二次函数专题讲座-.doc

二次函数专题讲座思维基础:（一）填空：1二次函数的图象的开口方向是向，顶点从标是，对称轴是。2抛物线的顶点在x轴上，则m的值等于 .3.如果把第一条抛物线向上平移个单位（a0），再向左平移个单位，就得到第二条抛物线，已知第一条抛物线过点（0，4），则第一条抛物线的函数关系式是 _.（二）选择：1.如图代13-3-1所示二次函数的图象，则有（ ） 图代13-3-1 图代13-3-2 A.a+b+c0 D.a+b+c的符号不定2.如图1-3-2是抛物线的图象，则下列完全符合条件的是（ ） A.a0，b0，b24ac B.a0，c0，b24ac C.a0，c0，b24ac D.a0，b0，c4ac3已知抛物线的对称轴为x=1，与x轴、y轴的三个交点构成的三角形的面积为6，且与y轴的交点到原点的距离为3，则此二次函数的解析式为（ ） A.或 B.或 C.或 D.或学法指要：例 在直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中点A在点B的左边，若ACB=90，.（1） 求点C的坐标及这个二次函数的解析式；（2） 试设计两种方案，作一条与y轴不生命，与ABC的两边相交的直线，使截得的三角形与ABC相似，并且面积是AOC面积的四分之一.【思考】 （第一问）1.坐标轴上点的坐标有何特点？2.如何求抛物线与y轴的交点坐标？3.如何设出抛物线与x轴的两个交点坐标？4.线段与坐标之间有何种关系？你会用坐标表示线段吗？【思路分析】 本例必须准确设出A，B两点坐标，再求出C点坐标，并会用它们表示线段的长，将代数问题转化为几何问题，再由几何问题转化为代数问题，相互转化，相互转化，水到渠成.解：（1）依题意，设A(a,0),B(,0)其中a0，则a,是方程AOCCOB。把A（-4，0）代入，得解这个方程得n=2.所求的二次函数的解析式为现在来解答第二问。【思考】这第二问所要求作的三角形应具备什么条件？什么样的三角形与ABC相似？在什么条件下可以讨论两个三角形面积的比？在一个图形上作一和直线，需要确定什么？ABC是一个什么样的三角形？【思路分析】所求的三角形与ABC相似；所求的三角形面积=所求三角形若与ABC相似，要具备有“两角对应相等”，“两边对应成比例且夹角相等”，“三边对应成比例”等判定两三角形相似的条件。在两三角形相似的条件下，“两三角形面积的比等于相似的平方”，即找相似比等于1:2.在一个图形上，截得一个三角形，需要作一条直线，作一条直线应在图形上确定两个点，且这条直线不能与y轴重合。分析至此问题十分明确，即在ABC的两边上找出符合上述条件的两点作一条直线。再来分析ABC是一个什么样的三角形，猜测它是直角三角形最为理想。从第一问得知的条件A（-4，0）B（1，0），C（0，-2）可用勾股定理推出，ABC确是直角三角形。这样ABCCAOBCO，且为作符合条件的直线提供了条件。下边分述作符合条件直线的方案。方案1:依据“三角形两边中点的连线，截得的三角形与原三角形相似”，其相似比是1:2，面积的比为1:4。作法：取AO的中点D，过D作D DOC，D是AC的中点。 AD：AO=1：2，即 ADD=. ADDACOABC.图代13-3-3DD是所求作的直线，ADD是所求作的三角形。方案2：利用C作一个BCF COB。作法：在CA上截取CE，使CE=CO=2，在CB上截取CF，使CF=BO=1，连结EF，则BCF即为所求，如图代13-3-4所示。请读者证明。 图13-3-4图13-3-5方案3：在AC上截取AG，使AG=CO=2，在AB上截取AH，使AH=BC=，连结GH，则AGH为所求，如图代13-3-5所示，请读者去证明。方案4：在CA上截取CM，使CM=BO=1，在CB上截取CN，使CN=CO=2，连结MN，则CMN为所求，如图代13-3-6所示，请读者去证明。图13-3-6图13-3-7方案5：在BA上截取BP，使BP=BC=，在BC上截取BQ，使BQ=BO=1，连结PQ，则BPQ为所示，如图代13-3-7所示。请读者去证明。思维体操例 一运动员推铅球，铅球刚出手时离地面米，铅球落地点距离铅球刚出手时相应地面上的点10米，铅球运行中最高点离地面3米，已知铅球走过的路线是抛物线.求这个抛物线的解析式.图13-3-8如图，结合题意，知抛物线过，用一般式：解之，于是有解方程组，得；.所求抛物线解析式为或.，这时，抛物线的最高点（-20，3）不在运动员与铅球落地之间，不合题意，舍去.所求抛物线解析式为（0x10）.【扩散2】 仿扩散1知抛物线过.因B为顶点，所以利用顶点式最宜，于是可设抛物线的解析式为.又其图象过A，C两点，则解方程组，得；.抛物线最高点（-20，3）不在运动员和铅球之间，不合题意，舍去.故所求抛物线的解析式是（0x10）.【扩散3】 抛物线与x轴交于两点，即D（x，0），C（10，0），联想截距式解之.于是设抛物线解析式为，其图象又过A，C两点，则有，.又 ， . 联立解方程组，得；.但不合题意，舍去.故所求二次函数解析式为（0x10）.【扩散4】 由抛物线对称性,设对称点,B(m，3)，又C（10，0），应用一般式可获解.设抛物线，则可得解这个方程组，得.（m，3）在第一象限，m0.m=-20（舍去），m=4.进而求得： 故所求抛物线解析式是：（0x10）.【扩散5】 如图，这是某空防部队进行射击训练时在平面直角坐标系中的示意图，在地面O，A两个观测点测得空中固定目标C的仰角分别为和，OA=1千米，tg=,tg=,位于O点正上方千米D点处的直升飞机向目标C发射防空导弹，该导弹运行达到距地面最大高度3千米时，相应的水平距离为4千米（即图中的E点）.（1） 若导弹运行轨道为一抛物线，求该抛物线的解析式；（2） 说明按（1）中轨道运行的导弹能否击中目标C的理由.【思路分析】 本例应用扩散14思路均可，尤以扩散2应用顶点式最佳，读者可仿扩散2求得抛物线解析式为：（0x10）. 过点C作CBOx，垂足为B，然后解RtOBC和RtABC，可求得点在抛物线上，因此可击中目标C（请读者自己写出完整解答过程）.【扩散6】 有一抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为16m，跨度为40m，现把它的图形放在坐标系里（如图所示），若在离跨度中心M点5m处垂直竖直一铁柱支撑拱顶，这铁柱应取多长？图代13-3-9【思路分析】 本例仿扩散2可设抛物线解析式为（0x40），又抛物线过原点，进而求得，在距离M点5m处，即它们的横坐标是x1=15或x2=25，分别代入抛物线解析式，求得y1=y2=15.所以铁柱应取15m长.【评析】 由扩散16，抛物线应用从体育方面，扩散到军事，涉及现代科技、导弹、直升飞机等.进而又扩散到桥梁建筑，涉及到现代化建设的方方面面，告诉同学们，必须学好课本知识，才能适应现代化的需要.图13-3-10本例的解题思路扩散，把顶点式、一般式、截距式、抛物线的对称性都进行了展示，我们可以根据不同的情况，迅速进行决策，选设不同的解析式，达到求解的目的. 心中有数：二次函数的知识，是初中三年级数学的重点内容.在解有关二次函数的问题时，应用待定系数法和方程、方程组的知识，用到数形结合、观察、想象的思想方法，应当深入理解和掌握这部分知识.动手动脑：1. 某商人如果将进货价为8元的商品按每件10元出售时，每天可销售100件，现在采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每件提高1元，其销售量就要减少10件，问他将售出价定为多少元时，才能使每天所赚利润为最大，并求出最大利润？2. 已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，若ABC是等腰三角形，求抛物线的解析式.3. 已知抛物线.（1）求证：不论m取何值，抛物线与x轴必有两个交点，并且有一个交点是A（2，0）.（2）设抛物线与x轴的另一个交点为B，AB的长为d，求d与m之间的函数关系式.（3） 当d=10，P（a，b）为抛物线上一点.当ABP是直角三角形时，求b的值；当APB是锐角三角形、钝角三角形时，分