部问题，本文我 们主要讨论带p l a p l a c i a n 微分方程非局部边值问题的多解存在性 1 5 ，1 6 ，1 8 ，2 1 】 本文我们利用a v e r y p e t e r s o n s 不动点定理，讨论实b a n a c h 空间中非线性 微分方程非局部边值问题 f ( ( u 他) ) ) 7 + a ( t ) f ( t ，u ( t ) ，珏印) ) = 0 ，t ( 0 ，1 ) ， l，1 u ( o ) = m ( s ) u 7 ( s ) d s ， ( 1 1 1 ) l 加 i - u ”) = 0 ， 其中( s ) = l s i p - 2 s ，p 1 ，( c p ) _ 1 = 妒q ，i 1 + ；= 1 为得到结果，我们将用到下面的假设： ( 风) 厂g ( o ，1 】【0 ，+ 。o ) ( 一。，+ o 。) ，( 0 ，+ o 。) ) ； ( 凰) a ( t ) l 1 【0 ，1 】，a ( t ) 0 ，t ( 0 ，1 ) 在( 0 ，1 ) 的任意子区间上，o ( ) 都不 恒等于零； ( h 3 ) m ( t ) g 0 ，1 】，m ( t ) 0 ，o 石m ( s ) d s 1 1 2 预备知识 由( h 2 ) 中a ( t ) l 1 o ，1 ，可以知道存在一常数u ( 0 ，；) ，满足 ，l u 0 4 t ) d t 。o 叫 定义1 2 1 ( 【1 】) 设e 是实b a n a c h 空间，如果p 是e 中某非空凸闭集， 并且满足下面两个条件： ( 1 ) z p ，a 0 哥入z p ； ( 2 ) z 只一z p 毒z = 口；伊是e 中的零元素 则称尸是e 中一个锥 给定个锥p 后，则可在e 中的元素间引入一一个半序：z y ，如果y - x p 1 第一章带p - l a p l a c i a n 算子非局部微分方程边值问题的三个正耀 定义1 2 2 ( 【2 】) 设e 是实b a i l a c h 空间，k 是e 的某一子集，算子0 ： k _ 0 ，) 是非负连续的，并且对任意z ，y k ，0 t 1 都有 a ( t z + ( 1 一t ) 可) t a ( x ) + ( 1 一t ) a ( 可) ，( 1 2 1 ) 则称q 是k 上的非负连续凹泛函 设e 是实b a n a c h 空间，k 是e 的某子集，算子a ：k _ 【0 ，。) 是非负 连续的，并且对任意z ，f k ，0 t 1 都有 o l ( t x 十( 1 一t ) y ) t a ( x ) + ( 1 一) a ( y ) ， 则称q 是k 上的非负连续凸泛函 在k 上，设a 是非负连续凹泛函，y 和p 是非负连续凸泛函，砂是非负连 续泛函，实数a ，b ，c ，d ，定义下面的凸集： k ( ，y ，d ) = u k i t ( - ) b ，当t k ( ，y ，口，a ，b ，c ，d ) ； ( s 蔓) q ( t u ) 6 ，当u k ( 一y ，o i ，b ，妨且o ( t u ) 也 ( 岛) 0gr ( 7 ，妒，a ，d ) ，妒( 孔) a 当i t r ( - y ，矽，n ，d ) 且妒( u ) = a 则丁至少有三个不动点u l ，t t 2 ，t 1 3 耳丽，满足 由于 可得 因此 b a ( u 1 ) ，口 矽( u 2 ) ，且a ( u 2 ) b ， 妒( “3 ) a ，7 ( u i ) d ，i = 1 ，2 ，3 引理1 2 1 设u k ，q = f 3m ( s ) d s ，则 哪m a x ，j 乱( 。) l ( 1 棚) 删m a x j “他) 1 证明因u 是凹的，可知 u ( 。) 一珏( o ) u ，( o ) 啪m a x 。一吼。 0 ，1 】， u ( 。) = z 1 m ( s ) u 7 ( s ) d s ， 婶) ( 1 + f om ( s ) d s ) 鞴) ， m a x ，j u ( ) i ( 1 托) m a x 。j u ，( ) f 3 第一章带p - l a p l a c i a n 算子非局部微分方程边值问题的三个正解 弓l 理1 2 2 ( 【4 ) 设让k ，( 0 ，；) ，则 乱( 。) 孤i m 叫a x ji u ( 吼。 w , 1 - w 由以上引理可知，上面定义的泛函有以下的关系： 叫伊( u ) a ( 也) 护( u ) = 妒( u ) ， l = m a x ( “) ，y ( u ) ) ( 1 + q ) ，y ( 廿) 由( 1 2 6 ) ，( 1 2 7 ) 可知，( 1 2 5 ) 已经满足 定义算子t ：k _ x ， ( t 州牡1 m 九( 1n ( 町( 州1 ) ( r ) d r ) d s + z 。驴。( 1 。( r ) ，( r ，“( r ) ，n 7 ( r ) ) d r ) d s ( 1 2 6 ) ( 1 2 7 ) 我们可以判断t 的不动点是( 1 1 1 ) 的解事实上，不妨设丁珏= u ，则 ，1 ( 丁u ) 7 ( t ) = c q ( a ( t ) f ( t ，廿( z ) ，u ) ) 出) ， t ，t 嘞( ( 丁u ) ) ) = - a ( t ) f ( t ，u ( 巍( ) ) 0 ， ( 丁u ) ( 1 ) = o ， 因此t u 是凹且增的，即t u k t u = u 也满足边值条件( t u ) ( o ) = 譬m ( s ) 7 k ( s ) d s ，所以t 的不动点是 ( 1 1 1 ) 的解。 引理1 2 3t ：k _ k 是全连续的 证明显然，( t u ) ( t ) 0 ，t u ) 0 ，( 如( u 锥) ) ) 7 0 ，因此( t u ) ( t ) 在 0 ，1 】 上是增的凹泛函， ( t u ) ( o ) = 片r e ( s ) 。“7 ( 5 ) d s ，因此t ：一k 证明算子曜全连续，首先，设 u 。) c + f o ，1 ，且珏n _ u o c + 【o ，1 ，由 于，是连续的，由勒贝格控制收敛定理得z _ t u o ，故f 是连续的 设qck 是有界集，由于，是连续的，z t c + f o ，1 】，则存在m ，满足当u q 时，l l t 训m ，i t u ，l m ，由a r z e l a - a s c o l i 定理知，t f l 是相对紧的所以 t 是全连续的 4 一堕皇堕堇盔堂堡圭堂焦迨塞 1 3 主要结果 我们将应用a v e r y - p e t e r s o n s 不定点定理证明( 1 1 1 ) 至少存在三个正解， 为了方便我们引入下列记号： l 砘( 小l m ，m ： = m a x 小( 1 吣肌， 定理1 3 1 假设已满足( 皿) ，( 仍) ，设 1 一。咖。( 1a ( r ) d r ) d s ， 小( s ) 姒1 m m 哪 0 口 如( 石b 丽) ， ，u ，”) p ，1 u 】【6 ，丝( z g ( 1 型- w ) 1 j 【一d ，d 】； ( 4 3 ) ( t ，u ，御) 如( 条) ， 0 ，u ，冒) ( o ，1 】【o ，o 】卜d ，d 】； 则边值问题( 1 1 1 ) 至少有三个正解t 1 ，u 2 ，u 3 且满足 b r a i n 如，1 一u 】j u l 0 ) l ，t m e o a x , 1 j 札l ( t ) j ( 1 + a ) d ， n 蹦雠) 丽2 b ( 1 + 2 c e ) 挺簿卅呦) j 6 ，y ( u ) = 护( u ) 如( 南) ，t p ，1 一u 】， a ( t u ) m i n l t f u ，1 一u 】 ( t u ( t ) 独雠m a x l 】i ( t u ( 。) l u ! ：1 。( 1 口( r ) ，( r ，( r ) ，u 7 ( r ) ) 办) d s u 南厂咖。( z 1 时，打) 如 = b 因此，当也( ) k ( ，y ，p ，q ，b ，哿警筹，d ) 时，都有a ( t u ) 满足 ( 3 ) 我们证明( s 2 ) 成立由( 1 2 6 ) 可以得出， 6 0 ，1 】， b ，这就说明s l 已 曲阜师范大学硕士学位论文 当u k ( - y ，口，b ，d ) 且e ( t 札) 2 。b ( ( j 1 + 一2 u a ) ) 时， q ( t t ) u 椤( 丁u ) u 1 2 b 灭( 丁l 二+ 1 2 丁a ) 6 ， 因此已满足 ( 3 ) 最后我们证明( 岛) 成立 由矽( 0 ) = 0 a ，贝00 聋r ( 7 ，矽，a ，d ) 设u r ( - r ，妒，a ，d ) 且妒 ) = n ，由a 3 可以得出 矽( 丁u ) 2 吼m a x l 】 l t u ( t ) l = t u o ) =om ( s ) 。( 1 。( r ) ，( r ，仳( r ) ，u ( r ) ) 咖) d s + z 1 。( 1 。( r ) ，( nu ( r ) ，u 7 ( r ) ) 办) d s 互o ( ：o im ( s ) 妒。( 1 1 。( r ) 办) d s + 0 1 矽。( 1 。( r ) 打) d s ) 0 因此岛也满足 由定理1 2 1 知，边值问题( 1 1 1 ) 至少有三个正解i t l ，u 2 ，i t 3 ，且满足 6 挺m i n 卅i 乱1 ( 吼t m e a x o , 1 呲) | ( 1 + 口) d ， 似蚓m 叫a xi 咄驯 器岩婚i i k 卜i n 胡i 姒驯 玩 哪m a x l jl u 3 ( 。) i 仉m a x l ji u 删( f ，江1 ，2 ，3 。 1 4 例子 例1 4 1 考察非线性微分方程边值问题 ( 1 u 7 ( t ) l u ) ) 7 + ，( t ，乱( t ) ，u 他) ) = 0 u ( 。) = z 1 丢让7 。) d t “，( 1 ) = 0 7 ( 1 4 1 ) 第一章带p - - l a p l a c i a n 算子非局部微分方程边值问题的三个正解 这里p = 3 ，a ( t ) = 1 ，m ( t ) = ，o = 百1 ，b = 2 ，u = 吾1 ，d = 1 1 0 0 0 ，o ，乜， ) 3 ( 导) 4 8 1 9 ， 击；，2 钆1 2 , 一1 1 0 0 0 一 1 1 0 0 0 ， 三 邢，u ， ) o 3 9 1 矽3 ( 量) = 0 7 5 ， o t 1 ，o us 丢， 一1 1 0 0 0 一 口1 1 0 0 0 ， 根据定理( 1 2 1 ) ，边值问题( 1 4 1 ) 至少有三个正解u l ，z t 2 ，i t 3 ，且满足 2 t r a i n 切m 吼t i o ，m a x 。】i 札1 ( ) j 丁3 8 5 0 0 ， 主t m e l o a x , z 雠) i 5 4 , 龇m i l n 刊雠) i 2 ， 蚓m a 吣x ji 珏3 ( 。) l 壹，t 【m 叫a xi 钆俐1 1 0 0 0 , 江l ，2 ，3 8 1 ，( c p ) - 1 = 九，；+ ；= 1 在本文中我们假设以下条件成立： ( 日1 ) f c ( o ，1 】【0 ，+ 。) ( 一。，+ o 。) ， o ，+ 。) ) ，在 o ，1 】上，f ( t ，0 ，0 ) 0 ，f ( t ，z ，y ) = f ( 1 一t ，z ，- y ) ，( t ，z ，y ) 0 ，1 】( 0 ，。o ) xr ； ( 日2 ) a ( t ) l 1 o ，1 ，a ( t ) 0 ，o ( t ) = a ( 1 一) ，t 【0 ，1 】在( 0 ，1 ) 的任意子区 间上，o ( t ) 都不恒等于零； ( h 3 ) m ( t ) l o ，1 】 仇( t ) 0 ，m ( t ) = m ( 1 一t ) ，0 j om ( s ) d 5 1 如果泛函u ( t ) 对任意的t 0 ，1 】，都有u ( t ) = u ( 1 一t ) ，则u ( z ) 称在 0 ，1 1 上 是对称的 2 2 预备知识 本文会用到实b a n a c h 空间锥理论，凹，凸泛函和a v e r y - p e t e r s o n s 不动点 定理，上部分已介绍，这里就不再赘述 9 ”厂，加 “ l i 文 娩 “ 一 | i 、l ， 1 ，k u 第二章 带p - l a p l a c i a n 算子微分方程的多个鼬签里呈壁 定义x = c 1 ( o ，1 】，且 1 1 钍1 1 = m a x 蚓m u 7 l a x ji 仳( 吼t m e o a x , 1 帅) 1 ) 定义k ： k ：f 口x l u ( t ) o ，让( o ) = 詹m ( s ) 让，( s ) d s ，诳 o ，1 】上是对称的凹泛函) ， 则由定义( 1 2 1 ) 知k 是x 中的锥 在k 上定义非负连续凹泛函a ，非负连续凸泛函秽，y ，非负连续泛函妒： 7 ( 乱) 2 娜m a x 。j ? a i ( 吼 妒( 乜) = c ( u ) 2t m e o a x , 1 l u ( 。) 1 ， 口( t | ) = 沌i i l i l n 一卅i u ( 吼 弓l 理2 2 1 设t l k ，e ：孑m ( s ) d 8 ，贝4 嚣躏i 钍( t ) l ( 1 + ) t m e a x o , 1 u 似) 1 证明由u 是凹的，则( t ) 一u ( o ) 7 ( o ) t m l 。a ，x 。ji ( 。) l ， 由 “( 。) ：z 5m ( s ) u 7 ( 5 ) 幽置躏( 驯z 5 m ( s ) d s ， 因此 r 导 钆( z ) 删m a x j u ) i + 州m 叩a x j u 协) 幌仇( s ) d s ， 所以 t i m u f l a x 】 u ( t ) j ( 1 + e ) 嚣躏雠) j 由引理2 2 1 ，引理1 2 2 可知，上面定义的泛函有以下的关系： 口( u ) 口( u ) 日( 札) = 砂( u ) ， i i i | = m a x 口( 让) ，y ( u ) ) ( 1 + q ) ，y ( 乱) 1 0 ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) 曲阜师范大学硕士学位论文 l 詹m ( s ) 如( 岔n ( r ) ，( r ，让( r ) ，乱7 ( r ) ) d r ) d s ( 孔) ( ) ： ：片a ( t ：r ) ，( r ，让( r ) ， 7 ( r ) ) d r ) d s ，o ；，( 2 2 6 ) l _ 层m ( s ) 九( 嚣o ( r ) 竹，“( r ) ，u ( r ) ) d r ) d s 、。 【+ 咖。( 嚣q ( r ) ，( r ，乱( r ) ，u v ) ) 办) 幽，；st 1 显然，t ucx ，我们能证明t 的不动点是( 2 1 1 ) 的解 事实上，我们不妨设t u = 珏，对上式求导得 ( 孔) ，( t ) ： 。( 正5 ：。) ，( 。，u ( 班( 。) ) 出) ， o t ， 【一g ( 兵8 ( ) 厂，钍0 ) ，珏7 0 ) ) 蹴) ，j 1 t 1 贝( 驴p ( 7 。乱7 ( ) ) ) 7 = 一o ( t ) u ，珏0 ) ，u 7 ( t ) ) 又由于 ，2 ( t u ) ( o ) = m ( s ) t u 7 ( s ) d s ， ( t u ) ( 1 ) = 一z 1 m ( s ) 弛，( s ) d s ， 所以t 的不动点也满足( 2 1 1 ) ，即不动点是( 2 1 1 ) 的解 引理2 2 2t ：k _ k 是全连续算子 证明对任意的t 譬嗡1 】，可墼得到( 1 一) 【o ，批因此 厂考厂主 ( 孔) ( 1 一。) 2 上仇( s ) 九( ，。( r ) ，( r ，u ( r ) ，u ( r ) ) 打) d s + z 妒。( 5 。c r ，c r ，u c r ，u 7 c r ，打) d s = 一名1 玎。( s ) e ( z 5 。( r ) ，( l 让( r ) ，孔7 ( r ) ) 办) d 5 + 1 曲。( z 8 。c r ，c u c r ，u 7 c r ，打) d s = ( n ) ( ) 因此，t u 在 0 ，i 】是对称的我们可以得到( t u ) ( t ) 0 ，t u 在 0 ，1 1 上是 凹的， ( t 乱) ( o ) = 岔m ( s ) 乱，( s ) 幽，因此丁：k _ k 第二章 带p - - l a p l a c i a n 算子微分方程的多个对称正解 证明算子丁是全连续，首先设 u 竹) c + o ，1 】，且u 。_ ? - t o c + o ，l 】，由于 ，是连续的，由勒贝格控制收敛定理得t u n t u o ，故r 是连续的 设qck 是有界集，由于，是连续的，u c + o ，1 】，则存在m ，满足当珏q 时， i t u l l m ，l i 丁世m ，由a r z e l a - a s c o l i 定理知，丁q 是相对紧的所以丁 是全连续的 2 3 主要结果 为了方便，我们引入f 歹u 记号： l 咄。 ia(r)dr)，m=卜i、f：a(r)dr)ds0j l = 九( ， = ，如( 厂 dj8 = m a x ( 5 矽。( 5 。( r ) d r ) d 5 ，5 仇( s ) 矽。( 5n ( r ) d r ) d s ) 定理2 3 1 设( 日1 ) ，( 地) 已满足，0 a ( 由) ，( ， ，移) p ，1 一u 】p ，墨装兰击 f d ，翻； ( a 3 ) f ( t ，7 1 , ， ) ( 南) ， ( t ，u ，口) 0 ，1 】x 【0 ，硝f d ，d 】； 则边值问题( 2 1 1 ) 至少有三个对称解u 1 ，珏2 ，札3 ，且满足 6 挺【u m ，i l l 1 w 1l u l ( 。) i ，m 【0 a ，x l l l u l ( 。) i ( 1 + ) d ， 。m。a，x。u。()l端，且。m，i，dw】iuz()l b ， 嘶) 姊( 面b ) ，z 一u 】， a 【地) 一。盈墨。】i x u ( 。) | 洳黝州。) l u z 5 钉q ( s ) 。( 5 。( r ) ，( r ，u ( r ) ，u 7 ( r ) ) d r ) d s + ( 5 。( 5 。( r ) ，( r ，札( r ) ，( r ) ) d r ) d s ) u 南办( 圭m 渺) d s 所以对所有的u ( ) k ( ，y ，秽，口，b ，差寒蔷，d ) ，都有口( 弛) b ，这就说明& 已满足 ( 3 ) 我们证明岛成立 由( 2 2 4 ) 知，当心k ( 7 ，n ，b ，d ) 且秽( 丁钆) 差器时， 则 a ( 丁钆) u 口( 丁让) u 壶安宇嵩= 6 ， 因此满足 ( 4 ) 最后我们证明岛满足 由于妒( o ) = 0 a ，则0 譬n ( 7 ，矽，a ，d ) 1 4 曲阜师范大学硕士学位论文 当u r ( 7 ，妒，a ，d ) 且妒( u ) = a 时，则由a 3 可得 妒【地j - 凝a x l u 汛( 丢) = ( 5m ( s ) 咖。( 5n ( r ) ，( r ，饥( r ) ，u 7 ( r ) ) d r ) d s + 0 1 矽。( 5 1 。( r ) ，( r ，u ( r ，钆7 ( r ) ) d r ) d s 南z 5m ( s ( 5 嘶) ) d r ) d s + 南办c 5 嘶舭 则协也7 蔺足 边值问题( 2 1 1 ) 至少有三个对称解 u 1 ，u 2 ，u 3 且满足 啪m a x l 】i u 删d ，江1 ，2 ，3 ， 6 t p m ，i l n 一。】i 乱1 ( 。) i ，t m 【。a ，x l 】i u l ( 。) l ( 1 + e ) d ， 0 m a x 。j1 u 2 ( 小丽b ( 14 - 4 5 ) ，且t e ”1 1