（应用数学专业论文）累积法gm模型及其病态性研究.pdf

摘要 灰色系统理论自2 0 世纪8 0 年代初诞生以来，就一直受到广泛的关注。它具 有所需样本数据少、运算方便、短期预测精度高等优点。但是在以后的陆续研 究中我们发现采用累加法、最小二乘法对模型进行参数估计时，有时g m 模型存 在不同程度的病态性，数据的微小变动或计算中的舍入误差就常常造成预测值 的巨大误差。因此如何克服模型中的病态性，保证灰预测效果的可靠性和稳定 性，就成为改进模型的一个重要方面。累积法原是由意大利数学家p e m a r c h e s i 创造的一种曲线拟合技术，可以用于g m 模型的参数估计中。本文主要研究了累 积法g m ( 1 ，1 ) 、g m ( 2 ，1 ) 、g m ( 0 ，2 ) 、g m ( 0 ，3 ) 模型的病态性问题并就数乘变换对 累积法g m ( n ，h ) 模型病态性的影响进行了一定的探讨。发现将累积法引入g m 模 型的参数估计以后，运算的复杂性和病态性都明显降低，并且数乘变换还能进 一步地降低病态性。 本文首先介绍了累积法的基本原理及已有的累积法g m 模型，然后介绍了 灰色模型病态性问题的研究进展。 g m ( 1 ，1 1 模型是灰色模型理论的核心内容，是灰预测和灰控制方面应用最j “ 泛的灰色模型。本文基于条件数理论，对累积法g m ( 1 ，1 ) 模型的病态性进行了分 析，发现用累积法来建立该模型能够处理病态性问题，只须对原始数据进行 个简单的数乘变换，此变换不影响模型的高精度性质。 g m ( 2 ，1 1 模型因有两个特征根，所以在动态特征上可以反映出单调、非单调 ( 即摆动) 的情况。本文将累积法引入到g m ( 2 ，1 ) 模型的参数估计中，给出了新 的参数估计公式，发现其计算量与条件数比采用累加法时大大降低了。但是也 有个别的条件数较大，所以我们对累积法g m ( 2 ，1 1 模型的病态性进行了一定的分 析，证明了利用数乘变换可以明显降低其病态性。 本文在灰色系统模型病态性的理论研究方面做了一些初步探讨，在理论和 方法上有一些创新结果，但也存在许多问题，g m ( 2 ，1 1 模型的病态性还没有得到 彻底解决，累积法g m 模型条件数一般都较小的理论依据还有待进一步探讨， 今后我们将在这些方面作迸一步研究。 关键词：灰色模型；预测；病态性；累积法；数乘变换 a b s t r a c t t h eg r a ys y s t e mh a db e e ns u f f e r i n ga ne x t e n s i v ec o n c e r ns i n c et h eb e g i n n i n go f 8 0 si nt h e2 0c e n t u r i e s i th a ss om a n ya d v a n t a g e st h a ti tn e e d sl e s ss a m p l ed a t aa n d i tc a r r i e st oc a l c u l a t ew i t hc o n v e n i e n c e m o r e o v e r i th a sa h i g ha c c u r a c y i n s h o r t t e r me s t i m a t e c o n s e q u e n t l y ，t h eg r e ys y s t e mh a sb e e na p p l i e de x t e n s i v e l y b u t ， i nh e r e a f t e ro fc o n t i n u o u ss t u d y , w ed i s c o v e rt h a tt h em o r b i d i t yh a sb e e ne x i s t e di n g r a ye x p e c t a t i o ni nd i f f e r e n ts c a l e t h et r i v i a lc h a n g e so ft h ed a t aa n dn u m e r i c a l r o u n d o f fc a nr e s u l ti nt h ee s t i m a t i o na n dp a r a m e t e re r r o r s i nt h ed o c u m e n t 【1 】w e c a nn o t i c et h ep r o b l e mf i r s t h o wt oo v e r c o m et h em o r b i d i t ya n dg u a r a n t e et h e r e l i a b i l i t y a n ds t a b i l i t yo ft h em o d e lh a sb e c o m ea ni m p o r t a n ta s p e c ti nt h e r e c o n s t r u c t i o na n di m p r o v e m e n to ft h eg r a ym o d e l a c c u m u l a t i n gm e t h o di san e w k i n do fc u r v ef i t t i n gt e c h n i c a le s t a b l i s h e db yi t a l ym a t h e m a t i c i a np e m a r c h e s iw i t h w h i c hw em a k eu s eo fi ti nt h ep a r a m e t e re s t i m a t i o no ft h eg r a ym o d e l t h i sp a p e r h a s a n a l y z e d t h e m o r b i d i t yp r o b l e m i n a c c u m u l a t i n g m e t h o d g m ( 1 ，1 ) ，g m ( 2 ，1 ) ，g m ( 0 ，2 ) ，a n dg m ( 0 ，3 ) m o d e la n dt h ei n f l u e n c eo ft h em u l t i p l e t r a n s f o r m a t i o no nt h em o r b i d i t ye x i s t e di nt h ea c c u m u l a t i n gm e t h o dg m ( n h 1m o d e l i tf o u n dt h a tt h ec a l c u l a t i o np e r p l e x i t ya n dm o r b i d i t yo ft h em o d e lh a v e b e e ng r e a t l y d e s c e n d e da f t e ri n t r o d u c i n gt h ea c c u m u l a t i n gm e t h o dt ot h eg mm o d e l m o r e o v e r , t h em u l t i p l et r a n s f o r m a t i o nc a nr e l i e v et h em o r b i d i t yf u r t h e r f i r s t l y , t h i sp a p e rp r e s e n t st h er a c i a lt h e o r i e so ft h ea c c u m u l a t i n gm e t h o da n d t h e a c c u m u l a t i n gm e t h o dg mm o d e l sw h i c hh a v ee x i s t e d s e c o n d l y , i ti n t r o d u c e st h e i m p r o v e m e n t o ft h er e s e a r c ho nt h em o r b i d i t yp r o b l e m g m ( 1 ，1 ) m o d e l i s t h ec o l eo f t h e 酎a ym o d e la n da p p l i e dm o s le x t e n s i v e l yi n t h e f i e l do fg r a yp r e d i c t i o na n dg r a yc o n t r 0 1 t h i sp a p e rh a sa n a l y z e dt h em o r b i d i t y p r o b l e mi na c c u m u l a t i n gm e t h o dg m ( 1 ，1 ) m o d e lb a s i n go nt h ec o n d i t i o nn u m b e r t h e o r e m ，i tp r o v e st h a tw ec a ne a s i l yr e s o l v et h em o r b i d i t yp r o b l e m so n l yi fw em a k e am u l t i p l et r a n s f o r m a t i o n0 1 1t h ep r i m i t i v ed a t aa n da sar e s u l tt h i sk i n do ft h ed a t a c h a n g e sw o u l dn o ta f f e c to nt h ea c c u r a c yo ft h em o d e l a saw h o l e ，t h ec a l c u l a t i o n q u a n t i t i e so fm a t r i xa r er e d u c e da n di t i sm o r ec o n v e n i e n tc o m p a r i n gt ot h eo t h e r m e t h o d t h e r e f o r e ，t h en e w l ya c c u m u l a t i n gm e t h o dg m ( 1 ，1 ) m o d e lw i t hm u l t i p l e t r a n s f o r m a t i o nh a sm o r ea d v a n t a g e st h a nt h et r a d i t i o n a lo n ea n di ti sd e s e r v e dt ob e i n t r o d u c e d g m ( 2 ，1 ) m o d e lh a sa ne x t e n s i v ea p p l i c a t i o nd u et oi th a st w oe i g e n v a l u e sa n dc a n r e f l e c tt h et r a i to fm o n o t o n ya n dn o n - m o n o t o n y ( s w a y ) t h i sp a p e ri n t r o d u c e st h e a c c u m u l a t i n gm e t h o di n t ot h ep a r a m e t e re s t i m a t i o no fg m ( 2 ，1 ) m o d e la n dg e t st h e n e wp a r a m e t e re s t i m a t i o nf o r m u l aw h o s ec a l c u l a t i o ni sm o r es i m p l et h a nb e f o r e m e a n w h i l e ，t h ec o n d i t i o nn u m b e ro ft h en e wf o r m u l ai sm o s t l yw e l l - c o n d i t i o n e d b u t ， s o m ee x a m p l e sa r es t i l l i l l c o n d i t i o n e d s o ，i ta n a l y s e st h em o r b i d i t yo ft h e a c c u m u l a t i n gm e t h o dg m ( 2 ，1 ) m o d e la n dp r o v e st h a tt h em o r b i d i t yc a nb ed e s c e n d e d w i t ham u l t i p l et r a n s f o r m a t i o no nt h ei n i t i a ld a t aa n dt h et r a n s f o r m a t i o nd o e s n ta f f e c t t h ed e v e l o p m e n tp a r a m e t e ro ft h em o d e la n dt h ep r e c i s i o no ft h es y s t e m t h i sp a p e rh a ss o m ep r e l i m i n a r yr e s e a r c ho nt h em o r b i d i t yp r o b l e mo ft h eg r a y m o d e la n dg e t ss o m ei n n o v a t i v er e s u l t s b u t ，i ts t i l lh a sm a n yp r o b l e m sa n dd o e s n t r e s o l v et h em o r b i d i t yp r o b l e mu t t e r l y a n di tn e e df u r t h e rp r o b et h ed e m o n s t r a t i o n a b o u tt h er e a s o nw h yt h ec o n d i t i o nn u m b e ro fa c c u m u l a t i n gm e t h o dg mm o d e li s r e l a t i v e l ys m a l l w es h a l lc o n t i n u er e s e a r c h i n go nt h e s ea s p e c t s k e y w o r d s ：g r a ym o d e l ；p r e d i c t i o n ；m o r b i d i t y ；a c c u m u l a t i n gm e t h o d ；m u l t i p l e t r a n s f o r m a t i o n ； 1 1 1 武汉理“f ：大学硕士学付论文 第一章文献综述 灰色系统理论的研究对象是“部分信息已知，部分信息未知”的“贫信息” 不确定系统，它通过对“部分”己知信息的生成、开发实现对现实世界的确切 描述和认识。这一新理论刚一诞生，就受到国内外学术界和广大实际工作者的 极大关注，不少著名学者和专家给予充分肯定和支持，许多中青年学者纷纷加 入灰色系统理论研究行列，以极大的热情开展理论探索，经过1 0 多年的发展， 基本建立起一门新兴学科的结构体系。其主要内容包括以灰色朦胧集为基础的 理论体系，以灰色关联空间为依托的分析体系，以灰色序列生成为基础的方法 体系，以灰色模型( g r e ym o d e l ) 为核心的模型体系，以系统分析、评估、建模、 预测、决策、控制、优化为主体的技术体系。灰色系统模型对实验观测数据及 其分布没有什么特殊的要求和限制，作为一种简便、易学好用的新理论，灰色 系统理论具有十分宽广的应用领域。因此，在灰色系统理论取得重大理论进展 的同时，许多学者开展了灰色系统理论的应用研究工作，在工业、农业、社会、 经济、气象、水利、环境、生态等众多科学领域，成功地解决了生产生活和科 学研究中的大量实际问题。 g m 模型是灰色系统理论的核心。但是在以后的陆续研究中我们发现一些灰 色预测模型存在不同程度的病态性，数据的微小变动或计算中的舍入误差就常 常造成预测值的巨大误差。这对控制系统的稳定性影响很大，其预测、控制结果 的可靠性也受到人们的怀疑。文献【1 】首先注意到了灰色模型的病态性问题( 或解 的漂移问题) ，文献【2 】分析了三种g m 模型病态性的原因，但是如何克服模型中 的病念性，保证灰预测效果的可靠性和稳定性仍需进一步的研究，目前在这方 面的文献还很少。 累积法是近几年出现的一种新的曲线拟合技术，文献 3 作者将它推广用于 经济计量模型的结构参数的估算中，使其成为一套完整的估算方法体系，以补 最小二乘法之不足。文献 4 、 5 将其运用到g m ( 1 ，1 ) 、g m ( 1 ，n ) 、g m ( 0 ，n ) 模 型中，但是对这种新的建模方法的病态性、精度等性质没有做进一步的研究。 本章将对累积法的基本理论、已有的累积法g m 模型及关于病态性的一些理论 作一个综述。 武汉理r 大学硕十学位论文 1 1 累积法理论 1 1 1 累积和的概念 假设给定一组( 有限别) 数据“：t = 1 2 ，n ) ，定义共各阶累积和 o k ，2 ；n t ： f - 1f 1 1 p 。x z + + 吒2 荟 荟啦k 2 五+ + 石：) + ( x l + x 24 - 毛) + + “+ 屯+ + ) 5 善荟。t x t 一+ i x l + 心+ x j l + i x l + “+ 工：) + “+ 屯+ ) 】+ + 【上- + o + 屯) + ( _ + 屯+ 屯) + + “+ 工：+ + ) 】。善善2 鼍 依此类推，对于任意自然数，定义 善耻k4 善善件。k 此式即为求取各阶累积和的计算通式，其中善”一叫做一阶累积算子， 了2 ) x t 叫做一i 阶累积算予，y 葺也就叫做k 阶累积算子。当k 2 ，称 _- ) x t 为高阶累积算予。特别的，y ) ；1 叫做k 阶基本累积和。 _q_ 1 1 2 累积和的计算通项式 设有原始数列x o 一0 ( 1 ) ，z o ( 2 ) ，z o 0 ) ) ，由曹定爱、张顺明所著累 积法引论可得： 定理1 1 ( 1 ) f x 似( 女) = z ( n ) ； 箱 ( 2 ) 荟。k 0 ( 2 ) 。善础一川2 ) ； ( 3 ) 艺。c l 一 证明：( 1 ) 对r 用数学归纳法当r = l 时，由于 煎堡堡叁竺堕主堂垡丝壅 _ 一一一 轳”。荟一“j ( 坤 结论成立。假设结论对r 一1 成立，又由累积法的定义有 塞。) z t 。( t ) 2 砉塞 r - l x t o ) ( f ) 5 毫。”1 ( k ) 2 x 。h 结论对r 也成立。 ( 2 ) 对，用数学归纳法，当r 一1 显然是成立的，1 玉1 3 # ， c ：一t 2 1 且主“z 0 ( 女) 一荟x ” ) 怠 f = l 假设结论对，一1 成立，即有 荟”1 z 扣( ) 。荟c r - 2 一z x i r a ) ( ) 根据毫”一钟 ) 的定义和归纳假设得到 妒) - 毫扩0 j ( 炉砉妻c ：扣”。塞味。) ( ” ( 3 ) 可由( 1 ) 式和组合恒等式推出。 1 1 3 普通累积法的基本原理 设有一组( n 期) 数据( 观察值) ( # ，x t ；y ，) ：f = 1 ，2 ，h ) ，估计下列模 型的参数风，崩，成： y t 0 。+ 戈”+ p + g t 首先计算两累积和算子，假设累积和算子的最高阶数是。注意模型中参数 个数是1 + m ，为了求出这些参数，k 一定不小于1 + m 即女1 + 卅。这样 耋只；风砉m + 岛羹f + + 成羹m r + 砉m t ：| ；b k - 岛墓+ a 砉怛# + + 戌薹2 r + 砉。k 塞件k 一岛塞耻) + 鼠羹”w + + 以耋耻+ 砉。k 此方程组称为累积法方程组。方程组可以写成矩阵形式，即 k = x i 卢+ 以 其中：x 。是已知的( 1 + m ) 阶常数矩阵、卢是未知的参数向量且是均值 武汉理工人学硕士学位论文 为零的随机变量( 干扰项，表示误差) 。 对未知参数卢进行估计。分两种情况进行讨论： ( 1 ) 存在k 1 + m 使得工。是非奇异矩阵，即r a n k x , = 1 + m 。 如果k ：1 + 小，那么x + 是非奇异( 1 + m ) x ( 1 + m ) 矩阵，卢的普通累积法估计 是岔= z 如果k ，1 + m ，那么x 。是奇异k x ( 1 + m ) 矩阵，卢的普通累积法估计足 卢- ( x ：j 。) 。1 x ：k ( 2 ) 对于任意k 1 + ，x 。总是奇异k ( 1 + 埘) 矩阵“即r a n k x 。c 1 + ，那么 1 + m 个参数成，, a x ，成不可能确定。注意 ( 霉，x 7 ；y 。) ：f = 1 ，2 ，n 是一组观 察数据，可能不准确，因此可以对这组数据稍作扰动，使盖。扰动成x 。，并且 r a n k x ：= 1 + 川，那么就可以按照情况( 1 ) 来解决。 普通累积法估计具有如下基本性质： 性质1 声是】，的线性函数，即声是一线性估计。 性质2 声是卢的无偏估计。 性质3 芦的协方差矩阵是盯2 ( 石；盖。) 一。 性质4 声是卢的最小方差线性无偏估计。 从普通累积法的基本原理可以知道普通累积法在计量经济学中具有广泛的 应用。至少可以应用于以下几个方面： ( a ) 拟合各类模型；( b ) 平滑资料，拟合平滑曲线方程；( c ) 应用拟合的平滑 曲线方程可求其长期趋势( 平滑值、外插值、长期趋势的预测值等) 。 1 2 累积法g m 模型概述 1 2 1 累积法g m ( 1 ，1 ) 模型 文献【4 】给出了g m ( 1 ，1 ) 模型中参数的累积法估计。首先对g m ( i ，1 ) 模型方程 施加累积算子，假设累积算子的最高阶数为r ，由于模型参数有2 个，因此r 一 定不小于2 。这样 荟1 k 徊诹) 枷荟”k 1 。肛r 乏1 4 夏z 。陆肛荟。 武汉理l ：人学硕士学位论文 如果记 x ，= 乏。x 柙( ) + 。荟”2 。( 七) 。p 乏。 1 ) 2 z 1 ( 七) y “z “( t ) 倒 一荟“ 一乏“ - h 一荟” r = 一p 一 ) 一y x 忡( t ) 倒 一荟( ) 五= ( 口，h ) 1 那么方程可以写成如下矩阵形式： x ，二= r 分两种情况对参数进行估计： ( 1 ) 存在最小的满足，2 ，r a n k x ，2 如果r = 2 ，那么j ，是非奇异2 x 2 矩阵，且x - 1 存在，则；的参数估计为 口= x f l r 如果r 2 ，那么x ，是奇异，2 矩阵，且x j x ，是非奇异2 x 2 矩阵，且何，t x ，) 。 存在，则；的参数估计为 ai ( j j x ，) 。1 z j r ( 2 ) 对于任意，z2 ，x ，总是奇异，2 矩阵，即r a n k x ，c2 ，则参数不能确定。 此时可以对原始数据稍作扰动( 因为原始观察数据不一定准确) ，使x 扰动成 x j ，并且r a n k x ：- 2 ，转化为情形( 1 ) 。 在实际应用过程中，一般署j 1 存在，即使不存在，也可以对原始数据稍作 扰动( 因为原始观察数据不一定准确) ，即可直接取r = 2 。 1 2 2 累积法g m ( 0 ，模型 文献【5 】给出了g m ( 0 ，n ) 模型中参数的累积法估计。首先对g m ( 0 ，n ) 模 型方程施加累积算子，假设累积法算子的最高阶数为r ，由于模型参数有n 个， 因此r 一定不小于n 。 荟。z t “( 。) _ 缸乏”z ( ) + 也乏“呓”( 2 ) + b u 一- 差“( 2 ) + 4 荟“ 。v岛。x龟 武汉理1 = 大学硕士学位论文 乏”( 2 ) 2 轨荟。”( 2 ) + 屯荟。掣( 咿+ b n 一- 三但拶阱4 荟2 篆。- “( ) = 魄篆。j i ”( 。) + 坟篆。k i ”( 。) 。+ ，篆”z ( ) + n 荟” 如果己 x ，= 荟“k 乏壮茗焖 荟。掣 ) 1 ( t ) 2 ( 七) 荟。1 拶( 七) 乏。1 h 。 夏2 - y r i 荟。批) 罗b t o ) 例 口一( b lb 2 一b 。一。口) 那么方程组可以写成矩阵如下形式： x ，a 一 在实际应用过程中，一般盖4 存在，此时就可直接取r = n 。 1 2 3 累积法g m ( 1 ，模型 文献【4 】将该方法引入到g m ( 1 ，n ) 模型的参数估计之中，给出了新的参数 估计公式。 首先对g m ( 1 ，n ) 模型方程施加累积算子，假设累积法算子的最高阶数为 r ，由于模型参数有n 个，因此r 一定不小于n 。这样 荟。x - ”( ) + 4 荟。z ? ( 。) = 6 z 荟o ) x ( ) + + 6 ”磊1 x ( t ) 荟2 k ”( m4 荟。k ! ”炉6 ：p z + ”m 一轳z 妒) 如果记 荟( rx i ( o ) ( 。) + 4 荟。z ! ”( 。) 4 6 z 差“z ：1 ) ( t ) + 。v岛。v臼 武汉理t 大学硕十学位论文 z 一= 乏”批t ) 一f 。 一荟2 k ! ”( 2 ) 一乏” ( 2 ) 一r z 妒) 一荟牡z 一罗”x 妒体) 馒 y - 一 一f 。f ” ) 一r z ：” a ；a ，b 2 ，b 3 ，k ) 7 那么方程组可以写成矩阵如下形式： x ，。t r 在实际应用过程中，一般一，。1 存在，此时就可直接取r = n 。 1 3 病态性理论 荟”z ) 条件数是衡量矩阵病态性的一个最常用的标准。 对方程组 a x = 6 进行摄动分析，首先令a 固定且a 为非奇异，b 摄动一个6 b ，x 解变为 x + 6 z ，即 a ( 并+ 5 x ) = b + 6 6 ， b 阴6 x d 6 得 6 x = 一一1 6 6 由范数的定义得： p z l 8 4 - 1 l 肛6 i ，| | b l j - 1 0 0 0 ，则a 为严重的病态。 1 4 展望 灰色模型的病态性问题已受到许多关注，将累积法引入模型的参数估计后， 不仅计算量大大降低，而且大量实例表明模型的病态性有了很大的降低，许多 原本病态的模型变成良态的了，但并没有完全解决灰色模型的病态性。累积法 g m 模型的病态性仍有待进一步研究 1 5 小结 本章主要内容如下： 1 系统综述了累积法理论； 2 系统综述了已有的几种累积法g m 模型； 3 系统综述了病态性理论。 武汉理i 大学硕士学位论文 第二章累积法g m ( 1 ，1 ) ，g m ( 0 ，2 ) 模型的病态性分析 本章基于条件数理论，对累积法g m ( 1 ，1 ) 、g m ( o ，2 ) 模型的病态性进行了分 析，发现用累积法来建立该模型能够处理病态性问题，只须对原始数据进行一 个简单的数乘变换并且此变换不影响模型的高精度性质，而且这种建模方法的 矩阵运算比采用累加法时更加简便，降低了计算量。因此，数乘变换后的累积 法g m ( i ，1 ) 、g m ( o ，2 ) 模型比传统的模型更具优越性，是一种值得广泛推广的建 模方法。 2 1 累积法g m ( 1 ，1 ) 模型的病态性分析和处理 首先给出累积法g m ( 1 ，1 ) 模型的参数估计公式。实践中一股司取r = 2 。 荟”z 佃( 七) + 4 乏1 z 。( 2 ) 。肛乏。 荟。1 x 徊( 2 ) + 4 荟。z 。( 2 ) 。p 乏。 x ，= 一荟 一荟忙 f ； 一y 1 工柙 ) 笪 一荟。嘣( 七) 那么方程可以写成如f 矩阵形式： x ，在；r 贝u 有 二= x 7 1 z 在判断矩阵病态性的方法中，条件数法是最为常用的，它运算方便，判断直 接明了，因此本文采用条件数法来分析累积法g m ( i ，1 ) 模型的病态性。 定义2 1 设a r ，是一种算子范数，c o h d ( 4 ) = t l a 4 4 称c o 列( 4 ) ( 或 记为t ( a ) ) 为矩阵a 求逆的关于算子范数| 1 i | 的条件数。在本文中，我们取 制i 。= 熘 忡 m 。v危。y岛 武汉理f ：大学硕士学位论文 引理2 1r 上所有矩阵范数彼此等价即在利用矩阵范数进行分析和估 计时，范数的不同选取一般不会使结论产生本质上的差别。 定理2 1 累积法g m ( 1 ，1 ) 模型参数估计的系数矩阵工，的条件数为 删c 吼= 等嚣杀警茅， 其中 a = 罗1 z 0 1 ) ， 例卢。乏忙锣( m 证明 由累积算子的相关公式得： 丕。k a 。一1 护= i - - i = 半小丝掣 则 求其逆矩阵得： 盯1 = x ，一 ( 1 ) z ( 1 ) ( 2 ) z ( 1 ) ) 一坐婺业 【虹掣m 咿1 ) 弘m 】 则得： c 。n d ( x ，xzk 。i i ，i i x ， 。【里：曼鱼垄( ! 二竺星】! 竺星! 1 0 - 1 ) f l - 0 5 ( n + 2 净】i 为了去绝对值，首先证明不等式 0 5 n a ，芦，即 。勘荟2 。 ) 荟巳- z f l ) ( 七) 当n = 4 时， 不等式走边= 2 z 1 ( 2 ) + 2 z 1 ( 3 ) + 2 z 1 ( 4 ) ，右边= 3 z 1 ( 2 ) + 2 z 1 ( 3 ) + z ( 1 ( 4 ) ，所以 。知f ( 2 ) 一荟z 。 ) 。删”一以2 ) o 。x急。y臼 武汉理二人学硕士学位论文 不等式左边3 主”( 2 ) + 主1 ( 3 ) + 主z ( ”( 4 ) + 主2 ”( 5 ) ； 右边= 4 z ( 1 ) ( 2 ) + 3 z 1 ( 3 ) + 2 z o ( 4 ) + z 1 ( 5 ) ，所以 。却荟z “( 。) 一乏，川七) ；吾z n ，( 5 ) + 吾z 。，( 4 ) 一号z 。，( 3 ) 一寻z n ，( 2 ) = 罢( z ( 1 ( 5 ) 一z ( 1 ( 2 ) ) + 三( z ( ”( 4 ) 一z ( 1 ( 3 ) ) ) o 依次类推可得：当n 为偶数时， o 5 n 荟z 。( 2 ) 一乏c l kt z ( 1 ) ( 2 ) = 万n 一1 ) z 1 o ) + 了n 一2 弦1 o 1 ) + + z 1 ( 号+ 2 ) 一z ”睦) 一j n 一2 ) z ( 1 ) ( 3 ) i n 一1 ) z m ( 2 ) 一( 争唰1 。) 一娥2 ) ) + i n 一2 ) ( 川) 一z m ( 3 ) ) + + ( z m 哇+ 2 ) 矽噎) ) o 当n 为奇数时， o 向荟邶) 一荟巳邶) 。2 - 1 ) z o ) + 呸n 一2 ) z m ) + + 牟) 一i 1c m 、7 n + 1 一三n 一2 ) z m ( 3 ) 一唔一1 ) z o ) ( 2 ) = ( i n 一1 ) ( z 1 ( h ) 一z 1 1 ( 2 ) ) + ( i n 一2 ) ( z 1 ( n 一1 ) 一z 1 ( 3 ) ) + + l ( z o ) ( 字) ”( n + 1 ) ) o 所以得证不等式成立。 由此不等式得 c 删珊等端辫 武汉理工人学硕十学位论文 如果要采用数乘变换来降低条件数，那么我们首先要验证数乘变换后，新 数列是否有建立g m 模型的可行性，我们有下面的定理。 定理2 2 设序列x = x 1 ，x ： 具有非齐次白指数律，则对其进行数乘变 换后的序列舅= 腭，f = 1 ，2 ，n ( p 为常数，p ，0 ) 也具有非齐次自指数律。 证明设6 。为序列x 的非齐次比 6 。：塑尘迎。c o n s f ” ) 一x f l 一” ! j ! i j ! 竖兰l 二业：f l x ( k - 0 - f i x k - 2 ) ：x ( k - 1 ) - - x ( k - 2 ) ：c o n s t ：d m 、 y m 一) ，( i 1 ) j d 霄( t 】一d z ( 一2 ) 气t ) 一石( k - 1 ) 如果对g m 模型的原始数列x 扣似) ，k 一1 ，2 ，n 作数乘变换， 彳o ( 七) = p x ( o ) ，则新数列的累加生成数列i 1 ( 七) = p x 1 ) ，那么由定理2 列 得2 - ( - 但) 依然具有非齐次自指数律。所以数乘变换不影响建立g m 模型的可行 性。 定理2 3 如果对g m ( i ，1 ) 模型的原始数列x 0 1 ) ，k = 1 ，2 ，h 作数乘变换， i 。( t ) = p 工。( 七) ，七一1 ，2 ，t 一，n ，当。c p ( n - 1 ) 9 9 ( n 2 卢+ ( 2 口) a + - 卢( ) n + 2 0 2 ) f 1 1 1 付，j l u 变换后累积法g m ( 1 ，1 ) 的参数估计的系数矩阵的条件数0 c k ( x ，) c 1 0 0 。 证明数乘变换后， i o ) = i 忡咖) = 肛0 1 咖) 。o ) 手( 1 仲) = 0 5 i 。 ) + 0 5 i o 一1 ) 荨0 5 p x d ) + 0 5 p x 1 - 1 ) 窖p z m ( 七) 舀2 乏。i 。( 七) 2 乏。p z 。( 。) 2 p 口， 万。夏牡掣” ) 。荟忙p z m ( 2 ) _ 筇。 则由新数列建立的累积法g m ( 1 ，1 ) 模型的参数估计的系数矩阵为 x = r 矿 ) r p z m ( 2 ) - ( n 一1 ) 0 + 2 ) 0 1 )= p a 一 一一1 ) ( ，l + 2 ) ( 玎一1 ) 武汉理r 大学硕十学位论文 即 又：1 = 卜璺! ：! ；! _ = 二尘耋( o p z o ) ( ) + ( n 一1 ) 薹；b ) p z ( 1 ( ) 】 最= ：彳剖 【一! 兰! 掣p a + ( ”一1 ) p f l 具条件数为 删暖，- 。- 蒜等等铲 令c o n d ( j , 1 1 0 0 ，即 05(n+2)(n-1)+pfl(a+f1) 所以 坚必! ! 堕二尘! 旦型、! 坚! 竺盘：! 竺到 2 卢( o + 卢)2 f l ( a4 - 卢) 要使垒二翌巴墅荔老导产，o ，只需 9 9 ( n + 2 ) = _ 一( n + 2 0 2 ) 0 ， 解得n 芦，即。向乏x ) 荟q z ” ) 证明过程与定理2 1 类似。 由此不等式得 删c m ；等豢辫 定理2 7 如果对g m ( 0 ，2 ) 模型的原始数列。 ) ，k 1 ，2 ，n ；i = 1 ，2 作数乘变 换，哥 ) = p 对o ) ，k = 1 ，2 ，n ；i = 1 ，2 ，当 o。口。(n-1)99(n+2)a-(n+202)8 2 f l ( a + 卢) 时，则变换后累积法g m ( 0 ，2 ) 的参数估计的系数矩阵的条件数 0 t ( 置) c 1 0 0 。 证明 数乘变换后，由新数列建立的累积法g m ( o ，2 ) 模型的参数估计的系 数矩阵为 武汉理l 人学硕士学位论文 盛盘- 11 一x 2 。 0 + 2 ) 0) i ， ，1 。 兰：剖 【巫兰坚尘肛一。一1 ) p q 删c j 扣1 1 , 7 ：1 | | l | | 讣瑞岽筹铲 令c o n d ( z ) t 1 0 0 ，目f j 坦：兰尘二翌生二竺旦鲤鱼生! 。1 0 0 ( ，l 一1 ) 【0 5 ( ，l + 2 ) 口卢】 则可解得 。cp c ( n - 1 ) 9 _ 9 ( n 獗+ 2 i ) a - 万( n 一+ 2 0 2 ) f 1 ( n o ， +。，f)e一譬+ra(cl ，若a ：0 ， + c 2 f ) e2 + ，若= ， 。专心。车。霉啧删 其中c 1c ：为常数，由下列初始条件决定： 章i l ) ( 1 ) = 肛( 1 ) ，盯m o ) ) k = 丢p 如徊( 3 ) 一工( 1 ) ) 证明：略。 下面依然以某省观排放量的时间序列： 一l ( 1 4 2 3 8 ，1 5 9 ，8 0 ，1 7 0 7 9 ，1 7 2 9 5 ，1 9 0 9 2 ) 武汉理工大学硕士学位论文 为原始数据。取p = o 0 1 0 ，根据前面公式计算可得数乘变换后累积法g m ( 2 ，1 ) 模型的参数为： 瓦= o 0 2 5 2 ，瓦z o 0 2 2 8 ，b = o 0 5 6 。 下而列出累加法g m ( 2 ，1 ) 模型和数乘变换后累积法g m ( 2 ，1 ) 模型的预测结 果比较： 表3 - 2 计算结果对比表 原始数 原g m ( 2 ，1 ) 模型 累积法g m ( 2 ，1 ) 数乘变换后累积法 序号 模型 g m ( 2 ，1 ) 模型 据 相对误相对误相对误 预测值 预测值预测值 差差差 l1 4 2 3 81 4 2 3 8 o1 4 2 3 8o1 4 2 3 8o 2 1 5 9 8 01 5 7 3 61 5 81 5 8 4 6 0 8 21 5 8 4 6o 8 2 31 7 0 7 91 6 5 2 1 2 6 81 6 7 3 22 0 31 6 7 3 22 0 3 4 1 7 2 5 91 7 5 5 51 5 01 7 8 4 2 3 3 71 7 8 4 23 3 7 5 1 9 0 9 21 8 5 4 22 8 81 8 8 5 7 1 2 31 8 8 5 71 2 3 平均误差 1 7 3 1 4 91 4 9 条件数6 5 2 1 0 s2 0 0 5 1 0 8 0 3 3 7 上例可以看出，数乘变换后的累积法g m ( 2 ，1 ) 模型使原模型的条件数大大 降低了，控制了其严重病态性。而且模型的高精度性没有改变，并有所提商。 3 3 累积法g m ( 0 ，3 ) 模型的病态性处理 设有原始数据列 x 1 。= “o ( 1 ) ，o ( 2 ) ，o 0 ) ) ；z 2 。；0 2 o ( 1 ) ，屯( 2 ) ，x 2 o 0 ) ) ； x 3 o = 心o ( 1 ) ，x 3 0 1 ( 2 ) ，o o ) ) 建立g m ( 0 ，2 ) 模型，其灰微分方程为：1 ( 七) = 岛硝1 ) + 也硝1 ) + n 两边施加累积算子，一般可直接取r = 3 。 乏。_ 。1 ) 2 岛荟。 ) + 也夏 r t 。1 ) 。岛荟( 2 ) x z ( d ) + 也荟 乏9 _ 。( ) 26 l 乏。x z 。( 七) + 6 2 荟 。x ，。( 2 ) + 4 荟。 牡“ ) + 4 荟忙 b x 3 0 ( t ) + 口罗。 彪 武汉理工大学硕士学位论文 爿= 乏悼v 1 ) 荟辑z 义) 1 为( ( 2 ) 也( 3 ( k ( 1 ) ( 2 ) 卦 ；y ；( 耋。c t ，耋2 w ” ，砉f 1 耻) ) 2 d = ( 红b 2 口) 。 则方程组可以写成矩阵形式： 一d = y 得累积法g m ( 0 ，3 ) 模型的参数估计公式： 占一一一1