（信号与信息处理专业论文）纯二维提升小波设计及其在数据压缩中的应用.pdf

摘要 图像编码是数字图像处理的重要分支，广泛应用在各种图像视频编码的传 输、存储和检索系统中。自2 0 世纪8 0 年代以来，小波变换因其特有的多分辨 率分析能力被广泛应用于图像视频编码领域，取得了很好的效果。小波编码是 变换编码新的、重要的发展方向，随着j e p g 2 0 0 0 的推出，可以预见小波编码将 成为图像视频编码的主流技术。 本论文主要研究了纯二维小波及其提升格式，以及适用于该变换的二叉树 编解码压缩算法。文中首先简要地介绍了一维小波变换、多分辨分析以及正交 小波的分解与重构算法。接着研究了二维可分离小波的分解与重构算法和小波 提升方案。结合小波变换图像编码的基本思想，介绍了s p i h t 编码算法。 基于全相位列率滤波理论，设计了全相位内插滤波器组，对其加窗得到一 维加窗全相位i d c t 滤波器。将设计的全相位内插滤波器用做小波提升格式中的 预测和更新滤波器，详细介绍了纯二维小波变换提升格式的实现过程。经过纯 二维小波变换后，分析各分解子带小波系数金字塔排列的特点，借鉴典型的 s p i h t 小波编码算法的思想，设计了二叉树小波编解码算法，并详细给出了二 叉树编解码实例。 最后用m a t l a b 程序实现了图像的纯二维提升小波变换和二叉树编码算法， 二叉树解码和小波反变换重建图像。对经典的测试图像做压缩，将得到的实验 结果与传统的小波编码算法s p i h t 做比较，在低比特率情况下，得到了好的压 缩效果。 关键词：小波变换；提升格式：全相位i d c t 数字滤波器；加窗全相位i d c t 数 字滤波器；五株采样；二叉树编码 a bs t r a c t t l 舱i m a g ee n c o d i n g ，w h i c hi sas i g n i f i c a n tb r a n c ho fd i g i t a li m a g ep r o c e s s i n g ， i se x t e n s i v e l ya p p l i e di nv a r i o u st r a n s m i t t i n g , s t o r a g ea n dr e t r i e v a ls y s t e m so fi m a g e & v i d e o s i n c e19 8 0 s t h ew a v e l e tt r a n s f o r mh a sb e e nw e l la p p l i e di ni m a g e & v i d e o e n c o d i n gf i e l d sf o ri t ss p e c i a lc a p a b i l i t yo fm u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s w a v e l e t e n c o d i n gi san e wa n dv i t a ld e v e l o p m e n td i r e c t i o ni nt r a n s f o r me n c o d i n g w i mt h e p r o c l a m a t i o no fj e p g 2 0 0 0s t a n d a r d ，w a v e l e te n c o d i n gw i l lb et h em a i n s t r e a m t e c h n o l o g yi ni m a g e & v i d e oe n c o d i n gf i e l d s i nt h i sp a p e r , t r u e2 一dw a v e l e tt r a n s f o r ma n di t sl i f t i n gs c h e m ea n db i n a r yt r e e w a v e l e te n c o d i n g & d e c o d i n ga l g o r i t h mt oi m a g ec o m p r e s s i o nw h i c hi ss u i t a b l ef o r t h i sw a v e l e ta r em a i n l ys t u d i e d f i r s to fa l l ，1 - dw a v e l e tt r a n s f o r m ，m u l t i r e s o l u t i o n a n a l y s i s a n do r t h o g o n a lw a v e l e td e c o m p o s i t i o n & r e c o n s t r u c t i o na l g o r i t h ma r e b r i e f l yi n t r o d u c e d s e c o n d l y , t h es e p a r a b l e2 - dw a v e l e tt r a n s f o r m ，i t sd e c o m p o s i t i o n & r e c o n s t r u c t i o na l g o r i t h m a n dl i f t i n gs c h e m ea r ed i s c u s s e d w i t ht h eb a s i ci d e ao f w a v e l e tt r a n s f o n t li m a g ee n c o d i n g , s p i h te n c o d i n ga l g o r i t h mi si n t r o d u c e d i nt h ef o l l o w i n g , t h es a m p l i n go f2 - dd i s c r e t es i g n a li sd i s c u s s e d ，a n da l lp h a s e i n t e r p o l a t i n gf i l t e rb a n k sa r ed e s i g n e db a s e do nt h et h e o r yo fa l lp h a s es e q u e n c y f i l t i n g u s i n gt h ea l lp h a s ei n t e r p o l a t i n gf i l t e rb a n ka st h ep r e d i c t i o na n du p d a t e f i l t e ri nw a v e l e tl i f t i n gs c h e m e t h er e a l i z a t i o no ft h et r u e2 一dw a v e l e tt r a n s f o r mw i t h l i f t i n gs c h e m ei s i n t r o d u c e di nd e t a i l a f t e rt h et r u e2 - dw a v e l e tt r a n s f o r m ， c o n s i d e r i n gt h ec h a r a c t e r i s t i c so f w a v e l e tc o e f f i c i e n t si na l ld e c o m p o s i t i o ns u b - b a n d s a n dt h eb a s i ci d e ao fc l a s s i c a ls p i h tw a v e l e te n c o d i n ga l g o r i t h m ，b i n a r yt r e e w a v e l e te n c o d i n g & d e c o d i n ga l g o r i t h m sa r ep r o p o s e dw i t hd e t a i l e di n s t a n c e f i n a l l y , t h et r u e2 - dw a v e l e tt r a n s f o r mo fi m a g e sw i t hl i f t i n gs c h e m e ，b i n a r y t r e ee n c o d i n ga l g o r i t h ma n da r er e a l i z e dw i t hm a t l a bp r o g r a m c o r r e s p o n d i n g l y , b i n a r yt r e ed e c o d i n ga n dw a v e l e ti n v e r s et r a n s f o r ma r ec a r r i e do u tt or e c o n s t r u c tt h e i m a g e s w h e nc o m p r e s s i n gt h ec l a s s i c a lt e s ti m a g e s ，t h er e s u l t si n d i c a t et h a tt h e c o m p r e s s i o ne f f i c i e n c y i sb e t t e rt h a nt h et r a d i t i o n a lw a v e l e te n c o d i n ga l g o r i t h m s p i h ta tl o wb i tr a t e s k e yw o r d s ：w a v e l e tt r a n s f o r m ，l i f t i n gs c h e m e ，a p i d c td i g i t a lf i l t e rb a n k ， w a p i d c t d i g i t a lf i l t e rb a n k ，q u i n c u r m ，b i n a r yt r e ec o d i n g 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发 表或撰写过的研究成果，也不包含为获得云洼王些太堂或其他教育机构的学 位或证书而使用过的材料。与我同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：动砌勺 签字日期：w 磁年月) 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解丞洼王些太堂有关保留、使用学位论文的规定。 特授权云洼王些太堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行 检索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意 学校向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：弓砌刍 聊虢韶厅 签字同期：7 卵睁1 月) 日 签字日期：加硝璋7 月日 学位论文的主要创新点 一在全相位理论的基础上，通过选择不同的正交矩阵设计了一类纯二维 全相位滤波器，采用五株采样进行提取和内插，并用提升格式实现，进行了纯 二维提升小波的设计，该方法更加适合人类视觉特性，计算简单，运算量小： 并对全相位i d c t 滤波器加窗，设计了加窗全相位i d c t 滤波器，明显改善了通 带和阻带的纹波，幅频响应不存在过冲现象。 二针对纯二维小波分解后的子带结构和小波系数特性，提出了一种二叉 树编解码算法，该方法明显提高了压缩率，而且主客观评价都要好于传统方法。 第一章绪论 1 1 小波分析发展概述 第一章绪论 小波分析是2 0 世纪8 0 年代后期形成的一个新兴数学分支，近2 0 年得到了 迅猛发展，已经被广泛应用到数值分析、信号处理、图像处理、模式识别、地 震勘测、计算机视觉等领域。 小波分析的发展史可以追溯到1 9 1 0 年。 1 9 1 0 年，h a a r 提出小“波 规范正交基，但当时并没有“小波 的概念； 1 9 3 6 年，l i a l e w o o d p a y e r 提出对频率按2 7 进行划分，这是多分辨分析思想 的最早来源； 1 9 4 4 年，g a b o r 引进了窗口傅立叶变换； 1 9 4 6 年，g a b o r 创立了视频相位空间理论，这是最早的非正交小波； 1 9 8 1 年，法国地质物理学家m o d e t 首先提出y d , 波分析( w a v e l e ta n f l y s i s ) 的概念； 1 9 8 4 年，m o 订e t 在分析地震波的局部性质时，发现传统的f o u r i e r 变换难 以达到要求，将小波分析这一概念用于信号分析中。 1 9 8 6 年，迎来了真正的小波热，m e y e r 、l e m a r i e 和b a f f l e 先后构造了具有 一定衰减性的小波函数； 1 9 8 7 年，s m a l l a t 提出了多分辨分析的框架，并在此基础上构造了m a l l a t 快速算法； 1 9 8 8 年，d a u b e c h i e s 构造了具有紧支撑的有限光滑小波函数。 最近几年主要研究小波滤波器组的构造，其中最重要的成果之一是s w e l d e n s 等人提出的第二代小波，即基于提升格式的小波变换。 1 2 图像压缩编码发展现状 图像压缩编码的发展至今已走过半个多世纪的历程。其基本理论起源于2 0 世纪4 0 年代末香农( s h a n n o n ) 的信息理论。在这个理论框架下，出现了几种不同 的无失真信源编码，如h u f f m a n 编码、算术编码、词典编码等，但这些方法的 压缩率在有损压缩中比较受限，难以满足大多数图像存储和传输的需要；此后， k u n t 等人提出了基于对象模型的描述，该方法可获得比经典方法高的多的压缩 效率。但由于受到处理复杂度等限制，编码增益也没有理论上预期的好。 第一章绪论 根据应用的要求，人们对有失真压缩进行了深入的研究，有失真压缩的目 的是去除图像视频数据中的冗余信息和对视觉不重要的细节分量，以尽可能少 的码字表示所处理的图像视频信息。 在这个背景下，图像视频压缩领域出现了多种压缩算法。如静止图像压缩 编码的国际标准j e p g ，视频图像编码的国际标准h 2 6 1 、h 2 6 3 和h 2 6 4 等。这 些传统的图像编码方法以信息论为基础，以离散余弦变换( d c t ：d i s c r e t ec o s i n e t r a a s f o r m ) 为核心技术，但是d c t 变换编码的分块处理限制了压缩率，尤其是 在低比特率的环境下，更容易导致方块效应和飞蚊噪声等失真。2 0 世纪9 0 年代 以后出现了许多新的传输媒体，其中，以i n t e m e t 为代表。这对图像浏览和传输 又有了许多新要求，例如嵌入式码流和多分辨码流，这要求在图像压缩算法实 现中，能灵活地提供关于质量、分辨率等的分级结构，这些“灵活性要求同 d c t 变换编码的结构很难有机地结合。 2 0 世纪8 0 年代后期发展起来的具有时频局部特性的小波变换成为信号处 理分析非平稳信号的新的有效工具，也为各种可分级图像编码算法的实现奠定 了基础。小波变换的关键思想是多分辨分析，将其用于小波图像编码中，研究 表明，现在应用中所需的许多特征如多分辨率编码、多层质量控制、嵌入式码 流等均能与小波图像编码结构非常自然地融合在一起，在较大的压缩比下，小 波图像压缩的重构质量明显好于d c t 变换方法。国际化标准组织征集的新一代 具有可分级特性的视频编码标准s v c 的提案中有2 3 是基于小波变换的方案， 可以预见，基于小波的视频压缩编码技术将是未来视频压缩标准的主流技术。 1 3 本论文的研究内容和组织结构 本论文选题来自天津高等学校科技发展基金项目“基于全相位二维提升小 波变换的图像编码技术( 2 0 0 5 1 2 0 9 ) ，主要研究基于全相位提升格式的纯二维 小波变换及其编码方法，进一步提高图形压缩质量。 本论文首先介绍了可分离二维小波变换和图像压缩编码的发展现状及目前 常用的几种小波编码方法；在此基础上引入了全相位列率滤波理论，讨论了纯 二维小波变换，构造了具有五株内插和抽取的纯二维全相位滤波器及其提升格 式；在s p i h t 编码算法的基础上提出了二叉树小波编码算法；最后给出详细实 例说明，并和可分离二维小波变换的s p i h t 编码算法进行分析比较。 本论文的具体章节安排如下： 第一章主要介绍了小波分析和图像压缩编码的发展历史和现状。 第二章对小波分析进行了深入的研究。研究了一维和可分离二维小波变换。 第一章绪论 第三章介绍了小波图像压缩编码的常用方法和图像评价准则。详细分析了 s p i h t 编解码过程，并举例说明。 第四、五章首先介绍了全相位列率滤波理论：然后，设计了一种新型的加窗 全相位列率滤波器，之后讲述了基于五株内插和抽取的纯二维全相位i d c t 滤波 器的设计及其提升格式的实现。 第六章设计了二叉树编解码算法，并给出了实例。 第七章通过实例说明，并与经典的小波编码算法做比较，得出结论。 第二章小波变换 第二章小波变换 弟一早，j 、皮蔓伙 时间和频率是描述信号的两个最基本的物理量。小波分析是一种更合理的 时频表示和子带多分辨分析。利用多分辨分析可以在不同尺度上对信号进行分 解，就可以在任意尺度上对分解后得到的分量进行处理，再根据需要利用小波 分解后的分量重构出原信号或所需信号。 2 1f o u rie r 变换 f o u r i e r 变换是处理线性时不变信号最有力的工具，也是现代信号处理的基 石【l 】o 定义2 1 若厂( f ) r ( r ) ，则夕( 缈) 存在，( t ) 的f o u r i e r 变换为 夕( 彩) ：= s i t ) e - i “d t ( 2 1 ) 尹( 国) 的逆f o u r i e r 变换定义为 肌) ：= 石1e 夕( 缈) e l m t d 缈 ( 2 - 2 ) f o u r i e r 变换可以看作是时间函数在频率域上的表示。事实上，f o u r i e r 变换 频域所包含的信息和时域所包含的信息完全相同，不同的只是信息的表示方法。 所以，f o u r i e r 变换提出了从变换分析的观点来研究函数【2 1 。 然而，f o u r i e r 变换在应用中存在很多不足之处，主要体现在三个方面。 首先，虽然f o u r i e r 变换能很好地刻划信号的频率特性，但几乎不提供信号 任何时域信息，即无时间分辨率。这样就面临着时频局部化矛盾，即若想在时 域上得到信号足够精确的信息，就得不到信号在频域上的信息，反之亦然； ( a ) 周期信号( b ) 有局部变化的信号 图2 1 两种不同类型的信号 第二章小波变换 其次，f o u r i e r 变换只适合时不变信号，不适合非平稳信号，即频率随时间 变化的信号。如图2 1 所示，其中，图2 1 ( a ) 所示的信号可以采用傅里叶变换 进行分析；而图2 - 1 ( b ) 所示的信号，由于含有局部瞬变的成分，因此，用傅里 叶变换分析其局部变化存在局限性； 再有，f o u r i e r 变换在分辨率上存在局限性，分辨率包括频率分辨率和时间 分辨率，形象地说，频率分辨率是通过一个频域的窗函数来观察频谱时所看到 的频率的宽度，时间分辨率是通过一个时域窗函数来观察信号时所看到的时间 的宽度，显然，这样的窗函数越窄，相应的分辨率就越高。 针对f o u r i e r 变化存在的不足，发展了几种解决方法。分别为短时f o u r i e r 变换、时频联合分析、小波变换和子带分解等，下面只介绍较为经典的短时 f o u r i e r 变化和小波变换，其它方法可参考文献【3 】。 2 2 短时f o u ri6 r 变换 为了有效地分析局部瞬变信号，g a b o r 提出了短时f o u r i e r 变换。 定义2 2f e l 2 ( r ) ，g r ( r ) ，贝l j f ( t ) 的短时f o u r i e r 变换( s t f t ：s h o r t t i m ef o u r i e rt r a n s f o r m ) 为： g ( 国，r ) ：= ( f ，g ) = 【厂( f ) g ( f f ) e - i 。t d t ( 2 3 ) 则由厂确定的时间窗和由g 确定的频率窗合在一起就可以起到时频双限的作用 【2 1 ，g ( 缈，f ) 则大致反映了厂( f ) 在时刻为_ ，频率为缈的时频特性。 i ， 图2 - 2s t f t 的时频平面的分辨率示意图 正是由于窗函数的时移和频移，才使得s t f t 具有了时频局部特性。s t f t 是最直观，最简单的时频分析法，其时频平面的分辨率示意图如图2 - 2 所示。 窗口函数是对信号进行时频局部化分析的基本函数，其本身的局部性可由 窗口的尺度来表征。s t f t 确实反映了窗i ：1 位置的局部信息，且改变窗口的位置 第二章小波变换 即可反映不同位置的局部特征。但是，窗口函数的参数一旦确定，窗口的形状 和大小就保持不变，即时域和频域的分辨率就固定了，这对处理局部瞬变信号 有很大的局限性。对高频信息而言，时间区域应相对窄，频率区域应相对宽； 对低频信息来说，时间区域应相对宽，频率区域应相对窄。因此，希望时频窗 的窗口大小可调。 小波( w a v e l e t ) 作为上世纪发展起来的新兴的数学工具，由于其窗口大小可 随频率的变化而变化，能满足局部瞬变信号的处理要求，因而被广泛应用在信 号处理、图像处理、机器视觉、机器故障与监控等方面。 2 3 小波变换 2 3 1 连续小波变换 定义2 3 设函数厂( f ) 口( 尺) ，则( f ) 的中心和关于点口( 口r ) 的分辨率 ( 即厂( f ) 的时间窗中心和窗半径) 分别为： a = = f l 巾) j 2d t 矿jv = 喾 厂( f ) 的f o u r i e r 变换夕( m ) 的中心和关于口( 口r ) 的分辨率( 即厂( f ) 的频率 窗中心和窗半径) 为： 力= 学，2 u = 一 定义2 4 测不准原理( u n c e n a i n t yp r i n c i p l e ) ：i f ( t ) f ( r ) ，对所有 的点口r 和口r ，满足。f a 口夕1 4 ，即时宽和频宽的乘积不小于l 4 。 定义2 5 设( f ) 为一平方可积函数，即( f ) p ( r ) ，若其f o u r i e r 变换 痧( 缈) 满足汐( o ) = 0 ，则按如下方法生成的函数族 虬。 “t a , b ( f ) = ( i t - bl ，啪r ，口o ( 2 - 4 ) 叫小波函数。其中，口是尺度因子， b 是沿f 轴的位移， h 一乃是规范化因子。 定义2 6 由式( 2 4 ) 给出的小波函数族 虬。 可以定义函数( ，) r ( r ) 的 连续小波变换( c w t ：c o n t i n u o u sw a v e l e tr r a n s f o r m ) ( v , , s ) ( o ，b ) ： 第二章小波变换 ( 硝啪) = ( 仉) ii 一e 巾) y ( 学弘 ( 2 - 5 ) 由定义2 3 可以求得y ( f ) 和痧( 彩) 的窗函数的中心和半径，分别记为( f ，a ) 和( 缈，) 。对一组确定的参数( 口，b ) ，小波变换( 睨厂) ( 口，6 ) 所对应的时频窗是 时频中心为( 6 + 谢，缈a ) ，时间窗半径为a a ，频率窗半径为a ，窗r s l 大小 为r 6 + a t - a a 妒, b + a t + a a 月l 竺刿，丝捌i 的矩形窗。尺度因子口的l - 。 l 4口 j 作用是对基小波进行伸缩，它与分辨率是成反比的。l a i 越大，则 ( t l l a l l 越宽， 痧( 缈) 越窄，即时间窗变宽，时域分辨率变低，频域窗变窄，频率分辨率变高， 且频率中心向低频移动；| 口i 越小，则y ( h ) 越窄，痧( h 国) 变越宽，即时间窗 变窄，时间分辨率变高，频域窗变宽，频率分辨率变低，且中心频率向高频方 向移动，如图2 3 所示。小波变换的时频分辨率随尺度a 的变换而变化，改变a 就 改变小波变换的分析区间。这表明小波变换的具有“变焦”( z o o m i n g ) 特性，这 特性决定了它在突变信号处理上的特殊地位及功能。 i ， 图2 3 小波变换的时频平面的分辨率示意图 对于一些应用问题，希望得到尽可能高的时频域分辨率，测不准原理表明 频域窗宽和时域窗宽的乘积不能小于某个常数，即不可能在时域和频域都获得 任意的观察精度，要使频率分辨率提高，就必然牺牲时域分辨率，小波变换可 以根据分析的需要，协调测不准原理中时频窗的这一对矛盾，使它在低频区得 到更多的时间细节，在高频区看到更多的频率细节。 2 3 2 离散小波变换 连续小波变换存在信息冗余，从数据压缩和计算机有效实现的角度出发， 我们希望只计算离散的位移和尺度下的小波变换值，并通过该值重构原信号。 尺度离散化：通常对尺度因子口按幂级数的形式逐步加大，即令a = 口；，其 第二章小波变换 中，a o 0 ，j z 。 位移离散化：通常对位移因子b 均匀抽样，取固定b o ( b o 0 ) 整数倍离散化b ， 当取a = 时，取6 = 础，k z 。 对a 和b 离散化后，得到相应的离散小波函数族为 j ( f ) = 胆( 口o y t - k b o ) ( 2 - 6 ) 最典型的取法是令a o = 2 ，6 n = l ，则函数族变为 i ( f ) = 2 2 y ( 2 7 t - k ) ( 2 - 7 ) 定义2 7 离散小波变换( d w t ：d i s c r e t ew a v e l e tt r a n s f o r m ) ，对应式( 2 5 ) 的c w t ，可以得到如下离散栅格上的小波变换即 ( 厂) ( ，以彰6 0 ) = ( 厂，。= a o 2 厂( f ) ( 口扣一蛾p ( 2 - 8 ) ( 口，6 ) 平面上离散栅格的取点如图2 - 4 所示。图中，a 0 = 2 ，尺度轴取以2 为底的对数坐标，由该图可以看出小波分析的“变焦距 作用，即在不同的尺 度下( 也即在不同的频率范围内) ，对时域的分析点数是不同的。当，。t ) 为正交 基时，对应的正交小波变换没有冗余。 地 图2 - 4d w t 取值的离散栅格 + 计算在离散尺度和位移下的小波变换，以及计算由这些离散点的小波变换 系数对信号的重构，这就是离散小波变换和反变换。在一般框架下的小波变换 仍存在冗余，在图像压缩的应用中，希望有尽可能少的冗余，因此采用正交或 双正交小波对图像进行处理。 2 4 多分辨分析 1 9 8 9 年，8 m a l l a t 受图像编码技术中塔形分解和多速率信号分解思想的启 发，提出了多分辨铂f i ：( m u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s ) 4 1 的概念及小波分解与重构的快 第二章小波变换 速算法m a l l a t 算法 5 1 。使小波理论与经典的滤波方法建立了联系，从而促进 了小波理论在实际中的应用。 2 4 1 多分辨分析概念 定义2 8 令 巧，= 一2 ，一1 ，0 ，1 ，2 ， 为平方可积函数空间r 俄) 中的一函 数子空问序列。如果满足下列条件： 1 ( 嵌套性) c “ 2 ( 稠密性) u y ，= r ( r ) 3 ( 分立性) n = o 4 ( 尺度性) 厂b ) ，当且仅当厂【2 叫工) 5 ( 标准正交性) 函数矽，且移g 一后) ，七z ) 是的标准正交基。 则空间集合，j z 称为依尺度函数矽的多分辨分析。 子空间矿，称为r 似) 逼近空间，根据逼近空间的不同，有多种选择，从而 对应不同的多分辨分析。小波分解就是子空间旷的递归部分。 2 4 2 两尺度关系 在小波分秒r 中，由正交尺度函数矽和正交小波函数妙通过尺度伸缩和平移产 生的正交函数族可用于信号的分解和重构【6 1 。 设尺度函数矽形成的多分辨分析是 巧，歹z ，则 巧，z 的标准正交基 是函数集 力，。( 石) = 2 2 ( 2 7 x - k ) ；k z ，并且有如下双尺度关系： 妒g ) = p 。矽( 2 j k ) ( 2 - 9 ) 七e z 式中p 。= 2 矽g 砀互暑刁办，p k 为两尺度序列。则相应的正交小波为： ( x ) = z ( - 1 ) 而( 2 x k ) ( 2 - 1 0 ) 七e z 此式为另一个双尺度关系。 令是由 妙= 2 j 1 2 y ( 2 7 x - k ) ；k z 线性张成的，并且是r ( r ) 中的闭子空 间，则c _ + 。是巧+ 。中圪的正交补，即_ + = 巧o 可以证明，杪m ，k z j 是 形的标准正交基。 因此，平方可积函数空间可分解为r 似) = o 矽，o 甄。暇o 。特别地， 对任一r 伍) ，可唯一地表示为一个和式厂= ：。，式中暇。 由式( 2 9 ) 和式( 2 1 0 ) 可知，正交小波的双尺度函数为 第二章小波变换 f ( 石) = p ( 以m 。( x ) -月e z l 沙( x ) = g ( 力m ，。( 工) l e z 2 4 3 正交小波分解与重构算法 ( 2 1 1 ) 在多分辨分析的理论框架下，采用基于滤波器组的小波分解与重构算法啊， 使得小波分析从理论研究走向实用。 1 分解算法 设待分解信号厂r 心) 。令在巧中的投影为乃，则乃可以表示为 乃g ) = 口”办七 式中口= ( 乃，办。 ，口，j 为低频系数。 由多分辨分析可知= 巧一o 一。，所以乃又可以分解为 乃( 力= 吁。 红。 + 包。吩。j ( 2 - 1 2 ) ( 2 - 1 3 ) 。钿 式中口川，。= ；q _ l 。= ( 乃，少川，i ，b j - 1 七为高频细节或小波系数。 可见在巧中，乃完全被口m 所表征；在_ 一。和一。中被口川b j - l , k 所表征。 由口卅导出口川，。，屯1 。，即为正交小波的分解。分解过程如图2 - 5 所示。 l _ j i - 、j i tj j l 啼 、 一。一2 w 1 w o 图2 5 分解过程 因为j - l , k ( x ) = 2 ( j - o 2 ( 2 j - i x 一尼) ，代入式( 2 9 ) 可得 令2 后+ 以= ，得 j - l , k ( x ) = 2 胙y p ( 甩) ( 2 7 x - 2 k - ) ( 2 1 4 ) 饥。g ) = p ( ，一2 七溉，x ) ( 2 1 5 ) l e z 因为口川。- - ( f _ ，办- l ， ，代入式( 2 - 1 5 ) 得 a - l 。= 乃，p ( ，一2 七) 力，) = z p ( 1 - z k ) ( f j ，力) = z p ( 1 - 2 k ) a ，j ( 2 1 6 ) le：lez l e z 口川。即为由口， ，分解而得的下一级低频系数。 类似地，以同样的方法可得高频细节系数为 第二章小波变换 。= 硒 ( 2 - 1 7 ) i e z 令r , ( k ) - - - z p - o - 面，由卷积定理得 ) = 虱刁掌口 。对c ) 下采样， ，e z 即只保留偶数下标的元素，记为任) 上2 ，则 口川，。= 乃( 2 后) = c ) 山2 ( 2 1 8 ) 同理，令g ， ) = y , q - - 0 - 面，可得 l c z b j _ l i = g ，( 2 尼) = q ) 山2 ( 2 1 9 ) 2 重构算法 由低频系数口纠。l 和高频系数6 h ；求上一级低频系数口”称为正交小波重 构。重构过程如图2 - 6 所示。 j lj j l 屯jlj j l l 。 w 、7w l7 7w j 屯7w j 7 图2 石重构过程 由式( 2 1 3 ) 可知 ：g ) = 口川，办刈g ) + 吐，川。，b ) l e zi e z 将式( 2 1 1 ) 代入式( 2 - 2 0 ) 得 ( 2 2 0 ) 乃( x ) = ，l2 j t 2 z p ( 以) 矽( 2 x - 2 1 - 刀) | + i2 j l ： z q ( 胛) 矽( 2 7 x - 2 1 - 刀) i l e z l 目e ： j l e z l h ： j 令2 ，+ 刀= k ，得 乃( x ) = 口川，j l p ( 后一2 ，) 力，。l + 包吐，iz q ( k - 2 1 ) q k ，。i l e z l 女e ： j l e zl k e ：j = lz p ( k - 2 1 ) a 川。，+ z q ( k - 2 1 ) b ，防，。( x ) 与式( 2 1 2 ) 相比较可知 。= z p ( k 一2 1 ) a 川 f + q ( k - 2 1 ) b , - l t ， ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) 令a s - 1 2 f = 口一彰- 1 ，2 ，= 6 一j ，即对4 一，岛刈进行内插，其中口；- 1 2 f 和彬- 1 2 ， 的奇数项为零。则式( 2 2 3 ) 改写为 口”= p 一，h ，? + g 亿一，弘 ( 2 2 4 ) l c zl e z 第二章小波变换 进一步用卷积符号表示为 口，j = p g ) a w t + g g ) 6 ；- l i ( 2 - 2 5 ) 小波分解与重构流程图如图2 7 所示。 吩一i d - 哆，u 屯哪 屯小 ( a ) 小波分解流程图( b ) 小波重构流程图 图2 - 7 小波分解与重构流程图 实际上，小波变换与滤波器组在本质上是统一的。正交基与正交小波变换 从数学性质上来说是最理想的，但d a u b e c h i e s 已经证明，除h a a r 基外，所有 正交基都不具有对称性，这对图像编码不可避免地引入相位失真。通过放宽规 范正交基这一条件，构造的具有双正交性质的小波基满足对称性质。c o h e n 和 d a u b e c h i e s 8 】构造了具有紧支性和一定对称性的双正交小波基，v e t t e r l i 和 h e r l e y l 9 】贝0 从理想重构滤波器组理论出发，构造了对称的双正交小波基。 2 4 4 双正交小波 结合小波变换和滤波器组的内在联系，双j 下交滤波器组如图2 - 8 所示，其中， 疗( z ) 和6 ( z ) 分别为低通和高通分析滤波器，日( z ) 和g ( z ) 分别为低通和高通 综合滤波器，并且疗( z ) 和6 ( z ) 分别是日( z ) 和g ( z ) 的对偶滤波器。 图2 - 8 双正交滤波器组 定理2 9 对图2 - 8 所示的两通道双正交滤波器组，对任意输入信号x ( 玎) ， 其精确重建( p r ：p e r f e c tr e c o n s t r u c t i o n ) 的充要条件是 滤波器之间的关系是 疗( i 1 ) h ( z ) + 6 ( 彳1 ) g ( z ) - - o 曰( z 叫) ( z ) + 6 ( z 叫) g ( z ) - - 2 6 ( z ) = z - 1 h ( - z 叫) g ( z ) = z 。1 曰( - z - 1 ) ( 2 2 6 a ) ( 2 2 6 b ) ( 2 2 7 a ) ( 2 2 7 b ) 第二章小波变换 显然，若疗( z ) = 日( z ) ，则双正交滤波器组就变成了正交滤波器组。 双正交小波的构造又源于分析滤波器疗( z ) 和6 ( z ) 及综合滤波器日( z ) 和 g ( z 1 ，由于滤波器之间存在式( 2 2 7 ) 的关系，因此，双正交小波构造的核心 问题就是疗( z ) 和日( z ) 的构造。这和正交小波的构造过程是一样的。 2 5 二维小波变换 多维小波分析也是小波分析的重要内容，其具体的概念和推导可参考文献 2 ，但因多维小波的研究与应用难度较大，除张量积外，滞后了许多。本文只 简要介绍二维小波的相关知识。 2 5 1 二维小波变换的基本概念 定义2 1 0 令厂( 五歹) 表示一个二维信号，工，y 分别表示其横坐标与纵坐标； i b ( x ，y ) 表示二维基小波，则其尺度伸缩与二维位移为 k y ) = ：1y ( 孚，学) ，舢，6 l ，包r ( 2 - 2 8 ) 二维连续小波变换为 ( ) ( 以；6 l ，6 2 ) = ( 厂，；) = ! ae 亡( 毛y ) ( 孚，学弘砂 二维连续小波反变换为 厂( 五少) = 1 气品d 7 aee ( 睨厂) ( 口；6 l ，吃) 沙( 孚，学) 幽蛾 式中 勺4 n - 2 膳错唧哆 二维小波比一维小波复杂的原因在于其尺度伸缩比较复杂， 来表示其尺度因子a ，记 彳= b a ：t 2 ： 将尺度矩阵彳和移位算予魏、如离散化， 定义2 1 1 二维离散小波变换为 ( 2 2 9 ) ( 2 3 0 ) ( 2 3 1 ) 用尺度矩阵a ( 2 3 2 ) 就可得到二维离散小波变换。 第二章小波变换 ( 厂) ( _ ，；啊，伤) = h 叫e 亡厂( x ，y ) 少( a i i x + a i ：j ，一强，a 2 1 x + a 2 2 y n 2 ) d 材y ( 2 3 3 ) 对于一维信号，时间轴上的采样一般总是按二进方式逐级减半进行的，而 对于二维信号，在( 工，y ) 二维平面坐标上采样方式有很多种，具体取决于尺度矩 阵a 的值。根据a 的不同取值，分为可分离采样和不可分离采样，相应的二维 小波变换被分为可分离二维小波变换和不可分离二维小波变换( 即纯二维小波 变换) ，对于不可分离的二维小波变换我们将在第五章详细介绍。本节主要介绍 可分离的二维小波变换。 2 5 2 二维多分辨分析 定义2 1 2 设 巧，z 是口( r ) 空间中的一个多分辨分析，其尺度函数和 小波函数分别为和y ，则张量积空间 呼，_ ，z 构成r ( r 2 ) 中的一个多分辨 分析，其中哆= 巧圆巧，并且其尺度函数矽( 工，y ) = ( z ) 矽( j ，) 。 令二维空间孵为空间哆的补空间，即哆+ 孵= 曙。，z - 4 基d 、波函数为： v o ) ( x ，j ，) = ( 工) y ( j ，) ( 2 - 3 4 a ) 9 ( 2 ) x ，y ) = y ( 工) 矽( y ) ( 2 - 3 4 b ) 缈( 3 ( 石，j ，) = 沙( 石) ( j ，) ( 2 - 3 4 c ) 对于任意的j z ，函数系 j ( , k ，。( 工，y ) = 办，。( x ) y 加( y ) ( 2 - 3 5 a ) 翟。( x ，y ) = ，。( x ) 办。( y ) ( 2 - 3 5 b ) y 裟，。( x ，y ) = 卅( x ) y ，。( y ) ( 2 - 3 5 c ) 构成空间孵的r i e s z 基，又因为哆+ 孵= 啄。，因此函数系 以：。ii = 1 ，2 ，3 ； _ ，k ，m z 是r ( r 2 ) 的一个r i e s z 基。 2 5 3 二维可分离小波分解与重构算法 二维多分辨分析同一维情况类似。将一幅图像采样后的二维离散数据作为 原始数据，则二维d w t 对图像的分解和重构过程如图2 - 9 所示，图中， c ，。 和 d ：，扛l ，2 ，3 分别表示信号在分辨率为时二维小波的离散逼近和离散细节； 九( 刀) 和岛( 刀) 分别表示低通和高通分析滤波器，以( 刀) 和毋( 以) 分别表示低通和 高通综合滤波器；上2 和个2 分别表示抽取和内插。 对 c ，。 先进行行滤波，再进行列滤波，获得四个不同的频带 c i ，。 和 彰“) 吐 吐。j ) ( a ) 分解算法示意图 列滤波 阿。 ) 吐。) ( b ) 重构算法示意图 图2 - 9 二维可分离小波分解与重构算法示意图 吐) 吐) 彰_ j 阻) 纵) 以 图2 1 0 二维信号的多级小波分解塔形结构示意图 第二章小波变换 d 川i i = l ，2 ，3 ，继续对逼近分量 勺i ，。) 按上述过程滤波就可以得到如图2 1 0 所示的塔形分解，图像的重构过程与分解过程的正好相反。 2 6 小波提升格式 至此，小波函数都是由定义在口( r ) 空间上的母函数伸缩和平移所得到的， 因此小波的构造实际上是以f o u r i e r 变换为工具的。对不满足f o u r i e r 变换的函 数或非欧几里得空间，传统的小波变换就无能为力了。 若放弃用