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文档简介
异面直线及所成的角,一、基础知识,2、空间两条直线的位置关系:,异面直线,1、异面直线的定义:,不同在任何一个平面内的两条直线叫作异面直线,空间两条直线,连结平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不经过此点的直线是异面直线,3、异面直线的画法:平面衬托法,4、异面直线的判断,(1)、异面直线的判定定理(2)、反证法,5、异面直线成的角,(1)、定义:(2)、取值范围(00,900(3)、作法:平移法或补形法,(4)两条直线互相垂直相交直线的垂直异面直线的垂直,分别平行于两条异面直线的两条相交直线所成的锐角(或直角)叫做这两条异面直线所成的角,设图中的正方体的棱长为a,,图中哪些棱所在的直线与BA1成异面直线,求异面直线A1B与C1C的夹角的度数,图中哪些棱所在的直线与直线AA1垂直,例题1,例题2、,.下面两条直线是异面直线的是()A.不同在一个平面内的两条直线;B.分别在某两个平面内的两条直线;C.既不平行又不相交的两条直线;D.平面内的一条直线和平面外的一条直线,C,例题3.若a,b是异面直线,b,c是异面直线,则a,c的位置关系是()A.相交、平行或异面B.相交或平行C.异面D.平行或异面,例4、如图:a,b,c为不共面的三条直线,且相交于一点O,点M,N,P分别在直线a,b,c上,点Q是b上异于N的点,判断MN与PQ的位置关系,并予以证明。,解:,例5(法一)、在棱长是a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是BB1,CC1的中点,求直线AE与BF所成的角.,例5(法二)、在棱长是a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是BB1,CC1的中点,求直线AE与BF所成的角.,解:,例5(法三)、在棱长是a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是BB1,CC1的中点,求直线AE与BF所成的角.,解:,变式一、M,N为A1B1,BB1的中点,求AM与CN所成的角,变式二、求AE与BD1所成的角,直三棱柱ABCA1B1C1中角ACB900,D1,F1分别是A1B1与A1C1的中点。若BCCACC1,求BD1与AF1这两条异面直线所成的角。,A,A1,C,B,B1,C1,F1,D1,分析:恰当的平移是将异面直线所成的角转化为平面中的角的关键。,例6,思路一:取BC中点G,连结F1G,则角AF1G(或其补角)为异面直线所成的角;解三角形AF1G可得。,A,B,C,A1,B1,C1,D1,F1,G,B,思路二、延展平面BAA1B1,使A1ED1A1,则将BD1平移到AE,角EAF1(或其补角)即为BD1与AF1所成的角。,A,A1,C,B1,F1,D1,E,例7A为正三角形BCD所在平面外一点,且AB=AC=AD=BC=a,E、F分别是棱AD、BC的中点,连结AF、CE,如图所示,求异面直线AF、CE所成角的余弦值。,G,解:连结DF,取DF的中点G,连结EG,CG,又E是AD的中点,故EG/AF,所以GEC(或其补角)是异面直线AF、CE所成的角。,异面直线AF、CE所成角的余弦值是,例7A为正三角形BCD所在平面外一点,且AB=AC=AD=BC=a,E、F分别是棱AD、BC的中点,连结AF、CE,如图所示,求异面直线AF、CE所成角的余弦值。,P,另解:延长DC至P,使DC=CP,E为AD中点,AP/EC。,故PAF(或其补角)为异面直线AF、CE所成的角。,异面直线AF、CE所成角的余弦值是,注意,补形平移,直接平移,,中位线平移,,、平移:,、若用余弦定理求出cos,则异面直线所成的角为,如:若求出,则异面直线所成的角的余弦值为,异面直线所成的角,求异面直线
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