清北学堂 2014年五一高中物理竞赛提高班入学测试答案

2014 年五一 高中 物理竞赛 提高 班 入学测试 答案 试卷说明 本测试与 2014 年全国中学生物理竞赛复赛难度相当，并与实际授课难度接近。希望学员经由本试卷了解物理竞赛复赛题型及难度，对 14 年 9 月全国中学生物理竞赛预赛举办之前的学习进度给出合理安排。 如有学员希望单独得到金牌助教们的阅卷及分析，请通过邮箱与我们取得联系。方式 1：将自测结果（推荐直接在原试卷上给出答案）以照片或扫描件的形式发送。方式 2：将自测答案单独以 excel 或 word 形式发送。我们会在收到答案的两周内进行评阅并进行个性化分析。 清北学堂集中培训课程 入学测 试答 案 （ 2014 年 五一 集中培训课程使用） QBXT/JY/RXCSDA2014/4-6 2014-4-5 发布 清北学堂教学研究部 清北学堂学科邮箱 自主招生邮箱 数学竞赛邮箱 物理竞赛邮箱 化学竞赛邮箱 生物竞赛邮箱 理科精英邮箱 清北学堂官方博客 /tsba 清北学堂微信订阅号 学习资料最新资讯 清北学堂集中培训课程 课程 入学测试 答案 北京清北学堂教育科技有限公司 第 2 页 2014 年 五一高中 物理竞赛 提高 班 入学测试 答案 一、 （ 20 分）有一个摆长为 l 的摆 (摆球可视为质点，摆线的质量不计 )，在过悬挂点的竖直线上距悬挂点 O 的距离为 x 处 (xl)的 C 点有一固定的钉子，如图所示，当摆摆动时，摆线会受到钉子的阻挡 。 当 l 一定而 x 取不同值时，阻挡后摆球的运动情况将不同 。 现将摆拉到位于竖直线的左方 (摆球的高度不超过 O 点 )，然后放手，令其自由摆动，如果摆线被钉子阻挡后，摆球恰巧能够击中钉子，试求 x 的最小值 。 【参考解答】 摆线受阻后在一段时间内摆球作圆周运动，若摆球的质量为m ，则摆球受重力 mg 和摆线拉力 T 的作用，设在这段时间内任一时刻的速度为 v ，如图预解 20-5 所示。用 表示此时摆线与重力方向之间的夹角，则有方程式 2cos mvT mg lx（ 1） 运动过程中机械能守恒，令 表示摆线在起始位置时与竖直方向的夹角，取 O 点为势能零点，则有关系 21c os ( ) c os ) 2mgl mv mg x l x （ 2） 摆受阻后，如果后来摆球能击中钉子，则必定在某位置时摆线开始松弛，此时 T 0，此后摆球仅在重力作用下作斜抛运动。设在该位置时摆球速度 0vv ，摆线与竖直线的夹角 0 ，由式（ 1）得 200( ) cosv g l x （ 3） 代入（ 2）式，求出 02 c o s 3 ( ) c o s 2l x l x （ 4） 要求作斜抛运动的摆球击中 C 点，则应满足下列关系式： 0 0 0( ) sin co sl x v t（ 5） 20 0 0 1( ) c os sin 2l x v t gt （ 6） 利用式（ 5）和式（ 6）消去 t ，得到 清北学堂集中培训课程 课程 入学测试 答案 北京清北学堂教育科技有限公司 第 3 页 22 00 0( ) sin2 cosg l xv （ 7） 由式（ 3）、（ 7）得到 0 3cos 3 （ 8） 代入式（ 4），求出 ( 2 3 ) 3a r c c o s 2xll （ 9） 越大， cos 越小， x 越小， 最大值为 /2 ，由此可求得 x 的最小值： (2 3) 3xl 所以 (2 3 3) 0 .4 6 4x t l （ 10） 二、 （ 15 分）蛇形摆是一个用于演示单摆周期与摆长关系的实验仪器（如图所示）。若干个摆球位于同一高度并等间距地排成一条直线，它们的悬挂点在不同的高度上，摆长依次减小。设重力加速度 g=9.80m/s2。 1. 试设计一个包含十个单摆的蛇形摆（即求出每个摆的摆长），要求满足：（ a）每个摆的摆长不小于 0.450m，且不大于 1.00m；（ b）初始时将所有摆球由平衡点沿 x 轴正方向移动相同的一个小位移 x0（ x00.45m），然后同时释放，经过 40s 后，所有摆能够同时回到初始状态。 2. 在上述情形中，从所有的摆球开始摆动起，到它们的速率首次全部为零所经过的时间为。 【参考解答】 （ 1） 以 li 表示第 i 个单摆的摆长， 由条件 (b)可知每个摆的周期必须是 40s 的整数分之一，即 402 iiilT gN（ Ni 为正整数） 可得，各单摆的摆长 22400i igl N 依题意， 0.450m 1.000mil ，由此可得 清北学堂集中培训课程 课程 入学测试 答案 北京清北学堂教育科技有限公司 第 4 页 2 0 2 0 0 .4 5i ggN 即 20 29iN 因此，第 i 个摆的摆长为 22400(19 )i gl i （ i=1,2, ,10） i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 li/m 0.993 0.901 0.821 0.751 0.690 0.635 0.588 0.545 0.507 0.472 （ 2） 各摆的初始位置为最大振幅位置，速度为零，下一次速度全部为零经历半个周期的整数倍，则最小的半公周期为 40/2=20s，即经过 20s 首次速度全部为零。 三、 （ 25 分） 嫦娥 1 号奔月卫星与长征 3 号火箭分离后，进入绕地运行的椭圆轨道，近地点离地面高 22.05 10nH km ，远地点离地面高 45.09 30 10fH k m，周期约为 16小时，称为 16 小时轨道（如图中曲线 1 所示）。随后，为了使卫星离地越来越远，星载发动机先在远地点点火，使卫星进入新轨道（如图中曲线 2 所示），以抬高近地点。后来又连续三次在抬高以后的近地点点火，使卫星加速和变轨，抬高远地点，相继进入24 小时轨道、 48 小时轨道和地月转移轨道（分别如图中曲线 3、 4、 5 所示）。已知卫星质量 32.350 10m kg，地球半径 36.378 10R km，地面重力加速度 29.81 /g m s ，月球半径 31.738 10r km。 1. 试计算 16 小时轨道的半长轴 a 和半短轴 b 的长度，以及椭圆偏心率 e。 2. 在 16 小时轨道的远地点点火时，假设卫星所受推力的方向与卫星速度方向相同，而且点火时间很短，可以认为椭圆轨道长轴方向不变。设推力大小 F=490N，要把近地点抬高到 600km，问点火时间应持续多长？ 3. 试根据题给数据计算卫星在 16 小时轨道的实际运行周期。 4. 卫星最后进入绕月圆形轨道，距月面高度 Hm 约为 200km，周期 Tm=127 分钟，试据此估算月球质量与地球质量之比值。 【参考解答】 1. 椭圆半长轴 a 等于近地点和远地点之间距离的一半，亦即近地点与远地点矢径长度（皆指卫星到地心的距离） nr 与 fr 的算术平均值，即有 清北学堂集中培训课程 课程 入学测试 答案 北京清北学堂教育科技有限公司 第 5 页 n f n f n f1 1 12 2 2a r r H R H R H H R (1) 代入数据得 43.1946 10a km (2) 椭圆半短轴 b 等于近地点与远地点矢径长度的几何平均值，即有 nfb rr (3) 代入数据得 41.942 10 kmb (4) 椭圆的偏心率 a bae 22 (5) 代入数据即得 0.7941e (6) 2. 当卫星在 16 小时轨道上运行时，以 nv 和 fv 分别表示它在近地点和远地点的速度，根据能量守恒，卫星在近地点和远地点能量相等，有 22nfnf1122G M m G M mmmrr vv (7) 式中 M 是地球质量， G 是万有引力常量 . 因卫星在近地点和远地点的速度都与卫星到地心的连线垂直，根据角动量守恒，有 n n f fm r m rvv (8) 注意到 gRGM2 (9) 由 (7)、 (8)、 (9)式可得 fnn f n2r g Rr r r v (10) nnfnf f f n2rr g Rr r r r vv (11) 当卫星沿 16 小时轨道运行时，根据题给的数据有 nnr R H ffr R H 由 (11)式并代入有关数据得 f 1.198v km/s (12) 依题意，在远地点星载发动机点火，对卫星作短时间加速，加速度的方向与卫星速度方向相同，加速后长轴方向没有改变，故加速结束时，卫星的速度与新轨道的长轴垂直，卫星所在处将是新轨道的远地点 .所以新轨道远地点高度 4ff 5 .0 9 3 0 1 0HH km，但新轨道近地点高度 2n 6.00 10H km.由 (11)式，可求得卫星在新轨道远地点处的速度为 f 1.230v km/s (13) 卫星动量的增加量等于卫星所受推力 F 的冲量，设发动机点火时间为 t，有 ffm F t vv (14) 由 (12)、 (13)、 (14)式并代入有关数据得 t= 21.5 10s (约 2.5 分钟 ) (15) 这比运行周期小得多 。 3. 当卫星沿椭圆轨道运行时，以 r 表示它所在处矢径的大小， v 表示其速度的大小， 表清北学堂集中培训课程 课程 入学测试 答案 北京清北学堂教育科技有限公司 第 6 页 示矢径与速度的夹角，则卫星的角动量的大小 sin 2L rm mv (16 ) 其中 1 sin2 r v （ 17） 是卫星矢径在单位时间内扫过的面积，即卫星的面积速度 .由于角动量是守恒的，故 是恒量 .利用远地点处的角动量，得 ff12r v (18) 又因为卫星运行一周扫过的椭圆的面积为 S ab (19) 所以卫星沿轨道运动的周期 ST (20) 由 (18)、 (19)、 (20) 式得 ff2abT r v (21) 代入有关数据得 45.678 10T s (约 15 小时 46 分 ) (22) 注： 本小题有多种解法 ，例 如，由开普勒第三定律，绕地球运行的两卫星的周期 T 与 T0 之比的平方等于它们的轨道半长轴 a 与 a0 之比的立方，即 2300Ta 若 0a 是卫星绕地球沿圆轨道运动的轨道半径，则有 202002G M m maaT 得 2 220320 4 4Ta GM gR 从而得 2aaT Rg 代入有关数据便可求得 (22)式 。 4. 在绕月圆形轨道上，根据万有引力定律和牛顿定律有 2m m2mm2()G M m mrrT (23) 这里 mmr r H 是卫星绕月轨道半径， mM 是月球质量 . 由 (23)式和 (9)式，可得 23mm 22m4 rMMgR T (24) 代入有关数据得 m 0.0124MM (25) 四、 （ 20 分） 如图所示，三个绝热的、容积相同的球状容器 A、清北学堂集中培训课程 课程 入学测试 答案 北京清北学堂教育科技有限公司 第 7 页 B、 C，用带有阀门 K1、 K2 的绝热细管连通，相邻两球球心的高度差 1.00mh 。 初始时，阀门是关闭的， A 中装有 1mol 的氦（ He） ， B 中装有 1mol 的氪（ Kr） ， C 中装有 lmol的氙（ Xe），三者的温度和压强都相同 。 气体均可视为理想气体 。 现打开阀门 K1、 K2，三种气体相互混合，最终每一种气体在整个容器中均匀分布，三个容器中气体的温度相同 。 求气体温度的改变量 。 已知三种气体的摩尔质量分别为 31He 4 .0 0 3 1 0 k g m o l 在体积不变时，这三种气体任何一种每摩尔温度升高 1K，所吸收的热量均为 3/2R ， R为普适气体常量 。 【参考解答】 根据题设的条件，可知：开始时 A 中氦气的质量 3He 4.003 10 kgm ， B 中氪气的质量 3Kr 83.8 10 kgm ， C 中氙气的质量 3Xe 131.3 10 kgm 。三种气体均匀混合后， A 中的 He 有 1mol3 降入 B 中，有 1mol3 降入 C 中。 He 的重力势能增量为 H e H e H e H e11( ) ( 2 )33E m g h m g h m gh B 中的 Kr 有 1mol3 升入 A 中，有 1mol3 降入 C 中。 Kr 的重力势能增量为 K r K r K r11 ( ) 033E m gh m g h C 中的 Xe 有 1mol3 升入 A 中，有 1mol3 升入 B 中。 Xe 的重力势能增量为 X e X e X e X e11 233E m gh m g h m gh 混合后，三种气体的重力势能共增加 P H e K r X e X e H e()E E E E m m g h 因球与外界绝热，也没有外力对气体做功，故重力势能的增加必然引起内能的减少。在体积不变时，气体不做功。由热力学第一定律可知，此时传给气体的热量应等于气体内能的增量，但因理想气体的内能只由温度决定，与体积无关，故只要温度改变量相同，则体积不变条件下内能的增量也就是任何过程中理想气体内能的增量。根据题给的已知条件，注意到本题中所考察的理想气体共有 3 摩尔，故有 P 33 2E R T 上式中右方为气体内能减少量， T 表示气体温度的增量，由、两式得 Xe He2 ( )9m m g hT R 将已知数据代入，注意到 118.31 J K m olR ，可得 23.3 10 KT 31Kr 8 3 .8 1 0 k g m o l 31Xe 1 3 1 .3 1 0 k g m o l 清北学堂集中培训课程 课程 入学测试 答案 北京清北学堂教育科技有限公司 第 8 页 即混合后气体温度降低 23.3 10 K （如果学生没记住 R 的数值， R 的值可用标准状态的压强 520 1 .0 1 3 1 0 N mp ，温度 0 273.13KT 和 1mol 理想气体在标准状态下的体积 230 2.24 10 mV 求得，即000pVR T ） 五、 （ 20 分）如 图 所示，小虚线框中是由 2n 个 电容器联成的有限网络；大虚线框中是并联的两个相同的无线网络。此无线网络的结构是：从左侧到中间，每个电容器的右极板与两个电容器的左极板相连，直至无穷；从中间到右侧，每两个电容器的右极板与一个电容器的左极板相连，直至连接到一个电容器为止。网络中的所有电容器都是完全相同的平行板真空电容器，其极板面积为 S，极板间距为 d（ 0）的金属薄板沿平行于 a 的极板方向全部插入到电容器 a 中，使金属薄板距电容器 a 左极板的距离为 x。求此时电容器 a 的左极板所带的电荷量。 【参考解答】 （ 1） 每个平行板电容器的电容为 4SC kd 小虚线框内 2n 个平行板电容器的连接方式为每两个并联后再串联，等效为 n 个电容为2C 的电容器串联，其等效电容为 t1 2CC n 大虚线框内等效电容记为 Ct2，由于大虚线框内电容网络为无穷网络，去掉最外层电容后，剩余网络与两个原始网络相同，电容仍为 Ct2，与最外层的连接方式是分别与两个电容为 C 的电容器串联后再并联，即 t2t2t2222C CC CC 清北学堂集中培训课程 课程 入学测试 答案 北京清北学堂教育科技有限公司 第 9 页 解得 t2 2CC 故整个电路的电容 t1 t2tt1 t2CCC 等效电容极板的带电量为 tt ( 4 ) 2SqC n k d 当电容器 a 两极板的距离变为 2d 后， 2n 个平行板电容器练成的网络的等效电容 t1C 变为 t1 631CC n 整个电路的电容变为 t1 t2tt1 t263 1 3CC CC C C n 等效电容极板的带电量变为 tt 3(3 1 3 ) 2SqC n k d 电容器储能变化为 222tt1 ()2 2( 3 13 ) ( 4) 2SU C C n n k d 电池做功为 2tt() ( 3 13 ) ( 4) 2SA q q n n k d 所以外力做功为 22 ( 3 1 3 ) ( 4 ) 2SW U A n n k d （ 2） 插入金属板后，由于静电感应，电容器 a 左极板电荷变为 q，则金属板左侧电荷为 -q，右侧电荷为 Q+q，电容器 a 右极板电荷变为 -(Q+q)。另设与电容器 a 并联的电容器右极板电荷为 qx，由并联两电容器两端电压相等，有 4 4 ( 2 ) 4xq q Q qS S Sk d k d x k x 解得 清北学堂集中培训课程 课程 入学测试 答案 北京清北学堂教育科技有限公司 第 10 页 23x dxq q q Q d 将电容器 a 与同其并联的电容器从小虚线框中分离后，剩余部分等效电容的右极板带电量为 q+qx，由电荷守恒可知大虚线框中等效电容的左极板电荷也为 q+qx。整个电路中电容器两端的电压为电源电动势，即 t2223321xd x d xq Q q Q qddCCCn 最后解得 ( 5 ) ( 2 )( 3 1 3 ) 2 ( 3 1 3 )S n d xqQn k d n d 六、 （ 20 分） 如 图 所示，两个半径不等的用细金属导线做成的同心圆环固定在水平桌面上。大圆环半径为 R1，小圆环表面绝缘，半径为 R2（ R2R2）的 ab 位置，以速度 v 匀速向右沿水平面滑动到相对于大圆环中心与 ab 对称的位置 cd，滑动过程中金属杆始终与大圆环保持密接。假设金属杆和大圆环的电流在小圆环处产生的磁场均可视为匀强磁场。试求在上述滑动过程中通过小圆环导线横截面的电荷量。 提示：当半径为 R、长度为 l 的一段圆弧导线同有电流 I 时，圆弧电流在圆心处产生的磁感应强度大小为2m IlBkR，方向垂直于圆弧所在平面且与圆弧电流的方向满足右手螺旋法则；无限长直导线通有电流 I 时，电流在距直导线距离为 r 处产生的磁感应强度大小为 2m IBkr，其中 km 为已知常量。 【参考解答】 当长直金属杆 在 ab 位置以速度 v 水平向右滑动到时，因切割磁力线，在金属杆中产生由 b 指向 a 的感应电动势 的 大小为 BLv 式中 L 为金属杆在 ab 位置时 与大圆环两接触点间的长度 ，由几何关系 ，并利用 R2R1有 222112 ( ) 2100RL R R 清北学堂集中培训课程 课程 入学测试 答案 北京清北学堂教育科技有限公司 第 11 页 在金属杆由 ab 位置 滑动到 cd 位置 过程中， 金属杆与大圆 环 接触的两点之 间的长度 L 可视为不变 ， 近似为 2R1。故 在金属杆由 ab 滑动到 cd 过程中感应电动势大小 始终 为 12BRv 答图 1 以 I、 I1 和 I2 分别 表示 金属杆 、杆 左 和 右圆弧中 的 电流 ， 方向如 答图 1 所示 ，以 Uab 表示 a、 b 两端的电压 ， 由欧姆定律有 ab 1 1 0 2 2 0U I l r I l r 式中， l1 和 l2 分别为 金属杆左、右 圆弧的弧长 。根据提示， l1 和 l2 中的电流在圆心处产生的磁感应强度的大小分别为 111 21mIlBkR 222 21mIlBkR B1 方向竖直向上， B2 方向 竖直向下。 故 整个 大圆 环电流在圆心 处 产生的 磁感应强度 为 0 2 1 0B B B 无论 长 直金属杆滑 动 到 大圆环上 何处 ， 上述 结论都成立，于是在圆心处只 有 金属杆 的电流 I 所产生 磁场 。 在金属杆由 ab 滑动到 cd 的过程中，金属杆都处在 圆心附近， 故金属杆 可近似视为无限长直导线 ， 由 提示 ， 金属杆 在 ab 位置时 ，杆 中电流产生的磁感应强度大小为 3 12100mIBkR 方向竖直向下。 l 2 l 1 I 1 I 2 a b I d 清北学堂集中培训课程 课程 入学测试 答案 北京清北学堂教育科技有限公司 第 12 页 答图 2 对应 答图 1 的等效电路如 答图 2，杆中的电流 LRLRI RRRRR 其中 R 为金属杆与大圆环两接触点间这段金属杆的电阻， RL 和 RR 分别为金属杆左右两侧圆弧的电阻，由 于 长 直金属杆非常靠近圆心，故 ab 1 02R Rr ， 10LRR R R r 故 得 3 1 1 0800(4 )mk vBB R r r 由于 小圆 环半径 R2R1， 小圆环圆 面 上各点的磁场 可近似视为均匀的， 且都等于长 直金属 杆 在圆心处产生的磁场。当金属杆位于 ab 处时， 穿过 小圆 环 圆面 的磁感应通量为 2ab 2 3RB 当 长 直 金属 杆滑到 cd 位置时， 杆中电流产生的磁感应强度的大小不变，但方向相反，故 穿过 小圆环圆面 的磁感应通量为 2cd 2 3()RB 在长 直金属杆以速度 v 从 ab 移 动 到 cd 的时间 间隔 t 内，穿过 小圆环圆面 的磁感应通量的改变为 2c d a b 2 32 RB 由法拉第电磁感应定律可得，在 小圆 环中产生的感应电动势为大小为 2232i RBtt 在长 直金属杆从 ab 移动 cd 过程中，在 小圆 环 导线中产生 的感应电流为 232 0 02ii RBI R r r t 于是，在时间 间隔 t 内通过 小 环导线横截面的电 荷 量为 2 3 20 1 0 1 0800 ( 4 )mi R B k v B RQ I t r R r r r I I 2 I 1 b a R 左 R ab R 右 清北学堂集中培训课程 课程 入学测试 答案 北京清北学堂教育科技有限公司 第 13 页 七、 （ 20 分） 图中，三棱镜的顶角为 60，在三棱镜两侧对称位置上放置焦距均为30.0cmf 的两个完全相同的凸透镜 L1 和 L2若在 L1 的前焦面上距主光轴下方14.3cmy 处放一单色点光源 S，已知其像 S与 S 对该光学系统是左右对称的 。 试求该三棱镜的折射率 。 【参考解答】 由于光学系统是左右对称的，物、像又是左右对称的，光路一定是左右对称的。该光线在棱镜中的部分与光轴平行。由 S 射向 1L 光心的光线的光路图如图所示。由对称性可知 12ir 21ir 由几何关系得 12 60ri 由图可见 11ir 又从 1FSO 的边角关系得 tan /yf 代入数值得 a r c ta n (1 4 .3 / 3 0 .0 ) 2 5 .4 9 由、与式得 1 30r， 1 55.49i 根据折射定律，求得 11sin 1.65sin in r 清北学堂集中培训课程 课程 入学测试 答案 北京清北学堂教育科技有限公司 第 14 页 八、