（运筹学与控制论专业论文）几类具有脉冲效应的捕食食饵系统分析.pdf

摘要 脉冲微分方程主要刻画系统的状态在瞬间发生了突变、系统不再连续的动力学 行为，已广泛应用于物理、经济、药物动力学和航天技术等领域近年来，具有脉冲 效应的种群动力系统得到了深入地研究，如渔业养殖中的鱼苗投放和成鱼收获，植 保研究中的种植和砍伐，农业生产中喷洒杀虫剂和投放天敌等，都是人类行为对生 态环境进行影响、控制的有力证据，显示了脉冲效应在生态资源的开发、管理利用 中具有较高的理论价值和广泛的应用前景 基于害虫管理中的生物和化学脉冲控制策略，考虑到喷洒杀虫剂对天敌的影响， 本文首先研究了一类害虫具有阶段结构、天敌具有b e d d i n g t o n - d e a n g e l i s 功能反应 函数且在不同脉冲时刻喷洒杀虫剂和投放天敌的捕食一食饵系统利用f l o q u e t 理论 及比较定理分别得到了系统的害虫灭绝周期解全局渐近稳定和系统持续生存的充 分条件，以m a t l a b 数值模拟验证了所得理论结果的可靠性所得结果可为害虫治理 提供一定的理论指导 其次，讨论了一类食饵具有阶段结构和时滞、连续收获成年食饵和脉冲收获捕 食者的系统根据时滞微分方程的理论及脉冲微分方程的比较定理，得到了系统的 食饵灭绝周期解全局吸引和系统持续生存的充分条件，以数值模拟验证理论分析结 果的正确性 由于l e s l i e - g o w e r 型捕食一食饵模型比传统的l o t k a - v o l t e r r a 模- 型更切合实际意 义，且具有丰富的动力学性质，基于第三章的模型本文又研究了食饵具有阶段结构 和时滞、连续收获成年食饵、在不同脉冲时刻投放和收获捕食者的l e s l i e - g o w e r 模 型利用比较定理和时滞微分方程的理论得到了系统的食饵灭绝周期解全局吸引的 充分条件，以及系统持续生存的充分条件进一步，利用数值模拟验证了得到的理论 结果 鉴于气候、温度、食物供应、交配习性等物理环境因素的变化具有周期性，作 为对第三章模型的改进，本文最后研究了食饵具有阶段结构和时滞、脉冲收获捕食 者的非自治系统，基于比较定理和非自治脉冲时滞微分方程的理论分别得到了系统 的捕食者灭绝周期解全局吸引和系统持续生存的充分条件之后，利用m a w h i n 的延 拓定理讨论了系统正周期解的存在性问题 关键词：捕食一食饵；阶段结构；时滞；脉冲效应；持续生存 a b s tr a c t i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o nm a i n l yd e s c r i b e s t h es t a t e so ft h es y s t e mc h a n g - i n gv e wr a p i d l yi nas h o r tt i m eo ri n s t a n t a n e o u s l y ，w h i c hh a s b e e nw i d e l yu s e di n p h y s i c s ，e c o n o m i c s ，p h a r m a c o k i n e t i c s ，a n ds p a c et e c h n o l o g ya n d o t h e rf i e l d s - i nr 伊 c e n ty e a r s ，p o p u l a t i o nd y n a m i c a ls y s t e mw i t hi m p u l s i v ee f f e c th a sb e e nt h o r o u g h l y s t u d i e ds u c ha 8r e l e a s i n gi m m a t u r ef i s ha n dh a r v e s t i n gm a t u r ef i s h i nf i s h e r i e sm a n - a g e m e n t p l a n t i n ga n dh a r v e s t i n gi np l a n tp r o t e c t i o n r e s e a r c ha n ds p r a y m gp e s t i c i d e sa n dr e l e a s i n gn a t u r a le n e m i e si na g r i c u l t u r a lp r o d u c t i o n ，w h i c ha r es t r o n g e v i d e n c eo fh u m a nb e h a v i o ri m p a c t i n ga n dc o n t r o l l i n go n t h ee c o l o g i c a le n v i r o n m e a t a n ds h o wt h a ti m p u l s i v ee f f e c th a sah i g ht h e o r e t i c a lv a l u ea n db r o a da p p l i c a t l o n p r o s p e c t si nt h ed e v e l o p m e n ta n dm a n a g e m e n t o ft h ee c o l o g i c a lr e s o u r c e s b a s e do nb i o l o g i c a lc o n t r o la n dc h e m i c a lc o n t r o ls t r a t e g i e so np e s ta n d c o n s l d 。 e r i n gt h ei m p a c to fs p r a y i n gp e s t i c i d e so nn a t u r a le n e m i e s ，f i r s t l y , ap r e d a t o r p r e y s v 8 t e mw i t hs t a g e 卜s t r u c t u r e dp e s ta n dn a t u r a le n e m yw i t hb e d d i n g t o n - d e a n g e l i s f u n c t i o n a lr e s p o n s ea n ds p r a y i n gp e s t i c i d e sa n dr e l e a s i n gp r e d a t o r sa td i f f e r e n tl n 卜 p l l l s i v et i m e si ss t u d i e d u s i n gt h ef l o q u e tt h e o r ya n dc o m p a r i s o nt h e o r e m ，s u t - f i c i e n tc o n d i t i o n so f 乞h eg l o b a l l ya s y m p t o t i c a l l ys t a b l e o fp e s t e x t i n c t i o np e r l o d i c s o l u t i o na n dt h ep e r m a n e n c eo ft h es y s t e ma r ed e r i v e d f i n a l l y ，m a t l a bn u m e r i c a l 8 i m u l a i t i o n 8a r ep r e s e n t e dt oi l l u s t r a t et h ef e a s i b i l i t yo fo u r t h e o r e t i c a lr e s u l t s t h e r e s u l t sp r o v i d eat h e o r e t i c a lg u i d ef o rt h ep e s tm a n a g e m e n t s e c o n d l y , ad e l a y e dp r e d a t o r - p r e ys y s t e mw i t hs t a g e - s t r u c t u r e dp r e y a n dc o n - t i n u o t i sh a r v e s t i n go nm a t u r ep r e ya n di m p u l s i v eh a r v e s t i n go np r e d a t o r i sd i s c u s s e q a p p l y i n gt h et h e o r yo fd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o na n dt h ec o m p a r i s o nt n e o r e m o l i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，w eo b t a i nt h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n so ft h e9 1 0 b a l a t t r a u c t i v e n 鹅8o fp r e y - e x t i n c t i o np e r i o d i cs o l u t i o na n d t h ep e r m a n e n c eo ft h es y s t e m f i n a l l y , n u m e r i c a ls i m u l a t i o n sv e r i f yt h et h e o r e t i c a lr e s u l t s a 8t h el e 8 l i 伊g 伽吣rp r e d a t o r - p r e ym o d e li sm o r e r e a l i s t i ct h a nt h et r a d i t i o n a i l o t k a _ v b l t e r r ap r e d a t o r - p r e ym o d e la n dh a sr i c hd y n a m i cn a t u r e s ，b a s e do nt h e i n o d e li nt h et h i r dc h a p t e r ，ad e l a y e dp r e d a t o r - p r e ys y s t e mw i t hs t a g e - s t r u c t u r e d p r e ya n dc o n t i n u o u sh a r v e s t i n go nm a t u r ep r e ya n di m p u l s i v er e l e a s i n g a n dh 沁v e s t i n go np r e ( i a t o ra td i f f e r e n ti m p u l s i v et i m e si ss t u d i e d e m p l o y i n gt h ec o m p a r l s o n t h e e ma n dt h et h e o r yo fd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，s u f f i c i e n tc o n d i t i o n so ft h e g l o b a la t t r a c t i v e n e s so fp r e y e x t i n c t i o np e r i o d i cs o l u t i o na n dt h ep e r m a n e n c e o t 兰州理工大学硕士学位论文 t h es y s t e ma r eo b t a i n e d f u r t h e r m o r e ，n u m e r i c a ls i m u l a t i o n ss h o wt h et h e o r e t i c a l r e s u l t so b t a i n e d o w i n gt os e a s o n a le f f e c t so fw e a t h e r ，t e m p e r a t u r e ，f o o ds u p p l y , m a t i n g h a b i t s a n do t h e rr e s o u r c eo fp h y s i c a le n v i r o n m e n t a lq u a n t i t i e s 。a sa ni m p r o v e dm o d e lo f t h et h i r dc h a p t e r ，ap r e d a t o r - p r e yn o n - a u t o n o m o u ss y s t e mw i t hd e l a y e ds t a g e - s t r u c t u r e dp r e ya n di m p u l s i v eh a r v e s t i n go np r e d a t o ri si n v e s t i g a t e di nt h el a s t c h a p t e r b a s e do nt h ec o m p a r i s o nt h e o r e ma n dn o n - a u t o n o m o u st h e o r yo fi m p u l - s i v ed e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，t h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n so ft h eg l o b a la t t r a c t i v e n e s s o fp r e d a t o r - e x t i n c t i o np e r i o d i cs o l u t i o na n dt h ep e r m a n e n c eo ft h es y s t e ma r eo b - t a i n e d i na d d i t i o n ，w ep r o v et h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o nb yv i r t u eo f t h em a w h i n sc o n t i n u a t i o nt h e o r e m k e yw o r d s ：p r e d a t o r - p r e y ；s t a g es t r u c t u r e ；t i m ed e l a y ；i m p u l s i v ee f f e c t ； p e r m a n e n c e n l 兰州理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研 究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体 已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文 中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担 作者签名： 罗岔诌 日期：，口年，月扣日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅本人授权兰州理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文同时授权 中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通 过网络向社会公众提供信息服务 作者签名： 导师签名： 留丧舱 磊钦与 杉饮 锄 日期：yf o 年 月j 口日 e t 期：? o f 年了月：；0e l 第一章绪论 1 1 课题研究背景及本文主要工作 脉冲微分方程的研究始于2 0 世纪6 0 年代，自9 0 年代以来，这一研究方向引起了 众多微分学者们的重视与兴趣，研究的范围已渗透到信息科学，控制系统，生命科学 等众多领域，逐渐形成非线性微分系统研究领域的国际新热点 在种群生态系统中，由于人为收获、放养或自然灾害等原因都可能使种群密度 发生瞬时突变，这种瞬时突变可用脉冲刻画f 如传染病动力学中的定期接种、癌细 胞的放疗和化疗【2 ，3 1 ；药物动力学中的口服药物、静脉注射；种群动力学中的动物的 繁殖，渔业养殖和森林管理中的投放、种植、收获；农业中的喷洒杀虫剂或定期投放 天敌i 4 9 l ；环境污染中毒素的排放、定期的治理等1 1 0 ，1 1 1 用脉冲微分方程来描述种 群动力系统中的这种瞬时突变，比相应的无脉冲的微分方程能更合理、更精确地反 映现实世界中的许多生命现象和人类的开发行为所以对这些脉冲种群系统的研究 具有非常重要的理论意义和应用价值 近几十年来，有许多文献都研究了捕食一食饵系统，并得到了很多非常好的结 论【4 - 1 5 1 基本的捕食一食饵模型为 iz 7 ( t ) = a x ( t ) 一( z ( 亡) ) y ( t ) ， i 矿( t ) = 一b y ( t ) + 7 ( z ( 亡) ) y ( t ) ， 其中，z ( z ) 和秒( ) 分别表示食饵和捕食者在t 时的种群密度；a ，b ，y 都是正常数；a 表示 食饵的增长率；6 表示捕食者的死亡率；，y 表示捕食的转化率；( z ( ) ) 是捕食者的功能 反应函数功能反应函数深刻地反映了捕食行为的内在规律常见的功能反应函数 主要有食饵依赖型和捕食者依赖型两种形式其中食饵依赖型主要包括h o l l i n g - i 型： ( z ) = a x ；h o l l i n g - i i 型：( z ) = t 4 n - z 瓦, h o l l i n g - i i i 型1 6 1 ：妒( z ) = t 睾白；h o l l i n g - 型：莎( z ) = 老籍而捕食者依赖型主要包括b e d d i n 酵o n _ d e a n g e l i 8 型【8 l 、h a s , s e l l - v a r l e y 型1 1 6 1 和比例依赖型等【1 7 | 其中( z ) = 瑟器磊是b e d d u b g t o n 和d e a n g e l i 8 等 人在1 9 7 5 年提出的b e d d i n g t o n d e a n g e l i s 功能反应函数；忙) = i 是m i c h a e l i s - m e n t e n 功能反应函刿1 7 l ，即比例依赖型。 另一方面，阶段结构是客观世界中普遍存在的现象自然界中有很多种群如一 些昆虫、两栖类动物等，它们从出生到死亡要经历各种不同的生命阶段比如青蛙 要经历蝌蚪、成体蛙两个截然不同的生命阶段，再比如蝴蝶，它的一生具有四个明显 不同的发育阶段：卵期( 胚胎时期) 、幼虫期( 生长时期) 、蛹期( 转变时期) 和成虫期( 有 性时期) 这些生物个体在不同阶段都表现出不同的外形和生理特征，如蝴蝶在化蛹 期便停止取食，到了成虫期才具有繁殖功能。许多食肉动物在幼年期不具有捕食的 l 几类具有脉冲效应的捕食食饵系统分析 能力，而只有到了成年后才能独立捕食c h e n 等f 1 8 1 提出了具有阶段结构和时滞的单 种群模型 i 聊( t ) = b ( t ) 一眈( t ) 一w ( t ) ，、 i 袅( t ) = 口( t ) 一d m ( t ) ， 、 其中，北( 亡) 和m n ( 芒) 分别表示幼年种群和成年种群在t 时的种群密度；曰( t ) 为幼年种群 在t 时的出生率；现( t ) 和( 亡) 分别表示幼年种群和成年种群在t 时的死亡率；w ( ) 表 示t 时种群从幼年转化为成年的转化率；q 为t 时种群从幼年成功转化到成年的概率 考虑到害虫的阶段结构性质，以模型( 1 1 ) 为基础，构建了类害虫具有阶段结 构、天敌对害虫的捕食遵循b e d d i n g t o n - d e a n g e l i s 功能反应且在不同脉冲时刻喷洒 杀虫剂和投放天敌的系统利用f l o q u e t 理论及比较定理分别得到了系统的害虫灭绝 周期解全局渐近稳定和系统持续生存的充分条件，以m a t l a b 数值模拟验证了所得理 论结果的可靠性所得结果可为害虫治理提供一定的理论指导 a i e l l o 和f r e e d m a n 提出的单种群时滞阶段结构的模型为 ( 1 2 ) 其中，z l ( 芒) ，钇( ) 分别表示幼年种群和成年种群在t 时的种群密度；o l ，n ，丁均为正 常数；q 表示幼年_ 种群在t 时的出生率；7 表示幼年种群在t 时的死亡率；卢表示成年种 群在t 时的密度制约；时滞丁表示种群从幼年到成年所需的时间；o l e - - r r x 2 ( t 一7 ) 表示 在时n t - r 出生且在时刻亡仍然存活的幼年个体到达成年的速率。a i e u o 和f r e e d m a n 指 出，系统( 1 2 ) 的所有解在t o 时是正的有界的，且系统( 1 2 ) 存在平凡平衡点( o ，0 ) 和 唯一的正平衡点f 等e 一竹( 1 一e - 竹) ，鲁e _ r r ) ，并说明当t _ + 时，系统的所有正解 都趋向于唯一的豇三平衡点，阶段结构的引入对种群的稳定性没有影响，正平衡点依 然是全局渐近稳定的 在模型( 1 1 ) 和( 1 2 ) 的基础上，很多学者研究了不同类型的阶段结构系统并得到 了许多有意义的结论【1 9 - - 2 7 一些具有阶段结构的脉冲微分系统也得到了广泛地研 究1 4 ，5 ，2 8 】结合模型( 1 2 ) ，考虑到人类行为的离散型，在固定脉冲时刻按比例收获捕 食者，捕食者对成年食饵的捕食遵循m i c h a e l i s - m e n t e n 功能反应，并对成年食饵进行 连续收获，构建了一类食饵具有阶段结构和时滞、连续收获成年食饵和脉冲收获捕 食者的系统根据时滞微分方程的理论及脉冲微分方程的比较定理，得到了系统的 食饵灭绝周期解全局吸引和系统持续生存的充分条件，以数值模拟验证理论分析结 果的正确性 具有修正的l e s l i e - g o w e r 型捕食一食饵的基本模型为 p - - - = f i x ( 1 一警) 一粼， l 矿( 芒) = 聊( 幻一高， ( 1 3 ) 呻t 一 t w 力卜 勉 一 一“ 2 叫 | | l | 兰州理工大学硕士学位论文 其中，z ( t ) 和秒( t ) 分别表示食饵和捕食者在t 时的种群密度；r 1 ，仡，k ，o ，b ，c ，e ，d 均 为正常数；r l 和r 2 分别表示食饵和捕食者的内禀增长率；k 表示在没有捕食者存在时 环境对食饵的承载能力；n 表示捕食者找寻食饵的效率，即食饵的平均损耗率；6 表示 半饱和常数；c 具有与a 类似的生态学意义；捕食者对食饵的捕食遵循h o l l i n gi i 型功 能反应，熙表示由于最偏好的食物z 的严重短缺而使捕食者种群产生的损耗，其 中e 表示在缺乏最喜好的食物z 时捕食者中发生的剩余损耗，而钡0 足食饵转化为捕 食者的转化率 模型( 1 3 ) 是对传统的l o t k a - v o l t e r r a 捕食食饵模型的改进，存描述涉及食物并 不单一的捕食者与它更偏好的食用物种之问的关系时，用这类模型要比传统的l o t k a - v o l t e r r a 模- 型更切合实际意义，比如，它不会出现l o t k a - v o l t e r r a 模：- 型那种因为食饵的 灭绝而导致捕食者指数式衰退的现象或因为捕食者灭绝而出现的食饵种群无限增长 的现象，因而这类模型有更合理的一面现有的研究表明，这类模型具有丰富的动 力学性质，而且还具有其它捕食一食饵模型所没有的性质| 2 9 ，删 假设捕食者是有性生殖的物种，考虑到捕食者种群的增长速度与雄性和雌性的 数量有关，而且可以假定捕食者种群的增长率直接与种群雄雌的数量成比例，因此 把模型( 1 3 ) 中的r 2 y ( 亡) 改成r 2 y 2 ( ) ，以合理表示繁殖速度与雄性和雌性的数量成比 例的事实基于上述假设，文献f 3 1 1 和 3 2 1 提出了如下的l e s l i e - g o w e r 模型 ( 1 4 ) 文献【3 l 】对模型( 1 4 ) 的正平衡点的稳定性和其它动力学行为进行了深入地研究文 献【3 2 1 提出了一类参数具季节性变化和修正的l e s l i e - g o w e r 连续捕食一食饵模型，通过 数值模拟发现了系统的复杂动力学行为，说明参数具季节性变化将使系统的动力学 行为复杂化，甚至出现分支和混沌 结合模型( 1 2 ) 和( 1 。4 ) ，以第三章的模型为基础，得到了一类食饵具有阶段结构 和时滞、连续收获成年食饵、在不同脉冲时刻投放和收获捕食者的l e s l i e - g o w e r 系 统。利用比较定理和时滞微分方程的理论得到了系统的食饵灭绝周期解全局吸引的 充分条件，以及系统持续生存的充分条件进一步，利用数值模拟验证了得到的理论 结果将脉冲效应和阶段结构引入l e s l i e - g o w e r 捕食食饵模型中极大地丰富了生物 模型的研究意义 但目前研究的脉冲微分系统大多都是自治的1 3 3 3 9 】，对非自治的即具有变系数 的脉冲微分系统研究的很少由于气候、温度、食物供应、交配习性及其它物理环 境因素的影响，假设时空变化是周期的，此时考虑到的都是非自治模型为了较全 面的分析导致系统持续生存、吸引和稳定的原因，一般有四种典型的建模方法： ( 1 ) 在模型中考虑较多的种群，并且考虑多维系统； 3 觜 幽件 型一 o 一 幻 q 驴 n 您 l l = 矿 几类具有脉冲效应的捕食一食饵系统分析 ( 2 ) 假设种群的增长与时间有关； ( 3 ) 在种群动态行为中考虑时滞的影响； ( 4 ) 同时考虑时滞和环境变化的季节性影响。 方法( 1 ) 相当牵强，方法( 2 ) 和( 3 ) 只强调了现实中的一个方面，方法( 4 ) 比方法( 2 ) 和( 3 ) 合理且有意义与上述四种方法比较起来，同时考虑脉冲效应、时滞和环境的 季节性变化的方法将更合理、更有意义【3 ，4 0 2 1 文献4 2 1 研究了如下非自治脉冲时 滞微分系统 jz ( t ) = z ( t ) ( 7 ( t ) 一o ( t ) z ( t 一7 - ) ) ，t t k ，k = 1 ，2 ，匕、 iz ( 亡嘉) 一x ( t k ) = b k x ( t k ) ，t = t k ，k = 1 ，2 ， 、7 的正周期解的存在性 具有阶段结构的非自治单种群模型如下 毳葛t 三o 口z ：t 亡! 梨e - 叫i ：- 里：墨? ts 二占t ；- 姜蒜t m “卜力6 ， l 磋( ) =( 一7 - )r r ( 8 ) 幽z 2 ( 一7 - ) 一p ( ) z l ( ) 卜7 考虑非自治的脉冲微分系统将大大拓展生物种群的研究领域 结合模型( 1 5 ) 和( 1 6 ) ，作为对第三章模型的改进，建立了一类食饵具有阶段结 构和时滞、脉冲收获捕食者的非自治系统基于比较定理和非自治脉冲时滞微分方 程的理论分别得到了系统的捕食者灭绝周期解全局吸引和系统持续生存的充分条 件。之后，利用m a w h i n 的延拓定理讨论了系统正周期解的存在性问题 在自然界中，比如在害虫管理中，随着科技的发展，农民有了多种控制害虫的方 法如化学方法、生物方法、文化方法和物理方法然而，化学方法的过度使用产生 了许多经济方面和社会方面的问题另一方面，如果害虫灭绝了，那么天敌也可能灭 绝，进而影响生物的多样性，也影响整个食物链中的其他物种而且在天敌灭绝后， 害虫可能又会出现，甚至大量繁殖，破坏农业生产例如，在我国的甘肃省曾出现过 这样的现象，当地农民用灭鼠药杀死田鼠，结果未曾预料导致大量的鹰死亡因此， 让害虫彻底灭绝并不一定都是最好的结果从保持生态平衡和节约资源的原则出发， 只需将害虫的数量控制在一定范围内，让它既不会对农业造成大的损失，又不至于 灭绝，即害虫和天敌达到共存在渔业管理中，为了解决人类对食物的不断需求和 保护生态系统这两个相对的情况，人们需寻求一个渔业开发的可持续发展策略，即 让系统持续生存 1 2 预备知识 在这- d , 节里给出几个定义和引理 4 兰州理工大学硕士学位论文 考虑脉冲微分系统 l 一( t ) = 厂( t ，z ( ) ) ，t t l , ， z ( t + ) = z ( t ) + i k ( z ) ，t = t k ， ( 1 7 ) iz ( t o + ) = 知，t o 0 ，k = 1 ，2 ， 系统( 1 7 ) 满足下列条件： ( i ) 0 t l t 2 t k ，且当k _ + o 。时，t 七一+ o o ； ( i i ) f t t 笙：( t k 一1 ，纠r n 上连续，且对任意的z 形，l i m ( ，们。( t j ，z ) 厂( ，秒) = ，( 亡毒，z ) 存在； 、。 ( i i i ) i k ：舻_ 舻 定义1 2 1 如果 ( i ) y 在( t 七一l ，纠舻上连续，且对任意的z 舻，l i m ( t ，掣卜( t ； ，善) y ( z ，秒) = v ( 喜，z ) 存在； 。 ( i i ) v 关于x 满足局部l i p s c h i t z 条件， 则称函数v ：矿舻_ 冗+ 属于集合 定义1 2 2 对( 亡，z ) ( “一1 ，t k 】舻，v ，v 关于脉冲系统( 1 7 ) 的上右导数定义 为 1 d + v ( t ，z ) = l i ms u p 妄( v ( t + h ，z + h f ( t ，z ) ) 一v ( t ，z ) ) 啼o + ， 定义1 2 3 若对任意初值z o 有 。l i m z ( t ) = 0 ， 则称种群x 是灭绝的 定义1 2 4 若对任意初值x 0 存在正常数0 b ，则。l i m 十x ( t ) = 譬； ( i i ) 若a b ，则1 i r a 。x ( t ) = 0 z _ 十o o 6 第二章一类具有生物和化学两类脉冲控制的捕食食饵系统 分析 2 1 模型介绍及相关引理 害虫控制是关系到农业生产和经济发展的一个非常重要的问题，控制害虫的方 法主要有生物控制和化学控制，实际情况表明将这两种控制方法结合起来对控制害 虫非常有效文献6 1 提出了一类具有脉冲效应和h u l l i n g - i i i 类功能反应的捕食系统， 但该系统没有考虑喷洒杀虫剂对天敌的影响，而目投放天敌和喷洒杀虫剂是不能同 时进行的虽然有文献在t = ( n4 - z 一1 ) t 时刻喷洒杀虫剂和在t = n t 时刻投放天 敌对文献f 6 1 进行了改进，但没有考虑害虫的阶段结构由于幼年害虫受到卵壳的保 护所以只考虑生物和化学控制对成年害虫和天敌的影响 受文献【6 1 的启发，考虑具有阶段结构和b e d d i n g t o n - d e a n g e l i s 功能反应函数的 系统 z i ( t ) = r x 2 ( t ) 一弘z l ( t ) 一a x l ( t ) ， i y lg 二鬣m y ( t ) + x 2 ( t ) - i - h 竺d ；j 静t m 小1 ) 跏正 ( 亡) = ( 盟一) 秒( ) ，j x l ( t + ) = x l ( t ) ， l z 2 ( 亡+ ) = ( 1 6 ) z 2 ( t ) ， t = ( 佗+ l 一1 ) z ( 2 1 ) 秒( 矿) = ( 1 一口) 可( t ) ， l x l ( t + ) = x l ( t ) ， l x 2 ( t + ) = z 2 ( t ) ， t = 圮 y ( t + ) = y ( t ) 4 - q ，j 其中，z 1 ( t ) ，z 2 ( 亡) ，y ( 芒) 分别表示幼年害虫，成年害虫和天敌在t 时的种群密度； r ，弘，a ，b ，c ，仇，h ，k ，d 均为正常数；r 表示幼年害虫的出生率；p 表示幼年害 虫的死亡率；滚示幼年害虫转化为成年害虫的比例；6 表示成年害虫的密度制约； m y ( t ) 型+ x 2 生( t ) 一+ h 表示单位天敌对成年害虫的捕食率；七表示捕食的转化率；缘示天敌的 死亡率；0 6 l ，0 口 0 表示投放的天敌数量；礼n ( n 表示非负整数集合) ；t 是脉冲周期，0 0 ，y ( o + ) o 的解，若存在正常数m ，m 和，使得当t t o 时，m x l ( t ) m ， 7 几类具有脉冲效应的捕食食饵系统分析 m z 2 ( t ) m ，m y ( t ) m ，则称系统( 2 1 ) 是持续生存的 引理2 1 2 【6 】设x ( t ) = ( z l ( ) ，z 2 ( 芒) ，秽( 芒) ) 为系统( 2 1 ) 满足z 1 ( 0 + ) 0 ，x 2 ( 0 + ) 0 ， y ( 0 + ) o 的解，则当亡o 时，x l ( t ) 0 ，z 2 ( t ) 0 ，y ( t ) 0 引理2 1 3 存在常数m 0 ，使得当t 充分大时，系统( 2 1 ) 的任意正解均满足z 1 ( 之) s m ，x 2 ( t ) 尬u ( t ) m 证明令v ( t ) = z l ( ) + x 2 ( t ) + y ( ) 当t ( 礼+ z 1 ) zn t 时， d + y ( ) = r z 2 ( t ) 一肛1 ( 芒) 一妇! ( ) 一而c ( t ) x 2 讹( t ) y ( t ) 瓢+ ( 而高等一d ) 可( ) ( r 十d ) x 2 ( t ) 一6 z ；( t ) 一d y ( t ) 止业4 bd y ( t ) 当t = ( 他+ z 一1 ) t 时， v ( t + ) = z 1 ) + ( 1 一艿) z 2 ( 丢) + ( 1 一毋) y ( t ) x l ( t ) + x 2 ( t ) + u ( t ) = y ( 亡) 当t = 灯时，v ( t + ) = x l ( t ) + x 2 ( t ) + y ( t ) + g = v ( t ) + g 由定理1 2 1 可得， y ) y ( o + 2e x p ( 一d t ) 十g 乎( 1 一e x p ( 一d t ) ) 十业翟黜+ 面q e x ( 刎p ( d t 一) r , _ 鲤4 b d + 型e ) 【p 燃( d t ) - a _ + o o ) 因此，由y ( t ) 的定义可知，存在一个正常数m = 号茅+ 耥，使得z l ( ) + z 2 ( 亡) + y ( t ) m 证毕 下面讨论系统( 2 1 ) 的害虫灭绝周期解的存在性 当z l ( t ) = 0 ，x 2 ( t ) = o 时，系统( 2 1 ) 变为 1 秒( 亡) = 一匆( ) ，t ( 扎+ l 一1 ) en t , 秒( t + ) = ( 1 一秽) 秒( t ) ，t = ( 佗- i - l 一1 ) l ( 2 2 ) l 可( 舌+ ) = 秒( 右) + g ，t = n t ，、fq e 】x p f ( 】- 一d 们( t e - ) 【d ( n f - 一1 打) r 、) ) ，( n 一1 ) t t c - - 7i 7 n + z 一1 ) l 辩卜 鲻辐剿“土篇_ 1 ) t 亡瓮l1 一( 1 一p ) e x p ( 一d r ) 、i 9 工，上、。二。工 敢o + ) = 歃佗t + ) = f 再面蕞而面，识( 他十z 1 ) p ) = f q ( 再l - o 司) e x i p 丽( - d l t ) 初值为秒( o + ) 时，系统( 2 2 ) 的解为 f ( 1 - o ) 舻1 ( y ( o + ) 一f 再丽轰评丽) e x p ( 一班) + 虱z ) ， 秒(亡)2(1一(护n)n-(y1)(t。+)一t鞘exp(一cf)+玖t)， 8 兰髑理工大学硕上学位论文 于是，得到下述引理 引理2 1 4 系统( 2 2 ) 有唯一正周期解玖亡) ，且对系统( 2 2 ) 的其它正解秒( 亡) 均有 l 衫( 乏) 一认t ) l - 0 ( t 一+ 。) 由引理2 1 4 可知，系统( 2 1 ) 有一个害虫灭绝周期解( o ，0 ，玖) ) 2 2 主要结论 令g = 石，其中冗= 一云l n ( 鱼型嚣睾卷3 毒象誊茜尝葺乌淳铲) ，= h ( 1 一( 1 0 ) e x p ( 一打) ) 定理2 2 1 若g 1 ，则系统( 2 1 ) 的害虫灭绝周期解( o ，0 ，认t ) ) 是全局渐近稳定的 证明令z l ( i ) = 扎( 古) ，z 2 ( 力嚣口( 亡) ，u ( t ) = 玖亡) 十伽( 亡) ，则系统( 2 1 ) 线性化后的结果 为 即，= 一囊小净删，仁4 ， 叭幻2l ：蚤三严粤删， ( 2 4 ) f l 西( o ) = i ，是单位矩阵容易看出矩阵a 的一个特征根为一吐另外两个特征根由 矩阵 b = ( 一? 刚一巍) 决定令h ，入2 为矩阵b 的特征根，则 入- + 入2 = 一( p + n ) 一磊熟 。， 9 删嘎 扛 z 妊_ 一 鬻擀端_ 一一一一锄廿一锨锨一 蚺卅州州州州州俐州 几类具有脉冲效应的捕食食饵系统分析 m 2 = 帮一 当g 0 从而，入l 0 ，, k 2 0 ，使得 叩= ( r 8 + e ) t 十掣l n ( 娅篙舞制罂潞器掣) o ， 其中2 = ( m + i 暑一可署茜) ( 1 一( 1 - 0 ) e x p ( - d t ) ) ，m = 娅4 b d+ 丽q e x p ( d t l 由系 统( 2 1 ) 可知， lf f ( t ) 一句8 ) ，t ( 扎+ z 一王) 互n t , y ( t + ) = ( 1 一口) ( ) ，t = ( n + z 一1 ) e 1 秒( 亡+ ) = 可( ) + 口，t = 7 l t ， 利用比较定理和引理2 1 4 可得， 绯) 2 荆一面- f ( ) ( r 。+ g 一( p + 口) 丽篇氅焉) 。2 ( 亡) ，( 扎+ z 一1 ) z 魍 ；v ( t + ) v ( t ) ，t = ( n + l 一1 ) t ， 【v ( t