（信号与信息处理专业论文）全相位数字间断信号处理.pdf

中文摘要 本论文主要探讨了全相位方法对间断信号的处理，其中包括：对连续信号的 全相位截断；对本身存在间断点的信号的全相位处理；还有对于有限变换域滤波 器中边界引起的间断的全相位处理及对频率特性有间断点的f i r 滤波器全相位 设计和应用。 首先，提出考虑了所有截断情况的全相位截断，这种截断方式造成信号的截 断误差很小。文中对经过全相位截断后的信号进行频谱分析，称为全相位频谱分 析，实验证明，全相位频谱分析具有良好的频谱分析性能，可以明显减小泄漏， 并且可以分析出来幅值很小的信号的谱线，本文还对全相位频谱分析泄漏小的原 因进行了深入剖析。另外，提出全相位d f t 频率、幅值、相位精确校正法，校 正精度很高。文中还对间断函数进行了全相位最小二乘方的逼近，逼近误差小于 传统方法。 其次，推导出全相位f i r 滤波器的两种频率采样设计方法，全相位滤波器设 计方法尤其适用于具有间断频率特性的滤波器的逼近，不仅能保证采样点上的期 望响应，还改善了采样点之间的性能。本论文对全相位f i r 滤波器进行了仔细研 究，设计出四种全相位线性相位f i r 滤波器，进一步完善了全相位理论。另外， 两种全相位滤波器设计方法相结合通过移位补偿解决了传统频率采样法不能精 确控制截止频率的难题，文中给出实例验证。并且尝试了用全相位f r m 方法设 计过渡带陡峭的滤波器，可以很大程度的节约计算量。 第三，本文提出全相位半带滤波器新的设计方法，可以根据频率采样点数选 择使用全相位两种频率采样法之一设计无过渡点的，频率响应无过冲的，通阻带 纹波小的，过渡带陡峭的半带滤波器，此半带滤波器可直接进行谱分解得到q m f 组的信号重构误差仅为5 xl f f ”，传统方法为5 l 矿。 最后，用全相位分析方法对随机信号的功率谱估计及全相位有色噪声进行了 研究。分别用w e l c h 功率谱估计方法和全相位功率谱估计方法对有色噪声进行分 析，发现全相位功率谱估计可以有效的检测出混在有色噪声中的小信号，在信息 隐藏中有很大应用价值。 关键词：全相位；间断信号；谱分析：截j f ：频率；半带滤波器；有色噪声 a b s t r a c t 1 h i sd i s s e r t a t i o nd e a l sw i t hp r o c e s s i n gd i s c o n t i n u o u ss i g n a lb yt h em e t h o do fa l l p h a s ei n c l u d i n ga l lp h a s et r u n c a t i n go f c o n t i n u o u ss i g n a l ，a l lp h a s ep r o c e s s i n gt ot h e s i g n a lw i t hd i s c o n t i n u e sp o i n t ，a l lp h a s ep r o c e s s i n gt ot h et r u n c a t i o nc a u s e db yt h e b o u n d a r yo ff i n i t ef r e q u e n c yf i l t e r , a n da l lp h a s ed e s i g n i n go ft h e f i l t e rw i t h d i s c o n t i n u o u sf r e q u e n c yc h a r a c t e r i s t i c f i r s t ，t h e p a p e r i n t r o d u c e sa l lp h a s e t r u n c a t i o n c o n s i d e r i n ga l l k i n d so ft r u n c a t i o ns i t u a t i o n s ，w h i c hc a nm a k et h e t r u n c a t i o ne r r o rl e s s t h es i g n a li sa n a l y z e dt h r o u g ha l lp h a s es p e c t r u ma n a l y s i s i t c a nb ev e r i f i e db ye x p e r i m e n m lr e s u l t st h a ta l lp h a s es p e c t r u ma n a l y s i sh a sg o o d c h a r a c t e r sw h i c hc a r lr e d u c el e a k a g ea n dd i s t i n g u i s ht h es p e c t r u mo fas m a l ls i g n a l b e s i d eab i gs i g n a l ，a n dt h er e a s o no f w h i c hi si n t e r p r e t e dd e e p l y a n da l lp h a s ed f t f r e q u e n c ya m p l i t u d ep h a s ec o r r e c t i o ni sp u tf o r w a r dw h i c hh a sh i g h e rp r e c i s i o n a l l p h a s el e a s ts q u a r ea p p r o x i m a t i o nt ot h ed i s c o n t i n u o u ss i g n a li sa l s oi n t r o d u c e dw i t h l e s se r r o rt h a nt h et r a d i t i o n a lm e t h o d s e c o n d l y t w ok i n d so f a l lp h a s ef r e q u e n c ys a m p l i n gm e t h o da r ed e d u c e d ，w h i c h a r ee s p e c i a l l ys u i t a b l ef o rd e s i g n i n gf i l t e r sw i t hd i s c o n t i n u o u sf r e q u e n c yc h a r a c t e r i s t i c t h i sm e t h o dn o to n l yc a na s s u r et h ee x p e c tr e s p o n s eo fs a m p l i n gp o i n t s , b u ta l s o i m p r o v et h ec h a r a c t e rb e t w e e ns a m p l i n gp o i n t s t h ed i s s e r t a t i o nr e s e a r c h e sa l lp h a s e f i rf i l t e rd e e p l ya n df o u rk i n d so fa l lp h a s el i n e a rf i l t e r sa r ed e s i g n e dw h i c hm a k e t h et h e o r yo f a l lp h a s em o r ei n t e g r i t y a d d i t i o n a l l y , t h ep r o b l e mo f c o n t r o l l i n gc u t - o f f f r e q u e n c yc a nb er e s o l v e dt h r o u g ht h ec o m b i n a t i o no ft h et w ok i n d so fa l lp h a s e s a m p l i n gm e t h o da n dt h r o u g ht h es h i f ta n dc o m p e n s a t i o n s o m ee x a m p l e sa r eg i v e n i nt h ep a p e r s o m er e s e a r c h e sw e r ea l s o a c c o m p l i s h e do nt h ed e s i g n i n go f s h a r p p a s s b a n df i l t e r s b y t h ea l lp h a s ef r mm e t h o d ，w h i c h r e q u a i r s f e w a r i t h m e t i co p e r a t i o n s t h i r d l y , t h i sp a p e rp r o p o s e san e wd e s i g nm e t h o do fa l lp h a s eh a l fb a n df i l t e w i t hn ot r a n s i t i o np o i n t ，s m a l lo v e r s h o o t i n g ，s m a l lp a s sa n ds t o pb a n dr i p p l e ，s h a r p t r a n s i t i o nb a n d i tc a nb ei m p l e m e n t e ds p e c t r u mf a e t o r i z a t i o nt og e tq m f ，w h i c hc a n g e tp e r f e c tr e c o n s t r u c t i o ns i g n a lw i t he r r o ri so n l y5 x 1 0 一”，w h i l et r a d i t i o n a le l t o ri s 5 1 0 f i n a l l y ，t h ea l lp h a s ep o w e rs p e t r u me s t i m a t i o na n da l lp h a s ec o l o rn o i s ea r e r e s e a r c h e d t h ec o l o rn o i s ei sa n a l y z e db yu s i n gw e l c hm e t h o da n da l lp h a s ep o w e r s p e c t r u mm e t h o ds e p e r a t l y ，o fw h i c ht h et e s tr e s u l ts h o w st h a to u rm e t h o dc a nd e t e c t t h es m a l ls i g n a lm i x e dc o l o rn o i s e ，w h i c hi sv e r yu s e f u li nt h ei n f o r m a t i o nh i d i n g k e yw o r d s ：a l lp h a s e ，d i s c o n n e c t e ds i g n a l ，s p e c t r u ma n a l y s i s ，c u t o f f f r e q u e n c y , h a l f b a n df i l t e r , c o l o rn o i s e 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得盘鲞盘堂或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：黄值笼扛签字日期：y 咿6 年于月3 口日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解墨注盘鲎有关保留、使用学位论文的规定。 特授权苤盗盘茎可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 、- 、 导师签名：一，爱 签字目期： 沙b 年r 月罗。日签字日期：胤年心月 ，、，p 一 第一章绪论 1 1 课题的选题背景 第一章绪论 在最近几十年里，数字信号越来越引起人们的注意，由于它们是数字化的， 可以用计算机来处理，但计算机进行测试信号处理时，不可能对无限长的信号进 行测量和运算，都是取其有限的时间片断进行分析，这个过程叫做信号的截断 “。截断过程就是将无限长的信号乘以有限宽的窗函数。为了便于数学处理， 对截断信号作周期延拓，得到虚拟的无限长信号。然后就可以对信号进行傅里叶 变换、相关分析等数学处理。 这种有限信号边界的问断会产生截断误差，对截断以后的有限数据进行f f t 频谱分析或离散变换域滤波等这些数字信号处理中最基本的分析时会产生频谱 泄漏现象，因为周期延拓后的信号与真实信号是不同的，由于截断方式不同，使 得周期延拓后的信号存在间断点。传统方法可以通过整周期截断或用不同的窗函 数截断信号来减小这种现象。本论文重点研究对数字信号全相位处理方法。从本 质上主要包括两大部分内容：全相位对间断信号的处理和全相位设计具有频率特 性具有间断特性的滤波器。 关于全相位思想，最初来源于对频域滤波器的设计。早在1 9 8 3 年天津大学 电信学院的王兆华老师为了克服图像处理中的方块效应首次提出了重叠滤波器 的设想”1 ，截断误差表现在图像中则是方块效应。为了减少由截断带来的误差， 可以对分段数据进行重叠处理，即相邻段与段之间允许数据进行重叠，这样，对 于包含某输入数据的所有段都将对此数据的输出做出贡献，这就是重叠数字滤波 器的概念。1 9 8 5 年，侯正信老师解决了重叠滤波器的数学问题并将重叠滤波的 应用扩展到d c t 域，首次提出反余弦重叠数字滤波器”1 ；此后，二人又分别对重 叠滤波器做r 较深入的研究并发表了一些相关的论文；1 9 9 3 年，王兆华老师 出版了专著，其中全面系统介绍重卺数字滤波器及在内插等图像处理中的应用 ”；2 0 0 1 年，王兆华老师和他的博士生首次公布无窗藿叠数字频域滤波器框图。1 ； 同年，侯正信老师提出了更确切的“全相位”概念”；2 0 0 3 年，侯正信老师首 次公布无窗全相位频域滤波器频率特性图，及等效的新的f i r 滤波器设计方法 ；2 0 0 3 年8 月在第1 1 届全国信号处理学术年会上王兆华老师首次介绍了全相 位f i r 数字滤波器”；同年，在通信理论和信号处理学术年会卜全相位f f t 频 第一章绪论 谱分析又由王老师提出；在2 0 0 4 年，王兆华和侯正信两位老师申请了实用新 型发明专利，首次公布带窗全相位频域滤波器框图和频率特性图：2 0 0 3 年王 兆华老师的博士生苏飞在前人的基础上，对影响系统性能的窗函数进行了深入细 致的分析；对全相位数字滤波器的多个应用范围进行了尝试，提出了w - o 算法 矧，2 0 0 5 年侯正信老师和博士生徐妮妮推导出加窗全相位滤波器的新结构o “划， 并且提出全相位半带滤波器o “的谱分解设计方法及全相位功率对称f i r 完全重 建q m f 组，开拓了全相位滤波器在滤波器组方面的应用。本论文继续深入细致 地研究了全相位理论及应用，对全相位理论又进一步完善，指出全相位尤其适合 处理间断信号m 1 ，同时把全相位频谱分析和数字滤波器的应用范围进一步推广， 大量的仿真实验结果( 附图1 - 1 0 ) 都对上述结论作了有力的证明。 1 2 全相位方法截断信号 传统的截断只考虑了输入数据的一种分割情况，对分割情况考虑不足。将所 有的输入数据分割情况考虑在内，进行适当的叠加，形成全相位输入数据，然后 再进行处理，这样能够减小泄漏。若截取后的数据为个，则称阶输入数据 分析。举例来说明全相位方法。 输入数据口7 蕊口5m a 2 口la o ，下面分析包含啦在内的 辟3 的分割情况。在对输入数据进行个数n = 3 的分割时，包含啦的分割情况共有三 种，如图1 1 所示。传统的截断只考虑图1 1 左边三种情况之一，由于对输入数 据进行截断处理而产生的截断误差是不可避免的，而由这种对输入数据分割情况 的考虑不足所造成的分析结果出现很大偏差，所以将这三种分割情况全部考虑在 内，分别进行周期延拓，对准晚后相加，则最后所得的3 个数据便是全相位数 据。 ：曼：把0 1 a 2 ：l 兰：a o ： a la o 北a ia o l a oi 雒瓠 a l a 2a ia 3 la 2a la 3 f a 2a ia 3 1 斟a 3 l 斟a i 叫a 3 - 图1 1 全相位输入数据形成过程 上述方法形成的数据称为无窗全相位数据：3 a 2 ，2 a l + a 4 , a o + 2 a 3 ，这相当于在原来 2 n - 1 = 5 个数据的基础上加了一个5 阶的三角窗f i232l 】= ( 1 ll 】+ 【1 ll 】，再将加 窗后的数据进行重叠相加。如图1 - 3 左所示。 2 断扯戤弛截； a a a 斟 甜 邹 雏 第一章绪论 由于传统的数据分析方法可以采用不同的窗进行截断，因此全相位方法也可 加窗。若传统所加窗为中心对称窗w = w o 阡q ，则全相位加窗数据形成过程 如图l - 2 。 加窗啊断 a 6 a 5a 40 3 a 2 a la o 7 2 r i9 0 2a ia oa l r 2n n n a 3a za ia 1 r 2n 即 r 2 周期延拓 n ir ：n r 0i a o l 碰a i 0 0 i 2 i 乏器：母 r llr ow 2ni a 3 l a 48 3 i 。唧= 忑焉= 蕊n + 叠加w z ) a 。 图l - 2 加窗全相位数据形成过程 因为【h lll 】- 【附霸+ + + 阡q ，令f t = w o ， f 2 = 附m ，f 3 = 附嘲十，则阶加窗全相位数据可看作2 n - i 的传统加卷积 窗分析再叠加而成，如图1 3 右所示。 图1 - 3 全相位输入数据框图 1 3 全相位方法截断周期信号 以三阶数据分析为例：周期信号的输入数据为a o 们a 2 a o 口lq 2 q o ma 2 ， 则包含a o 的输入数据的分割情况有且仅有三种，即： 口0 们d 2 口2 口。们 口l 口2 咖 传统数据分析时是以其中的任一种分割情况的周期延拓作为输入数据，传统 方法町以用加窗来改善分析结果，即： 无窗时的输入数据：o ，口l ，a 2 平均输入数据：a o + a l + 口2 ，o o + a i + 伽，g o + g i + q 2 第一章绪论 d ，加窗时的输入数据：w o a o ，w j g l l ，w 2 a 2 其中，w i ( i = o ，1 ，2 ) 为窗函数系数。 全相位方法进行分析时是考虑了输入数据的所有分割情况，即将三种分割情 况周期延拓后再对准锄相加，过程表示如下： 4 0 口la 2 珊口l a 2 锄a l a 2 珊a l a 2 a 2 a o a la 2 a o 伪m a o 口l 盟准缅- a o 口l a 2 担地- 3 伽3 旬3 啦 m 啦咖m 啦珊口i 啦国伽口l 口2 所以，无窗全相位的输入数据为：3 a o ，3 a l ，3 a 2 同样可得加窗全相位的输入数据为：( w o + 佻慨) ( w o + w l + w 2 ) a i ，( w o 十帅 + ”2 ) 啦，其中，w i ( i = 0 ，1 ，2 ) 为窗函数系数。 所以，周期信号无窗、加窗全相位处理后仍是周期信号且信号强度均匀。 总之，阶无窗和加窗全相位数据都等于在原始的2 n - 1 个数据上加卷积窗 后再进行重叠相加组合，其中无窗全相位数据中的卷积窗可看作是阶矩形窗 与自身的卷积窗，加窗全相位数据中的卷积窗可看作是阶矩形窗与其它中心 对称窗的卷积窗。 图l - 4 给出了不同信号的传统截断与全相位截断的波形比较。这些信号分别 为：y ( 妒2 霄t 3 2 ) ，整周期截断；y ( t 声( 1 1 2 5 x 2 x t 3 2 ) ，偏离周期o 1 2 5 截断； y ( t 产( 1 2 5 x 2 a - t 3 2 ) ，偏离周期o 2 5 截断；y ( t ) = ( 1 3 7 5 x 2 t 3 2 ) ，偏离周期0 3 7 5 截 断；y ( t ) = 1 5 x 2 x t 3 2 ) ，偏离周期o 5 截断。从图中可以看出：传统截断，在整数倍 和接近整数倍截断时，波形首尾相同，偏离整数倍时，波形首尾有突变，引起泄 漏。在传统加h a m m i n g 窗截断情况下，5 种信号的波形首尾相同，泄漏少，但在 整数倍和接近整数倍时，波形失真，偏离余弦信号。而全相位截断后波形首尾相 同，泄漏少，在整数倍和接近整数倍时，波形不失真。 第一章绪论 圈j 圈j 圈三圈们z ， 囱j 囱；囱j 囱州孙m 舢 圆j 囱j 囱j 园州m 铆州锄 1 0 1 1 0 1 箍蔷袈 “宙看墓魏位袈旨0 舀 尹亩全相位 图l - 4 信号输入波形比较 t 1 5 * 2 i t 3 2 ) 另外，对于本身存在间断的信号的处理也是研究的热点，比如：间断函数的 最d - - 乘逼近或间断函数的傅立叶级数重构；具有间断频率特性的f i r 滤波器的 设计等问题。 因此针对间断信号处理的问题，本文提出了全相位处理的方法，这是一种有 效的减少g i b b s 效应和频谱泄露的方法。 1 4 本论文的主要工作 本论文的研究内容可分为三部分：第一部分由第一章和第二、三章组成，主 要研究间断信号的全相位处理，其中包括截断信号和信号本身有问断的情况下的 全相位处理，还包括全相位频谱分析及全相位最d , - 乘法逼近具有间断特性的信 号问题；第二部分由第四章、第五章、第六章、第七章、第八章组成，主要研究 全相位滤波器及全相位滤波器组，其中包括基于两种频率采样法的全相位第一种 和第二种频率采样滤波器的设计，以及四种全相位线性相位滤波器，还研究了两 种全相位频率采样法相结合，通过移位补偿设计任意截止频率滤波器，通过将全 相位滤波器设计方法与频率响应屏蔽技术相结合设计过渡带陡峭的滤波器，这部 分最后研究了滤波器组的设计，重点是谱分解全相位半带滤波器设计全相位两通 道完全重建滤波器组。第三部分由第九章组成，将第一部分的全相位频谱分析和 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 第一章绪论 第二部分的全相位滤波器设计相结合，研究了全相位有色噪声及其应用。最后进 行全文总结。 1 5 本论文的主要创新 1 全相位频谱分析及频谱校正 对输入信号考虑所有截断情况，得到全相位输入信号然后做谱分析，全利位 频谱分析时泄漏互相抵消，因此比传统f f t 频谱分析功率谱泄漏小，可以检测 出比泄漏小得多的小信号。这在小信号检测中会有很大实用价值，尤其是当邻近 的两个分量一个幅度较大而另一个幅度相对较小时，弱信号的主瓣很容易被强信 号的旁瓣淹没或畸变，造成谱估计的模糊和失真。全相位频谱分析能够分析出弱 信号的频率，可以应用在信息隐藏中。 根据全相位频谱和传统频谱分析是平方关系，全相位频谱分析当信号频率偏 移时，信号的相位不变，进而提出d f t 精确振幅、相位、频率图，解决了在谱 分析点数固定情况下，传统d f t 由于频率偏移致使信号分析时的振幅、相位和 频率不能精确测量的缺点，并且比现存频谱校正方法在无噪情况下精度高，在小 噪声和大噪声下相位误差均小于文献中的能量重心法，在频率比较密集情况下本 文方法是有优势的，计算简单，这是全相位频谱分析又一个实用的价值。 2 全相位数字滤波器的设计 根据第一个频率采样点位置的不同，提出两种全相位频率采样滤波器设计的 方法，频率采样点数可奇可偶，这两种方法均消除了数字信号处理中因分段带来 的截断误差。因为无窗和单窗全相位滤波器均过频率设置点，双窗全相位滤波器 逼近频率设置点，所以设计的滤波器，尤其是具有间断频率特性的滤波器，其通 阻带纹波小，过渡带窄。另外，提出四种全相位线性相位滤波器的设计方法，从 而构成了全相位滤波器族，并给出了实验论证和传统的四种线性相位滤波器进行 了比较。 在不增加频率采样点或增大滤波器长度的情况下，提出全相位频率采样移位 补偿法设计f i r 滤波器，通过设置移位因子，把两子滤波器进行相反方向平移来 构成任意截止频率的滤波器，并通过构造补偿滤波器使滤波器特性更好。在实际 的数字滤波应用场合此方法更加灵活，易实现，有很大的应用价值。 3 无过渡点全相位半带滤波器的设计 提出根据半带滤波器的长度选择使用两种全相位频率采样法之一设计全 相位半带滤波器，n = 8 i - i 时，选用全相位第二种频率采样滤波器设计方法； n = 8 i + 3 ，选用全相位第一种频率采样滤波器没计方法；这样设计出来的半带滤波 6 第一章绪论 器无过冲无过渡点，直接进行谱分解得到完全重构q m f ，信号重建误差为5 x l f f ”。 第二章全相位频谱分析及校正 2 1 引言 第二章全相位频谱分析及校正 频谱是构成信号的各频率分量的集合，它完整地表示了信号的频率结构，即 信号由哪些谐波组成，各谐波分量的幅值大小及初始相位，从而揭示了信号的频 率信息。数字频谱分析作为数字信号处理的一个基本学科分支有着重要的意义。 频谱分析是对动态信号在频率域内进行分析，分析的结果是以频率为坐标的各种 物理量的谱线和曲线，可得到各种幅值以频率为变量的频谱函数。 傅立叶变换是信号频谱分析中常用的一个工具，它把一些复杂的信号分解为 无穷多个相互之间具有一定关系的正弦信号之和，并通过对各个正弦信号的研究 来了解复杂信号的频率成分和幅值。傅立叶变换存在一些性质，这些性质进一步 揭示了信号的时域特性与其频域特性之间的内在联系。对信号进行傅立叶变换或 逆变换运算时，需要进行包括( 一一，+ 一) 区间的积分运算，这在计算机上实际 是做不到的。只能在时域和频域中取有限个离散数据，这些数据分别构成周期性 的离散时问函数和频率函数。时域连续信号的采样信号为： ( f ) = x ( f ) p ( f ) = “f ) 万( f 一玎) = x ( h ) 万( f 一月e ) ( 2 1 ) j = x ( 胛z ) 即一丹t , ) e - j 2 * d r ( 2 - 2 ) = x ( 月) 万( f 一1 ) 一2 矿面 ( 2 - 3 ) = x ( n t , ) e 。2 ”7 = j p 叫2 矾7 ) ( 2 - 4 ) 进行时域截断并将时域离散化后，得到实际计算的离散频谱： x ( e i 鲁) ：艺x ( n ) p ，k = - 0 ，i , - - n - ! ( 2 - 5 ) 函 其中k 为谱线号，为时域序列长度。所以有离散傅立叶变换对如下： 1 。n ，- i，竺h x ( 胛) = 古x ( i ) p 百“ “ ，n , k = 0 ，1 ， h ( 2 6 ) x ( t ) = 芝x ( ”弦1 百“ 第二章全相位频谱分析及校正 离散频谱分析时存在以下几种误差： ( - - ) 频谱分辨率 颤在频谱图上的分辨率鲈2 面2 努( 2 - 7 ) 实际上n a t 就是时域信号的长度。频谱分辨率与信号的长度成反比。显然要 想频谱图上频谱分辨率高，则信号记录长度要长。当f 不变时，采样点数增加， 则相应作f f t 的计算时间增加，当不变时，增大采样间隔f ，会引起频率混 叠。频谱分辨率的选取要综合考虑计算时间及频率混叠。 ( 二) 频谱混叠 对连续信号作f f t 谱分析时，必须进行采样，使之成为离散的时间序列， 如果信号颤f ) 的频谱x t ) 是有限带宽的，且信号上限频率小于采样频率的一半， 当信号经脉冲采样后，采样后信号的频谱是原信号频谱的周期重复。若信号频谱 黝不是有限带宽的，则采样后的频谱不是蚴的周期重复，频谱上将会有重叠 的部分。 ( 三) 能量泄漏 对信号作频谱分析时，只能取有限时间间隔进行分析，这就需要对信号进行 截断，其方法是将无限长的信号乘以窗函数。例如余弦信号“，) 与矩形窗函数1 4 ( 0 相乘，得到一个截断信号： x r ( t ) = j ( f ) 以，) ( 2 - s ) 根据频谱卷积定理，截断信号而( f ) 的谱j 0 ( ) 为： l 群( 埘) = x ( r o ) ( 纠 ( 2 9 ) 二虿 余弦信号的截断会产生能量泄漏。如图2 1 所示。 僦锵融蝴气一l 二l r w 溅解喇脚嬲气毒j _ j 兰1 = x l t ，- c ， 斟游烈祭怂_ 一百一仁瓦； ， 一11 二：磐f 图2 1 信号截断与能量泄漏现象 从图2 - i 巾将截断信号谱x a ( o ) 与原始信号谱朋) 相比较可知，它已不是原 来的两条谱线，而是两段振荡的连续谱，原来集中在f o 处的能量被分散到两个较 第二章全相位频谱分析及校正 宽的频带中去了，截断信号的谱是两段幅值衰减振荡的连续谱，这表明余弦的信 号被截断后，其频谱发生了畸变，这种现象称之为频谱能量泄漏。此泄漏的原因 是因为窗函数 ( ，) 是一个频带较宽的连续函数，从而使得信号被截断以后也必然 成为频带较宽的连续函数，即信号在频域的能量与分布被扩展了。因此信号截断 一般都会带来误差。另外，由于窗平移，将会造成信号相位的误差。 ( 四) 栅栏效应 由d f t 或f f t 得到的频谱是离散谱，是信号的频谱与一个窗函数的频谱作 复卷积后，按归一化频率分辨率a ( o = 2 万0 v 为计算样本的点数) 等间隔频域 采样的结果，经过这种采样所能显示出来的频谱仅在采样点上，而不在采样点的 频谱一律显示不出来。这一效应对于周期信号尤为严重，因为周期信号频谱是离 散的，如果信号的频率不能对准频域采样点，将会造成信号频率的幅值误差。 其中，能量泄漏和栅栏效应是频谱分析中两个固有的误差。下面重点研究频 谱泄漏。可以从离散傅立叶变换的等效滤波器的频率特性以及从被处理信号的周 期性延拓后的信号形式两个角度来看频谱泄漏。 对一个输入信号序列进行离散傅立叶变换，相当于把它送进一组个带通 滤波器，其中心频率分别为t q ，k - - 0 ，l ，n - 1 ，即每一个滤波器的频率间隔为 - - ， q = 鲁= 三睾= 2 码r ，这种等效的滤波器的频率特性具有如下的形式： 一鬻十坝描) ) 。， 风( 门的中心频率为女专，它的频率特性的峰值位于女 f j z ，即第l i 根频 i l i 线上。而在其它的相邻各间隔一个频率分辨单元砉的各个频率上，也即在 ，= 埘专伽t 的整数) 上，其振幅频率特性为零值。因此当输入序列是一角频率 为g q 的复正弦信号碑= g 丽2 1 t = 2 。a 万，且g 为整数时，将在k = q ( ( g ) ) ，的频谱 的各个离散点j i 专上的话，这将使许多滤波器都有输出，从而弓i 起频谱泄漏。 立叶级数，所以要先看一下以7 为周期的信号形式。假如信号x - ( 。) 的频率是努 的整数倍，t g i l 口s , = 专：上n t ，这意味着在丁的处理长度( 观察时间) 内有 第二章全相位频谱分析及校正 信号的k 个整周期，这时由而( f ) 构成的以r 为周期的周期性信号是连续的。若 ， 信号x ，( f ) 的频率不是= j s 的整数倍，这意味着在r 的处理长度内，不是恰好对 应信号的几个整周期，以r 为周期周期性延拓以后信号出现了不连续点，展开 后的以n t 为周期的周期性函数，将含有以= 为基波频率的各个高次谐波分 l ， 量，即兰：= t 鲁。这样，在进行离散傅立叶变换时，将在各个f ( 七) 处出现大小 n lh 不同的输出。 从上面分析频谱泄漏的原因可以想到，要抑制这种泄漏，可以通过使有限长 度输入信号周期延拓后，在边界上尽量减少不连续程度的方法来实现，或可以通 过抑制等效滤波器频率特性旁瓣的方法。所以传统上有两种克服方法。 克服方法之一就是对信号的整周期截断，这样在截断边界处没有跳变的现象 出现，和原真实信号一样；若截取的不是信号周期的整数倍，就会造成信号在截 断点处的不连续，在频域则表现为很长范围内的频谱泄漏，试以信号： 工= c o s o 5 x 2 7 x t 3 2 ) 为例来说明如果信号没有整周期截断，那么截断信号周期 延拓后与真实信号是不同的，有很大的跳变，如图2 - 2 所示。在实际工程中由于 信号频率未知，信号中很容易含有多个相互间不可公约的频率成分，要想做到整 周期截断比较困难，而且，信号频率若出现扰动，就更不容易控制截断周期。 1 0 1 1 0 1 01 d2 03 0 4 0 卯印7 08 09 01 叩 01 02 03 0加卯印7 08 0卯 1 0 0 图2 2 真实信号与截断周期延拓信号波形比较 克服方法之二就是选取合适的窗函数进行截断。即用适当的加权技术来消除 泄漏现象的影响。选用不同的窗函数可达到控制频谱中能量泄漏和栅栏效应误差 的目的。对窗函数的基本要求是：时域是为改善截断处的不连续状态( 由于g i b b s 现象而产生的振荡) ；频域为窗谱的主瓣窄而高。以提高分辨率旁瓣幅值应小， 正负交替应接近相等，以减少泄漏和假频。 第二章全相位频谱分析及校正 信号截断以后产生的能量泄漏现象是必然的，因为窗函数w ( o 是一个频带无 限的函数，所以即使原信号x ( o 是有限带宽信号，而在截断以后也必然成为无限 带宽的函数，即信号在频域的能量与分布被扩展了。又从采样定理可知，无论采 样频率多高，只要信号一经截断，就不可避免地引起混叠，因此信号截断必然导 致一些误差，这是信号分析中不容忽视的问题。为了减少频谱能量泄漏，在时间 域中可采用不同的截取函数对信号进行截断，截断函数称为窗函数，简称为窗， 即可采用不同的窗函数来截断信号，泄漏与窗函数频谱的两侧旁瓣有关，如果两 侧瓣的高度趋于零，而使能量相对集中在主瓣，就可以较为接近于真实的频谱。 如果增大截断长度l 即矩形窗口加宽，则窗谱职) 将被压缩变窄( ，r r 减小) 。 虽然理论上讲，其频谱范围仍为无限宽，但实际上中心频率以外的频率分量衰减 较快，因而泄漏误差将减小。当窗e 1 宽度r 趋于无穷大时，则谱窗职) 将变为 文) 函数，而故) 与坦) 的卷积仍为坦曲，这说明，如果窗口无限宽，即不截 断，就不存在泄漏误差。图2 3 是几种常用的窗函数的时域和频域波形，其中矩 形窗主瓣窄，旁瓣大，频率识别精度最高，幅值识别精度最低，布莱克曼窗主瓣 宽，旁瓣小，频率识别精度最低，但幅值识别精度最高。 一一 一 图2 - 3 几种常用的窗函数的时域和频域波形 对于窗函数的选择，应考虑被分析信号的性质与处理要求。如果仅要求精确读出 主瓣频率，而不考虑幅值精度，则可选用主瓣宽度比较窄而便于分辨的矩形窗。 例如测量物体的自振频率等；如果分析窄带信号，且有较强的干扰噪声，则应选 用旁瓣幅度小的窗函数，如汉宁窗、三角窗等；对于随时间按指数衰减的函数， 可采用指数窗来提高信噪比。克服方法之三就是用下面的全相位方法。 第二章全相位频谱分析及校正 2 2 全相位频谱分析 常用的f f t 频谱分析或功率谱分析是输入的个信号经窗截断后作f f t 变 换，取振幅或振幅平方后输出，如图2 - 4 左所示。前面已经提出这种截断的信号 做f f t 谱分析时会产生比较大的泄漏，要用全相位方法进行截断，将全相位输 入数据作f f t 变换，取a b s 输出幅度频谱，取振幅平方输出功率谱。称为全相位 频谱分析( a p f f t ) 。若将阶中心对称窗和阶矩形窗卷积产生的一个2 j 、h 阶窗作为窗函数，则是全相位单窗频谱分析，若将阶中心对称窗和自身卷积 产生的一个2 n - 1 阶窗作为窗函数，则是全相位双窗频谱分析，其框图如图2 4 右所示。 葺阶对称宙t l 一阶f f t 阶传缴耵频谱分析框瞳 阶全相位频诺分析框圈 图2 4 传统频谱分析与全相位频谱分析框图 2 2 1 全相位谱分析与传统谱分析的关系 下面先理论推导具有单一频率矗的单频信号的传统f f t 频谱和全相位f f t 频谱。 l 巫。 设单频信号为：x = e 一 ，其中西为信号频率，石为采样频率。 若做包含叫】7 ) 点的传统阶f f t 谱分析，输入序列为： x ( n 一半州- 1 ) x ( n ) x ( n + 1 ) 州+ 竿) ( 2 - 1 1 ) 对此序列作f 丌变换，取振幅绝对值输出得传统频谱分析幅度谱： 2 万 _ ：j ( 掣刊。1 百砌1 月= 0 1 3 第二章全相位频谱分析及校正 ：譬。，n2+l+ne，。一，斋砌= 。j p v l n ，2 万半 = e 。s e 由式( 2 1 2 ) 可见传统f f t 幅度谱为： 崤n - t k 嘲刑铀 ，s ok 、 万一- ) 砌州c 万s o 一寺 咖万一言) 争 ( 2 1 2 ) ( 2 t 3 ) 通过第一章详细分析全相位数据的来源，可以认为对于时间序列中的一点 h v ) ，存在也只存在个包含该点的维向量： x o = 【x ( ) 颤n + 1 ) x ( 2 n 1 ) 】1 j l = 【x ( n - i ) x ( ) x ( 2 n 一2 ) 1 1 x 4 = 【x ( 1 ) h 2 ) x ( | ) 】r 将每个向量进行循环移位，把样本点j ( 肋移到首位，则得到另外的个 维向量： 碥= 【“) x ( n + 1 ) x ( 2 n 1 ) 】7 x ：= 【“) 缸+ 1 ) x ( n 1 ) 】7 矗- l = 【x ( 忉x o ) x ( n - 1 ) 1 7 对准h 册相加得到全相位数据向量： x 一，。n n x ( n ) ( - 1 ) x ( n + 1 ) + x ( 1 ) x ( 2 n - i ) + ( 一1 ) x ( n - 0 1 7 一， ) 一，一， 七一 一一l 一 一l 壹一 i ( 一 f 丌 一 勘 塑啪 j p i兰 h 生： 堕 p l p o肛牡 第二章全相位频谱分析及校正 根据离散傅立叶变换的移位性质，x , ( - - - o 1 一 l 1 ) 的离散傅立叶变换形( 七) 和根卸1 n - 1 ) 的离散傅立叶变换石( 七) 之间有很明确的关系： 2 x k i ( 女) ：置( 弦7 - 7 ( 2 - 1 4 ) x 。p 阶告韫：丢ij 甚* - - i 雕弦7 百 x 彳p 2 亩，三七) 2 雨f 三孑雕弦 ：喜1 - 1 一+ 一一。2 x k n e j 百2 1 r k i z x ( n i n ) e n e = 一+ v ：ie伽07-i+n)。可：2x一,_1 n - i n - 1 。- ，等 ：磊艺艺j 3s ：j i ”；百 ，z z 争一。一，z 吖争一专，；n - i 协r 鱼f 一务一 ：毛：3 s n 0 e ”3 s n 二_ s n ” l = 一p n，z ，r 罢砌2 州c 考一旁k 2 ，z ok 、 册匀丁一矽 。s 由式( 2 1 5 ) 可见全相位f f t 幅度谱为： ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) 若没有对信号做整周期的截断，即频率届处有一个扰动o ，使得西不是哆的整 数倍，对比式( 2 1 2 ) 和式( 2 1 5 ) ，可以明显看出全相位更能够对石处的旁瓣 产生抑制而主瓣得到相对增强，大大减小了泄漏。 2 2 2 全相位谱分析泄漏小机理 下面给出n ：6 信号全相位f f t 频谱数据分析。频率为l0 2 ( 偏离整数倍) 第二章全相位频谱分析及校正 余弦信号c o s ( i 0 2 x 2 x 6 t ) 的1 1 个取样信号为： 0 4 8 1 8 。 - 0 5 3 5 8 ，- 0 9 9 8 0 ，- 0 4 2 5 8 ，0 5 8 7 8 ，0 9 9 2 1 ，0 3 6 8 1 。- 0 6 3 7 4 ，- 0 9 8 2 3 ，- 0 3 0 9 0 ，0 6 8 4 5 全相位输入信号由6 组n = - 6 的取样信号组成，第1 组是1 1 个取样信号的最 后6 个组成，第2 组由向左移1 位的6 个数组成，但0 9 9 1 1 要循环右移到首位， 其他类同。 0 9 9 2 1 0 3 6 8 1- 0 6 3 7 4- - 0 9 8 2 3- 0 3 0 9 00 6 8 4 5 0 9 9 2 10 3 6 8 1- 0 6 3 ”- 0 9 8 2 3- 0 3 0 9 00 5 8 7 8 0 9 9 2 1 0 3 6 8 1- 0 ，8 3 7 4- 0 粥2 3- 0 4 2 5 80 鼹7 8 0 9 9 2 10 3 6 8 1- 0 6 3 7 4吨9 9 - 0 4 2