（应用数学专业论文）混合配置的组合与代数性质.pdf

摘要 自从b g r f i n b a u m 在1 9 7 1 年第一次提出超平面配置f h y p e r p l a n ea r r a n g e - m e n t ) 的概念以来，世界上的许多数学家在组合学、代数学、拓扑学等方面关 于超平面配置的研究已做出了令世人瞩目的贡献。作为超平面配置概念的自然 延伸和推广，子空间配置( s u b s p a c ea r r a n g e m e n t ) 的概念也随之很自然地被提 出来了。在这里，我们不得不提及如下定理 t h e o r e m 超平面配置么的补c = r n u 名o a 的同调群为 h d m ；z ) 竺oh n - a m ( x ) - - 1 ( ( l ( 4 ) x ) ，( l ( a ) ( 舻，x ) ) ；z ) x e l ( 4 1 其中a 一个映射，它将每个偏序集映射为其有序复形，规定h _ 1 ( 仍，函) = z 这个定理是由m g o r e s k y 和r m a c p h e r s o n 两个人证明的，具体的证明过程 可以在参考文献3 0 1 找到。胡毅教授对这个定理作了更进一步的研究。在论 文【5 6 】中，他证明了这个定理不仅对子空间配置成立，而且还对一种更一般的 情况一混合配置( m i x e da r r a n g e m e n t ) 成立，所谓的混合配置也就是在子空 间配置的基础上向其中添加球面。这是混合配置概念的第一次出现，当然，胡 毅教授也是第一个提出这一概念的人。 本论文主要是关于混合配置这一数学对象的研究。论文分为四章。作为混 合配置的出处，我们将在第一章介绍超平面配置和子空间配置。第二章中，我 们主要研究混合配置在组合学方面的性质第三章叙述了我们对于混合配置在 代数学方面所得到一些结果。最后，我们在第四章中提出了一些暂未完成的问 题，和一些猜想。每一章具体的细节介绍如下： 在第一章中，我们回顾了超平面配置和子空间配置的研究历史。我们将介 绍一些过去关于超平面配置和子空间配置在组合学、代数学、拓扑学等领域的 所研究的问题、研究方向以及几个著名的结果。同时，我们还将介绍一些近期 在这些领域所做的工作和所取得的成果。 从第二章开始，我们将要探讨一种称之为混合配置的数学对象，它是由若 干个超平面或子空间与球面合在一起组成的集合。我们研究了混合配置的交集 所构成的偏序集，并且借助超平面配置和子空间配置的m s b i u s 函数计算出了 混合配置的m s b i u s 函数。除此，利用删除与限制的方法，我们计算出了混合 配置的三元组之间的递推关系式，同时给出了混合配置的区域数与其特征多项 式之间的关系。 在第三章中，我们将研究混合配置的代数性质。我们在混合配置的定义多 项式上定义了一种导数算子，而我们的主要研究对象是一种特殊的混合配置， 称之为自由混合配置。在这一章中，我们证明了对于超平面配置成立的s a i t o 判别准则，对于混合配置同样成立。同时我们还研究了当朋，m 7 ，m ，三者都 是自由混合配置的时候，它们的导数模之间的关系。 最后，在第四章中，我们提出了几个尚未被解决的问题作为今后研究工作 的方向和内容。同时，作为已有的反射超平面配置概念的延伸，我们引入了反 摘要 射混合配置( r e f l e c t i o nm i x e da r r a n g m e n t ) 的概念，并且对于反射混合配置，我 们还提出了一个自己的猜想。 关键词：混合配置，偏序集，格，m o b i i s 函数，特征多项式，区域，定义多项 式，导数算子模，系数矩阵，自由混合配置，反射混合配置 a b s t r a c t s i n c eb g r i i n b a u mf i r s ts u g g e s tt h ec o n c e p ta r r a n g e m e n to fh y p e r p l a n ei n 1 9 7 1 ，m a n ym a t h e m a t i c i a n so ft h ew o r l dh a v em a d ei m p r e s s i v ec o n t r i b u t i o ni nt h e c o m b i n a t o r i c s ，a l g e b r aa n dt o p o l o g ya s p e c t so ft h eh y p e r p l a n ea r r a n g e m e n t a s t h en a t u r a le x t e n s i v eo ft h ec o n c e p to ft h eh y p e r p l a n ea r r a n g e m e n t ，t h ec o n c e p t o ft h es u b s p a c ea r r a n g e m e n tw a ss u g g e s t e da a t u r a l l ya f t e rt h a t h e r ew eh a v e t om e n t i o nt h ef o l l o w i n gt h e o r e mf i r s t w h i c hw a sp r o v e db vm g o r e s k ya n dr m a c p h e r s o n t h e o r e mt h eh o m o l o g yo lt h ec o m p l e m e n tc = 舻u 岛ai sg i v e nb y 鼠( m ；z ) 垒oh 竹一m m x 一一1 ( ( l ( 4 ) x ) ，( l ( a ) ( 酗，x ) ) ；z ) x e l ( a ) w h e r eai saf u n c t i o ns e n d i n ge v e r yp o s e tt oi to r d e rc o m p l e xa n dh _ 1 ( 0 ，d ) = z i sa g r e e d t h i st h e o r e mc a nb ef o u n di n 3 0 b u tp r o f e j s s o rh uy ig of u r t h e r i n 5 6 1 ， h ep r o v et h et h e o r e md o e sn o to n l yh o l df o rh y p e r p l a n ea r r a n g e m e n t ，b u ta l s o h o l d sf o rt h es u b s p a c ea r r a n g e m e n t f u r t h e r m o r e ，i nt h es a m ep a p e r ，h ep r o v e t h et h e o r e mh o l d sf o rm o r eg e n e r a lc o n d i t i o n t h em i x e da r r a n g e m e n t w h i c h i sa d d i n gs p h e r e st ot h es u b s p a c ea r r a n g e m e n t t h i si st h ef i r s tt i m et h a tt h e c o n c e p to fm i x e da r r a n g e m e n ta p p e a r e d o fc o u r s e ，h uy ii st h ef i r s to n ew h o s u g g e s tt h ec o n c e p t t h i st h e s i si sa b o u tam a t h e m a t i c so b j e c t t h em i x e da r r a n g e m e n t t h et h e - s i sc o n s i s t so ff o u rc h a p t e r s i nt h ef i r s tc h a p t e r w e l li n t r o d u c et h eh y p e r p l a n e a r r a n g e m e n ta n ds u b s p a c ea r r a n g e m e n t ，w h i c ht h em i x e da r r a n g e m e n te x t e n d f r o m i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w e um a i n l yr e s e a r c ht h ep r o p e r t i e so ft h em i x e d a r r a n g e m e n ti nc o m b i n a t o r i c sa s p e c t s t h et h i r dc h a p t e rc o n t r i b u t e ss e v e r a lr e - s u l t so ft h em i x e da r r a n g e m e n ti na l g e b r aa s p e c t s f i n a l l y , s o m ei n t e r e s t i n go p e n p r o b l e m sa n d s e v e r a lc o n j e c t u r e sw i l lb eg i v e ni nt h ef o u r t hc h a p t e r t h ec o n c r e t e d e t a i l sf o l l o w s ： i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w ew i l lr e v i e wt h eh i s t o r yo ft h er e s e a r c ho fh y p e r p l a n e a r r a n g e m e n ta n ds u b s p a c ea r r a n g e m e n t 。w 宅l li n t r o d u c es o m ep r o b l e m s d i r e c - t i o n so ft h er e s e a r c ha n ds e v e r a lf a m o u sr e s u l t so ft h eh y p e r p l a n ea r r a n g e m e n t a n ds u b s p a c ea r r a n g e m e n to nc o m b i n a t o r i c s ，a l g e b r aa n dt o p o l o g yi nt h ep a s t i nt h em e a n t i m e ，w ea l s om e n t i o ns o m ew o r kw h i c hw a sd o n er e c e n t l yi nt h e s e s a s p e c t s f r o mt h es e c o n dc h a p t e r ，w eb e g i nt oc o n s i d e rt h em a t h e m a t i co b j e c t ，c a l l e d t h em i x e da r r a n g e m e n t ，w h i c hi sc o m p o s e do ft h eh y p e r p l a n e s ( o rs u b s p a c e s ) a n d t h es p h e r e s w as t u d yt h ep o s e to fi t si n t e r s e c t i o ns e ta n dc o m p u t et h em 5 b i u s f u n c t i o no ft h em i x e da r r a n g e m e n tb yt h eh y p e r p l a n e ( o rs u b s p a c e ) a r r a n g e m e n t s v a b s t r a c t m s b i u sf u n c t i o n m o r e o v e r ，b yt h em e t h o do fd e l e t i o na n dr e s t r i c t i o n ，w ed e r i v e t h er e c u r s ef o r m u l ao ft h et r i p l eo ft h em i x e da r r a n g e m e n ta n d g i v et h er e l a t i o n s h i p b e t w e e nt h ec h a r a c t e r i s t i cp o l y n o m i a la n dt h en u m b e ro ft h er e g i o n so ft h em i x e d a r r a n g e m e n t i nt h et h i r dc h a p t e r ，w e l ls t u d yt h ea l g e b r a i cp r o p e r t i e so ft h em i x e da t - r a n g e m e n t w 舀d e f i n et h ed e r i v a t i o no p e r a t o ro nt h ed e f i n i n gp o l y n o m i a lo ft h e m i x e da r r a n g e m e n t as p e c i a lk i n do fm i x e da r r a n g e m e n t ，w h i c hi sc a l l e dt h ef r e e m i x e da r r a n g e m e n t ，i so u rm a i n l ys t u d yo b j e c t i nt h i sc h a p t e r ，w ep r o v et h a tt h e s a i t o sc r i t e r i o nh o l d so nt h em i x e da r r a n g e m e n tj u s tl i k ew h i c hi sc o r r e c tt ot h e h y p e r p l a n ea r r a n g e m e n t a n dw es t u d yt h er e l a t i o n s h i po fm o d u l eo fd e r i v a t i o n t h ea m o n gt h et r i p l e ( m ，朋7 ，m ) ，w h e na l lo ft h et h r e ea r ef r e ea r r a n g e m e n t f i n a l l y , i nt h ef o u r t hc h a p t e r ，w ep r o p o s es e v e r a lo p e np r o b l e m sw h i c hh a v e n t b e e ns o l v e da so u rf u t u r ew o r k a st h ee x t e n s i v eo ft h ec o n c e p to ft h er e f l e c t i o n h y p e r p l a n ea r r a n g e m e n t ，w ei n t r o d u c et h er e f l e c t i o nm i x e da r r a n g e m e n ta n dg i v e ac o n j e c t u r ea b o u tr e f l e c t i o nm i x e da r r a n g e m e n t k e y w o r d s ：m i x e da r r a n g e m e n t ，p o s e t ，l a t t i c e ，m o b i i i sf u n c t i o n ，c h a r a c t e r i s t i c p o l y n o m i a l ，r e g i o n ，d e f i n i n gp o l y n o m i a l ，m o d u l eo fd e r i v a t i o n ，c o e f f i c i e n tm a t r i x ， f r e em i x e da r r a n g e m e n t s ，r e f l e c t i o nm i x e da r r a n g e m e n t 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：景花 。7 年夕月：；。日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 解密时间：年月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下： ：内部5 年( 最长5 年，可少于5 年) l 秘密1 0 年( 最长1 0 年，可少于1 0 年) i 机密2 0 年( 最长2 0 年，可少于2 0 年) 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名：贝梅 。和f 7 年f 月o 。e l c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n 1 1 b a c k g r o u n d t h em i x e da r r a n g e m e n t t h eo b j e c tw e l ls t u d yi nt h i sp a p e r i san a t u r a l l y e x t e n s i o nf r o mt h eh y p e r p l a n ea r r a n g e m e n t w h i c hi sas e to ff i n i t eh y p e r p l a n e s i ns o m ev e c t o rs p a c ep w h e r efi saf i e l d s ow ef i r s ti n t r o d u c es o m eh i s t o r y , c o n c e p t sa n dr e s u l t so nt h eh y p e r p l a n ea r r a n g e m e n t e a r l i e r i n1 8 8 9 s r o b e r t s g a v eaf o r m u l af o rt h en u m b e ro fr e g i o n sf o r m e db ya na r b i t r a r ya r r a n g e m e n t o f 礼l i n e si np l a n e i ti s “t h en u m b e ro fr e g i o n sf o r m e db y 佗l i n e si ng e n e r m p o s i t i o n ”m i n u s “t h en u m b e ro fr e g i o i l sl o s tb e c a u s eo fm u l t i p l ep o i n t s ”m i n u s “t h en u m b e ro fr e g i o n sl o s tb e c a u s eo fp a r a l l e l s ”j w 矾z e l sa r t i c l eg a v eam o d e r n t r e a t m e n t b u tt h et e r mh y p e r p l a n ea r r a n g e m e n tw a sf i r s tu s e db vb g r f i n b a u m i n1 9 7 1 d u r i n gt h ep a s td o z e n sy e a r s ，t h eh y p e r p l a n ea r r a n g e m e n th a sb e c o m e o n eo ft h em o s tp o p u l a ro b j e c te v e rs t u d i e d ，w h i c ha n s o c i a t e sw i t hm a n yp r o b l e m i nc o m b i n a t o r i c s ，a l g e b r aa n dt o p o l o g y t h em a t h e m a t i c i a n so ft h ew o r l dh a v e g i v e nal o to fb e a u t i f u lr e s u l t so ni t w 6 l lj u s ts h o ws o m eo ft h e m i nc o n n e c t i o nw i t ht h eb r a i ds p a c e ，e f a d e l l ，r f o x ，a n dl n e u w i r t hs t u d i e d t h ec o m p l e m e n to fc e r t a i nh y p e r p l a n e si nc o m p l e xs p a c e ，w h i c hi st h eb r a i da t - r a n g e m e n tc o n s i s t so ft h eh y p e r p l a n e s 玩，j = k e r ( z t 一乃) l e tc = z c l z i 乃 f o ri 歹) b et h ec o m p l e m e n to ft h e s eh y p e r p l a n e s ，c a l lt h ep u r eb r a i ds p a c e t h e y p r o v et h a tm i sak ( 7 r ，1 ) s p a c e l e tp o i n ( c ，t ) = 七 or a n k h k ( c ) 栌b ei t 8p o i n c a r 6p o l y n o m i a l i n1 9 6 9 ，v i 。a r n o l dp r o v e dt h eb e a u t i f u lf o r m u l a p o i n ( c ，t ) = ( 1 + ) ( 1 + 2 t ) ( 1 + ( 1 1 ) t ) i nc o n n e c t i o nw i t hh i sw o r ko nh i l b e r t s1 3 t hp r o b l e m h ea l s oc o n s t r u c t e da g r a d e da l g e b r aa a nt h eq u o t i e n to fa ne x t e r i o ra l g e b r ab yah o m o g e n e o u si d e a l ， a n ds h o w e dt h a tt h e r ei sa ni s o m o r p h i s mo fg r a d e da l g e b r a s 日( c ) 竺a 1 t h i sg i v e sap r e s e n t a t i o no ft h ec o h o m o l o g y o fg e n e r a t o r sa n dr e l a t i o n s r i n go ft h ep u r eb r a i ds p a c ei nt e r m s b r i e s k o r na l s og e n e r a l i z e da r n o l d sr e s u l ti na n o t h e rd i r e c t i o n h er e p l a c e d t h es y m m e t r i cg r o u pa n db r a i da r r a n g e m e n tb yaf i n i t ec o x e t e rg r o u pwa n d i t sr e f l e c t i o nr e p r e s e n t a t i o ni nr e a lv e c t o rs p a c evo fd i m e n s i o n 礼t h e nw a c t s a s ar e f l e c t i o ng r o u pi nv l e tc wcvb et h ec o m p l e m e n to ft h er e f l e c t i n g h y e r p l a n c e so fw h ep r o v e dt h a tt h a tp o i n c a r 6f o r m u l ai n v o l v e st h ee x p o n e n t s m l ，m o f p o i n ( c w ，t ) = ( 1 + m l t ) ( 1 + m 2 t ) ( 1 + r n z t ) b r i e s k o r nc o n j e c t u r e dt h a tm wi sak ( 丌，1 ) s p a c ef o ra l lc o x e t e rg r o u p sw h e p r o v e dt h i sf o rs o m eo ft h eg r o u p sb yr e p r e s e n t i n gm w a st h et o t a ls p a c eo fa s e q u e n c eo ff i b r a t i o n s i n1 9 7 5 ，t z a s l a v s k ym a d eas i g n i f i c a n tp r o g r e s s h ei n t r o d u c et h em e t h o d o fd e l e t i o na n dr e s t r i c t i o nt oo b t a i nr e c u r s i o nf o r m u l a sf o rc o u n t i n gp r o b l e m s l e t ab ea na r r a n g e m e n ta n dl e th 4b eah y p e r p l a n e t h e na 7 = 4 日 i sc a l l e d t h ed e l e t e da r r a n g e m e n t t h ea r r a n g e m e n ti nhd e f i n e db y = xnh i x 4 7 ，i sc a l l e dt h er e s t r i c t e da r r a n g e m e n t t h et r i p l e ( 4 ，a 7 ，a ) m a yb eu s e dt o s o l v et h ep r o b l e mo fc o u n t i n gt h ep a r t so ft h ec o m p l e m e n to ft h eh y p e r p l a n e s o fa na r b i t r a r yr e a la r r a n g e m e n t t h ep a r t sa r ec a l l e dc h a m b e r si nm o d e r n t e r m i n o l o g y l e tn ( a ) b et h es e to fc h a m b e r so fa l e t ( a ，) b eat r i p l e o fr e a la r r a n g e m e n t s t h e n 冗( a ) i = i n ( a ，) i + l n ( a ) i z a s l a v s k yd e f i n e dt h es e tl ( a ) o fi n t e r s e c t i o n so fe l e m e n t so fa a n dp a r t i a l l y o r d e r e dl f a ) b yr e v e r s ei n c l u s i o n h eu s e dt h em s b i u sf u n c t i o no fl ( a ) t o d e f i n et h ec h a r a c t e r i s t i cp o l y n o m i a lo fl ( a ) t h e r ei sac l o s e l yr e l a t e dp o l y n o m i m 丌( 4 ，t ) ，d e f i n e do nl ( a ) ，w h i c hw ec a l lt h ep o i n c a r 6p o l y n o m i a l i tf o l l o w sf r o m t h ed e f i n i t i o nt h a tf o rt h ee m p t ya r r a n g e m e n t7 r ( a ，t ) = 1 h ep r o v e dar e s u l t a b o u tt h ec h a r a c t e r i s t i cp o l y n o m i a l ：7 r ( a ，t ) = 丌( 4 7 ，t ) + 7 r ( ，4 ，) s i n c ei 冗( 4 ) i a n d 丌( a ，1 ) a g r e eo nt h ee m p t ya r r a n g e m e n ta n ds a t i s f yt h es a l - i l er e c u r s i o nf o r d e l e t i o na n dr e s t r i c t i o n ，t h i sp r o v e sz a s l a v s k y sb e a u t i f u lr e s u l t ： 冗( 么) i = 7 r ( 4 ，1 ) h y p e r p l a n ea r r a n g e m e n ti so n l yc o m p o s e db ya f f i n eh y p e r p l a n e s n a t u r a l l y , w ec a na d da r b i t r a r ya f f i n es u b s p a c e st ot h eh y p e r p l a n ea r r a n g e m e n t t h i sf o r m s an e wo b j e c t ，w h i c hi sc a l l e ds u b s p a c ea r r a n g e m e n t a st h ee x t e n s i o no f h y p e r p l a n ea r r a n g e m e n t ，w ec 纠a p p l ys o m ed e f i n i t i o n ，s u c h a sc h a r a c t e r i s t i c p o l y n o m i a l ，c h a m b e re t c t ot h es u b s p a c ea r r a n g e m e n tw i t h o u ta l t e r a t i o n m u c h o ft h er e c e n tw o r ko ns u b s p a c ea r r a n g e m e n ti sf o c u s e do nt h ep r o p e r t i e so ft h e c o m b i n a t o r i c sa n dt o p o l o g y 2 1 2h y p e r p l a n ea r r a n g e m e n t a st h es t u d yo fs u b s p a c ea r r a n g e m e n t sh a sd e v e l o p e d ，t h ef o c u sh a sb e e n p r i m a r i l yo nt h ec o m p l e m e n t 以，a sf a ra st o p o l o g yi sc o n c e r n e d g o r e s k ya n d m a c p h e r s o nh a v eg i v e n g e n e r a l i z i n ge a r l i e rw o r ko fz a s l a v s k y , o r l i k - s o l o m o n ， a n do t h e r s af o r m u l af o rt h eh o m o l o g yo ft h ec o m p l e m e n tc t h e o r e m1 1 1t h eh o m o l o g yo ft h ec o m p l e m e n to yc = r n 一( a a 4 ai sg i v e n 6 可 且( m ；z ) 竺 日n d 1 ”伍) 一一1 ( ( l x ) ，( l ( r 。，x ) ) ；z ) x e l ( a ) w h e r e i saf u n c t i o ns e n d i n ge v e r yp o s e tt oi t so r d e rc o m p l e x , a n dh _ 1 ( d ，仍) = z i sa g r e e d y ih ue x t e n dt h ef o r m u l at ot h es u b s p a c ea r r a n g e m e n t h ep r o v e dt h a tt h ea b o v e c o m b i n a t o r i a lf o r m u l ah o l d sf o rt h ec o m p l e m e n to fa f f i n es u b s p a c e si ne u c l i d e a n s p a c er nb yu s i n gm a y e r - v i e t o r i ss e q u e n c ei nh i sp r o o f m u c hm o r e i nt h es a m e p a p e r h e 缸s ts u g g e s t e dt h ec o n c e p to fg e n e r a lm i x e da r r a n g e m e n to fs u b s p a c e a n ds p h e r e s ，w h i c hi st h ee x a c to n ew e 1 1s t u d yi nt h i sp a p e r 。a n dh ea l s op r o v e d t h eg o r e s k y - m a c p h e r s o nf o r m u l ac a nb ee x t e n d e dt ot h em i x e da r r a n g e m e n t 1 2 h y p e r p l a n ea r r a n g e m e n t 1 2 1b a s i cd e f i n i t i o n s t h ef o l l o w i n gs p e c i a ln o t a t i o n sa r eu s e dt h r o u g h o u tt h i sp a p e r ：n a t u r a ln u m - b e r sn ，i n t e g e r sz ，r a t i o n a ln u m b e r sq ，r e a ln u m b e r sr ，c o m p l e xn u m b e r sc ，t h e f i e l dw i t hqe l e m e n t sf q ，a n da r b i t r a r yf i e l d sk d e f i n i t i o n1 2 1l e tkb eaf i e l da n dz e yb eav e c t o rs p a c eo fd i m e n s i o nno v e r k ，i e v 竺ah y p e r p l a n ehi sa nq 历几es u b s p a c eo fd i m e n s i o n ( n 一1 ) a h y p e r p l a n ea r r a n g e m e n tai saf i n i t es e to yh y p e r p l a n e si nv l e tl a id e n o t e t h ec a r d i n a l i t yo a w eu s e 既d e n o t et h ee m p t yh y p e r p l a n ea r r a n g e m e n ti n v t h ed i m e n s i o nd i m ( 4 ) o fai sd e f t n e dt ob ed i m ( v 1 = n ，w h i l et h er a n k r a n k ( a ) o fa i st h ed i m e n s i o no ft h es p a c es p a n n e db yt h en o r m a lv e c t o r st ot h e h y p e r p l a n e si na w es a yt h a ta i se s s e n t i a li ，r a n k ( a ) = d i m ( a ) l e tv b et h ed u a ls p a c eo fv t h es p a c eo f1 i n e a rf o r m so nv l e ts = s ( v ) b et h es y m m e t r i ca l g e b r ao fv + c h o o s eab a s i s e 1 ，e n ) i nva n dl e t z 1 ，z n b et h ed u a lb a s i si nv + s ox i ( e j ) = 瓯，j w em a yi d e n t i f ys ( v + ) w i t h t h ep o l y n o m i a la l g e b r as = k x l ，z n e a c hh y p e r p l a n eh 4i st h ek e r n e l o fap o l y n o m i a l 口日o fd e g r e e1d e f i n eu pt oac o n s t a n t d e f i n i t i o n1 2 2t h ep r o d u c t q ( 4 ) = c 口日 h e a 3 c h a p t e r li n t r o d u c t i o n 诂c a l l e dad e f i n i n gp o l y n o m i a l 盯4 ，w h e r eci san o