（固体力学专业论文）基于振动的多裂纹梁损伤识别方法研究.pdf

摘要 摘要 在复杂的服役环境中，结构由于外部荷载的作用以及各种突发性外部因素的 影响而出现局部的损伤，这些局部损伤对结构的安全构成了潜在的危险。由于应 力集中，疲劳等诸多因素的影响，会使局部损伤不断的增大，导致整个结构的承 载能力下降乃至破坏。如果能及时发现损伤，并渗断出局部损伤的位置以及损伤 程度，就能及时进行修复，恢复结构的承载能力。因此，及时发现裂纹以及评估 它的破坏程度，对于修复并延长结构的使用寿命，保障人们的生命和财产安全具 有重大的实际意义。 要实现连续监测，不破坏结构的性能和整体性是最基本的要求，无损检测 ( n d e ) 技术是结构健康监测的基本检测方法。传统的无损检测方法是可视化或 者局部化的试验方法，例如超声波方法、磁场方法、涡流及温度场等方法。所有 这些方法都要求事先知道损伤的近似位置以及损伤的部位可以接近。这就客观上 要求发展新的远距实时的结构损伤探测方法。利用结构的振动响应和系统动态特 性参数进行结构损伤探测是目前围内外研究的热点和难点。本文在前人的工作基 础上主要进行了下列工作： 首先，对结构损伤检测的基本方法和最新研究进展进行了回顾，主要介绍了 了利用结构的振动响应和系统动态特性参数进行结构损伤检测的方法和研究进 展，并进行了相应的评述。 其次，在前人的工作基础上，利用横向裂纹模型对单裂纹梁的损伤问题进行 了相关的研究，给出了基于系统动态特性参数变化单裂纹梁损伤识别方程，通过 实例证明了方法的有效性。 然后，在单裂纹梁损伤识别的工作基础之上，进一一步将横向裂纹模型应用到 双裂纹梁损伤识别上，并具体给出了相关的计算实例，通过与实验结果对比，所 得结果具有较高的计算精度。 最后，在双裂纹梁损伤识别的工作基础上，进一步将研究推广到了含更多裂 纹的梁上，并引入了传递矩阵法，对多裂纹梁的损伤识别进行了简化处理，使计 算更加简便快捷。 关键词无损检测振动响应传递矩阵法系统动态特性参数 华南理上火学硕士学位论文 a b s t r a c t l o c a ld a m a g e st h a ta r ep o t e n t i a l l yd a n g e r o u st ot h ew h o l es t r u c t u r ew i l lo c c u ra s ar e s u l to fk i n d so fe x t e r i o rl o a d i n g sa n do t h e rp a r o x y s m a lf a c t o r sw h e nt h es t r u c t u r e s a r eu n d e rc o m p l i c a t e dw o r k i n gc i r c u m s t a n c e s f u r t h e rm o r e ，t h ed a m a g e sw i l l g r a d u a l l yi n c r e a s ed u et ot h es t r e s sc o n c e n t r a t i o n ，t h ef a t i g u ea n ds oo n ，a n df i n a l l y r e s u l ti nt h ed e c r e a s eo ft h el o a d - b e a r i n g a b i l i t y , e v e nt h ec o l l a p s eo ft h ew h o l e s t r u c t u r e t h ee a r l i e rt h el o c a ld a m a g e sa r el o c a t e d ，t h ee a r l i e rt h ew h o l es t r u c t u r ec a n b er e s t o r e d i ti ss oi m p o r t a n tt ol o c a t et h ec r a c k sa n de v a l u a t et h e i rd e g r e e si na s t r u c t u r ef o rt h er e s t o r a t i o no ft h es t r u c t u r ea n dt h es a f e g u a r do fp e o p l e sl i v e sa n d p r o p e r t i e s t h em a i n t e n a n c e so ft h ep r i n c i p a lc a p a b i l i t i e sa n dt h ei n t e g e ro ft h ew h o l e s t r u c t u r ea r et h eb a s i cr e q u i r e m e n t si ft h ec o n t i n u o u se x a m i n a t i o n sa r eg o i n gt ob e c a r r i e do u t t h en o n d e s t r u c t i v ee x a m i n a t i o ni st h ep r i m e h e a l t h ym e t h o d t h e t r a d i t i o n a ln o n d e s t r u c t i v ee x a m i n a t i o n sa r em o s t l yc a r r i e do u tv i s u a l l yo rl o c a l l y ，s u c h a ss u p e r s o n i cw a v e ，m a g n e t i cf i e l d ，e d d yf l o w , t e m p e r a t u r ef i e l de t ，w h e r ea p p r o x i m a t e l o c a t i o n so ft h ed a m a g e ss h o u l d b ek n o w no rc o u l db ec l o s et o a g a i n s tt h e s e a d v a n t a g e s ，an e wl o n g d i s t a n c el i v ed a m a g ed e t e c t i o nm e t h o di se x p e c t e d i ti sa f o c u st oe x a mt h ed a m a g e su s i n gt h ev i b r a t i o nr e s p o n s e so ft h es t r u c t u r ea n dt h e p a r a m e t e r so ft h es y s t e md y n a m i cp r o p e r t i e s i nt h i sp a p e rw em a i n l ys t u d yt h e s ea s f o l l o w i n g ： f i r s t l y ，t h em e t h o d sa n dr e c e n tr e s e a r c ha d v a n c e si nt h ef i e l do fs t r u c t u r a ld a m a g e d e t e c t i o na r eb r i e f l yr e v i e w e d ，o fw h i c ht h o s et h r o u g hv i b r a t i o nr e s p o n s ea n dm o d a l p a r a m e t e r so fs t r u c t u r e sa r et h em a i n l yc o n c e r n s s o m ed i s c u s s i o n so nt h i ss u b j e c ta r c g i v e n s e c o n d l y , t h ed a m a g eo fas i n g l ec r a c ki ss t u d i e dh e r eu s i n gt h et r a n s v e r s ec r a c k m o d a lb a s e do np r e v e n i e n tw o r k s ，a n dt h ed e t e c t i o ne q u a t i o ni so b t a i n e do nt h e c h a n g e so ft h ep a r a m e t e r so ft h es y s t e md y n a m i cp r o p e r t i e s t h ep r o p o s e da p p r o a c h a r ev e r i f i e db ye x a m p l e s t h i r d l y ，af u r t h e ru s a g eo ft h et r a n s v e r s ec r a c km o d a li sc a r r i e do u tt os t u d yt h e d e t e c t i o no fad o u b l e c r a c k e db e a mb a s e do nt h el a s ts t u d i e s ，a n dr e l a t e dc a l c u l a t i n g e x a m p l e sa r em e n t i o n e dw h i c hp r o v e i tw o r k sw e l l f i n a l l y , t h ew o r ki sc a r r i e do u tt os t u d yt h ed e t e c t i o no fam u l t i p l e c r a c k e db e a mb a s e do nt h e l a s ts t u d i e s i no r d e rt oe l i m i n a t et h en u m e r i c a lc o m p u t a t i o no ft h eh i g ho r d e rd e t e r m i n a n t ，t h e a b s t r a c r t r a n s f e rm a t r i xm e t h o di si n t r o d u c e d ，a n dr e l a t e dc a l c u l a t i n ge x a m p l e sa r em e n t i o n e d w h i c hp r o v ei tw o r k sw e l l k e y w o r d s ：n o n d e s t r u c t i v ee x a m i n a t i o n ，v i b r a t i o nr e s p o n s e ，t r a n s f e rm a t r i xm e t h o d ， m o d a lp a r a m e t e r so fs t r u c t u r e s 华南理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导卜- 独立进行研究 所取得的研究成果。除了文中特n ；h h 以标注引用的内容外，本论文不包 含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出 重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到 本声明的法律后果由本人承担。 作者签名： 驾惦 日期l 弭6 月f 珀 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同 意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许 论文被查阅和借阅。本人授权华南理工大学可以将本学位论文的全部或 部分内容编入有关数据库进行榆索，可以采用影印、缩印或扫描等复制 手段保存和汇编本学位论文。 保密口，在年解密后适用本授权书。 本学位论文属于 不保密口。 ( 请在以上相应方框内打“4 ”) 作者签名： 导师签名： 日期：w 唾月口 f i 期：慨月f ，口 第一章绪论 第一章绪论 1 1 研究背景 随着现代科技的进步、工业的发展以及未来人类的需要，现代空间结构正向 着大型化，复杂化方向发展。这些大型复杂结构如航天飞机、高层建筑、离岸结 构、新型桥梁、大跨度网架结构等在复杂的服役环境中将受到外部荷载的作用以 及各种突发性外在因素的影响而出现局部的损伤，这些局部损伤对结构的安全构 成了潜在的危险。由于应力集中，疲劳等诸多因素的影响，会使局部损伤不断的 扩展或增大，导致整个结构的承载能力下降乃至破坏。如果能及时发现损伤，并 渗断出局部损伤的位置以及损伤程度，就能及时进行修复，恢复结构的承载能力。 因此，及时发现裂纹以及评估它的破坏程度，对于修复并延长结构的使用寿命， 保障人们的生命和财产安全都具有重大的实际意义。 近几十年来，结构的健康监测越来越受到人们的重视。早期的研究主要集中 于诸如大型空间站结构的损伤探测，这是与空间站结构的昂贵造价和服役环境的 特殊性分不丌的，随着大量基础设施使用时间的增长，许多土木结构进入了老化 阶段，土木工程结构的健康监测问题变的越来越重要。与结构造价及通过早期发 现结构损伤所节约的维修费用相比，健康监测技术的应用和研究所投入的费用实 在是微不足道的。 到目前为止，一些结构的安全性检查主要依赖于定期的人工检测。但定期人 工检测的局限性比较多：( 1 ) 难以及时发现间隔期内的损伤。例如在美国的姥岛 大桥上，一个工程师推测该桥的主要裂纹在被发现之前已经发展了三天【“，又如 1 9 8 3 年6 月2 8 日凌晨一点钟，美国康涅狄格州的m i a n n u s 江高速公路大桥突然倒 塌，桥上数部车俩随即坠入江中，导致数人死亡。造成大桥倒塌的主要原因是桥 的腐蚀和交通循环荷载引起的疲劳。然而，仅在几个月前，该州交通部门还对该 桥进行了安全检查 3 1 ( 2 ) 结构的一些部位检测人员难以到达：( 3 ) 工作量大、费 用高。要实现连续监测，不破坏结构的性能和整体性是最基本的要求，无损检测 ( 脚) 技术足结构健康监测的基本检测方法。传统的n d e 方法是可视化或者局 部化的试验方法，例如超声波方法，磁场方法，雷达成像、涡流及温度场等方法。 所有这些方法都要求事先知道损伤的近似位置以及损伤的部位可以接近 4 1 。由于 这些限制，上述的试验方法只能检测结构表面的损伤。这就客观上要求发展新的 远距实时的结构损伤探测方法。这导致了基于结构振动的损伤识别方法的发展。 1 华南理工人学硕士学位论文 1 ，2 基于结构振动响应的损伤识别方法 利用结构的振动响应和系统动态特性参数进行结构损伤探测是目前国内外研 究的热点和难点，这种方法利用未损伤结构的数学模型连同未损伤结构的振动试 验数据作为探测损伤结构的振动信息，与损伤结构的振动响应进行比较，从而判 定结构损伤的位置和程度。结构损伤探测的基本问题是如何从给定结构动力特性 的测量中确定损伤的出现、位置和程度。通常，结构损伤位置的确定等价于在结 构中用一个可测量的量来确定结构的刚度和承载能力下降的区域。在线损伤探测 法可以在结构服役期间通过周期性的参数识别来探测结构损伤的位置和程度。 动力法进行结构损伤诊断评估的理论建立在动力有限元和参数识别的理论基 础上。参数识别的典型过程包括在结构系统的模态实验中测量外部激励作用下的 结构响应；从响应的数据巾直接或通过数据处理技术确定系统的动力特性，诸如 自振频率和振型。由于系统的白振频率和振型是系统参数如质量和刚度的函数， 所以可以将实验得到的结构动力特性与数学模型预测的结构动力特性进行比较从 而确定系统参数。结构损伤探测的基本方法正是基于以上基本概念而产生的。 有限元表达式中结构动力系统的控制方程为： 阻】辟 + c 】拉 + k 】 _ o ) ) ( 1 1 ) 其中，矩阵阻 ，p 】k 】分别表示离散的质量，惯性和刚度分布，瞄j ，kj ， i x 】分别表示有限元模型的加速度向量，速度向量和位移向量， ，( f ) ) 是外部作用 力函数向量。方程( 1 一1 ) 的齐次解就是特征值和特征向量。简单起见忽略阻尼项， 有： m 】 碧 + 【k 】 x ) = o( 1 - 2 ) 设： 江 = 轫“( 1 3 ) 其中q 是第i 阶特征值，扫k 是柏应的特征向量。将0 3 ) 式代入o - 2 ) 式，可 以得到物理参数阻】，k 】与动力特征峨，如l 之间的关系 瞳l 一珊? 阻胁 。= 0( 1 4 ) 显然q ，勋 。是系统阻】，医】的函数，即结构中特定部分的质量和刚度的变 化都将在自振频率和振型的测量中有所反映。当系统自振频率和振型出现差异时， 就表示结构巾出现了损伤。 1 3 国内外研究现状 早在6 0 年代中期，法国c e b t p c 房屋建筑和市政工程试验研究中心就提出了 2 第一章绪论 利用稳态激振的机械阻抗法检测桩基的质量 5 1 。1 9 6 8 年法国学者j r a q u e t 义发展 了该方法，使动态法应用于桩基质量的检测，该方法的原理是对桩顶施加变频的 稳态激振力，在桩顶测得速度导纳曲线，由导纳曲线可获得共振峰频率差，若 桩长f 已知，即可由下式计算桩身混凝土的波速c ： c：2ar(1-5) 通过桩长z 计算缺陷的位置。 7 0 年代中期，j s t e i n b a t h 和e v e y 研制了打桩分析仪【6j ( p d a p i l ed r i v e a n a l y s e r ) 。 1 9 7 5 年美国j k i mv a n d i v e r 在其博士论文1 7 中提出了根据实测的动力响应来 测量海洋平台损伤状念的方法，根据随机激励测试的响应，获得海洋平台的自振 频率f ，根据频率变化代入动力有限元的特征方程。 【k 】_ 2 【m 】 妒 = o ( 1 - 6 ) 由此可以识别结构不同状态下的质量矩阵【吖】，并由【埘】判别结构的损伤程 度。 1 9 8 4 年，日本学者m a s a i u m i 等对一座要拆除的预应力混凝土旧桥进行了静动 力实验【8 】，总结分析了旧桥在各种不同损伤状态下动力特性频率变化的现象。 1 9 8 5 年，m m y u e n p j 将悬臂梁上的裂纹等效成刚度减少的区域，建立了相应 的数学模型，研究了裂纹对梁的特征参数的影响。随后一些学者 1 0 l 进行了类似的 研究。 1 9 7 8 年，a d a m s 1 1j 等人提出利用轴向弹簧来模拟结构上的裂纹，但他并没有 给出该弹簧刚度的计算方法。 1 9 9 0 年，r i z o s 等人【1 2 】利用无质量旋绕弹簧模拟悬臂梁上的裂纹，并给出了 ，个与裂纹深度有关的表达式，利用该表达式描述了等效弹簧的计算刚度。作者 在此基础卜进一步建立了单裂纹悬臂梁的频率方程，并利用该频率方程对单裂纹 悬臂梁进行了损伤识别方面的一些研究。随后，一些学者 1 3 2 3 j 亦通过利用无质量 旋绕弹簧对不同边界条件下单裂纹梁的裂纹进行了等效模拟，并分别进行了相关 研究。 2 0 0 1 年，n t k h i e m 和t v l i e n l “j 利用无质量旋绕弹簧模拟多裂纹梁上的裂 纹，并研究了多裂纹梁的固有频率随裂纹位置、大小及个数的不同变化情况。 2 0 0 3 年，h a i p i n gl i n 【2 5j 存研究单裂纹梁的损伤检测问题时，同样利用无质量 旋绕弹簧代替结构中的裂纹建立损伤梁模型，梁被弹簧分成相连的两部分，作者 3 华南理t 大学硕士学位论文 分别对两部分梁应用t i m o s h e n k o 梁理论。利用含裂纹梁的相应条件，建立了包含 梁的特征值，裂纹位置及旋绕弹簧刚度在内的特征函数。通过引入实验测得的损 伤梁的特征值( 自振频率) ，可以得到梁上裂纹的信息( 裂纹的大小和位置) 在国内，这方面的研究虽然起步较晚，但最近儿年亦有了长足的发展，取得 了一些宝贵的研究成果。 1 9 9 9 年马宏伟，杨桂通等人对近年来结构损伤检测的基本方法和最新的研 究进展进行了同顾。主要介绍了利用结构的振动响应和系统动态特性参数进行结 构损伤检测的方法和研究进展，并进行了相应的评述。 1 9 9 9 年，李天匀，刘土光等【2 7 j 从结构噪声的观点出发，利用振动功率流的方 法对梁结构的损伤诊断进行了研究。推导了梁单元场迁移矩阵和损伤部位的点迁 移矩阵，结合周期结构理论，计算了传递功率流与损伤位置及结构尺寸的关系， 从而可进行有效的损伤诊断。 1 9 9 9 年，高芳清，王风勤等 2 8 1 n 过改变刚桁梁模型桥的单元刚度模拟其结构 的损伤，利用有限元动力分析程序对模型桥进行动力分析。发现振动模态的变化 对单元损伤的程度较为敏感且有对应关系。选用结构振动模态作为权数，提出了 一种对结构损伤前后的模态变化进行加权处理的新方法，利用该方法可以对单元 损伤实现有效定位。 2 0 0 0 年，李天匀，刘土光等口9j 又利用振动功率流方法对无限直梁在集中力作 用下的损伤进行了研究。损伤部位模拟为转动弹簧，利用断裂力学的有关理论得 到其转动刚度，研究梁在集中荷载作用下的弯曲波传播，以及振动功率流的输入 和传播，分析了振动功率流与损伤位置及其特征尺寸的关系。结果证明了理论分 析的准确性和可靠性。 2 0 0 3 年，张向东等以一矩形等截面悬臂梁为研究对象，利用残余力向量法， 通过数值模拟，实现了对预制裂纹梁的损伤识别。鉴于实际结构建模的误差，提 出了改进的残余力向量法，并在振动实验中证明该方法更适合实际应用。 2 0 0 3 年，韩大建，王东文等人1 3 1j 介绍了基于振动的损伤识别方法的研究现状 和发展趋势。对有关方法进行了总结和评述，同时指出了基于振动的损伤识别方 法还需进+ 步解决的问题。 2 0 0 4 年，土术新驯在“结构损伤识别的现状与发展”文中，总结和回顾了 目前关于结构振动损伤识别的研究方法，现状以及进展情况。介绍了智能损伤识 别方法的原理，提出了结构损伤识别的发展趋势。 4 第一章绪论 经过近儿十年来的研究，基于振动理沧的损伤检测技术取得了很大进展，但 f 1 前绝大多数研究仍停留在单裂纹的损伤识别层面上，有关多裂纹问题的理论研 究还很不充分，很多问题有待进一步探讨。 1 4 损伤识别的分类 损伤识别方法可以从两个不同的角度来划分： 1 基于诊断中所用信息进行划分，线性结构损伤识别方法可分为基于模型的与非 模型的，基于模型的方法认为预处理的结构响应模型可以准确地由有限元分析法 离散化。如e u l e r b e r n o u l l i 梁的响应问题，它是利用结构的测试数据和数学模型 来进行损伤识别，这种方法需要建立起和实际结构完全符合的数学模型。对于有 限元法来讲，很难找到结构的真实刚度矩阵和质量矩阵，特别对刚度矩阵而言， 儿乎不可能获得在边界条件、材料参数等熏要信息上与真实结构完全一致的模型。 非模型的方法是通过结构在损伤前后的部分测试数据来直接进行结构的损伤识 别，从而避免了使用结构的数学模型，当然，这时已知的信息量远小于上一种方 法，使建立合理的结构损伤识别方法变得更加困难。这在客观上要求我们继续探 索一种能够融合这两类方法优点的适用性强的损伤识别方法。 损伤识别和定位是结构损伤监测系统设计的关键，要进行损伤识别与定位，首 先需要解决损伤指标的选择问题，即决定以哪些物理量为依据能够更好地识别和 标定损伤地程度与定位。其中，用于损伤识别地物理量可以是全局量，如结构的 固有频率，但用于损伤直接定位的物理量则必须是是局域量，并满足两个基本条 件：( 1 ) 对局部损伤敏感；( 2 ) 位置坐标的函数。基于模型和非模型的识别方法， 从损伤识别指标的角度可分为： ( 1 ) 基于固有频率的损伤识别。 ( 2 ) 基于振型的损伤识别。 ( 3 ) 基于固有频率和振型的损伤识别。 ( 4 ) 基于柔度矩阵的损伤识别。 ( 5 ) 基t 刚度矩阵的损伤识别。 ( 6 ) 基于频响函数的损伤识别。 ( 7 ) 基于应变函数的损伤识别。 2 基于损伤识别方法的功能进行划分，损伤识别的方法可以定义为四种损伤识别 的标准： ( 1 ) 确定结构中是否有损伤。 5 华南理上人学硕士学位论文 ( 2 ) 确定损伤的几何位置。 ( 3 ) 损伤程度的定量分析。 ( 4 ) 结构可能的服役期限。 1 5 本文主要内容： 1 介绍了基于结构的振动响应和系统动态特性参数进行结构损伤检测方法的基本 思路和最新的研究进展，并进行了相应的评述，指出了现有研究的不足及进一 步研究的方向。 2 其次，在前人的一i 作基础上，利用横向裂纹模型对单裂纹的损伤问题进行了相关 的研究，给 _ 了基于系统动态特性参数的变化对单裂纹梁进行了损伤检测的方 程，取得了较为满意的结果。 3 然后，在单裂纹梁损伤计算的工作基础之上，进步将横向裂纹模型应用到双裂 纹梁损伤检测卜，并具体给出了有关的计算实例，通过与实验结果做对比，所 得结果具有较高的计算精度 4 在双裂纹梁损伤探测的工作摹础之上，进一步将研究推广到了含更多裂纹的梁 上，并引入了传递矩阵法，对多裂纹梁的损伤检测工作进行了简化处理，与原 有计算方法相比较，新的简化计算方法更加方便快捷。 6 第二章单裂纹粱的损伤识别 第二章单裂纹梁的损伤识别 2 1 模型的建立 2 1 1d 积分的定义 为方便对梁的裂纹进行表述，引入断裂力学里的，积分概念。 7 r 图2 - 1 j 积分计算图 设一均质板，板上有一穿透裂纹，裂纹表面无力作用，但外力使裂纹周围产 生二维的应力应变场。围绕裂纹尖端取回路r ，始于裂纹下表面，终于裂纹上表 面，按逆时针方向转动，如图2 - 1 所示。 定义，积分如下： j = f r ( w d y i 罢凼1 ( 2 - 1 ) 其中：w 是板的应变能密度； 于是作用在回路边界上的力： 厅是回路边界上的位移矢量： 幽是回路曲线的弧元素； 由断裂力学可知，在线弹性情况下，歹积分与能量释放率g ，相同，而 率g ，与应变能有以下关系 g ，一干( 去 ( 等) = ， 式中，u 是板的应变能，b 是板厚，a 是裂纹长度。 实际上，在线弹性情况下，积分还与应力强度因子k ，的平方成比例， 张开型时，在平面应变情况下有 ，= 【( 1 一v 2 归好 能量释放 ( 2 2 ) 当裂纹为 ( 2 3 ) f隘等，、-鬻， y ：| 、 ，一、 华南理工大学硕士学位论文 2 1 2 卡氏第二定理 在结构为线性弹性、没有初应变、没有支座位移的情况下，如果将结构的应 变能u 表示为玎个独立变量盖。，x ：x 。的函数，则应变能u 对广义力置的偏 导数便等于与广义力z ：相对应的广义位移i 。 2 1 3 等截面杆的频率和振型 一 矗二ix 图2 - 2 为一等截面梁，设梁的弯曲刚度和单位长度内的质量分别为e 1 和丽， 坐标如图所示。梁的无阻尼弯曲自由振动微分方程为： 田( 掣h 掣) = 。( 2 - 4 ) 其中，x 表示梁的各截面位置，t 为时间，y g ，f ) 表示梁的位移。 利用分离变量法求解方程( 2 - 4 ) ，设： y ( x , t ) = x ( x ) t ( o( 2 5 ) 刨筹( 害卜耐窘= 。( 2 - 6 ) 塑m x ：车 ， 丁 、 由于上式左边只与x 有关，而右边只与t 有关，因此，为了维持恒等，两边都 需等于同一常数。设棚2 代表这个常数，可得以下两个独立的常微分方程： d2t+2r：o(2-81dt 2 + “i 2 u8 i 田嘉 窘卜耐一。( 2 - 9 ) 8 第二章单裂纹梁的损伤识别 方程( 2 9 ) 石】进一步整理为： 了d 4 了x c o 。2 ，丽- x ：o 2 - 1 0 ) d pe i 式( 2 - 8 ) 的解是 z o ) = d 。c o s o f ) + d ：s i n o r )( 2 一1 1 ) 或7 1 ( f ) = b s i n ( e j t + 声)( 2 1 2 ) 将式( 2 - 8 ) 带入式( 2 5 ) ，并将6 与0 ) 中的待定常数合并，得： y g ，f ) = x ( x ) s i n ( a ，t + 卢)( 2 1 3 ) 由上式可知，在特定条件下，梁上各点将按同一频率作简谐振动，国为自振频 率，x g ) 为各点的振幅。在不同时刻，梁的变形曲线都与函数五( x ) 成正比例而形 状不变。因此，g ) 即代表梁的振型，称为振型函数。 在式( 2 1 0 ) 中，我们引入符号： 五= ( 塑) i ( 2 - 1 4 ) e 1 ij 则式( 2 一l o ) 可改写为 了d 4 了x 一2 x 。o ( 2 - 1 5 ) 万一刮 d j 方程( 2 一1 5 ) 的通解为 x ( x ) = b i c h ( a x ) + b ：s 矗协) + b ，c o s ( l v ) + b 。s i n 似)( 2 1 6 ) 式中b 1 、b ：、b 3 、b 。为待定常数。 2 1 4 横向裂纹模型 _ e r _ 了 9 华南理丁大学硕l 学位论文 高为a 的裂纹，梁的两端分别作用一弯矩为m 的外荷载。 由卡氏第二定理，我们可以计算在弯矩m 作用下的梁由于裂纹的影响，结构 在裂纹处的附加转角0 + 为： 臼：堕 (217)om 、， 其中，u ，为相对与裂纹的应变能，其值可表示为： 卟f 警卜 将式( 2 3 ) 带入式( 2 1 8 ) 可得： ；f 陪卜= 锰一，础 在线弹性情况下，j 积分与应力强度因子的平方成比例， 平面应变的情况下，j 积分与应力强度因子k ，有f 列关系： 扛 半卜2 ，e 分别为梁的泊松比及弹性模量。 对于图2 - 3 所示结构，应力强度因子可以通过计算得： k i o - o 疡f l 其中 ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) 具体到本结构中，在 o o2 = b h 2 口兰 巧 ) = 1 1 2 1 4 0 a + 7 3 3 a 2 1 3 1 口3 + 1 4 o a 4 将式( 2 2 1 ) ，( 2 - 2 2 ) 带入方程( 2 - 2 0 ) 中： ，_ 半卜群如) 将式( 2 - 1 9 ) ，( 2 - 2 3 ) 带入方程( 2 - 1 7 ) 中； p 一o u r 6 ；, r 0 - v 2 ) m k ( c t ) 1 0 ( 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) 第二章单裂纹梁的损伤识别 其中 ，= o 6 2 7 撕2 一l 0 4 5 3 姒3 + 4 5 9 4 酝4 9 9 7 3 缸5 ( 2 - 2 5 ) + 2 0 2 9 4 8 a 6 3 3 0 3 5 1 a 7 + 4 7 1 0 6 3 a 8 方程( 2 - 2 4 ) 给出了梁在裂纹的影响下产生的附加的转角，由圣维南原理可知， 裂纹仅对其附近区域产生影响，故可以用一旋绕弹簧代替梁上裂纹，将梁分成由 旋转弹簧连接的两独立部分，如图2 4 所示，其中，由( 2 - 2 4 ) 可知，该旋绕弹簧的 刚度为 ， e i 拈碌i 硼 图2 4 简支梁等效模型 ( 2 2 6 ) 2 2 单裂纹梁的损伤识别 考虑一具有横向裂纹的矩形等截面简支梁，如图2 - 3 所示，梁长为l 。，截面 积为a ，抗弯刚度e 1 ，材料密度为p ，在梁长工处有一长为的裂纹，图2 4 为其等 效模型，旋转弹簧的抗弯刚度为k ，k 值由式( 2 2 6 1 决定。 根据b e r n o u l i e u l e r 梁的弯曲振动理论，梁做自由振动的微分方程为： 剧 学h 掣1 一。 呻7 ) 梁被裂纹分为左右两部分，由式( 2 - 1 6 ) 知。两部分的振型函数可以分别表 示为： w 1 ( x ) = a 1 l c o c o s 。( 陋2 x ) ) + + a 最2c o s h ( 2 x ) + a 3 。s i n ( 2 x ) ) + + a 占4 。s i n h ( 陋g x ) ) ( 2 - 2 8 ) w 2 ( x ) - bc o s h ( a x ) + bs i n s i n h 。c o s ( 缸) + 最。( 缸) + 占。陋) 兰堕墨兰叁兰堕主堂垒笙茎 其中 。f 国2 丽1 i 扣l 百j ( 2 2 9 ) 珊为梁的自振频率，a 、a ：、如、a 4 ) 及b i 、b 。、b ，、b 4 均为待定常数。方 程( 2 2 8 ) q u 的z 均以梁的左端为起点。 对于图2 - 4 结构，边界条件为： 利用梁的连续性条件 i 。= 0 ( 詈卜；。 ( 等】 l ，岛= o 悟) 卜。 = k + f0 2 w 2 i 一一2 【。缸：j i x 。 ( 等卜= 罟卜 依据公式f 2 2 4 ) ，可以得到： f 蚓o x ) l l 。一+ 口f t a o - d 2 u 耽j l0 型e i 璺j j 。 利用方程( 2 2 8 ) 、( 2 3 0 ) 、( 2 3 1 ) 和( 2 3 2 ) 有： ( 刳1 “ ( 2 3 0 ) ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) a + a 2 0 b 1 c o s ( 儿o ) + 口2c o s h 也o ) + 丑3s i n 0 也o ) + b 4s i n h 也o ) = 0 一a + a 2 = 0 一b 1 2 , 2 c o s ( 舡。) + 丑：刀c o s h ( 旭。) 一只俨s i n 池。) + 曰。矛s i n h 池。) = 0 a 1 c o s ( a l ) + a z c o s h 池) + a 3s i n ( 舡) + a 4s i n h 池) = b 1 c o s 江) + 曰：c o s h 江) + 岛咖池) + b 。s i n h 恤) 一a 矛c o s ( 旭) + a ：a 2 c o s h 池) 一如牙s i n 池) + a 4 斧s i n h 池) 一一日矛c o s ( 2 l ) + 矛口：c o s h 池) 一b ，斧s i n 江) + b 。矛s i n h ( a l ) 【2 - 3 3 ) a 刀s i n 池) + a ：岔s i n h ( 旭) 一a 3 刀c o s ( a l ) + a 4 刀c o s h ( 儿) = 日牙s 血( 皿) + 丑：刀s i n h ( 皿) 一b ，岔c o s ( 旭) + 曰。牙c o s h ( 利l ) 一a x s m ( 旭) + a 2 a s i n h ( , 礼l ) + a 3 , z c o s ( 2 l ) + a 4 , z c o s h o 杞) + ( e s l k x - b 1 x 2c o s 池) + 占：c o s h 恤) 一b s i n 池) + 曰。五2s i i l l l 池” t b 1 2 s i n 0 工) + 丑2 2 s i n h ( 3 l ) + 曰3 2 c o s ( 见l ) + 丑4c o s h 江) 第章单裂纹梁的损伤识别 即有： 其中： luuuu 000 h lh t 10o00 000 一嚣h 、凳h4 h 8h 5h 6一h 1一h 8 凳h 一凳h ，凳h 、凳h 1 一凳h 瓮h j 一凳h 1 凳h 一走h s 一凳h 6 腰62 h 7a h sh 9h m h l = s i n ( 2 l 。) 日3 = c o s ( a l o ) h 5 = s i n ( 2 l ) h 7 = c o s ( a l ) h ，- 一( e ，k ) ，铲h ，+ 2 i - i ； 日。一一( e 1 k ) 2 2 h ；一a h ， o0 h th 2 o0 一凳h l 凳h 2 一h sh 6 凳h s 一凳h t 硭h 1 一凳h s 珥1q 2 = 0 ( 2 3 4 ) h 2 = s i n h ( 址。) h 4 = c o s h ( 2 l o ) h h 。6 ：= 。s 。i n 妯h ( ( a 旭l ；( 2 - 3 5 ) h 。= ( e k 妒h 。一魍。 h 。2 = ( e i k ) z ：n 。一2 1 - 1 8 由于待定常数a 、a ：、a 。、a 4 及b 1 、b ：、b 。、b 。不同时为零，所以： l d i - 0 其中： i d = 11u0o00u 0000 t 3h 4 h ih 2 1 1000000 0000 一凳h 凳h 4 一# h 1 凳h 2 h，h8 h 5h 6h 1h sh 5h 6 - 凳h 1 凳h ；一凳h 、凳h 6 一凳h ，凳h l 一凳h s 凳h 6 凳t 5# t 6 一凳h 7 晃h s凳h 5凳h 6 一无h ，凳h s 一) 7 5 砜册7饵马q oq 14 1 2 ( 2 3 6 ) f 2 3 7 ) 在给定梁的边界条件及材料物理特性的情况下，方程( 2 3 6 ) 是一个包含裂纹 位置、大小( 深度) 及频率参数的隐式函数。当由实验测得结构的固有频率时， 我们就可以通过上式反演，获得结构上裂纹的大小和位置的信息，方便我们及时 地诊断出结构损伤的大小和位置。 在上述方程的推导过程中，我们可以看到，对于不同边界条件下的 1 3 ，o。o马瓶组也 华南理工大学硕士学位论文 b e r n o u l i e u l e r 梁结构，该方法具有广泛的适用性。只是对应于不同边界条件，方 程最后的形式会略有不同。 2 3 算例1 在文 2 4 中，作者n t k h i e m 和t , v l i e n 等人考虑了一横截面为矩形的简支 梁( 图2 5 ) ，梁的长宽高为o 8 m x 0 0 2 m x 0 0 2 m 弹性模量e = 2 1 x 1 0 “n m 2 ，密度 p 一7 8 x 1 0 3k g m 3 ，泊松比y = o 2 5 。作者分别在距梁左端l = o 2 m ，l = o + 3 m 及 三= o 4 m 处预制裂纹，裂纹的相对深度分别取口= 0 1 5 ，口= 0 3 及口= 0 4 。二人建 立了含裂纹梁的等效模型，并利用该模型计算了损伤梁的前三阶自振频率 ，o = 1 , 2 ，3 ) ( 表2 - 1 ) ，其中 = 当，并与他人的实验结果进行了对比，证明了所 二陌 得结果与实际较为相符。在本算例中，作者利用二人的计算结果，将损伤梁的前 三阶频率分别带入方程( 2 - 3 6 ) ，由于方程( 2 - 3 6 ) 是一个与裂纹位置、裂纹深度 和自振频率有关的隐式函数，带入含裂纹简支梁固有频率后，利用数值计算方法， 可以分别得到对应于前三阶频率的数值计算结果( 图2 - 6 ) 。 图2 5 等截面简支粱 将含损伤简支梁的各边界条件及材料物理特性连同由损伤梁测得的前三阶自 振频率( 见表2 - 1 ) 分别带入方程( 2 - 3 6 ) ，利用数值分析解此多元方程，其数值 计算结果见下图2 - 6 ( a i ) ，其中，对应于j 条曲线的交点a 即为满足要求的解， 点b 为相应于该结构的刈称解。 1 4 第一章单裂纹梁的损伤识别 l ，m ) ( a ) 口= 0 1 5 ，l = o 2 m ( b ) 甜= 0 3 ，l = o 2 m l ( m j ( c ) 口= 0 4 ，l = o 2 m 华南理t 大学硕十学位论文 ( d ) 口= 0 1 5 ，l = o 3 m ( e ) 口= 0 3 ，l = o 3 m ( f ) 盯= o 4 ，l = o 3 m 第二章单裂纹梁的损伤识别 ( g ) 口= o 1 5 ，l = o 4 m ( h ) 口= 0 3 ，l = o 4 m ( i ) 口= 0 4 ，l = o 4 m 图2 - 6 前三阶模态等值线识别结果 华南理工大学硕士学位论文 表2 1 简支梁损失识别结果 预制裂 文【2 4 】给出的固有频率 列纹参数识别结果 裂纹参数 纹对 相一阶二阶白三阶自对应识别相对识别 实应对自振振频率振频率位置误差深度 误差 例位深频率 )以g 。1 ) 以肪) 置度 g _ 1 ) ! h 1无无7 3 5 32 9 4 1 06 6 1 7 3 20 20 1 57 3 4 52 9 3 3 76 6 1 0 70 1 9 24 00 1 3 0 1 3 0 3o 2o 37 3 1 62 9 1 4 66 5 8 4 20 1 9 62 0o 2 86 7 4o 20 47 2 6 42 8 7 6 26 5 5 7 80 2 0 52 50 3 9 5 1 3 5o _ 3 o 1 57 3 3 92 9 3 8 2 6 6 1 4 00 3 0 51 6 70 1 4 25 3 6o 30 _ 37 2 9 42 9 2 9 26 6 0 0 80 3 1 03 30 2 8 55 0 70 3o 47 2 1 32 9 1 1 66 5 8 4 20 3 1 55 30 3 8 05 0 8o 40 1 57 3 3 12 9 4