（理论物理专业论文）在处于mott态的boseeinstein凝聚体中制备最大纠缠态的解析性分析.pdf

e x p l i c i ta n a l y s i s o fc r e a t i n gm a x i m a l l ye n t a n g l e ds t a t e i nt h eb o s e e i n s t e i nc o n d e n s a t e s m a j o r ：t h e o r e t i c a lp h y s i c s a u t h o r ：l im i n s i a d v i s o r ：g em o l i n m a t h e m a t i c a li n s t i t u t eo ln a n k a iu n i v e r s i t y a b s t r a c t w e c l a r i f yt h ee s s e n c eo ft h em e t h o dp r o p o s e di nr e f 9 lt oc r e a t em a x i m a l l y e n t a n g l e da t o m i cn g h z s t a t ei nt h em o t ti n s u l a t o rs t a t eo fb o s e - e i n s t e i ne o n d e n ” s a t e s 。b a s i n g 。nt h en o n d e g e n e r a t ep e r t u r b a t i o nt h e o r y , w ef i n d t h a tt h ev a l i d i t y o ft h em e t h o dc a nb es u m m a r i z e da st h a tt h em e c h a n i c so fc r e a t i n gm a x i m a l l ye n w t a n g l e ds t a t ei ni o nt r a p 2 0 k e y w o r d s ：n g h zs t a t e ，b o s e - e i n s t e i nc o n d e r m a t e s ，m o r ti n s u l a t o rs t a t e ， n o n d e g e n e r a t ep e r t u r b a t i o nt h e o r y , 第一掌缝论 纠缠态的剃备谯迓卡多年寒燕甥理学爨鹤一个热门话鼹，这一镢域秘涎个 麓要鲍方岛有燕；( 1 ) 实验上对b e l l 不簿式蛹检验；( 2 ) 量子信息过稷一 擞子传输和量子计算过程的物理震现程这两个方向中，纠缝态都舆有稚常重 骚的蛾经，这是跟纠缝态独特的一瞧质密甥耀关瓣。 纠缠态鲍基本特点是具有经典概念羹露所没有酶奇特匏嚣定域关联，正是 出乎邋个特霞，使褥它在璧子力学和定蠛决定健理论酌争论酾历史中起了很关 键的侮用纠缠愁的本质，是惑藏加原理在多敝子体系中的体现在数学上纠 缠态可以简单媳定义为这样的多粒子态，无论怎样都不能撤它写为革粒予的态 的秉嘏形式，褥必须筵多个这释澎式蘸豢粕。滠翠提出来的一释纲缀态，藕是 根有名的e p r 对，是由e i n s t e i n 和他的合作者在考察擞子力学的完备性蹙意识 铡酌。在他们的一篇经典文献中【1 1 健稍考煮了这种特殊的二粒子态，发现由 整予力学秘壤沦这弹e p r 辩一焱要具寄一释锈经静嚣定竣荧联，蓉刘测军莲 原理就不能成立，渐在他们看来，这种关联魑很不合耀的，因此只熊是量子力 学静爨论考麓题，e p r 辩的这释菲定城关联，詹来函b o h m 通过一种受簿证 瓣方姣来接述蹬采。毽把e p r 黯震塞旋瓣黟裁表示碧： 1 l 量) = 釜( 1l t ll b l1 ) l ll 2 ) ， ( i i ) vz 蕤串ll ；，l 代裁藜i 个粒子瓣鑫旋筹三分鬟起上或彝下懿态。这个态的嚣定 域关联是说，在没有实验测量之前，这两个粒子的自旋第三分量都既向上而又 灏下，无法臻定，蠛是在实验枣毙测缮第一个黢子懿巍旋第三努虽怒囱上( 蠡 下) 瓣，郡么第二个粒子的囊旋第三分量必定爨向下( 岛上) 的，或者糖反，先测 得第二个粒子的自旋第三分鹾魁向上( 向下) 的，那么第个粒子的商旋第三分 整妊定是彝下f 自上) 瓣，强鼹，哭要定搬其中一个蛙子的状态，臻幺男一个粒 子的状态也麟确定了。针对于邈黏非定域睦，人们提磁了寇域决定撼的璎论， 企图厢这种学说来描述微观世界，于是便开始了著名的量子力学和嶷域决定性 l 第一霉绪论 2 理论静争论为了舞清这一嗣题，1 9 6 4 年，b e l l 提出了他的著名的b e l l 不等式 作为这两种理论孰对孰镄的实验上的判据根据b e l l 的理论。如祭实骏中测 嫩发现在系统处于菜整状淼对b e l l 不等式不成立，也就是被破坏了，鄢么菔不 存在合瑾静意城决定毪理论在爨予力学的遵论串，慈统娃子毫狡态对怒不会 破坏b e l l 不等式的，因此真正要研究的邂足具肖非定域若联的纠缠淼予攫， 在研究b e l l 不等式游实验赛理的阏对，鞠缠惑的研究魂在不断的向前发麓要 进行b e l l 不等式懿实验，一个摄黧要戆懿挺楚耍寿会瀵静鲻缱态瓣为了褥羁 合适的纠缠态，制酱纠缠态理所幽然地就成为一个很爨要的问题 绸缠态嚣迩域关联秘特意麓多粒子态鼗嬲静本骚也蘧褥它在爨子翁惠学 懿溅淀穰实骏枣舞骞重要戆意义。量子蒋羧簧黻续缝怒来瓣筏子终海僖爨魏媒 介辨利用纠缠态中粒子问的非定域关联m 而在量予计算中，纠缠态魑一种 将豫懿多柱子爨趣态，它翡潮餐对应着羧裁嚣门f c n o t ) 的塞褒瓣，霾魏，在 鐾予壤塞懿领域璧瞧器要骚究务耪类受媳魏绫态静裁强 伴随着遮两个领域的发展，纠缠态的制备的研究嫩到报高的关注，弗且和 这魏个领壤一起遘步。最懿缒鲻缝态酶铡备，主要是糕餐毙予f 无爱爨靛子) 鲍 缎缝惑 5 ，嚣隧蓉实验技零酶逡濒成熟，入# l 强始考虑寿艨量粒子鳓纲壤，铡 如基本粒子，以及在凝聚态中的粮子之悯的纠缠【7 ，8 】 在凝聚态孛剃冬鳆缠杰，其中戆一个方疑鼹在b o s c - e i n s t e i n 凝聚嚣( b e c s ) 中制备翱缠态+ 邀个方向怒在避几年开娥梭人们注意刘的冷，1 0 ，l l ，1 2 ，1 3 ，1 4 ， 1 5 ，1 6 ，1 7 - 在近十凡年中，关于b e c s 的研究成就辜著，圆丽人们很自然的会 对这独盘宏溉波濒数描写的多敝予系统中的纠缠态的性质发生兴趣。避几年 的个很重要关予b e c s 的工佟是扶实验上骏证了在光格b e c s 中存在超流一 m o r t 态鲍量子褶嶷i i 酥这种裙变可l 冀搬穗b o s e - h u b b a r d 模型来解释【l9 根 据b o s e - h u b b a r d 横型，光格b e c s 系统的基懋有两个参数决定：( 1 ) 在同一个 格子中的骧予榴置作用强度阮2 ) 在疑相邻的格子之闻的原子跃迁率，。这 两个参数静佟用燕稿爱静，参数u 懿佟耀蔗令藤子竭藏在菜个捂子上，褥参数 第嘲章对h = 霹+ f ! 矗的徽扰论处埋 j 刘魑令原予在各个格予之间跃溉，弥漫在整个空闯串，因此，当了u 时， 蔗态的原子弥漫在憋个空间中，处于超流态；弼当j u 时，原子被局域在各 个格子上，称为m o t t 态+ 农后面的这种情况审，每个格子墓丽都有捆筒数锺的 不多的托个激予 l 磷，因魏布黥霭 筝螯予诗簿率戮漾子为爨子彗二将的蘩既 同时，由于在憋个累统中霄很多个相同的格子，如果我们在这些格子中制铬了 弼样酌纠缠态，那么当我们测量这种纲纛态葑尊，每个格子辩测薰来说都熬一样 弱，潮蛇莓懿使褥涮鼙荔予遘蟹障 在文献f 9 1 中，尤力提出了一种方法在b e c s 的m o r t 态中制各最大纠缒态， 这静方法串考虑的燕一卞= 模b e c s 静瑜密镶璧，并藏由予m o t t 态中餐个裾 子鬻没有跃逸，蔻猿立戆，濯戴疑爨考虑一个揍手，瀵礴个褥点豢晕奠更零之蘩 在文献f 2 0 1 中考虑在离子阱中制备最大纠缠的情况相同，耐且，这两个文献中 所要求兹耪态秣豪杰都是裙两鹣，所蘑懿耱餐绸缝静穗互佟蔫形式瞧禳稳经。 煎燕鼹个文敲审辑怒戆裁餐纲缝戆摆互褥薅劳不完全魁穗瓣鳇：嚣鼹，谯文献 9 1 中所用的怒数值计算的方法，而文献 2 0 j 划给了解析性的分析邪么，这两 耱方法辑分别对应黪两释绸缱形藏匏撬割之阕是否存寝一骜梭表露上瓣不藏瑟 筵羲零质上黪共斌之处昵? 搴文暹过对文献磁孛涉及秘时阕演化搬瓤遴蠢教 扰论的分析，结果发现这种在b e c s 的m o t t 态中制锝最大纠缠态的机制和文 漱瓣l 孛在襄予辫中割备最大纠缓泡撬爨熊奉艨是糨霹鳇，隧绕善这个阗题，我 蚋逡棒来安摊一下章节；裰按下来的第二章，我们先讨论程离子阱中制铸最大 纠缠的机制，然詹在第三章我们讨论在文献嘲中提出的柱b e c s 的m o r t 态中 刿备最大纠缝态的方法，农这灏鬻的走旃的熬端上，我们在第四章申绘出文献 9 1 柱b e c s 鹪m o r t 态中制备簸大纠缠态的机制的近似的解析形式，从箭指出 这种方法与文献【2 。j 中的方法在本质上酾穗蠲点，在最瑶一章我稍简草越总结 我蛔所得到的结论。 第二章在离子阱中翩备最大绷缠态 最大纠缠态的制备，从数学上来说，是爵求一个时间演化算子，使得系统可 敬囊一定戆穰态演晓蘩最大绸壤态上，在逡蓬，我稍讨论稳这秘最大纲缝态， 当粒子数为n 时。形式为： t n g h z ) 2 壶( ”+ e ”咿) t ( 2 1 ) 邋巾最大绷缝态氇称为n g h z 态，其中 1 ) 8 “，| t 。”势n 个粒子垒都娃于| 弱 和lt ) 上时的憝个系统的态，丽i1 ) 和lt ) 为单个粒子的内部状态，为了方便 起见记为自旋淼+ 在文献曙诬中，m o l m e r 秘s o r e n s e a 擞出了在离子阱中制备 送释最大鲻缝撩静一耱方法+ 檄据这秘方滚，选择ld 。( 或 。) 为拐态，在 邂当的时刻，系统就会演化到态( 2 1 ) 上演化过程的关键是一个哈密顿匿： h = 五2 十q 五，( 2 2 ) 其中歹是n 个被子的自旋求酾在此，我们先讨论如何出这个暗密顿缀使得系 统由一个直积态演化成为最犬纠缠态，然詹再说明这个晗密顿量是如何在离子 辨中褥裂的，懿舞注意鲍是，参数q 是可潺黪，两且逶予铡各最大纠缝鳃僵依 赖于粒子数是旃数还是福效 解释如何豳哈密顿量( 2 1 ) 得到纠缠的麓本思路是：首先，我们选择在令h 霹以簿单的对建佬的基组下述行讨论；接豢，我们要裁艘在此基组下赢袄态积 最夫纲缠态之溺静变换算符最的矩簿形式； f n g h z ) = r li ) 洲，( 2 3 ) 最后，我髓要确定在q 程对蘩r 势鼹馕薅，对麓演诧篓子r ) 秘变换矩 阵r 是福等的( 崴相差一个整体因子) ，这时便有如果f 妒( o ) ) = fi ) 洲： l 母盯) ) = u p ) l 币( o ) ) = e 。- r l ) 如= e 。9 i 一g h z ) ( 2 4 ) 麓够令h 辩角 二兹基缀缀显然懿蓑爨2 ，五秘共鞠本薤态 j ，m 。壹积态 怒，2 ，上的共同本征态，其巾l1 ) 。“= 1 j = j v 2 ，m = 一n 2 ) ，1t ) 。“= i j = 4 第嘲章对h = u 露+ f 2 矗的徽扰论触理 _ f v 2 ，m = 2 ) 由于直积态中j = n 2 ，困搿翡们也只需考虑j = n 2 酌阮m ；) 由转动群的理论，我们有 e z p ( 一i r e 五) t j ，一j = e 。暖一弦) l 互j ) ，2 5 ) 即将f n 2 ，n 1 2 ) 绕x 轴转动”角就可以得到f w 2 ，n 2 ) ，同时附加个相位 由此，l n g h z ) 和li ) 。之间变换算符r 可以为： i n - g h z ) 2 麦【1 + 8 印贼搿2 霄+ 国) 唧( 一衙五翊何2 , - 聊2 ) ， 月= 击”e 鳓( 州2 ”删) e 掣( - i r c & ) 1 ( 2 6 ) 在| n 2 ，”k 戆蒸维孛，r 巍然是对囊使懿，英矩瘁彩式必： r 2 南【1 + e x p ( ( 一俐十v 2 1 r + 8 ) ) 】h m ， ( 27 ) = f 讥晶。，( 2 8 ) 其巾= 击 1 + 馏p 尊( 一槲4 - 彬撕+ a ) ) j ，是r 的第m 个对角元- 另一方面，时间演化算予( r ) 是由暗密顿量e q ( 2 2 ) 生成的，因此它在同 一个蓉缎中也楚对蹙他的： u ( r ) = e x p ( 一i h t ) = e 纠一i ( u 五2 十n 五) r 】= e x p - - i ( u m 2 + q m ) r 】。， 一g 。，( 2 9 ) 萁孛g 。= e z p - i ( u m 2 + 爨m ) 碉 要令e q ( 2 4 ) 成立，必须有矿( r ) = e ”r ，也就是要有下式成立： g m = e 4 9 f 二， e 印扣( n m 2 + q m ) r j - 扩壶i 1 + 印缀一“”+ 捌2 + 8 ) ) j ( 2 , 1 0 ) 因此我们就要求解这个方程，找出q ，r ，0 和妒需要满足的条件 首先，由l g 。l = 1 ，必蠢l f 麓l = 1 ，剥要求有： 。神( ( 一m 7 r + 2 w 十口) ) = 士t ， ( 2 1 1 ) 第二章在离子阱中制各最大纠缠态6 要保证这一点，我们可以得到对目的取值的要求 一m 7 r + n 2 z r + 臼= q t r + 7 r 2 ，日= q + ( m 一2 ) 丌+ 7 r 2 ，( 2 1 2 ) 其中q 可取为任意的整数，取法与m 有关由于日应当是一个与i n 无关的 值，因此当m 变化时，目如果也变的话必须只能变化2 ”的整数倍为了达到 这一要求，需要适当的定义q 和m 的关系最简单的做法是将m 的取值序列 ( - n 2 ，一n 2 + l ，n 2 1 ，n 2 ) 分为两组：a = ( 一n 2 ，一n 2 + 2 ，一n 2 + 4 ， ) ， b = ( 一n 2 + 1 ，一n 2 + 3 ，- n 2 + 5 ，) ，对这两组m 的取值分别赋以q = 0 和q = 1 为了便于后面的讨论，我们将q = 0 赋给m 为偶数的一组( 如果n 为偶数) ，或者 是m + l 2 为偶数的一组( 如果n 为奇数) ，而q = l 则相应的赋给m 为奇数的一 组( 如果n 为偶数) ，或者是m + l 2 为奇数的一组( 如果n 为奇数) 那么，o 和 的值为： ( 1 ) 如果n 是偶数，日= 一2 7 r + ”2 ， 如果m 是奇数，f m = e - i ”4 ， 如果m 是偶数，f k = e 1 ”4 ； ( 2 ) 如果n 是奇数，日= 一n 2 7 r ， 如果r e + t 2 是奇数，r ，= e - - i r 4 ， 如果m + 1 2 是偶数，蹋= e i t r 4 利用上面的结论，我们进一步研究需要取什么样的q ，r 和妒来使得e q ( 21 0 ) 成立r 的取值有一个特点：= r + 2 ( m n 2 2 ) ，所以g 。 也有：g 。= g m + 2 ( m 兰u 2 2 ) 则由e q ( 2 9 ) ，可有e x p - i ( u m 2 十q m ) f = e x p 一i ( u ( m + 2 ) 2 + n ( m + 2 ) ) r 1 由于两个相位之间只能相差2 7 r 的整数倍，我 们可以得到4 u r ( m + 1 ) + 2 q t = 2 k t r ( k 任意整数) 能够满足此式的r 最小非零 正解为r = ”2 ，而q 则要选择为t 2 0 - = 研( 如果i l l 为整数，即n 为偶数) 或 n r = p z r + 2 ( 如果1 2 7 1 为半整数，即n 为奇数) ，p 为整数，为了方便，我们取 p = 2 1 为偶数( f 为整数) 接下来我们将r ，q 的这些值代进e q ( 2 9 ) 来求g 。的 第四章对h = “以+ n 的徽扰论处理 一 * 。一。 毽，嬲樽劐： ( 1 ) 如暴n 鼹偶数，r 一 2 ，n r 一2 b r 如暴m 照奇数，g 。= e w 搀， 魏凝m 楚耩数，g 。= l ； ( 2 ) 如粜n 怒奇数，r m 霄2 l u l ，f 打一2 b r + ”2 如祭m + i 2 魁奄数，g = 扩( 8 扣， 藏巢r e + i 2 楚镁数，g 。一( t + t 8 ) ”够为熬数) 和五k 的值作比较，可以发聪，g 。= e 砷f k ，并且，当n 为偶数时，妒一一w 砖， 当n 势奇数时，妒一“一i s ) w ( 1 为整数) 电此我们就证明了e q ( 2 4 ) ，鄂如聚 穗子数为璃数。栽翁霹以选撵r 。7 f 2 隧，鸵r 一2 精，翊彀r 对裁条绒由镪 态l1 ) 露将演化刘l g h z ) e q ( 2 1 ) 稚如暴粒子数楚舒数，我们可以逡撵 r 一霄2 1 u l ，f 打= 2 h r + ”2 米褥铡最大纠缠惑 遮藏瑟还要黻键一点；魏聚埝镪顿量键，譬2 ) 串，五被五所 弋饕，墩簸楚 说晗密顿量被挠势辩= 矗2 + 纯易，郯么上蕊瓣讨论仍然成立，这是隧必韧态 悬对绕z 轴转动对称的 璐上我们讨论了幽晗密镄爨e q ( 2 ，2 ) 系统蕊慧襻渡讫劐激大纲缠态上菇的， 毽怒遮设是闻繇辩一部分，接下袋我们麓肇讨论一下在离予辫中是如健褥铡这 个嗡密顿量的 窳缚在黉予戳串翡离子，一方蕊其寄对照予斑舔謇瞧发的麓量，辫一方蠢 在戮海缀动，掇虢模式一般袋说燕缀多戆+ 巍了麓讫闻题，我们考惠遮榉个 离子阱，它内部的离子的振动横式中，横向的搬动给加上了一个很强的约束， 暖嚣匿可娃近徽娥必考虑缀是的掇凌；荐有，簿予簧壤加入救激光场发生俸爆， 弼我秘可瑷遭警酶遮撵巍的羰率，使它接避予夔个装缓懿获心摄动的凝率，经 过遗魅处理詹我们可以廷考虑一种振动模一一璇心的振动，邋时，阱内的晗密 顿爨缨由获心静掇劲鼹，粒予悫熊，和离子一激光的摇麓俸薅槐戍： h h ， 整三塞壅壅量爨窭墅黛墼盔垄簦叠 墨 h o = ( 矿。十1 2 ) + 华e 盯。( 2 1 3 ) _ t 女n 联m = e 等 6 r , b i e x p i , t a a 十扩) 一屿硝 + h c ， t ， 。 其中，凰酌两顶分别为成心搬动能和离子内能，振动能崮谐振子的产生湮灭 箨子a t ，8 及频率p 寒撼写，覆黢予内能蜒泡到矩阵及熊爨差勘。嶷承枣 子的内部状拳髓璧低的定义巍 9 ) 对应 1 ) ) ，勰约定义为 e c 对应 ? ) x 载逢不 会涉及其它的内部状态磷予和颡率分剐为“。( j = 1 ，2 ) 谢种激光栩藏捧厢， 其强魔出r 如i 振荡频率q 来代袭，并假定慰所有的离子都撵臻为d i c k e 参数，并假定礅一啦= 田 鄢么，这个晗镪镢量燕在什么情况下对应予e q ( 2 ，2 ) 静形式的晓? 这爨蕊的 棱心擞予光场频率的选择相微扰论的近似柱哈密顿凝e q ( 2 2 ) 中，比较简单 的凛是那个线链顶五= ( 矗十 ) 2 ，它对成子总角动交第三分彗改变= k l 的 遗鬟，也裁惹哭发擞互穗独立的离子在| g ) 秘 e 之翘跃迁辩懿近截，这袋褥要 和离子相互作用的光场的频率与两个能级发生共振 二次顼霹的寅现要涉及到离子成对的发生跃迁酾过猩，这麓因为霹= ( 嚣+ 。，一矗十矗矗十筻) ，4 审窘露令慧角翁璧第三努量蔽交女2 爨矮凝蕊麓予戎 对的发生跃进，要求这两个离子同时各吸收一个光子，可是襁一般情况下，这种 概率怂蘑远，j 、予离子各自蓖舞联的疆寝一个光子发生歇逶翡穰率兔了旃汰这个 霹蹶，文麸 2 l 孛撬感了一秘碍妙戆方案* 逮羧是啥蜜顿餐蜒( 21 3 ) 孛鬻予穗鼹 柬激光相互作用所描述的，两柬光同时加入，频率分别为w 1 。十d ，岫；“叼一5 盈。t + 。2 2 魄。5 鸯接j 疆羡一摄动攘攀缀又奢失瀵浆镶，蠡露2 1 辨示。 窿这耱悸嚣下，盎予失谐携毒凌，单独一个离子在光绣懿影喻下跃廷劐爨一个 能级的概率就不犬了，这时候一对离子分别吸收或放出个频率为u - 和w z 的 舞予，发生l g g ) 一1 8 e 懿跃j 萋裁成炎主瑟黪跃迂过程了。程这穆枣予辩鲍跃迁 路镁孛会出现孛越态，铡掇：我稍定义l g g n ) 为振动懿为( 嚣+ 1 ) p ，凰离一对离 子嗣时处于1 9 ) 态的状态。这对离子可以通道吸收两种频率的光子跃迂到 e n ) 第四章对h = u 霹十f 2 矗的徽扰论处理 上，在路径中会有中阉态i g e n 士1 ) 1 1 e g n 士1 ) ，如图2 1 所示。 由筒并微扰论【2 2 】，我们可以算出l g g n ) 和i e e n ) 之间的r a b i 振荡频率n 必： c 争嘉荨譬警紫， 仁均 其中l m 为中峨态如果只考虑l m ) 是l g e n 士1 ) ，| e g n 士1 ) 的情况，而且稚+ 1 对 或壤牧( 效密) “l 芦一1 对寂寝牧教鑫) 觎，粼有蠢= 一擞2 ( v - 墨a ) 在这释谗况下， 哈衡顿量等效为 。 h z 芸露 ( 2 1 5 ) 出上面的讨论，我们可以着戮，翅入适当鲍光场，就爵以近钕鲍褥戮蹬密顿萤 e q ( 2 2 ) ，从而制备纠缠态在没有加入光场的时候，离子阱中的内部黼态不会 发生跃迁，因此，在得到最大纠缠态之后，只要把光场撒去，就可以让系统保 姆在最大纲缠态上，透过对巍糖酶控裁，我粥可鞋有效蟪控期纲缝态黥裁备 第二章在离子阱中制备最大纠缠态 图2 l ：一对离子吸收光子后跃迁的能级图左边：加入光场，频率为 。士6 ，其中6 比振荡频率v 要一1 些，可以看到在i g g n ) 和i e e n ) 之间有四 个互相干涉的跃迁的路径右边：在i g e n ) 和旧n ) 之间相似的四个跃迁 路径，对应同样的等效耦合作用 第兰章程b e c s 豹m o r t 态中铡备最大纲缠态 在文献【9 l 中涟出了种柱处于m o r t 憨的b e c s 中翩备簸大纲缠态的方 案，这一章整我懿裁采讨论一下这一方案鞠上一章所讨论熬在离子爨孛裁罄 最大绸缝态豹方案一弹，在这爨拼簧裁爸酶 毽楚l n g h z e q ( 2 1 ) ，登然穗是 要戳誊税态 1 ) 嵇或lt ) 。“涛初态，冀是嚣俸鹩物理背袋宙诲予辩转移蓟了 b e c s 黪m o r t 态中寒了黎瑟辑讨论鹃在毒予戳孛熟釜最大纠缠态，可以鞠缝 为凌蹬密鼷蟹e 镰2 。2 ) 耩撵述懿嚣系秘爨力学演偬进程秘戮究，在这里，谯m o r t 态申蠲餐簸大籍缝裂楚与下爱懿噙密骥量赣荧； h * 珏霹+ 建舀，3 1 ) 其中。，怒s c h w i n g e r 袭象下鹣角淤爨t 五一； 踺6 t + 醚6 。) ，占一一；醚6 1 - - 6 ；6 。) ， 五一妻( 醚。罐6 1 ) ，( 3 2 ) 其中叱b l , 啦，b 2 分别为粒子的两个状态的产嫩湮灭算符：j 藏个哈密顿量描述的是 二分爨b e c s 在m o r t 态中，扁域程某个格子内部的粒子浆集合在绪论孛筏稻 已经筒单的介绍了，在m o t t 悉中，粒乎都被局域在格子照，糕何两个稽子之澜 都没有跃迸，而且备个格子虽的粒子效是相同的，所以贰需要研究其中的一个 格子。在讨论纠缝态的制各之前，凌销先采讨论一下这个啥密顿璧是魏薅襻戮 的农二模近俄下，在一个捺予嚣匿的b e c s 的嗡密顿爨酶= 次萤子讫形式可 写为： 2 3 1 h = e ：b l b ；十局鹂6 2 十警6 ，6 1 ) + 警6 。如) 柏2 ( 6 6 2 ) + 妻( q 旌如十q 莲6 t ) ，( 3 3 ) 葵串， 最= 巍餐( 囝 磊十( 囝l 套( 囝， 警4 ) 十口z 堕三塞壅望楚垒蝗坚塑照查空趔鱼墨盔麴熊查望 是第i 分量的单粒予静麓量，埙是国光场严生的势能，逐霄 “ = 4 x h 。2 a j 。 d 3 r t 毋t ( r o l 2 协( r o l 2 ， ( 3 5 ) 代表农渡散射透像下麓粒子魏= 髂磁擅，葵孛8 话楚分爨始专：第i 积辫，分 量静簇予之阗匏教射 毫震，也饯表第i 分爨戆渡滋数。最藤， n = n o d a r e ( 叼供( 而，( 3 6 ) 描写两个分量的原予之阍的线往耩含的强度，一般可以由外粕一个光场秘粒子 裙互律熙攘供美予如何出二穰遥髓樽虱蹬寮顿誊e q ( 3 3 ) 蕊及二模近鬣鳇霄 效性的讨论可以由文献1 2 4 ，2 5 ，2 6 ，2 7 】中找到 我瓣可以用s c h w i n g e r 表象下的搀动量算符来改写e q ( 3 3 ) ，褥戮 科一；( 髓+ 舀t 一等笋) 渤+ + 2 1 、e 。一e i 一墼产) p ；酶 + ；【! ! ! 专塑+ “l t 鹂如+ 兢) 2 + 1 4 。u 2 2 + 2u i i 一“1 2 】( 鹂如一6 6 ，) 2 牛( 珏2 2 一u ，) ( 遽6 2 + 6 i 垃) ( 鹂如一鹂6 1 ) ( 3 7 ) + ；r e ( n ) ( b i b 2 十6 1 6 1 ) + ；，m ( n ) ( 6 t b 2 一b h ) 一；嗡强一字) 矗+ 趸1 字讯。l 帮 十乎毕一珏1 2 l 霹+ r e ( q ) 五+ f m ( q ) 南+ ( 琶e i + 冀建亏l 坐( 磊一1 ) ) 五， 其中挠= b 如+ 域b l 是粒子数算符，在这里愚守恒激，因此可以当作为常数忽 略，我们逐可以通过控制e 1 和岛之间的差，健得岛一墨+ 蛐严( 一1 ) = 0 ， 这铎裁可以去掉五壤定义 u 。翌毕一“1 2 ，q ；= 凰( n ) ，q ，= i r a ( f ) ， ( 38 ) 则商 日一u 七十吼五十南 ( 3 9 ) 令r e ( f ? ：0 ，予燕裁露蹬塞顿爨e q ，( 3 ，2 ) ，其申皱嚣线蛙顼来源予粒子的薄棼磁 撞，线性项卿是寒漂予光场和粒子的耦合 竺竺兰翌兰三! 墨! 竺苎苎篓竺竺 1 3 在自旋压缩恣的研究中，这种含有非线能项的哈密顿最是很常见的，哈密 顿擞e q ( 3 2 ) 可以用来在b e c s 中制备自旋服缩态【2 8 】在文献 9 】中，这个哈密 镊鬃羲露来髑备缀大纲缝态，离子戮中趣哈蜜顿量e e l ，泣2 ) 中懿蘸线橡壤帮线 性礤是对易的。因此可以很容耪地对角化，但是哈密顿量e q ( 3 2 ) 就不太一样， 因为它的非线性顼和线性项是不对易的，要严格地对角化就不那么容易了因 我，在文麸 9 1 孛，宠讨论了敷筵莘鳃n = 2 麓馕提，在这：黪壤嚣下，是冒黻搴蠢凌 的解出态的时间演化的过程的， 当n = 2 时。给定初态6 l o ，0 ) = lt t ) ，其中1 0 ，0 ) 足两个分量中都没有粒子 懿囊空态。我耱撼系统随时瓣浚纯致态定义舞 m 啪= q 。( t 诱16 1 2 1 0 ，o ) 十e - m ) 击b 鹂i 叩) + 魄( ) 击6 2 i o 渤， ( 3 1 。) 则根据薛定谔方程，可以得到 = ；一i 鑫剁吒渤+ l e i ( “2 ) t c 0 8 哦， g 1 ( t ) = 靠8 心胆”s i n 渤， ( 31 1 ) 岛= ；十i e i ( u t 2 ) ts i n 蠹 卜彬蛰蕊， 箕中n = , v + 4 q 2 2 在上式中，我们省略了一个整体的时麟淡他租位隧子+ 如果系统糍时瓤r 时熊演化戮最大纠缠态，郊么应该有q 1 ( r ) 一o ，i c ：o ( r ) | 一| q 2 ( r ) | ，壶戴就要有 壳t = ；、l + 4 q 2 u 2 l 训r = ( 2 k l + 1 ) ”， l u l r = ( 2 k 24 - 1 ) ， ( 3 1 2 ) 其中k l , k 。是整数要令这个式子成立，需攥选择适当的时间r 在最简单的情 况下，我们令l q u l 1 ，这时候解的r 值和q 的关系，如图3 1 所示在具体 的涮备中，时阉是越短蘧好豹。由上式我们露溢着囊，辩予确定静l # l 要虱最 大纠缠态的最燧的时间为r * 罱但是在邋个时刻能否制成最大纠缠，还需要 整戛堡垄旦望望! 媳她堕! 查主型鱼照盔塑堡查 ! ! 研l t 。i r = ( 2 七- + 1 ) 丌，也就是 研= ( 2 知z + 1 ) ，因此l q 札l 的 值要是分立的 鑫于在n = 2 游鑫跨密骥爨鬯q 涵1 ) 黻铡各最大纲缝态，禳耋然酌麓要把 它向更大的n 撒广文献 9 】指出在n = 3 ，4 时也可以出现最大纠缠不过这时 必须要有i w n u i 1 成立，才能够保证纠缠的纯度 ： o ! c 3 c o c l t f l nu n i t o f 蠢u 圈3 i ：，和n 的解，就遗两类曲线h 再耳河孕川r 一( 2 - + 1 扣( 其中- = 1 , 1 0 ，3 0 ，5 0 ，l o o ) 和l u i r = ( 2 k 2 + 1 ) ”( 其中2 = 0 ，l ，2 ，3 4 ) 的交点 篓婴里壁星三! 篓竺矗竺丝些鎏墼堡 第四章对h = “露+ q 山的微扰论处理 在这一章中，我们对哈密顿量e q ( 3 1 ) 进行微扰论的处理，由此来阐明用这 个哈密顿量制备纠缠态的本质 在第二章中，我们定义了一个最大纠缠态与直积态之间的变换算符r ： l n g h z ) = r i1 ) ， 1 r 2 南 1 + 8 印( i ( 7 r 2 十。) ) 唧( 嘞蜥 ( 4 1 ) 这个算符其实是一个常数1 和一个绕x 轴的”角转动之和，后者将l1 ) 。“转动 到it ) 。“上由于将i1 ) 。“转动到it ) 。“的转动可以是以x y 平面上的任一矢 量何= c o s 曲一s i n 咖) 为轴的7 r 角转动，这个转动我们记为 d 。( ) = e z p 一，r ( c o s 西厶一s i n 咖山) 】= e z p 一i t r g 司，( 4 2 ) 并有 d 。( 妒) fj ) 。= e q 。v 曲一”2 ft ) 。， 因而一个更加全面的变换算符r 的定义应当是 r ( 咖) = 1 + e 4 ( 一+ 。2 + e d 。( ) ，( 4 3 ) 由不同的上式构成了一个算符的序列，本质上是所有能够将i1 ) 。转换为 l n g h z ) 的算符的集合这样的变换算符_ r ( ) 应当可以在元，的本征基组 下对角化而制备最大纠缠态就是寻找适当的时间演化算符u ( r ) 来实现这一操 作因而，u ( r ) 也应该为元j 。的本征基组对角化例如，【，( r ) e q ( 29 ) 便可以 在元= 时l 的本征基组下对角化从这个角度来看哈密顿量h = n 以+ q 山 制备最大纠缠态是令人费解的，因为这时候的时间演化算符为； u ( r ) = e x p 一i h t = e x p 一i ( u z + n 也) f 】， ( 4 4 ) 无论r 在何时，u ( r ) 都不可能在元，的本征基组下对角化那么为什么能够 用这个哈密顿量来制备最大纠缠态呢? 进一步的研究之后，我们发现，这个问 15 篓婴墨壁曼三! 篓竺矗竺丝些煎熬堡! ! 鞭可以通过对u ( r ) 进行微拽处理得虱西答这里面的核心是，对予以蹬密顿量 e q ( 31 ) 描述的系统，在一般的情况下，只有l q n i l 时才能保证米怒处于最 大纠缠态上 我们壶时颡演诧算符e q ( 4 4 ) 出发，糟r 伐替f 搀，箨取土= 珏q ，缎定 1 ，也就是l n i i u 1 ，那么e q ( 44 ) 就可以改写为 矽( r ) = e x p 一( a 嚣v + 五) ，! 一e x p - i h r 7 】一p 7 ) ( 4 5 ) 这样我们可以把c ，( r ) 看作是由风生成的时间演化算予以( r ，) l 其中 硅x = n o 粤x h l ； 甄= 占，h 一z ， ( 4 6 ) 是一个微扰 蕊秘本殛淼，逛蓑是占静本经态，我镌楚义鸯瓯虢，蠢予耪态基| j ，一j ，j g 2 ，因此我们强需要考虑执的本征态i j g 2 ，m ，) ，并简记为1 五掣) 一 m 。) i j = n 2 ，) ，磁= m 考虑到辙撬惹，毒蔻量夯往态及零缝壤秀 冀孛 风i e m ) = e m ) l ) = 1 碟) + l 碳) + o ( 吼 = 砩+ 旭璧+ o 根据非简并激揽论i 2 2 】，我们有 蜊) - 一e 器警唧) = 斋三您) 磁j _ ( 碟1 h 7 l 磷= 斋( 霹) m m ( 4 7 ) ( 48 ) ( 4 _ 9 ) 第嘲章对h = “一十n 矗的徽扰论处理 1 7 其中( 以) 。= ( 魂 以1 m ，) 为了便于缮翻潜阉演馋箕予戆近毯形式，我髓定义一缀最本程壁耀的投 影算符o 。= l 露( e 名1 那么内| 晶；) 酌徽撬胰开形式，我们可以得翻只；的微 扰展开式： 黑= 璎+ 磺 + 。( 魂 嬲) = e 。( 0 1 ) ( 碟) = i m ”) ( m v l ，( 41 0 ) 磺) = l 碟) ( 砩l + 【磁) 磁l = 斋三( 等鎏) + 等鎏) ) ， 箕中尹零为玩豹本征空闻的投影算符，掰r 。= 1 9 y ) ( m 口| 为 m 0 劐 ) 的跃 进葬符由投影箨符b 。，我们将地记为 甄= 焉， ( 4 i i ) 叉f i m r = 竹蹋，我们有时问演化算符为 以( f ) = e 印一 h a f 譬( 4 1 2 ) 那么，玩) 魄可以微抗袋弹为； 以( r 7 ) = 矗( r ，) ( 嬲十 磁+ 。( 枷 ( 4 1 3 ) 冀串罐) = e x p ( 一l 墨。f ，) 由上式，可以看到以( r 7 ) 由丽部分组成，其中户磐) 项是对角化的，保持初 怒处于l m 。) 的几率不变，而础) 项则是非对角化的，令初态中i m 。) 与别的态 # ，之趣产生跃廷。毽菲辩建豫矮磺对歉a ，稳对于p 2 璞为一兮餐小戆饔， 我们可以忽略遗一项，也就怒取巩( r ) 的零级近似前面已经强调过，无论在 何时，对于矗，的本征基缎何= c o s o e ；十s i n 8 毛) ，【，( r ) 都是非对角的，在这 纛，我韬可毅誊翔，黠手l m 。寒谎，菲霹建凌就是缀小浆磺 ，它楚矽( f ) 之翳 以非对角的原因因而，f 掣项会引导初态演化到j 一g h z ) 态以外的态上， 篓婴堂堕型三! 筮璺当塑丝垫亟些望。! ! 减小纠缠度所以，由哈密顿襞e q ( 31 ) 制备最大纠缠惑融能够是i a l 1 时的 一个近似 巩( r 7 ) 的相位部分c 窑“，要将r 7 n 换回r 米分析，则有 g 器= e x p 一i ( q 磐紫n u e 。( t ) + 。( a ) ) r 】一( x r ) ，( 4 1 4 j 由于相位的周期性，尽管l n i l “j ，但是我们取足够大的r ，使n u 的项也可 以达到”的量级，而此时含n 项的贡献必须除去周期，因此两项对相能的贡献 秘灞一个萋缀 由此则有 皈( r + ) 2 e z p 一i ( q e g 十n u e 塞) r 】只。( o ) = 8 塞【一砭f b n + “( 霹) 。；) r j | m ，m f | ，( 4 1 5 ) ：；挠一步的简写为 ( f ) ! e 。薅一i 孬f l ， 可= n ( 七) 洲。口+ n 山 ( 4 1 6 ) 其中，( 鬈) 出。= 。( 霹) 。f m 。) ( m 以为鬈在f ”基数下鲍对角项。这星我们 哥辍着囊，尽簿在一羧孛耄凝下晗密顿量e q ( 3 + 1 ) 在| 飓，蒸维下不是对建诧懿， 但是由子m i f n u l ，其时间演化算子中盼非对角化部分相对于对角化部分很 小，也就是说不同的i 弧，) 态之间的跃迁作用不明显，因而在零阶微扰：i 胫似下我 秘哥浚将其忽黪，于是薅阅演髭算子透毅建黠露往， 为了进一步地看清经过零阶近似后的时间演化算子的本质，我们米考虑到 底( 以2 ) m 。是个什么样的箅镣，为了便于讨论，我们定义算符q ： i 五，国t j = 士国， q = 以千i j ， 这两个算符帮照l m ，的舞辫雾镣，甩舞符q t 来将霹改写，贝4 有 z = ；( q + q 一+ q q + 一q 2 + q 2 _ ) f 重1 7 ) f 4 1 8 1 ( 4 1 9 1 由i m ，l q i l m 。) = l m ”l ( ? ：i m ，) = 0 ， ( 以) m ”2i ( q + q 一+ q q + ) ( 4 2 0 ) 再由j 2 在q + ，q 一形式下为j 2 = ( 露) + ；( q + q 一+ q q + ) ，于是有 ( 以) 咖= ；( j 。一露) ( 4 2 1 ) 由之前我们已经指出的，只需考虑j = n 2 的情况，因而j 2 是一个常数项，我 们可以将它省去，于是就有 ( 正) 出：一i 1 。v 2 ， ( 42 2 ) 这就是( 以) 如。的本质，那么接下来有 霄：一i 1j 9 2 + q 以 ( 4 2 3 ) 百与哈密顿量e q ( 2 2 ) 的差别仅仅在于用一；换u 及用山换厶， 由第二章的计算，我们可以知道，由哈密顿量e q ( 2 2 ) 生成的时间演化算 符可以实现变换算符e q ( 4 1 ) ，那么要实现变换算符r ( 曲) ，我们只要有找到一个 n 艽户+ 掘，形式的哈密顿量就可以了，而对于咖= a ：2 ，e q ( 4 2 3 ) 正好是这 样的一个哈密顿量因此，除了一；与t t 的差别会影响得到最大纠缠态的时间 外，耳与哈密顿量e q ( 22 ) 制备最大纠缠态的机理是完全一样的因此，对于 任意用哈密顿量e q ( 31 ) 描写的n 粒子体系，只要n n l u l ，我们都可以制备 相应的最大纠缠态 在未制备前及制备最大纠缠态完成之后，两个模之间的拉曼跃迁都被撤 销，此时系统的态是h = u 七的本征态，因此最大纠缠态将会稳定地保持下 去 利用这个方案来制备最大纠缠态还有一个优点是体系中即使存在含以或 止的线性项的微扰也不会影响制备，因为根据上面微扰论的讨论，山项2 1 7 1 的其余项，都只有它们在l m 。) 基组下的对角项才能够在演化中起到作用，但是 篓照塞塑丝三! 篓土! ! 矗竺塑堡堡熬望塑 对于线性的以，五项来说它们在1 m ，) 基组下都不会有对角元，因此程演化过 程中不会发生作用 第五章总绻和讨论 我们讨论了利用b e c s 中的m o t t 态的= 模近似下的嗡密顿量来制餐最大 弱缝态静毽论，我们发瑗，叁文献两孛攘瓣数篷诗算来撂蠢斡这一方法，莰赣 扰近似的角度进行分析后，得到的演化机制与由文献( 2 0 】中的机制是相同的 逮两种机制的核心都是控制两种模间非线性的相互作用及微扰的耦合在文献 2 貘孛对菲线毪麓互 搴曩懿控裁是蹇接懿热入毙场楚嚣摸之麓囊台，蠢在文蕺 9 1 中，则是通过控制线性耦合的强度来改变原有非线性楣蕊作用在演化中的作 用根据分析，烈要是有e q 。( 3 ，1 ) 这种类型的相互作用的两分量n 粒子体系， 郝霹班逶遘控秘壤之阕戆线毯辍台戆强壅寒裁餐最大纠缝态，瑟量最大绸缝态 畿撤销线性耦合之后是稳定的由这种方法，我们可以将b e c s 中的m o t t 态转 化为一个最大纠缄态的源 参考文献 ：1 a e i n s t e i n ，b p o d o l s k y ，a n dn r o s e n ，p h y s r e v4 7 ，7 7 7 ( 1 9 3 5 ) f 2 j sb e l l ，p h y s i c s ( l o n gi s l a n dc i t y , n y ) l ，1 9 5 ( 1 9 6 , 5 ) ；j s b e l l ，r a ym o d p h y s 。3 8 ，4 4 7 ( 1 9 6 6 ) ， 【3 】n i c o l a sg i s i n ，g r c g o i r er i b o r d y ，w o l f g a n gt i t t e l ，a n dh u g oz b i n