（应用数学专业论文）有界区域上的非线性磁薛定谔方程的解.pdf

摘要 本文讨论方程 j 一 磁妒= ，( | 妒1 2 ) l p z q 、 【r 妒p = 0 z 锄 它有一定的物理背景，在超导，玻色爱因斯坦凝聚态及液晶问题中都涉及到 了类似的方程模型对于没有磁场a 以及有磁场a 的线性方程，已经有过深入研 究本文讨论具有非线性项的磁薛定谔方程弱解的存在性和正则性问题得到的主 要结果包括两个方面； ( 1 ) 存在性；设a ( n ) ，口24 ，且p ( a ) 0 ，f 满足( ，1 ) 一( ，3 ) ；或 者a l 。( n ) ，p ( a ) 0 ，f 满足( ，1 ) ，( ，2 ) ，( ，4 ) 若上述两个条件之一 成立，则方程的弱解存在 ( 2 ) 正则性一( a ) 设n 是光滑有界区域，a n 是一条俨曲线a ( n ) ， q 3 ，d a 。( q ) ，( t ) sf 学，若“是方程的弱解，则“日2 ( n ) ( b ) 设q 是光滑有界区域，a n 是一条伊曲线a 口( q ) ，q 23 ，d a l 。o ( q ) ， ，”( ) t 学，若u 是方程的弱解，则“h 3 ( n ) 关键词t 非线性磁薛定谔方程；存在性；正则性 a b s t r a t i nt h i sp a p e r ，w ed e a lw i t ht h ee q u a t i o n j 一 磁妒= f ( m 2 ) 妒z q lr 妒| ，= 0 z 锄 i ti s p h y s i c a l l ym e a n i n g f u l s i m i l a re q u a t i o nm o d e l sa r ei n v o l v e di ns u p e r c o n d u c - t i v i t y , b o s e - e i n s t e i nc o n d e n s a t i o na n dl i q u i dc r y s t a lp r o b l e m t h e r ea l r e a d yh a v e b e e n1 0 t 8o fr e s u l t sa b o u te q u a t i o nw i t h o u ta a n du n e a re q u a t i o nw i t ha w ea r e c o n c e r n e dw i t ht h ee x i s t e n c ea n dt h e r e g u l a r i t yo ft h ew e a ks o l u t i o nt ot h en o n l i n e a r s c h r s d i n g e re q u a t i o nw i t ham a g n e t i cf i e l di nt h i sp a p e r t h em a i nr e s u l ti n c l u d e s t w op a r t s ： ( 1 ) e x i s t e n c ets u p p o s ea 二9 ( n ) ，q 4 ，p ( a ) 0 ，_ ，s a t i s f y ( f 1 ) 一( 厂3 ) ；o r a l ”( q ) ，p ( a ) 0 ，fs a t i s f y ( f 1 ) ，( f 2 ) ，( f 4 ) ，i fo n eo ft h ec o n d i t i o n sa b o v ej 8 s a t i s f i e d ，t h e nt h e r ee x i s t saw e a ks o l u t i o nt ot h ee q u a t i o n ( 2 ) r e g u l a r i t y ：( a ) s u p p o s e0 i sab o u n d e ds m o o t hd o m a i n ，鼬i sa 俨c u r v e a l q ( f t ) ，q 3 ，d a l ( q ) ，7 ( ) 警，i f “i saw e a k8 0 l u t i o nt ot h e e q u a t i o n ，t h e n “h 2 ( q ) ( b ) s u p p o s eq i sab o u n d e ds m o o t hd o m a i n ，a qi sa 伊c u r v e a 五9 ( q ) ，q 3 ， d a l ( q ) ，( f ) t 学，i f ui saw e a ks o l u t i o nt ot h ee q u a t i o n ，t h e n z 产( n ) k e yw o r d s ：n o n l i n e a rs c h r a j i n g e re q u a t i o n ；e x i s t e n c e ；r e g u l a r i t y i i - 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成 果据我昕知，除丈中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或 撰写过的研究成果对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明 确说明并表示谢意 作者签名；害托黎咽日期。叠印7 彳鹤釉 学位论文使用授权声明 本人完全了解华东师范大学有关保留使用学位论文的规定，学校有权保留学 位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版有权将学位论 文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅有权将学位论文 的内容编入有关数据库进行检索有权将学位论文的标题和摘要汇编出版保密的 学位论文在解密后适用本规定 学位论文作者签名，勃0 静喟 日期嘲辛6 目钢 导师签名， 日期t 蕊 ) 氏占 业孝寸 泌刎 华东师蓖大学理学硕士学位论文 第一节背景及文献综述 有界区域上的非线性磁薛定谔方程具有如下的表示形式； j 一 磁妒= ，( i 妒1 2 ) 妒z n，1 1 、 lr 妒i ，= o z 锄 。 善e 中一r 2 妒= 一r ( r 妒) = 一a g + i f 2 a v 妒+ 妒d i 口a 】+ i a j 2 妒，r 妒= v 妒一i r a ， 妒：n c ，c 为复数域，：【0 ，o o ) 一r ，r 为实数域，i 2 = - 1 ，a ( z ) 为实向量 场，h 为一小正常数qc 礤是一个光滑有界区域，p 为0 q 的单位外法向量 这个方程出现在许多物理领域中，比如超导理论，玻色一爱因斯坦凝聚态以及液 晶问题等对于没有磁场a 亦即般的椭圆方程，其弱解的存在性，正则性以及解的 其他性态方面已经有了广泛深入的研究，并有许多相关著作，如科学出版社的= 阶椭圆型方程与椭圆型方程组等；对于带磁场的线性薛定谔方程也已有过研究，此 时解的各种性质，以及最小能量解的性态都有了很好的结论，比如b e r n a r dh e l f f e r 与x i n g b i np a n 在一些文章中做了许多工作。文献如发表于d u k em a t h e m a t i c a l j o u r n a l 的s i n g u l a rb e h a v i o ro fl e a s te n e r g ys o l u t i o n so fas e m i l i n e a rn e u m a n n p r o b l e mi n v o l v i n gc r i t i c a ls o b o l e ve x p o n e n t s 等；一些具有特殊非线性项的磁薛 定谔方程以及金茨伯格一朗遭方程，也已经有了很多研究，比如f a n g h u al i n ， h b r e c i s 等人，对此做出了许多系统研究，文献如s o l u t i o n so fg i n z b u r g o l a u n d a u e q u a t i o n sa n dc r i t i c a lp o i n t so ft h er e n o r m a l i z e de n e r g y 等；关于具有一般非线 性项的磁薛定谔方程，只有s i l v i ac i n g o l a n i 和s i m o n es e c c h i 在全空间r 3 上的 研究，在s e m i c l a s s i c a ls t a t e sf o rn l se q u a t i o n sw i t hm a g n e t i cp o t e n t i a l sh a v i n g p o l y n o m i a lg r o w t h s 【2 】一文中，他们证明了瞅中，在外部磁场作用影响下，非 线性薛定谔方程驻波解的存在性，得到的主要定理结论是t 存在h o 0 ，使得对一切0 0 ，满足( ，1 ) ，( ，2 ) ，( ，4 ) 若上述两个条件之一 成立，则方程( 1 1 ) 的弱解存在 ( 2 ) 正则性，( 8 ) 设q 是光滑有界区域，a q 是条俨曲线a 妒( q ) 。 g 3 ，d a z 户( n ) ，( t ) 弩，若“是方程( 1 1 ) 的弱解，则“h 2 ( q ) ( b ) 设n 是光滑有界区域，a q 是条伊曲线a p ( q ) ，口3 ，d a l ”( q ) ， ，( ) z i 呈。若口是方程( i i ) 的弱解，则位日3 ( q ) 为了证明方程( 1 1 ) 弱解的存在性，本文先考虑了一种特殊情形，( t ) = t 甲一 1 ，采用变分的方法，将方程弱解的存在性转化成泛函极小能否达到，然后通过探 求泛函极小得到方程弱解的存在性；对于_ 般的，不能使用上述方法，因为此时方 程已经非齐次所以我们使用山路引理，找到泛函的临界点，从而得到方程( i i ) 的 弱解为了得到方程( 1 1 ) 弱解的正则性，本文采用差商的方法，并利用通常椭圆 方程方法，结合本方程的特殊形式进行估计，从丽得到方程弱解的正则性 在正式开始讨论之前，先给出一些基本结论，帮助我们建立想要的结果首先 给出山路引理，它是1 9 7 3 年由a m b r o s e t t i - r a b i n o w i t z 给出 设x 是b a n a c h 空间，：x 一盈是g 1 函数，满足以下条件t ( 1 ) 存在r 0 ，使得i n f l l 。i i = r j = b j ( o ) ； ( 2 ) 存在e x ，l l e l l r ，且j ( o ) j ( e ) ； 则垤 0 ，存在t x ，使得c 一2 ，( n ) c + 嚣，且 i j ( u ) l ls 嚣，这里 c = i n 0 r m a 拖【0 ，1 1 j ( ，y ( ) ) ，f = ，y g ( 0 ，1 】，x ) b ( o ) = 0 ，7 ( 1 ) = e ， 其次给出磁薛定谔算子的度规不变性一对任意的光滑实函数x ， r + v 。( e “妒) 2e “丫妒 磁+ 吼( e l x 妒) = 毋磁妒 所以方程( 1 1 ) 和边界条件在变换a a + v x ，妒一e i x 妒下不变文中在证明 方程( 1 1 ) 的弱解u 边界附近的正则性时，使用了磁薛定谔算子的度规不变性另 儡 华东师范大学理学硕士学位论丈 外，由度规不变性，我们知道对磁场a 成立的结果，可以推广到对b = a + v x 也成立 下面本文作如下安排；第二节中，讨论方程( 1 1 ) 弱解的存在性；第三节中， 研究方程的正则性，得到相关结论 第二节方程弱解的存在性 在这一节中，我们考虑方程( 1 1 ) 弱解的存在性由u = 0 一定是方程的解， 所以以下我们讨论的是非零解，即0 首先给出弱辫的定义如下t 定义1t 巩称为( 1 1 ) 的弱解，如果 上 r u 豇如2 上川”1 2 ) u 血巩，妒i 加2 0 其中h a = “h 1 ( n ) l 可i u l 2 ( q ) ) 本节主要得到了两个结论第一，先考虑，( ) = 皆一1 ，t 0 ，1 0 ； ( 2 ) ，满足( ，1 ) ，( 1 2 ) ，( f 4 ) ，a l 。( n ) ，且弘( a ) 0l 若上述条件之一成立，则方程( 1 ，1 ) 弱解存在 其中( ，1 ) ： f ( 0 耐宁+ 6 ，1 p f l v a 妒n 1 2 = v e 一i 妒n a j 2 ( i v i l i 妒。a i ) 2 j n = l i v 妒1 2 + z l t a j 2 2 z j v 妒。i i a i 上i v 1 2 + fl a 1 2 一e z l v 1 2 一c ( e ) z i 妒。a f 2 = ( 1 一) i v 妒1 2 + ( 1 一c 忙) ) i i p 。a f 2 j i lj n f 卜坐堂萼掣 所以v 妒。在2 ( q ) 中有界。因此在h 1 ( q ) 中有界存在个子列( 仍记为 妒n ) 在日1 ( q ) 中弱收敛于伽，又因为l p 0 ( c ) ：存在妒日1 ( n ) 及t o 0 使得厶( o 妒) = 0 且i i t o l p l l , p 若上述条件成立，则令e = 如妒。r = n g ( 【o ，1 1 ，h 1 ) 1 7 ( o ) = 0 ，7 ( 1 ) = e ) ， 则由山路引理知，c = i n 0 rm a 【0 ，1 1 ( 1 ( s ) ) 是 的临界值 下面证明( a ) 成立 由于以( 。) 一0 ，所以 r e r 印一f ( 1 u 1 2 ) ( 乱n 功= o ( 1 ) i i v 1 ， z 叫r 1 2 一f ( i u 。1 2 ) “。2 = 。( 1 ) l l u 1 l 丑 又 ( ) 一c ，所以 上 i 又训2 一刚叫2 ) = 2 c + 。( 1 ) 由( i i ) 一( i ) 得 ，( i 嘶。1 2 ) “。2 一f ( 1 t h l 2 ) = 2 c + o ( 1 ) 一o ( 1 ) i l “。1 1 日， ，n v 上式左端z ( ；一1 ) f ( 1 。1 2 ) 因为口( o ，1 ) ，；一1 o ，所以 f r ( 1 u 1 2 ) sc - + 。( 1 ) 1 1 1 1 n - 将( 社) 代入( i i ) 得 z h l v a u 1 2 = z 剐计) + 2 c + d ( 1 ) c 2 + o o ) l n i i , 而 上 f r 1 2 = z 九l v 。1 2 + h k a l 2 _ 2 h i m 砺v “n a ( i i ) ( 移) 华东师范大学理学礤士学位论文 所以 fh l v , , m 1 2 z 叩u + i 卵= z i r u 。 2 + 2 h i m _ v n 。a c 2 + d ( 1 ) 1 1 让。1 1 日，+ z2 i m _ v u 。aj l s c 2 + 。( 1 ) o u 。i i h ：+ f n 2 h i t ，l v t h a i 勿+ o ( 1 ) l l u 1 l m - + 2 h l l u , , a i l 2 1 1 v u , , 1 1 2 也+ 。( 1 ) l l u , , 1 1 日- + h c l l v m , 1 1 + ：l l “。a 幢 其中0 o 有，( t ) r t 当t m r ，所以f ( t ) i r 2 一c ，对v t o 因此由( 孝) 罢i 乱。1 4 z f ( 1 u 。1 2 ) + c ，c lj r o ( 1 ) 1 1 u 。i i n - 所以 0 “。髓c 3 + o ( 1 ) l l u 。0 h ，( i i i ) - a 斜1 ) 得 ( 1 - f ) hf i w 。舱sc 2 + o ( 1 ) 1 1 。| f 伊+ c 4 0 “。| f 刍。 当i i “。i i h t 较大时，i i u n 嗜- 被i i u 。i i h - 控制，所以 i i v u 。幡c 5 - i - o ( 1 ) 1 1 u 。怯-( i v ) ( i i i ) + ( i v ) 得 i l u 。0 备。l i v u 。旧+ j l u 。i 懂sc b + o ( 1 ) l l u 1 1 日- 所以0 “。0 h ，有界 若定理的第二个条件成立， ( 1 一) h l l v u 。幢q 十o ( 1 ) l l u 。1 1 日，+ ! o 。a i i ； 华东师范大学理学硕士学位论丈 吃+ d ( 1 ) f f u 。i i h 。+ = hj | i j 2l l u 。1 1 2 2( 挣2 ) a l ”( n ) ，又由( ，4 ) 知当t o o 时，( t ) 一o o ，对v 兄 0 ，存在 如 0 ， 有s ( t ) r 当t m r ，所以f ( t ) 尉一c ，v t 0 又由( 轷) z 刷u 。1 2 z f ( 1 j 2 ) + c s e x + o ( 1 ) 1 1 “。i i n - 所以 0 “。f 睦o r + o ( 1 ) l l u 。n t 代入( 斧2 ) 得 j i v u 。瞻e s + o ( 1 ) 1 1 1 1 日t 所以 i l u 。f j 备- = 0 。旧+ 1 1 w i i ；sc 9 + o ( 1 ) l l u 。1 1 日- 所以0 t 。0 日，有界 在两种条件下都有在h 1 ( n ) 中有界，所以存在t l 的子列( 仍记为。) 使得 在h 1 ( q ) 中一u 0 ，又h 1 ( 0 ) 紧嵌入+ 1 ( q ) ，所以在+ 1 ( n ) 中u n 一”o ， 又a l 2u o a ，所以在l 2 ( n ) 中r 一r 锄在 舶上九r 写一s ( 1 u 1 2 ) ( t ，l - ) = 口( 1 ) 日- ( v ) 中固定 ，令n 一。，则 1 k 上九r 锄印一川u 。1 2 ) ( 伽万) = o ( v i ) ( v ) 一似) 得 鼬上6 v a ( u - u o ) 币一y ( 1 u 1 2 ) ( u v ) + f ( 1 u o l 2 ) “o - 2 。( 1 ) i i 啪i i 取口= u n 一锄有 擘上 i r 一伽) 1 2 一f ( i “n 1 2 ) “n 瓦- = 面+ ，( i 蛳【2 ) 菇瓦- = 面2 。( 1 ) l l u 一“。怯 由于让。譬1 伽及，满足f nf ( i u 。1 2 ) 再i 两一0 ，f 。( i “。1 2 ) u 。( 再- - u o ) _ + o ，所以厶i v a ( “- u o ) 1 2 0 ，即v ( - u o ) 一i ( 一“。) a i 20 ，所以v ( t 。一蛳) 譬 0 ，因此，在日1 ( q ) 中强收敛到u o 华东师范大学理学硕士学位论文 接f 呆证明( b ) 成立 ( o ) = 0 显然当l i = l l m = p 时， j h ( “) 2 鼻抄i v a “1 2 - f ( i u l 2 ) 】出 其中 z ；f ( i “1 2 ) 冬zi 口i “1 2 f ( i “1 2 ) 妇z ；i u l 2 i “i 卅 = 舶0 i 曲训譬1 = 矿0 l p + 1 2 又因为一磁的最小特征值p ( a ) 0 。此时有a 0 使得 上l r u l 2 a i l u 婚 事实上，若上式不成立，则存在0 “n i i - = 1 ，使得厶j r 1 2 0 ，又l i “n i i t = 1 ，则 一h t t l o ，譬伽，所以v 望v 咖r 批。在l 2 ( f 2 ) 中有界，r t f l 堡r ， 即v u 。一l n a 望v u o 一 札o a 因为r 望r t 0 ，又r 譬0 ，所以r 撕= 0 若伽0 ，由定义， 则得p ( a ) ：0 ，矛盾所以u 0 ：0 所以里0 ，t 。一l 40 ，a l 20 ， i v 1 2 _ 上i - - i u n a 2 = z 2 2 i m 唧u 。a 仆。卵= l + d ( 1 ) 与f o f r “n 尸一。矛盾 所以存在a 0 使矗i v y 1 22a 矿，而当p 一0 时，矿1 = d ( 矿) ，所以当 p 足够小时，必有j h ( “) 0 最后证明( , 1 3 ) 成立 取妒i1 日1 ( q ) ，令g ( t ) = 以( t l p ) ，t 0 ，则 卵) = 础妒) = ；z i v 如1 2 - f 小卯 = ；驴i a l 2 卅囝出 在定理第一个条件下，由( ，3 ) 知当_ + o 。时掣_ ，所以对任意r o ，存 在m r 0 有，( ) r t 当2 m r ，所以，( ) 譬铲一c 所以 们) = 邢妒) s i h t 2 f i a l 2 血一；( 善“c ) 【n i 华东师范大学理学硕士学位论文 = ：i l a l l 2 2 t 2 一- i o l t + ；i o i 所以当t 足够大，有9 ( t ) 0 ，存在 0 有，( ) r 当t m r ，所以f ( t ) r t c 所以 9 ( ) = 以( 妒) 互h 2 fl a l 2 血一；( 威2 一圳n i = 一百1 。2 ( r l o l h l l a i l ；) + ；l q i 当r 丽n l l j 2 2 ，足够大时，有g ( ) o 所以当t 足够大时，总有9 ( t ) p 定理证 毕口 注：若弱解妒是常数，由一 磁妒= i ( i 妒| 2 ) 妒得 ( 一妒+ 2 i a v 妒+ i l ，o d i v a + i a l 2 妒) = f ( 1 妒1 2 ) 妒 因为妒是常数， h ( id i v a + i a l 2 ) = f ( 1 妒1 2 ) 所以d i v a = 0 且 i a l 2 = ，( c ) 由r 妒= 0 得 祟一i a 伽：0 d 因为妒是常数，所以a = 0 因此，当关于a 的上述3 个条件满足时，存在常 数解 华东师范大学理学硕士学位论文 第三节方程弱解的正则性 在这一节中，我们讨论方程( 1 1 ) 弱解的正则性，得到的主要结果如下； 定理3 ( 1 ) 设q 是光滑有界区域，a n 是一条俨曲线a 口( n ) ，g 3 ， d a l 。( n ) ，f ( t ) 掌，若t 是方程( 1 1 ) 的弱解，则h 2 ( n ) ( 2 ) 设0 是光滑有界区域，a n 是一条伊曲线a 口( n ) ，q23 ， d a l o o ( n ) ，( t ) 学，若u 是方程( 1 1 ) 的弱解，则t 日3 ( q ) 证明t 定理的证明分为四步，第一，二步采用差商的方法证明了方程在q 内部正 则；第三，四步证明方程在n 边界附近也正则 s t e p l ：首先证明方程( 1 1 ) 的弱解“在q 内部的h 2 正则性，即u h 2 ( q j ) ， = 缸q i 出武k a q ) 毋，证明过程中用，表示矗 设t t u ( x ) = u ( x + t e 。) ，a t = ；一j ) ，a t u = 地由于“是方程( 1 1 ) 的弱 解，即有 叹缸币= 7 ，( 1 缸除 用a t 妒代替l p ，则有 小即可网= 删u m 五巧 ( 3 1 ) 式左端= 厂 r t r 丛三二掣 = 一；r “( 币f 丽一研) = r 一睾r “币i 两一一。研 ( 3 2 ) 在( 3 2 ) 式右端第一项中作变换y = z 一纰得 一奴ut v a 。o ( z - r e , ) = 一。，砌+ 目瓦磊而 经计算得 ( 3 2 ) 右端= 一争v a u ( 。+ 蚺币两 + i u ( y + t e 一) ( a ( y ) 一a 悖+ 岛) ) 。丫i ：= 二；万丽 + r 牡( 口+ e 。厮丽蕊矛i 网 一r u 币】 兰变罂垄盔兰墨兰坚圭兰堡鎏苎 = 厂一沁( 咖+ 蚓刊币 + ( 一；) r u ( f + t e s ) i 妒0 ) ( a ( ) 一a ( y + t e 。) ) + 4 “扫+ 。岛) ( a ( ) 一a ( f + 8 ) ) r 妇+ “) 妒( y ) 】 将上式中括号内第一项记为1 ，第二项记为2 ，得 ( 3 3 ) 右端= 一丸v a ( h t u ) 巧一；( 1 + 2 + ) 所以得到 f - a v a ( 知) 币= 抄钳) + f j ( i u | 2 ) a - t - ，o 即 几饥币= 一份卜； ，( | 砰) u 巧 在( 3 4 ) 式中，取妒= 叩2 毗，其中0 t 7 1 在边界附近为零，则 ( 3 4 ) 式左端= r 砘瓦而丽= r ”丽亏而万而巧可 = v a 毗渤琢而+ v 叩捌 = r 地印可两+ r u t v 叩呖 = 厂( r ( 佻) 一v 雄m ) 啊+ r 札t v 露幅 而 ( 3 3 ) = f v a ( 班t ) 啊一勖啦啊+ r v 野概 = r ( 嘲1 2 一聊唧丽i 而而+ r 魄v 刀- 厩 = r m 圳2 一m m l 2 一叩v 叼r u t v a u t 十啊q 砚m ( 3 4 ) 式右端= 一肚+ ) l 一伸一u 硐 1 4 ( 3 4 ) 华东师范大学理学硕士学位论文 r ( 嘲i 2 一m 2 l u t l 2 - - 7 v 叼，饥晒十啊咖叹啦 = 一- ；( r + 2 - ) l ，1 2 。一；，( 1 训2 ) “五碉 ( 3 5 ) 在( 3 5 ) 式两端取实部，得 刚删| 2 - 附2 = 一r e i 1 ( 1 + 2 i ) l 。峨厂却砰) “砜两 = i 1 i m l 7 2 一u t ( y ) ( a ( 沪盹拙枷r u ( y + t e 8 ) + i m u ( p 批以盹) 一a ( y + t e s ) ) 瓦= 了丽 一；如，( i “n “碉 将上式右边三项分别记为1 。式，2 式，文式，分别估计这三项 1 。= _ i m q 2 砺a 眦) r u ( 口拙胚慵a 劬) 吧u ( + i _ i i a 川f 梅r u ( y + t e s ) j “f l m ( v “( y + t e s ) 一t u ( y + t e s ) a ) i c l f l 面，v “白+ f e ，) j + j ：瓦u ( + t e 。) a i s 如i 妣1 2 + j 审”白+ 岛) j 2 十j 饥1 2 + i u ( + 岛) a 1 2 s q 2 i d “j 2 + i d “匆+ t e s ) 1 2 + j u 国+ 岛) a 1 2 q 厂( 2 i d “i 。+ i d “国+ e ，) j 。) + i i a ir ；l l n 惦 由于“日1 ( q ) ，a ( n ) ，所以1 。 。= 一- m 岫他必小瓦翮 华东师范大学理学硕士学位论文 s i u ( y t t ) 加瓦翮 - - i i a t i f 。fu 白+ e ，) ( 可而一iq 2 u t a ( y + t e a ) ) s c 3 m 口+ f e ( 7 訇“( y + t e ) 0 2 面t a ( y + t i 白厂m 口+ f e 以v ，7 慨+ 叩v ( 讹) ) l + j 1 防砰+ 互1 m 9 + 她) a ( y + t e ) 1 2 - c 3 f l u + e 。) v q ，7 _ i + i u + e 。) q v ( 町毗) i + 互1 l 7 锰1 2 + 互1 l u + 岛) a + e 。) 1 2 c 4f l “白+ e 。) 1 2 + l 面1 2 + ；1l u 。+ 岛) 1 2 + i v ( 叩毗) 1 2 + i 叩2 面| 2 + i i a i i ；i i u 幢 其中含i v ( ，7 t t ) 1 2 的项可以移至不等式左边，又由t 日1 ( n ) ，a l 3 ( n ) 知 2 。 0 0 3 。= 一；船川“n u 硐月川u 1 2 ) “( 椒) i = 伸一f ( 川砰) 咖2 面1 - ； l i pp 4 时， 2 , q ( n _ c 叶( n ) ，所以( v i i ) 副。“旧 o 。薹口 互3 时， 2 0 c , q ( q ) q ( q ) ，r = 硒o q ，而d u 1 0 c , q ( n ) ql 4 1 ( n ) ，由h 6 1 d e r 不等式 ( v i i ) ；( 卜p 器) 警( 胁音 即要求p 一1 五笔sr ，且2 吼主与，由第二个条件知叮l ( 2 ，3 ) ， 而 华东师范大学理学硕士学位论文 r o o 当g 昙，所以存在仉对p 【4 ，5 ) 均有第一个条件成立，( v i i ) c o ，所 以3 o o ，所以 ， ，| r ( 批) 1 2 一l v ，7 1 2 l 毗1 2 o o 即 ，| r ( 叩m ) j 2 o o 因此，r 毗l 2 ( d 6 ) 由k a t o 不等式 i j n av 川j 厶。i r 毗1 2n 一 所以v i 毗l l 2 ( n 6 ) 又i 地i l 2 ( 1 1 6 ) ，所以l “t i h 1 ( q 6 ) 。一l 6 ( n 6 ) 因此当 a p ( q ) ，饥a l 2 ( n 6 ) 所以 r t + i u t a l 2 r u t l 2 + i u t 吖 r u t j 2 + 创； 所以d 2 u l 2 ( q j ) 因此让日2 ( n j ) s t e p 2 ：证明u h 3 ( q d ) 事实上，现在已经有t h 2 ( f z 6 ) 由( 3 4 ) 得 几蛆掣币= 一妒+ 2 】_ 枷呐i “函 ( 3 4 ，) 当t 一0 时，上式左端= ，r ( v t ) y 了，而 一l=l一vnu(y+tes)妒(y)(a(y)-a(y+te,) = 一嗄岫) 而d 州) 一孚：一t 等坐坐竿型k 趔 = 州) r 比) 现舶) 厂如厂如厂如 = 一 一 尸 毗v ，厶 兰垄壁至盔兰罂芏堡圭兰垒丝茎 一i b u 1 2 ) u 巧= 元i a 矿而= s 1 ：v 9 雨9 = f ( i u l 2 ) 札 所以代入( 3 4 ，) 得 i r a ( w ) 币= i i ( u r 妒见a r “见a ) + ；v g ( 3 6 ) ( 3 6 ) 式中以a t 妒代替妒，则 ( 3 6 ) 式左端= r ( v u ) v a c a - , 妒) = 叩小平平 = 一l r ( v ) 瓦网一可丽) = 一；r ( v u ) 币矿丽吧( v u ) - 丽万 ( 3 7 ) 在上式中做变换f = z t e ，经计算得 ( 3 z ) 右t l t = ；r ( v u ( f + t e 瑚可丽 一r ( v u ( y + t e s ) ) l 妒( ) ( a 0 + t e 一) 一a ( f ) ) 一 v “( + t e o ) ( a ( 口+ t e o ) 一a ( y ) ) v a ( 什) 而) 一v a ( v t ) 写 垒一；r r ( v 岫拙川瓢万- t - 3 * - - r ( v 咖币 = 一i v a a i v u 币一i i 。 ( 3 6 ) 式右端= i i m r ( 一t i p ) 见a r “a t o p d 。a ) + ；v 9 一。 垒a + v g - a _ t 所以有 v a ( v 毗币= 一；3 * - 4 * - h v ，a 。 ( s 8 ) - 1 8 - 在( 3 8 ) 式中，令妒= 矿( v t ) 。，则 ( 3 8 ) 式左端= r ( v “) t 可了矿硒 。r ( v 缸) t f 碡而丽两+ 勖q 而j = 一r ( v u ) t 可而两+ r ( v u ) 。t 7 v ，7 - 丽 2 ，( r ( 卵( v t ) t ) v 玎( v u ) t ) + 可丽丽+ q v 矗丽i r ( v u k 2 j r ( 7 ( v t ) t ) 1 2 一v 刁( v “) t 。可丽，+ 卵v ，7 丽i r ( v “h ( 3 ，8 ) 式右端= 一1 3 i ，：矿( 讥) t 一4 + f ，俨( 钆h 一；v g ( ，7 。( 州班 所以由( 3 8 ) 得 i r ( q ( 讹) t ) f 2 = 跏( v u k 丽丽- 叩v o ( v u ) t r ( v 毗+ ( 3 8 ) 式右端 = y q l 2 i ( v k 1 2 + ( 3 8 ) 式右端 + v q ( v u ) t 习而砺一v 丽硕r ( ，7 ( v “) 。) ( 3 9 ) ( 3 9 ) 中两边取实部得 f r ( 野( v 缸) 圳2 = y , 7 1 2 f ( v “) 。f 2 + f 己e f ( 3 8 ) 式右端j 先考察 一m ；3 刚v 咄= 如厂一吧( v u ( y 他跏”。丽酗洲) + v “( 讹。) t a ( 口) 瓦= j 开可顽 - f l v a ( v u ( 1 1 + t e s ) ) _ 2 ( v ”k i i a 。j + i v t 白+ f e l ) r ( 什“。) 矿( v t ) t ir a 华东师范大学理学硕士学位论文 = i 【v ( v t 0 + t e 。) ) 一i v u ( y + t e 。) a 】叩2 ( v u k i i h t i + i v u ( y + t e 。) 【v ( 叩2 ( v u ) t ) 一铆2 ( v u ) t a ( y + t e , ) l l a t l = l v 2 悟+ t e 。) 7 7 2 ( v “) t i v u ( y + t e 。) ，7 2 ( v “) t a li a t i + i v u ( y + t e 。) - v ( q 2 ( v u ) t ) 一v u ( y + t e o ) i ，7 2 ( v “) t a ( y + t e ) l l a t i l a t i 【i v = u ( y + t e 。) q 2 ( v u ) t i + i v u ( y + t e 。) 叩2 ( v u ) t a i + i v u ( y + 岛) v ( n 2 ( v ) t ) l + i v u ( y + t e , ) n 2 ( v “) t a ( v + t e 。) | 】 垒c b 【4 。+ 5 + 6 。+ r 1 其中 4 。z 。i v 2 出+ c e 以v 毗l ；i v 2 岫拙川2 州v n 砰i j l 1 6j n d 因为h 2 ( q j ) ，所以4 而 5 。= f l w , ( 他砌2 ( v u ) 州上。i c y 咄1 2 + 陬侧2 i d 2 u 1 2 + f v u a 1 2 j b 由于a l 3 ( q ) ，u h 2 ( q j ) ，v u h 1 ( n j ) ，所以5 。 o o 6 。= i v u ( v + t e 。) v ( q 2 ( v t ) t ) i = 弘2 “( y + t e o h 2 ( v 毗i + 厶嘉识v 毗 s j d 2 u 匆+ t e 。) ( v u ) “ j n j i d 2 u b + t 岛) 1 2 + l ( v h 1 2 j n j 由月心( n j ) 知，6 。 o o 7 = ，i v u ( y + t e ，) ，7 2 ( v ) t a 国+ t e 。) i i v u a 1 2 + f ( v “) t 1 2 由于a 三3 ( q ) ，“日2 ( ) ，所以7 。 o o 所以一r e lj 3 + l 归矿( v 。) i 再考察 一p 晓f 4 1 耐。一鼬如r ( 虬( 矿( v 删耻一r 翟骊舭) i “又( “町2 ( 吼) 川见a r “五刁尹丽见a _ l i d , a l l 。f l “v a ( , a t ( 矿( v u ) t ) ) i + f r “一t ( q 2 万雨 鲫见钏。厂( 8 + 9 ) 8 。= 厂旧r ( “( 7 2 ( v 删l = 旧“( r 瞅v u m ) 1 = i - 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