（运筹学与控制论专业论文）一类带有非线性参数的自适应控制.pdf

摘要 论文主要对带有非线性不确定参数的状态反馈系统的调节问题，我们提 出新的递归算法此算法类似于著名的自适应b a c k s t e p p i n g 方法，但所构造的 参数估计值不同，所设计的非线性增益也不同通过具体例子说明了所提方法 的优越性对于含有线性未知常参数的非线性级联系统镇定问题，通过构造 l y a p u n o v 函数，运用s o n t a g 公式来设计自适应控制律，采用投影算子对参数 进行在线估计及b a c k s t e p p i n g 方法设计出级联系统的自适应控制律与在线估计 器，使级联系统镇定 关键词：非线性系统、非线性参数、状态反馈、自适应控制、递推设计、 控制l y a p u n o v 函数、投影算子 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ep r o p o s ean e wr e c u r s i v ea l g o r i t h mf o rt h er e g u l a t i o nv i as t a t ef e e d - b a c ko fs y s t e m si ns o - c a l l e dp a r a m e t r i cf e e d b a c kf o r m t h ea l g o r i t h mr e s e m b l e st h ew e l l - k n o w na d a p t i v eb a c k s t e p p i n ga p p r o a c h ，b u td i f f e r si nt h ew a yt h ep a r a m e t e re s t i m a t o ri s c o n s t r u c t e da n di nt h ew a yt h en o n l i n e a rg a i n sa r ea s s i g n e d ac o m p a r a t i v ec a s ei sp r e s e n t e d h i g h l i g h t i n gt h ea d v a n t a g e so ft h ep r o p o s e dm e t h o d o l o g y f o rt h ep r o b l e mo fn o h n e a rc 瓣 c a d es y s t e m ss t a b i l i z a t i o nw i t ht h eh n e a ru n k n o w np a r a m e t e r ，al y a p u n o vf u n c t i o ni s c o n s t r u c t e d ，b ys o n t a gf o r m u l a ra n dt h ep r o j e c t o r ，w h i c hg u a r a n t e e ss t a b l i t yo ft h ec l o s e d l o o ps y s t e m s ，a na d a p t i v ec o n t r o ll a wi sd e s i g n e d k e yw o r d s ：n o n l i n e a rs y s t e m s ，n o n l i n e a rp a r a m e t e r ，s t a t ef e e d b a c k ，a d a p t i v e c o n t r o l ，r e c u r s i v ea l g o r i t h m s ，c o n t r o ll y a p u n o vf u n c t i o n ，p r o j e c t o ro p e r a t o r 2 引言 控制理论是研究如何控制各种被控对象( 或称系统) 使动态过程性能达到 期望性能的学科众所周知，当被控对象参数是已知定常或变化较小以至可忽 略时，一般采用常规反馈控制、模型匹配控制或最优控制等方法，便可以得到 较为满意的控制效果但是，当被控对象参数未知，或者由于环境条件影响， 参数发生较大变化时，上述控制方式就不适用了因为对象参数的变化会使本 来处于某种最优指标状态工作的系统，不在是最优的甚至变成不稳定的系统 为了解决上述问题，使系统维持在最优或接近最优状态下工作，最有效的方法 之一是采用自适应控制方式 自适应控制系统首先由d d a p e r 和厶在1 9 5 1 年提出，他们介绍了一种能使 性能特性不确定的内燃机达到最优性能的控制系统在许多工程实例中可知， 特性变化因环境和工作条件改变很大，所以在设计控制系统时，我们要考虑下 列几个实际问题： ( 1 ) 由于环境，原料特性和生产量的变化，或因为各种物理系数改变而引起设 备传递函数的阶次或参数值的改变； ( 2 ) 各种各样的随机扰动； ( 3 ) 输入信号类型，大小和特性的变化； ( 4 ) 复杂的化学或生物反应过程的非线性特性； ( 5 ) 相当大的纯迟延。 在发生这些问题时，常规调节器不可能得到好的控制品质为此，需要设 计一种特殊的控制系统，它能够自动的补偿再模型阶次，参数和输入信号方面 非预知的变化这就是自适应控制的任务 1 9 7 4 年，法国学者l a n d a u 提出了一个针对模型参考自适应控制系统的自 适应控制定义：一个自适应系统，将利用其中的可调系统的各种输入状态和输 出来度量某个性能指标；将所测得的性能指标与规定的性能指标相比较；然 后，由自适应机构来修正可调系统的参数或者产生一个辅助的输入信号，以保 持系统的性能指标接近与规定的指标 无论是时不变系统，还是时变非线性系统，他们与自适应机构所构成的自 适应控制系统都是非线性时变系统，分析这类系统的性能是很困难的稳定性 问题是一切控制系统的核心问题，因此，设计自适应控制系统应以保证系统全 局稳定为原则模型参考自适应控制系统一般都是针对被控对象结构已知而 参数未知的情况进行设计的，而实际被控对象结构往往难以确定确切知道，所 获得的对象特性中常常未能包括系统的难以描述的寄生高频成份，即未建模动 态计算机仿真表明，这种未建模动态可能引起自适应控制系统的不稳定性， 关键原因是自适应控制系统是非线性时变的，而对于线性反馈控制系统只要设 计的系统有足够的稳定裕量，这种未建模动态是不至于破坏系统稳定性的这 就提出了自适应控制系统的鲁棒性问题动态是不至于破坏系统稳定性的这 就提出了自适应控制的鲁棒性问题 一个自适应控制系统能很好的工作，不仅要求所设计的系统稳定，而且还 要满足一定的性能指标要求由于自适应控制系统是非线性时变系统，初始条 件的变化或未建模动态的存在都势必要改变系统的运动轨迹，因此，分析自适 应控制系统的动态品质是困难的 2 第一章一类带有非线性多参数的非线性系统的自适应控制问题 1 1引言 在最近几年里，相当多的文献研讨了具有不确定参数的非线性系统的调 节问题在这些文献中，研究最广泛的是一族在参数反馈形式下的线性反馈系 统，参看文献【4 】及其参考文献【5 】5 中不包含多参数协调函数的自适应反推及 其变形形式的设计已成为很广泛的方法，这些方法包括寻找控制律使状态与参 数误差估计的二次函数为闭环系统l y a p u n o v 函数，考虑待考查系统的特殊结 构，相应于系统的阶次，我们可采取相应的步骤，每次处理一个一维的情形， 在自适应反推的每一步骤中，选择一参数协调律消去待选l y a p u n o v 函数中依 赖参数的项，这样便产生多参数的设计 对于不确定参数以非线性形式出现在含有控制项的方程中的情形，我们运 用泰勒展开相配的条件将其线性化逼近，如【1 】中给的 最后，k a n e u a k o p o u l o s 3 】中引入了较弱的级数条件，导出了纯参数反馈形 式的概念，以所谓的b a c k s t e p p i n g 方法进行多步设计的自适应协调算法，对这 族系统多参数反推算法在 2 】中给出在这篇论文中，我们考查一族纯参数反 馈形式的扩张形式：非线性多参数形式因此我们考查的系统将称为反馈形式 的系统；所提的控制算法是多参数反馈算法【2 】的扩张该方法的思想来源于 一些非线性多参数物理模型，这些物理模型不能在纯参数反馈形式下进行参数 化；有一策略就是放宽线性多参数的非物理上的假设条件在实践中非线性多 参数来源于物理系统，如d c 到d c 的增强变频器【6 】 我们的方法是基于一阶泰勒逼近，将非线性参数转换成模拟的纯参数反 馈形式逼近的线性系统的l y a p u n o v 函数对非线性系统至少在局部上仍为其 l y a p u n o v 函数 3 1 2数学定义及系统描述 定义1 如果对任意给定的 0 及初始时刻t o 0 ，存在一个常数6 = 6 ( ，t o ) 0 ，使得对满足0 蛳0 6 的任意初始条件x 0 ，微分方程 圣= ，( z ，t )( ) 的解( ，t o ，x 0 ) 满足 ( ，t o ，x o ) l i e ，v t t o 形为状态变量，t r 为时间的参量，则称系统( ) 的平衡点矿= 0 是 l y a p u n o v 意义下稳定的，简称稳定 定义2 如果在上述定义中，6 ；d ( ) 而与t o 无关，则称矿= 0 是一致稳 定的 定义3 如果系统( * ) 的平衡点矿= 0 是稳定的，且有 。l i m 。i i ( t ，0 ，z o ) 1 1 = 0 则称系统( * ) 的平衡点x k0 渐近稳定 定义4 若存在一个含原点为内点的区域s ，使得。s ，均有z ( t ) = 。( f ，x o ，t o ) s 且 怒z ( ) = 0 则称s 为系统( ) 的平衡点x + = 0 的吸引域 定义5 如果系统( ) 的平衡点矿= 0 是稳定的，且吸引域为舻，则称系统 ( ) 的平衡点x + = 0 是全局稳定的 定义6 一映射日：霹一l g 是l 稳定的，如果存在一定义在【0 ，+ o o ) 上的 类函数o l 及一非负常数卢，对所有的p l y 及r 0 ，+ o o ) 使得i i ( 日p ) ，忆 n ( i + 卢成立；称日为有限增益l 稳定的，如果对所有的p l e m 及7 f 0 ，+ o o ) ，存在常数，y 及卢，使得i i ( 日p ) ，忆 y ( 1 l u ，+ p 4 定理1 ( l y a p u n o v 稳定定理) 【1 9 】对于系统( ) ，若存在连续正定可微的 l y a p u n o v 函数y ( z ，t ) ：u j r ，满足矿( z ，t ) l 。= 罾+ 尝f ( x ，t ) 为半负定且连续 的其中，面o v = 【搿，器，瑟】，则矿= 0 是该系统稳定的平衡点 定理2 ( l y a p u n o v 渐近稳定定理) 【1 9 】对于给定的正数，y ，令u = z i z 形，恻l ，y 并记j = 【0 ，+ o o ) ，对于系统( ) ，若存在正定l y a p u n o v 函数y ： u j r 和负定函数w ：u r ，使得沿系统( * ) 的任意解轨迹，有 y ( z ，t ) i w 7 ( z ) 0 ，v t t o ，z u 一 o ) 则矿= 0 是该系统的渐近稳定的平衡点 考查时变系统 2 = ，( z ，t )( _ ) 其中，：u f o ，o o ) 一n ( vc 舻) 是关于z 的连续向量函数，且对z 满足局部 l i p s h i t z 条件，( o ，t ) = 0 定理3 ( l a s a l l e y o s h i z a w a 定理) 2 0 】对时变系统( ) ，若存在连续可微的 函数v ：u r + 一肘满足 ，y , ( 1 l x t l ) y 0 ，t ) 仇( 1 1 2 ；1 1 ) ，v ( z ，t ) u r + 矿( 州地。) - 瓦o v + 筹m ，) 一( z ) v ( z ：t ) u 胪 这里，y - ( - ) 和7 2 ( ) 是亿。类函数，( ) 是半正定连续函数，则系统( ) 的解z ( t ) 有界且满足 t l i m 。矿 ( t ) ) = 0 若( ) 是正定函数，则系统( ) 的平衡点矿= 0 是渐近稳定的 在此篇文章中，我们考查一族非线性多参数反馈形式的系统 2i=：xi+l+7。zi(xl。,x，i以,o，)l一 0 ，e 0 ，矗 0 为任意常数，啦代入矿中得： 矿一“量2 8 则系统( 1 3 9 ) 在原点处全局稳定，而且 及 拦恐毛( ) = 0 舰讥( 茹1 ( t ) ，毛( t ) ) t 麓( t ) = 0 1 3 2 非线性参数的b a c k s t e p p i n g 算法 在前一部分的基础上，将多参数b a c k s t e p p i n g 算法应用到系统( 1 2 1 ) 上， 我们引如下面自适应参数的线性逼近( a p l 逼近) ，可将非线性参数反馈系统 转化成带有纯参数反馈形式的模拟系统 a p l 逼近： 函数7 d x l f 。戤；8 i ) 对1sis 几可由一阶泰勒展开近似替换： m o l ，甄；巩) 2 m ( x l , - - - , x i ；0 i ) + 0 m 7 i ( o i 一反) ( 1 3 i t ) 在此逼近下，系统( 1 2 i ) 可转换成下面逼近形式的系统： | 血硇+ l + m ( 蚧删+ 孰( 巩一1 n - - 11 2 ) i = “+ 扣l ，x n ；乳) + 瓷l 乱( 以一如) 此系统与纯参数系统( 1 3 1 ) 比较，( 1 3 1 ) 可改写成如下形式： 氟= 鼢+ l + 仇 l ，戤) t 鼠+ 慨( z l ，戤) t ( o i 一反) 1 i 礼一l ( 1 3 1 3 ) l 圣。= 让+ 妒。扛l ，x n ) r 允+ 九扛1 ，x n ) t ( 如一6 。) 、 比较( 1 3 1 2 ) 与( 1 3 1 3 ) 式的相似性， 近系统( 1 3 1 2 ) 定义参数误差 可得出新的调参律及新的控制律来镇定逼 z i = 鼠一o i + 展 l ，筑) ，( 1 3 1 4 ) 耪b 提换成了妒i ( z l ，) ，i = l ， 砒( z 1 j t ) t 反换成了m ( ，矧反) 9 因此自适应反推算法，包括方程( 1 3 3 ) 与( 1 3 4 ) 需做相应修改仍构造巩 的估计误差： z i = 反一0 e + 屈 1 ，孔) ， = 1 ，n ， 展( ，戤) 为待定义的连续i $ i 数，五的动态方程为： 磊= “壹吣0 z i x k + l + 体。州以) + 甏i 夏( 胁”，嘲刊1 ，( 1 3 1 5 ) 其中z 叶。一u 选择调参律坑消去磊中的已知项，例如，取 反= 一鄯o x - - 阢i i x 圳，矧吼帅o k p k 、，胁) 】( 1 3 1 6 ) 代入上式得 磊= 一蚤差0 甏1 羡孙( 1 3 1 7 ) 注意，上面系统为下三角形式，选择如下面形式的屈，可使其对角形式负定或 半负定， 屈( 忍) = f 。k ( 舟丽c i 慨( ，o i ) d x k ( o ) ( 1 _ 3 1 8 ) 屈( 忍) 2 上舟瓦慨( ， ( 1 。3 1 8 ) 其中( ) 为正定函数，考查下面假设： 假设1 3 2 ：设存在函数( ) 及常数k 满足k ( ) k 0 ，使得对所有的j = 1 ，i 一1 有 筹= 翰( 0 硼7 k t ( 轧舟， 妨为有界函数，屈( ) 由( 1 3 1 8 ) 式给出 引理1 3 1 考查系统( 1 3 1 7 ) ，函数屈( ) 由( 1 3 1 8 ) 式给出，设对所有i = 1 ，n ， 若假设( 1 3 2 ) 成立，则存在常数龟 0 ，使得 ， 爰( 参黝一砉( 瓢秽 证明：同文献 2 1 注1 ：因量q 万是时间的减函数，故名有界，对上式左右两端在( o ，+ o o ) 上 积分，可知舞暖五平方可积如果我们使得貉暖磊趋于0 ，从( 1 3 1 4 ) 式可知， 0 2 0 , 。t ( 自i + 屈) 去估计( 1 3 1 2 ) 式中的磬暖巩，是渐近估计 1 4主要结果及其证明 1 4 1 控制器的设计 此部分我们设计控制律使得闭环系统( 1 3 9 ) 相应与输出z 。一z ：及扰动输 入舞呸为有限l 2 稳定并保证所有的信号有界，表明鬻呸忍收敛到零，这样 将保证所求平衡点的全局渐稳性系统( 1 3 9 ) 的控制律由下面反推构造法得 到 步骤1 ：从( 1 3 1 2 ) 式中孟，= z l z 其动态方程为 奎l = 卫2 怕( 轧d 1 ) + 器f d 。( 0 1 一百1 ) 视z 。为虚拟输入控制，并定义误差： 且 2 = - - c t l ( 舶) 刊舶) 一鬻k 眦z ) 其中，o t ( ) 为待定义的，则圣。的动态方程由下面方程给出： x l = - - n 1 ( 舶) + 奶一薪铋z 步骤2 ：z 。的动态方程为 珏西- 肇o o t ；t 一鲁量t ：州x l , x 2 , 0 2 ) + 坠0 0 2 锄一差+ 讹，反) + 塑0 0 1 t 一鳓一誓；。 。 一m 视铂为虚拟控制，定义误差叠3 = z 。一6 ( 石1 ，z 。；岛，岛) ， 珏针- 州内+ 协- ，吼甏弘岛刊一著；。 1 2 其中， 继续， 步骤n ： 令 一差附，y ( 舶) + 鬻k “) 】 = 量s n 。x l , x 2 ；t + 鼍鬻1 0 1 2 1 - - 甏i 如勿 6 = 咄m 瓶内刊轧吼誓6 ，一甏蚺，瑚+ 差阱，y - ( 舶) + 鬻b 眦1 ) 】 孟。= 盘。一矗( z l ，z 。，自1 ，氟) 毛= 讹 ；以) - 甏泓一) _ k 手= l 甄0 0 , 。 一堇差【x k + l + 7 k 胁，蛐+ 孰嘲】 = 咄( 俩n ，鼠) 一( 低氟) 一甏l “饰，尚) + k 手= l 聋o o k 瓦 + 薹甏p k + l + 7 k m 瓶) + 孰胁) 】 因此，闭环系统( 1 3 1 2 ) 在新坐标( 孟，翰) 下化为： 奎- = 一口，( z ，) + 癌一薪l 夏z 未。2 0 2 ( 妣，讹) + 孟。+ 差瓤矿0 删1 2 如t 一“ ( 1 叫 叠。= 一( “，允) + n 刍- - i 戎0 畿l 夏钆一o 。 “? n 一“t 定理1 4 1 ：存在啦( ) 使得被误差动态( 1 3 1 5 ) 驱动的系统( 1 4 1 ) 在原点 处全局渐近稳定，而且对i = 1 ，柚，有 h l i r a o 。或= 0 1 3 及 证明：令 熙象1 触) = 。 y ：妻叠2 + 。妻毛如， k = lk = l 则v 沿系统( 1 4 1 ) 轨线的时间导数 矿= 咱。( 6 t m 铲童鬻1 ；：z l - 牙2 a 2 ( x l ，x 2 t ，如肿。讲孟。差蒙i 五矿量。甏1 夏勿 一咱地乳偏薹差瓤爰( 协) 由引理1 及y o u n g 8 不等式知： 矿- 童l a l ( 舶) 幅聃三nr 、盟0 0 1 i o l2 + 罢圣2 1 - 孟2 a 2 ( x l , x 2 , 乳如) 坞针姜( 差) 2 孟。 + i ( 鬻2 + 老( 甏f 桫+ 百n - 1 孟；一喝州玑卅，巩) + 薹竺岩( 差训2 + t 蚤1 , - - 1 南( 甏i 羡引2 一砉( 甏1 矗 因此取 啦4 讹+ 竿胁+ 薹半( 差厅t i = 2 ，几c i 0 ，e 0 则有： n 矿一c 矛；一c 。i l 童1 1 2 = ：一训 ) k = l 由l y a p u n o v 函数的讨论知，自适应系统( 1 4 1 ) 的平衡点 叠= 0 0 矾7 慨t 。( h + 屈) = o 抛 7 i t o t 1 4 是一致稳定的 平衡点吸引域的估计q f ，这样就可得到：由假设( 1 2 1 ) 知， 叠= 。，o 嘞 y i t ( 0 i + 屈) = o 洲 r i i 。t ，o i 与 z = 0 ，p 十0 = 0 的稳定性是一致的 令q ( c ) 是( 1 4 1 ) 的不变集，定义为 ( 童，口) i y ( 孟，a ) 0 使得满足m i n l l z d i r ( 例 如b ( o ，r ) = 岛2 ) 的任意坑b o , 。及任意孟如： 0 d 忙，口+ 卢) + h o 叫p 2 i i z i l 2 肛2 m a x l l z d l 2 因此，我们得知第二个不等式局部满足：对垤岛。，v 6 b o 。： 优肛2 叫钏2 最后定义有界集成l = 晚1 n b 。及岛= 玩1 n b 0 2 ；对 晰岛1 ，地+ 岛( ) 岛 有 矿一c r a f 。l i 童1 1 2 + ( p 1 + p 2 ) l l o i 一反+ 屈( ，戤) l i 象凹i i 孟1 1 2 一c r 砸。1 i 圣1 1 2 + ( p 1 + p 2 ) l l z , l l 象。l | 叠1 1 2 ，i = 1 ，n 因岛是有界集，令 口轰。= s u pi i 吼一反+ 屈( ，丑) 1 1 2 1 7 如果我们选择。使得对正定的( ：有 c m i n ( + ( p 1 + p 2 ) 臼羔 得出l y a p u n o v 函数沿时间导数的半负定性： 矿一( 1 l 童1 1 2 这样，孟= o ，反+ 屈( ) = 巩为精确系统( 1 4 2 ) 的一致稳定平衡点 注意，吸引域q 包含在可行域f = 岛岛中，q 的估计比前面吸引域q 的估计要保守的多而且，同前一部分一样，可证明系统( 1 2 1 ) 的平衡点z = 0 是局部可调节的 1 8 1 5结果的扩展与延续 此部分我们将前面的算法扩展到更一般的非线性参数反馈型系统，使得其 虚拟控制系数为状态的函数 1 5 1 问题的描述 考查下面方程组形式的系统： ， i 血= ( 茹1 ，魏) + g i ( z l ，x i ) - t i + i - 4 - 妒i ( x l ，墨，0 ) l 如= 厶( z l ，z 。) + g ( z l ，) 钍+ ( x l ，z 。，口) 这里u r 为输入控制，且0 r p 是一未知常数向量， 多参数形式： 1 0 墨( 垫翻一耋( 瓤矿( 1 5 2 7 ) 1 5 6 控制器的设计( c o n t r o l l e rd e s i g n ) 本节通过设计控制器使得闭环系统就输出z 一z j 和扰动甏暖麓是有限l 2 增益稳定的，并且所有的信号均有界这意味着警暖盈将趋于0 ，从而得到希 望的平衡点全局渐近稳定下面我们来递推设计这样的控制器： 第1 步定义童。= z 。一z ：，其动态为 主1 = ( z 。) + g l ( z 1 ) z 2 + 嘶1 ，反) + 鬻印1 一吼 ( 1 5 2 s ) 将z 。视为虚拟控制并定义 叠2 ：z 2 一已( z l ，a 1 ) ， ( 1 5 2 9 ) 已= 而1 茁- ) 一蜘t ，聃丽0 _ l f ) 1 ”t f 4 z 1 ) 飞( 舶) 1 ，( 1 删) 其中o 。( ) 为将被设计的函数，将( 1 5 2 1 ) 代入( 1 5 2 s ) 并注意到( 1 5 2 9 ) 可得 奎，一州乩p ，) 一鬻i 五种“训 第2 步对( 1 5 2 9 ) 求导，得 叠。：，2 。，。) + 9 2 ( z ，z 。) z 。+ 赴( 茁。，z 。，如) 十鲫毗2t 0 2 一如) 一差圣- 一鬻；t ，( 1 5 3 1 ) 将视为虚拟控制并定义 牙3 = 茹3 6 ( z 1 ，z 2 ；1 ，目2 ) ， ( 1 5 3 2 ) 遍辽远榫 6 = 未习 _ ，2 ( 蚴呐( 轧如) 一蓑i 夏眦，渤) + 差【，l ( 训怕( 州z 。 柏( 舶) + 篙i 私z 1 ) 】+ 誓；，咄( 礼轧翰) ( 1 5 3 3 ) 将( 1 5 3 3 ) 代入( 1 5 3 2 ) 与( 1 5 3 1 ) 得 珏咄( 礼吼+ 差篙l 五幻一0 驯2 ) 2 铲t z 捌乩啪 按此步骤递推，直到真实控制出现 第礼步的动态为： 磊= 厶( z l ，z 。) + 蜘( 钆，z 。) u + ( z ，z 。，矗) 一甏臣( 如一以) 一蚤罄帅”，。k ) + 鲰( 矧x k + t + 饥( 低巩) + o 州“) k t ( o h 棚】_ n 蚤- 1 蓑瓦( 1 5 3 4 ) 真实控制为： u 一熹 州扣姒蚧抵硝一甏l ；：i 腓，叫 n 一1 疗f + k = l 警k 【 ( 石- ，) + 鲰扣t ，z t ) z k + t + 仉扛1 ，z ，以) + 甏l 夏腓n ，】+ n 吾- - 1 甏文一嘶“- ，列，咖( 1 5 3 5 ) 因此，闭环系统在新坐标( 孟”，) 下化为： 奎- = 一。x l , - ) 一鬻i 夏z l + g - 扛- ) 牙。 奎z = 一q 。( 孟，叠。；t ，a 。) + 囊；鬻i 夏z 一罄i 夏勿+ 9 。( z t ，z 。) 圣s 氟= 一n 。( “赢；a h ，以) + 墓舞淤暖魂一辫臣 2 5 ( 1 5 3 6 ) 我1 i j 日可王婴绢呆为： 定理5 2 ：存在o q 使得被误差动态方程( 1 5 2 4 ) 驱动的前面系统( 1 5 3 6 ) 在原点 全局渐近稳定，而且对于所有i = 1 ，n ，有 t 里0 孤妒i 慨t 以( t ) = o 证明：考虑函数 v i ( x l ，) = ；孟毛 ( 1 5 3 7 ) 1n 。七= l 则( 1 5 3 7 ) 沿系统( 1 5 3 6 ) 的时间导数为 访= 也州瓦讪咱0 w 妒。1t 。z l + g , ( 训砸。咱q 。( 扎翰乳如) 咱甏i 夏钇 捣差鬻i 五针础t m ) x 2 x z - - x n 嘶，舶，糠) 巧。0 砂n t z n 托n 薹坠o x k 幽o o k o k 运用不等式a 2 十6 2 2 a b 知： 啊兰一孟1 0 1 ( 童l ，舀1 ) + g l ( z 1 ) 牙l 叠2 一x 2 0 1 2 ( 叠l ，孟2 ；每l ，6 2 ) + 9 2 ( x l ，z 2 ) 蠡2 叠3 喝州钆磊瓶+ + ( 屠。鲁) 2 + 、v i 例础1 i t 。柚2 + + ( 序。亳) 2 + ( 据错轴- 1 ) 2 ( 屠1 ) 2 + 眠5 - t 一砌2 + ( 降。) 2 + ( 厶；榭+ + ( 易) 2 + ( 舷硝+ 【( 序。差) 2 + ( 厅孙) 2 】+ ( 序。差) 2 + ( 候鬻昏1 ) 2 + ( 寻孟s 差) 2 + ( v 圃n 一，讹f f ) 2 如t 钟 ( 1 5 3 8 ) 通过如下设计锄( ) ： 。2 ( c - + 若) 札0 1 2 ( 。l + 石) 孟l ， 啦一如柏一缸- 讹+ 警净+ 薹半( 差归t ， i = 2 ，礼，( 1 5 3 9 ) 其中q ， 0 是任意可调正常数，所以有 “一k 妻= l 磷+ 7 耋( 瓤计 ( 1 “。) 结合引理1 ，选择正定函数为 由( 1 5 2 7 ) 和( 1 5 4 0 ) 易得矿一耋孟l = ：一( z ) o 由于( z ) 是连续和正定 的，由l a s a l l e y o s h i z a w a 定理可知，平衡点孟= 0 是全局渐近稳定的 2 7 第二章l y a p u n o v 函数方法研究非线性级联系统自适应镇定问题 2 1引言 在许多控制应用中，性能指标或环境中存在各种未知的或不确定的参数， 如文献【9 1 给出了形如圣= f ( x ) + f ( x ) o + 9 ( z ) 札的全局反馈自适应镇定问题的讨 论，其中口为未知参数，钍为输入对于级联系统文献【1 0 】给出了自适应镇定 问题中控制律的构造与在线估计的选取这篇文章我们换用新的l y a p u n o v 函 数与新的在线估计，从而对问题研究达到更好的效果 本文结合文【1 0 】中的结论和文【1 l 】自适应镇定的条件，在【1 0 】的基础上选 用新的l y a p u n o v 函数，运用投影算子的性质，重新讨论了非线性级联系统自 适应控制律的形式 2 2系统描述及准备工作 考虑非线性级联系统如下( 【1 0 】) ， 1 ： 圣1 2 f l ( x 1 ) + g 1 ( z 1 ) 。+ 妒l ( z 1 ) z 2 ( 2 2 a ) l 圣2 = ，2 ( z 1 ，x 2 ) + g 2 ( z l ，x 2 ) o + 妒2 ( z 1 ，x 2 ) u 其中，“为控制输入，口为未知干扰项 上面形式可改为下面形式： 2 ： 士1 。 ( z 1 ) + 9 1 ( z 1 ) 9 1 + 妒1 ( z 1 ) z 2( 2 2 2 ) l 圣2 = ：厂2 ( z 1 ，z 2 ) + 9 2 ( x l ，x 2 ) 0 2 + 妒2 ( z 1 ，x 2 ) u 五，g i ，亿为光滑函数，且函数g i 包含向量g 的非零元素，仇做相应的选取， 巩属于q = 日：j j o j j o o ) ，o o 为已知正常数定义百= 口一口，d 为口的在线估 计 我们说系统 圣= f ( x ) + f ( z ) o + 9 ( z ) 是全局自适应镇定的，如果存在一光滑函数a ( x ，a ) 且口( o ，6 ) 兰0 ，及一光滑 函数丁( z ，p ) 使得 i t = o 幻，0 ) ，0 = t ( x ，0 ) 随t 0 0 ，x ( t ) 一0 时保证解( z ( t ) ，a ( ) ) 是全局有界的 在定理的证明与计算推导过程中用到下面的不等式与投影算子及其性质，对 比e r q ： 1 ) ；t a n h 。( 1 l s l l ) i n ( c o s h ( 1 l f l l ) ) s 壹l n ( c o s h ( 矗) ) 1 1 1 1 。， 一 l = l t a n h ( 1 l s l l ) l t t a n h ( f ) 1 ， 3 ) 俐+1)ta n h “”一 这里 t a n h ( ) = ( t a n h ( 1 ) ，t a n h ( f 2 ) ，t a n h ( q ) ) 我i l l 弓i 入 3 】中的光滑投影算子： p r o j ( # , 惦肛一万彘v 卅) 这里的p d ( p ) = 0 t 一) 2 ， 叩，= 主d ”+ 1 ( 自) ；翼喜尸d ( 自) 。 7 2 = v p d ( ) t p + 抓再i 万丽f 而，6 为任意正定常数如果6 ( o ) 在q 中，则 可以证明投影算子具有下面性质： ( 2 ) 0 6 ( ) 0 如+ ev t 0 5 r p r o j ( t t ，a ) 俨p ( 3 ) l i f t 吡，) j l - - - i i 小+ ( 警) 2 】+ 蒜6 ( 4 ) p r o j ( # ，a ) 是n 阶连续可导的( c ”) 2 3主要结果及其证明 对上面级联系统e 。我们有下面结论： 定理2 1 ： 如果系统 宕1 = ( z 1 ) + g l ( x 1 ) 目l + 妒1 1 ) 札 ( 2 3 1 ) 在可设计的控制律u = r 。( 钆p 。) 下是自适应镇定的，则级联系统( 2 2 2 ) 存在一 反馈控制律 “= r 2 ( z l ，z 2 ，p 1 ，如) 使得系统。也全局自适应镇定 证明： 我们运用s o n t a g 普遍的构造方法，用投影算子来代替反并采用b a c k s t e p p i n g 方法，求出级联系统的反馈律 u = r 2x l ，x 2 ，自l ，6 2 ) 及在线估计晚，同时选取满足镇定条件的适当l y a p u n o v 函数 步骤1 ： 因为系统( 2 3 1 ) 全局自适应镇定，我们视z ：为级联系统。中第一个方程 的输入控制，取 z 2 = u 1 = r l ( z 1 ，6 1 ) =一( 譬) i 如果跏。 1 0 ， 如果鬻妒l = 0 r 1 ( 目。) 在原点连续当且仅当满足小控制性质，由的选取知r 。x t ，6 ，) 在 原点处光滑，其中 u = 鬻 + 鬻g 蚕1 = t a n h 慨) 1 + t a 雌。h 取 0 1 = p r o j ( p 1 ，口1 ) 其中 则 讥= t a n h ( x 1 ) 【 扛。) 十g 。( z 1 ) p l + 妒。x 。) l 】一耳扫。 ：t a n h ( z 。) 扛1 ) - 1 - g l ( 研) 6 。+ 妒1 ( z 1 ) r 。( z 。，反) 一岛t ；1 将r - 代入，并运用投影算子性质2 ) 有 优一t a n h ( z 。) l w 2 o y , 4 = 一叫( z 。，n 步骤2 ： 下面用反推法( b a c k s t e p p i n g ) 寻找u = r 2 ( 6 1 ，如) 及a 2 的表达形式 重写级联系统。： 3 1 ( 2 3 2 ) _ 口 耳 1 2 + 研h 宝 h i l h 令 如 r p扛妒+ u 以 现 仕 毋 忱妒力 卜 z 巩 研 吼 啦“h + 现 仕p 尼 = = n 娩 ，_-，、-_ 令z = x 2 一r t ( x i ，口1 ) 上向方程组为如卜彤式： j 圣l2 ( 。1 ) + 夕1 ( 善1 ) 8 l + i p l ( z 1 ) r 1 ( z 1 ，9 1 ) + 妒1 2( 2 3 3 ) 1 、。7 【z = z 2 一“l 【z l ，f 1 j 其中， 哳- ，自- ) = 面o r , ( ( 茁t ) + 嘶，) p + 嘶) z 。) + 丽o r t f ：_ t 设 ， k ( x l ，x 2 , ，如) = ( z ，t ) + 互1 2 2 + ；河岛 乩( c 。s h ( 训) + 扣一剐钆1 ) ) 2 + ；露岛 对v 2 沿( 2 3 3 ) 求导得 也= 箬 ，1 ( 奎) 怕( 枷坳( 列+ 鬻5 + ( z 2 - r 1 ( 岛) ) ( 圣2 _ 础1 ) ) 邓一如) ；z = 券m t 溆) 0 1n t - 妒1 k 】+ 鬻6 - + ( x 2 - r 1 瓶) ) 【瓶瑚 + 虫( z l ，z 2 池+ 妒2 ( z l ，z 2 ) 一( 0 r ，1 f l ( z 1 ) + 夕l ( z 1 ) 0 1 - - 妒1 ( z 1 ) z 2 ) + 熹吼霹；。 取控制律 “= 脚。矗藏) = 去 鬻( ，l k m 如加- 坳旧地) + 鬻；) 一豢纩，2 一卯6 z 七。咱) 】 并取5 。= p r o j ( m ，色) ，其中p 。= ( z 。一r 1 ) ( 9 。一。如n 。1 9 ，) 由讶的范围及投影算子性质2 ) 得 也一叫 。，a 。) 一( z 2 - r , ) 2 + 如( z 2 一r ，) ( 啦一否o r i l 9 - ) 一瓦2 - w ( z t 反1 一f z 2 一r 1 1 2 = ：面f 飘z ，。反。氖1 3 2 则由a r t s t e i n 定理知，茹= 0 ，如= 如为级联系统的平衡点，再由l a s a u e 8 定理， 卫( ) 一0 ，因此级联系统为全局自适应镇定的 考查系统3 觑= i t ( z l ，翰) + g i ( x l ，x i ) x i + 1 + 怫0 l ，z i ) o i ，1 i s n 其中z 肘1 = u ，r 是系统输入，g i ( x 1 i ，毛) 0 ；忱x 1 ，一t ) 是光滑向量场， ，吼为光滑函数；仇是未知常向量 如果i = 1 时，存在及自。使i = 1 时自适应镇定，则系统e 3 存在形如 u = 瓦1 【_ 厶+ 薹( 面o r n - - 1 + 妒i x i + 1 ) + ( 薹( 等鳓醣 一g n o n 一磊o v n - 1 m 一一心_ 1 ) 】 形式的自适应控制律使系统。自适应镇定 参考文献 【l 】d g t a y l o r ，p v k o k o t o v i c ，r m a r i n oa n di k a n e l l a k o p o u l o s ，a d a p t i v er e g u l a t i o no fn o n l i n - e a rs y s t e m sw i t hu n m o d e l l e dd y n a m i c s ，i e e et r a u s a u t o m a t c o n t r o l3 44 0 5 - 4 1 21 9 8 9 【2 1 d i m i t r i o sk a r a g i a n n i sa n da l e s s a n d r oa s t o l f i ，n o n f i n e a ra d a p t i v ec o n t r o lo fs y s t e m si nf e e d - b a c kf o r m ：a na l t e r n a t i v et oa d a p t i v eb a c k s t e p p i n g t h ee u r o p e a nt m rn e t w o r kn a c 0 2 1 3 】k a n e l l a k o p o u l o s ，i pv k o k o t o v i da n da s m o r s e s y s t e m a t i cd e s i g no fa d a p t i v ec o n t r o l l e r s f o rf e e d b a c kl i n e a r i z a b l e