（光学专业论文）不同激发机制下电离光电子谱的量子相干控制.pdf

不同激发机制下电离光电子谱的量子相干控制 伏振兴 摘要：自从激光问世以来，光与物质的相互作用就引起了人们的广泛关注。量 子相干控制的主要目标就是通过光场与原子或分子体系之间的相互作用，有选择 性地把原子或分子制备到人们所期望的某个量子态中，与此同时，能够最大限度地 抵偿其它通道所引发的结果。实现量子相干控制的方法一般是通过对激发光场相 干特性的操纵，控制原子或分子系统中这些量子通道间的干涉，进而达到控制量 子过程的目的。近几年，随着脉冲整形技术的产生和发展，人们已经能够对脉冲 光场的振幅、频率、相位、脉冲的面积、以及整形产生的子脉冲之间的间距等参 量进行精确地调控，从而实现更为精细的量子控制。本论文主要分为三部分，第 一部分研究了光场作用下二能级原子系统的缀饰态表述及其量子干涉效应；第二 部分研究了双共振激发多光子电离过程中光电子谱的量子相干调制；第三部分主 要研究了频率调制场作用下的双光子电离光电子谱的特性。 第一部分二能级系统的缀饰态表述及绝热条件下的原子跃迁理论 利用缀饰态表象讨论了二能级原子系统的跃迁过程；对我们熟知的石脉冲面 积、粒子布居完全转移等物理现象从量子干涉的角度给出了非常清晰的理论描述。 在其表述中揭示出脉冲面积在量子干涉效应中扮演着十分重要的相位因子作用， 表明了光场的演变对原子跃迁的控制作用。这些结果对于量子相干控制，量子信 息处理等许多方面的一些效应和现象给出了十分清楚的物理图像。 第二部分双共振激发多光子电离过程中光电子谱的量子相干调制 采用激发一电离的物理模型，研究了双共振激发多光子电离过程中光电子谱 的量子特性。利用缀饰态理论和光子回波的处理方法，解析地得出了系统各种状 态粒子布居的几率振幅。获得了将粒子有选择性地布居在不同缀饰态时，激发脉 冲面积和o , o r 应满足的条件，其中是激发场的频率，丁为激发脉冲间的延迟时 间。考虑到在电离过程中，多光子电离的耦合强度远小于基态与激发态能级之间 的强场耦合，所以在弱场极限近似条件下，用微扰理论讨论了多光子电离过程中光 电子谱的特性。研究结果表明，多光子电离光电子谱受激发脉冲光场的面积以及 脉冲间延迟时间的调制。通过控制第一个脉冲的面积或两个脉冲间的延迟时间实 现了粒予在不同缀饰态上的选择性布居，进而实现了量子相干控制。这一结论对 物理化学中的光控化学反应有一定的理论指导意义。同时，利用第二个脉冲面积 的变化实现了多光子电离过程中光电子谱的量子相干调制。 第三部分频率调制场作用下的双光子电离光电子谱特性的研究 频率调制光场是指载波频率围绕中心频率波动的光场，利用频率调制光场能 够实现粒子的布居囚禁，这在激光分离同位素、单原子检测以及研究分子态态反 应动力学过程中有着重要用途。基于量子干涉效应，这一部分研究了一个正弦频 率调制脉冲对双光子电离光电子谱的影响。文中详细地讨论了被调制光场的振幅、 频率、初相位以及失谐量等对双光子电离光电子谱的影响。通过控制粒子在缀饰 态上的选择性布居实现了量子相干控制。 关键词：量子相干控制光电子谱缀饰态理论多光子电离 1 1 q u a n t u mc o h e r e n tc o n t r o lo fi o n i z a t i o np h o t o e l e c t r o n s p e c t r aw i t hv a r i o u se x c i t a t i o nm e c h a n i s m z h e n x i n gf u a b s t r a c t ：t h ei n t e r a c t i o nb e t w e e nl i g h ta n da t o m so rm o l e c u l a rh a sa t t r a c t e d m u c ha t t e n t i o ns i n c el a s e rw a si n v e n t e d t h ep r i m a r yg o a lo fq u a n t u mc o h e r e n tc o n t r o l i st o s t e e raq u a n t u ms y s t e ms e l e c t i v e l yt o w a r d sad e s i r e df i n a ls t a t et h r o u g hi t s i n t e r a c t i o nw i t hl i g h t , w h i l ec a n c e l i n go u to t h e rp a t h sl e a d i n gt ou n d e s i r a b l eo u t c o m e s q u a n t u mc o h e r e n tc o n t r o li sa c h i e v e db yc o n t r o l l i n gt h eq u a n t u mi n t e r f e r e n c ea m o n g d i f f e r e n tq u a n t u mp a t h st h a tr e a c ht h es a n l ef i n a ls t a t e , w h i c hi sc a r r i e do u tt h r o u g h o p e r a t i n gt h ec o h e r e n tc h a r a c t e r i s t i c so fe x c i t e df i e l d s i nr e c e n ty e a r s ，w i t ht h ea d v e n t a n dd e v e l o p m e n to fp u l s es h a p i n gt e c h n i q u e ，t h ea m p l i t u d e ，f r e q u e n c y , p h a s e ，a r e ao f t h ep u l s ea n d o ri n t e r - p u l s es e p a r a t i o nc a nb ec o n t r o l l e da c c u r a t e l yt oa c h i e v em o r e p r e c i s eq u a n t u mc o n t r 0 1 t h ep a p e ri sm o s t l yd i v i d e di n t ot h r e ep a r t s i nt h ef i r s tp a r t , t h ef o r m u l a t i o no ft w o - l e v e la t o ms y s t e m su n d e rt h ed r e s s e ds t a t ep i c t u r ea n dq u a n t u m i n t e r f e r e n c ee f f e c t sa r ei n v e s t i g a t e d i nt h es e c o n dp a r t ，q u a n t u mc o h e r e n tm o d u l a t i o n s o np h o t o e l e c t r o ni nat w or e s o n a n tm u l t i - p h o t o ni o n i z a t i o n p r o c e s sa r e s t u d i e d t h e o r e t i c a l l y f i n a l l y , p r o p e r t i e so fi o n i z a t i o np h o t o e l e c t r o ns p e c t r ai nat w o p h o t o n i o n i z a t i o np r o c e s sw h i c hi se x c i t e dw i t haf r e q u e n c y m o d u l a t e df i e l da r ed i s c u s s e di n d e t a i l p a r to n e ： t h et r a n s i t i o np r o c e s s e si nt w o - l e v e ls y s t e ma r ei n v e s t i g a t e du n d e rd r e s s e ds t a t e p i c t u r e t h e o r e t i c a ld e s c r i p t i o nf r o mt h ep o i n to fq u a n t u mi n t e r f e r e n c ei sp r e s e n t e d c l e a r l yt of o r m u l a t es o m ep h y s i c a lp h e n o m e n ai nt w o - l e v e ls y s t e m ，s u c ha s 石p u l s e ， p o p u l a t i o nc o m p l e t et r a n s f e r e ta 1 t h ea r e ao ft h ee x c i t e dp u l s ei sp l a y e di m p o r t a n t p h a s ef a c t o rr o l ei ne f f e c to fq u a n t u mi n t e r f e r e n c e t h ec o n t r o lf u n c t i o nb yd i f f e r e n t l i g h tf i e l di sf o r m u l a t e di nt h ed e s c r i p t i o n t h ep h y s i c a li m a g eo fs o m ee f f e c ta n d p h e n o m e n a i sp r e s e n t e dv e r yc l e a r l yb yt h o s er e s u l t s p a r tt w o ： t h ep r o p e r t i e so fp h o t o e l e c t r o ns p e c t r ai nat w or e s o n a n te x c i t a t i o nm u l t i p h o t o n i o n i z a t i o np r o c e s sa r es t u d i e dw i t he x c i t a t i o na n di o n i z a t i o ns c h e m e t h ep r o b a b i l i t y a m p l i t u d e so fv a r i o u ss t a t e sa r eo b t a i n e da n a l y t i c a l l yb ym e a n so fd r e s s e ds t a t et h e o r y l i l a n dt h es a n l em e t h o dt r e a t e di np h o t o ne c h o e s i no r d e rt op o p u l a t et h es y s t e mp a r t i c l e s o i ld i f f e r e n td r e s s e ds t a t e s ，w eo b t a i nt h ec o n d i t i o n sw h i c ht h ef i r s tp u l s ea r e aa n dt h e d e l a yt i m eb e t w e e nt h et w op u l s e sm u s tb ec o n t e n t e d s i n c et h ec o u p l i n go ft h ee x c i t e d s t a t et ot h ei o n i z a t i o nc o n t i n u u mi sm u c hs m a l l e rt h a nt h ec o u p l i n gt ot h eg r o u n ds t a t e ， p r o p e r t i e s o fp h o t o e l e c t r o n s p e c t r a i o n i z e d b ym u l t i - p h o t o n a r et r e a t e d u s i n g p e r t u r b a t i o nt h e o r yi nt h ew e a k f i e l dl i m i t i ti ss h o w nt h a tm u l t i p h o t o ni o n i z a t i o n p h o t o e l e c t r o ns p e c t r ac a nb em o d u l a t e db yt h ea r e a so ft h et w oe x c i t e dp u l s e sa n dt h e d e l a yt i m eb e t w e e nt h et w op u l s e s t h es e l e c t i v ep o p u l a t i o no fd r e s s e ds t a t e s ( s p o d s ) c a l lb ei m p l e m e n t e du s i n gc o n t r o lo ft h ef i r s tp u l s ea r e aa n dt h ed e l a yt i m eb e t w e e nt h e t w op u l s e s c o n t r o lo ft h eq u a n t u mp r o c e s si sa c h i e v e db a s e do ns p o d s t h er e s u l t s w eh a v eo b t a i n e da b o v ea r c p a r t i c u l a r l ya t t r a c t i v e f o ra p p l i c a t i o n st oc o n t r o lt h e o u t c o m eo fac h e m i c a lr e a c t i o nw i t hl i g h ti np h y s i c a lc h e m i s t r y p a r tt h r e e ： f r e q u e n c y m o d u l a t e df i e l dw h o s ec a r r i e rf r e q u e n c yi sf l u c t u a n tw i t hac e n t r a l f r e q u e n c yc a nb eu s e dt oa c h i e v ep o p u l a t i o nt r a p p i n g i th a sv e r yi m p o r t a n ta p p l i c a t i o n i nt h ef i e l d s r a n g e df r o mi s o t o p es e p a r a t i o nw i t hl a s e r s i n g l ea t o md e t e c t i o nt o m o l e c u l a rs t a t e s t a t er e a c t i o na n ds oo n b a s e do nq u a n t u mi n t e r f e r e n c ee f f e c t ，t h e i n f l u e n c e so l lt w o p h o t o n i o n i z a t i o n p h o t o e l e c t r o ns p e c t r a w i t has i n u s o i d a l f r e q u e n c y m o d u l a t e dp u l s ea l ei n v e s t i g a t e di nt h i sp a r t t h ee f f e c t so nt w op h o t o n i o n i z a t i o np h o t o e l e c t r o ns p e c t r ab ym o d u l a t e da m p l i t u d e ，m o d u l a t e df r e q u e n c y , i n i t i a l p h a s ea n dt h ed e t u n i n ga r ed i s c u s s e di nd e t a i l m e c h a n i s mo fq u a n t u mc o h e r e n tc o n t r o l i nt h i ss y s t e mi sb a s e do nt h es e l e c t i v ep o p u l a t i o no fd r e s s e ds t a t e s ( s p o d s ) k e yw o r d s ：q u a n t u mc o h e r e n tc o n t r o lp h o t o e l e c t r o ns p e c t r a d r e s s e ds t a t et h e o r y m u l t i p h o t o ni o n i z a t i o n 1 v 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，论文中不包含其他个人 已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得陕西师范大学或其它教育机构 的学位或证书而使用过的材料。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均 已在文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名：z 盘：维芝， 日期：塑z 一左。步 t 学位论文使用授权声明 本人同意研究生在校攻读学位期闻论文工作的知识产权单位属陕西师范大 学。本人保证毕业离校后，发表本论文或使用本论文成果时署名单位仍为陕西 师范大学。学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其它指定机构送交论文 的电子版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进 入学校图书馆、院系资料室被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进 行检索；有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。 作者签名：幺 尘整兰， 日期： 第一章引言 1 1 研究现状与进展 自从激光发明以来，光与物质相互作用的原子相干效应就引起了人们的广泛 关注。围绕原子相干效应和量子干涉现象，人们已经开展了大量的理论和实验研 究工作，并取得了很大的进展，这在一些文献和专著中都有比较详细的报道。基 于这一效应产生的物理现象有：电磁感应透明 q ( e l e c t r o m a g n e t i c a l l yi n d u c e d t r a n s p a r e n c y ) 、无反转激光1 2 ( 1 a s i n gw i t h o u ti n v e r s i o n ) 、绝热布居转移1 3 l ( a d i a b a t i c p o p u l a t i o nt r a n s f e r ) 、自发辐射干涉相长和相消( s p o n t a n e o u se m i s s i o ne n h a n c e m e n t a n dc a n c e l l a t i o n ) 4 1 、双光子吸收的增强和减弱 5 1 、共振提高介质的折射率等等。量 子干涉现象作为反应原子或分子微观性质信息的重要手段，近几年来对它的研究 发展的十分迅速。二十世纪九十年代初，s e h a r r i s 及其合作者首次从实验上得到 了由原子量子相干效应导致的电磁感应透明但l d 现象【“。自e i t 效应发现以后， 人们已经在此基础上做了许多有意义的工作 7 1 。1 9 9 5 年，x i a om i n 等人利用m z 干涉仪观察到了e i t 增强介质的色散效应，这是因为e i t 导致介质的k e r r 非线性 系数很大的增强，从而导致介质折射率的极大改变，在e 1 t 介质里实现了光开判8 i 。 1 9 9 9 年，h a u 等人在超冷原子介质中将光速减低到1 7 m s ，并通过控制耦合光通断 实现了光脉冲的存储与释放1 9 , 1 0 | 。随着人们对原子相干效应认识的不断深入，探索 更多更有应用前景的相干效应已成为该领域研究的热点之一。 借助于先进的激光技术来实时的观测和控制原子、分子的量子现象是相干控 制领域内的研究热点之一，基于量子干涉的许多不同的量子控制机制已经在理论 和实验上获得了证实。当二能级原子系统被强脉冲光场激发时，不同的激发方式 会导致许多不同的量子效应。在这些激发方式中，较常用的是采用在时间上有一 定延迟的脉冲序列作为激发光场作用于系统，这种方法已被证明是一种强有力的 研究手段【i i , 1 2 。通过延迟光场与体系相互作用产生的相干瞬态现象有光子回波 ( p h o t o ne c h o ) 埘、r a m s e y 条纹【1 4 1 ( r a m s e y f r i n g e s ) 、s t a r k 快速绝热过程( s t r a p ) 1 1 5 l 等。最近，m w o l l e n h a u p 等人采用等强度有时间延迟的两个脉冲激发钾原子的 4 s 一4 p 能级，实现了激发态4 p 能级光电子谱a u t l e r - t o w n e s 分裂中干涉条纹的控 制【1 1 】。强场的作用不仅影响原子在能级之间的跃迁，而且通过场强随时间变化的 因子表现出的能级移位来“修饰”原子，这种对原子能态的“修饰”所产生的叠 加态，称之为缀饰态。利用缀饰态理论研究一些相干效应也己取得了很大的进展 【1 “1 9 1 ，如缀饰态表象下的粒子布居完全转移【2 0 j 、光子回波【2 1 1 、自由感应衰减【2 2 l 、 双光子跃迁【硒】等等。 量子相干控制是指在相干源的作用下对量子过程的动力学演化过程进行人为 的操纵和调制。当超快脉冲的许多频率成分同时激发量子系统的多个相干跃迁通 道时，可以通过对光场特性的操控使跃迁沿着人们所期望的通道进行。这种对脉 冲光场的振幅、频率、相位及子脉冲j 1 i l j 距等参量的人为调制和控制称之为脉冲整 形( p u l s es h a p i n g ) 。因而脉冲整形技术( p u l s es h a p i n gt e c h n i q u e ) 的发展同时也对相干 控制的研究起到了很大的促进作用。整形飞秒光脉冲的出现和应用，将人们对原 子和分子动力学过程的控制延伸到了量子水平【2 “。y a r o ns i l b e r b e r g 等人利用脉冲 整形技术研究了光致共振跃迁的瞬态增强【2 7 j 、共振多光子跃迁的增强【嚣】以及实现 的多光子跃迁的量子相干控制【2 9 】等。脉冲整形技术和闭路适应性反馈学习法则 ( c l o s e dl o o pa d a p t i v ef e e d b a c kl e a r n i n ga l g o r i t h m s ) 的结合使得人们能够对一些物理 过程的控制实现最优化。这在激光科学、量子光学、原子和分子物理学、固体物 理、光化学及生物物理等领域都有着非常重要的作用。然而对这些控制过程后面 所隐含的物理机制人们还没有一个特别清楚的认识，尤其是涉及到强场作用过程 的物理细节问题。德国k a s s e l 大学t b a u m e r t 研究小组在理论上研究了双光子跃 迁过程的相位控制f 3 0 】，并利用激发一电离物理模型，在理论和实验上分别用强啁 啾激发脉冲1 3 1 l 以及频域相位调制脉冲1 3 2 l 实现了缀饰态粒子选择布居的量子控制， 讨论了光场参量对电离光电子谱的影响。一般来说，在激发一电离的物理模型中， 电离光电子谱反映的是原子或分子体系裸态的特性，然而，当电离光场和激发光 场完全一致或是同一个光场时，电离光电子谱折射出的是缀饰态的动力学演化特 性。本文第三部分利用同一物理模型采用频率调制光场激发，也实现了缀饰态粒 子的选择布居。在这一强场量子控制机制下，详细地讨论了被调制的光场振幅、 频率、初相位以及失谐量等参量对双光子电离光电子谱的调制作用。 1 2 本论文的工作 本论文的工作主要分为三部分，第一部分研究了光场作用下二能级原子系统 的缀饰态表述及其量子干涉效应；第二部分主要研究了双共振激发多光子电离过 程中光电子谱的量子相干调制；最后，在第三部分研究了频率调制场作用下的双 光子电离光电子谱的特性。 第一部分二能级系统的缀饰态表述和绝热条件下的原子跃迁理论 利用缀饰态表象讨论了二能级原子系统原子的跃迁过程；通过分析和讨论， 对二能级系统中我们所熟知的玎脉冲面积、粒子布居的完全转移等物理现象从量子 干涉的角度给出了非常清晰的理论描述。 第二部分双共振激发多光子电离过程中光电子谱的量子相于调制 采用激发一电离物理模型，研究了双共振激发多光子电离过程中光电子谱的 2 量子特性。利用缀饰态理论和光子回波的处理方法，解析地得出了系统各种状态 粒子布居的几率振幅。讨论了激发脉冲的面积和脉冲间的延迟对多光子电离光电 子谱的调制作用。获得了将粒子有选择性地布居在原子不同缀饰态时，第一个激 发脉冲的面积和脉冲间的延迟应该同时满足的条件。考虑到在电离过程中，多光 子电离的耦合强度远小于基态与激发态能级之间的强场耦合，所以在弱场极限近 似条件下，用微扰理论讨论了多光予电离过程中光电子谱的特性。研究结果表明， 多光子电离光电子谱受激发脉冲光场的面积以及脉冲间延迟的调制。通过控制第 一个脉冲的面积或两个脉冲之间的延迟时间实现了粒子在不同缀饰态上的选择性 布居，达到了控制原予系统量子过程的目的。这一结论对物理化学中的光控化学 反应有一定的理论指导意义。同时，利用第二个脉冲面积的变化实现了多光子电 离过程中光电子谱的相干调制。 第三部分频率调制场作用下的双光子电离光电子谱特性的研究 频率调制光场是指载波频率围绕中心频率波动的光场，利用频率调制光场能 够实现粒子的布居囚禁，这在激光分离同位素、单原子检测以及研究分子态态反 应动力学过程中有着重要用途。基于量子干涉效应，第三部分研究了一个正弦频 率调制脉冲在激发一电离物理模型中对双光子电离光电子谱的调制和影响。详细 地讨论了光场被调制的振幅、频率、初相位以及失谐量等参量对双光子电离光电 子谱的作用。通过选择合适的参量，实现了双光子电离光电子谱的量子相干控制。 这一量子相干控制的机理是通过对激发光场参量的控制实现了粒子在不同缀饰态 上的选择性布居所致。 3 第二章基本理论 2 1 辐射场与原子的相互作用 2 1 1 薛定谔表象和相互作用表象 a 薛定谔表象 在薛定谔表象中，原子或分子体系的态矢量是随时间变化的， 律遵守的是薛定谔方程，即 访三v ( f ) ；h 掣( f ) u 令系统的波函数为 掣o ) - u ( t ，o ) 掣( o ) 状态的演化规 ( 2 1 1 ) ( 2 。1 。2 ) 式中c ，( f ，o ) 称为时间演化算符，可看作是系统状态随时间的连续变化，是把体系 在时刻t 的状态v ( f ) 与初始状态v ( 0 ) 联系起来的一种连续变换。时间演化算符要 求满足如下的变换关系式，即 u + ( f ，o ) u ( t ，0 ) 一u ( t ，o ) v + ( f ，0 ) 一1 ( 2 1 3 ) 式中u + ( f ，0 ) = u 。( f ，0 ) 。这种关于时间演化算符【，( f ，o ) 的变换是一个幺正变换。 将( 2 1 2 ) 式代入薛定谔方程( 2 1 1 ) 式，可以得出 珐云u ( f ，o ) v ( o ) = h u ( t , o ) 1 l f ( o ) 由于初始时刻系统的波函数v ( 0 1 是任意的，所以上式可改写为 访詈【，( f ，o ) 一hu ( t ，0 ) ( 2 1 4 ) 按照( 2 1 2 ) 式给出的系统波函数形式和初始条件，容易看出t ；0 时刻的时间演化 算符u ( o ，0 ) 一1 。求解( 2 1 4 ) 式( 此处的h 不显含0 ，可得出时间演化算符u ( f ，0 ) 的表示形式为 相百作田喜堂 眯，o ) 一p 【- 寺豫】 (2”)b 相互作用表象 一。 如果把系统总的哈密顿量写为 h h o + v ( 2 1 6 ) 式中矾为原子的哈密顿量，v 表示的是辐射场与原子间的相互作用。由于相互作 用表象中的态矢量1 l ，与薛定谔表象中的态矢量v 。之间满足如下的变换关系 1 l r 几) p i 音叫v ，( t ) ( 2 1 - 7 ) 因此就有 4 访昙喇叫阻1w - 川r ) 一e x p 陆叫矿1 l ，( r ) 一陋卜c x p 【铲i 小唧p 卜) 即 i h e a f q ，( f ) 。k ( f ) 1 l r ，( f ) ( 2 1 8 ) 式中巧( r ) _ e x p 医日o r 】矿e x p 【丢凰r g 工功 这是相互作用表象中的相互作用项k o ) 和薛定谔表象中的相互作用项y 之间的变 换关系。 2 1 2 缀饰态理论【1 】 在辐射场与原子的相互作用过程中，辐射场是作为外加驱动场，而原子处在 外加场中，场与原子构成了一个量子系统。原子的能态与辐射外加场缀饰在一起， 形成两个线性叠加态，称之为缀饰态。激发的原子从这两个线性叠加态( 缀饰态) 被电离或者自发地跃迁到基态时，通道之间会产生量子干涉。这种干涉的实质是 缀饰态与缀饰态之间的相干叠加引起的。 在辐射场作用下，原子的波函数1 l ，( 尹，f ) 所满足的薛定谔方程为 i h 詈ti f ( r ，f ) = ( 日。+ h ) 、l ，( f ，f ) ( 2 1 1 0 ) 式中日。为原子的哈密顿量，h 为原子与辐射场相互作用的哈密顿量。h 具有如 下的形式 h - ( - e ) j 声+ 丽e 24_me 2 ( 2 1 1 1 ) z 晰c 一 式中一e 为电子的电荷，声为原子的动量算符，j 为场的矢势，在原子波函数线度 内，矢势j 可看作常数。在偶极近似下，( 2 1 1 1 ) 式可改写为 h 。一一砖雹 c 2 1 1 2 ) 式中犀一疗为原子的偶极矩，雷为电场强度。通常情况下，方程( 2 1 1 0 ) 式是很难 准确求解的，经常采用微扰方法求解。首先，当h 一0 时，可将( 2 1 1 0 ) 式给出的 薛定谔方程化简为 访旦o t 掣_ 。掣 ( 2 1 1 3 ) 设该方程式的解为一系列正交归一的定态解，把它们表示为 1 l ，。一e x p i 一云e l ( 尹) 厅一1 , 2 ， ( 2 1 1 4 ) 5 将其代入( 2 1 1 3 ) 式，得 h o u 。；e 。h 。 ( 2 1 1 5 ) 当相互作用哈密顿量h - 0 时，方程式( 2 1 1 0 ) 的解v ( 尹，f ) 用定态解叱展开，可以 表示为如下形式 掣( 力) 。( t ) e x p 【_ i ) ( 2 工1 6 ) 将( 2 1 1 6 ) 式给出的解1 i ，( 尹，f ) 代入薛定谔方程( 2 1 1 0 ) 式中，可得出方程式 鲥；三 1 日，i h ) 吒( f ) e i m (2117)d t i h 印 7 方程式( 2 1 1 7 ) 精确地等价于薛定谔方程( 2 1 1 0 ) 式，称之为辐射场与系统的相互作 用方程。通过上述变换，将原来求解波函数v ( 尹，t ) 的问题变为由相互作用方程求 解函数吒( t ) 的问题。 对于由基态为l g ) ，激发态为l m ) 的二能级系统，按照相互作用方程式( 2 1 1 7 ) 展开，可以得出如下的一个方程组 d 出a 。( f ) = 去h o 。忱7 ( f ) 磊da 。( f ) 一- - f ；。i1 7 ( f ) ( 2 工1 8 ) 当原子处于交变的电场中时，式中的相互作用矩阵元 日0 = 日0 一。( ee “+ e + e ) ( 2 1 1 9 ) 为不失一般性，设式中e 。e ，e 和分别为外场的强度和载波频率，令 三! ! ；q ，q 称之为拉比频率( r a b if r e q u e n c e ) 。 将( 2 1 1 9 ) 式代入( 2 1 1 8 ) 式，可得 d d ，a 。( r ) ；一i i 2 【e 一q w m + e 一+ “ n 。( r ) 丢( t ) - i iq e k 卜十e “”卜】气( r ) ( 2 1 2 0 ) 在旋波近似下，设；。一吐k ：则方程式( 2 1 2 0 ) 可以改写为 磊a 巳( f ) 一言耐“( f 五d4 。( f ) 一一言q e - i 6 - t ( f ) ( 2 1 2 1 ) 于是方程组( 2 1 2 1 ) 的通解可以表示为 巳( r ) 。叫淄n ( p ) e 。扣+ c o s ( p ) e i 6 ( f ) ；一把- 2 z 。l c o s ( 鲫e 。g l t + 埘n ( 口) e 1 ( 2 1 2 2 ) 式中a 一一。是光场的载波频率与原子的玻尔跃迁频率之差，称之为失谐量， q 一厅西，q 为拉比频率，并且有州小半，s i nc o ) 一半。 考虑到强场的作用不仅影响原子在能级之间的跃迁，而且通过( 2 1 2 2 ) 式中随 时间变化的因子表现出来的能级移位来“修饰”原子内部的能态结构，得出新的 缀饰态。缀饰原子的波函数方程可以表示为 审。= c o s ( o ) v 。+ i s i n ( o ) 1 l ，邮 1 i ，。- i s i n ( o ) 1 l ，- 。+ c o s ( o ) v 5 ， ( 2 1 2 3 ) 式中 协川( 半h v h 。唧降川( 半) t 】 心唧陋川( 半) 1 钱e x p 陋川( 半) 1 仁地q 从式( 2 1 2 3 ) ：f 1 1 ( 2 1 2 4 ) 可以看出，原子的缀饰态圣。和币。实际上分别包括两个能态 1 l ，。和1 i r 。，以及l ，。和1 l ，。，。分裂出的两个能态之间的间距为q 一q2 + 2a 因 为拉比频率q 正比于场强e ，因而能级的裂距与外加光场的强度有关，场强e 越 强，缀饰态能级间的裂距就越大。这一对新分裂出的能态反映了包括原子的哈密 顿量h 。和原子与辐射场相互作用的哈密顿量日在内的总的哈密顿量日= h o + h 的状态。这是外场被缀饰在原予上的状态，因而被称之为缀饰态。 2 2 旋转变换 从前面的讨论中可以看出，直接求解薛定谔方程的主要问题之一是设法消去 形如e x p f ( “k r o ) t 1 的因子。如果可以消去它们，得到一个常系数的一阶微分方 程组，就t 可。以进一- 步a 求解了。但是要消去这个因子，除了个别情况外，往往都是 十分困难的。然而，若把实验室坐标系中的波函数和哈密顿量转换为在与电磁场 同步旋转的坐标系中，就可以直接消去这个因子。解出方程后，再作逆变换回到 实验室坐标系，得到所求的结果【2 1 。 如果把在旋转坐标系下的波函数标记为掣7 ( t ) ，实验室坐标系下的波函数标记 为v “( t ) ，则它们之间满足如下的变换 7 1 i ，7 ( t ) ；u 。( f ) 1 l ，“( t ) ( 2 2 1 ) 式中u 。1 ( f ) 为变换矩阵。我们考虑状态v 7 ( t ) 随时间的演化，得 丢v 7 ( r ) = 丢p 4 ( r ) 1 l ，“( r ) + u 1 ( r ) 丢v “( r ) ( 2 2 2 ) 利用薛定谔方程以及( 2 2 1 ) 式，可得 a 出y , ( f ) 2 r ( f ) u ( f ) _ u - 1 ( t ) i l l “u ( f ) p ( f ) ( 2 2 3 ) 如果哈密顿量要保持时间演化的存在性，则必须要求它在相互作用表象中为 h 7 ；u 。1 ( f ) h ”v ( t ) + i u 4 ( f ) u ( f ) ( 2 2 4 ) 这是一般形式的哈密顿变换。在哈密顿变换中，u 。( f ) h “u ( t ) 是算符变换， i o 。1 ( f ) u ( f ) 是相关项。只要变换算符u ( f ) 是时间的函数，它便包含有不为零的 相关项面1 ( f ) u ( f ) 。 2 3 龙格一库塔：( r u n g e k u t t a ) 法 3 】 设有如下的初值问题 j 罢；巾，) ，)( 2 3 1 ) i y ( 口) ；y 。 一般来说，方程组( 2 3 1 ) 是很难得到解析解的。为此可考虑抽取y ( x ) 上的一系列点， 使得相邻的点与点之间的距离为h ，h 称之为步长。数值计算的基本思想就是以相 邻的两点之间的折线来代替由方程组( 2 3 1 ) 决定的实际曲线。 如果将函数y ( h + ，) 在x = 工。处做泰勒展开，则有 ) ，( + 。) = y ( ) + 矽( ，) ，( ) ) + 等，o ( 毛，_ ) ，( ) ) + 一一 “ ( 2 3 2 ) + i h i 严哪( ，y ( ) ) 式中f u , - 1 ) ( ，y ( ) ) 表示的是在曲线上某点( 吒，y ( ) ) 处函数f ( x ，y ) 的p 一1 阶导 数。在通常情况下，函数具有如下的形式 f u - t ) ( ( 圳。坐导剑 一_ ) ，“( ) + ，掣凹)工 j j ， 在展开式( 2 3 2 ) 的右边截取若干项，并以) 。，y 。分别代 k y ( x 。) ，y ( x 。) 后，可以得 出如下等式 8 一y 。+ 缈x n ，y n ) + 等，m ( ，y n ) + + h 。p ，( p - 1 ) ( 训一 叫) 首先，设法计算函数厂o ，y ) 在某些点上的数值，然后对这些计算出的函数值作线 性组合，构造近似计算公式后，把近似公式和精确解的泰勒展开式相比较，使得 它们最前面的若干项相重合，就可以得到一个具有一定精确度的数值计算公式。 将它表示为 y 一y 。+ m t ( 2 3 5 ) 式中毛i v 【毛+ q 屯以+ 荟岛j - 2 ，3 r ( 2 3 石) 在( 2 3 5 ) n ( 2 3 6 ) 式中，参量嵋，q ，岛与函数，0 ，y ) 以及h 无关。按选取数值的 步长h 的幂次做升幂排列后，可得 y 。y + 咖+ 百h 2r 2 + 百h 3 ，3 + ( 2 3 7 ) 而微分方程( 2 3 1 ) 的精确解y ( x ) 在点x z 。处的泰勒展开式为 y ( x n + 。) t y ( k + 1 1 ) 一y ( ) + 州) + h 2 2 1 ，( 2 ) ( ) + + 秽h p ，( ) + 。( 叫 2 3 印 将( 2 3 7 ) 式与( 2 3 8 ) 相比较，使得它们有尽可能多的项重合。这就应该要求 一正，吃一 ， ， 一一”( 2 3 9 ) 于是就可以得到p 个方程，从而可以得到参量m ，q ，成，再联立( 2 3 6 ) 式，可 得 y 一) ，。+ m 屯 ( 2 3 1 0 ) ( 2 3 1 0 ) 式称之为r 阶的龙格库塔计算公式。 在通常情况下，( 2 3 1 0 ) 式中参量m ，q ，成的取值并不是唯一的。一般来说， 阶数取得越高所得数值计算结果就越接近于精确值，获得计算精度就越高，但计 算过程也就越复杂。在通常的数值计算应用中，人们一般使用的是3 阶和4 阶计 算公式。它们的具体表达式如下 ( a ) 3 阶标准计算表达式为 只+ l 一) _ + ( 也+ 4 k 2 + k 3 ) 9 ( b ) 4 彤r 杯准计舁表达瓦为 y 。+ l = y 。+ ：i 、k 1 + 2 k 2 + 2 k 3 + 七4 ) 限一缈( ，；。) i 七：； ，( + 鲁，y 。+ 等) 卜玎( x n + h 砒+ 等) 1 0 f 2 3 1 1 ) ( 2 3 1 2 ) k 、j 2 t 一2 + 一 + - “ h j 矗一2 圯 k 卜k 矽 可 可 篁 鲁 昔 他 墉 第三章二能级系统的缀饰态表述和绝热条件下的原子跃迁理论 3 1 引言 二能级量子体系是量子力学中最简单的系统，它是构成其它多能级系统的基 本单元，在量子系统中占有非常重要的地位。在二能级系统中存在着许多奇特的 量子相干现象，例如拉比振荡( r a b io s c i l l a t i o n s ) 、绝热布居转换( a d i a b a t i c p o p u l a t i o n i n v e r s i o n ) 、相干布居回归( c o