（概率论与数理统计专业论文）关于相依随机变量加权和的极限性质.pdf

中文摘要 本文是我在硕士阶段，在导师苏中根教授的悉心指导下完成的。全文共分四章 第一章线性n q d 随机变量序列加权和的强大数定律 大数定律是研究随机变量和的统计规律的一种工具，是数理统计参数估计、金融学、保 险学等学科的重要基础。最初得到的大数定律均是关于独立同分布随机变量序列的，例如我 们熟知的k o l m o g o r o v 强大数定律以及m a r c i n k i e w i c z 强大数定律。随着研究的深入，产生了 相应于独立情形的相依随机变量的概念，如p a ，n a 和n q d 等等。而且关于这几种相依随 机变量的大数定律和极限理论已经被深入地研究，相应结果可参见苏淳( 1 9 9 6 ) ，d ai o a n n i d e s 和gg r o u s s a s ( 1 9 9 9 ) ，z h a n gl i x i n ( 2 0 0 0 ) ，杨善朝( 2 0 0 1 ) 等等。 在对各种相依随机变量的部分和进行讨论的同时，对加权和的大数定律的研究也在进 行。例如近来b a i 和c h e n g ( 2 0 0 0 ) 证明了有关独立同分布随机变量序列加权和的强大数定 律，s o oh a ks u n g ( 2 0 0 1 ) 又对前者的结果进行了推广。从不同的文章中可以看出对权的要求 各不相同，我们要求的权是一组三角组列 n 。，1 i n ，n 1 ) ，满足： a o = l i ms u p a o ，n o 。，( 0 1 ) 其中 1 n 1 n a ：，n 2i b a n , t l 。( 1 o ) ， e e x p ( h 五。1 7 ) o 。 并让( n 。1 i m n 1 ) 是满足( o1 ) 的三角组列( 1 0 时g ( z ) 0 ，l i n l z + o 。c i ( x ) = g ，i = 1 ，2 且e 1 + c 2 0 容易知道具有这样性质 的分布数必定是属于指数为n ( 0 ，2 ) 的稳定分布g 。的吸引场的，因为此时可以找n - 个 独立同分布的随机变量序列 j ，礼1 ) 及常数a 。r ，b 。 0 使得 s n f - a 与吼 7 其中晶= ；：1 妊 很多作者已经对稳定分布吸引场进行了研究，例如祁永平和成平( 1 9 9 6 ) ，c h e np i n g y a l ( 2 0 0 1 ) ，陈平炎和陈清平( 2 0 0 3 ) 。在c h e np i n g y a n ( 2 0 0 1 ) 中得到了具有稳定分布的独立同 分布随机变量序列的加权和的极限性质，而且得出有关妒一混合随机变量序列的重对数律， 而下面的定理指出c b e np i n g y a n ( 2 0 0 1 ) 的结果对于稳定分布吸引场中垆一混合随机变量序 列的加权和同样成立： 定理0 2 1 ( ，n 1 ) 是同分布的妒一混合序列，其共同分布f 满足( o 2 ) 当l n 2 时，设e x i = 0 当l o 0 是非降函数，则 以概率1 ，有 i ms u ”峰揣掣锻。一：。嵩辔器 j i j 第三章不同稳定分布吸引场中妒一混合随机变量序列加权和的极限性质 在第二章中我们已经得到了同一稳定分布吸引场中妒混合随机变量序列加权和的极限 性质，在本章中我们将讨论不同稳定分布吸引场中妒混合随机变量序列的加权和，而且得 到了如下的结论： 定理0 3 x n ，n 1 ) 是妒一混合序列，具有分布函数f l 和岛均满足( 0 2 ) ，即分别属 于指数为d 1 ，。2 的稳定分布吼。，g 。的吸引场，其中0 0 1 1 0 2 2 令r 1 = 【n 。z 】，如果 e x 。存在，就令e x 。= 0 。如果1 茎0 2 2 则另设混合系数满足条件。o o ：1 妒1 2 ( 2 “) 0 是非降函数，则以 概率1 ，有 l i 。m 。s 。u 9 丽t 默而= ：订h ( k 丽n ) x k 第四章破产概率的随机分析 。一。高群詈 在这一章中总括的介绍了几篇文章中有关破产概率的结果，并相应的介绍了与破产概率 相关的概念及性质虽然破产概率的定义是不变的，但是在不同的模型下破产概率具有不同 的具体表现形式，本章中的几篇文章分别从不同的角度，讨论了破产概率的相关性质在介 绍的同时提出了自己的几个想法，虽然没有去证明，我想还是有一定的去研究的价值的，在 我将来的学习工作中我会继续关注这方面的发展，进一步去研究破产概率 x no x ns x 。jx p a a n q d 本文使用缩写 几乎必然地 随机变量序列x n 几乎必然收敛于随机变量x 随机变量序列依概率收敛于随机变量x 正相伴 负相伴 负象限相依 a b s t r a c t t h i st h e s i si sf i n i s h e du n d e rt h eg u i d a n c eo fm yt u t o r ，p r o f e s s o rs uz h o n g g e n i tc o n s i s t s o ff o u rc h a p t e r s ：i nc h a p t e r1w ew i l ls t u d yt h ew e i g h t e ds u m so ft h el i n e a rn q dr a n d o m s e q u e n c e ja n dp r o v et h a tt h es t r o n gl a wo fl a r g en u m b e r ss t i l lh o l d sf o r t h el i n e a rn q d r a n d o ms e q u e n c et h er e s u l t sc a nb er e g a r d e da st h eg e n e r a l i z a t i o no ft h ec a s eo fi id r a n d o mv a r i a b l e ss e q u e n c e i nc h a p t e r2w ew i l ls t u d yt h e 妒一m i x i n gr a n d o ms e q u e n c ea n d o b t a i ni t sl i m i t i n gb e h a v i o u rm e n t i o n e di nc h e np i n g y a n ( 2 0 0 2 ) ，a n do b t a i nt h ec h o v e r 8 l a wo ft h ei t e r a t e dl o g a r i t h mf l i l ) f o rt h ep a r t i a ls u m so ft h es e q u e n c ed i s c u s s e di nt h i s c h a p t e r i nc h a p t e r3w ew i l lg e n e r a l i z et h er e s u l t so fc h a p t e r2a n do b t a i nt h es i m i l a r l i m i t i n gr e s u l t s a tl a s t ，w ew i l lg i v eab r i e fr e v i e wo ft h er u i np o r o b a b i l i t yr e l a t e ds t o c h a s t i cp r o c e s s ，a n ds o m er e m a r k sa n do p e np r o b l e m sa r ep r e s e n t e d 第三章不同稳定分布吸引场中妒一混合随机变量序列加权和的极限性质 在第二章中我们已经得到了同一稳定分布吸引场中妒混合随机变量序列加权和的极限 性质，在本章中我们将讨论不同稳定分布吸引场中妒混合随机变量序列的加权和，而且得 到了如下的结论： 定理0 3 x n ，n 1 ) 是妒一混合序列，具有分布函数f l 和岛均满足( 0 2 ) ，即分别属 于指数为d 1 ，。2 的稳定分布吼。，g 。的吸引场，其中0 0 1 1 0 2 2 令r 1 = 【n 。z 】，如果 e x 。存在，就令e x 。= 0 。如果1 茎0 2 0 ( ，y 0 ) e e x p ( h x 1 7 ) o o ( 1 1 ) 常数三角组列 a n 。1 茎i n ，n 1 ) 满足 a 。= l i ms u p a 。，。 o o ， ( 1 2 ) 其中 a ：，。= i l a n 。1 8 ( 1 a 2 ) ，a 。，。= ( ：! i i a 。，i l 。) ( 1 a 2 ) 1 n 1 n ；1 o t 一1 那么 ( i ) 当0 1 ，且6 。= n i l ( 1 0 9 n ) i 1 + 6 时， 去蚤一s 其中，6 = 1 一一卫l + ( x 7 - - 。 本文主要是讨论相依随机变量的情形，首先给出几个相关的定义： 定义1 2 称随机变量x 和y 是n q d ( n e g a t i v e l yq u a r d r a n td e p e n d e n t ) 的，如果 又寸v z ，r ， p ( x 。：y y ) 曼p ( x o ) ， e e x p ( h i x i ) o o ( 1 3 ) 并让 a 。1si 冬n ，n 1 ) 是满足( 12 ) 的三角组列( 1 0 ，墨，j d “砜一0 1 e ) z ，y y ) p ( x 。) p ( y y ) 对于任给的z ，y r 均成立。 ( i i i ) 如果，9 同为非降( 或非增) 函数，则f ( x ) 和9 ( r ) 仍为n q d 的。 推广的k o l m o g o r o v 型不等式： 引理22 【4 设 ，礼1 ) 是两两n q d 列，e x n = 0 ，e 霹 0 ) 使得 e e x p ( h l 蜀1 7 ) 0 3 ， 礼芝1 ( 1 4 ) x n i ，1 i n ，n 芝1 ) 满足对每个扎是线性n q d 序列，且e x 。= 0 ( 1 i 扎2 1 ) ； a 。1 i ? 1 ，n 1 ) 是满足a 。 2 e ) 2 e ) p “n 未墨“+ n i 瓦“ 2 e ) o = 1t = 1z = 1 nn p ( o 嘉“ ) + p ( i n i 。l e ) z = 12 = 1 所以只要有 o onc on p ( i a + i x m i e ) e ) 0 ，根据引理2 4 有 nn e i ie t a n + ；。n 2 茎i ie e “：x m ， i = 1i = 1 故根据柯尔莫哥洛夫不等式有 p ( o 去墨。 e ) = p ( e 。：，i x nz e “) se “e e e 1n i x n z = e - t 5 e e “未l e 一“i ie e 。毫。， 又对于v z r ，e 。1 + 茁+ ；z 2 e i “。对于给定的 0 ，t 0 ，并令t = 2 l o g n 。 又由于v x r ，6sd ( e 8 ) 。所以 e e 缸轰x n t 1 十e t a + i x , ：。+ e ( ；( t o 赢。k 。) 2 e 忙n 嘉x n t 【) 1 + 。1 _ t 2 ( a 矗) 2 e x ：i e i “n 4 - t x “i = 1 + 三( 1 0 9 佗) 2 ( o 毛) 2 e ( 霹。e i ! ! 竽。熹。圳) ，+ 墨咄s n 者涤聃卜孔陇p ，+ 暑咄s n 者酶鼬i 卜4 外兰咄s n 毒海胪 浙江大学硕士学位论文第一章线性n q d 随机变量序列加权和的强大数定律 所以 从而 + 。( - ) 。s 凡芝耍! i ；善于e e 川x “4 s1 + i l l 。g n 蔚( a + - v e 2 1l o 。n 蹉( a 。 ：( i n ) 赢2 ) 用一。代i 同样可得 p ( o 去墨。 e ) s 扎_ 3 2 尸( n 去； ) 。 n = li = 1 p ( n 土t 一) s ) o ) 0 ，有e e x p ( h , l x , d v ) 。，故 e 霹 ) ，由于 矗，n 1 ) 是线性n q d 的，所以 x , 。( 1 0 9 n ) ；，n 1 也是两两n q d 的，所以 p ( x , t ( 1 0 9n ) + ，五。( 1 0 9m ) + e ) 兰p ( x n ( 1 0 9n ) e ) p ( x m ( 1 0 9m ) ； e 1 即 p ( a 。a 。) sp ( a 。) p ( a 。) 所以由推广的b o r e l c a n t e l l i 引理有器1p ( a 。) e ( 1 0 9 n ) ) o 。 用一代替，同样有 p ( 瓦 一( 1 0 9 n ) ；) e ( 1 0 9 n ) ) e ( 1 0 9 n ) ) n ) ( d o n = l 所以e e x p ( h l x l 川 。从而e i x - i 。且e x t = 0 。因为利用定理的充分条件 有 n a n ( 五一e x d a 。斗0 os 0 = 1 故 又 n n a , , i x j b 。- a n i e x 。b 。 ；= 1 2 = 1 a n i 五k 啊0 o 8 浙江大学硕士学位论文第一章线性n q d 随机变量序列加权和的强大数定律 从而 n n 口。e 五- o8 矗e x i n 。- 0 8 。s t = lt = 1 取a 。= 1 ，1 i n ，贝0 有 n e x l t , 。_ 0n s 号n 1 一e x l ( 1 0 9 n ) - 0 d 8 又因为1 o t 2 ，所以0 1 1 as1 2 ，从而必有e x l = 0 证毕! 在同分布的条件下我们可以得到一个强大数律的充要条件，但是如果随机变 量序列并不是同分布的，那么我们就不能简单的得出一个充要条件。然而我们 在实际中更需要的是：随机变量序列在什么条件下是几乎处处收敛的。我们的 定理给出了一个收敛的充分条件。 浙江大学硕士学位论文第二章 稳定分布吸引场中妒一混合随机变量序列加权和的极限性质 9 第二章稳定分布吸引场中妒一混合随机变量序列加权和的极限性质 52 1引言 随机变量的加权和在数理统计和经济学等学科中有广泛的应用，从而就有必 要对它的收敛性进行研究。对于独立同分布随机变量的加权和的n s 收敛性已 有较完善的结果近来陈平炎又给出了具有稳定分布的独立同分布随机变量序 列加权和的极限结果，并得出妒一混合随机变量序列的重对数律当 岛，n 三1 ) 是独立同分布的随机变量序列时，l i 和t o m k i n s ( 1 9 9 6 ) 证明了如下结果： n i ns u p 蹄箍裂= ( h 2 d x ) 啦 当且仅当e e l = o 且e = 1 。 称随机变量x 服从指数为。( o 。 2 ) 的对称稳定分布，如果它的特征函数 为： e e x p ( i t x ) = e x p ( 一i t l 。) vt r 这样的随机变量甚至不具有阶矩，所以l i 和t o m k i n s ( 1 9 9 6 ) 的结果对于一列独 立同分布于指数为a ( o 口 2 ) 的对称稳定分布的随机变量来说就不成立。但是 对于部分和，c h o v e r ( 1 9 6 6 ) 证明了： h 。i i + ls 。u pi 掣i v 。唱1 唱哪= e v 。s 这就是著名的c h o v e r 型重对数律。具有稳定分布的独立同分布随机变量序列加 权和有如下结果： 定理【q 令 x ，n 1 ) 是独立同分布于具有指数a ( o 0 时c i ( x ) 0 ，l i r a 。_ + o 。c i ( z ) = g ，i = 1 ，2 且c 1 + 晚 0 容易知道具有这样 性质的分布数必定是属于指数为n ( 0 ，2 ) 的稳定分布g 。的吸引场的，因为此时 可以找到一个独立同分布的随机变量序列 ，n 1 1 及常数a 。r ，b 。 0 使得 盟与g。，bn 其中s = ：，凰 在给出本文的主要结果之前，先引进几个记号： b v 0 ，1 是指 o ，1 上的有界变差函数，b 0 ，1 是指 o ，1 上的有界函数，c 是正 常数并且在不同的地方可以代表不同的值 定理2 1 2 ( ，n 1 ) 是同分布的妒一混合序列，其共同分布f 满足( 2 1 ) 当 1 “ 2 时，设e x = 0 当1 n 0 是非 浙江大学硕士学位论文 第= 章 稳定分布吸引场中妒混合随机变量序列加权和的极限性质1 1 降函数，则以概率1 ，有 n m s u p 篇裂邓。目：。高臀蓦 2 2相关引理 为了证明的方便，首先给出几个引理。 引理22 】和引理2 2 2 分别是关于妒一混合序列的。一l 律和b o r e l c a n t e l l i 引 理，可参见 1 0 1 引理2 2 1 设 x 。，n 1 ) 是一妒一混合序列，记声- - 。o c ：。，罾即 ，n 1 ) 的 尾盯一域若b p ，则p ( s ) = 0 或1 引理2 2 2 设 墨，佗1 ) 是一妒一混合序列， 凡= a ( ) ，n 1 ) 是a 一域 序列，那么对任意的a 。r ，由是1 p ( a 。) = o 。可推出p ( a 。，i o ) = 1 而且 p ( a 。，i o ) = 0 铮墨1p ( a 。) 0 ，使 得 规9 ( z ) = 0 0 ， 且 r o 。d x ，顽；丽5 “ 引理2 2 5 设 ，n 三i ) 是同分布的妒一混合序列，其共同分布f 满足( 21 ) ，当 1 “ 2 时，设e x 。= 0 当1 墨n 2 时，另设 昆合系数满足条件是19 1 2 ( 2 “) 0 是非降函数，则当铲d x x f ( x ) 。时有 l i 。m 。s 。u p 可m a x 丽l 丽k _ n i s k l i l l s u= o 。s 1 1 。可取矿刮吼9 浙江大学硕士学位论文第二章稳定分布吸引场中妒一混合随机变量序列加权和的极限性质1 2 证明：根据陈平炎【8 】中的结论有 ：。高 0 ，存在n ，使得n n 时， 1 品i ，g ( n ，( n ) ) “、2 从而 l l l & , x l 一 k 一 nl s k l m a x l 一 k 一 ni s k l m a x n 一 k 一 。 s k i 1 订葡_ 弋订葡- 十 万砑。严- 互+ j 所以 n 。i l 等l stlills t l 错一o n 。+ 。p 1 丽面丁矿2 u 证毕 52 3结论的证明以及相关推论 定理2 1 2 的证明 a ) 当j f d x x f ( x ) o o 时，我们有 | h ( k n ) x k i = i ( ( 佗) 一忍( ( + 1 ) 礼) ) & + h ( 1 ) s i l 。f 。f l a x 吲( i h ( k n ) 一 ( ( + 1 ) n ) l + i h ( 1 ) k ) 又heb v o ，1 所以存在正常数c ，使得k n ：- - l h ( k n ) 一 ( ( + 1 ) n ) i + l ( 1 ) i c 那 么根据引理2 2 5 就有 m 。s 。u p 上里；带ah 。m 。s 。u p ! 黼= 。n s b ) 当铲d x x f ( x ) = c o 时，我们首先来证明如下的o - 1 律 p ( 1 i 。m 。s 。u pl 三蔷舻= d 0 ) = 。或1 ， ( z z ) 其中d o 0 ，。 根据引理22 1 对某个d o 0 ，。 有 p ( 1 i 。m s 。u p ：。m 。! a ：x 。+ 。l 至垒孑旁拶= d 0 ) = 。或 浙江大学硕士学位论文第二章稳定分布吸引场中妒一混合随机变量序列加权和的极限性质1 3 所以我们只需证明 i。m+s。up。m。!a。x。+1_兰j；铲=。n s 对于某个0 e ， 三p ( m a 。x 。l h ( z ) i 圣俐 c ( 2 “，( 1 ) ) v 。) c 2 - ；、m a f ( l 瓦n 又根据具有稳定分布的随机变量的性质存在小于。的任意阶矩，故 m g 2 - 概7 。e ( i x k l ) 1 g m 2 - ) m 8 + 。， m = l k = l m = 1 i 。m 。s 。1 l i msup。n。!gl。x。+，上三繁竽=02f。s 坚孥g 姿掣：o s m _ o om g ( n ，( n ) 9 ( n ) ) 1 加) g ( m ) 删“) 2 三丽褊2 o 。， 这就产生了矛盾，所以开始的假设不成立，即应有 n 。r n 。s 。u pl 三紊舻= + 。m s 至此定理2 1 2 证毕 从定理212 出发可以得到如下的推论： 推论2 3 1 在定理2 1 2 的条件下，对每个6 0 有 h i i l s u p 警掣一。一 眨s ， 且 。i l 。ls 。o p 上至；挚= + o 。m s ( 。a ) 进一步就有 l i m 。+ s 。e t pi i ；! 二铲1 1 l 。s l 。s n = e 1 。n s ( 25 ) 定理2 1 3 的证明注意到在证明定理21 2 铲d x x f ( x ) = 。的情形时，仅 用到了条件i h o ) l c ，所以定理21 3 铲d 。：x f ( x ) = 0 0 情形的证明完全可以套 用定理2 1 2 的证明，故在此不在重复，我们只证明fd x x f ( x ) 0 0 时的情形 由于i n 。 ( n ) x - j m a x 0 。! ，：。1 恧i 所以我们只需证明 h ms u p 黥鼎一。一 s ， 令k = i x 。x 。断。，( n ) ) ，。) ，磊= i x 。i ( 。m ) ) - a ) 那么根据( 21 ) 式有 n = l p o ) = 。ep ( 刚( n ，( n ) ) v 。) 2 三斋 o 。 r = i 1 ”、 浙江大学硕士学位论文第二章稳定分布吸引场中p 混合随机变量序列加权和的极限性质1 5 又将 ，n 1 进行如此的截尾以后，相应的 k ，n 1 ) ， 磊，n 1 ) 仍是 妒混合随机变量序列，则根据引理2 2 2 有p ( k 0 ，。0 ) = 0 所以 n k = o ( ( n l ，( n ) ) 1 。) n s = l 所以现在只需证明 邑= o ( ( n ，( 礼) ) 1 7 。) 。s 根据k r o n e c k e r 引理我们只需证明罂lz j ( n f ( n ) ) “ 。n s 即可又 虽z l , 斋蒜：曼坐黜巡 。：l ( n ，( 佗) ) 1 “n 厶= l ( n ，( n ) ) 1 。 s 三赤荟( 2 m ) ) v 。尸( ( ( 2 1 ) m 一1 ) ) v 。s i x li ( 2 m ) ) 叫。) 2 三( 州叫。p ( ( ( 2 叫m 一1 ) ) v 。i x l l ( 州2 ) ) 1 1 0 ) 至丽赫 c p ( ( ( 一1 ) f ( k 一1 ) ) 1 7 。l x l i ( ，( 七) ) 1 。) c p ( i x , i ( k ，( ) ) 1 。) ， 而根据( 2 1 ) 有 e 轰p ( i x t i ( 。，( 。) ) v 。) = g 著( 1 一f i ( 2 ，( 。) ) 叫。 ) = g 轰万高 l ( 瑟；l n 。一。啪一1 i + 1 a n n l ) o c ； ( b ) 存在两个递增序列 n ( ) ，k 1 ) 和 m ( ) ，r 三1 ) 使得s u p ( ”( + 1 ) 一n ( ) ) 0 那么由上面的证明方法可知，将h ( k 礼) 换作a 。t 定理2 1 2 和定理2 13 均成 立，从而相应的推论也成立 如果令n 。t = h ( i n ) 则有 浙江大学硕士学位论文第二章稳定分布吸引场中妒一混合随机变量序列加权和的极限性质1 6 定理2 3 1 墨，n 1 ) 同定理2 1 2 中的要求，令h b 0 ，1 】并对某个0 0 有 h 1 t is u p 犄器掣= 。叫 进一步就有 1 i m s u pi 坠翼竖1 1 l o g l 。g n = e 1 s 至此，我们以推论的形式给出了具有同分布的稳定分布吸引场中的妒一混合随 机变量序列加权和的c h o v e r 型重对数律而且可以看出根据积分兰去的收 r o 。“t j 1 茁r i 】 敛情况，我们的加权和# 凑萨的上极限只能是。或者是+ ，从而我们可 浙江大学硕士学位论文第三章不同稳定分布吸引场中妒一混合随机变量序列加权和的极限性质1 7 第三章不同稳定分布吸引场中妒一混合随机变量序列加权和的极 限性质 53 1引言 陈平炎( 2 0 0 2 ) 给出了具有稳定分布的独立同分布随机变量序列加权和的极限 性质，陈平炎和陈清平( 2 0 0 3 ) 又得到了c p 混合随机变量序列的重对数律在第 二章中得到了稳定分布吸引场中妒一混合随机变量序列加权和的相应于陈平炎 ( 2 0 0 2 ) 的极限性质，并以推论的形式得出了c h o v e r 型重对数律，在本章中我们将 对稳定分布吸引场中p 混合随机变量序列加权和的极限性质作进一步的研究 在这一章中主要是讨论不同稳定分布吸引场中妒一混合随机变量序列的情形， 但是我们仅讨论具有两个不同稳定分布吸引场的随机变量为了清晰起见我们 再熟悉一下几个相关的概念： 定义3 3 1 ( x n ，n 1 是一随机变量序列，记，孑= a ( 五，n i 茎m ) 定义妒一混 合系数如下 妒( n ) = s u p ，1s u p i p ( b i a ) 一尸( 口) i ：a 乒 ，b ，薄。，p ( a ) o ) ， 如果【p ( n ) 斗0 ( n - 。) ，就称序列 ，n 1 是妒一混合随机变量序列 虽然本文要讨论的妒一混合随机变量序列是不同分布的，但分布函数都具有如 下的性质： f ( 一茁) ：掣，1 一f ( z ) ：掣，z o ， ( 31 ) 其中z 0 时g ( z ) o ，l i m 。o 。c i ( z ) = a ，i = 1 ，2 且q + c 2 0 容易知道具有这 样性质的分布函数必定是属于指数为“( 0 2 ) 的稳定分布g 。的吸引场的，因为 此时可以找到一个独立同分布的随机变量序列 x 。，佗1 ) 及常数a 。r ，b 。 0 使得 s n - - a n 与g 。，b n u ， 其中& = ：。旭 在本文中b o ，1 是指 o 1 上的有界函数，c 是正常数并且在不同的地方可以 代表不同的值 浙江大学硕士学位论文第三章不同稳定分布吸引场中p 混合随机变量序列加权和的极限性质1 8 在上一章中所得到的结果如下： 定理 甄，诧21 ) 是同分布的妒一混合随机变量序列，其共同分布f 满足 ( 31 ) 当1 n 2 时，设e x l = 0 当1 墨血 2 时，另设混合系数满足条件 墨。妒1 2 ( 2 “) 0 是非降函数，则以概率1 ，有 n ms u p 篇掣书。一。嵩辔器 我们将在这个结果的基础上证明本章的结论 3 2主要结果及相关引理 我们令只。( 。) 表示 x k ，1sk n ) 中具有分布函数f l 的随机变量的相应加 权和，s t 2 ( 。) 则表示 托，ls sn 中具有分布函数f 2 的随机变量的相应加 权和，即有s 。( 。) + s t 2 ( 。) = z ：，h ( k n ) x k 而丁1 ( n ) ，丁2 ( n ) 分别表示随机变量序列 ( 瓦、1 s 扎) 中具有分布函数蜀，玛的随机变量的个数 我们要讨论的是：以两个不同的稳定分布吸引场中的分布函数为分布函数的 随机变量序列是否仍具有上一章所得到极限性质? 在这一章我们证明了如下的 结论： 定理3 2 1 ，竹21 ) 是妒一混合随机变量序列，具有分布函数日和玛均满 足( 3 1 ) ，即分别属于指数为，o 。的稳定分布的吸引场，其中0 。，。 2 令t 1 = n 。肛z ，如果e x 。存在，就令e = 0 如果1 。 2 则另设混合系数满 足条件罂1 妒1 2 ( 2 “) 0 是非降函数，则以概率l ，有 h ms u p 紧裂镏。一上。高辔要 为了证明的方便，首先给出几个引理虽然这几个引理在上一章中已经提到， 但是为了清晰起见，我们在这里再次写出来 引理3 2 2 和引理3 2 3 分别是关于妒一混合序列的。一1 律和b o r e l c a n t e l l i 引 理，可参见【l o ， 1 1 引理3 2 2 设 ，n 兰1 ) 是一妒一混合序列，记尸= a n = 1 碍即 x 。，n 1 ) 的尾o - 一域若b ，+ ，则p ( b ) = 0 或1 浙江大学硕士学位论文第三章不同稳定分布吸引场中妒一混合随机变量序列加权和的极限性质1 9 引理3 2 3 设 矗，n 三1 ) 是一p 混合随机变量序列， 只= a ( x 。) ，n21 ) 是 a 一域序列，那么对任意的a 。 ，由甚l p ( a 。) = 可推出p ( a 。，i o ) = 1 而 且p ( a 。，i o ) = 0 营甚1 p ( a 。) 0 ，使 得 3 骢9 ( 。) 2 o 。， 且 r o 。d 茁 ，孑两丽2 “ 引理3 2 6 是我们在证明中所要用到的一个结果，为了方便在此以引理的形式 给出 引理3 2 6 瓦，凡1 ) 是定理3 2 1 中所指出的妒一混合随机变量序列，具有属 于两个不同稳定分布吸引场中的分布函数可以取x 。的分布函数是属于指数为 a ，的稳定分布吸引场，在俨d x x f ( x ) = o o 时，我们有 o o p ( l m ( n ) l a 2 ( ，( 佗) ) 1 “) = 。 ( 3 2 ) n = l 证明： p ( i 矗i m (