（固体力学专业论文）非线性系统应用MR阻尼器的半主动随机最优控制.pdf

浙江大学硕十毕业论文 摘要 本文在采用b o u c w e n 模型描述m r 阻尼器动力学模型的基础上，对单自由 度强非线性系统提出了一个半主动随机最优控制策略。首先应用随机平均法，建 立部分平均的i t 6 随机微分方程；然后，建立受控系统的动态规划方程，随之对 动态规划方程最小化，得最优控制律；之后，将最优的控制力代入部分平均的肋 随机微分方程以求得完全平均的朐随机微分方程；最后，通过求解最终的动态 规划方程和与完全平均的筋随机微分方程相对应的f p k 方程，可以得到半主动 控制系统的响应统计。本文主要针对受到高斯白噪声的外激或参激激励的 d u f f i n g 振子和受地面不平度激励的车辆混合悬挂系统，分析了半主动随机最优 控制策略的控制效果和效率，并通过数值模拟的结果表明，基于h a m i l t o n 系统 提出的半主动随机最优控制策略具有更高的性能。 关键词：非线性系统，半主动控制，随机最优控制，m r 阻尼器，随机平均， 动态规划 a b s t r a c t as e m i - a c t i v es t o c h a s t i co p t i m a lc o n t r o ls t r a t e g yf o rn o n l i n e a rh y s t e r e t i cs y s t e mu s i n g m a g n e t o - r h e o l o g i c a l ( m r ) d a m p e ri sp r o p o s e d t h ed y n a m i cb e h a v i o ro f am rd a m p e ri s c h a r a c t e r i z e db yu s i n gb o u c - w e nh y s t e r e t i cm o d e l t h ec o n t r o lf o r c ep r o d u c e db yt h em r d a m p e ri ss p l i ti n t oap a s s i v ep a r ta n das e m i - a c t i v ep a r t t h ep a s s i v ep a r ti si n c o r p o r a t e dw i t ht h e u n c o n t r o l l e ds y s t e mt of o r ma p a s s i v ec o n t r o ls y s t e m t h e nt h es y s t e mi sc o n v e r t e di n t oa n e q u i v a l e n tn o n l i n e a rn o n - h y s t e r e t i cs t o c h a s t i cc o n t r o ls y s t e m ，f r o mw h i c ha n t 6s t o c h a s t i c d i f f e r e n t i a le q u a t i o nf o rt o t a le n e r g yi sd e r i v e db yu s i n gt h es t o c h a s t i ca v e r a g i n gm e t h o do fe n e r g y e n v e l o p e f o rt h ee r g o d i cc o n t r o lp r o b l e m ，ad y n a m i c a lp r o g r a m m i n ge q u a t i o nf o rt h ec o n t r o l l e d t o t a le n e r g yp r o c e s si se s t a b l i s h e db a s e do nt h es t o c h a s t i cd y n a m i c a lp r o g r a m m i n gp r i n c i p l e t h e o p t i m a lc o n t r o ll a wi so b t a i n e db ym i n i m i z i n gt h ed y n a m i c a lp r o g r a m m i n ge q u a t i o n ，a n d i m p l e m e n t e db yt h e 砌rd a m p e rw i t h o u tc l i p p i n g t h e nt h ef u l l yc o m p l e t e da v e r a g e dl t 6e q u a t i o n i so b t a i n e df r o mt h ep a n ia l l yc o m p l e t e da v e r a g e de q u a t i o nf o rt h ec o n t r o l l e dt o t a le n e r g yp r o c e s s b yr e p l a c i n gt h ec o n t r o lf o r c e sw i t ht h eo p t i m a lc o n t r o lf o r c e s f i n a l l y , t h er e s p o n s eo f s e m i - a c t i v e l yc o n t r o l l e ds y s t e mi so b t a i n e df r o ms o l v i n gt h ef i n a ld y n a m i c a lp r o g r a m m i n g e q u a t i o na n dt h ef o k k e r - p l a n c k - k o l m o g o r o ve q u a t i o na s s o c i a t e dw i t ht h ef u l l yc o m p l e t e d a v e r a g e dl 陌e q u a t i o n t h ee f f i c a c yo f t h ep r o p o s e ds e m i a c t i v es t o c h a s t i co p t i m a lc o n t r o ls t r a t e g y i si l l u s t r a t e db yu s i n gt h en u m e r i c a ls i m u l a t i o n ，w h i c hs h o w st h a tt h ep r o p o s e ds e m i a c t i v e s t o c h a s t i co p t i m a lc o n t r o ls t r a t e g yh o l d st h eb e t t e rp e r f o r m a n c ea tt h er e d u c t i o no f v i b r a t i o n k e y w o r d s ：n o n l i n e a rs y s t e m ，s e m i - a c t i v ec o n t r o l ，s t o c h a s t i co p t i m a lc o n t r o l ，m rd a m p e r , s t o c h a s t i ca v e r a g i n g ，d y n a m i c a lp r o g r a m m i n g 浙江大学硕i ：学位论文 第一章绪论 1 1 研究背景及现状 1 1 1 非线性随机振动 振动现象可以分为两大类：一类称为确定性振动，另一类称为随机振动。所 谓确定性振动是指那些时间历程可以用确定性函数来描述的振动。随机振动则与 之不同，对一个随机振动系统记录下来的振动时间历程显得各相径庭，复杂多样。 从单个记录来看似乎变幻莫测，但从大量记录来看却存在一定的统计规律性。因 此随机振动得借助统计特性来描述。用数学术语来说，无论是随机激励还是随机 响应都必须描述为随机过程。由随机振源激起的机械或结构系统的振动称为随机 振动。随机激励可以是外加的，此时随机振动是一种强迫振动，随机激励也可以 通过使系统参数发生随机变化而起作用，称为随机参变激励，相应的振动称为参 激随机振动。作为_ 门技术学科，随机振动是关于机械或结构系统对随机激励的 稳定性、响应及可靠性的一整套理论的总称。随机振动可看成是机械振动或结构 动力学与概率论及其分支相结合的产物，是现代应用力学的一个分支【1 j 。 对于线性系统的随机振动，已经有了成熟的理论方法1 2 j 】。而几乎所有机械 或结构系统都在某种程度上呈现出非线性性念。系统的非线性可以表现为非线性 恢复力、非线性阻尼或非线性惯性。例如在固体中，非线性恢复力可来自物理非 线性，即应力与应变不服从虎克定律。也可来自几何非线性，即应变与位移之间 的非线性关系。此外许多结构在承受严重载荷时会出现滞迟效应以及刚度与( 或) 强度的退化，这使恢复力成为位移的非线性多值函数，恢复力的值不仅取决于系 统当时的状态，而且取决于系统响应的历史，同时伴随着能量的耗散。非线性阻 尼也是多种多样的，如于磨擦，固体在流体中快速运动时受到的幂律阻尼等等。 按照线性理论所得的结果，往往是实际系统随机响应量的一次近似。这种近似在 许多情形下是够满意的。但是，也有很多场合，问题的线性处理并不能给出满意 的结果。首先，由于随机激励响应出现的概率可能很小，但它密切关系着结构的 破坏，而非线性效应正是在这些大幅响应中起着重要甚至决定性作用。例如，非 线性效应可使受高斯激励的系统的响应明显地偏离高斯分布，而这种偏离对系统 的可靠性与寿命估计往往有着显著的影响。其次，从确定性非线性振动理论知道， 在非线性系统中存在许多线性系统中不会出现的现象，即所谓本质非线性现象， 例如跳跃、自激振动、亚谐与高谐振动、浑沌等。用线性理论预测存在这种本质 非线性现象的非线性系统的随机响应，往往会给出错误的结论。因此，研究非线 2 浙江大学硕= b 学位论文 性系统的随机振动，发展预测非线性系统随机响应的方法，揭示非线性系统在随 机扰动下可能发生的现象，具有十分重要的意义。 近2 0 年中，非线性随机振动已成为随机振动理论研究的重点之一，己发展 了许多预测非线性随机响应的方法。其中一类是扩散过程理论方法，主要是福克 一普朗克一柯尔莫哥洛夫( 简称f p k ) 方程方法。还有一类是从确定性非线性振 动理论方法推广丽来的，包括等效线性化，摄动法等。随机平均法则是上述两类 方法的结合的产物。 随机平均法是一类方法的总称。在随机振动中获得广泛应用的主要有二种： 标准随机平均法及能量包线随机平均法，前者适用于多自由度拟线性系统，后者 适用于单自出度强非线性系统。近年来中国科学院院士朱位秋教授等利用 h a m i l t o n 系统的可积性与共振性概念，提出了拟h a m i l t o n 系统的随机平均法【4 ，”， 并将它应用于拟h a m i l t o n 系统的随机稳定性、随机分叉、可靠性及随机非线性 反馈控制等 6 - 9 ，实践证明该方法是研究多自由度强非线性随机系统的有效方法。 本论文就是在拟h a m i l t o n 系统的随机平均法的基础上研究非线性系统的半主动 随机最优控制问题。 1 1 2 结构控制研究的背景 传统的结构抗震、抗风对策是依靠结构本身的性能抵御地震和风的作用，既 由结构的强度、刚度、变形性能和耗能性能，来满足结构抗震、抗风的设防要求， 这是被动消极的结构对策。由于人们尚不能准确地确定结构在未来可能遭遇的地 震和风的强度与特性，按传统方法设计和建造的结构不具备自我调节能力，因此 在这种不确定性的地震和风的作用下，结构很可能不满足安全性和功能性的要 求。而产生严重破坏或坍塌或人的恐慌、无法正常工作与生活。甚至造成重大经 济损失和人员伤亡。 同时，随着城市建设的发展和科学技术的进步，结构正在向高层、高耸、大 跨度和轻质高强方向发展，导致结构刚度和阻尼大大下降，结构在地震和风作用 厦，反映增大。使得结构更加不能满足安全性和舒适性的要求，同时可造成非结 构构件的破坏。对于这类高层、高耸和大跨度结构的破坏，将会造成更大的损失 和社会影响。 合理有效的抗震、抗风途径是对结构施加控制系统，由控制系统和结构共同 承受地震和风的作用，即共同储存和消耗地震或风振能量，以调谐和减轻结构的 地震或风振反应，这种结构抗震、抗风途径称为结构抗震、抗风控制或简称为结 构控制。这是积极主动的结构对策u j 。 结构振动的控制可以通过各种各样的方法实现，如：调整结构强度、质量、 浙江大学烦l 学位论文 阻尼或者形状，以及提供被动力或者主动力。到目前为止，许多结构控制的方法 已经被成功的应用于工程实际，还有一些新兴的控制方法，为进一步提供结构控 制的使用范围和实现更好的效果，提供了理论的支持。 最近几十年间，结构控制在土木建筑领域的发展非常迅速，吸引了许多研究 人员的兴趣和关注。最初主要用于航空领域和挠性空间结构中，很快开始扩展到 土木建筑和基础建筑的应用中，例如房屋或者桥梁在地震和风力过载情况下的安 全保护。1 9 7 2 年，美国p u r d u e 大学j t p y a o 教授首先开创了结构控制的理 论。到了1 9 9 4 年，结构控制的研究达到了一个颠峰。这一年的8 月，首届结构 控制国际会议( w c s c ) 在美国洛杉机召开，吸引了1 5 个国家3 3 7 名研究人员参 加，会议收录了2 2 5 篇论文，涵盖了结构控制研究的所有方向】。 到目前为止，对结构控制研究最多的国家是美国和日本。美国的理论研究较 多，同本则注重理论在实际工程中的应用。在日本已有2 3 多幢实际建筑采用了 主动控制，主要为了提高居住者在强风期间的舒适度；在欧洲和俄罗斯，对结构 控制的研究也做了大量的工作。 1 9 9 4 年加州n o r t h r i d g e 地区和1 9 9 5 年同本k o b e 地区的强破坏性的地震， 证明了在新建筑的设计中，减少地震破坏的重要性。 1 1 3 近十年国内外研究动态【l l 】 t h eu s n a t i o n a w o r k s h o po ns t r u c t u r a lc o n t r o l ，由美国国家自然科 学基金( n s f ) 资助，由u s n a t i o n a p a n e lo ns t r u c t u r a lc o n t r o l 主办， 于1 9 9 0 年在美国南加州大学举行，会议吸引了近1 0 0 名代表，包括来自加拿大， 中国，德国，意犬利，日本，墨西哥和西班牙的专家学者。紧接着，又举办了几 场附加的会议，包括1 9 9 2 年的t h ej a p a nn a t i o n a lw o r k s h o p ，t h eu s 一i t a l y w o r k s h o p 和1 9 9 3 年举行的另一场国际会议。1 9 9 2 年，对于结构控制研究来说， 是一个重要的罩程碑。这一年，t h et e n t hw o r l dc o n f e r e n c eo ne a r t h q u a k e e n g i n e e r i n g 在西班牙的马德里举行，此次会议上，通过了建立一个结构控制专 业性的国际组织和国际会议的决定，因此诞生了t h ei n t e r n a t i o n a l a s s o c i a t i o nf o rs t r u c t u r a lc o n t r o l ( i a s c ) 。首届i a s c 会议于1 9 9 3 年召开， g h o u s n e r 教授为大会主席，r k o b o r i 教授为大会副主席，s m a s r i 为大会秘 书长，这届会议上聚集了全世界绝大多数在结构控制领域作出杰出贡献的优秀专 家和学者，并极大的促进了结构控制研究在全球的蓬勃发展，越来越多的学者开 始投身于结构控制的研究，各种各样的国际会议、座谈会、报告会层出不穷。如 分别在两班牙的马德里和墨西哥的阿卡普尔科举行的第十届和第十一届的t h e w o r l dc o n f e r e n c e so ne a r t h q u a k ee n g i n e e r i n g ：在西班牙的巴塞罗纳举行的 浙江大学硕i ：学位论文 t h ef i r s te u r o p e a nc o n f e r e n c eo ns t r u c t u r a lc o n t r o l ，这次会议吸引了1 0 0 多名的参加者：1 9 9 6 年在香港举行的t h es e c o n di n t e r n a t i o n a lw o r k s h o po n s t r u c t u r a lc o n t r o l ，吸引了十多个国家的8 5 名科学家和工程师；还有1 9 9 8 年，在日本东京举行的t h es e c o n dw o r l dc o n f e r e n c e ，又次形成了结构控制 界的一个盛典。最近，t h ef i f t hi n t e r n a t i o n a lc o n f e r e n c eo ns t r u cr u r a l d y n a m i c s ( s s d 0 3 ) 在中国杭州举行，标志着我国的振动控制方向的国际交流越来 越频繁、深入，研究成果也获得了各国同行的一致认可，在世界上占有了一席之 地。 1 1 4 结构控制的概念 结构控制是近二十年来发展起来的一门新兴学科，是土木工程的高科技领 域。它是研究结构动力反应控制的理论、方法和技术的综合性学科。 结构控制分为被动控制、主动控制、半主动控制和混合控制。 被动控制不需要外部能源输入提供控制力，控制过程不依赖于结构反应 和外界干扰力信息的控制方法，只和受控系统的结构位移有关的一种控制方法。 该控制方法的成本较低，但效果较差；主动控制需要外部能源输入，按照预 先制定的方式对结构提供控制力，外部施加的控制力既可以被用来增加也可以被 用来耗散结构中的能量。在回馈主动控制系统中，发送到主动控制作动器的信号 是被控制系统响应的函数，被控制系统的响应一般通过物理传感器测得，如光学 传感器、机械传感器、电子传感器、化学传感器等等。这种控制方法的效果最好， 但是成本最高，而且在紧急状况下，如火灾、地震、飓风等特殊情况引起的断电 情况下，将丧失控制系统的主动特性；半主动控制需要外部能源输入，但是 需要的外部能源输入的数量级远小于典型的主动控制系统，半主动控制设备经常 被看作种可控被动控制设备。半主动控制是目前结构控制研究中的一个热点， 它不仅具有了被主动控制的低成本特点，而且能够以较小的输入能量获得较大的 控制力，在合适的最优控制率的弓l 导下，甚至可以接近主动控制的效果；混合控 制不同控制方式相结合的控制方法，主要根据具体的需要，应用于不同的结 构。 1 1 4 1 被动控制 被动控制是较早得到发展和应用的结构抗震抗风控制技术。现已开发出许多 隔震、耗能减根和吸据装置，并逐步在实际工程中推广应用。 1 基础隔震技术在结构基底设簧控制机构来隔离地震能量向上部结构传 输，这就是基础隔震。目前，已研究丌发的基础隔震方案很多。归纳起来有以下 浙江大学硕i 学位论文 几类：橡胶挚隔震、滑移隔震、滚珠及滚轴隔震、悬吊隔震、螺旋钢弹簧隔震和 混合隔震等。 近年来，一些国家开展了基础隔震技术的研究，据不完全统计，全世界有2 5 个国家在进行隔震技术的研究，并已在1 7 个国家中得到应用我国对基础隔震技 术的研究较多，并已建造了试典工程房屋l j 五”j 2 耗能减震技术耗能减震技术是在结构物某些部位设置耗能部件或阻尼 器，在风载和小震作用下，结构体系具有足够的抗侧移刚度以满足正常使用要求， 在强烈地震作用时，耗能部件或阻尼器率先进入非弹性状态和耗能状态，大量耗 散输入结构的地震能量，使主体结构避免进入明显的非弹性状态，从而保护主体 结构在强震中免遭损坏。 目前研究开发的耗能装置和阻尼器种类很多，归纳起来有以下几类：( 1 ) 摩 擦耗能装置；( 2 ) 金属耗能器；( 3 ) 粘性及粘弹性阻尼器。 吸振减震是在主体结构上设置附属子系统，在地震作用下，主体结构与附属 子系统同时振动，附属子系统吸收了一部分振动能量，从而使主体结构振动减轻。 附属子系统就是吸震系统。目前主要的吸振减震装置有：调谐质量阻尼系统 ( t m d ) 、调谐液体阻尼系统( t l d ) 、调谐液柱式阻尼系统( t l c d ) 、质量泵和液压质 量控制系统( h m s ) 等。 1 1 4 2 主动控制 主动控制是将现代控制论与自动化技术应用于结构抗震与抗风的高新技术。 采用主动控制可以自动调节结构地震和风振反应，使之在人们要求限定的范围 内。因此，采用主动控制的建筑可称为智能抗震抗风建筑。 关于主动控制的研究源于美国，1 9 7 2 年，美国普渡大学j t p y a o 教授首 先开创结构主动控制的研究 。研究较多的国家是美国、日本和中国，美国的 理论研究较多，同本则着重开发在实际工程中应用。在日本已有2 3 幢实际建筑 采用了主动控制。我国从8 0 年代中期开始研究主动控制，国内主要是哈尔滨建 筑大学和武汉工业大学研究较多，已经在理论研究方面已取得了一系列成果”。 目前，国际上对结构主动控制试验研究进行的很少，美国纽约布法罗 ( b u f f a l o ) 州立大学t t s o o n g l l5 】教授进行了主动控制试验研究，这是世界上进 行的第一个主动控制试验。我国哈尔滨建筑大学，成功地进行了结构主动控制试 验，该控制系统是由我们自行设计、安装、调试的，这是我国第一个结构主动控 制试验【 6 , 1 7 , 1 8 】。这一主动控制系统是在我们技术人员经过深入系统的理论研究和 仿真分析基础上而设计的。此主动控制系统为主动质量阻尼控制系统。 浙江人学坝i 学位论义 1 1 4 3 半主动控制 采用结构主动控制对结构动力反应可以得到理想的控制效果，但需要较大的 能源输入，成本很高，技术较复杂，普遍推广受到限制。为了克服主动控制的这 一不足，一种替代的方法于是出现了，它既能提供被动控制设备的可靠性，又能 满足完全主动设备的功能与适应性的需要，这就是半主动控制设备【1 ”】。大量 的理论和实验研究指出，半主动控制设备能够提供完全主动控制设备所能提供的 绝大多数的性能【2 1 , 2 2 , 2 3 , 2 4 。 1 1 5 被动能量耗散 由于内部压力、摩擦、断裂、塑性变形等原因，所有的振动结构都处于能量 耗散的过程中，能量耗散的性能越好，系统结构的振动越小。然后，现实生活中， 很多结构的阻尼很小，只达到它的临界阻尼的1 弘工”j ，因此即使在中等强度的 地震中，也不得不承受着大振幅的振动，这已经严重威胁到房屋建筑的安全性。 为了减小振动的振幅，增加结构的阻尼特性是一个好办法。现在，各种各样的增 加结构阻尼特性的方法已经应用于实际。 被动能量耗散系统包括了各种各样能够提高阻尼、强度和浓度的材料和设 备，它们不仅被用于自然灾害的减轻，而且用于老化或者有缺陷的结构的复原和 改善。最近这些年，能量耗散和附加阻尼的概念得到了极大的发展，世界各地许 多的结构中都安装了这些能量耗散设备印# 。通常这些设备都是为了增强这些结 构的能量耗散性能，如使结构的动能转化为热能或实现能量在不同振动模式的转 移。前一种包括了滑动摩擦，金属屈服，金属的状态变换和流体喷射等；后一种 的实现方法包括附加振荡器，以达到动态振动减震器的功能。 到目前为止，各国专家对结构的地震保护中的动力学行为和潜在的应用做了 大量的理论和试验研究【2 9 , 3 0 】，其中最常用的起能量耗散作用的阻尼器有【1 1 l ：金 属屈服阻尼器、摩擦阻尼器、粘弹性阻尼器、粘性流体阻尼器、可调质量阻尼器、 可调液相阻尼器、可调节流孔阻尼器以及电流变阻尼器( e l e c t r o r h e o l o g j c a l d a m p e r ，简称e r 阻尼器) 和磁流变阻尼器( m a g n e t o r h e o l o g i c a ld a m p e r ，简 称m r 阻尼器) ( s p e n c e r s a i n1 9 9 7 ) 。在半主动控制装置中，对抗震特别有效 的是磁流变阻尼器，该装置最根本的性能就是利用磁流变液在磁场作用下能在毫 秒级时间范围内从一种能自由流动的线性粘弹性液体转变成具有一定屈服强度 的半固体状物质，从而尽可能的耗散外界输入要保护结构中的能量，减小要保护 结构的振动振幅，以达到安全需要。 鉴于m r 阻尼器的复杂性和多样性，必须选定一种合适的数学模型来描述它 的动力学特性。如选用b i n g h a m 模型来线性模拟m r 阻尼器的动力学特性，并已 浙江大学烦i ：学位论文 取得了较为良好的控制效梨3 ”。但是，在实际阻尼器中，b i n g h a m 模型并不能模 拟出阻尼器的滞迟特性。因此，在本文的研究工作中，作者采用了b o u c w e n 模 型来描述m r 阻尼器的动力学特性，在考虑阻尼器的滞迟特性的基础上，b o u c w e n 模型将比b i n g h a m 模型更能准确的反映了m r 阻尼器的特点，具体的动力学描述 将在第四章详细给出。 1 2 本文的主要工作 本文的第二章简单介绍了利用h a m i i t o n 系统的可积性与共振性等性质导出 的随机激励的耗散的h a m i l t o n 系统的精确平稳解及拟h a m i l t o n 系统的随机平均 法。第三章简单介绍了随机最优控制的基本概念与动态规划方法，然后论述基于 拟h a m i i t o n 系统随机平均法与b e l i m a n 最优性原理的非线性随机最优控制策略， 并简单介绍了应用e r m r 阻尼器的半主动随机最优控制。第四章提出了个使用 m r 阻尼器的非线性滞迟系统的半主动随机最优控制策略，接着在高斯白噪声的 外激和参激两种激励的情况下分别进行了讨论。最后针对车辆混合悬挂系统中的 随机最优控制进行了研究。 浙江人学坝i 毕业论文 第二章拟哈密顿系统的随机平均法 近几年来的研究表明，对于多自由度强非线性随机结构动力学系统，哈密顿 提法较之拉格朗日提法有许多优点，因为哈密顿动力学中可积性与共振性概念对 了解各自由度之间在相空间中的全局关系很有帮助。最早，f u l l e r 3 2 】在评述精确 平稳解时将非线性随机系统表示成随机激励的耗散的哈密顿系统的形式。随机激 励的耗散的哈密顿系统指原哈密顿系统基础上加上随机激励及耗散构成的系统。 上世纪8 0 年代术与9 0 年代初，s o i z e 3 3 , 3 4 , 3 5 与z h u 等 3 6 , 3 7 1 用随机激励的耗散的哈 密顿的提法推广了非线性随机系统的精确平稳解。然而，所有这些精确平稳解皆 具有能量等分之性质。9 0 年代中，z h u 与y a n g 3 8 】运用哈密顿系统的可积性与共 振性等概念及泊松括号的性质，首次得到了非能量等分的非线性随机系统的精确 平稳解。在此基础上，z h u 等 3 9 , 4 0 1 提出了随机激励的耗散的不可积与可积哈密顿 系统的等效非线性系统法。与此同时，z h u 等【9 】运用哈密顿系统的可积性与共 振性等概念及k h a s m i n s k i i 的一个定理提出了拟可积与拟不可积哈密顿系统的随 机平均法。最近，z h u 与h u a n g 将精确平稳解推广于随机激励的耗散的部分可积 哈密顿系统【4 i j 与同时受谐和随机激励的耗散的可积哈密顿系统【4 引，提出了随机 激励的耗散的部分可积哈密顿系统的等效非线性系统法【4 3 】与拟部分可积哈密顿 系统的随机平均法【4 4 1 。这样基本上形成了一个非线性随机动力学与控制的哈密 顿理论框架【4 ”，在该理论框架内可统一处理单自由度与多自由度、线性与非线 性( 特别是强非线性) 随机动力学与控制系统，为深入研究多自由度非线性随机动 力学与控制系统打下了良好的基础。本章的内容将主要介绍z h u 等提出的随机 平均法理论。 2 1 从l a g r a n g e 方程到h a m i l t o n 方程 一个系统，若其运动可用一组h a m i l t o n ( 正则) 方程描述，就称它为 h a m i l t o n 系统。h a m i l t o n 方程通常由l a g r a n g e 方程经l e g e n d r e 变换导得。 考虑一个”自由度理想、完整、有势的动力学系统，以吼与击分别表示广义 位移( 坐标) 与广义速度，= z ( q ，口，r ) 表示l a g r a n g e 函数，q = h g ：q 。 7 ， 由h a m i l t o n 原理 j f ( g ，口，f ) d r = o ( 2 i 1 ) 浙江大学硕i 二毕业论文 可导出如下l a g r a n g e 方程【4 6 1 丢嚣嚣- o ，h 名，” 旺m ， 该方程之解在几何上为n 维位形空间中的轨线，通过该空间中任点，可有无穷 多条孰线，因而在理论研究中很不方便。可以将广义位移与广义速度组成状态矢 量，将l a g r a n g e 方程化为状态方程，以克服上述不便，但更方便的做法是引入广 义动量，将l a g r a n g e 方程化为以广义位移与广义动量为基本变量的h a m i l t o n 方 程。 广义动量定义为 b ：罢，f _ 1 ，2 ，n ( 2 1 3 ) o q ， ( 2 ，1 3 ) 称为由l a g r a n g e 函数l 生成的l e g e n d r e 变换。设l 对疵的h e s s e 式不为 零，即 d e t l 黑| o ( 2 1 - 4 ) l 田，田，j 则( 2 1 - 3 ) 为非奇异变换，可逆，其逆变换也是l e g e n d r e 变换。据l e g e n d r e 变 换的逆变换定理f 4 7 1 ，( 2 小3 ) 之逆变换的生成函数为 t a 吼一l ) * _ n = h ( q ，p ，t ) 式中重复下标表示求和，下同，p = 瞻p 2 岛r 。而逆变换为 亩：罢，f = 协一，。 同时，j 下逆变换的生成函数三与日之间有如下关系式： _ 1 - 1 ：一兰，f - 1 ，2 ，” o q 。o 遥。 由( 2 1 2 ) 、( 2 i - 3 ) 及( 2 1 7 ) 可得 a ：一掣，川，2 ，。 c q 。 ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) ( 2 i 8 ) 浙江大学硕j ：毕业论文 组合( 2 1 6 ) 与( 2 1 8 ) 就得到以吼，p ，为基本变量的h a m i l t o n 方程 宜：_ o h ，直：一_ o h ，f - 1 ，2 ，h ( 2 1 9 ) 吼2 西n 一瓦”1 如川 “- 叫 该方程与l a g r a n g e 方程( 2 1 - 2 ) 等价。q i , p ，称为正则( 状态) 变量，由它们组成 的状态空间称为系统的相空间，h ( q ，p ，f ) 称为h a m i l t o n 函数。 将( 2 ，1 5 ) 代入( 2 1 1 ) ，得到另一形式h a m i l t o n 原理 j f 2 ( b 口，一t c ( q 川p ) ) t i t = o ( 2 1 1 0 ) 它与( 2 1 1 ) 等价。两者的区别在于，( 2 1 ，1 ) 中，仅吼为独立变量，它们在积 分上、下限为固定值，积分为n 维位形空间中的作用泛函，而( 2 1 1 0 ) 中，吼与 p 同为独立变量，它们在积分上、下限上之值固定，积分为2 n 维相空间中的作用 泛函。h a m i l t o n 方程( 2 1 9 ) 亦可从修f 的h a m i l t o n 原理( 2 1 - 1 0 ) 导得。 以z = 矿p 7 r 记2 n 维正则( 状态) 矢量，将h a m i l t o n 函数改写成h ( z ，t ) ，再以 d = o o z a 恕o 。r 记梯度算子矢量，则h a m i l t o n 方程( 2 1 9 ) 可改写成 2 = j d h ( z ，)( 2 1 1 1 ) 式中 卜i o l ： ol ( 2 1 - 1 2 ) 为单位辛矩阵，厶为”n 单位阵。辛矩阵j 具有下列性质： h a m i l t o n 方程( 2 1 9 ) 与( 2 1 1 1 ) 的耦对性决定了h a m i l t o n 系统在相空间中具 有辛结构。 2 2 哈密顿系统简介 考虑一个n 自由度哈密顿系统由以下哈密顿方程表示 口，：婴( 2 2 1 a ) 2 1 g j2 _u 粥 浙江大学坝【：毕业论文 直：一掣( 2 2 1 b ) o 吼 i = 1 , 2 ，一，n 这里q ，和p ，是相应的广义位移和广义动量：h = h ( q ，p ) 是连续一阶可导的哈密 顿函数。一个疗自由哈密顿系统，如果仅存在哈密顿函数日这一独立的运动积分， 则称该哈密顿系统是不可积的。如果存在疗个独立的、两两对合的运动积分 h ，( f = 1 , 2 ， 1 ) ，就称它为完全可积哈密顿系统。所谓两两对合，就是任意两个 h 的p o i s s o n 括号为零，即 【，珂j = 0 ，f ，= 1 , 2 ，n( 2 2 2 ) 式中【，】表示p o i s s o n 括号，即 旧一】：_ o h , _ a h j 一婺拿 ( 2 2 - 3 ) 。 印ko qko qk 印k k = 1 ，2 ，一，月 完全可积的哈密顿系统的另一个定义可表述如下：若对门自由度哈密顿系统 f 2 2 1 a ) - 与( 2 2 一l b ) ，存在如下的正则变换 ，= ，( g ，p )( 2 2 - 4 a ) 只= b ( 口，p ) ( 2 2 4 b ) i = 1 , 2 ，一，- 使得新的哈密顿方程具有如下f 则形式 扛一嘉州) - 0 毋，= 暑h ( ，) 州) ( 2 2 一s a ) ( 2 2 5 b ) i = 1 , 2 ，- 一，” 上式中，只及国，分别为作用量、角变量及频率，( ，) 为新的哈密顿函数，它与 角变量只无关，就称( 2 2 - 1 a ) ( 2 2 1 b ) 为完全可积哈密顿系统。此时，由方程( 2 2 - 5 a ) 与( 2 2 5 b ) 积分可得 ，= c o t i s i ( 2 , 2 6 a ) 浙江大学硕士毕业论文 0 ，= 0 9 。( ，) f + t i = 1 , 2 ，- - ，h 其中占，是任意常数。，和5 ，构成了2 n 个积分常数， 独立的运动积分，它满足如下的方程 ，】= 0 ( 2 2 6 b ) 于是，可以作为 t 个特殊的 ( 2 2 7 ) f ，j = l ，2 ， 得到给定的哈密顿系统的作用角变量的一个方法是解与系统相应的哈密顿 雅可比方程。然而除了一类可分离力学系统外，这通常是一件困难的工作。其中 一类更简单的可分离的子系统中哈密顿函数本身是n 个独立的运动积分之和，即 日= h ，( g p ) ( 2 ，2 8 ) j 4 i 当存在如下共振关系时 ? ，= 0 ，i = 1 , 2 ，一，n ，“= 1 , 2 ，一，口( 2 2 9 ) 其中时为整数，此哈密顿系统称为共振的。当其振关系个数盘= - 一1 时，称为完 全共称的；当共振关系数a 满足关系1 口 h 一1 时，称为部分共振的；当口= 0 时， 称为非共振的。一个, v 自由度完全可积哈密顿系统的相迹分布在1 维环面上，完 全共振哈密顿系统的相轨线在行维环面上是封闭的，即运动是周期的：非共振哈 密顿系统的相轨线均匀地覆盖在订维环面上，运动是概周期的，在n 维环面上具 有各态历经性质，即时间平均等于空间平均；部分共振的哈密顿系统的相轨线则 介于两者之间。引入角变量之组合 虬= 群b ，i = 1 , 2 ，n ，“= 1 ，2 ，o r ( 2 2 一l o ) 当存在口个共振关系时，= 彤4 。考虑如下的函数 g i = g i ( i ，厶，) ( 2 2 11 ) 它满足如下方程 i n , g 】 _ h , g i = 善 酉o h 酉o g l 一嚣筹】- o ( 2 2 - 1 2 ) 2 3 拟哈密顿系统随机平均法 随机平均法是研究随机振动问题的有效方法，它可使所研究系统的自由度大 浙江大学硕七毕业论文 大降低，并可保留原系统的主要性质，可以说，随机振动理论的许多重要结果都 是在随机平均法基础上得到的。随机平均法主要有标准随机平均法及能量包线随 机平均法，前者适用于宽带随机激励的多自由度拟线性随机系统，后者适用于单 自由度强非线性随机系统。近几年来，朱位秋等利用哈密顿系统的可积性与共振 性概念，提出了拟哈密顿系统的随机平均法，并将它应用于拟哈密顿系统的随机 稳定性、随机分叉、可靠性及随机非线性反馈控制等，证明了该法是一研究多自 由度强非线性随机系统的有效方法。 2 3 1 拟不可积哈密顿系统随机平均法 考虑一个”自由度的随机激励的耗散的哈密顿系统，其运动方程为 龟= 豢 叫a ) p 薏一勺等+ 绷f ) ( 2 3 - i b ) f ，= 1 ，2 ，雄；女= 1 ，2 ，m 其中q 和p 是相应的广义位移和广义动量；日。= 。( q ，p ) 是二次可微的哈密顿 函数：= c j j ( q ，p ) 是可微函数； = 磊( q ，p ) 是二次可微函数，表示激励的幅 值：暇( f ) 是s t r a t o n o v i c h 意义下的高斯白噪声，它的相关函数是 e ( f ) 彤( ，+ f ) 】= 2 d , ，j ( f ) 女，z = 1 ，2 , - - , 埘( 2 3 2 ) 由方程( 2 3 一l a ) 和( 2 3 1 b ) 所描述的系统通常情况下是非线性系统。在( 2 3 1 b ) 的右 边的第一个求和项代表示一系列的线性和( 或) 非线性的阻尼力，而第二个求和项 包括高斯白噪声的外激和( 或) 参激。 方程( 2 3 1 a ) 与( 2 3 - l b ) 等价于下列的一组i t f i 随机微分方程 蝈= 豢研 ( 2 3 - 3 a ) 啦= ( - 詈一勺瓦8 i f + 巩磋) 击+ 厶碱( 2 3 - 3 b ) f ，j = 1 ，2 ，n ；女，= 1 ，2 ，一，研 其中，b ( r ) 是w i e n e r 过程。方程( 2 3 3 b ) 右边的双重求和项是w o n g - z a k a i 修正 项。此项通常可以分解为保守力部分和阻尼力部分：其中保守力部分与原保守力 起构成新的哈密顿函数h = h ( q ，p ) 且有o h o p ，= 甜犯。而阻尼力部分与 原阻尼力一起构成等效阻尼力a 叫哆。这样式( 2 3 3 a ) 和( 2 3 - 3 b ) 可改写为如 4 浙江大学硕士毕业论文 下形式 d o 。：咝出 “搬 必- _ ( 鬻棚f 等胁厶础) ( 2 3 _ 4 b ) i ，j = 1 , 2 ，磁k = 1 , 2 ，m 设随机激励的耗散的哈密顿系统由( 2 3 4 a ) 年1 1 ( 2 3 4 b ) 支配，且当该方程无阻 尼及随机激励时为一完全不可积的哈密顿系统，其哈密顿函数h = h ( q ，p ) ，应 用式( 2 3 4 a ) 和( 2 3 4 b ) 及t 6 微分规则，可得如下关于h 的l t 6 随机微分方程 d h = e ( 飞酉o h 瓦o h + 巩厶厶器) d t + 8 i 2 酉o h 厶以 ( 2 3 _ 5 ) 以哈密顿函数h 作为新的变量代替原变量只，由于哈密顿系统是不可积的， 并且阻尼较小，高斯白噪声激励较弱，则哈密顿函数h 是一个慢变过程，而广 义位移2 ，q 2 ，q 和广义动量县，只是快变过程。根据k h a s m i n s k i i ( 1 9 6 8 ) 定 理，当s 斗0 时，在时间区间0 r t ( t o p “) ) 上日弱收敛于一维扩散过程， 即对于小参数占，过程h 的一次近似可以用一个扩散过程来代替。 这个扩散过程的且j 微分方程可以通过对方程( 2 3 一1 ) 应用时间平均来得到。 利用方程( 2 3 4 a ) l 擗1 个( 或第n 个) 方程，在保持为常数时，时间平均可以用 对q 1 ( 或q ) 的空间平均来代替。为了在平均后的i t 6 微分方程中消去q 2 ，q ， b ，只，将得到的方程对q 2 ，g ，b ，只进一步进行平均。最后一步包括了 各态历经的假设，平均后关于h 的i t 6 微分方程给出如下 d h = e u ( h ) d t + gn 2 v ( h ) d b ( t ) ( 2 3