（概率论与数理统计专业论文）重尾分布下相关问题的研究.pdf

摘要 摘要 本文是在攻读硕上学位期间完成的，全文共分三部分，通过对风险理论中的 热点问题，即大额索赔风险模型的破产概率估计，乘积的封闭性以及近年来备受 关注和重视的重要工具连接函数( c o p u l a s ) 的学习和探讨，得到了一些新的结 论。 第一章为绪论部分，介绍了风险理论的研究内容和发展状况、本文的研究背 景以及研究目的，即对经典风险理论中风险独立的假设做出改进，讨论连续风险 在上尾独立的条件下的破产概率估计，并进一步讨论了两个具有某种相依结构的 随机变量乘积的封闭性。此外还简单介绍了重尾分布、连接函数及上尾独立等相 关知识。 第二章讨论常利率下一类大额索赔连续风险模型的破产概率估计。首先 在c h e na n dn g ( 2 0 0 7 ) 的基础上提出了保险公司的各索赔额上尾独立的条件下的风 险模型。当索赔额的分布函数属于冗v ( 一口，一卢) 族、并且索赔额上尾独立时，利 用概率极限理论知识给出了有限时问破产概率和终极破产概率的简洁近似公式。 第三章讨论了两个具有相依结构的随机变量乘积的在族上的封闭性问题。 在假设两随机变量的相依结构由某种连接函数决定后利用c l i n ea n ds a m o r o d n i t - s k y ( 1 9 9 4 ) d ? 的方法得到了当随机变量x 属于c 族且连接函数- z 基2 g m 的条件下，乘 积x y 具有封闭性时y 应满足的条件。 关键词：破产概率，重尾分布，连接函数，封闭性。 a b s t r a c t t h i sd i s s e r t a t i o nc o n s i s t so ft h r e ec h a p t e r s ，w h i c hi sc o m p l e t e dd u r i n gm ym a s t e r d e g r e eo fs c i e n c e c h a p t e r o n e i sa p r e f a c e i t g i v e sa n i n t r o d u c t i o n t o t h e d e v e l o p m e n t a n ds i g n i f i c a n c e o fr i s kt h e o r ya sw e l la sp r o b a b i l i t y i ta l s oi n t r o d u c e st h eb a c k g r o u n da n dt h em a i n i d e a so ft h i sd i s s e r t a t i o n t h a ti s w ei m p r o v et h ec o n d i t i o nt h a tc l a i m sa r ei n d e p e n d e n ti n c l a s s i c a lr i s km o d e l s ，d i s c u s st h ea s y m p t o t i cr u i np r o b a b i l i t yo fac o n t i n u o u sr i s km o d e l a n dm o r eg e n e r a l l y ，e x p l o r et h ec l o s u r eo fp r o d u c to fd e p e n d e n tr a n d o mv a r i a b l e si n h e a v y t a i l e dd i s t r i b u t i o n s i na d d i t i o n ，s o m ek n o w l e d g ea b o u th e a v yt a i l s ，e o p u l a ea n d t a i l i n d e p e n d e n c ei sp r e s e n t e da tt h ee n d c h a p t e rt w oi n v e s 吨a t e st h er u i np r o b a b i h t yo fac o n t i n u o u st i m er i s km o d e lu n d e r c o n s t a n ti n t e r e s tr a t ew i t hh e a v yt a i l s b a s e do nt h em o d e li nc h e r ta n dn g ( 2 0 0 7 ) ，w e p r o p o s ea l li m p r o v e dc o n d i t i o ni nw h i c hw ea l l o wg e n e r a ld e p e n d e n c es t r u c t u r ea m o n g i n d i v i d u a lr i s k sa sl o n ga st h e ya r eu p p e rt a i li n d e p e n d e n t u n d e rt h ea s s u m p t i o nt h a tt h e c l a i m si si nt h ee x t e n d e dr e g u l a r l yv a r y i n gc l a s s ，s o m es i m p l ea s y m p t o t i cr e l a t i o n sf o r t h ef i n i t ea n di n f i n i t er u i np r o b a b i l i t yo fo u rm o d e la r ed e r i v e d i nc h a p t e rt h r e e ，w ed i s c u s st h ec l o s u r eo f p r o d u c to f d e p e n d e n tr a n d o mv a r i a b l e si n c u n d e rt h ea s s u m p t i o nt h a tr a n d o mv a r i a b l e so b e ys o m ek i n do fd e p e n d e n c es t r u c t u r e i nt e r m so fc o p u l a s ，f o l l o w i n gc l i n ea n ds a m o r o d n i t s k y ( 1 9 9 4 ) ，w ed e r i v et h ec o n d i t i o no f yu n d e rw h i c ht h ep r o d u c to fx yi sc l o s e dw h e nxi si n a n dc ( u l ，t n ) i sf g m c o p u l a s k e yw o r d s ： r u i np r o b a b i l i t y , h e a v y t a i l e d ，c o p u l a s ，c l o s e d 一一 第一章研究背景及重尾分布族介绍 1 1 引言 第一章研究背景及重尾分布族介绍 风险理论( r i s km e o r y ) 是对风险定量分析和预测的一种理论。保险公司在经营过程中 面临许多由自然状态的不确定性或经营管理方法不妥善等方面的潜在风险，尤其是近年 来现代保险业蓬勃发展，行业内竞争不断加剧，如何能够度量风险、控制风险、管理风 险和避免风险，使保险公司得以持续盈利，永久生存足保险公司的头等大事。而风险理 论可以对保险业所面临的各种风险进行定量和定性分析，是保险公司进行保险产品的合 理定价、责任准备金的合理计提、再保险的适当安排、偿付能力的有效管理、资产负债 管理和保险公司破产的准备预警等工作的理论基础。因此，风险理论是保险精算科学中 一门重要的学科。 破产理论则是风险理论中的重要组成部分和热点，它主要针对保险公司如何估计所 面临的风险，讨论在一段时间内保险公司发牛盈余或破产的概率。破产理论的摹本思想 是考虑保险公司的盈余( s u r p l u s ) o ( t ) 随着时间的积累问题，所谓盈余是指某个初始资产加 上所收取的保费超过理赔的那一部分，当盈余过程为负时，我们就认为破产发生了。破 产概率作为衡量保险公司稳健性的重要指标，是风险管理的一个重要工具。但事实上， 破产概率并不能真正表示保险公司即将倒闭的概率。因为在计算破产概率时，分红及对 某些索赔记录不好的风险变量提高保费等一些潜在的干涉因素都被忽略了。从某种程度 上说，破产概率只是一个数学概念丽己，破产概率高意味着保险公司不稳定，这时保险 人必须采取提高保费、进行再保以转移风险或者设法吸收一些额外的资本金等措施。因 此，准确的计算或估计保险公司的破产概率是十分重要的课题。 关于破产理论的研究可以追溯到瑞典精算师f i l i pl u n d b e r g 于1 9 0 3 年发表的博士论 文，它奠定了精算风险理论的基石。而后以c r a m e r 为首的瑞典学派完善j l u n d b e r g 的数 学工作( c r a m e r ( 1 9 3 0 ) 、c r a m e r ( 1 9 5 5 ) ) 使之符合现代数学的严格标准，得到了破产概率的 显示表达式。 近年来，在国内外有众多的研究文献讨论破产概率的计算和估计问题。这些文章讨 论的风险模型往往可以分为两种情形：大索赔额和小索赔额。对前者讨论较多的是连续 时间经典风险模型即复合泊松模型，通过鞅理论、更新理论中的方法和技巧得到破产概 率的一些精确表达式和上下界表达式对于风险发生分散、风险较高的情形，大索赔额 较为适用，它用尾部较重的分布来描述风险，利用概率极限理论、大偏差等方法得到破 产概率的精确的尾等价形式。 经典风险理论的研究通常假定保险公司的风险，即损失额j 厶之间是相互独立的， 这主要是为了数学处理上的方便。然而，在实际经济生活中，我们经常碰到个体风险问 不独立的情形。例如：地震、台风、海啸等自然灾害往往会同时对某个地区居民的生命 和财产产生灾难性的影响、传染病带来的不是一个人的痛苦、一起简单的交通事故也不 仅仅导致一个人的损失。因此，对损失额不独立的风险进行研究具有很实际的意 第一章研究背景及重尾分布族介绍 义 。t “ 经典风险建论研究的另外一个通常假定是假设损失额的利率为常数。我们知道， 在保险公司处理风险问题时会遇到两类赔付问题：大额赔付和小额赔付。对于小额赔付 问题，保险公司般在核实后市即给予赔付；而对于大额赔付，保险公司则需要仔细调 查，书写调查报告，这往往需要较长的时间。由于利率的影响，索赔额五。在t 时刻的贴 现值为j o e “n ( 具体介绍见1 4 节) 。这时理赔时刻7 - n 与索赔额不再是独立的，而是具 有一定的相依关系。此时，对它们乘积的性质进行讨论是必要的。 本文第= 章主要讨论常利率下风险上= 尾独钽( 关于上尾独立的定义见1 3 节) 的连续风 险模型破产概率的估计，包括有限时间内的破产概率和无限时间内的破产概率。由于破 产往往是由大额索赔导致的( 参见e m b r e c h t s ，e t ，a 1 ( 1 9 9 7 ) ) ，如同很多经典的文章一样，本文 讨论大额索赔下的风险模型，即假设纯支出是重尾的( 重尾分布定义参见1 2 节) 本文第三章主要讨论在x 与y 相依的条件下乘积x y 的封闭性为了衡量其相依关系 对乘积封闭性的影响，我们使用连接甬数( c o p u l a s ) 这一工具来描述相依结构。 本文内容安捧如下： 第一章介绍文章的研究背景、丰要内容、重尾分布族以及连接函数等一些准备知识； 第二章主要讨论常利率下风险上尾独立的连续风险模型破产概率的估计，包括有限 时间内的破产概率和终极破产概率： 第三章假设x 与y 之间的相依结构山某种连接函数决定，考虑此时乘积x y 的封闭 性。 另外，在本文中我们做如下规定：对两个正函数d ( z ) ，6 ( z ) ，若： l i r a s u p 器 1 则训咖6 ( z ) 若l 攀器 1 则记n ( 小6 ( z ) 1 2 重尾分布族 l u n d b e r g - c r a m e r 经典破产模型( 具体介绍请参见e m b r e c h t se ta i ( 1 9 9 7 ) ) 是现代破产 论研究的基本模型和起点，一个世纪以来，对它的研究不断深人，研究领域也不断拓 宽。但是经典破产论研究的是关于“小索赔”情形的破产论，一个很强的约束条件是要 求调节系数存在，如果调节系数不存在，则相应的更新论证和鞍方法都无法奏效。这 样，对于“大索赔”情形的破产论，更确切地说，也就是对于重尾分布的破产论研究就 必须寻找新的方法，借助新的数学工具。当前重尾分布研究主要有两个方向：一是寻求建 立破产概率的尾等价关系式，二是在尾等价基础上寻求建立局部等价关系式。这两个方 向的研究遵循的方案都是类似的：一是定义一些重尾子族，总是力图让等价关系在包含范 围更广的子族上成立，二是建立新的模型，也是尽力让等价关系在更复杂，包含类型更 广的模型上成立 一2 一 第一章研究背景及重尾分布族介绍 定义i 工l 如果一个非负的随机变量x 或它的分布f 缸) 使e 【e t 。】= 对任何t o i l s 成立，也郾矩母函数不存在，弼称它的分布是重尾的。 由于这一概念所包括的情形很大目前也无法在整个蕈尾族e 得到满意的结论。所 以在实际的研究工作中，人们总足从它的- d , 部分即子族上着手来得m 良好的性质，然 后再逐步扩大它成立的范围下面对其常见的子族做一下简要介绍： 定义1 2 2 ( c 族) 定义在【0 ，o o ) 上的分布函数f 0 ) 若对v y 0 ， 1 i mf ( z - u ) ：l ， 2 ” f ( z 、 则称f ( z ) 服从c 族分布，记为f ( x ) c 从定义1 2 2 可知，要证明分布函数f c ，删l i m s u p = 。! 警铲1 即可 定义1 2 3 族) 定义在【o o 。) 上的分布函数f ( z ) 若对任意或某个n 2 ， 溉错钠熙i 贯。 则称f ( z ) 服从次指数分布，i 曲f ( x ) s 其中f 鬲( z ) 表示f ( x ) 的n 重卷积。 注1 2 1 次指数分布一类重要的重尾分布，它包括p a r e t o 分布： 对数正态分布： 其中西为标准正态分布； w e i b u l l 分布： f ( t ) = 1 一( 1 + t b ) 一，a 0 ，b o ； f ( t ) = ( ! ! 旦：) ，p r ，一 o f ( t ) ：1 一e 一护0 卢 1 注1 地在现代金融保险业中，次指数分布在很多方面都有广泛的应用例如 排队论( p a k e s ( 1 9 7 5 ) ) 。无穷方差时间序列( d a v i sa n dr e s n i c k ( 1 9 8 5 b ) ) ，更新理论( e m b r e c h t s a n dg o l d i e ( 1 9 8 2 ) ) ，大偏差理论( c l i n ea n di s i n g ( 1 9 9 0 ) ) 以及分段过程论胁i s t y a k o v ( 1 9 6 9 ) ； a t h r e y aa n dn e y ( 1 9 7 2 ) ；c h o v e r , n e ya n dw a i n g e r ( 1 9 7 3 a , b ) ) 等 定义1 2 4 ( d 族) 定义在【o o o ) 上的分布函数f ( z ) 若对0 1 ， 粤鬻 0 ，0 o t 们p r ( x z ) p r ( y 掣) ( 1 4 ) 若( 1 3 ) 或( 1 4 ) 成立，我们将它训j p q d ( x , y ) ；相反，若对于所有的( z ，”) r 2 p r ( x s z ，y ”) p r ( x sx ) p r ( y s ) 或 p r ( x z ，y y ) s n ( x z ) p r ( y ) 则称它们是负相关的，并记为n q d ( x ，y ) 。 性质1 3 1 假设随机变量x 与y 是p q d 的，则x 与一l ，是n q d 的。 证明因为x 与y 是p q d 的，由p q d 的定义， p r ( x ，一y 掣) = p r ( x z ，y z ) 一p r 僻 z ，y - y ) sp r 陋 o ) 一p r x ) p r ( y - y ) 一6 一 第一章研究背景及重尾分布族介绍 = p r 僻 1 ) 州一y 山n q d 的定义町知，x 与一y 是n q d 的。 注1 3 3 容易看到f g m 连接函数是对称的。当口o 时，岛( u 1 ，“2 ，。) 是p q d 的 当p o 时，岛( 仳1 ，u 2 ，t 。) 慰i q d 的：且c b ( t 工l ，2 ， u n ) = “( t l ，啦，“。) 。 1 4 基本模型 记索赔额，n = 1 ，2 是同分布的非负随机变量序列，具有共同的分布函数f 。 记，孟，7 1 , = 1 ，2 为索赔发生的时间间隔，则k 为独立间分布的非负随机变量序列， 且与矗独立记仉= k + 砭+ + k ；n ( t ) = s u p k ：亿玎，s u p 圣= 0 v a t 称 k ：k 1 ) 为更新间隔序列，称 ( t ) ：t2o ) 为更新过程，称m t = 刀【( t ) 】为更新函 数众所周知， ( t ) m t = ：p r s t ) ，t 2 0 则到t 时刻总理赔额应表示为 ( t ) & = 矗，t o 记c 为单位时间内收到的保费，6 0 为常利力，0 为保险公司的初始准备金，则t 时刻保险公司的总盈余满足下列方程： 阢以+ c 。i te a ( t - ) 劫一三o o 列( “叱一剀 则t 时刻盈余过程的贴现值可表示为 疗r t = x + c z 0 t e - - s y 由一薹耻帆蚰，剀 s ， 由此，保险公司的破产概率可表示为 咖( z ) = p r ( 玩 o ，t 0 i 玩= 习( 1 6 ) 一7 一 第一章研究背景及重尾分布族介绍 ( a ) 当6 = 0 时，如果f ( $ ) 服从次指数分布，即f 只且安全负荷p 0 时，对于上述更新模型，在j ，n ，9 = 1 ，2 独立的条件下，t a n g ，q ( 1 9 9 8 ) 给 出了f r 0 o o o 时破产概率的相应表达式， 蚍z ) 1 6 上- p ( y ) y d y 0 0 ， 同样对于上述更新模型，在j 厶，t l = 1 ，2 负相关的条件下，c h e aa n d n g ( 2 0 0 7 ) 给出了 当f ( ) 冗y ( 一o ，一p ) 时破产概率的相应表达式， 化( z ) ”o f(ze乳)dinoot 其中，帆= 是1p r t ) 在( 1 6 ) 中定义的破产概率没有时间限制，常称为终极破产概率。关于破产概率的详 细介绍请参见唐启鹤( 2 0 0 1 ) 。 一8 一 第二章常利力下一类大索赔额连续风险模型的破产概率 第二章”南和力下二奚关巢赔聩连续风险模塑的破产概率 2 1 准备知识及主要结果 令f g r v ( - a ，一p ) ，0 a 卢 卢 ( 2 1 ) ( 2 3 ) 定理2 1 1 对于1 4 节所述的更新过程，若五。，l = 1 ，2 是上尾独立的，且其分布 函数f ( x ) 冗y ，则 妒( 甸一f ( 。e 船) d 砚 j 0 其中，舰= 器lp r s t ) 注2 1 1 当每个时刻t 对应着不同的利力盈时定理2 1 1 仍然成立。此时的破产概 率可表示为： ， 妒o ) 一f ( z e 詹以“) d h j o 注2 1 2 如果索赔额序列五。是n q d 的，则定理2 1 1 中上尾独立的条件可以去 掉，这是因为此时， 0 l i 。丛生连箕趔 l i r a 型些塑生：0 一z 一 f ( z )一f ( x ) 一9 一 第二章常利力下一类大索赔额连续风险模型的破产概率 2 2 主要缝暴证明 引理2 2 1 ( c h e na n dn g ( 2 0 0 7 ) )假设x 和l ，足两独立非负随机变量，其分布函数分 别为f 和g ，若f t z v ( 一o t ，一卢) ，0 i 6 1 ，x ，, 1 x r 6 2 x ) = 0 ，i 丘t ，j n 证明对于给定的6 ，由式( 1 2 ) 可得，l i m 。- 。旦坚号话s 丘三盟= 0 对w l ，如 0 ，只要j 61x,xj52x) t ( z 】 ：l i 。! ! ! 墨三皇! ：垄三墨兰! ! 兰盟 f ( t f x jf ( x ) z ) ) p r ( x n e 一“ 。) 一 n = l l j 兰“o ( 2 4 ) p r ( x i e 一6 n z ，玛e 一6 q z ) p r ( x i e 一5 r z ，x j e 一6 f z ) p r ( x i z ，】0 。) = o ( ，飞。) ) 1 0 妨 机 k 阶 彩 k m 所 z 帆 k m 阶 第二章常利力下一类大索赔额连续风险模型的破产概率 从而， 另一方面，对任意固定的l 0 ，有 n ( 矗e “ z ) n = 1 n o n on p r ( u ( e 一6 h 茁一l ) ) - i - p r ( x e 一6 h z ，n ( 五e 一5 n z l ) ) = 1n = 1i = 1 = j 1 ( 霉，l ) + 2 ( z ，工) 对于1 1 ( x ，工) ，由引理2 2 1 可知，j o e 一6 “冗v ( 一o t ，一卢) ，n = 1 ，2 ，故而， 对于1 2 ( x ，工) ，由引理2 2 2 及g n v ( - a ，一卢) 定义， ，如扛，l ) 恶e 旨雨离啊 = 熙煎型芷毫篙嚣筹擎幽 鲫 s l i r an o ( n o 一) ! 丛兰立三z 立云手l 型芝薏三- 西i = 0 z h 5 一 e nx rp r 轧 一 e n x rp 茁 k e k“ p m l z ho e k“ p m 1 一 lzr 第二章常利力下一类大索赔额连续风险模型的破产概率 从丽 结合( 2 6 ) ，( 2 7 ) 即得( 2 4 ) 定理2 1 1 的证明由( 1 5 ) 可知 而 从而 妒( z ) = p r ( 仉 z t 1 2 ) ) n = m + 1 o o p r ( 矗e 一6 “ z n 2 ) ( 2 9 ) 取o ，p 7 ，使0 a 7 o 曼口 札 k rp ho 水 y m rp 0 一 一 hk ho ek l 一占 z 帆 k 。一 蹄 n - 2 e s r n zi ) 厶咖矶 k = 1 ，2 ，3 n = m + 1 由马尔科夫不等式及式( 2 3 ) 可得 ( m ，z ) e 【“。( n ，砷】 = p r ( a t ( n ，z ) ) = p r ( n 2 4 e 一6 “4 7 ( d 2 z ) 一4 ) 。曼。爷 = ( z d z ) 一n 2 4 7 e ( e 一6 “) ( z d 2 ) 一n 卵( e 【e 一6 1 】r = d o - ( z ) ) 由式( 2 1 ) 和( 2 2 ) ，对所有的z m a x d 1 ，i ) 2 ) ，可得 屯( ”“z ) = 。：。+ 。e f ( 至：尘! ；表；堕f ( z ) ) 如。( n ，。) j 伤剐圣研( 矗毛) “：( 删 c t f ( z ) s i n 2 4 e 一4 “厶。( 。，。) 】 s 岛f ( z ) n 2 ( e f e 一即1 1 ) 4 一1 3 一 第二章常利力下一类大索赔额连续风险模型的破产概率 同理， 枷) 掣e ( n - 2 e 6 r “) - a i a s ( n , x ) 】 警。耋。即i e - “邗“ l i ml i m s u p 帮- o ，s m o 。m f f z ) 将上述结果代入( 2 9 ) ，可得： l i ml i m s u p 等萨l i ml i m s u p 。= 妻m - i - ，巡铲一。 又因为p r ( 五。e 一6 “ z ) xf ( x ) ( 参见c l i n ea n ds a m o r o d n i t s k y ( 1 9 9 4 ) ) ，则： l i ml i r a s u p 揣= l i r al i m s u p 。耋。筠筹一。 由上式，对任意固定的0 z ) e p r ( x l e 一机 功 对上述的n o ，由引理2 2 3 得( 2 4 ) 成立。即对v 0 ， nn ( 1 一s ) p r ( x k e 一机 z ) 妒 ，n ) s p r ( x k e 一5 1 $ ) ( 2 1 0 ) k = l = l 根据( 2 1 0 ) 可知， 妒( z )妒( z ，n o ) 一1 4 z n x “ p h k 阶 。一 h k阶 。 第二章常利力下一类大索赔额连续风险模型的破产概率 ( 1 一- 田【一，渺陬e 一机 力 n l i i | o + l 关于妒( 。) 的渐进上界，利用a 啪a n dn g ( 2 0 0 7 ) 相同的方法，可以证得 结合( 2 1 1 ) ，( 2 1 2 ) 可得 而 ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) f 2 1 3 ) = p r ( 溉e 一4 “ z i ! t ，n = l ，2 ) p r h t ) n = 1 ， = _ ( z e 以) d 观 ( 2 1 4 ) 对每一个 0 ，由上式及8 7 2 v ( 一a ，一卢) 的定义可得： 一取扛+ c j ) e 乳) d 砚 j 0 - o o 乏f ( ( 1 + e ) x e 乳) d 仃i t j 0 t o o 乏( 1 + ) - ：( x e 乳) d 帆 由g 0 的任意性可知， ， n ( 三跏。b 蚪咖胺j ( - ( 乳 ( 2 1 5 ) n = l 。” 一1 5 一 z h e n x “ p e l 一 z ho e 矗 rp h 可 水 x 1 阶 曲 k阶 札 k m 阶 k阶 占 + z 机 k 阶 第二章常利力下一类大索赔额连续风险模型的破产概率 结合( 2 8 ) ( 乞1 3 ) ，( 2 a 4 ) 以及( 2 i s ) 可得 t 0 0 1 ；f ，( z ) 一t ( x e “) d i n t j 0 推论2 2 1 对1 4 节所述的更新过程，若五。，n = l ，2 是上尾独立的，且其分布函 数f ( x ) 冗吲0 加丝等掣f ( z ) 利用定理2 1 1 的证明过程，并令n o 。即得。 一1 6 一 第三章 ：i 安f g m c 筇u 管鞫美酌随耕受量乘积在礁酶分布性秧 3 1 准备知识及主要结果 我们假设x 与y 是非负随机变量，它们的分布分别记为f 和g 。在讨论中，我们假 定x ( 或其分佰f ) 为起土要作用的凼素，而y ( 或其分布g ) 为起次要作用的因素。用日表示 乘积x y 的分布，用日= f g 表示相麻的分布运算，并且将f 和g 记为日的冈子。 现代的金融保险业中的风险理论多半是在一定的分布族尸中进行讨论的，当随机变 量x 的分布f 属于，时，就称x 为，族的随机变量，记为f t t - , 也可记为x ，。 从应用的角度考虑，人们希望利率y 不要过多地影响本金x 的性质，亦即x y 的尾分 布性状不要与x 有太大差别，例如不要改变x 所属的分布族等，这是因为任何金融机构 都希望保持其政策的稳定性所以乘积分布的族性问题受到普遍关注。 称某个分布族f 在乘积运算下是封闭的，如果x 与y 都是，族随机变量，则它们的独立 积的分布仍然属于，族。通常的讨论往往涉及c 族、5 族等等，这些分布的定义见1 2 节。 本章主要讨论随机变量乘积在c 族的分布性状。 在以往的讨论中，人们多把注意力放在某些分布族在独立积运算下的封闭性问题上 面。例如，c l i n ed b h ，s a m o m d n i t s k yg ( 1 9 9 4 ) 证明了c 族分布在独立积运算之下具有封 闭性，并且还在一些条件下给出了关于一些其他分布族的类似结果： ( i ) f ，g = h c ； ( i i ) 若f 厶且召( t ) = d ( 耳( 6 亡) ) 对每一个b o 成立，则h c 此时x 与y 为独立随机变量。另外，e m b r e c h t sp , g o l d i ec m ( 1 9 8 0 ) 证明了o t 阶正则变化 尾族( 尾分布为一a 阶正则变化函数的分布族) 在独立积运算之下具有封闭性。s h i m u r a t ( 1 9 9 7 ) 1 证明了朋( n ) 族分布在独立积运算之下具有封闭性。苏淳，陈昱( 2 0 0 6 ) 进一步将 上述文献中的条件减弱，证明了在c 和s 族在独立积下的封闭性 但是，对独立积的封闭性的研究主要是为了讨论上的方便。在现实生活中，我们经 常遇到相依随机变量的乘积。例如，在保单费用的计算中，不同保额之保单其费率将有 所不同。保额大的保单分配到每单位保额上的保单费用较少，因此费露较低；反之，保 额小的保单必然费率较高。对于保额为b 的保单的总保费c ( b ) ，记r ( b ) 为保额为b 的保 单所对应的费率，则： g ( 口) = b r ( b ) 关于保单费用的详细介绍可以参阅卢仿先、曾庆五( 2 0 0 1 ) 。显然，此时的b 与冗( 曰) 是相 依的。可见，研究相依随机变量乘积问题具有重要的现实意义。 本章假设x 与y 是c 族上按f g l v l - c o p u l a 相关的随机变量，其分布函数分别 为f 和g ，乘积x y 的分布记为日，我们讨论此条件下乘积的族性问题。 本章的主要结果如下： 一1 7 一 定理3 1 1 设x 与y 是c 族上按f g m - c o p u l a 相关的随机变量，其分布函数分别 为f 和g ，乘积x y 的分布记为日，尉； ( i ) 若f c 将x ( yv ) 的分布记为皿，且对固定的6 0 ，匝对每一个e ( 0 ，6 ) 成市，则h c ： ( i i ) f ，g c = h ； ( i i i ) 若f c ，且召( t ) = d ( 霄( 配) ) 对每- + b 0 成立，则h c 3 2 主要结果证明 定理3 1 1 ( i ) 的证明( i ) 不妨设y o 几乎处处成立。事实上，假设p ( y = 0 ) 0 ， 令耳表示】，的条件分布，h 十表示y 1 4 的分布。记百( t ) = p ( x 1 4 t ) p ( y o ) ，易知 矾c 铮日。 对任意确定的e 0 ，首先假设x 与y 是p ( ! d 的，由性质1 3 1 知，x 与一l ，是n q d i 的， 从而， 面。( t ) = p r ( x ( y v e ) t ) g ( t ) 2 p r ( x y t ，y ) = p r ( x ( y v ) t ，y ) = p r ( y v s ) t ) 一p r ( 以 t ，y e ) = p r ( x ( y v ) t ) 一p r ( e x t ，- y - e ) p r ( x ( y v ) t ) 一p r ( s x t ) p r ( y s ) p r ( y v ) t ) 一p r ( y v s ) t ) p r ( y 曼) = p r ( y s ) 日。( t ) 若x 与y 是n q d 的，则： 瓦( t ) = p r ( x ( y v ) t ) - h ( t ) p r ( x y t ，y ) 2p r ( x w v ) t ) 一p o e ) p ( x t ) p r ( y ) ：瓦( t ) 从而，对每一个u 0