（固体力学专业论文）带有集中质量汽轮机叶片系统动力响应仿真.pdf

哈尔滨丁稃人学硕十学f i ) ：论文 摘要 在工程实际中盘一叶片系统这种力学模型是很普遍的，本文主要探讨汽 轮机叶片的振动问题中刚体和弹性体的耦合振动问题，这一问题的深入研究 对于具有这种力学模型的工程实际系统具有很大的意义，可以用来对实际问 题进行优化设计、进行系统仿真，达到指导设计和生产的目的。本文主要讨论 j 哺瞒速下，旋转叶片摇动问题中刚体和弹性体的耨台问题。这一问题的讨沦j c 寸研究 具有盘叶系统这种力学模型的实际系统有很好的指导意义。 本文首先从t a g r a n g e 方程出发，建立了载体和被裁体的运动微分方程，然后在 此基础e ，分别建立起j 暖缎速下旋转叶片的动力学方程和考虑叶冠对叶片影响下动 力学方穆两方陧含有时变的陀螺项、时变的刚度阵和时变的载荷阵。通过对方程的 进步分析，揭示出刚体和弹性体运动的耦合关系。主要讨论非稳转速下，旋转叶片 振动问题中冈姑陶弼单性体的耦合问题。运卜问题的讨论列研究具有捣叫系统这种力 学模型的实际系统有很好的指导意义。 对于弹性体叶片的振动微分方程的求解，本文主要采用了纽马克逐步积 分的方法，利用编写的m a t l a b 语言对数据进行了数字仿真和可视化处理。 本文所得到的弹性体的运动微分方程，采用的分析方法和理论公式及结 论对于具有盘一叶力学模型的工程实际系统的设计和生产具有指导意义。 关键词：刚体；弹性体；e l u e r - - l a g r a n g e 方程；叶冠；特征值 哈尔滨i ：群大学硕+ 学位论文 a b s t r a c t t h em e c h a n i c a im o d e io f d i s ca n db l a d e ss y s t e mi sv e r yc o m m o bi np r a c t i c a l e n g i n e e r i n gf i e l d s t h i sp a p e rm a i n l ys t u d i e st h ec o u p l i n gv i b r a t i o np r o b l e mo f r i g i db o d ya n de l a s t i ci x ) d yw h i c hb e l o n g st ot h ev i b r a t i o np r o b l e q t n so fs t e a m t u r b i n eb l a d e s t 1 l ef u r t h e rr e s e a r c ho ft h i sp r o b l e mi sv e r yi m p o r t a n tf o rt h e p r a c t i c a le n g i n e e r i n gs y s t e m sw h i c ha 佗o f t h i sk i n do f m e c h a n i c a lm o d e l a n dc a n b eu s e dt oo p t i m i z et h ed e s i g no ft h ep r a c t i c a lp r o b l e ma n ds i m u l a t et h es y s t e m ， i no r d e rt og u i d ed e s i g na n dm a n u f a c t u r e 1 1 1 ep a p e ru s e s l a g r a n g ee q u a t i o nt oe s t a b l i s ht h ed y n a m i cd i f f e r e n t i a l e q u a t i o no ft h ec a r r i e ra n dt h ec a r r i e d , a n dt h e na c c o r d i n gt ot h i s , t h ek i n e t i c e q u a t i o no fb l a d e si nv a r i a b l er o t a t i o nr a t ea n dt h ek i n e t i ce q u a t i o no fb l a d e s c o n s i d e f i n gt h a tt h el e a fe r o w r ta f f e c t st h eb l a d ea l ee s t a b l i s h e ds e p a r a t e l y a n d t h e s ee q u a t i o n sa l lc o n t a i nt i m e v a r i a n tg y r ot e r m s t i m e - v a r i a n ts t i f f n e s sm a t r i x a n dt i m e v a r i a n t1 0 a dm a t r i x t h r o u g hf u r t h e ra n a l y s i so ft h ee q u a t i o n s t h e c o u p l i n gr e l a t i o n s h i po fr i g i db o d ya n de l a s t i cb o d yi sd i s c l o s e d t h ep a p e r m a i n l yd i s c u s s e st h ec o u p l i n gp r o b l e m so fd g i db o d ya n de l a s t i ci x ) d yi nt h e v i b r a t i o np r o b l e m so f r o t a t i n gp a d d l e su n d e rv a r i a b l er o t a t i o nr a t e t h ed i s c u s s i n g o ft h i sp r o b l e mi ss i g n i f i c a n ti ng u i d i n gt h ep r a c t i c a ls y s t e m s ，w h i c hh a v et h i s k i n do f m e c h a n i c a im o d e lo f d i s ca n db l a d e ss y s t e m f o rt h es o l v i n go f t h ev i b r a t i o nd i f f e r e n t i a le q u a t i o no f t h ee l a s t i cb l a d e ，t h i s p a p e rm a i n l ya d o p t sn e w m a r kn u m e r i c a li n t e g r a l m e t h o dt os i m u l a t ea n d v i s u a l i z et h ed a t au s i n gt h ec o m p u t e rl a n g u a g em a t l a b n l ea n a l y z i n gm e t h o d t h ed y n a m i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n dt h er e s u l t si n t h ep a p e rw i l lp l a yad i r e c t i v er o l ei nt h ed e s i g na n dm a n u f a c t u r eo ft h ep r a c t i c a l e n g i n e e r i n gs y s t e mw i t hd i s c - b l a d e sm e c h a n i c a lm o d e l k e y w o r d s ：r i g i db o d y ：e l a s t i cb o d y ：e l u e r - l a g r a n g ee q u a f i o ml e a f e r o w n ； e i g e n v a l u e ； 哈尔滨工程大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：本论文的所有工作，是在导师的指导 下，由作者本人独立完成的。有关观点、方法、数据和文 献等的引用已在文中指出，并与参考文献相对应。除文中 已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集 体已经公开发表的作品成果。对本文的研究做出重要贡献 的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意 识到本声明的法律结果由本人承担。 作者( 签铋盗缝 日 期：厶。石年牛月1 6 日 哈尔滨工程大学硕士学位论文 第1 章绪论 1 1 简述 汽轮机是航空、舰船及电力、能源上业系统广泛应用的重要装置。它包 括地面燃气轮机、航空燃气轮机、鼓风机等这些汽轮机均有高速定轴旋转 的转子，静子与机匣和轴承组成。近年来汽轮机的性能不断提高，结构日益 向高转速、高效率、高精度、高可靠性趋势发展。汽轮机转子( 汽轮机转予主 要山叶片、轮盘及轴三部分组成) 通常以很高的转速上作，它与空气流或燃气 流相互作用，在涡轮甚至在压气机的高压级处温度均是很高的。气流分布不 均匀、不稳定及转子不平衡的离心力等会使转子振动，导致转子中一些组件 在上作中不可靠，出现疲劳断裂等。 汽轮机的叶片在工作状态下是受多种载荷的作用的，除了叶片自身由于 高速旋转造成的离心力的作用外。同时还会受到周期性激励力的作用，甚至 受到周围介质对其的作用力，从而产生振动，当叶片的自振频率等于脉冲激 振力频率或为其整数倍时，叶片就会发生共振，从而使振幅增大，产生很大 交变动应力，损坏叶片结构，以致造成安全生产事故。叶片是汽轮机中完成 功能转换的重要零件，工作中叶片容易发生振动。统计说明，叶片的损坏事 放( 裂纹、折断等) ，绝大部分是由于振动引起的。以汽轮机为例，据统计振 动故障率占发动机中总故障率的6 0 * , 以上，而叶片振动故障率又占振动故障 率的7 0 以上。可见叶片振动疲劳损伤故障是发动机中较为严重的问题。叶 片事故不但降低了汽轮机的可用率，还造成了巨大的直接和间接经济损失。 到目前为止，对于叶片的动力响应还不能进行非常精确的理论计算，因 此，叶片振动的分析迄今为止仍是一个重要的课题。对于汽轮机叶片的振动 分析的研究在世界范围内仍然是一个重要的课题。本文在这一思想下结合汽 轮机旋转叶片的例子在这一方面进行了研究探讨 哈尔滨工程大学硕士学位论文 1 2 叶片的研究和发展历程 目前，在叶片振动实验研究方面，国内外的一些公司与研究机构在叶片 振动特性研究方面做了不少工作，而且取得了一些很好的效果。西屋公司于 1 9 3 4 年首次使用了光学系统( 反射镜) 对运行的汽轮机叶片振动做测量；5 0 年代，随着精密仪表的普遍发展，广泛采用了应变片一集流环系统来测量叶 片的动频和动应力；1 9 5 8 年西屋公司首次介绍了无线电遥测技术在测量叶片 动频和动应力中的应用。6 0 年代开始研究叶片振动的非接触测量方法，9 0 年代，西屋公司开发研制出双探头叶片振动非接触监测装置，它不仅可以测 量叶片顶部的偏转，非同步振动及扭振，还可用于分析汽轮机叶片的损坏情 况，评价修复方案及检验重新设计叶片的性能口，它可以监测叶片动频的变 化、判断叶片级连接件的断裂、叶片失速颤振的发生等圈，该系统己在电厂 实际投入运行，且捕捉到两起叶片事故；西安热工研究院自1 9 6 5 年起开始应 用应变片无线电遥测技术进行叶片动频与动应力的测量口效果较好，但由于 其寿命的限制不能对叶片进行长期监测；南京电力高等专科学校郑叔深教授 的叶片振动监测装置试验，由于现场环境复杂，以上方法都因为寿命或精度 问题而不能在现场长期应用，因此在叶片振动特性的研究中，需要新的测试 方法出现。国外有关叶片振动实验台设计的资料尚不多见，西安热工研究院 曾在七十年代设计了一多功能振动实验台，该实验台主要用来研究轴振，同 时也涉及到叶片振动特性的研究。西安交大现在有一专门研究叶片振动特性 的实验台，曾利用应变片遥测技术测试叶片振动特性，在实验条件下，效果 比较理想。 建立在各种各样的有限元模型基础上的对于汽轮机叶片所进行的分析已 经进行的很广泛了，这些分析多是基于梁理论，如文献。在文献中哈尔滨 工程大学韩广才副教授对汽轮机叶片进行了有限元分析，应用第二类拉格朗 日方程推导了叶片的刚弹耦合方程，考虑圆盘的刚性体运动，叶片的弹性变 2 哈尔滨工程大学硕士学位论文 形，为进一步研究汽轮机叶片振动提出了有实际意义的方法和理论基础本 文正是在此基础上，考虑了汽轮机叶片端部带有集中质量振动情况。进行了 一系列研究。 尽管在文献。：中使用了板单元和壳单元，但是同样也不能得出很好的结 果，因为控制方程过于简化了但实际问题是很复杂的，对于问题的各种简 化假定往往会导致结果的不准确，而且在以上两个文献中过分考虑了叶片的 几何外形，使得控制方程相当复杂，对其求解也不得不采用一些简化的方法 来处理 从己有的资料看，对汽轮机叶片不论是强度计算还是振动分析多采用梁 模型，国内外在这方面均进行了大量的研究并发表了很多的文章。比如传统 的叶片强度计算、能量法和传递矩阵法计算叶片频率都采用梁理论。从不同 角度建立了梁模型的有限元方程，考虑了叶片的弯扭、不同程度的考虑了剪 切变性和转动惯量的影响，有的还考虑了叶根柔度的影响。梁模型的优点是： 计算量小，程序简单、方法成熟、适用于长叶片的振动特性分析，缺点是模 型比较粗糙，不能反映各种几何形状的叶片特点，对较短的叶片计算结果误 差较大，不能精确计算叶片局部应力和变形，用梁有限元模型和只维实体有 限元模型计算了同一个叶片，有些部位用梁单元计算的径向应力误差非常大。 采用板壳模型研究叶片的振动特性，对于汽轮机中长叶片和压气 机叶片，均取得了满意的计算结果。但用于分析调节级这类的短叶片。因与 其理论假设相去较远，同样存在不能准确模化叶片的细部结构和不能精确计 算叶片的局部应力和变形的问题。 在文献啪中，虽然也谈到了圆盘叶片的耦合振动问题，但出发点是将圆 盘和叶片均视为弹性体，在用有限元的方法来建立系统的振动方程时，作者 利用了对称的特点而取了单只叶片和轮盘的一部分共同作为一个弹性体来进 行有限元分析，本文同样也利用了这一特点，所以工作范围内结构振动的频 3 哈尔滨工程大学硕士学位论文 率及模态是主要考虑的问题，这些振动有逐渐增大的趋势，应力越来越大， 导致严重破坏。共振的一个重要特性就是当加速至共振转速时，振幅迅速增 大，在共振转速时到达极值，通过共振转速后迅速减小。但在文献0 1 中同样 也没有涉及到圆盘转动对于叶片振动的影响，这一点正是本文所要探讨的闯 题 在文献中研究了汽轮机叶片的动应力特性及频率，激振力、阻尼等因 素对动应力特性的影响。在建立叶片有限元模型、激振力和阻尼特性处理方 法的基础上。建立了采用模态迭加法求解叶片强迫振动的方程，建立了定理 计算叶片振动响应和动应力的模型和计算方法但文中同样也没有涉及到轮 盘的转动对于叶片动响应的影响，所得到的动力学方程是一个二阶的常微分 方程。 对于叶片振动问题的较早的研究可追溯到以下的一些文献，如在文献0 1 中提出的旋转梁问题，在文献“1 中作者应用了哈密顿原理建立了旋转梁的动 力学方程，并给出了计算结果。旋转梁是旋转机械中的重要的一部分，它的 动力学响应对于机械的正常工作有很重要的影响，目前研究的结果已经很多， 一些成熟的结论的在许多书中也可以找到，如啪旧，在这些书中大部分讨论的 都是欧拉或铁摩辛柯梁，接着在此基础上考虑了剪切力的影响，如州、“叮， 在许多文献中都使用了数值的方法求解了梁的振动频率及其振型，如n l m 2 “脚 等文献。近来随着工程技术的不断发展，对于旋转梁的振动特性引起了人们 的广泛注意，1 9 8 2 年w r i g h t “”对于旋转梁的本征值计算提出了解决方案， b a u e r “司n ”系统和全面地分析了旋转梁的动力学特性，在文献“”中指出简单梁 理论不能充分很好地解决高速汽轮机叶片的振动问题，采用不同的单元模式 进行力学模型的建立，在这一方面k i e b t 伽和l e i s s a 啪的文献中都进行了阐 述，在文献“町中对非稳转速下叶片的振动问题进行了力学模型的建立，并提 出了具体的数值解决。另外，对于盘也耦合系统的动力学分析，王文亮、 t 哈尔滨工程大学硕士学位论文 杜作润提出了新的方法“，对于叶片的振动分析实验王敏提出了全息干涉法 ，文献中指出这是一种非接触式的全场检测方法，总之，对于旋转机械叶 片的动力学问题，无论是理论上还是实验上都有许多人进行了工作，可见这 一问题对于解决工程实际问题是有重要意义的，本文在以上参考文献的基础 上从另外的角度对于叶片在非惯性体系中的动力响应问题进行了分析。并对 其响应结合实例进行了数值求解，并进行了数值仿真及数值的可视化处理。 总之，实际燃汽轮机转予结构中，一定数量的叶片安装在轮盘上，并以 一定的结构形式组装成转子。为能理解整圈叶片的动力特性，我们从单只叶 片的动力特性开始讨论叶片振动特性计算，早期的梁模型已被扳壳模型和 三维实体模型所取代，考虑叶冠和突肩的叶片模型将取代无冠和无突肩的模 型。考虑叶片与轮盘耦合振动模型也被采用。当用有限元方法作为数值工具 对单个叶片或组叶片进行分析时，研究和开发一个有限元分析过程是必要的。 本文正是在建立了轮盘与叶片耦合振动模型的基础上对叶片的振动响应进行 了分析。 1 3 叶片研究中存在的不足 以往的弹性体振动分析中，通常将此类问题放在惯性坐标系中处理，然 而在许多实际应用上，旋转机构往往面临许多非惯性体系中的问题。近几年 柔性多体动力学的研究为盘一叶片结构力学模型的深入研究提供了新的方 法，指出盘一叶片系统的运动实际上是两类力学模型的耦合。如何将这样复 杂的柔性多体系统动力学问题研究清楚是轮机技术中迫切需要解决的难题。 系统的运行速度加快，运行的精度要求越来越高，系统的动力学问题越来越 复杂如果将叶片仍作剐体假设已经无法解释复杂系统的动力学问题。因此 必须考虑叶片本身的变形 最近几年，对于旋转叶片的振动分析，人们开始注意了刚体和弹性体的 耦合问题，本文就是在这一思想的基础上对于叶片的振动非惯性坐标系下进 s 哈尔滨t 程大学硕士学位论文 行了分析，并对整个问题提出了完整的分析思路，和可行的求解方法探讨 了刚体的旋转运动对弹性体运动的影响，以及非稳转速阶段叶片的动力响应 问题，这样能够更全面反映叶片的动力学特性，对数值结果做了静力和动力 上的分析 到目前为止，对此类问题的解决大多专注于盘一叶结构本身的动力学问 题，而较少考虑甚至不考虑有关环境因素。实际上，无论何种动叶片，总要 在一定的环境下工作，这就必然会受其影响。如汽轮机会和蒸汽相互作用， 航空发动机的涡轮会和燃气相互作用，轮船的螺旋桨会和水流相互作用，在 这种情况下，动叶片会和周围介质发生机械能交换，影响轮机的正常工作， 在高速旋转的情况下更是如此，至于和流体介质发生能量交换、影响系统的 结构强度进而影响振动频率，那是更复杂的问题因而，发展动叶片的流一 固动力学方程等更合乎实际的理论则是未来努力的方向。 1 4 问题动力学性态研究展望 ( 1 ) 对于叶片的研究目前趋于建立刚柔耦合这种力学模型，所以从力 学基本原理出发研究刚体运动与弹性变形耦合的力学机理，建立 比较精确的耦合动力学的数学模型是当前需要进行的工作。 ( 2 ) 研究刚一柔耦合系统的全物理仿真测试技术。充分揭示刚一柔耦 合的特征。深入观察与发现各种动载条件下柔体系统的动力学性 态本质。在此基础上验证耦合动力学数学模型数值方法的正确性。 ( 3 ) 研究叶片端部加集中质量对旋转叶片动力响应的影响，并对比叶 片端部无集中质量对旋转叶片的影响，为今后研究叶冠对旋转叶 片影响打下理论基础。 ( 4 ) 提出盘一叶系统耦合动力学方程式化的建模方法。以解决工程中 的复杂系统动力学与控制性态的分析为最终目标，在上三项研究 的基础上导出适合计算机编程且具有良好数值计算性态的程式化 6 哈尔滨工程大学硕士学位论文 建模方法。 1 5 盘一叶系统的结构和工作状况 本文以汽轮机叶片在高速离心力场中的振动为例进行了叶片的动力响应 分析，所以在这里首先介绍以下汽轮机的基本工作原理，叶片的结构型式以 及汽轮机叶片的工作状况。 1 5 1 汽轮机原理及叶片的结构型式 如图1 1 和图1 2 为某一冲动式汽轮机级的示意图，喷嘴叶片安装在隔 板上，动叶片安装在叶轮的外缘上。在喷嘴通道内，蒸汽由压力p o 膨胀到a ， 温度由t o 下降n t , ，汽流速度相应地由c 0 上升到q ，高速流动的蒸汽由喷嘴 出口进入动叶时，给予动叶以冲动力f ，并转变方向，当汽流离开动叶槽道 时，它给叶片以反动力只，这两个力的合力，推动动叶片带动轮和轴旋转， 作出机械功，这就是汽轮机工作的基本原理。 汊吣l 图1 1 汽轮机级示意图图1 2 叶片汽道示意图 7 哈尔滨工程大学硕七学位论文 一只实际可用的汽轮机叶片，可分成工作部分又称线型部分，叶根部分、 叶顶部分和连接件部分，叶片型线部分通常有三种型式：等截面直叶片，用 于高压部分和中汽轮机上，变截面直叶片，用于中等长度的叶片机上，变截 面扭叶片用于中长叶片机上，其结构型式分别如上图1 3 、图1 4 、图1 5 。 1 i 图1 3图1 4图1 5 1 5 2 汽轮机叶片的工作状况 汽轮机的叶片在工作状态下是受多种载荷作用的，除了叶片自身的由于 高速旋转造成的离心力的作用外，还有蒸汽作用力，同时还会受到周期性激 振力的作用，从而产生振动，当叶片的自振频率等于脉冲激振力频率或为其 整数倍时，叶片就会发生共振，从而振幅增大，并产生很大的交变动应力， 为了保证叶片能够安全正常工作，就必须研究叶片的振动特性。 如果汽轮机在稳定工况下运行，离心力和蒸汽作用力不随时间发生变化， 我们可以用静力学来校核叶片的强度，但如果汽轮机在非稳定的转速下进行 8 哈尔滨工程大学硕士学位论文 工作，叶片所产生的应力则是动应力，到目前为止对于动应力的计算尚有一 定的困难，有关叶片静应力的计算在许多书中都有介绍，汽轮机在实际工作 中，由于外负载经常发生变化，所以汽轮机不会始终处于一种稳定的工况下 运行，而是经常处于一种变化的工况下运行，所以对于汽轮机中的叶片的这 种关键的零件的动应力的校核就显得非常重要了 在以往用简单梁理论对叶片进行振动分析时，通常并未考虑离心力对其 频率得影响，实际上叶片在高速旋转的工况下，其上所受到的离心力的作用 是不可忽视的，因此，当旋转的叶片离开平衡位置时，离心力就形成了一个 附加的力和弯矩，要抵抗叶片的弯曲，所以离心力的作用将使叶片的弯曲刚 性增加，本文在考虑离心力的基础上又考虑了非稳速转动这一工况，这样则 更能充分反映实际工况 另外在有些计算方法中，忽略了叶片在动态条件下本身弹性变形的影响， 以及叶片的高速旋转对叶片振动的影响，特别是长叶片在旋转运动时，其弹 性变形量比较大，由此而引起的各截面的形心位移已不容忽视，本文综合考 虑了以上各种因素，对叶片的振动问题作了详细的分析。 1 6 论文的工作内容 本文在对盘一叶片系统进行分析时，为了便于分析，本文只考虑旋转平 面内的振动，忽略了扭转振动的影响，而且只从单只叶片的动力特性开始研 究，将圆盘视作刚体，而将叶片视作弹性体，以结构横断面为参照，在叶片 旋转平面垂直方向择取一定厚度、叶片根部和圆盘完全固结、叶片末端自由 的条件下建立了刚柔耦合系统动力学方程，而且将叶冠的影响也后考虑进去， 将其作为叶片末端带有集中质量来处理。 论文主要包括以下几部分内容： 一、在连续体振动理论的基础上，推导了悬臂梁的弯曲振动方程，并 由分析力学的e u l e r - l a g r a n g e 方程和自由刚体的运动方程，推导了载体一被 g 哈尔滨工程大学硕士学位论文 载体的运动微分方程，从而为后续的分析奠定了理论基础。 二、利用有限元素法对弹性体叶片进行了离散，并按照一中推导出来的 方程得到了叶片的振动方程。 三、对方程的求解思路进行了探讨，提出了一整套数值求解的方案，分 别编制了对应的m a t l a b 程序。 四、为了使数值结果更加直观，更加便于问题的分析，最后对于数据进 行了可视化处理。 五、最后为了使结果更加直观和便于分析，最后对数据结果做了可视化 处理。并编制了本问题的a n s y s 程序，以作比较和参考。 本文的工作是在文献“1 的基础上发展起来的，文中对于动力学方程的建 立以及求解方法提出了一些新的方法，其数据结果期望对这一问题的研究有 所借鉴。 1 7 本章小结 本文的工作是在前人的基础上发展起来的，文中对旋转盘一叶片系统这 一工程实际模型进行了多方面分析，其计算的结果和仿真图形对工程设计有 所借鉴。 哈尔滨1 ：拌人学硕十学位论文 第2 章耦合系统的动力学方程 2 1 叶片分析思路 在工程实际中，有些部件为细长杆或薄壁结构，在运动中这些部件的变 形对系统的运行和稳定都有重要的影响，这些问题的特点在于它们的力学模 型即不是纯刚体也不是纯变形体，而是两类力学模型的祸合系统，这种耦合 可以是同一物体内刚体运动和弹性体运动的耦合，也可以是某些刚体的运动 和另一些变形体运动的耦合，本文在设定刚体和弹性体运动耦合的前提下， 首先给出刚体和弹性体各自的运动微分方程。 设有一可在空间自由运动的刚体，在这刚体上有通过约束与之相连的另 一系统相对于该刚体而运动，于是就有了一个可作相对运动的任一系统与自 出刚体相耦合的复杂系统动力学问题，这里可以将自由运动的刚体称为载体， 将相对载体作任意运动的系统称为被载系统，这样载体的自由度数为6 ，被 载系统的自由度可以是任意有限个数目n ，因此，整个系统的自由度数为 6 + n 。所以对于这类问题首先建立载体和被载体的运动微分方程。 2 2 离散系统与连续系统的关系 一个物理系统可以用不同的数学模型来处理。例如，考察一条梁的振动， 严格来说梁是一个连续系统。为了简化计算，可以把梁的分布质量按某一方 式集中到若干截面上，也就是把一条具有分布质量的梁用一条只有若干个集 中质量的梁来代替，这样就成了有限度自由系统了，可以想象，当梁上的集 中质量越来越多、集中质量之间的间隔越来越小时，它与具有分布质量的梁 的差别就应该越来越小。因此，连续系统可以看作是离散系统当自由度无限 增加的极限情形。 哈尔滨l ：张人学硕十学位论文 ( a ) i 纠 ( b ) 作为一个例子，考虑直 杆的纵向振动。取纵向坐标x 如图( a ) 所示，杆的纵向刚 度记作e a ，e a 为x 的函数： 杆单位长度的质量记作 r ( x ) ，作用在杆的单位长度 上的轴向干扰力记作 f ( x ，) ，其中f 为时间变量， 截面的轴向位移记作u ( x ，t ) 再考虑图( b ) 所示的离散系 统，各集中质量用无质量的 等截面弹性杆相连。设相邻 广 地4r + 啦r _ + 屿+ l 的集中质量之间的距离均为 出出+ _ f ? n 出，集中质量m = 盹) 缸，o + 6 + 6 + 一一7 “ 必一，气嵫层忍玩t 作用在膨。上的轴向力 ( c ) e = f ( x ，t ) x ，其中t 为 m ，的轴向坐标。典型的三个集中质量m 一、m 、m 。的分离体图如图( c ) 所示，m ，的左、右两弹性杆作用在m ，上的轴向力分别记作只一。、只，对质 量m 应用牛顿第二定律得到： 只吨+ f = m 争舻l 加力 ( 2 - 1 ) 其中川代表m 的轴向位移，它是时间f 的函数。 根据虎克定律，弹性杆的轴向力可表为： 只= e a 。警 = 瓯- 訾 ( 2 - 2 ) 钒零也- l 警加，帕 。：吲 = m 争 一”“ “ e 缸a , u 一+ + 缸忙墟，棚沪4 ， 叫字 一“ 一i 。 广义速度d _ u i ( f = 1 ，2 ，疗) 的值。 甜 ( f a 石a u t ) = 她等一e a hi a i _ i ( ，2 ，打) ( 2 8 ) l3 哈尔溟1 ：张人学硕十学位论文 则方程( 2 - - 3 ) 可以改写为： 厶( 融告m = m 争 2 朋 ( 2 - 9 ) 以a x 除上式的两端得到： 去( 瓯警) + ，( r ) = ，瓴) 争o - l ，扣，力( 2 - - 1 0 ) 当两相邻集中质量之间的距离缸趋于零时，方程( 2 - - 1 0 ) 左端第一项的极 限为： 船丢c 瓯鲁，= 丢 翻c x ，期。( 2 - - 1 1 ) 在取极限的过程中，将她、“，视为连续函数e a ( 力、u ( x , t ) 在x = 一处的值。 当缸_ 0 时，方程( 2 一l o ) 成为 丢卜，掣 + 脚一c d 挈皿删( 2 - - 1 2 ) 由于具有集中质量的离散点数目无限增多时，毛可在区f a j ( 0 ，) 内任意取 值( ，为杆的长度) ，方程( 2 - 1 2 ) 在x = x 上成立可代之以在区间( 0 ，) 内任 意一点成立。偏微分方程( 2 - 1 2 ) 是离散系统( 见图( b ) ) 当自由度无限增 多时的数学模型。 2 3 叶片模型的建立和坐标轴的选取 对于这类问题，简便合理的分析方法是：用广义坐标x o ，y o ，z o ，妒，妒，口及 准速度i ，q ，吃，幻描述载体，而用广义坐标吼，吼，吼描述被载系 统，其中0 点为载体上的任选一点，准速度为0 点速度吃及角速度面在固结 在载体上的坐标系o x y z 上的投影。 l4 哈尔滨i ：张人学硕十学位论文 图2 1 取载体上一点d 及固结在载体上的坐标系o x y z ，设吃为o 点速度，面为 载体的角速度，载体上任一点f 到o 点设为尹，被载体上任一点s 到d 点设为 尸，于是载体上任一点i 的绝对速度为： 、 只= v 4 0 + 面彳 “= l ，2 ，) ( 2 1 3 ) 被载体上任一点s 的绝对速度为： 吃= 吃+ 珊- s + 0 = i ，2 ，9 ( 2 - - 1 4 ) 和矽分别为载体和被载体所分割成的质点数，z 为被载体上任一点 相对n 叼曙坐标系的速度，另外，互= - s 国，吼，吼) ，上面两种速度的平方 分别为： l5 哈尔滨1 i 张大学硕十学竹论文 砰= 巧+ 2 ( 吃西) 彳+ ( 西彳) ( 面j ：，)( f = l ，2 ，) ( 2 - - 1 5 ) c = 一+ 2 ( 吒x 面) 乏+ ( 西露) ( 西x ) + 2 吃z + 2 面( 彳) + 吃2o = 1 ，2 ， ( 2 - - 1 6 ) 整个系统的动能为： n 。1 。 r = 寺m 口+ 豫以= 正+ 瓦+ i ( 2 - - 1 7 ) s * i 上s - i 其中正为牵连运动的动能： ， 瓦= 三以+ 2 m ( o o 娴乏7 + 面j o 司( 2 - - 1 8 ) c 为相对运动的动能( 只涉及被载系统) ： 1 n 。 。 c = q 2 = 去掌( 2 - - 1 9 ) 上j z l 二s = l 其中： 毒为彳对时间的相对导数； 乙为载体和被载系统的混合能量： 瓦= v o 量+ 西留 ( 2 2 0 ) 其中： 量：兰吃：艺码蟛：窆屯壹耍 ( 2 2 1 ) 量= s - i 吃= i - i 码蟛= j - i 屯善象 2 2 1 ) j “叫， 鄙= 薹耐x i 咖刃= 喜唾峨善( 2 - - 2 2 ) j - l 鄙= 豫乏x = 彳刃= 屯啊彳x 罢 j - 1 ，ii扣l 呵， 2 4 载体运动微分方程的建立 在2 3 节中已有了系统的动能，这里首先给出对应于广义坐标的广义力， 哈尔滨i ：榉大学硕十学能论文 载体上任一点的矢径为： 丘= 瓦+ ( 吼，吼，吼) ( 2 - - 2 3 ) 由点的合成运动理论有： 毫= 之+ 面彳= 争j - i 丝a j 硒只( 2 - - 2 4 ) 其中： - w 为亏对时自j 的绝对导数5 所以对( 2 - - 2 4 ) 式进行变分有： 谚= 既+ 骞和一彳( 2 - - 2 5 ) 其中衍为任意无限小角位移向量，所以主动力的虚功可以表示为： n ” 硎= 丘谚= 孟妩+ 膨衍+ 2 一 ( 2 2 6 ) s - i 1 - 1 其中j 为主动力的主矢，成为主动力对于d 点的主矩，所以载体的运 动万程田以p 阴e u l e r - - l a g r a n g e 刀程结出。 丢巾，= 目 蔓d t l 枥j 峒隹悟 = 2 5 被载体相对运动微分方程的建立 引入e u l e r 算子，记为： 川= 丢掣一掣 袖盏系统的相对运动微分方稗可表示为： 17 ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) ( 2 2 6 ) 哈尔滨i 张人学硕十学位论文 乞( 瓦) + 参( 瓦) + ( ) = 易 u f f i l ，2 ， ( 2 3 0 ) 由于正与厂义速度q j 无关，因此有： 缶( t ) 一考一m ( 吃均) 考一j 1 西券面( 2 - - 3 1 ) 由于 瓦= 吃- 霹+ 面嘭( 2 - - 3 2 ) 叠= 膨 ( 2 3 3 ) 利用关系： 至：翌 ( 2 3 4 ) 妁j qj 旦堡：互：至+ 面。盟( 2 3 5 ) d t 均i 两jo q i铂i 和向量的绝对导数与相对导数的关系： 言= 厅+ 面面( 2 3 6 ) 得到： 乞眈雨谢景 _ 3 7 ) 伽嘲面蔷协慝卜蔷( 2 - - 3 8 ) 于是被载系统的相对运动微分方程为： 丢薏一考2 9 州晓畅盼吾+ i 1 蟊薏西 一亩望一亩| 翌h 竺 ( 2 3 9 ) 钧ji a 自j a q j 在( 2 - - 3 9 ) 式中除了广义力q ，外，方程右端其它各项可认为是由于载 哈尔滨+ r ：程人学硕+ 学位论文 体运动而引起的广义离心惯性力。在以上的推导中，为了简便起见将诸广义 惯性力涉及的质量扩大到了整个系统，但在实际运算时仍只涉及被载系统的 质量，这是因为载体的动力学量与g ，无关，因此，只有被载系统的质量才对 ( 2 - - 3 6 ) 式中右端除q 项外其它各项有贡献，另外，如果载体的质量远远 超过被载系统的质量，那么被载系统的相对运动对载体系统运动的影响可以 略去不计，同时，由于在本文中载体的运动是已知的，这时被载体系统的运 动方程实际上变为在已知牵连运动的条件下的相对运动方程了，或非定常约 束系统的运动方程。本文在后面叶片动力学方程的建立中也同样基于这样的 理论。 2 6 广义力q ，的求解思路 由( 2 - 1 7 ) 及( 2 - - 2 0 ) 有： 丢署一号。q ，泸墟，神( 2 - - 4 0 ) 由( 2 - - 2 5 ) 及( 2 - - 2 6 ) 有： g = 萋丘r 善( 2 - - 4 1 ) ( 2 - - 4 1 ) 式中置为作用于被载体上的主动力，n 。为被载体所分割成 的质点数，在这里，将被载弹性体分割成为。个离散的微元，当。专m 时 就由离散体过渡到连续体，这样( 2 - - 4 1 ) 式中的声则应为作用于微元上的 力，很显然由于载体的运动及弹性体本身的弹性交形，这个力应当包括外力 及弹性内力两部分，这个外力本文设定为汽流激励而成的沿叶片轴线方向的 分布力，弹性内力自然是由于叶片本身弹性变形而引起的，本文在后面的叶 片动力学微分方程的建立中将只考虑这两种力。 l9 哈尔滨i ：榉人学硕十学位论文 所以广义力q 可分解为两部分，一般的外力及弹性内力，而弹性力可由 弹性势能矿( 吼，q 2 ，吼) 表达，因而( 2 - - 4 1 ) 式可写为： 兰要一要+ 婺：弓 u ：，一，硼 (一42)1 2 2-42d + 一= ，：i ，= 玎i t 妁| 8 q10 q f 。 、 一 这就是本文在弹性体叶片的振动方程中所要用到的动力学微分方程，在 这一方程的理论基础上推导出本文所建立的弹性叶片的振动微分方程。 2 7 本章小结 本章在连续体振动理论的基础上，分别建立了载体和被载体的动力学微 分方程，特别是在被载体的相对运动微分方程中反映出了由于载体的运动而 引起的广义惯性力，这就为后面弹性体叶片的振动方程中的某些项的出现奠 定了一个理论基础，同时给出了被载弹性体的动力学微分方程，通过本章为 后面弹性体叶片的动力学微分方程的建立奠定了理论基础。 2o 哈尔溟l ：稃人学硕十学位论文 第3 章弹性体叶片的动力学方程 3 1 推导叶片动力学方程原理和问题特点 本文通过第二章的载体和被载体的动力学微分方程来建立旋转叶片系统 的动力学微分方程。本文采用了有限元法，将弹性体叶片进行了离散化，写 出由节点位移表示出的叶片的动能，另外，根据弹性体的应变写出叶片的弹 性势能，在弹性势能中考虑了由于叶片的高速旋转所造成的弹性应交，计算 当中主要涉及了这一应变所引起的应变势能。 同时由于叶片的动能是一个标量，而且是个绝对的量，而本文所要考虑 的是非惯性坐标系下弹性体叶片的广义位移，所以本文在第二章中建立了被 载体的动力学微分方程，作为下面进行叶片动力学方程式的理论基础。 本文所讨论问题的主要特点就是，一是叶片在进行高速旋转运动时考虑 牵连运动对叶片响应的影响，二是弹性体叶片的位移响应是在非惯性坐标系 下描述的，由于这两方面的影响，本文后面推导所得到的系统的动力学方程 则是一个带有陀螺项的时变的方程。 3 2 对叶片动力学方程式的推导进行假定 由于叶片的固定方式、叶型尺寸等各异，振动时的变形也非常复杂，所 以在建立力学模型来描述叶片的振动规律时，需要对弹性体叶片做如下假定： l 、叶片根部为刚性固定，即根部截面处的挠度和转角等于零。 2 、叶片高度方向的尺寸远大于其它方向的尺寸，这样可把叶片看成由无 限个质点组成的弹性梁。 3 、考虑叶片的两个横向变形和一个轴向变形 4 、叶片的振动是无阻尼的，即不考虑周围介质阻尼和材料内部阻尼对振 动的影响。 哈尔溟- r 程人学硕十学何论文 5 、考虑轮盘为刚性体，叶片为弹性体 6 、分析叶片在非惯性坐标系下的响应。 3 3 旋转叶片的运动学分析 考虑长为，的细长叶片。其左端0 点固定于坐标为c 的刚性圆盘上，圆盘 的中心设为0 1 ，叶片未变形时的形心轴线设为似轴，如图2 1 所示，旋转坐 标系o x y z 固连于叶片上，随同叶片一同绕圆盘的中心轴o i z l 以角速度 q = f 2 ( t 1 旋转。 图中o i x l y l z l 为固定坐标系，o , x y z 为固连于圆盘上的动参考系，它绕固 定坐标系的d l 而轴以角速度q = q ( ，) 旋转，o x y z 坐标系为固连于叶片上的动 参考系，并且其o x 轴始终与o x 轴重合，这样所考虑的叶片为旋转梁，设定 其力学模型具有纵向对称面，在论文中考虑中性轴线( 即形心主惯性轴) 的 变形，设形心轴线上某一点的弹性位移在o x y z 坐标系中分别为纵向位移u ， 两个横向位移v 和w 如图3 1 所示，当叶片高速旋转时由于离心力的作用，形 心轴线发生变形，变形的形心轴线上任一点在动参考系d l x 夕2 中的位置用矢 径尹来表示，即： 芦= ( c + x + ”) 7 + 1 彳+ w k 。( 3 - - i ) 式中x 为形心轴线上的某一点到叶片的左端点( 即叶片与圆盘的交接处) 的距离，7 、歹、f 分别为动参考系d l 办| 的沿坐标轴方向的单位矢量，那 么由点的合成运动理论中的速度合成定理，则有 巧= 巧+ 巧 吃= d k x 尹 22 哈尔滨i ：稗人学硕+ 学位论文 一 二 v - 2 r 该点的绝对速度矢量吃为： 吃= ( d m ) 7 + 【t + r c + 工+ “) 】7 + 石 ( 3 2 ) 图3 1 从( 3 - - 2 ) 式中可以看出该式中出现了一q 订、q 万项，这说明叶片形心 轴线上任意点的绝对速度要与圆盘转动的角速度有关，也就是说刚体运动和 弹性运动之间发生了耦合关系。以往在处理这种问题时一般只考虑了弹性体 的横向位移，作了一些算例，在本文中则考虑了弹性体上一点三个方向上的 位移，这样则能更全面反应问题的实质。 3 4 叶片的离散化有限元素法 23 哈尔滨i ：榉大学硕十学位论文 在建立弹性体运动的微分方程之前，首先采用有限元素法将叶片进行离 散，将叶片分为若干个粱单元这种力学模型，并设梁单元的广义坐标为： j q = 【坼m 嵋m 叫吒一嵋r 如图( 3 2 ) 按照梁的弯曲理论，轴向位移与“，仅仅与轴力有关，但 是对于任选的局部坐标系彬，砂平面内的弯曲位移啊，形、一、不仅 与作用在该平面内的弯曲力( 1 l p 沿y 轴方向的剪力与位于习，平面内的弯矩) 有关，而且还与作用在拶平面内的弯曲力有关。但是如果砂与船平面分别 与横截面的主轴相重合，则在两个平面内的弯曲位移与弯曲力可以认为是相 互独立的。注意上面所述的各个位移都是位置和时问的函数，后面为了书写 的方便不特别标出，但均应作此理解。 图3 2 由于轴向只有两个节点位移虬与q ，可假定轴向位移为线性函数即： 24 哈尔滨l ：榉人学硕+ 学位论文 材( x ) = q + o t 2 x 在膨平面内的弯曲位移由于有四个节点位移w 、嵋、w j 、 ，可取三次 “x ) = 呜+ 口4 x + o t s x 2 + 瓯， 在夥，平面内的弯曲