（概率论与数理统计专业论文）带常利率的古典风险模型中的绝对破产问题.pdf

ab s t r a c t i n t h i s p a p e r , w e c o n s i d e r t h e c l a s s i c r i s k m o d e l u n d e r a c o n s t a n t in t e r e s t f o r c e , a n d i n t h is m o d e l c o m p a n y a r e a l l o w e d t o b o r r o w a t s o m e i n t e r e s t r a t e w h e n t h e s u r p h i s b e c o m e s n e g a t i v e , w h i c h w e c a ll t h e a b s o l u t e r u i n r i s k m o d e l . a s t h e s u r p l u s p r o c e s s i s a m a r k o v p r o c e s s . b y u s i n g t h e m a r k o v p r o p e r t y , w e d e r i v e a n i n t e g r o- d i ff e r e n t i a l e q u a t i o n f o r t h e g e r b e r - s h i u d i s c o u n t e d p e n a l t y f u n c t i o n f o r t h e a b s o l u t e r u i n r i s k m o d e l . t h e n , 场a p p l y i n g t h e m t e g r o- d i ff e r e n t i a l e q u a t i o n , w e g e t s o m e e x p li c i t e x p r e s s i o n s f o r t h e p r o b a b i li t y o f a b s o l u t e r u i n , t h e j o i n t s u r v i v a l f u n c t i o n o f t h e s u r p l u s j u s t p r i o r t o a b s o l u t e r u i n a n d t h e d e fi c it a t a b s o l u t e r u i n , a n d t h e l a p l a c e t r a n s f o r m o f t h e t i m e o f a b s o lu t e r u i n i n t h e s p e c ia l c a s es w it h e x p o n e n tia l c la im s . a t la s t , 妙u s in g t h e id ea s a n d t e ch n iq u e s fr o m g e r b e r a n d s h iu ( 19 9 7 ) a n d w u e t a 1 .( 2 0 0 5 ), ，d e r iv e 二e x p li c it e x p r es s io n f o r t h e j o i n t d i s t r i b u t i o n o f t h r e e i m p o r t a n t a c t u a r ia l d i a g n o s t ic s : t h e t i m e o f a b s o l u t e r u in , t h e s u r p lu s i m m e d ia t e l y b e fo r e a b s o l u t e t u i n a n d t h e d e fi c i t a t a b s o lu t e r u in f o r t h e a b s o l u t e r u i n r is k p r o c e s s k e y wo r d s : a b s o l u t e r u i n ; c o n s t a n t in t e r e s t f o r c e ; g e r b e r - s h i u d i s c o u n t e d p e n a l t y f u n c t i o n ; j o i n t s u r v i v a l f u n c t i o n ; l a p l a c e t r a n s f o r m ; m a r k o v p r o c e s s ; t h e p r o b a b i li t y o f a b s o lu t e r u i n ; t h e t i m e o f a b s o l u t e r u i n . a ms 2 0 0 0 s u b j e c t c l a s s i fi c a t i o n s : 9 1 b 3 0 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了 解南开大学关于收 集、 保存、使用学位论文的 规定， 同意如下各项内容:按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本;学校有权保存学位论文的印 刷本和电子版，并采用影印、 缩印 、 扫描、 数字化或其它手段保存论文; 学校有权提供 目 录检索以 及提供 本学位论文全文或者部分的阅览 服务; 学校有权按有关规定向国家有 关部门 或者机构送交论文的复印 件和电 子版; 在不以赢利为目的的前 提下，学校可以 适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学 位 论 文 作 者 签 名 : 尹 翱 ) 0了 年 s 月 17 日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名: 0 - 学位论文作者签名: u、 解密时间:年月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下: 内 部 。 年 最 长5 牟 ， 可 少 于。 年 ) 秘密*i 0 年 ( 最长 1 0 年，可少于 1 0 , 年) 机密*2 0 年 最长9 0 年，可少于2 0 年) 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明: 所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。 除文中己经注明引用的内容外， 本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、 已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体， 均己在文中以明确方式标明。 本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担 。 学 位 论 文 作 者 签 名 :y 1 7 年 ” ) 日 chapte r i i n t r o d u c t i o n i n t h e c la s s i c a l r i s k m o d e l , t h e s u r p l u s p r o c e s s u ( t ) h a s t h e f o r m 弋 刚艺间 u ( t) = 二 + d 一 s ( t) = u + d一 w h e r e 。 0 is th e in it ia l s u r p lu s , c _ 0 is t h e ra z e o f p r e m iu m ; n (t ) :t ) 0 is th e p o iss o n c la im - n u m b e r p ro c e s s w it h in t e n s ity a 0 ; x i 。 : = 1 , 2 ， 二 i n d e p e n d e n t o f t h e t h e c l a i m - n u m b e r p r o c e s s a r e i n d e p e n d e n t a n d i d e n t i c a ll y d is - tr ib u t e d clam-size r a n d o m v a r ia b le s w it h c o m m o n d is t r ib u t io n p 闰， f o r sim p li c - ity , ，。th a t p (x ) is d iff e r en t ia b le , w it h p (x ) = p ( x ) . w e a lso 。 t h a t p ( 0 ) = 0 a n d 、= 犷x k d p ( x ) . w h e n k = 1 , ，d e n o t e w = ,a , . l e t u , (t ) d e n o t e t h e s u r p lu s p ro c e s s in t h e c la s s ic a l r is k m o d e l w ith co n - s c a n t i n t e r e s t f o r c e : 0 . r o m s u n d t a n d t e u g e ls ( 1 9 9 5 ) , w e h a v e e d j， 一 s (v )11 e， “ 一 丈 er(t-v)ds (v)i t ( 1 . 1 ) t h e r is k p r o c e s s (1 .1 ) h a s b e e n e x t e n s iv e l y s t u d ie d in li t e r a t u r e a n d m a n y r e su lt s o n r u in p r o b le m s r e la t e d to it h a v e b e e n o b t a in e d . g e r b e r ( 1 9 7 1 ), d e l- b a e n a n d h a e z e n d o n c k ( 1 9 8 7 ) , s u n d t a n d t e u g e ls ( 1 9 9 5 , 1 9 9 7 ) g i v e t h e b o u n d s a n d a s y m p t o t ic a p p r o x im a t io n s t o t h e r u in p r o b a b ili ty . y a n g a n d z h a n g ( 2 0 0 1 a , 2 0 0 1 6 , 2 0 0 1 c ) d e r i v e t h e j o i n t d is t r i b u t io n o f s u r p lu s i m m e d i a t e l y b e f o r e r u i n a n d t h e d e fi c it a t ru in . c a i a n d d ick s o n ( 2 0 0 2 ) s tu 衍t h e g e r b e r- s h in e x p e ct e d d is - c o u n t e d p e n a lt y fu n c t io n a t r u in . w u e t a 1 .(2 0 0 5 ) o b t a in t h e e x p li c it ex p r es sio n f o r t h e j o i n t d i s t r i b u t i o n o f t h r e e i m p o r t a n t a c t u a r i a l d i a g n o s t i c s : t h e t i m e o f r u i n , t h e s u r p l u s i m m e d i a t e l y b e f o r e r u i n a n d t h e d e fi c i t a t r u i n f o r r i s k p r o c e s s ( 1 .1 ) . r e c e n t ly , i t h a s b e e n e x t e n d e d m u ch . c a i ( 2 0 叫 in v e s tig a t es t h e g e r b e r - s h i u e x p e c t e d d is c o u n t e d p e n a l t y f u n c t io n f o r a r i s k p r o c e s s w i t h s t o c h a s t i c r a t e s o f in t e r e s t w h ich is m o r e g e n e r a l t h a n t h e r is k p r o c e s s ( 1 . 1 ) . y u e n e t a 1 .(2 0 0 7 ) d i s c u s s t h e d i v i d e n d s t r a t e g i e s o f i t . l . i n t r o d u c t i o n b u t a ll a b o v e e r e b a s e d o n t h e d e f i n i t i o n o f r u in a s t h e s i t u a t i o n w h e n t h e s u r p l u s b e c o m e n e g a t i v e . i n f a c t , m a n y r e a l i s t i c c o m p a n i e s d o n o t c e a s e t o o p - e r a t e 汕.i t s s u r p h i s b e c o m e s n e g a t i v e , b u t b o r r o w s m o n e y fr o m b a n k i n s t e 喊 p a y i n g in t e r e s t w i t h a c o n s t a n t fo r c e . t h e i n s u r e r m a y r e p a y a m o u n t s o w e d c o n - t i n u o u s ly 二 t im e b y u s in g p r e m iu m in c o m es , g e r b e r ( 1 9 7 1 ) fir s t d e fi n e s r u in a s t h e s it u a t io n w h e n th e s ur p lu s b e c o m e s le s s t h a n 一 于 ， w h ic h ，c a ll a b s o lu t e r u in . t h e r e a s o n in g b e h in d t h i s d e fi n i t i o n i s t h a t w h e n t h e s u r p l u s b e c o m e n e g a t i v e , t h e n t h e c o m p a n y c a n b o r r o w m o n e y a t t h e s a m e r a t e o f in t e r e s t r . h o w e v e r , w h e n t h e s u rp lu s b e c o m e s le s s 七h a n 一 季 ， t h e n t h e in t e r es t p a y m e n t w ill e x c e e d t h e p r e m i u m i n c o m e a n d t h e r e w i l l b e n o h o p e t h a t t h e s u r p l u s ， 川 i n c r e a s e a g a i n . t h e c l a s s i c a l c o m p o u n d p o i s s o n r i s k m o d e l w i t h t h e d e f i n it i o n o f a b s o l u t e 二 、 f i r s t l y b r o u g h t o u t b y d a s s i o s a n d e m b r e c h t s ( 1 9 8 9 ) a n d w a s f i r s t ly c a l l e d d - e m o d e l in z h a n g a n d w u (1 9 9 9 ) . e m b r e ch t s a n d s c h m id li ( 19 9 4 ) c o n s i d e r a t y p e o f g e n e r a l i z a t i o n r i s k m o d e l a n d g iv e t h e l a p l a c e t r a n s f o r m o f a b s o l u t e r u i n p r o b ili t y . d ic k s o n a n d d o s b e is ( 1 9 9 7 ) o b t a in .e q u a t io n s a t is fi e d b y t h e p r o b a - b i li t y o f a b s o l u t e r u i n a n d u s e s i m u l a t i o n t o s t u d y m o m e n t s a n d d i s t r i b u t i o n o f t h r e e q u a n t i t i e s : t h e t i m e t o r e c o v e ry t o s u r p h u 3 l e v e l z e r o , t h e m e m b e r o f c l a i m s t h a t o c c u r w h e n t h e s u r p h i s i s b e lo w z e r o , a n d t h e m a x im u m a b s o l u t e v a l u e o f t h e s u r p lu s p r o c e s s w h en it is b e lo w z e ro . z h a n g a n d w u ( 1 9 卿 in v e s t ig a t e t h e d i s t r i b u t i o n o f t h e s u r p h i s o f t h e s u r p lu s o f t h e d - e m o d e l p r i o r t o a n d a t r u i n . z h o u a n d z h a n g ( 2 0 0 5 ) 咖 二。 xp r e s s i o n o f a b s o lu t e s u r v iv a l p ro b a b i li t y w it h a c l o s e d f o r m f o r t h e d - e m o d e l a n d s t u d y i t s b a r r i e r d i v i d e n d s s t r a t e g i e s . b e s im ila r t o t h e d - e m o d e l , fo r a s a m p le p a t h o f r is k p r o c e s s ( 1 .1 ) * ha v e 碑 (t ) = c + r u , ( t ) .( 1 .2 ) w h e n u , (t ) 。 if u , ( t ) - : , w h ic h s h o w t h a t t h e s u rp lu s m a y b e t u r n t o b e p o sit iv e in fu t u r e . o th e r w is e , if u , (t) . . l e t b - 0 is t h e fo r c e o f d is c o u n t e d in t e r e s t. t h e n , t h e e x p e c t e d d is c o u n t e d p e n a l 勿f u n c t i o n is d e f i n e d a s w s (、 一 ， le 6 ta w ( u (。 一 )， i u *(t a )i ) i(i - 一 于 ， w i th r e s t r ic tiv e b o u n d a ry c o n d i tio n s w s ( 一 三一 a 广 a + a j , 。 ( 一 三 ， : + - ) d p (x ) w s ( - )=0 ( 2 . 2 ) ( 2 . 3 ) p ro of . f o r h 0 , c o n s id e r t h e t im e in t e r v a l (0 , h ) , e n d c o n d it io n o n t h e t i m e t e n d t h e a mo u n t x o f t h e fi r s t c l a i m in t h i s t i m e in t e r v a l . n o t e t h a t t h e p r o b a b ili t y t h a t t h e r e is n o c la i m u p t o t im e h is e a , t h e p r o b a b ilit y th a t t h e fir s t c la im。 二 b e t w e e n t im e a n d t im e t + d t is a e - a 0d t , a n d : u e - rh + t 2 . t h e g e r b e r - s h i u e x p e c t e d d i s c o u n t e d p e n a l t y me a n s t h a t a b s o l u t e mi n h a s o c c u r r e d w i t h t h e f i r s t c l a i m. h e n c e i- h w j (u ) 一 一 “ + a)h l 1/r (ue rh + c j o ” “ ) (rh ( rvet+c+ jo 0“ 一“ ，w j(ue + c f0 一 “ 一 ，dp (x) i一 “ ” 关 “ o +c 、 ro+# (+ i h r ro0rt 二 1 一 “ ， 一厂 一 * )dp (x)*一* ( 2 .4 ) d iff e r en t ia t in g ( 2 .4 ) w it h re sp e c t t o h a n d le t t in g h 工 。 + ， ， 。 一 (b+ a)w 6(u )+ (二 + c) w (u)+ a 厂、 (一 )dp (x )+ a o b t a i n w - m (u ,x + u + ; 一 动 d p 闰. ( 2 . 5 ) a r r a n g in g ( 2 .5 ) , (2 .1 ) is p r o v e d . i n p a rt ic u la r , l e t t in g u 1 砖， th e n ( 2 .2 ) is g iv e n . l et in g u ? o o , p t a , , 2 , + ) a n d = 0 . t h e n t h e g e rb e r - s h iu e x p e c t e d d i s c o u n t e d p e n a l t y f u n c t io n b e c o m e s t h e j o i n t s u r v i v a l f u n c t io n o f t h e s u r p h i s j u s t p r io r t o a b s o lu t e 二 . d th e d e fi c it a t a b s o lu t e r u in d e n o t e d b y k = ,(u ) . k =,v(u ) 一 p (u (: 一 ) : ，i u (t a )i ， + r ,t a 一 乞 a(x, y) j l (t)dt f l(t)dt, a (x, y)小t)dtf户t)dt, - u x, 矛.，口、. 一一 u 凡 2 . t h e g e r b e r - s h i u e x p e c t e d d i s c o u n t e d p e n a l ty wh e r e a ( x , y )= a ( : 二 + c ) - a e a p (x + ， + c ) 附产几二-le- l (t )=( r t + c ) a l ( t ) d t 盖 ; ( 2 ) f o r x - . , k , ,y (u ) s a t is fi e s t h e in t e g ro- d iff e re n t ia l e q u a t io n s t h a t ( 2 .1 ) h o ld (二 + c)k =.v(u) = 二 ，(、 一 * ,yff二 ，。 一 )dp(s), (二 + c)k =.v(u) _ * ;。 卜 * 厂k =.va s (一 )dp (s) 一 *， ( + ; + c)r - r : x ( 2 . 1 3 ) s in c e p ( x ) = 1 一 。 一 丢 : ， d iff e r e n t ia t in g b o t h s id es o f s y s t e m ( 2 .1 3 ) y ie ld s t h e o r d in a ry d i ff e r e n t ia l e q u a t i o n s 二 + c)k .,(u) 一 (， 一丢 (二 + c)k i,y(u) 一 0, (r u + c) k .,v(u ，一 (， 一去 (ru + c)k . y(、 一 0, - r 。 x. s o p s . (二 ) c a n b e e x p r e ss ed a s a 1尤 (rt + 。 ，一、 一， + * ， - ; 。 x , 、 厂 (rt + c)，一、 一，“ ， ， 二 矛.，、.、 一- 牡 刃 kz f r o m t h e o r e m 2 .1 a n d s y s t em ( 2 .1 3 ) ,w e h a v e t h e fo ll o w i ng b o u n d a r y c o n d it io n s : 凡 j (一 _ck =,v (- r ) 一 。， k = ,v (x + ) = p = ,v (x - ) , 凡,v ( o o ) = 0 , k .,v(x + ) + 流 p (xrx + c+ ， + cq = k = ,v ( x - ) . 2 . t h e g e r b e r - s h i u e x p e c t e d d i s c o u n t e d p e n a l t y f u n c t i o n w i t h t h e s e b o u n d a r y c o n d i t i o n s , w e c a n d e t e r m i n e d t h e f o u r c o n s t a n t s a , 一人 a n d o b t a in ( 1 ) o f t h e o r e m 2 . 2 勿s o m e e l e m e n t a ry c a l c u la t i o n . a l o n g th e s a m e lin e , o n e c a n o b t a in k . ,(u ) fo r : - - 9 . w e o n ly p r e s e n t t h e i n t e g r o- d i f f e r e n t i a l a n d t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s . t h e d e t a i l c a l c u la t i o n s a r e 。 血it t e d . f o r 二 一 三 . r ( 2 . 1 4 ) d i ff e r e n t i a t in g b o t h s i d e o f ( 2 . 1 4 ) y i e l d s ， .、 二 ” ， 、 / 、. ，1 ， _、 、 ， ， ，、 s_ ， 、 _ c ( r u t c ) w ( u ) 一 n +0 一 r 一一 ( r u + c ) ) op - ( u ) 一一 ， ( u ) =u ， “ 2一 ，( 2 . 1 5 ) 、拼，户 - r w h i c h i s a h o m o g e n e o u s o r d i n a ry d i ff e r e n t i a l e q u a t i o n o f s e c o n d o r d e r . l e t x = “ + 于 a n d d( x ) = 4p (x 一 ; ) , p u t t in g t h e m in t o ( 2 .1 5 ) y ie ld s 二 “， 一 (， + 一二 )() 一 去 (卜 。: 七 。 ， (2 .1 6 ) l e t z 二 一 盖 x ， ( : ) = ( 一 ; z ) . t h e n (2 .1 6 ) c a n b e r e w ri tt e n a s ， (卜 (卜 _a + br 一 )9(z) - ( 一 !) ，(卜 。. b y s a lt e r ( 1 9 6 0 ) , th e so lu t io n o f t h e e q u a t i o n a b o v e is o f th e fo rm l(x ) 一 b ig ( 一 9 ,1 一 竺b 1 、 _ ， 1 、 毕 - - x ) + b 2 ! 一 一 x ) 产，、拼， g ( 久. 入 +a 1 一， 1 十; 一一 r拼x ) ( ， 注 乃 c o m b in in g ( 2 .1 7 ) a n d !( x ) = .p (: 一 r ) + .g e t 。 (。) 一 ， :。 (一 ， 1 _ 竺b ;一 王 (u + ) + b 2 ( 一 王 (u + c ) t g (a ; + a + 6 ;一 王 (二 + 抖r，、 产r ，x r r拼) r o m t h e o r e m 2 . 1 , w e h a v e t h e f o ll o w in g b o u n d a ry c o n d i t i o n s 全 ( 一 二 ) r c 土 人+j 侧0 o ) =0 c hapter 3 t h e j o i n t d is t r ib u t i o n o f t a , u , (t a - ) a n d u , (t a ) i n t h i s s e c t i o n , w e w i ll d e r i v e t h e e x p li c i t e x p r e s s i o n f o r t h e j o i n t d i s t r i b u t i o n o f t h r e e im p o r t a n t a c t u a r i a l d i a g n o s t i c s : t h e t i m e o f a b s o lu t e r u i n 几， t h e s u r p l u s im m e d ia t e ly b e fo r e a b s o lu te t u in u ja - ) a n d t h e d e fi c it a t a b s o lu t e 二 u , (t a ) fo r r is k p r o c es s ( 1 .1 ) . t h e j o in t d is tr ib u t io n 、 fir s t in t r o d u c e d a n d s tu d ie d b y g e r b e r a n d s h iu ( 1 9 9 7 ) a n d f u r th er c o n s id e r e d 勿w in e t a 1.( 2 0 0 3 ) f o r c la s s ic a l p o is s o n r is k m o d e l. a n d t h e r e s u lt o f w u e t a 1 .( 2 0 0 5 ) g iv e s t h e j o in t d is tr ib u t io n f o r t h e r i s k p r o c e s s w i t h c o n s t a n t i n t e r e s t f o r c e . i n o r d e r t o g e t t h e e x p li c i t e x p r e s - s io n fo r t h e j o in t d is t r ib u t io n , id e a s a n d t e ch n iq u e s fr o m g e r b e r a n d s h iu ( 1 9 9 7 ) a n d w u e t a 1 .( 2 0 0 5 ) a r e u s e d . w e c a n fi r s t o b t a i n t h e t r a n s i t io n f u n c t i o n p ( t ， 二 ， r ) o f t h e s u r p l u s p r o c e s s ( 1 .1 ) . a c c o r d in g to w in e t a 1.(2 0 0 5 ) , fo r t 0 ， 二 r=(- o o , + o o ) a n d a n y r e fl ( r ) (t h e b o r e l a - a lg e b r a o n r ) w e h a v e p (t, x, r)一 二 (。 。)。 r)一 l“ ，:e代 + 芳 tjr hct,xet+ cj eo “ 一 y) 。二/ + ,. - .u )dxdyd t = ae-up (ue + c 厂 。 * + y)dtdy. 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