（计算数学专业论文）非线性对流扩散问题的迎风型有限元法及其在油藏数值模拟中的应用.pdf

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u t et y p e ，w h e r e a st h ed i f f u s i o nt e r mi s a p p r o x i m a t e d b ys t a n d a r dg a l e r k i nf i n i t ee l e m e n tm e t h o da n dw ep r o v eal e m m at ot h em a x i - m u m p r i n c i p l ew i t hc o n d i t i o n sm o r ew e a kt h a ni k e d a ，sl e m m a ( s e ef 2 0 j ) a n dt h e n p r o v et h em a x i m u mp r i n c i p l ea n dc o n v e r g e n c eo ft h es c h e m e i nt h es e c o n dp a r tw e a p p l i e du p w i n d f i n i t ee l e m e n ts c h e m ef o rr e s e r v o i rs i m u l a t i o n t h em i s c i b l ed i s p l a c e m e n to fo n ei n c o m p r e s s i b l ea n dc o m p r e s s i b l ef l u i db ya n o t h e ri nap o r o u sm e d i u m i sg o v e r n e db yas y s t e mo ft w oe q u a t i o n s ，o n ef o rt h ep r e s s u r ea n dt h eo t h e rf o rt h e c o n c e n t r a t i o no fo n ef l u i d s t h ep r e s s u r ea n dt h ed a r c yv e l o c i t ya r ea p p r o x i m a t e d s i m u l t a n e o u s l yb ym i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o di no r d e rt ob e t t e ra p p r o x i m a t et h e t o t a ld a r c yv e l o c i t yw h i c hc o u p l e st h ec o n c e n t r a t i o ne q u a t i o nw i t hp r e s s u r ee q u a - t i o n ，a n dt h ec o n c e n t r a t i o ne q u a t i o ni sa p p r o x i m a t e db yac o m b i n a t i o n o fag a l e r k i n f i n i t ee l e m e n tm e t h o da n d u p w i n df i n i t ee l e m e n t m e t h o d u n d e rt h ea s s u m p t i o nt h a t t h ee x a c ts o l u t i o np o s s e s s e ss o m er e g u l a r i t yp r o p e r t i e sa n dt h et r i a n g u l a t i o n sa r eo t aw e a k l ya c u t et y p e ，t h ed i s c r e t em a s sc o n s e r v a t i o nl a wa n dc o n v e r g e n c eo ft h ea p p r o x i m a t e ds o l u t i o na r ep r o v e d t h ei m m i s c i b l ed i s p l a c e m e n to f o n ei n c o m p r e s s i b l e f l u i db ya n o t h e ri nap o r o u sm e d i u mi sg o v e r n e db yas y s t e mo ft w oe q u a t i o n s o n e v o fe l l i p t i cf o r mf o rt h ep r e s s u r ea n dt h eo t h e ro fp a r a b o l i cf o r mf o rt h es a t u r a t i o n o fo n ef l u i d s t h ep r e s s u r ea n dt h ed a r c yv e l o c i t ya r ea p p r o x i m a t e ds i m u l t a n e o u s l y b ym i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，a n dt h es a t u r a t i o ne q u a t i o ni sa p p r o x i m a t e db ya c o m b i n a t i o no fag a l e r k i nf i n i t ee l e m e n tm e t h o q la n du p w i n df i n i t ee l e m e n tm e t h o d u n d e rt h ea s s u m p t i o nt h a tt h ee x a c ts o l u t i o np o s s e s s e ss o m er e g u l a r i t yp r o p e r ti e s a n dt h et r i a n g u l a t i o n sa r eo faw e a k l ya c u t et y p e ，t h ed i s c r e t em a s sc o n s e r v a t i o nl a w ， a n d c o n v e r g e n c e o ft h ea p p r o x i m a t e ds o l u t i o na r e p r o v e d f o r t h ec a s ew i t h o u ts o u r c e a n ds i n k ，t h en o n l i n e a rc o n v e c t i o nt e r mo fs a t u r a t i o ne q u a t i o na r ed i s c r e t i z e du s i n g an e wa p p r o x i m a t i o no fp a r t i a lu p w i n dt y p ef o rt h er e s u l t i n gb o u n d a r yi n t e g r a l ，t h e m a x i m u m p r i n c i p l ea n dt h ec o n v e r g e n c ea r ep r o v e d c h a p t e r 1 i n t r o d u c t i o n 1 1t h ec o n v e c t i o n d i 肌s i o n e q u a t i o n c o n v e c t i o n d i f f u s i o np r o c e s s e sa p p e a ri nm a n ya r e a so fs c i e n c ea n dt e c h n o l o g y ； e g ，f l u i dd y n a m i c s ，h e a ta n d m a s st r a n s f e r ，h y d r o l o g ya n ds oo n t h i si st h er e a s o n t h a tt h en u m e r i c a ls o l u t i o no fc o n v e c t i o n d i f f u s i o np r o b l e ma t t r a c t san u m b e ro f s p e c i a l i t y t h ei n v e s t i g a t i o no fc o n v e c t i o n - d i f f u s i o np r o b l e m s h a sb e e nt h eo b j e c to f a ni n c r e a s i n gi n t e r e s to fan u m b e r o f s p e c i a l i s t s ，e n g i n e e r sa sw e l la sm a t h e m a t i c i a n s - f o rt h i se q u a t i o nw h e nt h ec o n v e c t i o ni sn o td o m i n a t e d ，i ti sn o td i f l i c u l tt oo b t a i n t h en u m e r i c a ls o l u t i o nb ys t a n d a r dg a l e r k i nm e t h o d ，b u tw h e n t h ec o n v e c t i o nt e r mi s d o m i n a n tc o m p a r e dw i t ht h ed i f h j s i o nt e r mt h ec o n v e n t i o n a lc e n t r a ld i f f e r e n c es c h e m e a n dt h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o db a s e do nt h ec o n v e n t i o n a lg a l e r k l nf o r m u l a t i o ny i e l d o s c i l l a t i o nu n l e s sm e s hs i z ea r ee x t r e m e l ys m a l l m a n y k i n d so fn u m e r i c a lm e t h o dh a v ep r o p o s e df o rl i n e a rp r o b l e m ，s u c ha sf i n i t e d i f f e r e n c em e t h o d 【1 】if i n i t ev o l u m e - f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ( s e e 【2 】，【3 1 ) ，c h a r a c t e r i s t i c s m e t h o d ( s e e 【7 】- 9 】) ，u p w i n df i n i t ee l e m e n tm e t h o d ( s e ef 1 0 1 5 1 ) ，p a r t i a lu p w i n d f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ( s e e 【i f i ) f o rn o nl i n e a rp r o b l e m ( s e el l z ，【4 i 【i s ) a n ds oo n 1 2 t h ei m p o r t a n tp r o b l e mf r o mt h ec o m p u t a t i o n a lv i e w p o i n ti st h eq u e s t i o no fd i s c r e t em a x i m u mp r i n c i p l ea n dd i s c r e t ec o n s e r v a t i o nl a wo ft h es c h e m eu n d e rc o n s i d e r a t i o n ，as c h e m ew i t ht h et h e s ep r o p e r t yi sm o r e d e s i r a b l et h a nas c h e m ew i t h o u t t h i sp r o p e r t y ( s e e 1 9 一 2 1 ) m a n yt e c h n i q u e sh a v eb e e ni n t r o d u c e df o rl i n e a rp r o b l e ms u c ha st h ea r t i f i c i a l v i s c o s i t y ( s e e 2 2 】) ，t h eu p s t r e a mt e c h n i q u e ( s e e 2 3 ，【2 4 1 ) ，a n du p w i n df i n i t ee l e m e n t m e t h o d ( s e e 1 0 】，i n ，【2 0 】) ，t h e s ea r ee f f e c t i v et og u a r a n t e et h em a x i m u mp r i n c i p l e w i t h o u ta n yl i m i t a t i o no nt h em e s hs i z e ( a l s of o rn o n l i n e a rp r o b l e m ，s e e i s ，【2 5 ) i nt h i sd i s s e r t a t i o nw ec o n s i d e ru p w i n df i n i t ee l e m e n ts c h e m ef o rn o n l i n e a rc o n v e c t i o nt e r mw h i c ha r ed i s c r e t i z e du s i n ga na p p r o x i m a t i o no fp a r t i a lu p w i n dt y p e f o rt h er e s u l t i n gb o u n d a r yi n t e g r a lo nt h ec i r c u m c e n t r i cf i n i t ev o l u m em e s hd u a lt o at r i a n g u l a rg r i do fw e a k l ya c u t et y p e ，w h e r e a st h ed i f f u s i o nt e r mi sa p p r o x i m a t e d b ys t a n d a r dg a l e r k i nf i n i t ec l e m e n tm e t h o da n dw ep r o v eal e m m a t ot h em a x i m u m p r i n c i p l ew i t hc o n d i t i o n sm o r e w e a kt h a ni k c d a ，sl e m m a ( s e ef 2 0 ) a n dt h e np r o v et h e m a x i m u m p r i n c i p l ea n dc o n v e r g e n c eo f t h es c h e m e o u rr e s u l ti ss h o w ni nc h a p t e r2 1 2r e s e r v o i rs i m u l a t i o n b y r e s e r v o i rs i m u l a t i o n ，w em e a nt h ep r o c e s so fi n f e r r i n gt h eb e h a v i o ro far e a l r e s e r v o i rf r o mt h ep e r f o r m a n c eo fam o d e lo ft h a tr e s e r v o i r t h em o d e lm a yb e p h y s i c a l ，s u c ha s as c a l e dl a b o r a t o r ym o d e l ，o rm a t h e m a t i c a l f o ro u rp u r p o s e s ， am a t h e m a t i c a lm o d e lo fap h y s i c a ls y s t e mi sas e to fp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ， t o g e t h e rw i t h a na p p r o p r i a t es e to fb o u n d a r yc o n d i t i o n s ，w h i c hw eb e l i e v ea d e q u a t e l y d e s c r i b et h es i g n i f i c a n tp h y s i c a lp r o c e s s e st a k i n gp l a c ei nt h a ts y s t e m t h ep r o c e s s e s o c c u r r i n gi np e t r o l e u mr e s e r v o i r sa r eb a s i c a l l yf l u i df l o wa n dm a s st r a n s f e r u pt o 3 t h r e ei m m i s c i b l ep h a s e s ( w a t e r ，o i l ，a n dg a s ) f l o ws i m u l t a n e o u s l y ，w h i l em a s st r a n s f e r m a y t a k ep l a c eb e t w e e nt h ep h a s e s ( c h i e f l yb e t w e e nt h eg a sa n do i lp h a s e s ) g r a v i t y c a p i l l a r y , a n dv i s c o u sf o r c e sa l lp l a yar o l ei nt h ef l u i df l o wp r o c e s s t h em o d e le q u a t i o nm u s ta c c o u n tf o ra l lt h e s ef o r c e s ，a n ds h o u l da l s ot a k ei n t o a c c o u n ta n a r b i t r a r y r e s e r v o i r d e s c r i p t i o nw i t hr e s p e c tt oh e t e r o g e n e i t ya n dg e o m e t r y t h ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa r eo b t a i n e db yc o m b i n i n g d a r c y sl a wf o re a c hp h a s ew i t h as i m p l ed i f f e r e n t i a lm a t e r i a lb a l a n c ef o re a c hp h a s e t ou s ed i f f e r e n t i a le q u a t i o nf o rp r e d i c t i n gt h eb e h a v i o ro far e s e r v o i r ，i ti sn e c e s s a r yt os o l v et h e ms u b j e c tt ot h ea p p r o p r i a t eb o u n d a r yc o n d i t i o n t h e s es y s t e m sa r e c h a r a c t e r i z e db ys t r o n gn o n l i n e a r i t ya n d c o u p l i n ga m o n g t h e s ee q u a t i o n s ，t h ea d v e c t i o nd o m i n a n c eo ft h et r a n s p o r te q u a t i o na n dt h em o v i n g s t e e pf r o n t sp r e s e n ti nt h e s o l u t i o n st ot h i se q u a t i o n t h es i n g u l a r i t i e so ft h es o l u t i o n sa tp o i n ts o u r c e sa n ds i n k s ( i e ，i n j e c t i o na n dp r o d u c t i o nw e l l s ) ，t h ec o m p r e s s i b i l i t yo ft h ef l u i dm i x t u r ea n dt h e m e d i u m ，t h es t r o n gh e t e r o g e n e i t yo ft h em e d i a ，t h el a r g ea d v e r s em o b i l i t yr a t i oi n t h ef l u i df l o wp r o c e s s e s ，t h ea n i s o t r o p i cd i s p e r s i o ni nt e n s o rf o r m ，t h ee n o r m o u ss i z e o ff i e l d s c a l ea p p l i c a t i o n ，a n dt h er e q u i r e dl o n gt i m ep e r i o do fp r e d i c t i o n b e c a u s e o ft h e s es a l i e n tf e a t u r e s ，t h en u m e r i c a ls i m u l a t i o nt ot h e s es y s t e m se n c o u n t e r ss e v e r e d i f f i c u l t i e s o n l yf o rt h es i m p l e s tc a s e si n v o l v i n gh o m o g e n e o u sr e s e r v o i r sa n dv e r y r e g u l a rb o u n d a r i e s ( s u c ha sac i r c u l a rb o u n d a r ya b o u tas i n g l ew e l l ) c a ns o l u t i o nb e o b t a i n e db yt h ec l a s s i c a lm e t h o d so fm a t h e m a t i c a lp h y s i c s o v e rt h ep a s td e c a d e ，n u m e r i c a lr e s e r v o i rs i m u l a t i o nh a sg a i n e dw i d ea c c e p t a n c e t h r o u g h o u tt h ep e t r o l e u mp r o b l e mi n d u s t r y , ac o n s e q u e n c eo ft h r e em a j o rf a c t o r s 1 at r e m e n d o u si n c r e a s ei n c o m p u t i n gs p e e da n dc a p a c i t y ，r e s u l t i n gi nl o w e r u n i tc o m p u t i n gc o s t 4 2 i m p r o v e m e n t si n t h en u m e r i c a la l g o r i t h m sf o rs o l v i n gt h ep a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ；a n d ，p e r h a p sm o s ti m p o r t a n t 3 t h eg e n e r a l i t yb u i l ti n t or e s e r v o i rs i m u l a t o r sp e r m i t t i n gt h e mt om o d e lm o r e r e a l i s t i c a l l yt h ew i d ev a r i e t yo fo i la n dg a sr e s e r v o i rt h a te x i s tt h r o u g h o u tt h e w o r l d n o ww ei n t r o d u c et h em a t h e m a t i c a lm o d e lo ft h em i s c i b l ea n dt h ei m m i s c i b l ef l o w 1 2 1m i s c i b l ec a s e w es h a l lc o n s i d e rt h es i n g l e p h a s e ，m i s c i b l ed i s p l a c e m e n to fo n ec o m p r e s s i b l e f l u i db ya n o t h e rar e s e r v o i rqc r 2o fu n i tt h i c k n e s s l e tc id e n o t et h e ( v o l u m e t r i c ) c o n c e n t r a t i o no ft h ei t hc o m p o n e n to ft h ef l u i dm i x t u r e ，i = 1 ，n w ea s s u m et h a t a d e n s i t yp ic a nb ea s s i g n e d t ot h ei t hc o m p o n e n tt h a td e p e n d ss o l e l yo nt h ep r e s s u r e p ；m o r e o v e r ，w es h a l lt a k et h i se q u a t i o no f s t a t ei nt h ef o r m 堕：五d p ，( 1 2 1 ) w h e r e 盔i st h e ”c o n s t a n tc o m p r e s s i b i l i t y ”f a c t o r ( 【2 8 lp 1 0 ) f o rt h ei t hc o m p o n e n t t h ea s s u m p t i o no fm i s c i b i l i t yo ft h ec o m p o n e n t si m p l i e st h a tt h ed & c yv e l o c i t yo f t h ef l u i di sg i v e nb y 口= 一“k - v v ， ( 1 2 2 ) w h e r ek = ( z ) i st h ep e r m e a b i l i t yo ft h er o c ka n dp = p ( c ) = 卢( c 1 ，c n ) i s t h ev i s c o s i t yo ft h ef l u i d a s s u m et h a tn ov o l u m ec h a n g ei si n d u c e db ym i x i n gt h e c o m p o n e n t a n dt h a tad i f f u s i o nc o e f f i c i e n t ，w h i c hc a nc o m b i n et h ee f f e c t so fm o l e c u l a r d i f f u s i o na n dd i s p e r s i o n 【2 6 】，e x i s t st h a ti sc o m p o n e n t - i n d e p e n d e n t ；i e ，l e t d = 妒0 ) o 。i 十 训( 啦e 0 ) + a t e 上0 ) ) ) ( 1 2 3 ) 5 w h e r e e ( v ) = 【器】i s t h e2 2m a t r i xr e p r e s e n t i n go r t h o g o n a lp r o j e c t i o na l o n gt h e v e l o c i t yv e c t o ra n de 上( ) = i e ( v ) i t so r t h o g o n a lc o m p o n e n t ，a n d 曲= 毋( z ) i s t h ep o r o s i t yo ft h er o c k f o rc l a r i t yo fp r e s e n t a t i o nw es h a l lc o n f i n eo u r s e l v e st oa t w oc o m p o n e n td i s p l a c e m e n tp r o b l e ml e tc2 。1 = 1 一c 2 ，t h em o d e lw ec o n s i d e ri s g o v e r n e db yt h ef o l l o w i n gd i f f e r e n t i a ls y s t e m ： d ( c ) 塞+ v d ( c ) 象一v t ( 0 ( c ) 耶) ( 1 24 ) 塞+ 6 ( c ) 害协v c 一审( d v c ) = ( c ) 口 ( 1 2 5 ) w es h a l la s s u m et h a tn of l o wo c c u r sa c r o s st h eb o u n d a r y ： u n = 0o n a q ( d v c 一例) 佗= 0o n 锄 w h e r eni st h eo u t e rn o r m a lt oa q i na d d i t i o n t h ei n i t i a lc o n d i t i o n p ( x ，0 ) = p s ( x ) ， z q ( 1 2 6 ) ( 1 2 7 ) ( 1 2 8 ) c ( x ，0 ) = c o ( x ) ， 。q ( 1 2 9 ) m u s tb e g i v e n n o t et h a ti fb ( c ) = d ( c ) 20t h em o d e lf o rt h ec o m p r e s s i b l ep r o b l e mc o n v e r g e s t ot h a to ft h ei n c o m p r e s s i b l em o d e la st h ef l u i d st e n dt o w a r di n c o m p r e s s i b i l i t y t h e d i f f e r e n t i a ls y s t e m ( 1 2 4 ) 一( 1 2 9 ) h a sb e e n c a r e f u l l yd e r i v e di na p p e n d i xa p p e n d i xo f t h i sd i s s e r t a 土j o n 1 2 。2i m m i s c i b l ec a s e i nr e s e r v o i rs i m u l a t i o n ，w ea r ep r i m a r i l yc o n c e r n e dw i t hm o d e l i n gt h ed i s p l a c e m e n t ， w i t h i nap o r o u sm e d i u m ，o fo i lb ye i t h e rw a t e ro rg a s w h i l et h ed i s p l a c i n gf l u i d 6 m a yb ei m m i s c i b l e ，w i t ht h ef l u i db e i n gd i s p l a c i n g ，t h ed i s p l a c e m e n td o e sn o tt a k e a sap i s t o n l i k ep r o c e s sw i t has h a r pi n t e r f a c et h et w of l u i d s r a t h e r ，s i m u l t a n e o u s f l o wo ft h et w oi m m i s c i b l ef l u i d st a k e sp l a c ew i t h i nt h ep o r o u sm e d i u m t h em o d e l f o rt h ei n c o m p r e s s i b l ei m m i s c i b l ew ec o n s i d e ri sg o v e r n e db yt h ef o l l o w i n gd i f f e r e n t i a l s y s t e m ： v = q ，( z ，t ) n ( 0 ，t 】( 1 2 1 0 ) = - a ( s ) v p ，( 。，t ) q ( 0 ，t 】 毋塞+ v ( ，( 咖) 一v ( 0 ( s ) v s ) = 如 s ) ( 州) q ( o ，t 】，( 1 2 1 2 ) 宴：0 帆 嘉= o a n dt h ei n i t i a lc o n d i t i o n ( z ，t ) f ( 0 ，t 】 ( z ，t ) r ( 0 ，t 】 s ( z ，0 ) = s 0 ( z ) ( 1 2 1 3 ) ( 1 2 1 4 ) ( 1 2 1 5 ) t h ed i f f e r e n t i a ls y s t e m ( 1 2 1 0 ) 一( 1 2 1 5 ) h a sb e e nc a r e f u l l yd e r i v e di na p p e n d i xo ft h i s d i s s e r t a t i o n 1 2 3t h en u m e r i c a lm e t h o do fr e s e r v o i rs i m u l a t i o n s p a c e c e n t r a lf i n i t ed i f f e r e n c eo rg a h r k i nf i n i t ee l e m e n tm e t h o d so f t e ng e n e r a t e n u m e r i c a ls o l u t i o nw i t hs e v e r en o n - p h y s i c a lo s c i l l a t i o n s i ni n d u s t r i a la p p l i c a t i o n s ， u ps t r e a mw e i g h t i n gt e c h n i q u e sa r ec o m m o n l yu s e dt os t a b i l i z et h en u m e r i c a la p - p r o x i m a t i o n st ot h e s es y s t e m si nl a r g e - s c a l es i m u l a t o r s h o w e v e r ，t h e s em e t h o d s p r o d u c ee x c e s s i v ea r t i f i c i a ln u m e r i c a ld i s p e r s i o na n dp o t e n t i a l l ys p u r i o u se f f e c t sr e l a t e dt ot h eo r i e n t a t i o no ft h eg r i d ( s e e 【2 9 】) b e c a u s eo ft h eh y p e r b o l i cn a t u r eo f 7 a d v e c t i v et r a n s p o r t ，c h a r a c t e r i s t i cm e t h o dh a v eb e e ni n v e s t i g a t ee x t e n s i v e l yi na n - m e r i c a ls i m u l a t i o no fp o r o u sm e d i u m f l o w s ( s e e 【7 ，8 ，9 1 ) b e c a u s et h es o l u t i o na r e m u c hs m o o t h e ra l o n gt h ec h