（应用数学专业论文）有限能量电弱磁单极子的存在唯一和渐近估计.pdf

河南大学硕士学位论文 摘要 有限能量电弱磁单极子在电弱相互作用唯象论中有重要的实际应用本文主要 是利用动态打靶法证明这种新的磁单极子的存在唯一性，同时也得到了解的渐近 估计 关键词：电弱磁单极子；解的存在唯一；渐近估计；动态打靶法 河南大学硕士学位论文 a b s tr a c t f i n i t ee n e r g ye l e c t r o w e a km o n o p o l e sh a v ei m p o r t a n tp a y s i c a la p p l i c a t i o n si n t h ep h e n o m e n o l o g yo fe l e c t r o w e a ki n t e r a c t i o n i nt h i sp a p e r ，w em a i n l yp r o v et h e e x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h en e wm o n o p o l eb yd y n a m i c a ls h o o t i n gm e t h o d ，a n d p r e s e n ts h a r pa s y m p t o t i ce s t i m a t e sf o rt h es o l u t i o n s k e y w o r d s ：e l e c t r o w e a km o n o p o l e s ；e x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fs o l u - t i o n s ； a s y m p t o t i ce s t i m a t e s ；d y n a m i c a ls h o o t i n gm e t h o d i i 关于学位论文独立完成和内容创新的声明 本人向河南大学提出硕士学位申请。本人郑重声明：所呈交的学住论文是 本人在导师的指导下独立完成的，对所研究的课题有新的见解。据我所知，除 文中特别加以说明、标注和致谢的地方外论文中不包括其他人已经发表或撰 写过的研究成果，也不包括其他人为获得任何教育、科研机构的学位或证书而 使用过的材料。与我一同工作的同事对本研究所做的任何贡献均已在论文中作 了明确的说明并表示了谢意。 学位中请人( 学位论文作者) 签名：趣生墨! 1 2 。叩年月7 日 关手学位论文著作权使用授权书 本人经河南大学审核批准授予硕士学住。作为学位论文的作者，本人完全 了解并同意河南大学有关保留、使用学位论文的要求，即河南大学有权向国家 图书馆、科研信息机构、数据收集机构和本校图书馆等提供学位论文( 纸质文 本和电子文本) 以供公众检索、查阅。本人授权河南大学出于室扬、展览学校 学术发展和进行学术交流等目的。可麒采取影印、缩印、扫描和拷贝等复制手 段保存、汇编学位论文( 纸质文本和电子文本) 。 ( 涉及保密内容的学位论文在解密后适用本授权书) 学位获得者( 学位论文作者) 签名：独盏型 2 。d 7 年乡月- 7 目 学位论文指导教师签名： 2 0b 河南大学硕士学位论文 第一节引言 自从d i r a c 【4 】介绍了磁单极子的概念以来，磁单极子一直是理论物理界的热 门课题w u 和y a n g 1 0 】把阿贝尔磁单极子推广到非阿贝尔规范场理论中，并说明 了纯s u ( 2 ) 规范场存在点状的磁单极子th o o f t 8 】和p o l y a k o v 【7 】也在g e o r g i - g l a s h o w 模型中构造了有限能量磁单极子解在早期的工作中，g i b b o n s 、l e e 、 w e i n b e r g 和r a n g 等人在 5 ，6 ，1 1 】中说明：为了得到有限能量电弱磁单极子，添 加正则项是很重要的然而，即使在w e i n b e r g 和s a l a m 的电弱理论下，大多数 物理学家普遍认为不存在任何物理意义下的拓扑磁单极子当然这种“不存在性定 理的理论基础是当对称性遭到破坏时，商空间s u ( 2 ) xu ( 1 ) u ( 1 ) m 不存在任何 非平凡二次同伦这导致人们得出结论：拓扑结构在w e i n b e r g - s a l a m 模型中是不 存在的 事实上，c h o 和m a i s o n 3 j 已经确定了w e i n b e r g 和s m a m 模型和g e o r g i - g l a s h o w 模型有相同的拓扑结构，并且证明了在标准的w e i n b e r g - s a l a m 模型中存 在一种新的磁单极子和双荷子解，所以w e i n b e r g - s a l a m 模型和g e o r g i - g l a s h o w 模型一样的确有相同的非平凡二次同伦这样人们能够继续在w e i n b e r g - s a l a m 模 型中构造所希望的磁单极子和双荷子解最初，c h o - m a i s o n 通过数值积分的方法 得到所希望的有限能量解，同时这种解的存在性证明已经被y a n g 1 2 ，1 3 】给出 c h o - m a i s o n 磁单极子或许可以看作是d i r a c 和t h o o f t p o l y a k o v 两种磁单极 子的一个混合，因为虽然它在s u ( 2 ) 部分是正则的，但是它在中心处有一个u ( 1 ) 奇点因此，不管磁单极子的质量多小，它存在一个无限能量接着，人们想知道是 否存在一个能量有限且解析的电弱磁单极子c h o 和k i m m 【2 】证实了这种可能性 本论文的目的是用 9 】的方法确立了有限能量且解析的电弱磁单极子的存在唯一性 定理，并给出它的渐近估计 在第二节，我首先讨论了有限能量电弱磁单极子的数学结构，然后陈述了有限 能量电弱磁单极子的存在唯一性定理在第三节，我先把一阶有限能量电弱磁单极 1 河南大学硕士学位论文 子方程组转换成一个二阶拟线性方程，然后利用欧拉变换把二阶拟线性方程简化 为一个半线性方程于是有限能量电弱磁单极子解的存在性问题就转化成为一个非 线性两点边值问题最后，我采用动态打靶法证明了有限能量电弱磁单极子解的存 在唯一性，同时也得到了解的渐近估计 2 河南大学硕士学位论文 第二节数学结构及主要结果 从文献【2 ，1 】易知，描述标准w e i n b e r g s a l a m 模型的拉格朗日算子为： l = 一a 卯一会( 咖一譬) 2 一去( ) 2 一去( 瓯， ( 2 1 ) 劫= ( 仇一吼) 西， 这里指希格斯偶极，耳p 和g p p 分别指与势a p 、吼相关的s u ( 2 ) 和u ( 1 ) 场 强，g ，9 7 指相应的耦极常数注意到d “指s u ( 2 ) 子群的共变导数由( 2 1 ) ，我们 得到下面的运动方程 选取下列的静态球对称假设： $ = p 丁= 一户， = 考竹) 弛t + 扣旷1 ) $ 钆a 吼= 一即) 钆亡一g l - 7 ( 1 - c o s ) 眦 其中( t ，r ，口，) 是球面坐标在此假设下，运动方程( 2 2 ) 可简化为 ( 2 2 ) ( 2 3 ) ，- 等，：( 譬产毗 篓誊2 p + ，n 争阜一2 4 ) p 砸小 n m力分 d 0既 渺 一 叫 鼽卅州 一 q 、九沪 渺眇眵 入也也。2 = ， i i = ， p 肛 渺 d e 1 和仇仇巩 ，、夕 枷釉 k 喊艄州 r n 一 “ 醯 土哆义 = i i 、e p 亡， 河南大学硕士学位论文 子事实上，他们注意到在酉场理论中( 2 1 ) 可改写为： l = 一丢硌一石1 2 一去l 见帆一仇w 1 2 + i g f , p 雌矾+ 砉9 2 ( 睨帆一叼) 2 一言( 钆j d ) 2 ( 2 5 ) 7 12 酽哪矾+ 耳一夕彬) 一会( 譬= i 私 帆。砺j l 1 + ， a p = a ：， d “肌= ( 乱+ 匆4 ) 肌 l - = 咖雌肌十譬9 2 ( k 帆一w ；w a 2 ， ( 2 6 ) 其中口和p 是任意常数此时，系统能量为 e = 蜀+ e l ， 玩= 紊空r 2 丁g r 2 + 1 - 2 ( 1 + q ) ，2 + ( 1 + p ) ，4 ) 为了使能量有限，必须有 萨9 2 + 1 - 2 ( 1 刊”删，4 ( o ) _ o 【( 1 + q ) ，( o ) 一( 1 + p ) 厂3 ( o ) 予o 从而彳垦车i i ，l + = ( 1 刊2s i n 2 钆= ( 1 刊2 歹e 2 ， 1 们) = 而靠 4 河南大学硕士学位论文 一般来说，( o ) 是依赖于0 f 的取值，但是为了磁单极子解是解析的，我们要 求，( o ) = 1 注意到如果在( 2 5 ) 和( 2 6 ) 中添加一个算子l 2 ，则能找到磁单极子 的能量下界这个算子可记为 l 2 = 一( ( 1 + q ) 2s i n 2 口删一寺) 9 2 p 2 睇矾 在文献 2 ，1 ir a ，作者给出了磁单极子的能量下界： e l 考护z 侥( 兰巧七f j 七p ) i 同时也给出了磁单极子下界所满足的方程： 1 詹d 土i ( 1 + q ) e p 瞰= 0 ， m 确球( 1 刊e 叼一拗_ 0 了 又注意到在酉场理论中球对称假设为： ? 2 鬻汹蚰训， 8 ， a - “= 一当a ( r ) 钆舌一1 - c o s ) 钆欢 心心 吼= 一言b ( 7 ) ( 1 一c o s e ) o 将( 2 8 ) 式代入( 2 7 ) 方程中，我们得到下列方程组： l ，( r ) 士e ( 1 + q ) j d ( r ) ，( r ) = 0 ， 【( r ) 千素( 1 一( 1 + 0 0 s i n 2 钆，2 ( r ) ) = 0 现在考虑上述方程的一般形式： 竹f ( r ，) 千4 - 如a p ( r ) f 叫( r ) v = ) v ，0 川 仁9 ， l 竹) 千击( 1 叫v ) ) _ o ， 临桫 其中o 、b 均为大于零的常数，e 0 本文考虑a b = 1 ，e ：1 的情况，此时 方程( 2 9 ) 化为： 善兰。 州 i ( r ) 千去( 1 一厂2 ( r ) ) = o 。z 上u 5 河南大学硕士学位论文 不失一般性，我们只考虑( 2 1 0 ) 中第一式取“+ ”号，第二式取“一号的情 形( 因为下面的符号可以通过变换( ，( r ) ，p ( r ) ) _ ( ，( r ) ，一p ( r ) ) 由上面的符号得 到) 在这种晴况下，我们考虑下面两点边值问题 ， l ，协) + n p ( r ) ，( r ) = 0 ，0 r 0 0 ， ( r ) 一砉( 1 一，2 = o ，o 0 ，( 2 1 1 ) 是否有解，这是不清楚的下面将解决这个问题 并且给出了解的渐近估计具体定理表述如下： 定理对任意a 0 ，两点边值问题( 2 。1 1 ) 在 o ，+ o o ) 上存在唯一经典解 ( ，( 7 ) ，p ( r ) ) ，且当r o 时，函数，( r ) 关于变量r 是严格减函数，函数p ( r ) 关于变 量r 是严格增函数此外，还成立下列的渐近估计： 当r _ o 时，( r ) ：l + d ( r 址净巫) ，p ( r ) ：0 寸兰学) ， 当7 _ o o b c ，f ( r ) = o ( e 一口p o r ) ，j d ( r ) = p o + o ( 妄) 这个解唯一的决定有限能量电弱磁单极子方程( 2 7 ) 的解，在文献 2 】中所给能量结 构) b e = 彳l t t ts l n 2 钆，其中指弱能量刻度 6 河南大学硕士学位论文 第三节主要结果的证明 为了证明该定理，在这一节，我们首先把问题( 2 1 1 ) 化简成一个二阶控制方程 由常微分方程初值问题解的存在唯一性定理，易知对任何r 0 ，f ( r ) 0 ， 且0 o ；当( r ) 0 时，因p ( o ) = 0 ，所以p ( 。o ) 0 ， 0 ，( ? ) 1 于是( 2 i i ) 的第- - 个方程可写成下面的形式： 若记u ( r ) = l i l ，( r ) ，则显然有u ( r ) 0 这样( 2 1 1 ) 的第二个方程可写成为： r 2 u ( r ) = a ( e 2 u ( r ) 一1 ) ，0 r o o ( 3 1 ) 从而( 2 1 1 ) 就转化为了下面的边值问题： 意篡纂- 1 一) , 0 呱 3 ， 利用欧拉变换r = e 。，可将边值问题( 3 3 ) 化成： 篙絮篡二三一k 。 4 ， 我们将采用动态打靶法来解决两点边值问题( 3 4 ) ，为此，需要考虑下面的初值 ：等二：翥。尹：e 2 u ：1 ) 一o 。 t o o c 3 河南大学硕士学位论文 由于我们寻找的是负值解，所以自然假设m 0 在m 0 应是合适的选择这一点可从边值条件仙( 一粤) = 0 看出 若令7 i = 一t ，我f n , - i 把在一o 。 0 ，u ( 丁；礼) o ) ， 矿= ( 7 2 r i 对任意丁0 ，都有( 丁；诧) 0 ，且存在某个丁 o ，满足也( 丁；n ) o ) 引理3 1r = p up ot 3p + ，且卢一np + = p n 伊= p onp + = 证明：从多一，z o ，矿的定义易知，它们是互不相交的数集下证：r = p u p ou 矿若假设竹不属于p 一，则由p 一的定义可知，对任意7 - ，都有让r ( 7 i ；n ) 0 如果存在一点t o 0 ，使得u , - ( r o ；住) = 0 ，则u ( t o ；n ) o 这是因为u ( 7 - ；n ) = 0 是( 3 6 ) 中微分方程的平衡点，这个是不可能在有限时间内达到的在( 3 6 ) 中利用 u ，- ( t o ；n ) = 0 ，但u ( t o ；n ) 0 ，则有，在7 - = 伯处“ 0 或者u t o 或7 - 0 即，竹伊u + 故引理3 1 得证 引理3 2 数集p + 、p 一都是非空开集 证明：先证：数集矿是非空的 由( 3 6 ) 有 u 下( 下；n ) = ( n + f oa e 8 1 ( e 2 u ( s 1 ；1 ) 一1 ) d s l ) e 一1 - ， ( 3 7 ) u ( 7 ；n ) = m + n ( 1 e - t ) + 片e - s 21 s 0 2a e 5 1 ( e 2 t ( 8 l ；n ) 一1 ) d 5 1 ) d s 2 ( 3 8 ) 8 河南大学硕士学位论文 任意固定r o 0 ，选取n 0 充分大，使得下面两个不等式成立： n + z 0 r 。a e a l ( e 2 m - 1 ) 如- 。， m + n ( 1 一e 一勺) + 厂勺e s ：( 厂胁口e s ( e 2 m 1 ) d 1 ) d s 。) d s 2 0 m + n ( 1 一e 一勺) + e 一耽( 口e 观( e 2 m 一 12 j o ，0 ( 3 9 ) ( 3 1 0 ) 结合( 3 7 ) 一( 3 i o ) ，利用达布定理和连续性定义，易知，存在一个r i ( o ，伯) ，使得 对任意7 【0 ，丁1 1 ，都有坼( 7 - ；佗) o ；对任意7 - 0 ，丁1 ) ，有让( r ；n ) n ，有 坼( 7 - ；n ) 和 心( 7 - ；佗) 0 ( 3 1 2 ) 因此，礼p + 故p + 再证：数集p + 是开集 对n o 矿，由定义易知存在r o 0 ，使得u ( r o ；他o ) 0 利用微分方程解对参 数的连续依赖性定理有，当n l 充分接近n o 时，对所有的7 i 0 ，】，有u r ( 7 ；n 1 ) 0 和u ( r o ；n 1 ) 0 再利用( 3 1 1 ) ，对所有的7 - r 0 ，有 让f ( 7 ；佗1 ) 0 这就证明了n 1 p + ，故p + 是开集 最后证：p 一是非空开集 由( 3 7 ) 易知( - - 0 0 ，0 ) cp 一，故p 一由p 一定义可见，它显然是开集所 以，引理得证 引理3 3 数集伊为非空闭集此外，如果n o ，则对任意7 - 0 ，函数 u ( 7 ；n ) 炉 。 训 。 州 轨 乱 n 口口 + + 河南大学硕士学位论文 证明： 由引理( 3 1 ) 可得， 卢o = r 一( p up + ) = 万：万 因为有限个开集的和是开集、开集的余集是闭集及r 的连通性，所以引理的前半部 分得证 为了证引理第二部分，若假设存在一点t o 0 ，使得函数u ( r o ；佗) = 0 由于 对任意的7 0 ，函数u ( 丁；礼) 0 ，故函数u 在7 o 处达到它的局部最大值特别 地，u r ( v 0 ；) = 0 ，这个和矿的定义相矛盾从而引理得证 引理3 4 若假设n p o ，则当7 i _ 。o 时，让( 7 - ；佗) _ 0 证明：由于仃z o ，根据风定义和引理3 3 易知，对任意的7 - 0 ，u ( 7 - ；凡) 关于r 为增函数且钆( r ；仃) 0 从而可得， 存在且 l i r au ( 7 - ；n ) = r o o o o u 0 如果弘o o 0 ，则有a ( e 2 ( r ；n ) 一1 ) a ( e 2 “* 一1 ) 0 充分大时，坼( 7 - ；n ) 0 这个与阮的定义矛盾所以有 u = 0 引理3 5 数集伊是单点集即，正确的打靶点是唯一的 证明：若假设伊中存在两点? 1 1 、佗2 且死1 7 t 2 此时，若令函数让( 7 - ；n 1 ) 和 函数让( 丁；死2 ) 是方程( 3 6 ) 相应的解则函数u ( 丁) = ( 7 ；r t l ) 一札( 7 ；n 2 ) 是下面边 值问题的解： ， 。”( f ) + u ，( r ) = 尉( 专( 丁) ) 。( 丁) ，o 7 0 ，使得 一c ( s ) e 一峄( 1 一咖 乱( 7 - ；n ) 0 ， v7 - 0 ( 3 1 4 ) 又因t = 一下，所以在区间- - ( 3 0 ts0 上初值问题( 3 5 ) 的解u ( 亡) 0 ，vt 0 ， 并且 一c ( g ) e 掣严( 1 一s ) 。 u ( t ) 0 ，v ts0 ( 3 1 5 ) 当0 t o o 时， 由( 3 5 ) 的初值条件易知，在t = 0 附近，u 协) 0 和乱( 亡) 0 把这两个不等式代入初值问题( 3 5 ) 中的方程易知，在t = 0 附 近，( 亡) 0 ，这些性质蕴含初值问题( 3 5 ) 中微分方程的结构允许函数乱( 亡) 0 ，u 印) 0 ，因而有u 竹 0 ，若选取初值问题( 3 5 ) 中的仇 0 ，使得初值i ；7 题( 3 5 ) 的唯一解满足表达式( 3 2 3 ) 此外，给定的数a 连 续地依赖数仇 0 且严格单调，同时还成立：当m _ 0 一时，a 一0 + ；当m 叶一。o 时a _ o 。 证明：从前面的证明可以看出，若对初值问题( 3 5 ) 任意取定m 0 ，使得初值问题( 3 5 ) 的唯一解就是两点边值问题( 3 4 ) 的负值 解( 见引理3 5 ) 这样我们能明确定义死= n ( m ) 和u = 乱m 下面分五步证明定 理的其余部分 1 为了说明：礼= n ( m ) 关于变量m 0 是连续的若假设 m j ) 器1c ( 一0 0 ，0 ) 且叻_ m o 0 ，使得l 礼( ) 一几( m o ) i 0 ，( j = 1 ，2 ，) 一方 面，根据弓【理3 6 ，我们能得到一个序列他 墨1 ，使得对v 亡，( 舌) = u r n 。( 勺+ 亡) 特别地，= u r n ，( o ) = ( 巧) ，d = 1 ，2 ，) 很明显，序列 岛 是一个有界 序列否则，若假设它是一个无界序列，那么这与假设一m o o ，0 一o o ) 和 u m 0 ( 一。o ) = 0 ，( 。o ) = 一矛盾如果有必要，我们抽取子序列，这里假设 岛_ t o ，( j _ ) 因而有 n ( m j ) = 略，( o ) = 略。( ) _ ( t o ) = n o n ( m o ) 另一方面，由一低，( j _ ) 和= ( o ) = ( 勺) ，0 = 1 ，2 ，) 可得岛一o ，0 一o o ) 这是因为( 亡) 是严格单调的所以南= 0 这说明 略。( t o ) = n ( m o ) 所以矛盾产生因而，礼= n ( m ) 关于变量m 0 是连续的 佗= 佗( m ) 关于变量m 0 ， i 让( o ) = m j ，u ，( 0 ) = 死( 叻) 因为u 7 ( 0 ) = 佗( 叻) 0 ，所型存在一个很小的邻域( o ，盯) ，使得对任意7 ( 0 ，盯) ， u ( 7 - ) u ( o ) = 从而当j 充分大时，对于很小的盯 0 ，方程的解是正的这 与方程的解是负值矛盾故假设不成立断言得证 3 断言：当仇_ 一o 。时，n ( m 1 _ 0 饥m 2 ( 亡) 乱m 2 ( t 2q - 亡) = u r n l ( 亡) ( 3 2 4 ) 从而有 上(i-e2ui(8)e-ds)o(1一产酬)e8dsdp00 ( 3 2 5 ) 一 根据( 3 2 3 ) 、( 3 2 4 ) 和( 3 2 5 ) 可得，n ( m 1 ) 口( 仇2 ) 引理证完 由n p o = 一恕u 他) e 有，对任意的正数 0 ，存在一个正 o ，使得当 t 正时，有 a p o 一s - u ( t ) e 一sa p o ， 即就是， 一a p o e 。毯 ) 妊一a p o ) e 。 1 6 河南大学硕士学位论文 两边在限，亡】上积分 t - - a p o e s d s 0 ，函数( r ) 关于变量r 是严格 减函数，函数p ( 7 _ ) 关于变量r 是严格增函数证毕 注记： ( 1 ) 当e = 1 ，o = 1 + q 时，本定理的结果与参考文献【1 ，2 】在原点附近的 结果是一致的 ( 2 ) 当e 1 ，a b = 1 时，我们可用完全类似本定理的证明方法得到相似 的结论，具体表述如下： 定理对任意a 0 ，( 2 9 ) 情形下的两点边值问题在【o ，十。o ) 上存在唯一经 典解( ，( r ) ，p ( 厂) ) ，且当7 o 时，函数，( r ) 关于变量r 是严格减函数，函数p ( r ) 关于变量r 是严格增函数此外，还成立下列的渐近估计： 当r o 时，竹) ：l + d ( r 鹕霉) ，刖：d ( r 平) ； 当r o 。时，( 7 ) = d ( e x p ( 一詈肋r ) ) ，p ( 7 ) = 肋+ d ( 嘉) ， 其中，e 指带电电荷 】8 河南大学硕士学位论文 ( 3 ) 从有限能量电弱磁单极子的存在唯一性的证明可看出，动态打靶法在实际 应用中是一个十分有效的方法 1 9 参考文献 【1 】b a e ，w s ，c h o ，y m ：f i n i t ee n e r g ye l e c t r o w e a kd y o n 巩j k o r e a np h y s s o c 。 4 6 ，7 9 1 8 0 4 ( 2 0 0 5 ) 2 】c h o ，y m ，k y o t m g t a ek i m m ：f i n i t ee n e r g ye l e c t r o w e a km o n o p o l e s ，a x x i v ：h e p - t h 9 7 0 7 0 3 8 3 】c h o ，y m ，m a i s o n ，d ：m o n o p o l ec d 研g u r a t i o ni nw e i n b e r g - s a l a mm o d e l 俐，p h y s l e t t b3 9 1 ，3 6 0 - 3 6 5 ( 1 9 9 7 ) 。 4 】d i r a z ，p a m ：t h et h e o r yd ，m a g n e t i cp o l e s 解p a y s r e v 7 4 ，8 1 7 - 8 3 0 ( 1 9 4 8 ) 【5 】g i b b o n s ，g w ，k a u s t o r ，d ，l o n d o n ，l a v ，jt o w n s e n d ，p k ，t r a s c h e n ，j ：s u p e r s y m m e t t i cs e l f - g r a v i t a t i n gs o l i t o n s ，n u c l p a y s b 4 1 6 ，8 5 0 - 8 8 0 ( 1 9 9 4 ) 【6 】l e e ，k ，w e i n b e r g ，e ：n o n t o p o l o g i c a im a g n e 既cm o n o p o l e sa n dn e wm a g n e t i c a l l y c h a r g e db l a c kh o l e s j 1 ，p h y s r e v l e t t 7 311 2 0 5 - 1 2 0 60 1 9 9 4 ) 【7 】p o l y a k o v ，a m ：p a r t i c l es p e c t r u mi nq u a n t u mf i e l dt h e o r y 埘，j e p t p h y s l e t t ， 2 0 ，1 9 4 ( 1 9 7 4 ) 【8 】th o o f t ，g 。：m a g n e t i cm o n o p o l e si nu n i f i e dg a u g et h e o r i e s 埘，n u c l p h y s b7 9 ， 2 7 6 - 2 8 4 ( 1 9 7 4 ) 【9 】9w a n g ，x ，y a n g ，y ：e x i s t e n c eo fs t a t i cb p sm o n o p o l e sa n dd y o n si na r b i t a r y ( 细一i ) 一d i m e n s i o n a ls p a c e s ，l e t t m a t h p h y s 7 7 ，2 4 9 - 2 6 30 2 0 0 6 ) 【1 0 】w u ，t ，t ，y a n g ，c n ：i np r o p e r t i e s m a t t e ru n d e ru n u s u a lc o n d i t i o n s ，e d i t e d 的i - i m a r ka n ds f e r n b a c h ( i n t e r s e i e n c e ，n e wy o u19 6 9 ；n u c l p h y s b1 0 7 ， 3 6 50 1 9 7 6 ) ；s o m ep r o p e r t i e so fm o n o p o l eh a r m o n i c sf j l ，p h y s r e v d1 6 ，1 0 1 8 - 1 0 2 1 ( 1 9 7 7 ) 河南大学硕士学位论文 【1 1 】y a n g ，y ：t h el e e - w e i n b e r gm a g n e t i cm o n o p o l eo fu n i tc h a r g e ：e x i s t e n c ea n d u n