（应用数学专业论文）时标上动力方程解的振动性与非振动解的分类.pdf

摘要 随着科学技术的进步与发展，在物理学、种群动力学、自动控制、生物学、医学和 经济学等许多套然科学程边缘学科领域中提出了大量的凼微分方程季霾差分方程描述麴具 体数学模型尽管微分方程中的很多结果能很容易的对应到差分方程中，但也有一些结果 微分和差分有着本质的不圊，近年来螯受关注的时标理论统一了连续与离散这两种情形， 为同时处理连续系统和离散系统提出了基本方法而时标上动力方程的研究有助于在研 究微分方程与差分方程时避免出现重复性的结果。 本文根据内容分为以下五个部分： 弓| 富，分绍时标上动力方程的研究背景翻国内夕卜发展概况。 第一节，预备知识与相关引理，介绍时标上的基本定义、函数运算法则及相关的一些 弓| 理。 第二节，时标上高阶动力方程解的振动性，讨论了时标t 上的高阶动力方程 ( 雾( 舌) 一p ) 鬈( ，( 妻) ) ) 众“= 鼙0 ) g ( 扩( 亡) )( 王。1 ) 有界解振动的条件其中佗为偶数，t 亡o ，。) 霄，并且有下列条件成立： ( 1 ) p ( t ) ，g ( 考) c ( 誊，窿+ ) ( 2 ) ( t ) ，r ( z ) c ( 面，l ) ，丁 ，( t ) t ，j i m ( z ) 一。，i l i mr ( t ) = 。，( ) 是非减 c 一 的 我们对o p ( t ) 冬p l ，p ( t ) 21 ，p ( 亡) 一1 三种情况分别进行讨论，得到了方程 ( 王王) 有界解振动的条件。 第三节，时标上二阶自共轭中立型动力方程非振动解的分类，讨论了时标 上二阶 蜜共辘中立型动力方程 ( a ( t ) i ( 髫( 亡) 一p ( t ) z ( 7 ( t ) ) ) i q s 9 礼( 。( 1 ) 一p ( z ) z ( 丁( ) ) ) ) + ，( t ，z ( 王，( 孟) ) ) = o( 1 2 ) 非振动解的分类。其中q 是正常数，t t o ，。) 坩，并且有下列条件成立： ) 丁p ；，( 季) g ( 嚣，虿) ，r ( 舌) 君，( ) ，j i 掇丁) = 。，j i 坚扩( 主) = 。，丁( ) 是非 t 。 减的 ( i i ) 爹) ，穆( ) c ( 譬，r + ) ，o 爹( t ) sa l ( 泖) a = f 赤s o ；其中t o ，珏o ，且对于每个固定的t ，“) 关于钮是非减且连续的。 我们将方程( 1 2 ) 的非振动解分为三种渐近类型，并通过构造适当的映射，利用 s c h a u d e r 不动点定理得到不网类型非振动解存在的充分必要条件。 t n 结论，介绍了本文的主要研究成果和存在的局限性。 关键词：时标高阶动力方程自共轭中立型项振动解非振动解 a b s t r a c t w i t ht h er a p i dd e v e l o p m e n to fs c i e n c ea n dt e c h n 0 1 0 9 弘m a n ym a t h e m a t i c a lm o d e l sw h i c h a r ed e s c b e db yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n dd i f f e r e n c ee q u a t i o n sa r e 印p l i e di nb o t hn a t u r a l s c i e n c ea n de d g i n gf i e l d ss u c ha sp h y s i c s ，p o p u l a t i o nd y n a m i c s ，t h e o r yo fc o n 0 1 ，b i o l o g y ， m e d i c i n e ，e c o n o m i c s ，e t c t h et h e o r yo ft i m es c a l e s ，w h i c hh a sr e c e n t l yr e c e i v e da1 0 to fa t t e n t i o n ，u n i 母c o n t i n u o u sa n dd j s c r e t ea n a l y s i sa n dg i v eb a s i cm e t h o d st od e a lw i t hc o n t i n u o u s s y s t e ma n dd i s c r e t es y s t e ma tt h es 锄et i m e t h es t u d yo fd y n a m i ce q u a t i o n so nt i m es c a l e s h e l p sa v o i dp r o v i n gr e s u l t st w i c e ，o n c ef o rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n do n c ef o rd i 仟e r e n c ee q u a t i o n s a c c o r d i n gt ot h ec o n t e n t s ，t h i st h e s i si sd i v i d e di n t o6 v ep a r t sf 0 1 1 0 w s ： i n t r o d u c t i o n ，w ei n 仃o d u c eas u n ，e yt ot h eb a c k 伊o u n da n dt h ec u r r e n td e v e l o p m e n to f d y n 锄i ce q u a t i o n so nt i m es c a l e s i ns e c t i o no n e ，w ei n 仃o d u c eas u r v e yt ot 1 1 eb a s i cn o t i o n st ot i m es c a l e s i ns e c t i o nt w o ，w ec o n s i d e rt h eo s c i l l a t i o no fh i g h e ro r d e rd y n a m i ce q u a t i o n s ( z ( z ) 一p ( t ) z ( 7 _ ( t ) ) ) “= 口( t ) z ( 王( t ) ) o nt i m es c a l e st w h e r eni sa ne v e ni n t e g e r ，t t o ，。) 丌，w ea l la s s u m et h a t ( 1 ) p ( t ) ，口( t ) c ( t ，r + ) ( 2 )( t ) ，丁( t ) c ( ， ，) ，7 ( t ) 亡，( 亡) 亡，j 啦( ) = ，j i 巴7 - ( 亡) = o o ，( z ) i sn o n d e t + t c r e a s l n g w 色c o n s i d e rt h ef 0 1 1 0 w i n gt h r e es i t u a t i o n sr e s p e c t i v e l y ：0 p ( ) p 1 ， p ( 亡) 1 ，p ( t ) = 1 ，a n dp r e s e n ts o m eb o u n d e do s c i l l a t i o nc i j t e r i af o re q u a t i o n ( 1 1 ) i ns e c t i o nt h r e e ，w ec o n s i d e rt h es e c o n d o r d e rs e l f - a d j o i n tn e u t r a ld y n a m i ce q u a t i o n s ( o ( t ) i ( z ( t ) 一p ( z ) z ( 7 ( ) ) ) i q s 夕礼( z ( t ) 一p ( t ) z ( 7 ( t ) ) ) ) + 厂( t ，z ( z ，( t ) ) ) = o( 1 2 ) o nt i m es c a l e st w h e r eqi sa p o s i t i v ec o n s t a n t ，t t o ，) t ，w ea 1 1a s s u m et h a t ： ( i )7 - ( t ) ，王( t ) c ( ， ) ，7 - ( t ) t ，工( t ) t ，j i m7 ( t ) = ， j i m ( ) = ， t + o 。t n o n d e c r e a s i n g ( i 丢)p ( z ) ，n ( t ) c ( ：r + ) ，o p ( ) a 1 7 ( 亡) i s ( 捌) a ( t ) = r 赤s o ，f o rt ，u o ，( 屯u ) i sn o n d e c r e a s i n ga n dc o n t i n u o u 蓁载班。圳掣： 妻 学位论文原创性声明 本人所提交的学位论文时标上动力方程解的振动性与非振动解的分类，是在导 师的指导下，独立进行研究工作所取得的原创性成果。除文中已经注明引用的内容外， 本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重 要贡献的个人和集体，均己在文中标明。 本声明的法律后果由本人承担。 论文作者( 签名) ：蒂知匆薇 俩年y 月伽日 譬= 麓裂：舻嘲 眵年月伽日扩 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解河北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学 位论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权河北师范大学可以将学位论 文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保 存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在年解密后适用本授权书) 论文作者( 签名) 唪侑狂 缈留年，月卅日 叭蚴：伊淞 硼年j 月勿日 1 1 引言 随着科学技术的进步与发展，在经济学、物理学、化学、天文学、生物学和医学、统 计学、概率、组合分析等自然科学与社会科学领域中，许多问题必须通过建立连续的或 离散的动力学模型来实现。而微分方程和差分方程是描述连续或离散动力系统的有力工 具由于求其通解非常困难，故从理论上探讨解的性态一直是近年来研究的热点。尽管微 分方程中的很多结果能很容易的对应到差分方程中，但也有一些结果微分和差分有着本 质的不同为了统一离散和连续这两种情形，1 9 8 8 年s t e f a n h i l g e r 在他的博士论文 4 】中 首次提出时标理论 时标理论提出了同时处理连续系统与离散系统的基本方法，而时标上的动力方程有 助于在研究微分方程和差分方程时避免重复性的证明因此，我们要得到的更普遍的理论 就是建立在时标上的动力方程的结果，这里的时标为实数集的任意非空子集，记为 若 取时标为实数集，就得到传统的微分方程的结果。若取时标为整数集，就得到传统的差分 方程中相应的结果，当然也有一些特殊的时标，例如一个具有电阻、电容和电感器的简单 电路，如果电容按照周期6 不断变化，那么电流就可以用时标p 1 一j ，6 = u 七n 0 七，七+ l 一卅 来模拟可见，统一与推广是时标理论的两大特性，它不仅将连续与离散的情形统一起 来，而且将它们推广为更普遍的理论。因此，在时标理论中，t a y l o r 公式、l h 6 p i t a l 法则、 复合函数求导的链式法则及换元积分法等都具有了更普遍适用的形式，这些在本文中都 有体现 为了统一的描述时标这种理论，a u l b a c h 和h i l g e r 建立了时标上导数和微分的定义 并对基本的函数演算在时标上作了推广【2 l ，在此基础上，人们对这一理论的各个方面进 行了详细的阐述 1 ，3 ，5 | 本文所用的关于时标的导数和积分的运算及一些记号均来自于 b o h n e r 和p e t e r s o n 所著的( ( d y n a m i ce q u a t i o n so nt i m es c a l e s 【1 】一书中 最近对时标上动力方程的振动性有很多研究，但大多是关于各种低阶形式方程的结 果【6 ，引，关于时标上高阶动力方程的研究还比较少本文考虑时标，上的高阶动力方程 ( z ( ) 一p ( t ) z ( 7 - ( 亡) ) ) “= g ( 亡) z ( ( t ) )( 1 1 ) 有界解振动的条件 x 皇共轭方程向来是数学工作者研究的热点，随着时标理论的兴起，二阶宣共辘方程在时 标上的讨论也有涉及降，1 0 | 文本考虑时标t 上二阶自共轭中立型动力方程 ( a ( z ) | 。( 考) 一p ( 丢) z ( r ( 亡) ) ) | 搿s 夕n ( z ( 主) 一p 0 ) 。( 0 ) ) ) 盎) + ，( ，耋( 扩 ) ) ) = o( 王。2 ) 非振动勰的分类及不同类型非振动解的存在性定理其中理是正常数，甚，) 霉，并且 有下列条件成立： ( i ) 丁( 圣) ，p ( 亡) c ( t ，) ，丁0 ) 棼，三，( t ) t ，墨恶r 0 ) = ，墨恶( 莒) = 。，r ( 亡) 是非 减的 ( i i )p ( t ) ，口( 芒) g ( l ，r + ) ，o p 0 ) a 亡o ) o 2 1 预备知识及相关引理 本节我们给出时标上的一些基本定义及运算法则，并且给出了文章证明中所需要的 相关引理 时标，为实数集的任意非空子集，所以酞，z ，n ，即实数集，整数集，自然数集都是 时标当然也有一些特殊形式的时标如： = z ：= 七：七z ，九 o ) ，g z ：= g 七，七z ，g 1 ) ，百云：= g zu o 定义1 1 设为时标，对t t ，定义前跳算子盯： 一面 后移算子p ： _ - 梯度函数p ：- _ o ，。) 盯( ) = i n f ( s j ：s z p ( t ) = s u p s ：s t ，则称，是右疏的，而如果j d ( t ) o ，存在t 的一个邻域 u = ( t 一6 ，t + 6 ) n ，其中6 o ，使得对所有5 u ，有 _ 厂( 盯( t ) ) 一，( s ) 一厂( t ) ( 仃( t ) 一s ) l e l 口( t ) 一s 那么称厂( t ) 为厂在t 点的导数。如果对所有t r ，厂( t ) 存在则称，在t 上是可 导的( 简称可导) 3 引理1 4 设，：t _ rt 矿，有下列结论成立： ( 1 ) 如果，在t 点可导，则厂在点连续 ( 2 ) 如果厂在z 点连续，且t 是右疏的，则，在t 点可导且 归学 ( 3 ) 如果t 是右稠的，则，在亡点可导当且仅当 l i m 型二型 s _ + t 亡一s 存在且为有限值，这时 = 烛等掣 ( 4 ) 如果，在芒点可导，则，( 盯( t ) ) = ，( t ) + 肛( t ) ，( 亡) 引理1 5 如果，夕：t r 在俨上可导则 ( 1 ) ( ，+ 夕) ( 亡) = ，( 亡) + 夕( 亡) ( 2 ) ( q ，) ( 亡) = q ，( 亡) ( 3 ) ( 厂夕) ( t ) = 厂：( 亡) 夕( t ) + 厂( 盯( t ) ) 9 ( 亡) = 厂( t ) 夕( ) + ，( ) 夕( 盯( t ) ) ( 4 ) ( 弘) = 盥辨，其州咖) 0 引理1 6 如果，( t ) o ，t t ，则，( 亡) 是非减的；反之，如果厂0 ，t l ，则厂( 亡) 是 非增的 定义1 7 设，：t r 如果厂在 的右稠点连续，在左稠点左极限存在，那么称，是r d 连续的，把所有r d 连续的函数组成的集合记做 g d = g d ( - ) = g d ( ，r ) 如果- 厂：t r 是咒阶可导的，且它的各阶导数是是r d 连续的，那么称，是以阶连续可 导的，把所有的咒阶连续可导的函数构成的集合记做 = ( ，) = ( t ，r ) 引理1 8 设，：r ( 1 ) 如果，是连续的，则，是r d 连续的 ( 2 ) 前跳算子盯是r d 连续的 ( 3 ) 如果，是r d 连续的，则，盯也是r d 连续的 4 定义1 9 设f ：1 腿：，：w _ r ，如果对所有t 吖，有f ( z ) 然。，( t ) ，则称f 是，的一 个原函数。 定义1 1 设歹( t ) 的原函数为f ，鑫，参翟：定义c 酲嚣嘶积分如下； z 6 ，( t ) 2 = f ( 一f ( 8 ) 如果s u p i = 。，。，6 t ，且熙r ，( ) t 存在，定义广义积分如下： z 。坤皿= 熙小必t 引理1 1 1 每一个r d 连续的函数都存在原函数。特别的，如果t oet ，那么 邢) = r 竹洫 是，( t ) 的一个漂函数。 定义1 堇2 螽数歹：i 嚣_ 嚣称为关于d ( p 黔) 是准可微的，如果铲d 是可数的，且不 包含t 中的右疏点，而厂在每一个t t 都可导。 引理1 1 3 ，9 关于d ( d 铲) 是准可微的 ( 1 ) 如果u t 是紧集，那么对任意的r ，s u 厂( s ) 一，( ? 一) j s u pf ，( t ) i ) s r 挺【r ，s 】u n d ( 2 ) 如果厂( t ) = o ，亡d ，那么，是常量函数 引理1 1 4 集合c ( 霄) 表示t 上所有关于d 准可微的函数构成的集合，u 是霄的一个紧子 集，如果，( 亡) ，t u 是一致有界的，那么g ( u ) 是等度连续的。 证明：因为，( t ) ，t 是一致有界的，所以存在m 0 ，使得| ，( 圳m ，由引 理1 1 3 对任意的 o ，存在6 = 寺，对任意的l ，亡2 ，| 乏l 一丢2 匹，g ( 己j 有 m ) 。) | 1 ) 日寸，对所有的t ，s 七( t ，s ) 引理1 2 1 对所有的t ， ，s 矿“，礼n o ，有 弓l 理1 2 2 对t ，s ? 礼n o k ( t ，s ) = ( 一1 ) n 肌( s ，t ) ( 1 ) 当t s 时，九n ( t ：s ) 0 ( 2 ) 当s 时，若，z 为偶数则k ( ：s ) 2o ，若，2 为奇数则九九( t ，s ) 冬o 。 7 咕一矿 掣踟 h 御 = 证骥：厦涯法。不妨假设鬈是方程( 圭。王) 的一令有界正蘩，z 萼) 按照式子2 ，王) 定义，蠹 引理2 1 。当t 充分大时有 ( 一王梦岩帮瀚 o ，墓= 蔓，2 ，辩 盎找爹0 ；酶有器性，鬻g 是宥界酶，靳骥鸯登嚣擘) = 芝一，；， 。 一一 l 如果l o ，那么存在苗l 麓幻，当譬鎏t 1 时，名( t ) o 因为对任意的甚迨t 1 ，存柱七，使得 f 砖) # 竖毒lsf ( 奄一1 8 ) ，黪 铁丁 l f 仕) 丢l 。 因为 塞蛰一p 器；掣r 季) = 2 ( 巷) o 所以 害 p 固髫( 丁( 瑚 o ，对兖分大鹩圣l 芝当需季1 时，z 艏，从褥翰 名( t ) 艺m 。对秽猃让亡l ，将z ( 让) 刹用时檬上的t a y l o r 公式展开 名( u ) = 薹( 一1 ) 船舶( ，让) 岩“( ) + z 旷一1 国( 一1 ) n 一1 吼。x ( 盯( 丁) ，乱) 爿纛再( r ) r 贝讦 l q 獭h 爆芝) 瓴邺) 尹湖十厂蜘纠们如) 芦丁 七= l 口 然 x 依此类推得 一z ( s 1 ) g ( s ) z ( ( s ) ) 7 h 一2 ( s l ，s ) s 对s 1 从( t ) 到积分 叫卅撕) ) 厶r g ( s ) 咖( s ) ) k z ( s 1 s s 1 ，王，( t ) l ，s 1 t ，p ( t ) j ( t ) = g ( s ) z ( ( s ) ) k 一2 ( s 1 ，s ) s 。s ，t，s = 一 口( s ) z ( 正，( s ) ) 九n l ( ( t ) ，s ) s ，王，( t ) 由引理1 2 1 一z ( 亡) + z ( ( t ) ) 口( s ) z ( ( s ) ) 鲰一1 ( s ，( ) ) s ，工，( t ) 因为z ( t ) z ( t ) ，z ( 亡) o ( 2 1 0 ) t _ + - ，| ， 成立那么方程( 1 1 ) 的每个有界解都是振动的 证明：反证法不妨假设z ( ) 是方程( 1 1 ) 的一个有界正解，z ( ) 按照式子( 2 1 ) 定义，由 引理2 1 ，当t 充分大时有 ( 一1 ) z ( t ) o ，i = 1 ，2 ，n 令l i 罂璺f z ( ) = 6 ，显然6 o 如果6 o ，那么当t 充分大时有z ( t ) 6 o 如果6 = o ，那么存在数列如，熙如= ，使得熙z ( “) = o 当七充分大时，因为 1 4 z ( 七) = z ( t 七) 一p ( t ) z ( 丁( t k ) ) z ( t k ) ( 1 一p ( t ) ) ，所以1 i mz ( t k ) o 。 尤 o g 另一方面，因为 z ( 丁一1 ( 七) ) = z ( 7 一1 ( t 七) ) 一p ( 丁一1 ( t 七) ) z ( 7 一1 ( 7 i ( z 七) ) ) 所以。l i mz ( 7 - _ 1 ( t k ) ) o ，因此j i mz ( ) = o 因为z ( t ) o 。取必= m a x 他6 1 ) ， 则存在充分大的t 1 t o ，当f t 1 时，z ( t ) m o 取充分大的z 2 1 ，使得当o s 2 时，( z ) ( s ) 1 ，由式子( 2 5 ) ( z 。) ( 丁) 丁( 一1 ) 佗_ 1 鲰一，( ( ) ，( s ) ) z ”- 1 ( ( t ) ) 两边同时乘以g ( s ) 得 揣z 5 垆蛇( 妒1 似味小m 扩b m s ) 所以 掣8 垆蛇( 矿- 1 ( 川加( s ) 炉川枷g ( s ) 两边对s 从( t ) 到t 积分得 击z “一1 ( ( t ) ) ；。、( z 。) ( 丁) 丁 ( 一1 ) 肛1 z 舻- 1 ( ( ) ) 肌一1 ( ( t ) ，( s ) ) g ( s ) s 因为州( 亡) 魏毒= 羔，鬟，舞 戮为硇鼹有券静，所戳鬈( 雾) 的檄黻存在。鄹么存糕下黼两静w 能酶蜷澎 砖一薹嚣矗棼避霉搿美，霪，嚣，雾8 ；筑害秀l 鎏岛 獭( 熏) 茹鼢0 ) 识i 黜薹，2 ，绺，z 0 ) o ，善蛰喾l 勤 对情形臻b 存在 巷；襞褥怒g 固絮一| + 粼簿在巍鎏毒l ，繁褥一l i 瘗扩霉x 8 熬缝攘，存霆宽努大奄淡毪，塞毒趣弹；茹# ； 。 对情形( 务，有 舅8 ) 警p 0 ，垂善l 所以眷樾秣 ，德得2 ( 妻) 猿散考鎏霉1 绻套上述蔼耪情澎，存在馘毽篾辫鬈国) 竭案鎏岛。鬻糕 岩a 料) = 譬站茹f 转鳓，砉趣慧 2 瓣任意懿第季热，将2 。董2 ) 获蔷粼r 积分黼 产”2 习一露悫萨渤未掰? 譬渤基 凇 嚣 躲避 黠孪簌害樊喾糗努褥 辫戮 一声炒。移掰z 譬穗葶 程 一1 髫舻秘巾z 舯2 蹬 攀 桊 然 凇z 小洳移 掰厂z # 如瑚磊嚣 嚣 譬渤抟一句磊落 ，掣 一甏i 譬汹鑫i 拣s 盎箩 筹惑8 一耋翰鎏一磊耋z 爹霉翥；毳；妻，露惑s 再对t 从t 到丁积分得 所以 z ”一3 ( f ) 一z “一3 ( t ) 一m 依此类推，可以得到 由t 的任意性 一z ”3 ( t ) 丁知m s 心口 一m t ，5 g ( s m s 瑚s m 小s m s ) s 彳r g ( s ) z ( t ，s ) s z ( t ) 4 t q ( s ) 九n 一。( t ，s ) s z ( t ) a 彳o 。口( s ) 九n z ( t ，s ) s 将( 2 1 3 ) 两边对t 从t o 到t 求积分 z ( t o ) z ( 丁) + m z ( 丁) z ( 丁) h q ( s ) k 一2 ( t ，s ) s t ( 2 1 3 ) 由引理1 2 1 与引理1 2 2 得 z ) 冽丁) + m q ( s ) 夕“( s ，t 0 ) s + f 如) 帖1 ( s 南) s ，t o ，t 令t 斗。，因为z ( t ) 有界，所以有 f g ( s 胁- 1 ( 州。) s 一 与条件( 2 1 1 ) 矛盾，假设不成立，所以方程( 1 1 ) 的每个有界解都是振动的 2 2 例子 例2 6 考虑时标，= g z ，g = 2 上的方程 ( z ( t ) 一z ( 丢) ) 4 = 吾z ( 丢t ) ，z o ，。) ( 2 1 4 ) 1 7 其中爹三王，9 0 ) = ，r ( 雹) = 扣扩( 丢) = ；妻，显然p ，窖，r ( ) ，扩满足方程( 王。王) 的 条件( 1 ) ，( 2 ) ，并且7 ( 丑) n ( t ) 谚，扩( ) f ( ) 由引理羔。2 0 ，我们知道在时标上 姒如) 2 娶嚣l = u 厶- 一，：v1 所以当口= 2 时 嘣如) = 嚣器 ( 亡，s ) = | li 那么 危2 ( 如) = 坠掣 砩牡坚迎掣 由引理1 2 1 如渤= 喃积扣蛙塑掣 在文献【l 】中有，在时标上，对n ，t 广丁1 上扩舢= 南p 1 所以对方程( 2 1 4 ) ，当g 一2 时有 r 如酬舭s = z r 如啦s = 斯抛s 81 2 ln 乙曷：o 驴 击? 3 令r _ ，剃 ， 口( s ) 夕3 ( s ，) s 燮0 0 ，地 由定理2 5 ，方程( 2 1 4 ) 的每个有界解都是振动的 3 时标上二阶自共轭中立型动力方程非振动解的分类 这一节，我们主要讨论时标上二阶自共轭中立型方程 ( n ( t ) | ( z ( 芒) 一p ( t ) z ( 7 ( t ) ) ) | & s 9 佗( z ( ) 一p ( t ) z ( 7 - ( t ) ) ) ) + ，( 苗，鬈( y ( t ) ) ) = o( 1 2 ) 非振动解的分类及各种类型薯# 振动鳃存在的充分必要条件。其中是正常数，量，。) 虿， 并且有下列条件成立： ( i )丁( t ) ，扩( 亡) e ( 翟，霹) ，丁( t ) 艺，互，( ) 茎t ，l i m7 - ( ) 一。，j i i n 扩 ) 黧，丁( ) 是菲 叶 减的 ( i i ) p 0 ) ，a ( 亡) c ( 霹，r + ) ，o p ) 冬a 0 或者 z ( ) z ( 0( 3 。王) 证明：不失一般性，假设z ( t ) 是方程( 1 2 ) 的一个最终正解由( 1 2 ) 和条件( 锄) 得 ( 8 ( t ) l z ( t ) l & s g 豫z 0 ) ) 厶 0 或者z ( t ) o ，当丢充分大的时候 x 一一 z x ：z ( t ) z ( t ) o ，当t 充分大的时候) 另外，我镌规定： r ( o ( t ) 一t ，丁( 1 ( t ) = 7 _ ( t ) ，丁( 2 ) ( t ) = 丁( r ( t ) ) ，r ( 七( t ) 黧丁( 丁( 一1 ) ( t ) ) p f 。( t ) = l ：p ( 1 ( ) 一p ( z ) ，p ( 2 ( 亡) = p ( t ) p ( 彳f 1 ( t ) ) ， p ( 8 ( t ) = p ( ) p ( 丁( 1 ( ) ) p ( r 和一1 ( ) ) 1 9 定理3 2 假设茹( ) 是方程( 王。2 ) 的一个菲振动繇如果霉砖x 一，那么就有 恕z ( 亡) = o ，熙z ( t ) = o ( 3 2 ) l 。 证明：不失一般性，假设z ( t ) 是方程( 1 2 ) 的一个最终正解则存在充分大的亡12t o ，当 亡考l 时，有名( ) o 。由f 皓) 的定义及f 囊) 的非减性，对任意的丢之考l ，存在致使得 一( 旬亡l r 惫一1 ( 亡) ，即7 _ ( 舌1 ) r ( 哪( z ) 苦1 由z ( t ) = z ( 亡) 十p ( t ) z ( 7 - ( ) ) 和条件( 识) 可得 o 鬈( 季) o ，z ( 扩( 善) ) o 由引理3 王的证明，( 妨是最终定号的 ( 口) 若最终户( 亡) o ，那么 由方程( 王2 ) 及条件西) 8 ( 丢) i 名0 ) | a s 9 乱名0 ) = n ( t ) ( z ( ) 穗 所以存在常数聪 o ，使得 即 o 0 ，z ( t ) 0 ，所以很容易知道存在正的常数c 1 和充分大的亡2 亡1 ，当 害之考2 时 c 1 a ( t ) z ( t ) c 2 ( 6 ) 若最终严( t ) o ，则z ( t ) 是非增的，那么存在常数c 2 ，使得嵩亡亡1 时，有( 亡) e 2 因为 n ( t ) l z ( t ) 1 8 8 9 死2 0 ) 一一q ( 亡) | z ( t ) l 。 囊方程( 1 2 ) 和条件 ) ( 一n ( t ) f z ) i a ) o 所以8 | ( 主) r 是菲减的，因此存在2 丢l ，当丢丢2 时 8 ( ) l z ( t ) | a 8 ( t 2 ) | z ( 2 ) | 口 即 紫 对上式由2 到，积分， z ( ) 一名( ? ) 窆z r 掣铲s “ 2 ) l ，r 赤s 当r - 时，有z ( t ) c 1 a ( t ) ，其中c l = 口言( 亡2 ) | z ( 亡2 ) i 所以( 3 。3 ) 成立，定理证毕。 o ，恕i = o 扭罂p 帮 o ，恕川i = o h 鬻p 捌= 其中z ( 亡) = z ( t ) 一p ) z ( 7 - ( ) ) 证明：假设z ( ) 是方程( 1 2 ) 的一个非振动解且z ( 亡) x + ，由引理3 3 ，存在c 1 ，c 2 o ， 及充分大的亡1 ，使得当t t l 时，a ( t ) c 1 i z ( t ) l c 2 ，又因为z ( t ) z ( 芒) ，所以 裂c 1 o ，因此 1 钽璺f 裂 c l o 下面我们将要证明1 i ms u pl z ( t ) j ，也就是z ( 亡) 是有界的对任意的l ，存在整数 七，使得7 - ( t 1