（计算数学专业论文）几类非线性问题的多重网格解法.pdf

m u l t i g r i dm e t h o d s f o rs e v e r a lk i n d so fn o n l i n e a r p r o b l e m s y u h a i x i o n g b s ( h u n a nu n i v e r s i t y ) 2 0 0 6 ad i s s e r t a t i o ns u b m i t t e di np a r t i a ls a t i s f a c t i o no ft h e r e q u i r e m e n t sf o rt h ed e g r e eo f d o c t o ro fs c i e n c e l n c o m p u t a t i o n a lm a t h e m a t i c s i nt h e g r a d u a t es c h o o l o f h u n a nu n i v e r s i t y s u p e r v i s o r a c a d e m i c i a ns h iz h o n g c i p r o f e s s o rz e n gj i n p i n g a p r i l ，2 0 1 1 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文足本人在导师的指导下独立进行研究所取得的 成果。除了义中特别加以标注引用的内容外，本论义不包含任何其他个人或集体 已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做山重要贞献的个人和集体，均 二在 文中以明确方式标明。本人完全意识到奉声明的法律后果南本人承担。 作者签名：禹吻、个胁川7 年6 月i 。日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，i j 意学饺保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复日j 件和电子版，允许论文被企阅和借i 蒯。 本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后试用本授权书。 2 、不保密耐。 ( 请在以上相应方框内打“”) 日期：ja 1 1 年 6 月d 目 日期：2 户f 肛易月，d 日 ， 博士学位论文 摘要 非线性问题来源非常广泛，在工程、机械、物理、最优控制等领域都有应用 在现代科学技术中非线性问题变得越来越重要了，它的数值解法特别是大规模问 题的数值解法的研究已成为工程界和计算数学界一个非常热门的课题人们希望 对离散后的几维方程组用o ( n ) 次乘除运算就能得到所需精度的解而多重网格法 首次实现了这个目标，成为求解大规模问题最有效的方法近几十年来，经典的多 重网格法已经比较成熟，在求解非线性问题上取得很多重要成果本文将研究半线 性椭圆问题和非光滑椭圆问题的多重网格解法 对于一般的半线性椭圆问题，通常要求其半线性项必须足够光滑或为c 2 连 续，因此，降低半线性项的光滑性十分重要在第2 章，我们考虑了半线性项导数局 部h s l d e r 连续时的半线性椭圆问题的数值求解我们首先对这类问题进行有限元 离散，得到其标准有限元误差估计我们然后用瀑布型多重网格法求解相应的离散 问题，证明了算法具有能量范数意义下的最优收敛阶和拟最优计算复杂度数值实 验表明了算法是非常有效的 在第3 章，我们提出了求解半线性椭圆问题的集中质量瀑布型多重网格算法 首先用集中质量方法对半线性椭圆问题进行离散，得到了集中质量有限元逼近形 式的l 2 误差估计用集中质量方法离散半线性椭圆问题具有两大优点：一方面集 中质量方法离散所得的离散方程组的非线性函数的j a c o b i 矩阵很好计算，因为离 散所得的方程是一个线性函数和一个对角非线性函数的和；另一方面，我们能构造 一些具有单调收敛性的迭代形式来求解相应的离散方程组基于之前的集中质量 有限元误差估计，我们证明了集中质量瀑布型多重网格算法的最优性我们也用 数值实验表明了这一点 在第4 章，我们研究了非光滑椭圆方程的非光滑牛顿多重网格算法我们首先 考虑此类问题的有限元方法，给出其有限元逼近格式的误差估计一般情况下，非 光滑牛顿型方法被用于求解相应的离散问题而当网格加密时，相应的牛顿子方程 的系数矩阵条件数就会变坏，数值上不易于求解而且，当离散问题的规模很大时， 精确求解子问题需要很大的计算工作量因此，本章中，我们将在每个牛顿步采用 多重网格技巧来求解相应的牛顿方程在适当的条件下，我们证明了算法的网格 无关收敛性及最优性大量的数值实验验证了我们所得到的有限元误差估计结果， 并且也充分说明了算法的有效性数值结果表明，当网格步长h 越来越小的时候， 和经典的非光滑牛顿法或是有效集方法相比较，非光滑牛顿多重网格算法所消耗 的c p u 时间大大减少，从而节约了计算工作量 在第5 章，我们提出了光滑化牛顿多重网格算法用于求解非光滑椭圆方程光 滑化牛顿法的一个优点就是它的全局收敛性而当离散问题的规模很大时，精确 几类非线性问题的多重网格解法 求解或是一般的迭代求解每个牛顿步的子问题需要很大的工作量因此，多重网 格技巧再次被用来求解相应的牛顿子问题大量的数值实验表明，我们所提出的光 滑化牛顿多重网格算法埘于不同的光滑化函数都是收敛的，并且当网格加密时，算 法的运算速度明显高于已有的光滑化牛顿法 此博士论文得到了国家自然科学基金( 1 0 9 7 1 0 5 8 ) 的资助 此博士论文用郴2 e 软件打印 关键词：半线性椭圆方程；非光滑椭圆方程；有限元分析；多重网格算法；牛顿法 博士学位论文 a b s tr a c t n o n l i n e a re l l i p t i cp r o b l e m sa r i s ef r o mm a n yf i e l d s ，s u c ha se n g i n e e r i n g ，m e c h - a n i s m ，p h y s i c s ，o p t i m a lc o n t r o lt h e o r ya n ds oo n i tb e c o m e sm o r ea n dm o r e i m p o r t a n ti nm o d e r ns c i e n c ea n dt e c h n o l o g y h e n c e ，i ti sm e a n i n g f u lt os t u d yt h e n u m e r i c a lm e t h o d sf o rs o l v i n gn o n l i n e a re l l i p t i cp r o b l e m se s p e c i a l l yt h ee f f i c i c n t n u m e r i c a lm e t h o d sf o rl a r g es c a l ep r o b l e m s p e o p l eh o p et oo b t a i nt h es o l u t i o n w i t hr e q u i r e da c c u r a c yo fn - d i m e n s i o n a ls y s t e mt h r o u g h0 ( n ) t i m e so fm u l t i p h c a - t i o na n dd i v i s i o no p e r a t i o n s m u l t i g r i dm e t h o da c h i e v e st h i sg o a lf o rt h ef i r s tt i m e a n db e c o m e st h em o s te f f e c t i v em e t h o dt os o l v el a r g es c a l ep r o b l e m s i nt i l ep a s t d e c a d e s ，as y s t e m a t i ct h e o r yo nm u l t i g r i dm e t h o dh a sb e e nd e v e l o p e d ，a n dm a n y f r u i t sh a v eb e e nt a k e ni ns o l v i n gn o n l i n e a rp r o b l e m s i nt h i st h e s i s ，w es h a ud i s - c u s st h em u l t i g r i dm e t h o d sf o rs e m i l i n e a re l l i p t i cp r o b l e m sa n dn o n s m o o t he l l i p t i c p r o b l e m s f o rt h eu s u a ls e m i l i n e a re l l i p t i cp r o b l e m s t h es e m i l i n e a rt e r mi sa l w a y sa s - s u m e dt ob es u f f i c i e n t l ys m o o t ho rc 2c o n t i n u o u s i ti sv e r yi m p o r t a n tt od e c r e a s e t h es m o o t h n e s so ft h es e m i l i n e a rt e r mf o rs e m i l i n e a re l l i p t i cp r o b l e m s i nc h a p t e r 2 ，w ec o n s i d e rt h en u m e r i c a ls o l u t i o no fak i n do fs e m i l i n e a re l l i p t i cp r o b l e m s ，i n w h i c ht h ed e r i v a t i v eo ft h es e m i l i n e a rt e r mi sl o c a l l yh s l d e rc o n t i n u o u s 协台f i r s t i n v e s t i g a t et h es t a n d a r df i n i t ee l e m e n te r r o re s t i m a t e so f t h i sk i n do fp r o b l e m s w b t h e ns o l v et h ec o r r e s p o n d i n gd i s c r e t ep r o b l e m su s i n gc a s c a d i cm u l t i g r i dm e t h o d w ep r o v et h a tt h ea l g o r i t h mh a st h eo p t i m a lo r d e ro fc o n v e r g e n c ei ne n e r g yn o y n l a n dq u a s i o p t i m a lc o m p u t a t i o n a lc o m p l e x i t y n u m e r i c a lr e s u l t ss h o wt h a tt h e m e t h o di se 伍c i e n t i nc h a p t e r3 w ep r o p o s eal u m p e dm a s sc a s c a d i cm u l t i g r i dm e t h o df o rs e m i l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n s w ef i r s ti n v e s t i g a t et h el 2 - e r r o re s t i m a t ef o rt h el u m p e d m a s sf i n i t ee l e m e n tm e t h o d t h e r ea r et w oa d v a n t a g e so ft h el u m p e dm a s sd i s - c r e t i z a t i o n f r o mt h ec o m p u t a t i o n a lp o i n to fv i e w ，o n ea d v a n t a g eo fs u c hd i s - c r e t i z a t i o ni st h a tt h ej a c o b i a no ft h en o n l i n e a rf u n c t i o ni n v o l v e di nt h ed i s c r e t e s y s t e mi se a s yt oc o m p u t es i n c et h ef u n c t i o ni st h es u mo fa l i n e a rf u n c t i o na n da d i a g o n a ln o n l i n e a rf u n c t i o n ；a n o t h e ra d v a n t a g ei st h a to n e c a nc o n s t r u c ti t e r a t i v e s c h e m e st h a tp o s s e sm o n o t o n ec o n v e r g e n c ep r o p e r t yt os o l v et h ec o r r e s p o n d i n g d i s c r e t ep r o b l e m o nt h eb a s i so ft h ef i n i t ee l e m e n te r r o re s t i m a t e s ，w ep r o v e t h eo p t i m a l i t yo ft h ep r o p o s e dm u l t i g r i dm e t h o d t h en u m e r i c a lr e s u l t ss h o wt h e e f f i c i e n c yo ft h ep r o p o s e da l g o r i t h m i v 几类非线性问题的多重网格解法 i nc h a p t e r4 ，w ei n v e s t i g a t ean o n s m o o t hn e w t o nm u l t i g r i dm e t h o df o rn o n - s m o o t he l l i p t i ce q u a t i o n s 。w ef i r s tu s ef n i t ee l e m e n tm e t h o dt od i s c r e t ean o n - s m o o t he l l i p t i ce q u a t i o na n dp r e s e n ts o m ee r r o re s t i m a t e s u s u a l l y , n o n s m o o t h n e w t o n - l i k em e t h o di sa p p l i e dt os o l v et h ed i s c r e t ep r o b l e m s i n c et h en e w t o n s e q u a t i o n sh a v eav e r yb a dc o n d i t i o n e r w h e l lt h em e s h s i z ei sf i n e ra n di ti sn o t e a s yt os o l v e a n dw h e nt h es c a l eo ft h ed i s c r e t ep r o b l e mi sl a r g e ，i tt a k e sag r e a t d e a l lo fc o m p u t a t i o n a lw o r kt os o l v et h es u b p r o b l e m t oo v e r c o m et h e s ed r a w - b a c k s ，m u l t i g r i dt e c h n i q u ec a nb eu s e dt os o l v et h es u b p r o b l e ma te a c hn e w t o n s t e p u n d e ra p p r o p r i a t ec o n d i t i o n s ，w ep r o v et h em e s h - i n d e p e n d e n tc o n v e r g e n c e a n d ( n e a r l y ) o p t i m a lp r o p e r t yo ft h ep r o p o s e da l g o r i t h m n u m e r i c a lr e s u l t sa r e i l l u s t r a t e dt oc o n f i r l nt h ee r r o re s t i m a t e sw eo b t a i n e da n dt h ee f f i c i e n c yo ft h e n o n s m o o t hn e w t o n - l i k em u l t i g r i dm e t h o d e s p e c i a l l y , i ft h em e s h - s i z ehb e c o m e s m u c hs m a l l e r ，t h em e t h o dc a ns a v es u b s t a n t i a lc o m p u t a t i o n a lw o r kt h a nt h eu s u a l n o n s m o o t hn e w t o nm e t h o d so ra c t i v es e tm e t h o d i nc h a p t e r5 ，w ep r o p o s eas m o o t h i n gn e w t o nm u l t i g r i dm e t h o dt os o l v et h e n o n s m o o t he l l i p t i cp r o b l e m t h em e r i t so fs m o o t h i n gm e t h o d sa n ds m o o t h i n g n e w t o nm e t h o d sa r eg l o b a lc o n v e r g e n c e f u r t h e r m o r e ，w h e nt h es c a l eo ft h ed i s - c r e t ep r o b l e mi sl a r g e ，i tt a k e sag r e a td e a lo fc o m p u t a t i o n a lw o r kt os o l v et h e s u b p r o b l e me x a c t l yo ri t e r a t i v e l y s o ，t h em u l t i g r i dt e c h n i q u ei su s e di ns o l v i n g t h ec o r r e s p o n d i n gs u b p r o b l e m s n u m e r i c a le x p e r i m e n t sp r o v et h a tt h ep r o p o s e d a l g o r i t h mi sc o n v e r g e n tf o rd i f f e r e n ts m o o t h i n gf u n c t i o n sa n ds h o wt h ee f f i c i e n c y o ft h ep r o p o s e da l g o r i t h m t h i sd i s s e r t a t i o ni ss u p p o r t e db yt h en a t i o n a ln a t u r a ls c i e n c ef o u n d a t i o no f c h i n a ( 1 0 9 7 1 0 5 8 ) t h i sd i s s e r t a t i o ni st y p e s e tb ys o f t w a r e 蟛2 e k e yw o r d s ：s e m i l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n ；n o n s m o o t he l l i p t i ce q u a t i o n ；f i n i t e e l e m e n ta n a l y s i s ；m u l t i g r i dm e t h o d ；n e w t o nm e t h o d v 博士学位论文 目录 学位论文原创性声明和学位论文版权使用授权书i 摘要i i a b s t r a c t i v 第1 章绪论1 1 1 概述1 1 2 1 3 第2 章 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 第3 章 3 1 3 2 3 3 3 4 3 5 第4 章 4 1 4 2 4 3 4 4 4 5 1 1 1 经典多重网格算法1 1 1 2 瀑布型多重网格算法2 1 1 3 求解非线性问题的多重网格算法3 创新点及主要内容3 记号及基本概念、性质4 1 3 1 记号4 1 3 2 基本概念、性质4 求解一类半线性椭圆问题的瀑布型多重网格算法6 引言6 有限元逼近及误差估计7 多水平线性化方法1 2 瀑布型多重网格算法及收敛性分析1 5 数值实验2 0 求解半线性椭圆问题的集中质量瀑布型多重网格算法2 3 引言2 3 集中质量有限元离散2 3 集中质量有限元误差估计2 6 集中质量瀑布型多重网格算法及收敛性分析3 0 数值实验3 7 求解非光滑椭圆方程的非光滑牛顿多重网格算法4 0 引言4 0 有限元误差估计4 0 非光滑牛顿型方法4 5 非光滑牛顿多重网格算法4 8 4 4 1v - 循环多重网格算法5 0 4 4 2 瀑布型多重网格算法5 1 数值实验5 2 v i 几类非线性问题的多重网格解法 第5 章求解非光滑椭圆方程的光滑化牛顿多重网格算法5 8 5 1 引言5 8 5 2 光滑化牛顿多重网格算法5 8 5 2 1 光滑化方法5 9 5 2 2 光滑化牛顿法6 0 5 2 3 光滑化牛顿多重网格算法6 2 5 3 数值实验6 2 结论6 8 参考文献7 0 致谢7 9 附录a ( 攻读学位期间所发表的学术论文目录) 8 0 1 博士学何论文 1 1概述 第1 章绪论 在现代科学技术中非线性问题变得越来越重要了，因为现在面临的问题常常 是非线性介质与材料，而且是大范围、大幅度的变化，它们都导致非线性微分方程 由于经典数学基本上是按线性模式构建的，非线性问题可能出现一些线性问题所 没有的奇特的性质和结果，因此处理非线性问题很困难非线性问题的求解无论是 理论上或解法上都不如线性问题成熟和有效，常常是用线性模式去逼近，缺少有力 的独特工具所以，对非线性问题的理论分析及寻找有效的数值方法均存在很多 问题，需要进一步研究与解决总的来说，“这是一块很难说清底有多深，似乎永远 也挖掘不尽的沃土”( 见文献 1 】) 本文主要研究求解半线性椭圆问题和非光滑椭 圆问题的多重网格法 1 1 1经典多重网格算法 多重网格法是近三十多年来发展起来的一类新的迭代法，对于求解由偏微分 方程离散化得到的大规模线性方程组来说，它是目前最快速最高效的方法对于几 阶方程组来讲，能使求解总工作量降为d ( n ) 或o ( n i n 咒) 多重网格法的基本思想 早在上世纪六十年代由前苏联计算数学家f e d o r e n k o 基于差分法提出，但当时没有 引起人们的注意直到七十年代中期才被以色列数学家b r a n d t 【2 】重新研究，并指 出多重网格法是求解椭圆问题的有力工具上世纪八十年代，b a n k 和d u p o n t 3 】， b r a u e s s 和h a c k b u s c h 4 1 ，b r a m b l e 和p a s c i a k 5 】等学者对多重网格法进行全面的 创造性的研究，从理论上完善了多重网格法从此，多重网格法受到了普遍的重视， 并被一致公认为求解偏微分方程离散方程组的最有效的方法，从而引发了大量的 后续研究，可以参看睁1 3 】等对多重网格法做进一步了解 对于n 阶线性方程组的求解问题来讲，经典的迭代算法如j a c o b i 迭代、g a u s s - s e i d e l 迭代等虽然程序上易于实现，但算法的收敛速度通常很慢，且计算量较大， 求解扎阶方程需o ( n 2 ) 运算量而一般的直接法如高斯消去法，只对未知数个数较 少的方程适用，而对于大规模问题就无从下手了，且得不到相应的精度经典的迭 代法本质上仅起到“光滑”的作用经若干次迭代后，高频部分因被磨光已变得很 小，剩下的主要是含低频的较光滑的部分这些低频部分很难用一般迭代法衰减 但因它已比较光滑，维数较低，可用别的方法解决，如转移到更粗的网格上再迭代 这就导致了多重网格的思想：首先对定解区域建立一套粗、细网格，并形成相应的 差分或有限元离散方程对此离散方程，在不同的网格层次上使用不同的求解方 法：首先在细网格上利用通常的迭代法进行迭代，消去残量的高频部分；然后把残 几类非线性问题的多重网格解法 量的低频部分转移到粗网格上进行校正，经过若干次循环以后，获得满足精度的 解由于残量校正是在粗网格上进行的，所以相应的工作量就比较小，上述过程的 计算工作量为d ( n ) 一般来讲，对于大规模科学计算来说，人们的目标正是对n 阶 方程组通过o ( n ) 次乘除运算得到所需精度的解因此，多网格算法是大规模科学 计算中一个有力的工具 通常有两种基本的多重网格形式：w 循环多重网格法和v 循环多重网格法 w 循环多重网格法在每一次循环过程中进行两次校正，而v 循环多重网格法在每 一次循环过程中只进行一次校正显然v 循环多重网格法的工作量比w 循环多重 网格法的工作量要少，但理论分析复杂 1 1 2瀑布型多重网格算法 1 9 9 6 年，德国的b o r n m a n n 和d e u f l h a r d 等人 1 4 ，1 5 1 提出了瀑布型多重网格 法和经典的多重网格法，如需进行两次校正的w 循环多重网格法和需进行一次 校正的v 循环多重网格法相比较，瀑布型多重网格法在每一层网格仅仅需要进行 有限次迭代而不需要进行任何校正 1 乒1 7 】它是一种从粗网格到细网格的单向计 算，即计算从粗网格开始，因粗网格上未知数不多，经过有限次迭代即可得到问题 的精确解或者也可直接精确求解，然后将粗网格上的解插值做为下一层细网格的 初始解从粗网格到最细层网格一直往下，只采用插值和迭代两种运算，没有任何 粗网格上的校正，从而称为瀑布型多重网格法也称为单步多重网格法瀑布型多 重网格法的优点在于程序实现较简单，没有粗网格校正，计算效果也很好这是很 有前景最新最简单的多重网格迭代法 由于瀑布型多重网格法的简单性，近十几年来，学者们对其展开了深入的研究， 并且取得了很大的进展s h a i d u r o v 在文献f 1 8 】证明了算法的收敛性，文献【1 4 ，1 5 1 中的数值结果也充分说明了算法的有效性2 0 0 1 年，石钟慈和许学军在文献1 9 1 中提出了一种新的瀑布型多重网格算法，该算法允许在较粗层网格和最细层网格 上使用不同的有限元空间2 0 0 7 年，石钟慈等提出了一种经济的瀑布型多重网格 算法 2 0 】，该算法在保证精度的同时又减少了每一层特别是较粗层网格上的迭代 次数，从而减少了计算量2 0 0 8 年，陈传淼等提出了外推瀑布型多重网格算法2 1 1 ， 该算法将粗网格上的线性插值改为新外推和二次插值，从而为细网格提供更好的 初值瀑布型多重网格算法除了最开始提出的用于求解椭圆问题【1 4 ，1 7 1 之外，也 被推广应用于一系列问题：如非协调有限元f 2 2 ，2 3 1 离散问题，m o r t a r 元f 2 4 ，2 5 1 离散问题，有限体积法离散椭圆问题 2 6 ，s t o k e s 方程【2 7 】，板弯曲问题【2 2 1 ，带凹 角域椭圆问题 2 8 】，半线性椭圆问题 2 9 - 3 1 ，抛物问题 3 2 ，3 3 ，适度非线性椭圆问 题3 4 1 以及变分不等式问题 3 5 】等 一2 一 博士学仿论文 1 1 3求解非线性问题的多重网格算法 牛顿迭代法和它的变体是求解非线性问题的经典方法，至今都是基本的重要 的在求解非线性方程组时，由于要多次使用牛顿迭代，整个求解工作量很大因 此，减少这种计算量非常有意义许进超在文献f 3 6 ，3 7 1 提出了求解非线性椭圆方 程的两网格法两网格法的基本思想是，先在较粗网格卜解一个非线性方程问题， 然后以较粗网格上的解做为初始值迭代求解较细网格上的线性化的方程组而又 由于较粗网格上未知数的个数较少，因此相应的非线性方程组不难求解通常，多 重网格方法用于求解非线性问题时，有两种基本的处理方法：牛顿多重网格法和 完全逼近格式，见文献6 ，8 】牛顿多重网格法是对非线性问题使用某种全局线性 化方法：如牛顿迭代，在每个迭代步，用基本的多重网格法求解一个线性化的方程 组牛顿多重网格法的本质是在每一个多网格循环中消去一个线性残量完全逼 近格式将多重网格思想直接应用于求解非线性问题，此时，经典多重网格法的误差 光滑和粗网格校正将直接应用于非线性问题本身完全逼近格式的本质是在每一 个多网格循环中消去一个非线性残量文献2 9 - 3 1 】也将瀑布型多重网格法用于 求解非线性椭圆问题，但其本质仍然是基于两网格思想瀑布型多重网格法求解非 线性椭圆方程恰好就是将两网格方法推广到多水平上，因而其关键就在于如何巧 妙的运用好两网格技巧 1 2 创新点及主要内容 本文我们讨论了半线性椭圆问题和非光滑椭圆问题的多重网格算法其创新 点如下： 1 针对半线性项导数具有局部h s l d e r 连续的半线性椭圆问题，给出了其有限 元离散的标准误差估计，并用瀑布型多重网格法进行了求解证明了算法的最优 性从而说明了该类问题的结果适用于半线性项充分光滑( c 2 连续) 的半线性椭 圆方程，因此我们所得到的理论结果是具有普遍性的 2 针对一般的半线性椭圆方程，用集中质量有限元方法进行离散，研究了集 中质量有限元离散形式的l 2 误差估计在此基础上，分析了求解相应离散方程的 瀑布型多重网格法的收敛性并通过数值实验证明了集中质量方法在数值计算上 的优越性 3 针对一般的非光滑椭圆方程，给出了其有限元误差估计同时研究了求解 相应离散方程的非光滑牛顿多重网格法和光滑化牛顿多重网格法理论上证明了 非光滑牛顿多重网格法的网格无关收敛性和数值最优性数值算例验证了我们的 理论结果，同时还表明了光滑化牛顿多重网格法具有收敛性与经典的非光滑牛 顿法或是有效集方法相比较，两种算法在数值计算上具有很大的优势，特别是当网 一3 一 几类非线性问题的多重网格解法 格加密时亦即离散方程组规模非常大时，两类算法所需计算时间大大减少 整篇论文的安排如下：第二章我们对半线性项导数局部h 6 1 d e r 连续时的半线 性椭圆问题进行有限元误差分析，并用瀑布型多重嘲格法进行求解，证明了算法的 收敛阶，并用数值实验验证了算法的有效性第j 章我们讨论了一般的非线性椭 圆问题的集中质量瀑布型多重网格方法，给出了集中质量有限元离散形式下的误 差估计，证明了算法的收敛性，并通过数值实验将算法和经典的瀑布型多重网格算 法进行了比较第四章，我们讨论了非光滑椭圆问题的非光滑牛顿多重网格算法， 首先给出了问题的有限元误差分析结果，然后对所提出的算法进行收敛性分析，并 通过大量的数值实验对算法的有效性进行说明第五章，我们提出了光滑化牛顿 多重网格法对非光滑椭圆方程进行求解，然后用大量的数值结果表明算法的有效 性 1 3 记号及基本概念、性质 在这一节里，我们给出在整篇文章中所要用到的记号和基本概念、性质 1 3 1 记号 醚1 俨n a = ( a i j ) r n 加 x 舻 z l 1 1 1 i l b | | 忆 i b z 毛y z 乏y a q 钆维欧氏空间 n 礼阶矩阵集 元素为啦f 的n 阶矩阵 几维欧氏空间中向量x 向量x 的第i 个分量 欧氏范数及相应的矩阵范数 s o b o l e v 空间孵( q ) 中的范数 s o b o l e v 空间孵( q ) 中的能量范数 s o b o l e v 空间孵( q ) 中的半范数 z c y z c y q 的边界 还有一些特殊的记号将在文中用到时再具体说明 1 3 2 基本概念、性质 在这- 4 , 节，我们将给出一些基本概念和基本性质首先我们给出三个著名 的不等式【3 8 】 一4 一 博士学位论文 _ - _ _ _ _ - _ ，鼍! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 竺! ! ! ! ! ! ! ! = = ! = = = = = = ! = ! ! = = = = 引理1 3 1 ( y 0 u n g 不等式) 假设。，! ，是非负实数，p ，g 是正实数且满足三+ 言= 1 ， 那么 n 6 一a p + 一b q pq 特别的，当p = q = 2 时，有 。6 云a 2 + t e b 2 ，v c o 引理1 3 2 ( h 6 1 d e r 不等式) 1 p ，g 。c ，；1 + 石1 = 1 ，w 。 p ( q ) ，9 w 。口( q ) ， 则，g w 0 , 1 ( q ) ，且 i i ，9 i l o 1 l i f l l o ，p i l g l l o ，。 引理1 3 3 ( p o i n c a r e 不等式) 如果q 为连通且在一个方向上有界的区域，则对 每个非负整数m n ，存在常数 0 ，使得 v i i 。，p c ml v l m p ， v v 仇守护( q ) 其中咿p ( q ) = w m ，p ( q ) ： u i 锄= 0 在w 0 2 ( a q ) ) 接下来给出一个基本条件 引理1 3 4 ( 极大角条件 3 9 - 4 1 ) 假设，是对区域q 的拟一致三角剖分五集合， 即厂= 磊) 。o 那么存在加，使得对于任意的三角剖分磊厂和此三角剖分中 的三角元k 五有 ，y k 7 0 0 ，0 q 1 ，使得下式成立 0 2 f ( x ，u 1 ) 一如，( z ，u 2 ) i l u l 一钆2 i a ( 2 1 3 ) 在前一段所提及的求解半线性椭圆问题的文献中，半线性项- 厂通常被假设为 具有某些足够光滑的性质例如，文献【2 9 ，3 0 ，3 4 ，3 7 1 中，被假设为“足够光滑”并 且厂的一阶导数和二阶导数都假设为在某个给定的区间内存在且有界；文献f 3 1 1 中，被假设为c 2 连续的在本章中，我们将考虑半线性项，不是那么光滑时候的 情形，亦即假设厂是c 1 ，n 连续的，或者说i ( x ，u ) 关于扎的导数为局部h s l d e r 连续， 即厂满足( 2 1 3 ) 本章主要研究求解此类问题的瀑布型多重网格法的收敛性为 此，我们给出其标准有限元离散的误差估计 一6 一 博士学位论文 2 2 有限元逼近及误差估计 问题( 2 1 1 ) 的弱形式如下：求u 硪( q ) ：使得： a ( u ，秒) + ( f ( z ，u ) ，v ) = 0 ，v v 硪( q ) ，( 2 2 1 ) 其中n ( 札， ) = ( v u ，v v ) ，( ，) 是l 2 一内积 设五，j = 0 ，1 ，是q 的一个正则三角形剖分，且步长幻满足= 啦2 ，j = 1 ，2 ，j 其相应的有限元空间巧cv 三础( q ) 定义如下 巧= v c ( q ) ：影i r 辟，v 7 7 砖；v o a = o ) ，= 0 ，1 ，z 那么， y oc c c 巧c 硪( q ) 并且k 满足如下逼近性质( 见文献 4 4 】) ： 蕊 | l u 一) ( i l o q + h j l l 口一) ( 1 1 1 q ) s 磅_ 2 胁2 7 口棚咖睇( q ) n 硪( q ) ，( 2 2 2 ) 其中1 p 口。 问题( 2 2 1 ) 相应的有限元逼近如下：求u k 使得 n ( 札 j j1 ，) + ( | 厂( z ，l t h j ) ? v ) = 0 ， v t ，巧，j = 0 ，1 ，z( 2 2 3 ) 定义 a ( u ， ) = o ( u ，v ) + ( ，( z ，t ) ， ) 研究非线性有限元问题的基本思想是仿照n e w t o n 切线法获得二次收敛性设原 问题的精确解“已知，且适当光滑引进非线性方程的切算子 a ( 叫；u ，v ) = a ( u ，v ) + ( 岛f ( x ，w ) u ， ) 它是u ， 的双线性型，其本质是将非线性方程在精确解附近进行线性化定义线性 化算子l w 兰一a + 0 2 f ( z ，伽) ，那么问题( 2 2 1 ) 的牛顿逼近形式如下：求l 上础( q ) 使得 a 7 ( 叫；札，u ) = ( l 叫u 。，u ) ，v v 硪( q ) 线性化算子l 埘：明( q ) nw 2 ，( q ) hl 2 ( q ) 满足： | 2 2si i l 硼vj i o ，2 ，v v 硪( q ) nw 2 ，( q ) ( 2 2 4 ) 而且，当步长向足够小时，线性化形式a 7 ( 叫；让，秽) 满足： 刚s u p 等半训吼加v 叱 ( 2 2 5 ) 几类非线性问题的多重网格解法 定义标准g a l e r l 【i n 投影算子氏：vh ，j = 0 ，1 ，z 如下： a ( h j 可，x ) = a ( v ，x ) ，v x ， ( 2 2 6 ) 其中a ( ，) = 4 7 ( 叫；，) 那么由文献 4 5 】我们有 引理2 2 1 投影算子气满足下歹。估计? i | u p h j a l l , p ii f , 一民u l l o ，p 仳一凡u l l o ，o o 焉i 延iu 一) ( 1 1 1 ，p 毛b f i 训1 2 ，p ，2 p o o ， ( 2 2 7 ) x t v j s 碍州1 2 i p ， 2 p 0 且1 满足 u 一r ，u l i ，s ，