（计算数学专业论文）非线性mhd方程的混合有限元方法和最小二乘有限元方法.pdf

非线性m h d 方程的混合有限元方法和最小二乘有限元方法 张鹏程 ( 山东大学数学学院，济南，2 5 0 1 0 0 ) 摘要 在研究磁场力对导电流体定常运动的过程中，我们得到的方程是非线性 的，这就使磁流体动力学流动的数学分析复杂化，但町以用数值法求解它 们虽然是简化情况的解，然而清晰地阐明了基本的流动规律，利用这些规律 至少叮以定性地讨论更复杂的磁流体动力学流动由于在实际问题中往往不 需要求最一般形式的方程组的解，而只需求某一特殊问题的方程组的解，因 此对简化方程的研究，我们可以得到有实用价值的解在f 1 1 中给出了线性方 程组的最b - - 乘有限元方法 本文通过混合有限元方法和最j 、- - 乘有限元方法对下面的理想化的非线 性方程进行了分析研究： 一| ，t + ( t l v ) u + 唧一p ( v b ) b = ， i l lq v t = 0i nq ，c vxvxb vx ( t i 口) = gi nq v b = 0i nq u = 0 o nr 8 。7 j , = 0o i lr ( 划，f bx = 0u nr 通过分析，本文给出了解的存在性分析和误差估计 全文共分为三章 第一章是预备知识，给出了在后面将要用到的结论，主要的是椭圆型方 程的混合有限元解存在性的基本条件 第二章是混合有限元方法，首先给出基本函数空间的定义，其次给出稳 态的非线性m h d 方程，并导出弱形式，再次给出混合有限元解的存在性的证 明，最后给出混合有限元解的收敛性分析 第三章是最小二乘有限元方法，首先给出最i j 、- 乘形式，然后证明解的 存在性，最后给出解的收敛性分析 关键词：磁流体动力学方程，混合有限元方法，强收敛，弱收敛，对偶空 间，最小二乘有限元 m i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o da n d l e a s t - s q u a r e sf i n i t e e l e m e n tf o rn o n l i n e a rm h d e q u a t i o n s z h a n gp e n g - c h e n g s c h o o lo fm a t h s h a n d o n gu n i v e r s i t y , s h a n d o n gj i n a n2 5 0 1 0 0 a b s t r a c t i nt i l es t u d yo ft h em a g n e t i cf i e l do fu n s t e a d yc o n d u c t i v ef l u i di l lt h ep r o c e s s ，w eh a v e t i l ee q u a t i o ni sn o n l i n e a r w h i c hn i a i 礓斜t i l ef l o wo fm a g n e t i cf l u i dd y n a m i c so fc o m p l e xm a t h e - m a t i c a lm l a l y s i s ，l i n tw e 删iu s en u m e r i c a lm e t h o d a l t h o u g ht h e i rs o l u t i o ni st os i m p l 姆t h e s i t u a t i o n ，b u tc l e a r l ya r t i c u l a t et h cb a s i cf l o wp a t t e r n ，u s et h e s el a w sc a l la tl e a s tq u a l i t a t i v e l y d i s c u s s e dm o r ec o m p l e xm a g n e t i cf l u i df l o wd y n a m i c s a si so f t e nn o t p r a c t i c a lp r o b l e m si nt h e m o s tg e n e r a lf o r mo fd e m a n de q u a t i o n ss o l u t i o n ，b u to n l yt h en e e d so fap a r t i c u l a rg r o u po ft h e e q u a t i o n t h es t u d yo fs i m l , l i f i e de q u a t i o n w ec i v i lg e tt h es o l u t i o no fp r a c t i c a lv a l u e i nt h i sp a p e r ，m i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o da n dl e a s t - s q u a r e sf i n i t ed e m e n tm e t h o df o l - l o w i n ga ni d e a l i z e dn o n l i n e a re q u a t i o n sw e r ea n a l y z e d ： 一王，“+ ( 饥v ) u + 唧一p ( v b ) b = ， i n1 2 v = 0i nq k v v b v 沁b ) = g i nn v b = 0i n 2 ( 1 1 ) t = 0o nr b n = 0o nf c u r z b 扎= 0o i lr t h r o u g ha n a l y s i s ，t h ee x i s t e n c eo ff i n i t ee l e m e n ta n a l y s i sa n de r r o re s t i m a t e sa r ed e m o n - s t r a t e d i th a sb e e nd i v i d e di n t ot h r e ec h a p t e r s ： c h a p t e rii sp r e p a r e dk n o w l e d g e ，w i l lb cg i v c na tt h eb a c kt ou s et h ec o n c l u s i o n so ft h e m a i ne l l i p t i ce q u a t i o ni st h ee x i s t e n c eo fm i x e df i n i t ee l e m e n ts o l u t i o no ft h eb a s i cc o n d i t i o n s c h a p t e ri ii sm i x e df n i t ee l e m e n tm e t h o d f i r s to fa 1 1 i ti st h ed e f i n i t i o no ft h eb a s i c f u n c t i o ns p a c e ，f o l l o w e db ys t e a d yg i v e nt h en o n l i n e m m t t de q u a t i o n s ，a n dd e r i v e sw e a kf o r m ， i i i o n c , ea g a i nm i x e df i n i t ee l e m e n t s o l u t i o ni st h e , e x i s t e m eo fp r o o f ，f i n a l l y ，am i x e df n i t ee l e m e n t a n a l y s i so ft h ec o n v e r g e n c eo fs o l u t i o n si sd e m o n s t r a t e d c h a p t e ri i ii st h el e a s t - s q u a r e sf i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，t h ef i r s t ，i sl e a s t - s q u a r e sf o r m ，a n d t h e np r o v et h ee x i s t m l c eo fs o l u t i o n s ，f i n a l l y , i si nt h ec o n v e r g e n c eo fa n a l y s i s k e yw o r d s ：m a g n e t i c - d y n a m i c ae q u a t i o n s 。m i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，s t r o n gc o n v e r g e n c e ， w e a kc o n v e r g e n c e ，d u a ls p a 俾，l e a s t - s q u a r 髂k n i l ，ee l e m e n t 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究 所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人 或集体已经发表或撰写过的科研成果对本论文的研究作出重要贡献的个人 和集体，均已在文中以明确方式标明本声明的法律责任由本人承担 论文作者签名： 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留 或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅；本人授权山东大学可以将本学位论文全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文和汇编本学位论文 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：每逸短鳓导师签名： 第一章预备知识 现考虑两个h i l b e r t 空间x ，m 而l x ，| j 是它们的模定义一个线性连 续形式6 ( ，) ：( ”，肛) ex m 一即，p ) r ，而非线性形式定义如下： n ( ；- ，) ：( t i t j ，) x x x a ( u j ；u ，t ，) r 其中对任意的1 1 1 ；ex 映射( f t ，t t ) 一a ( w ；t l 一) 是x x 上的线性连续形式 现在考虑问题( q ) ： 假定，x ，求( 缸，a ) x m 满足： 口( t 工；牡，t ，) + b ( v ，a ) = b ( u ，弘) = 0 令y 一 f v ：扫( 1 ，) = 0 ) 此时考虑问题( p ) ： 求“l ，7 ，满足： v v x l m o 扣；u ，t ，) - - - - - y v v 由下面的定理给出问题( p ) 的解的存在性【3 】 定理1 1 假设下面给出的条件成立t ( 1 ) 存在常数q 0 满足 ( 2 1 ) ( 2 2 ) a ( t ，；t ，t ，) 口l l l ， l 蚤 v v v( 2 3 ) ( 2 ) 空间v 是可分的，对任意的t ，v ? 映射缸一n ( 州”- ) 在v 上是弱连续 的，即 1 l m _ 钍号l i m i ( 1 l m ；t 钿，t ) = a ( * l q t ，t ，) ，v ( 2 1 ) ，n + 。o 则问题p 至少有一个解v 证明：( 1 ) 因为窄间v 可分，所以在v 上存在序列( ) 帕t 满足： ( i ) 对任意的1 ，元素伽，叫2 ，伽m 是线性无关的； ( i j ) 有限个元索的线性组合即以在v 上是稠密的 此序列( 材，。) m 。称为空间v 的一组基定义空间v 的子空间是由 1 t 协一。删m 张成的，则可用卜面问题( ) 来逼近p ： 求。k 。满足： a ( u m ；m ，l ，) = v l ，e ( 2 5 ) 山东大学硕士学位论文 如果假定= 妻挑坝，则问题( p m ) 可归结为解m 个线性方程组成的方程 组，其中是未知量 下面我们将证明对任意的m ，问题( j k ) 至少有一个解 现在定义一个映射由m ：一如下： ( 西m ( t ，) ，w i ) 一n ( u ；t ，w o - 1 i m 则当且仅当圣m ( t t ，1 ) = 0 时，钍m 是问题( ) 的解 因为( 西m ( ”) ，t ，) = a ( v ；v ，t ，) 一 v v v ，所以根据( 2 3 ) 可知； ( 垂m ( 可) ， ) ( n 肌，i i x i i n f l l v , ) l l v l l x 其中线性算子1 i z ( x ，v i ) 定义如下。 = 蜘v 因此，可以选取，t = 割，l l t ，则对任意的t ，有当l x = ，时，( 圣m ( ，) f t ) 0 ，并且圣。在上是连续的根据是有限维空间知，问题( p m ) 至少存在一 个解，而且所有的解t h 满足： 0 一( 由仇( u m ) ，t m ) ( a l l 让, l l x i l n f l l v ，) | | t m 8 x 因此有 ( 1 ml l x 云| f ，“y ， ( 2 6 ) ( 2 ) 由( 2 6 ) 可知序列( ) m l 在v 上是有界的因此，必有一子列( 让m ，) m l 满足当p _ o c 时，( “脚) 弱收敛到w ，则由( 2 4 ) 知t 2 0 1 恐n ( “脚；饥川) - n ( t t ；，产f ，) v f l v 在( 2 5 ) 中令t ，= 桃，m = 唧i ，则有t a ( u + ；t l ，妣) = i 1 由于毗的有限个线性组合在v 中稠密，可知； a ( u 。；1 。：1 ，) = ，v 因此矿是问题p 的解 对埘i ，现在定义线性算子a ( 伽) 上( y ：x ，) 和1 1 z ( x ；m ，) 如下： = 口( 加；u ：秽) v “，t ，x 山东大学硕士学位论文 = 6 ( t ，弘)v t ，x ，v p m 现在问题q 变为。 求( u ，a ) x m 满足 a ( u ) u + b r x ；| b u = 0 ( 2 7 ) ( 2 8 ) 定理1 2假如双线性形式6 ( ，) 满足i n f - s u p 条件 p i n f ，。s u x p 黼 。 ( 2 9 ) 则对问题p 的解u ，存在唯一入m ，满足( 乜，a ) 是问题( q ) 的解 证明：假设札v 是问题p 的一个解我们必须找到入m 满足方程( 2 7 ) 但 ，一a ( ，“) u 属于v 的对偶空间俨而且，由i n f - s u p 条件知b 7 是从m 到y 。的一个 映射因此，存在唯一a m 满足( ，a ) 是问题q 的一个解 3 第二章混合有限元方法 2 1基本函数空间的定义 令q 是舻中的一个有界开区域，r 是其边界，i i 是外法向定义。 h ( c u r l ；q )= t i ( l 2 ( q ) ) 3 ，c u r l u l 2 ( f 1 ) h ( d i v ；q )= t | ( l 2 ( q ) ) 3 ，d i v u l 2 ( q ) h d c u r ；q ) = “h ( e x l r l ；q ) ；n l r = o h o ( d i v ；q )= 乜h ( d i v ；q ) ；缸n i t = o ) 下面给出两个命题【1 】： 命题3 1假设q r 3 是一个单连通的有界区域，并且边界r 满足l i p s c h i t z 连续条件，则有 1 1 “1 1 0 c l i 伽t , , l l o + i i d t , ， 1 1 0 v u h o ( d i t ，；2 ) nh ( 侧订；q ) 命题3 1假设q 飓是一个单连通的有界区域，并且边界r c i l 或者r 是一个有界的强制的多面体，则有 l t l | l c l l c u r t u l l o + 怖秽牡| l o i h o ( d i l ，；n ) n ( 仃( q ) ) 3 2 2m h d 方程 下面将给出稳态的非线性m h d 方程 一王，u + ( 仳v ) u4 - v p p ( v b ) b = ， v 牡= 0 ，；：v vxb vx ( “b )= - 口 v b 一0 缸= 0 b n = 0 f x ，z d n=0 i i ls 2 i i lq h iq i i iq ( 3 1 ) o i lr o nr 0 1 1r 其中u 表示速度向量，b 表示磁场，p 表示压力，所有变量都是无量纲的； k = 而1 r n 。是磁场的r e l - o l d s 数，及，盯i ( 1 2 ) 3 均为已知 下面给出几个空间的定义 x = 【月吾】3 ，x o = t x ? v t ，= o ； 2 4 山东大学硕士学位论文 y = 【g l 2 ；q ，1 ) = o ) z = f 础】3 ，z ，o = z z ，v z = o ；i n f t 令，i ( t t ，t ) = ( p 阢，轨，) 6 ( u ；1 1 1 ，1 t ) = 矗( t v ) t 出= 墓，尼t t j 篝，峰妇 c ( b ，名) = ( k v b ，v ：) 现在可以给出m h d 方程的弱形式； 求( 札，矽，d ) xxyxz 满足： ( a ) a ( u ，t ，) + 6 ( 牡；口移) 一函，v t ，) 一( p v 口口，t ，) = ( ，t ，) ( 6 ) ( v u ，口) = 0 ( c ) c ( 口，名) 一( vx ( 缸b ) ，2 ) = 0 ，。) 2 3混合有限元解的存在性 引进定义在三角单元k 上的有限元审问x xp 砂cx xy z 满足i n f - s u p 条件： 。in，f，。s。uep、。i黼id 其中扁是一个正常数，再假设有限元夺| 甘j 妒y n z h 具有逼近性质，即 存在常数7 ( 7 1 ) 和c 满足对0 s 7 有t ( i ) 趣f 【f l t l 一矿i i l 2 + i l t ，一矿f l t 1 c h 8 + 10 t ，l | 十一 v v x n 【j 了5 + 1 1 3 ， 二、，n ( 矗) g 萼。旷矿i l l 。c 扩i l q l l 备 yn 酽 ；殇眦一驴协+ 1 , 1 1 2 一少i | ，l 】c 一驴+ t v z z n h + 1 1 3 下面给出问题( 3 2 ) 的混合有限元格式： 求( f l ，p h ，b h ) x ，i y h z h 满足： ( o ) 口( t i t ， ) + b o t h ；t l ，r h ) 一扩，v t ， ) = ( ，+ p ( v 丹 ) xb ，v n )v v x ( 6 ) ( v u h 矿) = 0 v 口 l 哺( 3 3 ) ( c ) c ( 口 z h ) 一( v ( “ 口 ) ，z h ) = ( 9 ，z h ) v z h z ，i 引理2 1 假设条件o i l y 剐2 。( k v b ，v b ) 和, l t l v 圳i 。( u v 化v “) 成立， 则有 i i v b l i 二，c 1 i l g l l h t9 v 氍8 ：c j 州，l lj j ，一t + 1 1 9 1 1 日一，】 证明：首先估计i i v b i i l ： 因为d v t = 0 d i v b = 0 5 2 3 ，- 、 x y z 抛峋比 山东大学硕士学位论文 所以( v ，b ，z ) = ( ( b v ) u ，z ) 一( ( | l v ) b ，z ) 现在( 3 3 ) 中( c ) 可变为 c ( 口z ) 一( ( 口v ) u ，z ) + ( 0 v ) b z ) = 0 ，名) ( 3 4 ) 当z = b 而时，有： ( ( 口v ) u b ) = 0 ，( ( t v ) b ，d ) = 0 因此( 3 4 ) 可简化为 c ( b ，5 ) = ( 9 ，b ) 所以有 o i l yx 口l i 艺。s ( k vxb ，vx 口) = 0 ，口) i ：9 1 1 h 一i i b i i u 由命题3 1 知 j i v b i i l ，c l l y l l 胃一l 其次估计i i v , l l 胪 当t ，x u 时，有 6 ( 秽；，秽) = 0 ，匆，v v ) = 0 现在取t ，= 牡，有 r l l l v u l l 不s ( v v u ，v u ) = ( ，+ p v b b ，t ) 一( ，让) + p ( u 8 ，vxb ) ( ，1 ”+ p l i i i l ij o i l l l j v b i l l 2 s ( ，f t ) + c 1i i l i i h i i b i i h li i v h i l l 2 c ( 1 l l l , 一t + l | v b i i l ) i i i i m 因此 , i i w l i 护 o ，0 j 2 n o m i n ( | ，k 2 ) 和叩撇z ( 舷i ) ，存在常数a ，反 对任意的l ，! g v ，并且i l v v l l l ：sk ，i i v t ，怯刚vxe l l 7 r 和( 眦 ，口，p ，d ) 嚣v p mxk 有： “m f i | v “，1 1 2 。+ i i v d i l 2 。js 厶( t t ，g ；( 以 ，p ，盯，b ) ，( i e 删，q ，p ，d ) ) ( 厶) 口 ，0 2 。+ i i p i f 乏z + i l q l l i ：】sa 竹( t t ，g ；( 阢 ，p ，盯，b ) ，( i k 删。q ，p ，d ) ) 其中 口l = ( 荔瓢4 ，蛐a o ：丽+ 刁丽夏6 ) 。o i 0 瓣) - iq 2 = ( 耥4 v ) 一1 q 3 = ( 纯毕笋) 一1 q t = f ( 移哪痔南嘲+ 稿) ( 2 + 船) + 船r 1 2 n 5 ：= n 1 可：。口：p 1 2 。r ) 2 巧弼+ 铲翻) 石翻+ 面i 杀= 巧1 1 - 7 蕊n 去碲1 ，磊磊墨1 窖，本 常数n ，定义如下： o = t i n ( e l ，o t 2 ，q 4 ，) ，2 南 证明：根据已知条件得知z i i v , l l i 2 = ( v w h iv ，) + , - i 卜工，v w 7 + ( t ，v ) w + v q 艘g ：伽j i ，1 【( ，tr v ) 甜 一1 v q ，j 】+ l ，1 加正，g ，t 川 = ( f 叫h v 叫) + 1 卜t , v i t r + ( 乇v ) w + v 口一p 8xg 伽1 + 击( v t 如 ) + l ，一1 【q ，v l 川+ b , - - 1 f ，p g ，叫】 ( 4 7 ) 萨i l l ，v w t + ( t ) v ) w + v q p p g 嵫 + 击8 f ，一w 训：+ 譬i i v f - l 瞪。+ ( 2 0 + 彘) 0 v 训f t z + 静色+ 彰岳z ： 山东大学硕士学位论文 假设妒满足条件( 4 6 ) ，则有下面的估计 i i q l l 艺，= 一( 一u v i l ，r + ( t ，v ) w + v q p q g ，妒) + u c w , v t 力+ 【扣v ) w p q g ，纠 【l i v v i y r + ( 矽v ) w + v q p p g 0 驴 + v l l w l l 胪+ 击( i i v t l l l , + i i v v i l l ) i l v w l i l z + 嚣i i o i i l 2 i i o o i i h 由于0 妒0 t c o l l q l l l 。，则： l i q l l 上，, c o i l l 一| ，v w t + ( t ，- v ) w + v q p q g i i l 2 + l ，i i w i i l , + 去( 1 l v t 0 l ：+ i l w ，i l l ：) l l v 伽0 胪 + 焉i i o i i l ? l l i q l l 胪2 c 吾【| | 一u v h 玎+ ( t ，v ) w + v q p o g 0 笔2 + v 2 1 1 w i l 2 , 。+ 警帆，嵫+ 等i l e l l 羔z 】 下面对i i v d i i 胪进行估计： i i v d 0 乞= ( v d ，v d 一口) + 景( d ，k v p v ( d ) ) + 专【v ( f - d ) ，d 1 s 击i i v d p i | 羔2 + 赤0 ，c v d v ( ，d 0 2 2 + ( 去+ c 2 ) l l v 驯b 令2 = 【l 一去】2 得： l l v d o 乏。s ：罢手笔 否【i i v d p l l ，。+ i i k v p v ( 移d l l l , 。1 下卣再来估计芝。： 0 p 0 艺。2 1 l v d p i | 乏z + f l y d 0 笔：1 2 1 i vyd p l i 艺。+ i 兰詈兰当孑叫v d p i l 主。 + 二i i i , c v p v 0 ，d ) l i 笔。】 ( 4 8 ) ( 4 9 ) ( ，1 1 0 ) ( 4 1 1 ) 1 3 山东大学硕十学位论文 把( 4 9 ) ，( 4 1 0 ) ，( 4 1 1 ) 代入( 4 。7 ) 得： l l v , , 嗨弘b 卜，v w 丁+ ( ”v ) w + v q p o g l i 笔z + 击i l v 硼一w l j b + 菇l i v 加8 刍+ ( 2 e o + 菇i _ ) 0 v 0 2 。 + 夸菇乒【f l v v w 玎+ 扣v ) w + v q p q g f l 艺：+ 2 l l w l l 至。 + 盟磊芝i i v 伽。芝。+ 艺 l i 口l | 色】+ 抵2 1 r f 2 l 。 ( 南+ 等霎) i i u v w r + 扣v ) w + v q p p g o 玉 + 击i l v w w l f 羔。+ 蒜l v - “，2 z + ( 2 知+ 葚+ 垄群) o v 伽。玉 + 4 e 哥l c 一2 【i iv w h 工2 2 + i l v w 一| | 羔2 】 + ( 萼野+ 蒜) b 1 4 从而可以得到： 1 1 一( 2 o + 矗+ 帮+ y - - 轳) l l l v 刮l 羔。 ( 互南+ 静) 卜王，v 彤丁+ ( v ) w + v q 一，口g i | j 己2 + 丽1i i v , 一嵫+ 譬ur v 略 + ( 玺7 r 驽v - 芷, 5 叠+ 百鳝熹) ( 2 u v d p i 睦。+ 踽【| i v d p l | 笔。 + 击0 k v 口一v 和d ) 嵫” 现在取印= 吾一击，翻= 觋何6 。翌) 2 z a o 。v 瑶弼得 o v 脚l l 至。( 去刁+ 等黟) o u v 彤r + 扣v ) w + v q - p o g o 弘 +-(筹i + 菇熹) 2 1 i v d 一刮i 色+ 耥【i l v d p 嵫 + 高啬i l k v p v ( t ，d ) 8 玉】) + 古1 1 v 铿，一彤9 易+ 妥i t v t t ，i i 互。 l l w ，l i 羔。+ i i v d l l 2 ：( b + 筹譬) o v v w t + 扣v ) w + v q 一阳g i | 勃 + ( 错+ 菇) 2 i l v d - p 嵫+ 耥归d = 比( 4 】2 ) + 而告i l k v p v ( t ，d ) 覆zj ，+ 击ol t v w 一l 幢。+ 錾0 v 0 z 。 + 者筹t l l v d p 0 色+ 面b i i t v p v ( t d ) i i 乙】 现在取 理，= ( 鼎+ 丽翻) 一m 妒i i u 物) 一椭= ”i “。、2 a o “v ”2 k 2 ) 一l a 4 = ( ，r * 2 r 2 ，巧弼+ 帚翻) ( 2 + 毫筹) + 址t c u o - - 6 卜j 1 n 5 = 【( 和娟篇赢+ 辆) 布溉刁+ 碾2 。 4 。p 卅- 1 。 山东大学硕士学位论文 则式子( 4 1 2 ) 可变为； i i v w i i ；2 + i i v d l l 参冬q f l i i l ，v w t + 【t ，- v ) w + v q p p g l 暖声 + 口i 1i i v wl 矿0 2 z + 町1i i v 札| 1 2 。 ( 4 a 3 ) + o i l i i v d p i l 芝。+ q i l l i l y p v ( t ，xd ) i i 艺， 令q = r r l i n ( a 1 ，o t 2 ，蜘，嘶n 5 ) 得： a l l l w , l l 羔t + f l y d 眩：】a q ( 秽，g ；( 阢杞，弘矾口) ，( 彬t f ，口，p ，d ) ) 由于有： h 1 1 2 ：2 ( i i w v ，l i 苎z + | | v 仳0 2 。) l i p 8 乏。2 ( i i o v d i i i 。+ f l y d i l 2 。) l l q i i n 2 铝i i i l ，v w 丁+ 0 v ) t l j + v q p p g l l 乏。 + l ，2 i i w i i 参+ 盥土o , 6 # i v t u 4 笔，+ 等l i p i l 乏。】 因此可以得到。 i l w l l 乏。+ m j i z + i i q i i ；， 2 c 台i l 一王，v w r + ( t t v ) ，+ v 口一，口g f l 芝。 + ( 1 + 2 ( 岩王，2 ) | | i l 羔2 + 墨掣i f v 川l f 玉 + ( 1 + 净鍪) 知 2 诺一l ，v w r + 如v ) w + v 口一p o g l l 弘 ( 4 1 4 ) + ( 2 + 4 c 0 2 v 1 + 掣) o v 酬知 + 2 ( 1 + 2 c 学，2 ) l i w v 酬l 。 十2 ( 1 + 绥护f 2 ”) 1 1 0 一v d i i ；。 + 2 ( 1 + 趟0 4 ) - v - - d i l 2 2 令 a 。= 删竹 去而未辆，再砑瓦1 平，石殍1 ) 则( 4 1 4 ) 可变为 r ，( 8 | 曼：十i l p l l 乏。+ l i q l 睦。) a 叩+ 三a 叩 现在令= 籍 f j p 【i l w i l 乞+ i | 8 l l 兰：+ i i q i i ：】 ( ，g - ( c ，札，p 玎b ) 。( h ，姐，。口，p ，d ) ) 在实际的应用中，由于所找的逼近解组已经包含了真解，因此对任意的 t ，g ka q ( t ，：g 7 ) 的整体币定性质不作要求为了得到这类逼近解组，下面定 1 5 山东大学硕士学位论文 义在hxv p m k 上定义l ( 正k 力= ( 眦伽q ，p d ) ：i i v i l l ，6 【i i v , , , l l b + i i v j d i i 羔。】专k ， i l l w l l b + l l p i i 艺。+ i l q l l 芝。1 4 参) v h ( 5 , k ，力= n ( 5 ，k , p ) n f 玩r 厶玩】 下面的引理表明( 4 1 ) 的所有解都在n ( 5 ，k ，) 内，其中6 ，k ， 是所给参数 引理3 2 ：令0 6 0 1 6 a 玎( t 1 b ；( 弘h ，p ，口，b ) ( c ，t i ：p ，疗，b ) ) = ( ，? 一l ，v 旷+ ( t v ) u + v p p ( axb ) ) + ( 夕，托v 伊一vx ( t x8 ) ) 因此有： a 珂( 让b ；( 玑t ，p ，仃，口) ( 阢饥p ，盯，口) ) 良+ i i , q l l 曼。 由于v t t = 0 i q 因此 i i v - 1 1 2 。 = v - 1 ( - v v u r + ( t i v ) u + v r p 一舻b ，u ) + ( v t ，一u ，v - ) + v - 1 p ( a 1 3 f ，) 素专l l 一v u 丁+ ( 杜v ) 批+ v p 一舻丹0 2 z + i l u v u l l ：z + ：f 3 i fv - “i i l 2 z + 者惫i | 盯1 1 2 ：i i v n i l 2 。 i i v 口i i 芝： = ( v b v b 一仃) + 丧( 口k v 仃一v ( 钍x 口) ) i i v b 一盯l l ：+ ：l i k v 仃一v ( 牡h i l l ：+ 吾1 i v d | l 各 从而可以得到t l v b i i i 。的估计： i i v 口f f 芝。s2 1 i v b 一仃i i 主z + 去o ，c v 矿一v ( “j e i o 无。 c 1 月7 m 把( 4 1 6 ) 代入到( 4 ，1 5 ) 得： | i v u i l 2 ：嘉。一i ，v u r + ( “v ) u + v p 一舻b ) o 知 + 4 l l u - - v 旺：+ 4 甓乏。 ( 4 1 5 ) ( 4 1 6 ) ( 4 1 7 ) 山东大学硕士学位论文 这样可以得到； 0 v t 上0 b + f l y b 各s 召4 l i l ，v 旷+ u v ) u + v p 一矽曰l l b + 4 1 1 r r w l l 2 , 。+ ( 2 4 鹾+ 2 ) - i v b 一仃嵫 ( 4 - 1 8 ) + ( 1 6 瑶虽) i l k v 口一v ( u b ) i i l 。 令n = m 协( 竿，丽u 一2 a o 。，石， ，葡痞蜢丽) ，取叼芝僦z ( 1 ，咒) ，则根据引理3 1 知t ( t r , u ，p b ) ) 在函数组n ( j k ，口) 内 为了得到问题的逼近解，现在取非线性映射z 从玩玩p h m h g h 到 凰磊五厶k h 如下 z ( ( 眠，矾，口 ，甄，d ) ) = ( 厩，磊，磊，反d h ) 并且满足； v而，砺硫丽，瓦) 玩p h m hxk h a ，玩；( 厩，磊，磊反d h ) ，而，丽，丽赢，瓦) ) = ( ，一l ，v 丽+ ( t v 麻+ v 丽一魔d h ) + ( g ，k v 丽；一v ( 1 l j d ) ) ( 4 x g ) 下面将给出几个引理： ， 引理3 3 ：假设引理3 1 和引理3 2 的条件满足，则非线性映射z 从 ( 6 ，k ，p ) 到玩取m h 蚝是唯一确定的 引理3 4 ：假设引理3 1 和引理3 2 的条件满足并且叩满足t 印 1 l 1 1 2 , 。+ 删2 ，】专m n z ( 1 ，吉去) ( 4 2 0 ) 则算子z 把，l ( j ，k p ) 映射到自身 引理3 5 ：令0 j 2 a o v 对给定的函数钞阻1 ( q ) 】d 满足i i v 训工。s6 并且 ，l l 2 【q ) n 则卜面的边界值问题： ( d ) 一t , a u + ( t ，v ) u + v p = ， ( b ) v “= 0 ，加，1 ) 0 i ns 2 ； ( 4 2 1 ) ( r ：) 00 1 1r 在h 2 ( i i ) 日1 ( 2 ) 上有唯一解力 定理3 1 假设引理3 1 ，引理3 2 的条件都满足，则在，i ( 6 p ) 上问题( i 4 ) 至 少有一个解并且非线性问题( 4 ，4 ) 的所有解都在，l ( 6 ) 上 证明：根据引理3 4 知道，算子z 是有界的，并且在瓤 艽。p ) 上是连续的， 1 7 山东大学硕士学位论文 根据b r o w e r 的不动点定理知问题( 4 。4 ) 在地( 最k 一) 上至少有一个解 定理3 , 2 假设定理3 1 的条件成立，并且当h 叶0 时，( 巩川，l ，p i l ，b ，1 ) 收 敛到问题( 4 1 ) 的解则解序列( 魄，u h ，p h ，b h ) 可分解为几个子序列，并且在 【l 2 ( q ) l d x dxf h l ( q ) 】d l 2 ( q ) 【2 ( q ) pxf 1 ( q ) 1 d 上收敛到问题( 3 1 ) 的不同解 证明：根据定理3 1 知序列( 魄p h ，靠b h ) 在f 三2 p dx 阻1 ( 刚dxl 2 c a ) 陋2 ( 2 ) 陬阻- ( 刚d 上是有界的，因此可以分解成几个子序列，并且在( u h ，u h , 肌，t r h b ，) 在i 厶2 ( n ) 】d x d 【h z ( n ) 】dxl 2 ( q ) i l 2 ( n ) 】d 阻1 ( q ) 严上弱收敛 取一个弱收敛子序列，记为( 魄，；t h ，p h ，玩) ，收敛到( _ ，t 。，万，百) 为了证明 ( - ，霄，声玩否) 是问题( 4 1 ) 的解，引入函数( t ，矿) 满足： ( i ) 一v a u + ( 前v ) u + 唧= ，+ p ( v 两百 i nn ( 颤) v 矿= 0h iq ( 4 。2 2 ) ( i i i ) u = 0 o nr 和函数b 。满足 ( i ) k v b 一v ( - b 。) = 9 i ni z ( i o v 口，0 i nq ( i i i ) b + n = 0 o nr ( 4 2 3 ) ( 而) v b i i , = 0 0 1 1r 令u = v i = 和矿= vxb 。，当形，瓦矽，万，西) = ( 矿，矿，一矿，b ) 时，定理成立 首先我们要证明： i i l c ，v 一u 。) r + 伍v ) ( - 一t l ) + v ( p p + ) | l i z = 0 “2 4 ) 其次我们证明： ( i ) 7 一u 一v ( - 一l ，) = 0 i nq ( 4 2 5 ) ( “) v ( - 一缸+ ) = 0 i nq ( 4 2 6 ) 这样由( 4 。2 4 ) ，( 4 2 5 ) ，( 4 2 6 ) 可以得到： ( f ) 一正，( 矗一t ) + ( 育v ) ( 西一u ) 4 - v ( 一p ) 0 i uq ( i o v 阿一t 1 4 ) = 0 i ns 2 ( 4 2 7 ) ( i i i ) 丽一t 。= 0 o nf 由2 7 ) 可以容易得到( _ ：瓦歹) = ，矿，矿) ，同理可以得到( - ，西) = ( 口。，b ) 我们知道( _ i 2 4 ) 等价于： ( 一正，v ( f u + ) r + ( 面v ) ( 可一u 。) + v ( 万一p ) ，妒) = o ，托【c 矿( z ) 】d ( 4 2 8 ) 1 8 山东大学硕士学