（应用数学专业论文）测度链上微分方程正解的存在性问题.pdf

摘要 摘要 1 9 8 8 年德国数学家h i l g e r 在他的博士论文中首次提出了测度链的理论，将对 离散和连续变量的分析统一起来。所谓测度链是指实数集尺上的任一非空闭子集。 如果选择测度链是实数集r ，它就是通常的微分方程，如果选择测度链是整数集z ， 那么它就是差分方程。近年来，测度链上微分方程的研究得到了较快的发展。所采 用的研究方法是把微分方程与差分方程研究方法进行比较、统一，然后再推广到测 度链上。 本文主要讨论了测度链上阶和二阶微分方程正解的存在性。论文共分为五章， 主要内容如下： 第一章，主要介绍测度链上微分方程的起源和国内外的研究现状以及本文研究 的主要内容。第二章介绍测度链的基本概念及相关定理。第三章，研究测度链上的 一类时滞微分方程，利用k r a s n o s e l s k i i 不动点定理，讨论了其正解存在的充分条件。 第四章讨论了一类具有特征值的二阶微分方程边值问题，利用锥上的不动点定理并 构造相应的g r e e n 函数，得到了该问题正解的存在性。第五章探讨了测度链上进一 步可开展的工作。 关键词测度链；存在性；k r a s n o s e l s k i i 不动点定理；正解；g r e e n 函数 a b s t r a c t t h et h e o r yo fm e a s u r ec h a i n sw a si n t r o d u c e db ys t e f a nh i l g e ri nh i sp h d t h e s j sj n 19 9 8 ，i th a sb e e nc r e a t e di no r d e rt ou n i f yc o n t i n u o u sa n dd i s c r e t ea n a l y s i s am e a s u r e c n a l ni sa na r b i t r a r yn o n e m p t yc l o s e ds u b s e to ft h er e a l n u m b e r s b yc h o o s i n gt h e m e a s u r ec h a i nt ob et h es e to fr e a ln u m b e r s ，i ty i e l d sad i f f e r e n t i a l e q u a t i o n ，a n db v c n o o s i n gt h em e a s u r ec h a i nt ob et h es e to fi n t e g e r s ，i ty i e l d sad i f f e r e n c ee q u a t i o n r e c e n t l y , t h e r eh a v e b e e nm u c ha d v a n c eo nt h ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n so nm e a s u r ec h a i n s i ng e n e r a l ，t h er e s e a r c hm e t h o d st h e yu s e da r e j u s ta st h ef o l l o w i n g ：f i r s t l y , w ec o m p a r e t h em e t h o do fd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sa n dt h ec o r r e s p o n d i n gd i f f e r e n c ee q u a t i o n s t h e n u n i t et h e mf i n a l l y , e x t e n dt h er e s u l t st om e a s u r ec h a i n s t h i sd i s s e r t a t i o nd i s c u s s e sm a i n l yt h ee x i s t e n c eo f p o s i t i v es o l u t i o n sf o rd i 疏r e n t i a l e q u a t i o n so nt h em e a s u r ec h a i n s t h ep a p e ri sd i v i d e di n t of i v ec h a p t e r s i nc h a p t e ro n e ，i tw a si n t r o d u c e dt h a tt h e h i s t o r ya n dc u r r e n ts i t u a t i o no ft h et h e o r v o fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n so nt h em e a s u r ec h a i n sa n dt h em a i n c o n t e n t si nt h i sp a p e r i n c h a p t e rt w o ，w eg i v es o m ep r e l i m i n a r yd e f i n i t i o n sa n de l e m e n t a r yp r o p e r t i e s i nc h a p t e r t h r e e ，w ea r ec o n c e r n e dw i t ht h ee x i s t e n c eo f p o s i t i v es o l u t i o n so ft h ed e l a ye q u a t i o n so n am e a s u r ec h a i nb y u s i n gk r a s n o s e l s k i if i x e dp o i n tt h e o r e m i nc h a p t e rf o u r , w ed i s c u s s p o s i t i v es o l u t i o n sf o re i g e n v a l u ep r o b l e mo fat w o p o i n tb o u n d a r yv a l u eo nm e a s u r e c n a l n s b e s i d e s ，w ec o n s t r u c tt h ea s s o c i a t e dg r e e n sf u n c t i o nt os t u d yt h ee x i s t e n c eo f p o s i t i v es o l u t i o n s i nc h a p t e rf i v e ，w ei n t r o d u c et h ef u r t h e rp r o b l e m so nm e a s u r e c h a i n s k e y w o r d sm e a s u r ec h a i n s ；e x i s t e n c e ；k r a s n o s e l s k i if i x e d p o i n tt h e o r e m ；p o s i t i v e s o l u t i o n ；g r e e n sf u n c t i o n i i 河北大学 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得河北大学或其他教 育机构的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均己在论文中作了明确的说明并表示了致谢。 作者签名：盔亟焦 日期：j 丝卫年月 垒日 学位论文使用授权声明 本人完全了解河北大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。 学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存 论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年月日解密后适用本授权声明。 2 、不保密明。 ( 请在以上相应方格内打“4 ) 保护知识产权声明 本人为申请河北大学学位所提交的题目为( 裼饧磁逐上弓甜匆弓柱孑舛加桃蝣闭幺 的学位论文，是我个人在导师( 唧霭彳) 指导并与导师合作下取得的研究成果， 研究工作及取得的研究成果是在河北大学所提供的研究经费及导师的研究经费 资助下完成的。本人完全了解并严格遵守中华人民共和国为保护知识产权所制定 的各项法律、行政法规以及河北大学的相关规定。 本人声明如下：本论文的成果归河北大学所有，未经征得指导教师和河北大 学的书面同意和授权，本人保证不以任何形式公开和传播科研成果和科研工作内 容。如果违反本声明，本人愿意承担相应法律责任。 声明人： 鸯蚕互兰日期：4 年丘月丝一日 作者签名：鸯云专z 剧磁各j 眵千_ 一 日期：j 孕年月且日 第1 章绪论 1 1 引言 第1 章绪论 许多物理、力学、工程上的实际问题，都可以归结为求解微分方程的问题；而在解 决一个具体问题时，除了微分方程本身以外，还需要一定的定解条件。在一般的微分方 程的讨论中，定解条件为初始条件，相应的定解问题称为初值问题u 锄。它可表述为： 已知运动在初始时刻的状态，探求运动的规律。但是，有许多实际问题却不能这样表述， 它们虽然也可以归结为求解微分方程的问题，而定解条件却分别在所考虑的区间两个端 点给出，这种定解条件称为边界条件，相应的定解问题就称为边值问题【4 巧】。基于丰富 的实际应用背景，非线性微分方程边值问题正解的存在性问题，在整个微分方程研究领 域显得尤为重要，由于计算机技术的飞速发展，对连续的数学模型，数值计算它的解就 需要把其离散化，即变成差分方程求解。差分方程反映的是关于离散变量的取值与变化 规律。针对要解决的目标，引入系统或过程中的离散变量，根据实际背景的规律、性质、 平衡关系，建立离散变量所满足的平衡关系等式，从而建立差分方程。通过求出和分析 方程的解，或者分析得到方程解的特别性质( 平衡性、稳定性、渐近性、振动性、周期 性等) ，从而把握这个离散变量的变化过程的规律，进一步再结合其他分析，得到原问 题的解【6 。那么把微分方程差分化后得到的差分方程，其性质与原来的微分方程是否 相同呢? 许多经验表明，微分方程的许多性质经差分化后是保留下来了，但是，也有许 多例子表明微分方程与相应的差分方程会有一些不同的性质，例如，观察单个种群的生 一 态数学模型的l o g i s t i c 方程等= 锻( 1 一享) ，口 o ，k 0 的每个解都是单调增长的。但与上 a t尼 式相应的差分方程瓴= a x ( 1 一缸。) 有可能出现混沌解，这就有了本质性的区别。例如 0 2 ， 二阶常微分方程等+ 口( f ) 厂( f ) = 0 的某些性质与相应的差分方程2 以一。+ 厂( 儿) = 0 是 日l 不同的。这种可能的差异性，使得对许多微分方程和它们相应的差分方程进行重复的研 j 究。例如，对动力系统u y ，= 厂( f ，y ) 其中y ，f g ”，二十世纪初李雅普诺夫建立了李雅 河北大学理学硕十学位论文 普诺夫直接法，并通过李雅普诺夫函数建立了上述动力系统的稳定性准则。上世纪6 0 年 代l a s a l l e 推广李雅普诺夫直接法到相应的差分系统y ( n ) = f ( n ，y ( 门) ) ，其中j ，f r ”， ，z n o ： o ，1 ，2 ，) 。另方面，观察差分算子( 。厂) ( f ) ：f ( t + h _ ) - f 一( t ) 的结构和微分算 子磊d 厂) ( f ) = l 。i 卅m 笪塑生字兰旦的结构又十分类似。因此启发我们去定义一个更一般的 算子，这个算子可以包括这两种特殊的算子。德国数学家h i l g e r 在1 9 9 0 年发表了测度 链( m e a s u r ec h a i n ) 分析一一个连续与离散计算的统一方法【8 1 。给微分方程和差分方程 统一研究提供了有力的工具，引起了国内外许多学者的广泛关注。l a k s h m i k a n t h a m 等 在1 9 9 6 年建立了测度链上动力系统的李雅普诺夫稳定性理论。b o h n e r 和p e t e r s o n 系统 分析了测度链上动力系统的重要一类：时间测度上的动力方程1 9 1 ，称之为测度链的微分 方程。我们研究测度链上非线性微分方程边值问题正解的存在性。 1 2 国内外研究现状 对于测度链上的微分方程，国内外学者已经进行了很多研究，得到了下面的一些有 意义的成果。 1 2 1 测度链上的二阶微分方程 c h u a nj e nc h y a n ，j o h n n yh e n d e r s o nv o l h 论t 在测度链r 上边值问题 fy t 沮( t ) + f ( y ( c r ( t ) ) = o , t o ，1 】n 丁， l y ( o ) = y a p ( 1 ) ) = 0 的正解问题。文中用不动点定理证明了上述边值问题至少有两个正解。在这里设丁是实 数r 的一个子集，对任意的t t ，当f f ，f t t ，当t i n f t 时 j 9 ( f ) = s u p v f ，r 丁 t 。 e l v a i l 砧洫【l l 】讨论了边值问题 第1 章绪论 lx 丛( f ) = 厂( f ，x 。( ，) ) ，t 口，6 】， x ( 口) = 么， l x ( c r 2 ( 6 ) ) = b 的解的情况，文中用上下解方法证明了解的存在性，并表明，对每一个固定的t ，若f ( t ，x ) 关于x 是严格单调递增的，则这个边值问题有唯一解，最后说明了当满足一定的条件 时，可以得到解的存在唯一性定理。 l e r b e 和a p e t e r s o n 1 2 】讨论了形如 的正解问题，当= o ，丘= 或无= o ，五= o 。两个条件有一个成立时，上述边值问题有 一个正解。这里要求a ，3 ，y ，5 o ；d = 伊+ a 6 + a r ( a ( b ) - a ) o ；f c ( 口，仃( 6 ) 】r + ，r + ) ， 五：m 堂盟，六：l i m 堂型。 x - i 0 t xx_”x r i c h a r di a v e r y 和d o u g l a sr a n d e r s o n 【1 3 】也讨论了上述边值问题的正解的情况。 当满足一定条件时，利用l e g g e t t - w i l l i a m s 不动点定理可以得到边值问题至少有三个 正解。b a ic h u a nz h i 1 4 1 同样讨论了上述边值问题的正解情况，对厂的取值的不同范围， 论文利用l e g g e t t - - w i l l i a m s 不动点定理证明该问题至少有三个正解。 z h a o c a ih a o 等f 1 5 1 研究了如下边值问题 f 一产( f ) + 臃( f ) 厂( f ，( f ) ) ，t 【口，6 】， a x ( a ) - f l x ( 口) = 0 ， 【y x ( a ( 6 ) ) + 6 x ( 仃( 6 ) ) = o 。 作者运用k r a s n o s e l s k i i 不动点定理，研究得出当厂满足一定条件时，此边值问题至少存 在一个正解。 酗 o x ，” 嘞q p气= x 哆气 丫 6x卜 l i 印炉撕” 地和 似 弦 河北大学理学硕士学位论文 1 2 2 具有特征值的二阶微分方程 受h e n d e r s o nj d e n g 等人【1 6 - 1 8 j 的启发，王大斌讨论了非线性特征问题【1 9 l l ”丛( f ) + x a ( t ) f ( u 4 ( f ) ) = o ，f 【o ，l 】， l “( o ) = 0 = u ( o - o ) ) 满足边值条件的正解的情况，其中f ：【o ，佃) 一( 0 ，佃) ，口：【o ，仃( 1 ) 】专r + 是连续的，且 日( f ) 在【o ，仃( 1 ) 】的任何闭子区间上不一致为零。这里不要求兀，厶存在。当厂满足条件时， 边值问题存在正解。作者后来又一次讨论此问题【2 0 1 ，当a 在某区间时，此边值问题有一 序列正解 o ，称此映象为前跳算 子。后跳算子定义为p ( t ) = s u p s t ：s 0 ；若“( d = 0 ，则称t 为右致密的。一个 非最小元素，t 叫做左离散的，若p ( t ) r 且满足下列性质 ( 1 ) d ( r ，j ) + ( j ，) = d ( r ，) ； ( 2 ) 若r s ，则d ( r ，s ) 0 ； ( 3 ) d 是连续的。 则称( t ，d ) 为测度序链，具有时间测度丁，且它的测度定义为d 。 实数的任意非空闭子集叫时间测度( t i m es c a l e ) ，它是测度链的特殊情况。 河北大学理学硕士学位论文 定义5 1 1 2 1 测度链r 上的闭区间 口，6 】定义为 【口，b 】：= 口t 且口f 6 。 其它类型的区问可以类似地定义。 2 2 测度链上的导数 下面假设时间测度t r 。 定义6 对任意函数厂：t 专r 定义其导数a ( ，) 为：设f t 七，对每个 0 ，存在 f 的邻域u ：对一切s u ，存在口r 使 i f ( c r ( t ) ) - f ( s ) - a ( c r ( t ) - s ) i g i 仃( f ) 一s i ，s u 。 则称函数厂在f 可微，并称a 为函数厂在f 的导数，记为f ( r ) 。有时称它为厂在矿上的 导数，其中r 是这样定义的，若丁有左离散的最大点m ，则t = t 一 m ) ，否则t = t 。 显然，当t = r 时，f ( ，) = f ( ，) ，这与通常的导数定义是一致的；而当t = n 时， f ( f ) = f ( t + 1 ) - f ( t ) = a f ( t ) ，a 为向前差分算子。 定义7 t 2 9 l 定义 x 矿( f ) ：= o a ( f ) a “，以1 。 且规定x a o ( f ) ：= x ( f ) 。 定理2 1 【2 8 】假设厂：r 一欠，t t 七，则有 ( 1 ) 若厂在t 可微，则厂在，连续； ( 2 ) 若在，连续，是右离散的，则在，可微且 = 警； ( 3 ) 若t 是右致密，贝1 j f 在t 可微当且仅当极限 l i m f ( t ) - f ( s ) s _ t t s 存在且为一有限数。这时 a ( r ) ：l ：i i i l 丝) 二塑； s - - + f t s 第2 章测度链上的微积分 ( 4 ) 若厂在f 可微，则有 p ( ，) ) = ( f ) + l a ( t ) f ( ，) 。 若厂，g ：tjr 在t t 七上可微，由导数的定义很容易证明下列公式： ( 矿( f ) + 坛( f ) ) a = a f ( f ) + b g a ( f ) ； ( 厂( f ) g ( f ) ) a = f ( f ) g ( ，) + f ( c r ( t ) ) g a ( ，) ； 若g ( t ) g ( c r ( t ) ) 0 ，则 f 巡1 厶：f a ( t ) g ( t ) - f ( t ) g ( t ) 。 、g ( f ) g ( f ) g ( 仃( ，) ) 定义8 1 2 8 1 函数厂：t j r 称为正规的，若对r 中的一切右致密点，它的右极限存在 且有限；对一切r 中左致密点，它的左极限存在且有限。 函数f ：t 专r 叫以连续，若它在丁中一切右致密点上连续，且在左致密点上，它 的左极限存在且有限。一切一连续函数的集合记作c 0 = c 0 ( 丁，r ) 。 定理2 2 【2 8 】厂：tjr ，则有： ( 1 ) 若厂是连续的，则厂也是耐连续的； ( 2 ) 若厂是坩连续的，则是正规的； ( 3 ) 前跳算子仃是脚连续的； ( 4 ) 若厂是正规的或耐连续的，则厂”也是； ( 5 ) 若厂是耐连续的，g ：t 寸r 是正规的( 耐连续的) ，则复合函数f 。g 也是正规 的( 耐连续的) 。 定义9 t 2 8 1 连续函数厂：t 寸尺在j d 上准可微，若厂在每个f d 上可微，rd ct ， r d 是可数集且不含有r 的右离散点。 定理2 3 2 8 1 ( 中值定理) 厂，g ：tjr 在d 上准可微，则 l j r ( f ) l - i l u l l 当材kn 鸹时，或者 i l u l i 当甜k n 驾且0 砌0 m i 当k n 码时 成立，则t 在k n ( 壳：q 。) 上有不动点。 方程( 3 1 1 ) 两边同乘以e x p 订 ) “，化简可得： ( x ( f ) e ) 【pf 口( 甜) “) a = a 后( d 厂( 石( f f ( ，) ) ) e x p 口( “) “。 从，到t + c o 上积分可以得至l j ( 3 1 1 ) 的解为 e t + x ( f ) = ai g ( f ，s ) k ( s ) f ( x ( s t ( 5 ) ) ) & ， ( 3 1 2 ) 其中 河北大学理学硕士学位论文 g o ，s ) ：竺等竺，s ，+ 。 e x p 上口( “) 口“) 一1 首先考虑g ( t ，s ) 的一些性质。 令p ：坐 0 ； n g ( t ，s ) q ， f s f + 。 ( 3 1 3 ) 设e 是由c o 一周期实函数组成的集合，对任意的x e ，赋予x 如下结构的范式 i l x l l = m 。a ，x 。l x ( f ) i ，则e 是b a n a c h 空问。定义e 上的一个锥k 为k = x 卜p l ，x 毋。 定义一个全连续算子t ：eje ，f + 吐， ( 致) ( f ) = 允l 。g ( t ，s ) k ( s ) f ( x ( s f ( 5 ) ) ) 口s ，x e 。 则算子丁的不动点就是( 3 1 1 ) 的解。1 主1 ( 3 1 3 ) 式得 一+ ( 纠p ) ；t olk ( s ) f ( z ( s f ( j ) ) ) 口s ， 所以有l a 忙a q f 七( s ) o ( 6 - - z ( j ) ) ) 口s 。 如果x k ，则 ( 酬啦九卜( s ) 厂( 小叫呦) 口s x h 。 所以t ：kjk 。 引理3 2假设存在两正数口，b 使a b ，且有如下二不等式成立 第3 章测度链上一阶时滞方程周期正解的研究 这里 m 。“a 卯x f ( x ) 砑a ， 观似) 石b 彳= 溅广c ( t ，s ) 尼( s ) 口nb = m i n 蜘g ( t ，j ) 后( j ) 口j ， 则存在i k 为t 的不动点，且：f f m i n a ，6 ) 捌l m a x 口，6 ) 。 ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) 证明：记疋= x k l f i x l l ，瓦= 扛ek i | i x l l b ，不失一般性，我们假设口 6 ， 则对于任意的x k 且删i = 口，有 ( 酬f ) a 去厂印力琊) 口s a 嗉= 6 制i o 即对任意的x o k o ，确- i l w l l - - n i 。 由引理3 1 知，存在i k 满足口矧i 6 ，使巧= i 。证毕。 3 2 周期正解的存在性 为方便起见，我们把结论中需要的条件罗列如下 ( l 1 ) 赎掣 河北大学理学硕士学位论文 这里 而 ( l 2 ) l i m f ( x _ _ _ q ) ：。， x - - 9 c o x ( l 3 ) 慨掣_ o ， ( l 4 ) l i mf ( x ) ：0 ， x - - ) o o x ( l 5 、l 枷i m f x ( x ) = ，o ， o o ， ( l 6 ) l i m f ( x ) ：工，o ( 1 影( 川 。一 ”。 类似地，由( l 2 ) 可得；鳃g ( ，) = 0 。因此存在 o 使得g ( ) = m 例a x q ( ，) = 兄。对任意的 第3 章测度链上一阶时滞方程周期正解的研究 九( o ，a ) ，由连续函数的介值定理可知存在两点吒( 0 ，r o ) ，r 2 ( r o , o o ) 使 g ( ，i ) = g ( ) = 允。 有g ( ，) 的定义可得 厂( x ) 击，艇【0 ，小厂( x ) a r 么2 ，x 【0 ，吒】。 另一方面，由( l 1 ) 和( l 2 ) 可知存在6 l ( 0 ，i ) ， 即 型去，x ( o ，6 l 】u ，。) ， xa e b 、。”“7 厂( x ) 惫，工咄6 l ，吼厂( 力九6 8 2 ，x 咄如，也】。 由引理3 2 可知方程( 3 1 1 ) 有两个解写，_ 2 分别满足 证毕。 这里 岛- l l 冤, l l - 九”，方程( 3 1 1 ) 至少有两个周期正解。 r ：三i n f ! 。 b 删m i n 厂0 ) e r x s r 证明方法与定理3 1 相似，在此省略。 定理3 3 设( l 5 ) 和( l 6 ) 成立，若a 满足条件 河北大学理学硕士学位论文 或者 则方程( 3 1 1 ) 至少有一个周期正解。 一1 a 上 九 一 e b la ， 1 a 上， e b z彳 证明：不妨设上e b l o 使得厂( x ) ( ，+ s 讧，这里o 0 使得当工e b 2 时，厂( 工) 一s ) x 。 设吼= m a x 2 h 。，履 ，则觇ka 撇- i l x l l = 马有 ，f + ( 2 x ) ( r ) x ( l - s ) 1 g ( t ，j ) 七( j ) x ( s f ( s ) ) 譬 x ( l - s ) e 忙i if c ( t ，s 弦( s ) a s x b ( l - s ) e 删 有引理3 1 可知方程( 3 1 1 ) 至少有一个周期正解i 满足 马0 i 4 马。 若a 满足条件土e b l a 石1 ，类似可证方程( 3 1 1 ) 至少有一个周期正解。证毕。 注1 若( l 1 ) 或( l 2 ) 成立，则对任意的0 0 ，方程( 3 1 1 ) 至少有一个周期正解。 证明：首先假设( l 1 ) 和( l 4 ) 成立，, 贝( 1 l i m f ( x ) ：，l i m 盟：o 。 x - - 0 x x - o x 若s u p 厂( x ) = d 。，方程( 3 1 1 ) 至少有一 个周期正解。若( l 2 ) 和( l 3 ) 成立，类似方法讨论可求出a “= 0 。由注2 可知v a 0 ， 方程( 3 1 1 ) 至少有一个周期正解。证毕。 推论3 2 或者( l 1 ) 和( l 6 ) 成立且当九满足o a 面1 ，或者( l 2 ) 和( l 5 ) 成立且当a 满足o 九 土a i 时，方程( 3 1 1 ) 至少有一食周期正解。 推论3 3 或者( l 3 ) 和( l 6 ) 成立且当九满足上e l b 九 0 0 ，或者( l 4 ) 和( l 5 ) 成立且当 九满足刍 0 ，使得 f ( v ) r i p i ，v a ；f ( v ) 7 7 见，v p 2 ， 河北大学理学硕士学位论文 其中叼= 万1 ，则方程( 3 1 1 ) 至少有两个周期正解。 证明：选取m 0 使e & b m 1 ，由条件( l 1 ) 可知存在，( 0 ，p 1 ) ，使得 厂( 1 ，) m v ( v ，) 。 对任意的x k 且l = ，有 ( 戤) ( f ) = a 【g ( t ，s ) k ( s ) f ( x ( s f ( s ) ) ) 口j a 肘1 a ( t ，s ) k ( s ) x ( s f ( s ) ) 口j a , m e r b ，- - i l x l i 所以，若取k = 伽e l l l u l l - 1 1 4 。 选_ i y cve k ，且俐= a ，则 ，r + m ( 2 x ) ( f ) = a1 g ( t ，s ) k ( s ) f ( x ( 墨一f ( j ) ) ) 口s _ x r p 。f + mg ( 柚) 七( s ) 口s & r p 。a = p 。- - i l x l l 定义如= uee l1 1 4 p ， ，nv x ek n o k 2 ，有8 孤忙删。由引理3 1 可知，存在丁的 不动点“，满足r - l l u 。4 p 。，咆是方程( 3 1 1 ) 的解。 同理定义坞= 4 e i i l u l l 0 ，使得当v e r i 时，有厂( 1 ，) m v ，且有e a , b m 1 成立。设 r = m a x 2 p 2 ，r 。 ，对任意的z k 上t l l x l i = r ，有 第3 章测度链上一阶时滞方程周期正解的研究 ( a ) ( f ) = ai 。g ( t ，s ) k ( s ) f ( x ( s f ( s ) ) ) 口s 九m1 g ( t ，s ) k ( s ) x ( s f ( s ) ) 口s a 庇尺召r = 0 x 0 。 若取墨= uee l i l u l l ，则对v x kn 啦，有m - u x l 。由引理3 1 可知，存在丁的 不动点吃满足仍0 “：0 r ，吃也是方程( 3 1 1 ) 的解。因此，方程( 3 1 1 ) 至少有两个周期 正解。证毕。 定理3 5 假设( l 3 ) 和( l 4 ) 成立且存在g ： q l 0 ，使得 厂( 1 ，) 叩吼，v g i ；( v ) r l q 2 ，y 2 ， 其中町= 万1 ，则方程( 3 1 1 ) 至少有两个周期正解。 证明：由条件( l 3 ) 可选取充分小的6 ( o ，纺) 使a 彳6 1 成立，对魄k ，且i = 6 ， 有f ( x ) 8 x 。则 ( 7 k ) ( f ) = 九ig ( t ，s ) g ( s ) f ( x ( j f ( s ) ) ) 口s a 占1 g ( t ，s ) i ( s ) x ( s f ( s ) ) 口j - a 6 1 1 x l l f + m g ( t ，j ) 后( s ) 口s a 筋 。 若取墨= 似e l l | 甜0 5 ，则坛k n 粥，有8 a 8 2 r q 。b = q 。- - i l x l l 。 河北大学理学硕士学位论文 定义如= 红e i i i i i q ) ，则对比ek f f lo k 2 ，有8 致忙。由引理3 1 可知，存在丁的 不动点满足6 - l l u 。i i - e h l 时，f ( x ) 5 x 成立。设 日= m a x 2 q 2 ，h i ，则对任意的x kn1 1 x 1 1 = h ，有 ，f + ( 乃f ) 0 ) = aig ( ，s ) k ( s ) f ( x ( j f ( j ) ) ) 口j a 制i f + 。g ( t ，s ) 七( s ) 口s - - z 6 l l x l la - l l x l l 。 若取墨= 缸e i i l u l l 0 。 那么当 面面虿1 丽而 九 面丽1 丽面 ( 耐n 无) m f g p ( s ) ，s ) 血 ( 粼石) r 。g p ( s ) ，j ) 血 或 1 i (rainfo)mf g ( c r ( s ) , s ) a s “ 面丽再而 时，上述闯题至少有一个正解。其中 考一胙小警，国= 噼z l f 半， 存在且满足垡4 旦考 兰竽，g ( t ，s ) 是微分方程一口丛( ，) = o 满足边值条件( 肥) 的 p p垫卜 - 器些汁器 第4 章具有特征值的两点边值问题的正解 fx a a ( f ) + 九p ( f ) 厂( x 。( f ) ) = o ，f 【t l , t 2 ， a x ( t 1 ) 一卢x 6 ( ，1 ) = 0 ， ly x ( 仃( f 2 ) ) + s x a p ( f 2 ) ) = 0 ， ( 1 ) 厂：【o ，) 一【o ，) 是连续的，且厶= ! 骤导和无= ! 觋等导存在； o ，g ( 仃( 洲) p ( s ) 血 。 1 1 磊f 丽而面以 l l t u l l - l l u l l 当“kn 恕时，或者 ( 2 ) i v “i i - l l u l l 当“kn 且l i y , i i l 甜0 当“kn 鸹时 成立，则t 在k n ( 西2 q 1 ) 上有不动点。 4 2g r e e n 函数 在引出本文的结论之前，先来讨论 ( 4 1 2 ) 们 0 r l 一一 “ 卜 f )，x钆= p = 西a 问瞅 肛h 锄协卅扣卜p 0 口仃 阶地如 第4 章具有特征值的两点边值问题的正解 的g r e e nf f 擞g ( t ，占) 阻1 ，其中 其中 引理4 2 当f 【口，仃( 6 ) 】，s 【口，b 】时，式( 4 1 2 ) 的g r e e 0 函数g ( t ，j ) 满足 0 0 ，d 0 ，g ( f ) 在，仃( 6 ) 】上恒正，所以g ( t ，s ) 0 ，由 于g ( f ) 在陋，仃( 6 ) 】上有界，可设k q ( t ) k 。 g ( t ，j ) 一= g ( c r ( s ) ，j ) 竺篓枣：聋一陶地 c a r 者什势一一一 一(一leb)址1 a x - i 堡垒号6 圣丑，口d ( j ) ，仃( 6 ) 。 ( y t b ) i ，a 什志) 一卜一叭叫。 显然石善l ，即当f 口，仃( 6 ) 】，j 口，6 】时，g ( f ，j ) g p ( n j ) ，而 ， ，、一 以 皤 剑 d 玎 如 钉 经 ；一、口，扣焉 一 i 引 也，以，一肝，一，一g 竺叫丽 芸平 ) 一 一)扫焉 一什 盘者 ，七一吖 ， 州一叮 河北大学理学硕十学位论文 取 m ：i 血1 竺二，l 【a k ( a ( s ) 一口) + k 卢7r k ( a ( b ) 一盯( s ) ) + s k 显然g ( t ，j ) m g ( c r ( s ) ，s ) 。 4 3 正解存在性 定理4 1 设式( 4 1 1 ) 中f 0 = 一l i r a 。，f 工( x ) j 和lf , = ，l i 。m 。f x ( x ) 存在，_ r o 五 0 ，使得 窖去一a ( 丘一s ) r g ( 抽) 血一一万可丽。 先讨论五，因为厶= ，l 捌i m + 掣存在，所以对上述s o ，存在 o ，当o 工 h t ，当x 砬 j - - - o x 时，有厂( x ) - ( a - e ) x 。取x p ，且l l x l l = 而已贝u t x ( t ) = ar g ( r ，5 ) 厂( 蹦。( s ) 地允( 无一s ) ，g ( t , s ) 沁喇l o 4 - n ：= x e e ：m i 尤 o ，当 河北大学理学硕士学位论文 1 ， 1 fof ( b ) g ( t , s ) a s 以 p 是全连续算子。 取7 7 0 ，使得 ! 九 ( f o - r 1 ) f b ) g ( t , s ) a s 3 。3( 无+ 7 7 ) ，g ( t ，j ) a s + 先讨论厶，因为五= ，1 + i m 。+ 掣存在，所以对上面的叩 。，存在啊 。，当o x 啊，当工 时， x - - - m 工 有厂 ) ( 厶+ 7 7 ) x