（概率论与数理统计专业论文）带干扰双险种破产概率的研究.pdf

摘要 风险理论是近代数学的一个重要分支，主要应用于金融、保险、 证券投资以及风险管理方面，也是当今精算界和数学界研究的热门课 题。其中对单一险种的风险过程己有很多的研究，考虑到风险经营规 模的不断扩大，即风险经营的多元化，有必要建立多险种的破产模型， 本文主要对带干扰双险种模型进行分析研究。 首先介绍了风险理论发展的历史和经典风险模型及其相关结论， 并综述了经典风险模型及其推广；齐次，介绍风险理论的一些重要知 识和破产理论的基本原理；接着在经典的风险模型的基础上，将模型 推广为带干扰的双险种风险模型，其中保费收入在单位时间内不再是 一个常数，而是一个随机变量，保单到达过程推广为一齐次p o i s s o n 过程，得n - f 其破产概率的精确表达式以及l u n d b e r g 不等式，并推 导出调节系数的上下界；最后，在第三章的基础上，将索赔过程推广 为广义齐次p o i s s o n 过程和c o x 过程，且将独立的双险种风险模型推 广为相依的双风险模型，得到了破产概率的l u n d b e r g 不等式：并在 将c o x 过程改为e r l a n g ( 2 ) 过程时，推出了与经典模型类似的的结 果。 关键词：双险种；破产概率；调节系数；鞅；c o x 过程 a b s t r a c t r i s kt h e o r yi sa ni m p o r t a n tb r a n c ho fm o d e mm a t h e m a t i c s ，w h i c hi s m a i n l ya p p l i e di nf i n a n c e ，i n s u r a n c e ，s e c u r i t i e si n v e s t m e n ta n dt h er i s k m a n a g e m e n t n o w a d a y s ，t h ec o l l e c t i v er i s kt h e o r yi so n eo ft h em o s t i n t r i g u i n gf i e l d sb o t ha c t u a r i a la n dm a t h e m a t i c a ls c i e n c e t h e r ea r em a n y r e s e a r c h e so no n e t y p er i s km o d e l i ti sn e c e s s a r yt ob u i l dm u l t i - t y p er i s k m o d e lf o re x t e n d i n go fm a n a g i n gs c a l e s t h ep a p e rm a i n l ys t u d i e s t w o - t y p er i s km o d e lw i t hr a n d o md i s t u r b i n gi t e m f i r s t l y ，i ti n t r o d u c e st h ed e v e l o p m e n to ft h er u i nt h e o r y ，t h e c l a s s i c a lr i s km o d e la n dr e l a t e dc o n c l u s i o n s ，i ta l s os u m m a r i z e st h e c l a s s i c a lr i s km o d e la n di t sg e n e r a l i z a t i o n s s e c o n d l y ，w ei n t r o d u c et h e b a s i ck n o w l e d g eo fr i s kt h e o r ya n dt h e p r i n c i p i u mo fr u i nt h e o r y t h i r d l y ，o nt h eb a s i so f t h ec l a s s i c a lm o d e l ，i ti sg e n e r a l i z e dt ot w o t y p e r i s km o d e lw i t hr a n d o md i s t u r b i n gi t e m ，i nw h i c ht h ei n c o m eo f p r e m i u m i sn o tac o n s t a n ti nu n i tt i m e ，i ti sav a r i a b l e ，a n dt h ep r o c e s s e so f p r e m i u mi n c o m ei sp o i s s o np r o c e s s w ed e d u c et h ee x p r e s s i o no fr u i n p r o b a b i l i t yo ft h er i s km o d e la n d t h el u n d b e r gi n e q u a l i t y a l s ow eo b t a i n t h eu p p e ra n dt h el o w e rb o u n do ft h ea d j u s tc o e f f i c i e n t a tl a s t ，b a s eo n t h et h i r dc h a p t e r ，t h ea r r i v a lp r o c e s s e so fc l a i m sa r eg e n e r a l i z e dt o g e n e r a l i z e dp o i s s o np r o c e s sa n dc o xp r o c e s s ， a n dt h ea r r i v i n gt i m e so f c l a i m sa r ed e p e n d e n t ，t h e nt h el u n d b e r gi n e q u a l i t yi sg i v e n w h e nw e s u b s t i t u t et h ec o xp r o c e s sf o re r l a n g ( 2 ) p r o c e s s ，w eg a i nt h es i m i l a r r e s u l t sa st h ec l a s s i c a lm o d e l k e yw o r d s ：t w o t y p ei n s u r a n c e ，r u i np r o b a b i l i t y , a d j u s tc o e f f i c i e n t ， m a r t i n g a l e ，c o xp r o c e s s i l 硕上学位论文第一章绪论 1 1 风险理论简介 第一章绪论 风险理论是近代应用数学的一个重要分支，主要应用于保险、金融、证券投 资以及风险管理等领域，它借助于概率论与随机过程理论构造数学模型，来描述 各种风险业务过程 风险理论作为经营者或决策者对风险进行定量分析和预测的一般理论己广 泛应用于投资和保险等行业之中。投资者经常需要选择那些损失小、收益大的项 目；而保险公司是获得投保人缴纳的保费收益，同时承担投保人所面临的相关风 险，保险公司和投保人也要面对风险和收益进行风险选择。为了更科学的进行选 择，就要对风险过程进行多方面的具体研究，其中对其稳定性的重要指标一破产 概率相关问题的研究，形成了一个重要的研究领域，破产理论。 破产理论是风险理论的核心内容，现在已经公认，破产理论的研究溯源于瑞 典精算师f i l i pl u n d b e r g 于1 9 0 3 年发表的博士论【l 】，至今已有一百余年的历史。 同时期，c r a m e r 和其他一些瑞典的学者也在这方面做了大量的工作【2 】f 3 1 。 近几十年来，随着随机过程理论的逐渐系统化和成熟，为风险理论的研究提供了 强有力的方法和工具。一般地，我们可以用以下随机过程来描述保险公司在t 时 刻的余额： u o ) = u + 尺( f ) 一s ( f ) 其中，u ( u 0 ) 表示保险公司的初始资本；r ( f ) 表示( 0 幻时间段内的总保费收入； s ( f ) 表示( 0 ，t 】时间段内总索赔。 这里忽略了利率和其他除保费和索赔之外影响余额的随机因素。随着时间t 的变化，盈余可能在某一时刻为负，当首次出现这种情况时，称保险公司发生了 破产。当然，这里所说的破产并不是指保险公司要面临倒闭，这样做只是为了数 学上的处理方便而已。如果把财务上其它影响盈余的因素都考虑在内的话，当保 险公司出现微小赤字时，该公司仍能继续运转，盈余u ( t ) 仍然可能为正的或者可 能恢复为正的。 我们这里说的破产概率并非真正表示保险公司将要破产的概率。破产理论中 的盈余也并非财务意义上的，破产理论中的破产概率只是衡量一个保险公司或者 所经营某个险种金融风险的一个极其重要的尺度，可以为保险公司的决策者提供 一个风险的警示手段，也为保险监管部门对保险公司偿付能力的监管提供依据。 硕士学位论文 第一章绪论 因此破产概率的研究对保险公司的经营和保险监管部门的监管都是有非常重要 的指导意义。 1 2 风险模型简介 从概率论的角度，风险本身可以用一个随机变量来描述。因此，风险模型就 是一个关于损失或索赔的随机模型。风险模型是保险产品，尤其是非寿险产品设 计及保险经营的理论基础。按是否考虑时间因素，而将风险模型分为长期风险模 型和短期风险模型；按保单是否随机，而将风险模型分为聚合风险模型和个体风 险模型；按保单总数在所考虑的周期内是否一开始就是己知且固定，而将风险模 型分为封闭风险模型和开放风险模型。在此，我们只介绍几类常见风险模型。 1 2 1 个体风险模型 个体风险模型又称短期个体风险模型，即不考虑时间因素，保单总数非随机 且对个体保单和个体保单理赔分别考虑而建立的风险模型，它是最简单的风险模 型。 s = 墨+ 五+ + 鼍= 五 其中：置是保单i 的损失和理赔量，刀是保单数或理赔数，称s 为理赔总额。对 上述模型通常有如下假设： ( 1 ) 每张保单是否发生理赔以及理赔额大小是相互独立、互不影响的，即 五，五，e 是一列相互独立的随机变量； ( 2 ) 每张保单至多发生一次理赔。若用随机变量，表示一张保单可能发生的 理赔次数，则，的取值为0 或1 ，亦即，服从卜1 分布或贝努里分布，记作： 卜i 1 0 9 三一qq ) 其中，理赔一次的概率为g 的确定视具体问题而定，比如在寿险中可根据某 种生命表来确定。 ( 3 ) 保单组合s = 五中的风险都为同质风险，理解为同类保单，数学上 则反映为每张保单的理赔置具有相同的分布； ( 4 ) 所考虑的保单总数刀为一个确定的正整数，即假定所考虑的个别风险模 2 硕士学位论文 第一章绪论 型为封闭型模型。 以上假设都是对实际情况的简化和理想化，精算学并不试图用一个模型来概 括全部真实和适应各种类型的实际问题。在现实生活中，个体风险模型存在很大 的局限性。例如，在意外事故保险中，理赔可能多次发生，在周期内保单数确定 与保险事务的随机性脱节等等。 对个体风险模型的推广得到短期聚合风险模型。 1 2 2 短期聚合风险模型 设是给定时期中保单的理赔次数，五是第一次理赔的理赔量，五是第二 次理赔的理赔量，s 为给定时期中的理赔总量其余依次类推，则 卫 s = x t x 2 + + x n = 2 ：x i f 墨l 与个体风险模型不同之处在于，理赔次数是随机变量，这正是“聚合 意义之所 在。对此模型常有如下的假设： ( 1 ) 随机变量，墨，五，是相互独立的； ( 2 ) 五，五，是具有相同分布的随机变量，即五中的风险都为同质风险。 1 2 3 长期聚合风险模型 长期聚合风险模型所表示的是承保人在较长时间内的盈余的变动情况。所谓 盈余是指保险公司初始资金加上保费收入超过理赔那部分，而非财务意义上的。 为了数学上的处理方便，我们将不考虑利息和其它除了保费和理赔之外的影响因 素，如附加费和保单持有人的分红等。用数学模型表示，盈余u ( t ) 是一个随机过 程 u ( f ) = + c t s ( f ) 其中，“= u ( o ) 是保险公司的初始资金，c 0 为连续收取保费的速率， n f t l s ( f ) = 置为到时刻f 为止的理赔总额。当理赔次数过程( f ) 为齐次p o i s s o n 过 f = l 程时，上述模型就称为古典风险模型。对古典风险模型进行各种不同形式的推广， 就得到各种具体的长期聚合风险模型及其变体形式，从而造就了风险理论研究内 容的丰富多彩。 硕士学位论文 第一章绪论 1 3 经典风险模型及其推广 1 3 1 经典风险模型 破产理论最早是从研究经典风险模型的破产概率开始的，模型如下： 令，f ，尸) 表示一完备的概率空间，以下的随机过程( 变量) 均定义在该空间 之上。 u ( f ) = “+ 甜一五 ( 1 3 1 ) 其中u ( f ) 表示保险公司在t 时刻的盈余，u 0 为保险公司的初始资本，c 为保费 收入率，是一个常数。 ( f ) ；f 0 ) 表示到时刻t 发生索赔的次数，即 n ( t ) = s u p n ：墨+ 足+ + 鼠t , t 0 ) ， 置；f 1 ) 表示第i - 1 次索赔和第i 索赔的 时间间隔。x ，表示第f 次的索赔额。 基本假设： ( 1 ) 索赔到达过程n ( t ) 是强度为旯( 旯 0 ) 的齐次泊松过程，并且( 0 ) = 0 ； ( 2 ) 索赔额序列 五；f 1 ) 是恒正的、独立同分布的随机变量序列，其分布函 数为： f ( 石) = 紫脚 期望为= 研x 】- j c o ( 1 一f ( x ) 皿 0 。 掣 由齐次泊松过程的独立增量性和模型的独立性假定，知研一五；f o ) 为齐次 独立增量过程。这样，由强大数定【4 1 可知 ”1 l i m u ( t ) = + o o ，口j 不过，这并不排除在某一瞬时，盈余过程有可能取负值，这时称保险公司“破产 。 令r 为保险公司首次破产的时刻，简称破产时刻，即令 t = i n f t ：u ( t ) 0 ，则r = 0 0 。 定义保险公司的最终破产概率( 简称破产概率) ： 4 硕上学位论文 第一章绪论 甲( “) = p ( t o o l u ( o ) = “) ，v u 0 ( 1 3 2 ) 显然，破产概率可作为评价保险公司偿付能力的一个数量指标。 定义保险公司有限时间t 的破产概率： 甲 ，f ) = p ( t t i u ( o ) = “) ( 1 3 3 ) 如果令t 专o o ，则l i m t ( u ，t ) = l i m p ( t tlu ( o ) = l | ) = p ( t o ，使得，个名时，即当， s 0 ，增量m = n ( t ) - n ( s ) 有参数为a ( t - s ) 的p o i s s o n 分布，即对后= o ，1 ，2 ，有尸( m ，= 后) = 丝矿瓤h ) ，这里五o 是常数，称 作过程的强度或发生率： ( 3 ) 具有独立增量。 在以上定义中，条件( 1 ) 是对过程初始状态的规定，并不是实质性的限制。条 件( 2 ) 蕴含过程具有平稳增量，即m j 的分布只依赖于差数f 一夕而与j ，t 的具体值无 关，此外由p ( m = 后) = 1 推知p o is son 过程是局部有限的。亦可用 p ( m + 。一m 2 ) = d ( 1 1 ) ，( j j l - - 0 ) 代替，称为普通性。条件( 3 ) 表示过程是无后效的， 因为 m ，f 0 ) 有独立增量意味着对任意正整数n 和任意实数0 t 2 0 ) 称为广义齐次p o i s s o n 过程，如果它满以 下几个条件： ( 1 ) p ( 0 ) = 0 = 1 ； ( 2 ) 过程具有独立增量性，即对一切气乞乙，随机变量 ( f 1 ) 一瓴) ，n ( t 2 ) - n ( t 。) ，n ( t ) - n ( t 一。) 相互独立； ( 3 ) 过程具有平稳增量性，即n ( t + s ) 一n ( t ) 对一切t 有相同的分布。 下面给出广义齐次p o i s s o n 过程的另一个刻画。 引理2 2 1 若 ( f ) ；f 0 ) 是广义齐次p o i s s o n 过程，则对任意t 0 ，( f ) 的概率 母函数q ( j ) 必为g a s ) = p 烈g 洲1 ，这里，2 0 是某一个常数。g ( s ) = 既是 k = l 某一个正整数值随机变量的概率母函数，其中成给出过程在任一个事件发生时 刻有k 个点同时出现的概率。 由此可以看出广义齐次p o i s s o n 过程是这样的随机过程，它的事件流是一个 强度为元的齐次p o i s s o n 过程，而在各个发生时刻的事件数是有相同分布 鼽，后1 ) 的独立随机变量。并且广义齐次p o i s s o n 过程 ( f ) ；f 0 ) 其实是由参数 名和 见，k 2 1 ) 决定的。 定理2 2 1 设 ( f ) ；f o ) 是参数为五和 见，k 1 ) 的广义齐次p o i s s o n 过程，则 m “ ( f ) ；f o ) 为一复合p o i s s o n 过程，r n ( t ) = 五，其中 i = 1 ( 1 ) 五，i l 为 1 ，2 ，3 ，) 上独立同分布的离散随机变量序列，且 尸 砭= 七) = p k ，k 1 ； ( 2 ) m ( t ) 为强度为兄的齐次p o i s s o n 过程，且 r e ( t ) ，t 0 ) 与 墨，f 1 ) 相 硕士学位论文 第二章预备知识 ( 3 ) 若研五】= ，则研( f ) 】- 肼f 。 由定理可以看出，若尸 墨= 1 ) = l ，则广义齐次p o i s s o n 过程即为一般的齐 次p o i s s o n 过程。 2 3 随机和 设置，五，以是独立同分布的随机变量，并且有相同的分布函数，( x ) 和矩 母函数m z ( r ) = e e 】_ f e 搿扭( x ) 。它们和的分布是f “，其中f “在本文中表示 ，的刀重卷积。 设为取非负整数值的随机变量，记 聊( ，) = 二。矿岛 ( 2 3 1 ) 其中魏= p r ( n = 刀) ，l = 0 , 1 ，2 ，r e ( r ) 是n 的矩母函数。再假定，f = 1 ，2 ，) 与 也是相互独立的，并记 s = 五+ 五+ + 彳r ( 2 3 2 ) 约定当n = 0 时，s = 0 。以下称s 为随机和，并称为求和次数，而 五，i = 1 ，2 ，) 称为s 的加项。 s 的分布函数为： e ( j ) = p r s s ) = e p r s o ) 被称为广义复合p o i s s o n 过程，它可以表示 s o ) ：窆五，f o ，其中 ( f ) ，f o ) 是广义齐次p 。i s s o n 。，f - l ，2 ，是相互独 立同分布的随机变量序列，而且还假设过程 ( f ) ，t 0 ) 和序列) 是相互独立 的。 定理2 5 1 对上述广义复合p o i s s o n 过程s ( f ) = 五，置的分布函数为f ，且 研( f ) 】肚f 则有s ( 力：篁互，其中 ( 1 ) r e ( t ) 为强度为元的齐次p o i s s o n 过程； ( 2 ) 互，i 1 ) 为独立同分布的随机变量序列，互的分布函数为 形( z ) = f h ( z 城，其中f h 为，自身的n 次卷积，且研z i 】= 研五】。 n = l 2 6 条件期望 概率空间记为( q ，f ，一，g 是f 的某一子仃代数， g c f 。孝 ) 是满足 引孝l o o 的随机变量。 定义2 6 1 具有下列两性质的随机变量e 偕lg ) 称为f ) 关于g 的条件数学期望 ( 简称为数学期望) 。如果 ( 1 ) e ( flg ) 是g 的可测函数； ( 2 ) 对任意4 g 有： i 层gig ) p ( d o 口) = i 善尸( d 缈) 。 定义2 6 2 设c f 为任一事件，则它的示性函数，即：毛( 孝) = l ，如果缈c ， 否则，r ( 孝) ：0 ，关于g 的条件期望称为c 关于g 的条件概率，记为p ( c lg ) 。 p ( c lg ) 是满足下列条件的随机变量： 1 4 硕士学位论文第二章预备知识 ( 1 ) p ( cig ) 为g 的可测函数； ( 2 ) 对任意a g 有：i 尸( c ig ) p ( d c o ) = p ( a c ) 。 条件期望的性质： 以下等式、不等式或极限关系都是以概率1 成立的善，磊，r l 都是随机变量且 i 引 研刁ig 】； ( 3 ) l 研孝l g 】i 研i 孝l i g 】； ( 4 ) 设0 复个孝，e i 孝i ，则e 参ig 个e 孝ig 】； ( 5 ) 设毒寸f ，l 磊i 7 7 ，e r l o o ，则e 毒ig 专e 孝ig 】； ( 6 ) 若7 7 对g 可测，ei 勃l o o ，er i 0 0 ，则e e r ig 】- 刁匝eig 】； ( 7 ) 若f 对g 可测，则e 孝i g 】= 善； ( 8 ) 若孝对6 独立，则研孝i g 】- 霹； ( 9 ) 若g lcg 2cf ，则研研孝ig 2 】lg l 】= 研孝ig l 】一研研fig 1 】ig 2 】； ( 1 0 ) 研研乡i g 】 = 霹。 2 7b r o w n 运动 定义2 7 1 随机过程隰；f r + ) 满足以下条件 ( 1 ) & 一色对彼此不相交的区间( 墨， 是相互独立的； ( 2 ) e 一只遵从正态分n ( o ，t - s ) ( s f ) ； ( 3 ) b , ( c o ) x c t 连续。 则称为b r o w n 运动。 2 8 鞅论 鞅是一类很重要的随机过程，在金融数学与精算学、生存分析及其他领域中 有着广泛的应用。在风险理论中，鞅方法己日益成为一种很重要的研究方法，常 用于研究破产理论和最优决策。 设( q ，f ，p ) 为一概率空间，( f ，t 0 ) 为一单调递增的f 子仃一域流， x = x ( f ) ，t 0 ) 是任意的随机过程，令e j = 仃( x ( s ) ，j f ) ，f x = ( ( z ，t 0 ) ，则 e x 是由过程x 在( o ，t 时间段生成的盯一域，表示过程x 直到时刻f 的历史。 硕士学位论文 第二二章预备知识 如果对每个t 0 ，工( f ) 为z 一可测，那么过程x 称为f 一适应的。显然，x 是f 一适应的当且仅当对于所有的t 0 ，f x 互只成立。 定义2 8 1 实值过程m = m ( f ) ，t 0 ) 称为f 一鞅，如果满足： ( 1 ) 对于任意的t 0 ，m ( t ) 为e 一可测； ( 2 ) 对于任意的f 0 ，研l m ( t ) i 】 o o ； ( 3 ) 对于任意的0 s i 本文中所考虑的所有过程都有右连续轨道，且子盯一域流f 是右连续的。 定义2 8 3f 是非负的的随机变量，如果对任意的t 0 ，p 日f 则称f 是f 一 停时。 若f 是关于随机过程0 ) ，f 0 ) 的随机时间，则对任意固定的时刻t ， rat = m i n r ，f ) 是关于随机过程的有界停时 定理2 8 1 ( 可选抽样定理) 假设f 是关于鞅 m ( f ) ，t 0 ) 的有界停时，则有 日m ( f ) 】= e m ( o ) 】。 定理2 8 2 ( 收敛性定理) 设似( f ) ，t o ) 是一非负鞅，则存在几乎处处收敛的有 限极限，即有 l i m g ( t ) = x p ) ，口j 1 6 硕士学位论文第三章带干扰的保费随机收取独立双险种风险模型 第三章带干扰的保费随机收取独立双险种风险模型 经典的破产模型是假定保险公司按单位时间常数速率收取保险费，盈余过程 n “) 缈( ，) ，t o ) 中的s ( t ) = 墨为一单险种复合泊松过程。本章将保费达过程推广 百 为一齐次p o i s s o n 过程，同时将s ( t ) 推广为一双险种的复合p o i s s o n 过程，且考 虑了干扰项b ( f ) ，为一b r o w n 运动。并针对此模型给出了盈余过程的一些性质， 得到关于破产概率的一些定理。 3 1 模型的建立与假设 定义双险种的风险模型的盈余过程缈( f ) ，t o ) 为 啪) ：“+ 羔五；+ 竺瓦一誓一窆z ；+ 万踯) ( 3 1 1 ) 其中 ( 1 ) “= u ( o ) ，且有“0 表示保险公司的初始盈余， ( 2 ) 五；和置；分别为险种1 ，2 第f 次保单到达随机收取的保费，l ，z ；分别表示 险种1 ，2 的第i 次索赔“= l ，2 ，3 ，) ， 五；，f = 1 ，2 ，3 ，) ， 五i ，待1 ，2 ，3 9 * oo ) ， 誓，i = 1 ，2 ，3 ，) ， z i ，i = l ，2 ，3 ，) 是独立同分布非负的随机变量序列，其分布函数 分别为氏，乓，e ，兄，且e ( x l i ) = “。， e ( 五i ) = 鸬l ，e ( y i ) = 4 ，e ( z i ) = 鸬， d ( 五，) = q 。2 ，d ( 五，) = q 。2 ，d ( ) = 砰，d ( z ，) = 霹，各索赔过程都为轻尾过程； ( 3 ) k i ( f ) ，k 2 ( f ) ，n 。( t ) 和n ：( t ) 分别表示保险公司在( 0 , t 】内险种1 ，2 的收到 的保单数与索赔次数，且 k ( f ) ，t 0 ) ， ( f ) ，t 0 ) ， n 。( t ) ，t 0 ) ， n ：( t ) ，t 0 ) 分别为参数为 。，五。， ，五的齐次p o i s s o n 过程， 且 墨( 0 ) = 五( o ) = n 。( 0 ) ：n ：( 0 ) _ o ； ( 4 ) 召( f ) ，t 0 ) 是一标准b r o w n 运动，表示保险公司不确定的收益和赔付。 ( 5 ) 墨o ) ，t o ，i = l ，2 ) ， n l ( t ) ，t o ) ， n 2 ( t ) ，t o ) ， 五，f = 1 ，2 ，3 ，) ， i ，f = 1 ，2 ，3 ，) ， z i ，i = 1 ，2 ，3 ，) ，徊( f ) ，t 0 ) 相互独立； 令 踯) ：竺墨；+ 艺五；一芝誓一芝z ；+ 邪， ( 3 1 2 ) i - - l i = li = li - i 1 7 堡主堂垡笙塞 一第三章带干扰的保费随机收取独立双险种风险模型 二_ 二二一二= 二二二二= 二= ：= = ：= 兰! ! ：竺! 釜兰 则称猡( f ) ，f o ) 为双险种风险的利润过程。 假设过程o ) ，f2o ) 为参数是五的齐次p o i s s o n 过程， 玉，f ：1 ，2 ，3 ，) 是独 立的同分布非负的随机变量序列，其分布函数为目， ( f ) ，f o ) 为参数的齐 次p o i s s o n 过程， z ，i = l ，2 ，3 ，) 是独立同分布非负的随机变量序列，其分布函 数为最，令 由第二章定理2 4 1 可知， 名= 五- + 五= a + 五，且五，z 与k ( f ) ，( f ) 相互独立，五的分别函数为 州2 丧”丧啪玲撬+ 监五t + a z t ， c r 2 = 砌，) 2 石吒+ 瓦争i 吒+ 暑魄一鸬。) 2 ，的分布函数为 叫砷2 焘砌+ 蠢删刚，= 格+ 格， 砒僻焘砰+ 表面+ 格魄训2 同时( 3 1 1 ) 式可改写成 u ( d = 甜+ 五一z + 万曰( f ( 3 1 2 ) 式可改写成 r ，t 、 ，、 s ( f ) = x i - x t + g b ( t ) ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) 定义保险公司的破产时刻乙= i n 球：u ( f ) o ，表示总保费收入的平均值要大于总赔付额的平均值。因此，安 引理3 2 1 e ( s ( f ) ) = ( 舡一f l a 3 ) t 0 ； z 芝纠 + z 1 h l i 墨 羔瑚 墨 笙烈 + 墨 笙h = 置 羔埘 舡一跳 嚣 。巧 顷 胪 胜 数 要 撒 咦 解 主 全 & 硕士学位论文第三章带干扰的保费随机收取独立双险种风险模型 s ( t ) 具有独立平稳增量性； 存在正数，使得e e 稍】 o i = 1i = 1 令0 t ，以概率1 有s ( f ) 0 ；而在丁之前，由于只 有有限次的保单收入与索赔，则以概率1 ；有1s ( t ) l o ， 使得e e 稍i t t 】 t t o p t t o ) 0 ，故函数g ( ，) 为下凸函数，因此方程g ( ，) ：o 至多存在两个 d r 。 解，又因为g ( o ) = 0 ，则，= o 是此方程的一个平凡解另外在，= 0 处， 掣i r = o ：m 旯研五】+ f l e x i ：一舡+ 化 0 且g ( ，) t o e m ( t o 人乙) i 瓦岛】p 毛f o ) = 研m ( 乙) l 乇岛 p 互岛) ( 3 3 1 ) 由于 + s ( 互) 0 在 乃 o o ) 中，则 咽钏面翥丽 ! ：= ! 一e e 一瓦g ，) i 互 t o 】 e 一“s u pe 留( 7 ) 令气专o o ，得到 v ) e 一“s u p e 嘻7 在s u p e 神 f o ) 用， 椰表示集合么的示性函数，则 0 气 p 亿 气 = 研p 一矗州幻 毛 气) 】 研p 一置椰枷i u + s ( t o ) o ) 】 由于o e - r ( u + s ( z o ) ) ，伽+ s ( 气) o ) 1 ，由强大数定律知s ( f o ) j 佃( 气一佃) ， p a b 。 故由控制收敛定理有： 幻l _ i m 佃e e - r ( u + s ( t o ) ) i z 气】p 互 岛) = 0 因此可得 帅) 2 矿蒜两。 3 4 调节系数r 的上下界 定理3 4 1 调节系数尺满足下面的不等式 肌筹嚣 证明：由麦克劳林公式可知：矿瞄= 1 一蹈+ 罢( 瓯) 2 ( 孝在。与瓯之间) ， 所以 m j ( 一只) = 研8 一瞄】 硕士学位论文第三章带干扰的保费随机收取独立双险种风险模型 = 研l 一戤+ 署( 腿) 2 】 l r m x ( r ) = 研e 心】 ( 3 4 1 ) ：目l + 蹦+ 掣+ 掣州 。 f气f 。 1 + r 鸬+ 等( 层+ 巧) ( 3 4 2 ) 将( 3 4 1 ) 和( 3 4 2 ) 式带入g ( r ) = 0 式可得 o = 五( 峨( 删叫+ p ( m 工职) _ 1 ) + 三抛2 一五舡+ p ( r 飓t r z 2 ( ，2 + 0 3 2 ) ) + 三跏2 定理3 3 2 若z m ，则有 r 型型萼需一。 e - x o 可知，f ( x ) 在 o ，佃) 是一个单调递 增的函数，则厂( 曲 厂( o ) ：1 ，即矿( 1 一工+ 委x 2 ) 1 ，得证。 所以 蚝( 一r ) = 研p 一甄】 耻r x l + 掣】 ：1 一尺“+ r 2 ( f 1 2 + 0 2 ) 2 ( 3 4 3 ) 我们先证