（应用数学专业论文）有关亚循环群的几个结论.pdf

摘要 摘要 群的构造及其性质是群论研究的重要内容。亚循环群，即循环群被循环群 的扩张，是特殊的二元生成群，o t t oh n d e r 曾研究并给出了有限亚循环群的构 造；g p a z d e r s k i 曾证明了有限群g 恒为亚循环群时g 之阶l g l 所具备的条件； 徐明曜“3 、樊恽“、黄平安“1 、陈贵云“删等国内群论学者，也都先后对亚循环 群的各类性质做过研究，得到了许多具有重要价值的结论。而有关亚循环群综 合分析的研究成果不常见。 本文以“甄循环群”为主题，综合分析了亚循环群的自同构群，自同构群 是亚循环群的群以及亚循环p 群等的相关结论；通过比较循环群、亚循环群、 超可解群和可解群之间的联系与区别，利用它们间的关系以及利用子群对群结 构的影响，并引入弱拟正规。、拟正规“”等概念来扩充对亚循环群的研究，得 到了有关亚循环群的性质及其充分条件方面的若干结论。所得结论丰富了研究 亚循环群这一领域的成果。 关键词：亚循环群；半直积；拟正规；亚循环沙群 成都理工大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h es t r u c t u r ea n dp r o p e r t i e so fg r o u pa r ei m p o r t a n to b j e c t sf o rr e s e a r c h i n gi n t h et h e o r yo fg r o u p s m e t a c y c l i cg r o u p ，w h i c hi st h ee x p a n s i o no fac y c l i cg r o u pb y ac y c l i cg r o u p ，i sas p e c i a lg r o u pg e n e r a t e db yt w oe l e m e n t s o t t oh s l d e ro n c e w o r k e do v e rt h es t r u c t u r eo fm e t a c y c l i cg r o u p ；g p a z d e r s k io n c ep r o v e dt h e c o n d i t i o n sw h i c ht h eo r d e ro fm e t a c y c l i c g r o u ph a v e ；a n dm a n yd o m e s t i c g r o u p r e s e a r c h e r ss u c ha s ，x um i n y a o ”，f a ny u n 1 7 】，h u a n gp i n g a n 【”，c h e n g u i y u n 5 】 7 ，e t c ，a l lo ft h e mh a dd o n em u c hu s e f u lr e s e a r c ho nt h es t m c t u r eo f g r o u p ，t h ep r o p e r t i e so ft h eg r o u p ，a n dh a do b t a i n e dm a n yi m p o r t a n ta n dv a l u a b l e c o n c l u s i o n s h o w e v e r , t h er e s e a r c ho nt h eg e n e r a la n a l y s i so fm e t a c y c l i cg r o u pi s i n f r e q u e n t t h u s ，i nt h i sp a p e r , w i t hat h e m eo f 搐e t a c y c l i cg r o u p ? t h ea u t h o rs t u d i e da n d a n a l y z e dt h ec o r r e l a t i v ec o n s t r u c t i o n so ft h ea u t o m o r p h i s mg r o u p so fm e t a c y c l i c g r o u p ，g r o u p sw i t hm e t a c y c l i ca u t o m o r p h i s mg r o u p s ，a n dm e t a c y c l i cp - g r o u p ； c o m p a r i n gw i t hc y c l i cg r o u p ，s u p e r s o l v a b l eg r o u p ，s o l v a b l eg r o u p ，u s i n gt h e r e l a t i o no ft h e m ，a n du s i n gt h ei n f l u e n c e so ft h es t r u c t u r eo fg r o u pb yw h i c h s u b g r o u pp r o d u c e d ，a n da l s oi n t r o d u c i n gt h ec o n c e p to fw e a k l yq u a s i n o m a l 1 9 】a n d q u a s i - n o m a l f l 6 f o re x t e n d i n gt h er e s e a r c h e so ft h em e t a c y c l i cg r o u p ，t h ea u t h o r o b t a i n e ds o m ep r o p e r t i e sa n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n so f t h em e t a c y c l i cg r o u p ，i nw h i c h e n r i c h e dt h er e s e a r c h e so f t h ef i e l do fm e t a c y e l i eg r o u p k e y w o r d s ：m e t a c y c l i cg r o u p ；s e m i d i r e c tp r o d u c t ；q u a s i - n o m a l ；m e t a c y c l i c p g r o u p i i 第1 章引言 第1 章引言 1 1 群论的发展及其相关内容 抽象代数研究的对象是代数系，是由非空集合和定义在该集合上的一种或 若干种满足一定规则的运算所构成的系统。代数学是探讨元素的运算体系的， 这些元素像数一样，可以用加法或乘法或同时用两者把它们结合起来。体系的 性质取决于一些基本定律( 如闭合律、结合律、交换律、零和单位元素、负和 逆、分配律等) 中有哪些成立。人们研究满足某些特定定律的抽象体系，而群 是最基本的代数系，也是目前研究成果最丰富研究最广泛的代数系。群，简而 言之是对运算满足闭合律、结合律、单位元素和逆这些定律的代数系。这一代 数系群提出，对于当代数学及其它领域有着不可估量的作用。 群最初是作为研究对称性这样一个现实世界的重要规律的工具而产生并 发展起来的。这可以溯源到伽罗华理论，人们发现用这一理论解决高次方程的 根能否用根号表示的关键，乃是方程的根的平等性与对称性。自然科学的其它 部门如几何学、物理学、结晶学、化学等，也不断的要求用群论这一工具去解 决各自的有关对称规律的研究，这又促成群论的诸分支的形成。费德洛夫群( 规 则系统理论) 便是明显的一例。当群论系统地发展起来之后，它的概念与方法 便不仅对于对称规律、而且对于其它许多问题的解决，也具有重大的意义了。 历史上第一个被研究的群是有限置换群，它发端于拉格朗目关于代数方程 式求解的一般方法，并随同伽罗华理论的需要而发展起来。后来人们发现，这 一理论中对于定义在任意有限集合里的代数运算性质的研究，比用以构成群的 置换更为重要。由置换群向一般有限群论的这种过渡，使群论得以建立在公理 的基础上。1 8 7 0 年，克隆尼克给出了群论的公理结构，这成为以后研究抽象群 的出发点。同年，李在研究求解微分方程时提出了李群的概念。作为古典的连 续群论，它指的是变换群( 目前则指抽象群) 。 从十九世纪末至今，有限群的主要研究方法和主要结果均已得到，主要研 究方向也已指明。但是有一个矛盾逐渐突出出来，这就是在几何学、组合拓扑 学等数学分支中常遇到的一些与群非常类似的代数对象，却往往是无限的。这 就使得群的有限性成了一个极不自然的限制了。数学家们期望能用一些自然的 限制来代替群的有限性，使得已有的理论依然正确，而去掉这些限制后则不再 成立。遵循这个原则，一般群论的研究蓬勃发展起来，产生了与无限群的研究 紧密相关的分支( 自由群和自由积理论) ，并使群论达到了更为精确和严格的 程度。自然，有限向无限的发展，也产生了一些新的问题。例如象阿贝尔群这 成都理工大学硕士论文 样一个在有限群论中己完全解决了的理论，在一般群论中却变成了一个远未完 成的理论。 群论研究分为有限群理论和无限群理论。有限群是代数学中一个古老的分 支，有限群的研究大体可以分为群表示与群构造两个方面：群论的一个重要组 成部分，是由舒尔和弗洛伯纽斯创立的群的表示理论。所谓群表现指的是把一 个抽象群转化为与它同态的矩阵群来讨论。这是为了研究一个群g 的内在结 构，取一个具有已知结构或结构较简单的群日来表示g 。这样的群日一般只要 求与g 同态而末必同构，因此由日了解到的g 的结构只能是粗糙的。要准确 地了解群g 的结构，就必须有充分多的表示。这些就构成了群表示论的主要内 容。而研究代数学的基本问题之一就是决定由某些公理定义的代数系究竟有多 少个互不同构的类型，即所谓同构分类问题。所以群的构造无疑是群论研究的 又一主要内容。有限群构造的内容非常丰富，研究群就是要把其结构弄清楚， 因此研究群的构造就是研究群中子群的构造，群的数量刻画，群的同构分类问 题等等。 1 2群论的相关应用 当代科学技术发展的一大特点是，在几乎所有的领域，数学与计算机技术 被广泛的应用。近代数学的思想方法、观点和结论正在深入地渗透进自然科学 和社会科学的众多的理论分支，这是因为各门学科越来越走向定量化，越来越 需要用数学来表达其定量和定性的规律，并且运用数学的方法和成就来加速自 身的发展。“高科技本质上是一种数学技术”的观念已日益为人们所共识。因 此作为近代数学的三大基础之一的抽象代数，对于培养数学修养、抽象思维和 逻辑推理能力等，为进一步学习专门的数学知识和自觉运用数学创造性的开展 科学研究与解决问题都是很有必要的基础。 群是抽象代数中最早且研究的最为成熟的基本代数系，群被称为解决对称 问题的一种有用的数学工具，是当前研究成果最丰富、应用最广泛的一类抽象 的代数系，群论知识不仅在数学的各个分支有广泛的应用，而且在许多现代科 学，诸如量子力学、结晶学、理论物理、量子化学以及密码学、系统科学、数 理经济等领域，群的理论和方法也不断的受到重视。 1 3 国内外研究现状 正如对任一事物的认识要从其性质和构造入手一样，对抽象群理论的研究 正向许多方向深入进行着：其中之一是找出具体给定阶的群的全体，这个问题 第1 章引言 一般还解决不了，已有一些群论学者如g h i g m a n ，j g t h o m p s o n ，c c s i r e 等 都曾研究过有关不同构的n 阶群的个数及其上界问题，目前较好的研究成果可 参看文献 8 】；另一热门研究方向是：确定复合群或可解群和单群。单群问题已 经在上世纪八十年代解决了，而研究群的可解性仍是目前前沿的研究。 “横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，在这两大方向的研究热潮中，更 有相当学者立足于具体给定的群横向研究，即研究给定的特殊群的存在问题、 数量问题、构造问题。化抽象为具体，从一个典型的群研究其性质、子群的个 数及构造、直积、可解性及其自同构群等。目前基于循环群的特殊地位，即有 限生成交换群可分解为循环群的直积。人们已经成功的把循环群的存在问题、 数量问题、构造问题研究清楚了，但此方向的困难仍很大，如何选取这种典型 的群仍需要不断的研究。而本文选取亚循环群这一特殊群，基于循环群为一元 生群，仿造其研究二元生成的亚循环群的构造及其性质。关于亚循环群，人们 并不陌生，亚循环群是循环群被循环群的扩张，h i 5 1 d e r 定理曾给出了有限亚循 环群的构造：gp a z d e r s k i 曾证明了有限群g 恒为亚循环群时g 之阶i g l 所具备 的条件；黄平安、钱国华等研究过亚循环群的自同构群，见文献 6 】。本文旨在 专题研究亚循环群的一系列性质，通过研究有助于对抽象群论的构造认识更深 入具体，对群扩张理论的进一步研究也有重大意义。 本论文以“亚循环群”为主题，研究其存在问题、数量问题、构造问题。 群论的研究开始，人们就着手于研究群的构造，循环群在群中构造是最简单的， 并且也是最基本的。目前循环群的存在、结构及数量问题的研究已基本得到解 决。循环群是由一元生成的群，对有限生成的群的研究日益热门，那么由两个 元生成的群它的存在问题、数量问题、构造问题又如何呢? 关于这问题长期以 来一直是个非常引人兴趣的问题。国内外相关专家学者都对亚循环群这二元 生成群有很大的兴趣，从各个方面来获识它，理解它，并用它来研究群构造相 关的课题。本文依照这种不断扩充的思想，对亚循环群作了进一步的较全面的 研究，得到了一些较好的关于亚循环群的性质及其充分条件。 成都理工大学硕士学位论文 2 1 记号和术语 第2 章预备知识 g 五 定义2 2 1 6 设群g 为任意群，b b g 。规定 盘，b 】_ 。1 6 a b ，叫做元素d 和b 的换位子。再令g = ( f 口，圳以b g ) ，称为g 的换位子群或导群。 定理2 2 1 7g 是g 的全不变子群，并且若n 旦g ，则g 是交换群 营n g 。 定义2 2 1 8 称群g 为可解群，如果存在正整数”使g ( ”) = 1 。gc ”为g 的 ”阶换位子群，即g ( “) = ( g ( ”1 ) 。 定理2 2 1 9 可解群的子群和商群仍为可解群。 定义2 2 2 0 设群g ，h 为g 的子集，g g 。若h g = h ，则称元素g 正 规化日。而称g 中所有正规化h 的元素的集合 ，g ( 日) = g g i h 8 = h ) 为h 在g 中的正规化子。又若元素g 满足对所有h h 恒有h g = h ，则称元素g 中 心化日。而称g 中所有中心化h 的元素的集合( 日) = 塘g 陋8 = ，v h h ) 为 日在g 中的中心化子。规定z ( g ) = c 二( g ) ，并称之为群g 的中心。 定理2 2 2 1 设n q g ，n 和g 均可解，则g 可解。 定理2 2 2 2 设m q g 和n 司g ，c m 和g 均可解，则g m n 可解。 定理2 2 2 3 设n 蔓g ，a a u t ( g ) ，如果n 。= n ，则映射西：n g h 9 4 是 g 的自同构，叫做由口诱导出的g 的自同构。 定理2 2 2 4 设h g ，则n o ( ) c o ( 王d 同构于a u t ( h ) 的一个子群。 证明：设g g ( 日) ，则盯( g ) ：h h h g 是的自同构。并且显然g 卜盯( g ) 是虬( h ) 到a u t ( h ) 内的同态，其核为 k e r c r = 国：( h ) l h 2 = h ， o h h ) = c k ( 日) = c o ( 日) n ：( h ) 定义2 2 2 5 有限群g ，如果可以找到一个子群列： g = g o g 1 g 2 g ，- l g r = 1 其中q 旦q + i = 1 ，r ，并且商群g j 一，q 都没有非平凡正规子群，也即为单群， 则称这样的群列为群g 的合成群列，而把诸单群q 璺g t 一。叫做g 的合成因子。 定义2 2 2 6 有限群g ，如果可以找到一个子群列： g = h o q 马 h , - 】 耳= 1 其中每个子群e 都是g 的正规子群，且每个商群耳一。q 是g z 的极小正规 子群，则称这样的群列为群g 的主群列，而把诸群q 曼e 一。叫做g 的主因子。 第2 章预备知识 2 3 循环群的定义及基本性质 定义2 3 1 若群g 由一个元生成，则称g 为循环群，记为g b ，a 为其 成元。 由定义直接有任何循环群都是交换群。 性质2 3 2 循环群的子群仍为循环群。 性质2 3 3 循环群的子群之交仍为循环群。 性质2 3 4 循环群g 的子群都是g ”( = 防g ) ) 。 定理2 3 5 假定循环群 是无穷群，那么它的子群 = 的充分必要 条件是，= s 。 定理2 3 6 假定循环群 是 阶循环群，那么它的子群 = 的充分 必要条件是r 与 的最大公因数同s 与n 的最大公因数相等。即( ，”) = ( j ，n ) 。 性质2 3 7 假定循环群 是阶循环群，对于”的任一正约数，都存在 惟一的，阶子群。 性质2 3 8 无穷循环群有无穷个子群，n 元循环群的子群的个数等于 中 互异正因数的个数。 性质2 3 9 循环群的子群都是全不变子群。 定理2 , 3 1 0 无限循环群与( z ，+ ) 同构，有限n 阶循环群与( z 。，+ ) 同构。 证明：设g = 是循环群，a 为其生成元。考虑映射口：z g ，满足 i “= a 。，i z 。由i + ，ha “，= 口a j ，故口是同态映射，因而g 兰z k e r o t ，而 f o ， o ( d ) = o 。 k 8 7 口2 1 七| 膏z d ( 口) ： 由上定理容易得知，同阶( 有限或无限) 循环群必相互同构。 定理2 3 1 1 循环群的自同态必为自同构。无限循环群 有且只有两个自 同态：f i ：口h 日，吒：d 一口；以阶循环群 有且仅有妒( ”) 个自同态： 口i ：a h4 。，( k ，n ) = 1 a 定理2 3 1 2 1 3 6 i 有限群g 为循环的充要条件是对每个d l l g i ，g 至多有一个阶 为d 的子群。 定理2 3 1 3 1 36 1 有限群g 为循环的充要条件是对每个训g i ，g 至多有扑元， 它们的欲幂为l 。于是对每个d l l c j ，g 至多有d 个元，它们的欲幂为1 与 g 中恰有d 个元，它们的d 次幂为1 是等价的。 定理2 3 1 4 3 6 i 设g 为循环p 一群，g = z 。，则 ( 1 ) g 的自同构群a u t g 的阶是p “( p 1 ) ； ( 2 ) a u t z 。= s t ，其中s 是p “阶交换群，r 是p 一1 阶循环群。 ( 3 ) 如果p 是奇素数，则s 是循环群。若p = 2 ，则除去h = 1 或7 l = 2 以外 成都理工大学硕士学位论文 s 都不是循环群。 引理2 3 1 5 剐设g 是以下四个有限群之一：z ，z ，z 2 ( p 是奇素数) ，z 2 五，则a u t g 是循环群。 引理2 3 1 6 5 1 1 设g 是有限交换群，若a u t g 是循环群，则i g l 至多有一个奇 素数困子。 引理2 3 1 7 1 5 l l 设g 是交抉矿群( p 2 ) ，若a u t g 是循环群，则g 是循环群z 。 引理2 3 1 8 5 1 1 设g 是交换2 一群，若a u t g 是循环群，则g ：z 2 或g ：五。 引理2 3 1 9 1 5 1 】设g 是有限群，g 的自同构群是循环群，当且仅当g 是z 。， z ，z 2 ( p 是奇素数) ，z 2 ，z 4 这四种群之。 证明：设a u t g 是循环群，则g 是交换群，因而ig i 至多有一个奇素数因子。 设l g i = p “( p 2 ) ，则g 是交换p - 群，g 是循环群z ，。若i g i = 2 ”，则设g 是 交换2 一群，g = z 2 或g = z 4 。设g = 啄g ：，因为( i q i jg 2 j ) = 1 ，故 a u t g p d u t g 2 = a u t g ，因此a u t g ，2 曼a u t g 2 都是循环群，g ，= z ， g 2 = z 2 或g = z 4 。如果g = z 。z 4 ，则a u t z ，有二阶子群。而嵫l = 2 ，所 以a u t g ，a u t g 4 = a u t g 有两个二阶子群，矛盾。因此这种情况只有 g = z ，z 2 。这就证明了g 是乙。，z ，乏( p 是奇素数) ，互，五这四种 群之一。反之，由引理2 3 1 5 可知z v 。，z 。x z 2 ，z 2 ，z 4 这四种群的自同构 群都是循环群。 2 4 亚循环群的定义及相关引理 定义2 4 1 若群g 有一循环的正规子群且g n 也是循环群，则称g 为 亚循环群。 引理2 4 2 1 1 1 有限群g 为亚循环群当且仅当 g = a 引理2 4 3 4 i 设= p ，p ；一p p l p 2 p ，为素数，则m 喻群g j 随为 亚循环群( 循环群被循环群的扩张) 的充要条件是： ( 1 ) 每a 2 ； ( 2 ) 当p ? 。= 4 时，p 2 3 ； ( 3 ) 当p ， 地，设群片通过群同态0 ：h 卜a u t a 作用在群a 上， 第3 章有关自同构群的若干结论 护( ) ( 口) = 州“( 口) = k a 。 ( 3 ) 令g = a h - 贝0g 也可用生成定义关系描述为 g = ，k 8 = l ( m o d 片? ) ，k l ( m o d 川) ，0 j 已，已l 因p k ，故e z 。是z 。的惟一一个指数为p 的子群，相应的商群是z 。e z 。兰z 。 因此一“t 乙作用在z 。上，则存在自然的群同态z 卜z ：，记此同态的同态核为 k e r ( z ：，z ：) 。定义一个映射( k e r ( z * 。，2 ：) z 二) z 。斗z 。， ( 0 ，) ，j ) s r ( 1 + k + - + kr - i ) ( + ) 引理3 2 3 【1 7 l 记号如上，则( + ) 给出群( 勋r ( z ：，z ：) z ：) 在加群z 。，上的 作用并且有群同构a u t ( o ) 。兰z m ，( k e r ( z ，z ) z ：) 特别地有， i a u t ( g ) l 兰m d p ( m ) q j ( n ) q o ( e ) a 引理3 2 4 1 7 1 群g 的每个元惟一地写成i a h j ，其中0 i m ，0 j 2 ，则 a u t ( g ) 兰z 。c c z ：。 型： 3 3 亚循环矿群 引理3 3 1 2 1 有限非交换亚循环p 群( p 2 ) 只有下述两种互不同构的类 i a ，= 1 ，6 ，= 1 ，a 6 = a 1 + ，n ，肌，s 为正整数，且j 九，m + s 2 玎 i i 口，= 1 ，b ，= a p r 矿= a i + p 胛，m ，j ，t 为正整数，且j 十f 以，j t ( m i n ( n ，1 ) 引理3 3 2 设j q = ，g 有p “阶循环子群 = 1 ，由h 和量都为亚循环群知，存在日和足的循环正规子群量，k z ，且多台。和，都 为循环群，则存在g 的正规子群g l = q 墨，且( i 耳i ，i k i ) = 1 ，由互质循环群 的直积仍为循环群的定理知g 1 为循环群。同理可得弘为循环群则由g t 和 u 1 致都为循环群知g 为亚循环群，故得证 u 1 定理4 1 7 亚循环群的换位子群是循环的。 证明：事实上由亚循环群的定义直接有循环正规子群n qg ，使得g 是 循环群，那么g 也是交换群，则g ，n ，由n 为循环知g ，也循环。 推论4 1 8 群1 3 为亚循环群，若循环正规子群n 司g ，使得g 是循环群， 那么必有g n 。 定义4 1 9 称群g 为亚交换群，如果g ”= l 或g g 交换。 由定理4 1 5 我们可知g ”= 1 ，于是亚循环群即为亚交换群。 定理4 1 1 0 若g m 与g 都是亚循环群，那么g m n 为亚循环群；又当 第4 章主要结论 j c m i 与1 6 互质时，g ( m n ) 也为亚循环群。 证明；由g 7 a 拼兰( g n ) ( 俐w ) ，因为g ，为亚循环群，故它的商群也 为亚循环群，也即( g n ) i ( m n i ) 为亚循环群，故g ，m n 为亚循环群。 另g m n n 同构于( g 们) ( g ) 的一个子群。由l g m ij g n 【互质且为 亚循环群，故( 6 m ) ( g n ) 为亚循环群。从而g ( m f l n ) 也为亚循环群。 定理4 1 1 1 亚循环群是一超可解群。 证明：直接由亚循环群的定义，设g 有循环正规子群日及g 圩为循环群， 则g 有一主群列g 日= h o 一 呸 只一1 ，= 1 ，每eq h 。因日是