（固体力学专业论文）桩基力学行为分析的数学模型和计算方法.pdf

摘舞 摘要 随着城市建设的飞速发展，高层建筑的大量涌现。桩基由于其具有承载能力 高、稳定性好、基础沉降及差异变形小、沉降稳定性、抗震性能好以及能适应各 种复杂的地质条件等特点而得到广泛使用。这也使得桃j 占动静力学行为的研究 直是建筑领域的难点、重点和热点问题。 本文把桩土系统看成一个整体嵌入桩基的粘弹性半空问，利月 连续介质 力学的方法，建立了桩土相互作用的非线性粘弹性模型：其中把桩基看成是由粘 弹性材料组成具有等圆截面的e u l e r 梁，并受到轴力的作用；同时将土看成山两 种粘弹性介质的圆柱体组成，接近桩周的柱形内层土域视为非线性粘弹性树料， 远离桩周的外层土域视为线性粘弹性材料。在空间柱坐标中分别对桩、内层一i ：域 和外层土域建了相应的边值问题，以及桩一土、内层土域、外层土域满足的连接 条件，利用分离变量法，得到了形式闭合解。从而求得了各阶波形下的非线性上 抗的值以及桩在底部铰接情况下的静态剪切刚度和弯曲刚度。同时本文在频牢域 内研究了水平振动下桩基的非线性动力学特性，考察了轴力对桩基非线性动力学 特性的影响。研究了各种参数如剪切波波速比、无量纲轴力、桩基径长比对、内 域土内外半径比、土的泊松比和阻尼系数等对桩基动力学特性的影响。数值计算 同时也表明：在轴力作用下桩基可能丧失承载能力。i i h i l ，研究桩基的力学行为 时，必须考察轴力的作用。 关键词 桩土系统；桩土相互作用；连续介质力学；水平振动；粘弹性半空间；失稳 桩项刚度 摘受 a b s t r a c t a l o n gw i t hr a p i dp r o g r e s so fc i t yc o n s t r u c t i o n ，al o t o fh i g hb u i l d i n g sw e r e r u s h e do u t b e c a u s eo ft h ec h a r a c t e r so fh i g hc a r r y i n gc a p a c i t y ，g o o ds t a b i l i t y , l i t t l e f o u n d a t i o ns e t t l e m e n ta n dd i s c r e p a n c yt r a n s f i g u r a t i o n ，g o o de a r t h q u a k er e s i s t a n c ea n d b r o a da p p l i c a b i l i t yi nm a n yd i f f e r e n tg e o l o g i cc o n d i t i o no fs o i l ，p i l e sh a v eb e e n w i d e l yu s e d t h e s ea l s om a k es t u d y i n go f m e c h a n i c a lp r o p e r t yo f p i l e sb e c o m eo n eo f t h em o s t i m p o r t a n tp r o b l e m si nc o n s t r u c t i o nf i e l da l lt h ew h i l e t h i sp a p e rt a k e st h es o i la n dt h ep i l ea saw h o l es y s t e m ( v i s c o - e l a s t i ch a l f - s p a c e e m b e d d e dp i l e ) u s i n gt h em e t h o do ft b ec o n t i n u u mm e c h a n i c s ，w ee s t a b l i s h e dt h e n o n l i n e a rv i s c o - e l a s t i cp i l e s o i lm o d e a s s u m e dt h a tt h ep i l ei sae u l e rb e a ma p p l i e d b ya x i sf o r c ea n di s o fc i r c u l a rc r o s s - s e c t i o n ，c o m p o s e dw i t hv i s c o e l a s t i cm a t e r i a l a n dt h es o i li sc o m p o s e do ft w op a r t s ：a no u t e ri n f i n i t el i n e a rv i s c o e l a s t i cz o n ea n da n i n n e rn o n l i n e a rv i s c o e l a s t i cz o n e ( h o l l o wc y l i n d e r ) i nt h et h r e ed i m e n s i o nc y l i n d r i c a l c o o r d i n a t e s ，e s t a b l i s h e db o u n d a r yv a l u ep r o b l e ma n dj o i n i n gc o n d i t i o n ，t h u sw cc a n o b t a i nd i m e n s i o n l e s sh o r i z o n t a lr e s i s t a n c ei nt h ek - t hw a v em o d ea n dt h e s t i f f n e s s o ft h ep i l ew i t ht h ep i n n e dt i p a tt h es a m et i m en o n l i n e a r l yd y n a m i c a lc h a r a c t e r i s t i c s o fap i l ea r es t u d i e di nh o r i z o n t a ld i r e c t i o nv i b r a t i o ni nf r e q u e n c yd o m a i n a p a r a m e t r i cs t u d yo ft h ee f f e c to ft h e s ep a r a m e t e r si si n c l u d e d ，f o re x a m p l et h ew a v e v e l o c i t yr a t i o ，d i m e n s i o n l e s sa x i sf o r c e t h es l e n d e r n e s sr a t i o ，t h er a t i oo fi n n e ra n d o u t e rr a d i u so ft h ei n n e rs o i l ，t h ep o i s o nr a t i oa n dt h eh y s t e r e t i cm a t e r i a ld a m p i n g f r o mt h en u m e r i c a lc a l c u l a t i o n ，w ef i n dt h a tt h ep i l ea p p l i e db ya x i sf o r c ew i l l p r o b a b l yl o s et h el o a dc a r r y i n gc a p a c i t y t h en u m e r i c a lr e s u l t sa l s op o i n to u tt h a ti t i s p o s s i b l et h a tt h ep i l ea p p l i e da na x i sf o r c ew i l l l o s e i t ss t a b i l i t y s o ，w eh a v et o c o n s i d e rt h ea c t i o nt h ea x i sf o r c eo nt h ep i l e k e y w o r d s p i l e s o i ls y s t e m ；c o n t i n u u mm e c h a n i c s ；i n t e r a c t i o no fp i l e s o i l ；h o r i z o n t a lv i b r a t i o n ； v i s c o e l a s t i ch a l o s p a c e ；i n s t a b i l i t y ；d y n a m ics tif f n e s sofd ile 2 第一章绪论 第一章绪论 1 1 引言 随着城市建设的飞速发展，各种高层建筑如雨后春笋般地拔地而起。选择合 理的基础形式是结构设计师面临的首要问题，其中桩基山于承载能力高、控制建 筑物沉降小的特点被广泛应用于高层建筑物中。桩的作用是将上部结构载荷通过 桩传递到土的深部较坚硬、压缩性小的土层和岩层。桩基础( 简称桩基) 是一种 既古老又常见的基础形式，出于桩基具有承载能力高、稳定性好、基础沉降及差 异变形小、沉降稳定性、抗震性能好以及能适应各种复杂的地质条件等特点而得 到广泛使用，包括港口、船坞、桥梁、近海钻采平台、高耸及高重建( 构) 筑物、 支挡结构以及抗震工程中。可以说，桩基是建筑物的一种最为重要的基础形式， 其应用已有数百年的历史。但最近3 0 年来对桩基动力学的兴趣大增，主要理由 是：不需要桩基的建筑场所越来越少，因此桩的应用更为广泛，已显露出一些新 的重要的领域，在高层建筑、重型厂房、桥梁、海上平台、水利设施和核电站等 工程中都广泛地采用桩基础。仅就我国而占，据不完伞统计，平均每年用桩量至 少在几百万根以上，费用约占工程总造价的2 5 。因此，桩基的定性分折、数值 模拟、试验研究以及桩基的检测手段与技术等研究都是国内外岩土工程专家、技 术人员共同关心的问题。t 但是由于桩土工况条件的复杂，特别是土的性质差异性 很大，给建模和求解带来了很大的困难，成为建筑领域的难点、重点和热点。 上海属于软土地区，土质情况比较差，所以桩基的应用更为广泛。一般高于 6 层的建筑物就需要运用桩基。随着城市的发展，建筑物越来越高，单桩的设计 承载力越来越高，达到了以“万k n ”记的水平。为了满足设计承载能力的要求， 往往设计者采用选择桩材料、加大桩身截面和桩长、对持力层进行加固等方法。 虽然影响桩基极限承载力的因素很多，但是最为关键的是桩土问的相互作用力， 特别是在机械载荷或地震载荷等大规模损坏下的桩土问的相互作用。一旦能够精 确的获得桩土问的相互作用力，那么单桩的极限承载力也能够比较精确的得到， 这对于工程结是具有十分重要的意义的。 第一章绪论 1 2 桩土相互作用的研究方法 桩士的相互作用是桩基研究中的一个重要的内容而引起广泛的关注。一h 它 被确定那么桩基的众多力学特性也就解决了。 在经过半个世纪的研究后，形成了三种的主要的计算方法：连续介质力学方 法、地基响应法和数值计算方法。 1 连续介质力学方法 连续介质力学方法基于连续介质理论和框架来建立分析桩基力学行为分析 的数学模型，其巾，桩和士的材料可以是弹性、粘弹性和弹塑性材剃等。山r 这 种方法概念清楚、理论性强，因而在国际上比较流行，得到比较广泛的认nj 。 n o v a k ( 1 9 7 4 ) u 1 基于平面应变假设，将土看成线性耗t i 弹性半空问，首先运用连 续介质力学研究了在线性粘弹性土作用下桩土的相1 i 作用，在其后的一系列文 献【2 矗4 1 中发展和完善了他的理论；a n e s t i s e ( 1 9 8 5 ) 1 56 n o v a k 模型的摧础上提 出了非线性粘弹性模型，得出了在非线性粘弹性情况下的桩士的相互作闩j ： m a t t e r 和p o u l o s ( 1 9 6 9 ) 7 1 、p o u l o s ( 1 9 7 1 ) t 8 、9 1 假定土体为连续弹性体，在弹性半空 间中运用垂直和水平单位荷载作用下土体位移的m i n d l i n 积分解，求解得到了单 桩的力学特性。同时利用m i n d l i n 积分解求解了群桩中各桩的相互影响系数来求 解群桩的力学问题。p o u l o s 和d a v i s ( 1 9 8 0 ) ( 1 0 】研究了土的屈服、土的有限深度和 非均匀土层对桩基的影响；c h e w ( 1 9 8 7 ) i “1 和l e u n g 和c h o w ( 1 9 8 7 ) 1 。2 l 将一维机和 土的m i n d l i n 积分解耦合来求解桩基特性；r o e s s e t ( 1 9 8 4 ) i ”l 总结了在各种七厅：条 件下，给出了分析群桩的简化模型。 2 地基响应法 这种方法是将土对桩的作用力表述为一系列的方程，即p y 或q s 曲线， 通过实验得到桩土相互作用的力。这种方法原理简单、汁算可信度商、实用范田 广，特别是对于复杂工况下桩基力学特性的研究，有其不可替代的作用。它的弊 端在于实验成本大，实验周期长，因而这种方法一般只在大型工程中使用。r e e s e ( 1 9 7 5 ) 【1 4 】、0 n e i l l ( 1 9 8 2 ) i ”1 通过由经验或实验得到的土对桩的特殊曲线来描 述土的非线性作用，对桩土的非线性行为进行了研究；o n e i l l ( 1 9 7 7 ) i 6 1 、b o g a r d 和m a t l o c k ( 1 9 8 3 ) 、b r o w n ( 1 9 8 8 ) 1 1 8 1 提出和改进了修j f 的地基响应法； k r a f t ( 1 9 8 1 ) i 。9 l 和g a z i o g l o u s 和o n e i u ( 1 9 8 4 ) 2 0 】试图得到一些理论曲线柬描述不 第一章绪论 同性质的土层；n o g a m i 和c h e n ( 1 9 8 4 ) 2 1 】和n o g a m i 和p a u l s o n ( 1 9 8 5 ) 1 2 2 】提出了传 递矩阵法；福克特( p o c h t ) 和科克( k o c h ) 将p j ，曲线与弹性理论结合起来，利用 p y 曲线法计算单桩的水平位移来考虑桩土体系荷载位移关系的非线性性质， 利用弹性理论考虑群桩中各桩的相互作用。出于福克特一科克一波洛斯综合法理 论性强，因而目前是一种较为流行的群桩的计算方法。 3 数值计算方法 由于桩基的力学行为的分析十分复杂，直接得到解析解是很困难的。因此常 常采用数值计算方法。包含有限元方法、样条有限元方法、边界元方法和它，【相 组合得到的混合方法等。e l l i s o n ( 1 9 7 1 ) 1 2 3 1 、d e s a i ( 1 9 7 4 ) t 2 引、r e i g s t a d ( 1 9 7 4 ) t 2 5 1 、 c h r i s t i a n o ( 1 9 7 6 ) 2 6 1 r a n d o l p h 0 9 8 d t 2 7 1 、f a r u q u e 和d e s a i ( 1 9 8 2 ) 1 2 s l 利用有限元办法 解决轴向力作用下的桩基的力学问题。同时m u q t a d i r 和d e s a i ( 1 9 8 6 ) f 2 9 j 利用二i 维 有限元模型求解了双曲型本构模型下桩土的相互作用。b l a n c y ( 1 9 7 6 ) 1 3 0 l 和 k u h l e m e y e f ( 1 9 7 9 ) 川首先在频率域内利用有限元方法对线弹性桩土系统的动力 响应问题进行了分析。a n g e l i d e s 和r o e s s e t1 3 2 】( 1 9 8 1 ) 发展了这种有限元的方法， 在某些条件下提出非线性粘弹性的线性化方法，对非线性的桩土系统进行了研 究。a r i s t o n o u sm ( 1 9 9 1 ) 1 3 3 j 利用有限元方法系统研究了在弹塑性模型下的桩：t 划移、间隙等对桩土相互作用的影响。b e l n e i j e e ，b u t t e r f i e l d ( 1 9 7 1 ) 。”1 对于弹 性模型，应用m i n d l i n 基本解建立了边界积分方程，较早地应用边界元法求解了 桩土相互作用的问题。近年来有人应用边界元方法、有限元耦合法，边界元方 法、差分法耦合法。有限元方法、无限元耦合法等耦合法、联合法求解了桩二 ：相 互作用问题，都是一些比较有效的方法。此外，还有半解析无限元法，将一二体连 续介质沿一维离散成径向无限延伸的土体片等。 在上述三类方法中，连续介质模型是比较合理的，往求解桩土相互作用问题 时是比较有效的。此类方法的公式直接，可应用到弹塑性问题、粘弹性问题及稳 定状态和瞬时地下水渗透问题等。地基响应法，山于是通过实验得到土对桩的作 用的力，即p y 或q s 曲线，因而能够较好地刻画了桩土系统的实际工况条1 ，| ：。 可以得出在轴向荷载分布、沉陷值、弯矩和剪力方面令人较满意的结果。但是由 于其高昂成本只在重大工程中大规模使用。随着科技的发展，计算机速度的极大 第一章绪论 提高，数值计算方法特别是有限元法在桩基的研究r p 起着越来越大作只j 。但煺出 于有限元法计算工作量大，耗时多而且成本商。将边界元法或其他方法和有限 元法联合形成的耦合法，可以发挥了它们各自的优点，将可能是一利比较有效的 方法。 1 3 本文的主要工作和结论 在以往的研究中，考虑桩基水平振动时往往忽略了榭! 顶轴力对桩土榭作用 系统的影响。但是目前设计的单桩承载力已高达“万删”记的水平，忽略轴向 力的影响可能会造成桩基的失稳。事实二，轴向力对卅堆的水i f 振动将产，l - t j , 人 的影响。 本文把桩一土看成一个嵌入桩基的粘弹性半空问，其c h 桩基被看成是线 性粘弹性材料组成的，受轴力作用的e u l e r 梁，其截面为半径为风l 的圆：l 司时 土被分为两个区域接近桩周的内层土域和远离桩周的外层土域，其。h1 讨行 为由非线性粘材料组成的内外半径分别为r o 和埔的圆柱体，后者为由线性朴材 料组成内半径为尺l ，外半径为无限大的圆柱体。在空问杜坐标系中，分别山e u l e r 梁理论和连续介质力学的方法，建立了桩基、内层土域和外层土域的动力微分方 程、边界条件，同时给出了桩基和内层土域以及内外层上域之叫满足的位移和应 力连接条件。这是一个桩土及内层土域和外层二j ：域耦合的非线性边值问题。直 接求解非常的困难。本文中，通过引入纵向和剪七u 波势函数，将内层土域以及内 外层土域的边值问题化为波势函数满足的泊松方程，然后采用分离变量法进行求 解。为了避免直接求解由内层土域的材料非线性引起的非线性问题求解的困难， 本文中采用了一种线性化技巧1 3 2 1 ，利用反复叠代的方法来得到土对桩基的抗力 尸例，进而求得桩基在各种边界条件下的桩基动、静态刚度的值。在本文中还进 行了大量的参数研究，例如，考察了无量刚轴力、桩的 乏径比、内层一卜的内外半 径比、士的泊松比以及土的阻尼等对桩基动、静刚度的影响，得到了一些有益于 工程实际的结论。在本文巾还发现了一些新的现琢，例如，受轴力作用的桃堆有 可能会丧失承载能力，并且研究了各种参数划桩基承载能力的影h i _ 。 第一章绪论 提高，数值计算方法特别是有限元法在桩基的研究中起着越来越大作月1 。但是山 于有限元法计算工作量大，耗时多而且成本高。将边界元法或其他方法和有限 元法联合形成的耦合法，可以发挥了它们各自的优点，将可能是一种比较有效的 方法。 1 3 本文的主要工作和结论 在以往的研究中，考虑桩基水平振动时往往忽略了桩项轴力对桩土相且作用 系统的影响。但足目前设计的单桩承载力已高达“万k ”记的水平，忽略轴向 力的影响可能会造成桩基的失稳。事实上，轴向力对机蔡的水j r - 振动将产， i 很大 的影响。 本文把桩一土看成一个嵌入桩基的粘弹性半空削，其中，桩基被看成是| 1 i 线 性粘弹性材料组成的，受轴力作用的e u l e r 梁，其截面为半径为r o 的圆；同时 土被分为两个区域接近桩周的内层土域和远离桩周| ，佝外层土域，其中，l l i 嚣 为由非线性粘材料组成的内外半径分别为尺。和局的圆柱体，后者为由线性粘材 料组成内半径为尺l ，外半径为无限大的圆柱体。在空问柱坐标系中分别山e u l c r 梁理论和连续介质力学的方法，建立了桩基、内层土域和外层二t 域的动力微分方 程、边界条件，i 司时给出了桩基和内层土域以及内外层上域之间满足的位移利应 力连接条件。这是一个桩土及内层土域和外层土域耦合的非线性边值问题。直 接求解非常的困难。本文中，通过引入纵向和剪切波势函数，将内层土域以及内 外层土域的边值问题化为波势函数满足的泊松方程，然后采用分离变量法进行求 解。为了避免直接求解由内层土域的材料非线性引起的1 f 线性问题求解的困难， 本文中采用了一种线性化技巧【”i ，利用反复叠代的方法束得到土对桩基的抗力 p o ) ，进而求得桩基在各种边界条件下的桩基动、静态刚度的值。在本文中还进 行了大量的参数研究，例如，考察了无量刚轴力、机f 内k 径比、内层二 二的内外! # 径比、士的泊松比以及土的阻尼等对桩基动、静月0 度的影响，得到了一些有益于 工程实际的结论。在本文中还发现了一些新的现象，例如，受轴力作用的桩& 有 可能会丧失承载能力，并目研究了各利参数对桩基承载能力的影响。 可能会丧失承载能力，并目研究了各利参数对桩基承载能力的影响。 第二章模型的建立 第二章桩一土相互作用的连续介质力学模型 本章建立了桩、土的物理模型，并对物理模型进行了拙述提出了这一模犁 下的基本假设，同时建立桩土相互作用的非线性粘弹性模型。 2 1 物理模型和基本假设 2 1 1 物理模型及其描述 采用空间柱坐标( ，口，z ) ，将桩土系统模型简化为一个嵌有桩基的粘弹性 半空间( 如图1 所示) 。其中将桩基看成是由线性粘弹性材料组成，受轴力n 作 用的e u l e r 梁，其半径为r o ，弹性模量为e ，材料滞后阻尼为厶，密度为p ，。 而将士看成是由内层土域和外层土域组成的粘弹性半无限体。其中，前者为非 线性粘材料组成的内外半径分别为月。和置的圆柱体，翦切模量为g 一材料滞后 阻尼为六，密度为p 一后者为山线性粘材料组成内? i j 径为r i ，外! p = f = 为无m 大 的圆柱体，剪切模量为g ，材料滞后阻尼为 ，密度为p ，土层厚为。 内 外 j ) 、歹芙、! r 。 、澎 7 且i 图l 物理模型 第二帝模型的建一 2 1 2 模型的基本假设 为了便于分析我们还将做如下假设： ( 1 ) 桩基被看成由各向同性，均匀线性粘弹性材料组成的e u l e r 梁，其横截i i i i 为 具有半径为r o 的圆长为h ，并受轴力的作用； ( 2 ) 内层土域( 简称为内域) 为由非线性粘弹性材料组成空心圆柱体，其内外半 径分别为r o 和r i ，土厚为日： ( 3 ) 外层土域( 简称为外域) 为出线性粘弹性材料组成的无穷大空心圆柱体，其 内半径为月l ，土厚为h ： ( 4 ) 桩和土，内域和外域之间不脱离，土体表面为自山表面； ( 5 ) 忽略垂直振动的影响，只考察桩基的水平振动。 2 2 内层土域的非线性模型 为了简化分析，对于内层土域本文采用双曲型非线性粘弹性模型”，当忽略 载荷循环次数和激励周期的影响时。则内层非线性土层的剪切模量g 。和阻尼系 数靠可表示为 n g 2 而。 ( 2 1 ) 己= 乎+ 毒。( 1 一要) l ， 其中口为系数，g 为士域在自然状态下的剪切摸量，尹为平均剪应变， 定义为 尹= 死j - ( r i 2 - 一r 0 2 ) rf 5j ：l 陋 ( 2 2 ) 从上式我们可以看出在内层土域中，出于桩土的非线性棚互作_ j 比较强，剪切模 量g 。将明显降低阻尼系数专，将增大。因丽这 i ， i t l i 模型征一定程度上模拟了 桩土之间的非线性相互作用。 第二市模型的建且 2 3 桩土相互作用的非线性数学模型 3 3 1 桩基的数学模型 为了便于求解问题，则静态桩基位移i 。( z ) 满足的微分方程为 即，等+ 等卅 仁， 令桩基的水平位移为”，【z ，f ) = 订，i z ) e ，动态桩基满足的微分方程为 印，+ 等1 晦卅 ( 2 ) 其中，e ；= e p ( 1 + 2 厶f ) 为材料的复弹性模量，厶为阻尼系数，为转动惯量， n 为轴力，缈为振动频率，m 。为单位长度的质量，p ( z ) 为土对桩的作用力，它 与材料性质、桩的端部条件、土的边界条件和连接条件都有关。显然一旦p r z j 被 确定，桩基的受力和变形便可求得，因此本文的关键也就是要确定吖= j 。 为了明确起见，这里只考察桩基的底部为铰接，桩顶水平方向可动的情况， 故有端部条件 雕力。0 “力枷掌”o ( 2 5 a ) i 玎p 0 ) = h u o ，i f ，乜) = 0 当z = 日 同时为了结果对比，给定如下边界条件 曩赫耋! 乙 亿 i 瓦( z ) = o ，( z ) ；妒。兰红= 日 其中t 胁掣为转角，m p ( z ) = - e 等d z 为弯矩 m q ，( z ) = 一。! 毫掣为剪力，e ：= b ( 1 + 2 厶j ) 为材料的复弹性模量，为 桩基的转动惯量，岛为材料的阻尼系数。 由基本假设( 4 ) 和( 5 ) 桩一十2 f b j 的连接粲件为 9 瓤一：章模扭的址口 i - - ，a = 彰c o s 一s i n 6 = 玎p ( z ) i “- - ，i ：“- - ，is i n 口+ “- - 口rc 。s 口：o 。, r = r 0 f 彰( ，口，z ) = ( z ) ， 其中，r = r o ，t t = o i 彩( r ，口，z ) = 一i p ( z ) ，其中，r = 月o ，p = 等 ( 2 6 ) 其中，u r ，彩和彰，巩分别为内域在，口方向刺z ，y 方向的位移幅值。 ( 2 7 ) 巨馨莩：象蓑 他 h z g 警z 9 等q 警镏。等 t = t 兰 g ：，g ：= g 。( 1 + 2 六f ) 为内域土的复剪切模量，和f 。为内域士的 j z v ” - - l b r o , + 巍 。， 卜卉1i 石0 ( 瑚 等 。0 一。i 。0 当 “ ( 2 1 0 ) 【f 0 = 0 ，r 0 = 0 当 z = h 2 3 3 外域土的数学模型 类似地，我们有外域土的数学模型 0 第二章模型的矬： 篡2 g 塞2 7 g ro r 誊o r 象莩 眩 ( 以+ 三娑一。孥崛巢：p 尝 o o t 其中，“? 和”0 。是外域土的位移，是r ，0 和m t i , df 的函数。五。= 酉2 vg 。 g 。= g ( 1 + 2 f f ) 为外域土的复剪切模量v 为土的泊松比。同时 =三昙(r“?)+一1iou。ro rro o w ：= j l 了l 面b 沪等 由假设( 4 ) ，有外域土边界条件 “? = d ，“：= 0 f 0 = d ，f z o 口= 0 “：= d ，“：= 0 当z = o 当z = h 当，- 同时，内外域土之间的连接条件为 k ( r ，0 ，z ) = ? ( ，0 ，z ) ， 【盯：( r ，0 ，z ) = 盯? p ，0 ，z l ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 由微分方程，边界条件及连接条件( 2 3 ) ( 2 1 4 ) 可见，这是关于求解5 个未知位移 l ( z ) ，彰，- - i ，“：和“；的耦合的非线性边值问题( 由于土的非线性引起) 。 只当 d 只 口p融略 “ = 一良 口 ，讹：喜 第三章桩叶：非线忡边值问题的求舯 第三章桩土非线性边值问题的求解 这是一个桩土及内层土域和外层土域耦合的非线性边值问题，直接求解是 非常困难的本文中，通过引入纵向和剪切波势函数，将内层土域以及外层土域 的边值问题化为波势函数满足的泊松方程，然后采用分离变量法进行求解。为了 避免直接求解由内层土域的材料非线性引起的非线性问题求解的困难，本文小采 用了一种线性化技巧p “，利用反复叠代的方法来得到j 二对桩基的抗力p 似，进而 求得桩基在各种边界条件下的桩基静、动态刚度的值。 3 1 内域土边值问题的求解 定义振动频率为国，则瞄= 彰p “、：= 形p 。引入纵向和剪切波势函数 碟：三型一掣，玎0 型+ ! 型 ( 3 1 ) 硝2 7 丽一i 叫3 i + 7 丽 3 - 1 将方程组( 2 8 ) 可化为只含中和p4 的偏微分方程组 其中，v j 、v ：和1 7 。分别为纵向和剪切波波速和它们的比率，表示为 “= y 2 ( 一i - v 。) g 万”1 2 vm 居” 。 y 一。成 。 、成 ” 由分离变量法，我们可令 m = 尺( r ) o ( 口) z ( z ) 代入( 3 2 ) 式得 d 2 r 咖2 ( 3 3 ) ( 3 4 ) ( 3 5 ) ，= 叫 mij 卜时州蚶刊他 等睾 一一 ”l一，l字悄 六 r 矿 o o + = = 一，内 勉 一矿 积一办b一俨眩一驴一m抛一疵一舻 箱兰帝址十廿线性边值问题的求斛 鼽口2 玎i _ l ：卜志( 狲 其中“2 一南浦黼脯_ 蝴斛( 2 6 、2 7 恫得 b 2 = 色= o ，厅= 以i 1 ，吼= t 2 k - 1 ，女= l ，2 ，3 暖2 案。搦r 二拳栽r 蓦 慨。， 卜舳嘻卜( 以加慨) m d t 吾) 热砸2 一南睁 2 地2 = 舢2 一志( 甜卜内域的剪 第三章桩十1 e 线性边值问题的求射 彰：军 o r 小；籍+ 星r，d f i = 嚣+ 等粤 咖z ( 鹄牡南爵 2 g ：( 蹦印嘲v ng ：) f ：= g ：，名 ( 3 1 0 ) ( 3 1 1 ) 3 2 外域土的边值闯题的求解 外域中的边值问题的求解方法与内域的求解方法完全相似，令“；= 露p 、 “：= 列p 。引入纵向和剪切波势函数 砑= 吾筹一等，d 一。l a 甲o “r 。百+ 了面 ( 3 ，1 2 ) 由边界条件( 2 1 3 ) 和连接条件( 2 1 4 ) ，不难得到外域土的纵向和剪切波势函数 庐。和甲。为 m 。= 2c o s 口 掣。= 2s i n o y , 其中 凡2 吨2 一南以2 = 水一南( 剐 小瓣叫= 居一号= 离村嘞域的纵 向和剪切波波速，g 。和c 。为待定系数。 利用( 3 1 2 ) 可得到外域中土的位移，再由下面的几何方程( 3 1 4 ) 和本构关系 ( 3 1 5 ) 可求得内层土的应变和应力，即 4 割卟七制册 ，r r 卜 钳 蚺三带桩十1 l ：线性边值问题的求们 g ? ：莘 o r 露= ；筹+ 等rd 仃r 伽箬+ 警粤 小z g ( 描秘确vs 刁 小z g ( 舄印南s ? r 二= g + 焰 其中g = g o + 2 善f ) 。 3 3 土抗的求解 为了计算士对桩的作用力p ( z ) ，设桩基的位移可以展成为如下级数 咖) = 嘻抽t n ( 吼寺i = ，1 ( 3 1 4 ) ( 3 15 ) ( 3 1 6 ) 其中，巩为待定的系数，它们将由连接条件和端部条件求得。考虑到桩基与内 域的连接条件式( 2 6 ) 、( 2 7 ) 和内外域在r = r 时的位移和应力的连接条件 ( 2 1 4 ) ，可求得待定系数q 。，q 。，g l ，q 。，e 。，g 。满足的一组代数方程 爿- c = u 。， = 1 , 2 ，3 ，( 3 1 7 ) 其中，a 一【一班】6 x 6 ，c = 【c c 2 ，g ，c 。，c ，女，c “】7 u = u 【l ，一l ，0 ，0 ，0 ，o 】 一。：当x ( ) 4 1 ：土( r 0 ) ，一。：o 爿l 。：o r 0 4 2 ：一上k l ( 吼r 0 ) 。 r 0 一：。：一上“吼) ，o ) 女g ( ， 一 一 、，igl0 ， 叮 = n d ) g ( 臣 一 一 ) i g( o k i g 一 | i 4 第三章桃十廿线忡边值问题的求斜 如一班小砧一去州) a m = s 1 1 0 ( 以，o ) 一上l ( 吼) ，4 2 n = o 爿2 雅= o 4 3 k ：一g i ，o ( g ) 一上k i ( g i - ) ，彳3 2 ：g i i o ( g _ ) 一1 1 i ( g ) 1 如l = k 心，a 3 4 k = 1 1 小，a 3 5 k = p * 引川j ) + 引m ) 爿。：一上蜀( 气_ ) ， r 爿4 l ：一1 k ，( 吼) n 一。：如k o ( 屯) + 三墨( 以，i ) ， 一4 ：! 足l ( 既_ ) ，以。t 爿。：一土“q 。_ ) 一 爿：s i o ( 坼r i ) 一上，( j 。) 1 一，i k o ( f i ) 一三k l ( t d j ) 爿5 l ：，7 。2 p 1 2 足1 ( g ) + 21 堕k 。( g ) + ；k 1 ( q k r ，) ，l n 。 4 5 2 ：叩。2 9 t 2 ，l ( g ，i ) 一21 1 生，。( g i ，i ) + 1 i ( q , r 1 ) ， 一，f = 一2 s ，kk o ( s 。 ) 一r - 2k , ( s 。，1 ) 观詈帕巾一睾“m )厂1 一 彳5 ”：一呈；( ，7 2 p ：k l ( p r i ) + 2 p kx o ( p - - - * k o ( p 。) + 丢k ( p 。一) ) 氏t 一茜( 咖蕊( m ) + 1 蹦) + 辜州)u h1 = 善( z 扭) + 私m 删 a 6 1 k q ，kk 湘巾+ 专州m )， 一 如。一2 詈“刚) + 砉抓m ) 6 第三章桩_ 七非线性边值问题的求解 a 6 j k 叫啦心巾+ 2 詈硝叭) + 睾h 叭) ) 叫印心巾一2 詈椭巾+ 专“蹦) ) 铲一爰( z 铷( m ) + 扣删 = 磊绺l ( f 巾+ 2 ) + 4 1kjrl n 棚 = 鲁舻鲁 求解上式，可以得到它们的值，记为 j c 沪c l t u ，c 2 t2 刍u ，c 矿c j t 叽 ( 3 1 8 ) l c 4 = c k u k ，c 5 , 5c 5 k u k ，c 2c 6 k u k 在水平谐振动的情况下，1 土对桩基的抗力给定为 p ( z ) = 一r 。b ：( r 以= ) c o s 0 - r “r ，只z ) s i n 目 r o d o = g 日喜瓦氓s i n 帆百g ) ( 3 - 1 9 ) 其中，t k 为第k 阶波形对的土抗，并有下面的表示式： 瓦一一，：霎k q 。e 。+ ，i 瓴瓦。+ 蜀b e 。+ g + 五e + ( 3 2 0 ) 3 4 桩基边值问题的求解 3 4 1 桩基静力学问题的求解 将( 3 1 9 ) 式代入( 2 3 ) ，可得到静态桩基方程的解。 ( 1 ) 轴力n = 0 的情况 并令n - - 0 求解方程，可得方程( 2 3 ) 特解为 啪，= 善一稿州钞 通饵为 巩( z ) = c i + c 2 z + c 3 z2 + c 4 z ( 3 2 1 ) ( 3 2 2 ) 第三市机十1 | 线件边值问题n j 求解 热r - 丌器= 竿，一一号_ j 咖p r 矾上骼度，舢 的密度。因此，桩基的位移为 面p z ) = 豇m z ) + i h z ) 门2 3 ) 若令厅= 瓦所吃= z h ，则桩基的无量纲化位移为 ， ” 、， ” 、 i ( j ) = 卜y s i 屯i ) b + 卜r 厶s i n ( a k - i ) b + t = l h i ( 3 2 4 ) ( 扛嘻加；屯= 归+ ( 扛嘻- i 加地t j 归i - i i ；t t ；t ，：i t ) 1 = ：；赫 e t f j tf j tf ：t ) 7 3 2 5 。 式中 耻：( 警s t n n 一 = 4 f t , 去a ks i n 旷去 氏= 2 孑1 - s i n a t a ：三 d ( 3 2 6 ) 使( 3 2 4 ) 式的位移与展开式( 3 1 6 ) 的位移相等，并由正交性条件可得级数展丌式的 系数 卟篙羔蠢 ：， 阻，工。+ 爿一正。+ 爿， 。+ 一一】 ( k = l ，2 ，3 ，) ( 2 ) 轴力* 0 的情况 将( 3 1 9 ) 式代入式( 2 3 ) ，则静态受轴力桩基方程的特为解 一砉一礤y f k u k i lffli r ，+ 2 善。f j 口：i l 。二一l 一l 通解为 u h ( z ) = c l + c2 z c j e fz j c 4 e 一z 1 s i n ( o r 云j ， ( 3 2 8 ) 仃 ( 3 2 9 ) 第三帝桃十1 f 线中 ：边傻瞄题的求解 舯，n 志，卟 u p z ) = u m ( z ) + h h ( z ) 。 为无量纲化的轴力。从而可得桩基的位移 若令盯= u p 腧= z h ，则桩基的无量纲位移为 砉一意翱4 s i n 寺 “1 ( 1 + 2 印酬导1 _ _ 1 l “ z i 女 t 。k ：可薜e i i e 女一7 式中 e i = 一2 口 f 2 k - 2 尹 _ n 吼 口： 耻垫搿 耻垫箭 ( 3 3 0 ) ( 3 3 1 ) ( 3 3 2 ) ( 3 _ 3 3 ) 同样，使( 3 3 1 ) 式的位移与展丌式( 3 ，1 6 ) 的位移相等，并由f 交性条件可得级数展 开项的系数 u k = z 杪砸小 c + 2 f ，z ，口： ( 三) 2 一， + 珥 b 川；。+ 爿，：，2 。+ a v 3 f 3 。+ 4 ，。：i 。】 ( 3 3 4 ) 3 。4 2 桩基动力学问题的求解 将( 3 1 9 ) 式代a ( 2 4 ) ，可得到受轴力作用桩基动方程( 2 4 ) 的特解为 9 厩 第三章桩t b - 线性边值问题的求解 驰) 音丽丽罴裔丽咖( 旁 。s ， 方程( 2 4 ) 的通解为 豇h ( z ) = c i e | f + c 沪叫c i2 二+ c i e 一3 ： l 3 3 6 ) 其中，n c = 黜一 箐h 筹) ”一 艄糅筹= 竽弘匝p p 咖毒，腆蝴度， 为桩基的密度， 并且 ，= 万1 l ，： 2 一n j i n 磊4 a 4 ( 1 + 2 。i ) 从而桩基的位移为 i 。i z ) = z t p t z ) 七u h z ) 若令盯= u v h 静= z h ，则桩基的无量纲位移为 f 3 3 7 ) f 3 3 8 ) 面= c , e 年+ c 2 e 一年c 3 e 一+ c 4 2 一 塑毛万18in(a。i)(339- 3 - ( 1 + 2 f p i ) ( l , 2 + 口2 ) ( 2 2 + 口2 ) 。 u 。 使( 3 3 9 ) 式中的位移与展丌式( 3 1 6 ) 中的位移相等，并出币交性条件可得级数展 式中的系数 卟兰蒹臻名等篙 a 。l f j k + a 。：f 2 k + a p 。f 。+ a f 。 f 3 4 0 ) 蓐 ! f ；三章桩十1 - 线忡边值问题的求斛 式中 ( 3 4 1 ) 3 5 桩土系统求解方法及程序框图 从上面的求解过程我们可以看出桩土系统是一个非线性粘弹性的耦合系统， 直接求解是比较困难的。为了便于求解，我们采用一种线性化技巧。在具体计算 时，我们采用一种叠代过程【3 2 】 1 先令口= o ，u 。= 1 ( k = o ，1 ，2 ) 计算得到内外土层均为线性粘弹性情况下内 域土的土抗瓦和平均剪应变户，带入3 4 节中得到的桩的位移厅。z ) ，并利用桩 端边界条件( 2 5 a ) 或( 2 5 b ) ，可得待定系数彳，a ，：- a 一，爿，。满足的代数 方程，从而可得到它们的值。 2 其次将得到的系数a 矿a ，：，a 脚，彳一代入桩的位移玎，g ) 的级数展开 式系数u 。表达式，计算得到u 。的值。 3 再令瑾= 2 1 6 和f 。，= o 3