（计算数学专业论文）求解线性不适定方程的两类迭代方法.pdf

摘要 本文主要构造了两类求勰线性不适定方程的迭代方法 首先，我们基于对动力系统的研究，通过用二阶r u n g e - k u t t a 方法数值求 解某抽象微分方程的柯西问题，构造了一类迭代算法我们证明了此算法的收 敛性，获得了最优的收敛速率，也对三阶、四阶高阶算法给出了收敛性条件。 并在数值试验中验证了算法的有效性但是，与一阶方法( l a n d w e b e r 迭代方 法) 数值结果比较时，却意外发现适用于求解通常常微分方程的高阶精度方 法在求解抽象微分方程时并没有优势上述结果，使大家对用= 阶及高阶数 值方法求解抽象微分方程的效果有了更明确的认识 其次，我们考虑了变步长l a n d w e b e r 迭代方法通过构造一类逼近多项 式，得到了某种意义下最优的m 次变步长方法给出了m 次变步长l a n d w e b e r 迭代方法在m 1 0 时变步长的具体取值，证明了m = 2 时方法的收敛性及最 优收敛速率数值试验中，针对m 1 0 给出了数值结果，并分别进行了比较， 发现变步长l a n d w e b e r 方法的实际效率要比等步长迭代的效率高，同一周期 内变步长步数( 即m ) 越大，效率改进越高；在扰动量6 小，迭代步数相对多 的情况下，变步长迭代的效率明显高于等步长迭代新的变步长迭代方法具 有明显的理论意义和实用价值 关键词：反问题，线性不适定同胚，动力系统，抽象微分方程，r u n g e - k u t t a 方法，收敛速率，变步长l a n d w e b e r 迭代，最优步长，一类逼近多项式。 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ec o n s t r u c tt w oc l a s s e so fi t e r a t i v em e t h o d s f i r s t l y , b a s e do i ld y n a m i c a ls y s t e m s ，w ec o n s t r u c tac l a s so fi t e r a t i v em e t h o d s b yu s i n gn l m e r i c a lm e t h o d s ( t w o - o r d e rr u n g e - k u t t am e t h o d ) t os o l v ea b s t r a c t d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sc a u c h yp r o b l e m i na d d i t i o n w ep r o p o s et h ec o n v e r g e n tc o i l - d i t i o no fh i g h e ro r d e rm e t h o d sa n dp r o v et h a tt h e ya r ee f f i c i e n t h o w e v e r ，c o m p a r - i n gt h e mw i t ho n e - o r d e rl a n d w e b e ri t e r a t i v em e t h o d ，w ef i n dt h a tt h eh i g h e ro r d e r m e t h o d sh a v en oa d v a n t a g ea n da c t u a le f f i c i e n c yr e d u c e s e c o n d l y , t h i sp a p e rp r o p o s e sv a r i a b l es t e ps i z ei t e r a t i v em e t h o d b yc o n s t r u c t - i n gac l a s so fa p p r o x i m a t i o np o l y n o m i a l ，w eo b t a i no p t i m i z a t i o nmt i m e sv a r i a b l e s t e ps i z el a n d w e b e ri t e r a t i v em e t h o du n d e rs o m eh n do fs i g n i f i c a n c e w ep r o v i d e t h ev a l u eo ft h es t e ps i z ew h e nms1 0a n dp r o v et h ec o n v e r g e n c ea n dc o n v e r g e n t r a t e sw h e nm = 2 b yn u m e r i c a le x c i s e s w ed i s c o v e rt h a tt h ea c t u a le f f i c i e n c y o fv a r i a b l es t e ps i z ei t e r a t i v ei sh i g h e rt h a nf i x e ds t e ps i z ei t e r a t i v e t h ev a r i a b l e s t e ps i z el a r g e r ，t h ee f f i c i e n c yh i g h e r ，e s p e c i a l l yw i t hs m a l l e rp e r t u r b a t i o na n dm o r e i t e r a t i v es t e p s t h en e wi t e r a t i v em e t h o dh a ss o m eo b 、，i o n st h e o r e t i c ss i g n i f i c a n c e a n dp r a c t i c a lv a l u e k e y w o r d s ：i n v e r s ep r o b l e m ，l i n e a ri l l - p o s e dp r o b l e m ，d y n a m i c a ls y s t e m s ， a b s t r a c td i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，r u n g e - k u t t am e t h o d ，c o n v e r g e n c er a t e s ，v a r i - a b l es t e ps i z el a n d w e b e ri t e r a t i v e ，o p t i m a ls t e p - s i z e ，ac l a s so fa p p r o x i m a t i o n p o l y n o m i a l 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的 工作除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不 包含其他人已发表或者撰写过的研究成果参与同一工作 的其他同志对于本研究所做的任何贡献均已在论文中作了 明确的说明并表示了谢意 签名t 扣伽咻岬名，忉 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规 定，即：学校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被 查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 硌矿知导师躲砺刃7 钐晦叩6 曲 第一章引言 1 1 不适定问题和正则化方法 自2 0 世纪6 0 年代以来，在许多应用科学与工程技术研究领域，如生命科 学，地球物理，地质勘测，图像重建和恢复，材料科学，遥感技术，最优控制 和最优设计中，都存在反问题( i n v e r s ep r o b l e m ) 3 0 1 0 3 7 3 9 4 1 用数学研究 某一自然现象或工程技术问题，预先要知道一些参数或参函数，我们称之为 同题的本原它们一般反映了这个问题的物理、几何等特征，所求的解称为这 些本原的效应由本原求效应的数学问题称为正问题；但是在许多实际问题 中，我们对问题的本原没有完全了解，有时这些本原正是我们所要求解的，这 类问题我们称之为反问题反问题的有效求解对数学学科本身以及相应的应 用科学都有着十分重要的意义，有时是关键所在因此对反问题求解的理论 和方法的研究已经成为当代应用数学与计算数学学科中重要且活跃的领域 反问题的一大特点，亦为难点是，一般说来它们在h a d m a r d 定义下是不 适定的，即在反问题中，我们不能完全保证其解的存在性，唯一性和稳定性 【瑚在数学上我们称这一类问题为不适定问题( i l l - p o s e dp r o b l e m ) 当然，我 们可以通过弱化解的定义来保证解的存在性，通过在解的集合中限定我们最 感兴趣的那个解来解决唯一性问题( 例如我们可以求解的集合中具有最小范 数的那个解) 1 1 1 1 2 9 但是，不满足稳定性就会产生一些极其严重的后果：如 果对于一个不满足稳定性的问题，即它的解不随数据的改变而连续变化，试 图采用。传统的”处理适定问题的数值计算方法来求解，那么利用这种方法得 到的结果就会极其不稳定 1 0 1 1 2 1 1 5 总而言之，反问题常常是不适定的，若不 用特殊方法来求解，将得不到合理的解 数学物理反问题中的求解已经发展了各种方法，诸如脉冲技术( p s t ) 、广 义脉冲技术( g p s t ) 最佳摄动量法蒙特卡罗法( m o n t ec a r l om e t h o d ) 各种 优化方法和正则化方法等；其中，最具普适性，在理论上最完备而且行之有效 的方法就是由著名学者t i k h o n o v 以第一类算子( 特别是积分算子) 方程为基本 数学框架，于2 0 世纪6 0 年代初创造性地提出，后来得到深入发展的正则化方 法其基本思想是：用一族与原问题相邻近的适定问题的解去逼近原问题的 】 2 0 0 7 上海大学硕士学位论文 2 解我们已粗略地看出，如何构造。邻近。的问题( 即如何构造正则算子) ，以 及如何控制与原问题的。邻近程度。而决定于原始资料的误差水平相匹配的 正则参数，将成为正则化理论或方法的两大核心问题；只是随着场合的不同 ( 例如对卷积型积分方程，是在时域中处理还是变到频域中去处理) ，所采用的 工具不同( 例如，是采用变分方法还是采用谱分析的方法) ，其实施方法和形式 各不相同罢了自然，由此产生的理论分析的难易不同、应用条件的不同结 果的差异乃至算法效率的差异等亦是情理之中的事情了 考虑具有如下形式的线性算子方程 a x = y( 1 1 1 ) 其中，4 是从h i l b e r t 空间z 到h i l b e r t 空间y 上的非退化线性紧算子一般 说来，方程( 1 1 1 ) 可能没有解在解存在的情况下，其解也不一定唯一i j u 因此我们将求它的一个特殊的广义解，即极小范数最小二乘解矿这种广义 解与算子a 的m o o r e - p e n r o s e 广义逆算子a + 有着密切的联系，故亦称其为 m o o r e - p e n r o s e 广义解【8 1e 3 0 我们将在下面的定理中说明a + 是将映射到算 子方程( 1 1 1 ) 的极小范数最小二乘解矿的解算子 定理1 1 1 【胡设y 口( a + ) = n ( a ) + 冗) 1 ，则方程( 1 1 1 ) 有唯一的极 小范数最小二乘解，它可以表示成 z + ：= a + y( 1 1 2 ) 并且，方程( 1 1 1 ) 的所有的最小二乘解的集合是一+ a f ( a ) 在许多实际情况下，我们并不知道方程( 1 1 1 ) 的精确右端y ，只知道一个 近似的右端y 6 ，但是它满足下面的条件 i l q ( y y 6 ) 临6 ( 1 1 3 ) 其中，j 是一个小量( 可以是已知的，也可以是未知的) ，q 是y n ( a ) 的正 交投影算子我们称y 6 为扰动右端，称j 为误差水平相应的，方程( 1 1 1 ) 变 为 a x = y 6 ( 1 1 4 ) 2 0 0 7 上海大学硕士学位论文3 在不适定的情况下，由于a + 的无界性，a + 矿不存在，即使存在，一般也 不是a + y 的一个好的逼近吼因此，我们必须寻找矿的某种更好的近似解， 记作，使它满足； 1 ) 连续地依赖于扰动右端y 6 ，以使我们可以用一种稳定地方法来计算它； 2 ) 当误差水平d 趋近于零，并且适当地选取参数a 时，近似解趋近于 极小范数最小二乘解矿 通常我们利用正则化方法来实现上述目的，定义一族与参数理有关的连 续算子r 来代替无界算子a + ，然后将：= 吼矿作为矿的一种近似这样 便可以通过一种稳定的算法来求解我幻称这族算子r 为正则化算子，参 数n 为正则化参数，近似解程为正则化解值得注意的是，通常对于正则化 参数口的要求是：当误差水平6 趋于零时，正则化解z ：应该趋近于矿因此， 恰当的正则化参数的选取在某种程度上与6 和y 6 ，以及一些关于精确解矿的 先验信息有关正则化算子的构造以及正则化参数的选取结合在一起便形成 了求解不适定方程的某种特定的正则化方法f o 】 正则化参数的选取是正则化方法的研究和应用中十分重要和细致的一环， 选取的参数合适与否会直接影响到正则化方法的效果粗略的说，目前正则 化参数的选取方法可以分成两大类：先验的和后验的如果我们事先知道关 于精确解的一些信息，例如其光滑程度p ，则可选取n j 奔，这样得到的结 果可以达到最优收敛速度d p 群) 阁先验选取正则化参数的有效性的前提是 精确知道矿的某些信息但是在通常情况下，我们不知道精确解的任何先验 信息，在实际问题中它们往往是难以精确估计的，一旦这些信息估计不精确， 就会导致收敛阶的损失因此长期以来，正则化方法的研究中面临的一个挑 战就是利用给予的信息( 如a ，6 ，矿) 来后验的确定n ，并且使得到的正则化解 有好的收敛性质后验的方法可分成两大类，一类是我们已知关于方程右端 误差的扰动水平6 ，则可以通过对残量的估计来求解正则化参数口= a 矿) 这一方法的典型例子就是一直被广泛使用的m o r o z o v 残差准则【z 胡另一类后 验选取正则化参数的方法是近年来引起各界兴趣的e r r o r - f r e e 方法，即在不知 道扰动误差j 的情况下，仅通过给定的扰动右端及正则化方法本身的特性来 求解正则化参数瞄胡在本章最后一节我们对此有简单介绍 2 0 0 7 上海大学硕士学位论文 4 1 2 几种典型的正则化方法 到目前为止，对于线性不适定问题，已经有了比较完整的理论基础和数值 解法，人们提出了许多线性正则化方法例如，著名的t i k h o n o v 正则化方法 1 8 1 ，a - 光滑正则化方法【3 5 】，截断奇异值方法【2 0 1 ，隐式迭代法【2 1 1 ，l a n d w e b e r 迭代方法1 8 1 等，以及在它们基础上发展起来的各种方法为构造一般的线性 正则化算子，对此我们引进正则化逼近函数和残量函数 定义1 2 1 设( a ) ，n 0 是定义于矿上的一族分段连续的有界函数， 如果它满足下面的条件 砂( k =s u p 、ai “。( a ) i 0 ( o 1 l a i t 2 1 叫记圪( a ) = 1 一u 。( a ) a ，有 i m 只( a ) = 0 ，a 0 i i i ) 存在正常数c b ，使得 a i t b ( a ) i c o ，比，a 0 则称u 。( a ) 为正则化逼近函数，r ( a ) 为残量函数 设u 。( a ) 是一个正则化逼近函数，定义y 一石的线性算子族 f l l a i l 2 亿= ( a ) a + = “。( a ) d e x a 。 j 0 其中毋是a 的谱系，我们可以证明r 是a + 的正则化算子 下面简单介绍几种处理线性不适定问题的正则化方法的思想 1 ，t i k h o n o v 正则化方法( t i k h o n o vr e g u l a r i z a t i o n ) 【1 0 】f 2 9 】固 按原始定义，它是由变分法导出的对于a 0 ，定义z 上的二次泛函 雪。扛) = i l a x 一矿1 1 2 + 口| | zj 1 2 ( 1 2 5 ) t i k h o n o v 正则化方法是以( z ) 的极小点。：作为方程( 1 1 4 ) 的正则化解，其 中口称为正则化参数对于h i l b e r t 空间z ，y 和有界线性算子a ：z y ，由 ( 1 2 5 ) 的凸性可知满足方程 ( a + a + n ，) z ：= a + y 5 2 0 0 7 上海大学硕士学位论文 5 从而有 z ：= ( a a + q ，) - 1 a “y 忌= ( a a + 口，) - 1 a + 称为t i k h o n o v 正则化算子，对应的逼近函数为 t a ( a ) 2 焘 ( 1 2 6 ) 2 a - 光滑正则化方法( a - s m o o t hr e g u l a r i z a t i o n ) 3 5 设肛20 ，。镌，则z 的p 阶a 一导数定义为 x c - ) ：= ( a a ) 一g z 在瓤上定义泛函 垂。，“( 功= 0 a z y 6 1 1 2 + q i i z 啦1 1 2 其中z ( 一) 是z 的p 阶a 一导数a 一光滑正则化方法是以圣。( 。) 的极小点 吒。作为方程( 1 1 4 ) 的正则化解对于h i l b e r t 空间z ，y 和有界线性算子 a ：刀一y ，我们可证在镌上西。( 功存在唯一的极小元它满足方程 【( a a ) “+ 1 + q ， z ：，。= ( a a p a 。y 5 由此可得 z ：。= ( a + a ) ”+ 1 + a 明一1 ( a a r a + y 6 ：= r ，肛y 6 其中r ，。为肛阶a 一光滑正则化算子，对应的逼近函数为 鼬) = 志 ( 1 2 - 7 ) 当p = 0 时，上式退化为t i k h o n o v 正则化逼近函数( 1 2 6 ) ，此时即为t i k h o n o v 正则化方法 3 ，截断奇异值分解方法( t r u n c a t e ds v d ) 1 9 1 1 2 0 1 设 以；地，钒耀1 是方程( 1 1 1 ) 中紧算子a 的一个奇异系奇异值o i 按由 大到小的顺序排列， 讪) 和 u 0 分别是子空间a f ( a ) 上cz 和冗( a ) cy 的标 准正交基 6 1 若方程( 1 1 1 ) 的m o o r e - p e n r o s e 广义解存在，则可表示成 矿= a + y = 町1 ( f ，缸t m ( 1 2 8 ) 2 0 0 7 上海大学硕士学位论文 6 若方程( 1 1 1 ) 的右端存在扰动误差曲，即矿= + 曲，则用类似( 1 2 8 ) 式表示 的近似解为 = 町1 ( 矿，u i ) v i i = 1 其与矿的误差为 缸= 一矿= 町1 ( 曲，u i ) v t ( 1 2 9 ) 石 由( 1 2 9 ) 式可以看出，以越小，扰动误差西在近似解与精确解矿之间的 误差如中所起的影响就越大但是，当i o 。时，以将趋近于0 ，故截断奇异 值分解方法的基本思想就是将( 1 2 9 ) 式右端进行截断，即仅保留前面k 个对 应于较大奇异值的部分，将后面的对应于较小奇异值的部分删掉，从而避免 扰动误差被过分地放大但为使近似解更加逼近精确解，还应该尽可能地保 证k 比较大由上述易知，k 在这里起到了正则化参数的作用，我们又称其为 截断奇异值分解方法的截断阶，而方程( 1 1 4 ) 的t s v d 解即可表示成 z ：= 町1 ( 矿，“。m 一三。 截断奇异值分解方法的正则化算子为吼：= 掣裂2a 一1 d e ；, a ，对应的逼近 函数为 ， ，= 毒塞 q 。加， 4 共轭梯度法( c o n j u g a t eg r a d i e n tm e t h o d ) 8 1 6 1 我们给出共轭梯度法的算法描述： ( 1 ) 初始化t 罐= 矿，d o = y 6 一a z 8 ，p l = 8 0 = a + d o ，其中矿为初始猜测 值； 2 0 0 7 上海大学硕士学位论文 7 ( 2 ) 对k = 1 ，2 ，若8 一1 0 ，则计算 瓠= a p k o t k = 慨一1 1 1 2 l l q k l l 2 = 一l + a 以 d k = d k 一1 一a k q k 乱= a 4 d k 凤= 0 s 1 1 2 t l s k l l l 2 p k + 1 = 8 k + 觑p k 直到s t 一1 = 0 可以证明 4 1 】，由共轭梯度法产生的点列 满足 f 5 一血 0 = m i n l l y 6 一a x l i ：z 一k ( a a ，a + ( 矿一a x + ) ) 其中配( ) 为k r y l o v 子空间 在实际应用中，共轭梯度法在许多情况下是有效的一个典型的特性就 是它的二次终止性( 即对于二次问题，算法最多在有限步收敛) 。然而在偏差 原则的条件下可能在更少的步数内就能收敛但误差水平常常是不得而知的， 因而，如果用共轭梯度法求解反问题时，一定要选择好适当的停机准则 5 、隐式迭代方法( i m p l i c i ti t e r a t i v em e t h o d ) 【2 1 】 对于方程( 1 1 4 ) 的隐式迭代法所产生的点列满足如下。 ( a a + n ，) ( z 2 一一1 ) = a ( 矿一a z 一1 ) ，k2 1 ( 1 2 1 1 ) z 5 = 0 给定 其中a 0 是控制参数，即为下述问题最小化所得的解； i l a 2 一矿1 1 2 + , 1 l l x z l 1 0 2 ，k 1 由此可得 z l = 口”1 ( a + 口矿ay 6 2 0 0 7 上海大学硕士学位论文 8 r k = 七- 1o i - 1 ( a + o ，) 。a 为隐式迭代法的正则化算子，对应的逼近函数 为 u k ( a ) = ( 1 一口o + 口) 一) 隐式迭代法是一种强健的正则化方法，它具有最优的收敛速度，并且可以通 过改变控制参数口的取值来调节迭代次数 6 、l a n d w e b e r 迭代方法【8 】【4 1 】 l a n d w e b e r 建议使用如下的迭代格式； 。k = k 一1 + w a + ( f a x k 一1 ) ( 1 2 1 2 ) 来求解第一类算子方程的近似解，其中0 u 2 1 1 a l l 2 为松弛因子，x 0 = 矿，矿 为初始猜测值不失一般性，可取矿= 0 事实上给出的迭代格式( 1 2 1 2 ) 是 很自然的事情因为由方程a z = 我们可推出 z = 口+ a ( 一a z ) 于是由上式可构造下述迭代格式； z 女= 。k 一1 + a + ( y a x k 1 )( 1 2 1 3 ) 但为了讨论问题的方便我们往往要求”+ 2 ，于是只要把式( 1 2 1 3 ) 改写成 ( 1 2 1 2 ) 式即可，并要求0 0 ，均有p ( 口) 0 ，g 0 是某些常数 也可以用法方程 a z ：= a “y 的残差例如与( 1 3 1 6 ) 对应，有如下的修正广义i r c a n g n 准则 ：一的钏= 筹 ( 1 3 1 7 ) 以上讨论的是m o r o z o v 残差准则以及它的推广，都是通过比较残量( 残 差) l la 一q y 6i i ( 或0 a a ：一a y 6i i ) 和已知误差水平j 来确定正则化参数 的 3 e r r o r - f r e e 方法 e r r o r - f r e e 方法是这样一种参数选取方法：它不需要知道关于误差水平的 任何信息，而且它是根据所选取的正则化方法的实现情况来确定正则化参数 的需要注意的是，b a k u s h i n s k i i 1 】指出这类参数选取不能总是保证正则化方 法的收敛性，但目前仍然有例子说明e r r o r - 丘e e 方法可以产生比一些复杂的按 阶最优的参数选取准则更好的收敛解【2 0 】 一种常用的e r r o r - f r e e 参数选取方法是w a h b a ：3 2 】提出的g c v 方法( g e n e r a l i z e d c r o s s - v a l i d a t i o n ) 另外一种非常流行的e r r o r - f r e e 参数选取方法是h a n s e n i 跚提 出的i 厂曲线方法在这里，我们就不详细叙述，感兴趣的读者可参观相关书 目和文章 第二章基于动力系统求解线性不适定问题的一类迭代方 法 2 1动力系统方法简述 首先我们介绍一下动力系统方法一一简称d s m ( d y n a m i c a ls y s t e m sm e t h o d ) 的基本思想【27 】 2 8 1 设“是一个实h i l b e r t 空间，算子f ：1 - 1 一咒我们要求解算子方程 f ( u 1 = 0 我们假定该方程有解g ，此解不一定唯一，使得f ( y ) = 0 设u o m ，b ( u o ，r ) ：= “：0u u o i i 冗) ，假定 ( 2 1 1 ) s u p i l f ( ) i i m j ( r ) ， 1 j 2 ， u e b ( u o ，r ) 其中f g ) 是f r 6 c h e t 导数，坞( r ) 是与j 和r 有关的常数如果 s u pi i f ( 乱) 。1 临r e ( r ) ， u e b ( u o 凡1 其中m ( a ) 是与r 有关的常数，我们就称问题( 2 1 1 ) 是适定的，否则就是不适 定的用d s m 求解问题( 2 1 1 ) 包括以下几个步骤； 1 ) 我一个映射西( ，“) ，使得同题 吐= 西( ，t ) ，“( o ) = u 。；也：= 象， ( 2 1 2 ) 有如下的性质， 弓让( t ) o ； j u ( o o ) ：= 占恐t ( ) ； f m ( o 。) ) = 0 ， ( 2 1 3 ) 2 ) 求解问题( 2 1 2 ) ，取t 一。，此时极限( 。) 就是原问题( 2 1 1 ) 的解 动力系统方法是解决算子方程，尤其是不适定的非线性算子方程的一种 有效方法，甩d s m 求解方程( 2 1 1 ) 包含着求解方程( 2 1 2 ) 表面上，我们似乎 】 2 0 0 7 上海大学硕士学位论文 把一个简单的问题变得更复杂了，而事实上，当方程( 2 1 1 ) 是不适定时，d s m 为算子方程( 2 1 1 ) 提供了一个稳定求解的途径 对于线性算子方程，设 f ( u ) = a u 一，= 0 ( 2 1 4 ) 其中a 是有界线性算子，a y = f ，g 是方程的最小范数解，记b ：= a a ，h ：= a f ， 求解方程( 2 1 4 ) 等价于求解方程 b u = h ，b = a + a 2 0 ( 2 1 5 ) d s m 可以稳定求解上述线性不适定问题，当右端数据有扰动时，即给出 扰动右端厶，i i 一川d ，存在t 6 使得l i 驰卅0 “( 如) 一yi i = 0 而求解的关 键在于构造一个合适的映射西( ，“) ，使得满足性质( 2 , 1 3 ) 构造的方法有很多 种，这里我们不再冗述，可参见有关文章 2 2二阶r u g e - k u t t a 方法一一中点法 在文 3 6 中基于动力系统，应用一种最简单和自然的映射 西( t ，t ) = - b u + h = 一a + a u + a 4 y 从方程( 1 1 1 ) 的广义解矿满足一个抽象微分方程的柯西问题( 即动力系统) 出发，应用数值求解导出了一类迭代方法 考虑下面抽象微分方程的柯西问题 z 0 ) = a 。( f a 。o ) ) ，x ( o ) = 0 ( 2 2 6 ) 由线性半群理论r 2 5 1 ，( 2 2 6 ) 存在唯一解z ( t ) c o ，o o ；z 】，并且有 z(t)2上8邓1m打2上81岔yds=：9t(肌)yt t ， 其中g t ( a ) = ( 1 一e - t , 、) a 当t o o 时， $ ( ) + e - s a * a a + d s = a + y ，v y 口( a + ) ， 2 0 0 7 上海大学硕士学位论文 即t o 。时，z ( ) 一矿因此，x ( t ) 是方程( 1 1 1 ) 的s h o w a l t e r 正则化解闯 用定步长的加权e u h r 方法数值求解( 2 2 6 ) 设t k = k r ，r 0 为步长，z 为z ) 的近似值，刚用加权e u l e r 法求解方程可得 x k - - 一x k - 1 + a a a x k + ( 1 一盯) $ 七一1 】= a 玑 z o = 0 其中口20 是加权系数令1 r = n ，由上式得 ( q + a a + a ) x k = 陋一( 1 一口) a a x k 一1 + a y( 2 2 7 ) 由上式即知，当f = 0 时，上述迭代法即是l a n d w e b e r 迭代法；当矿= 1 时即 隐式迭代法f 3 6 1 对于通常的微分方程，e u l e r 方法是一阶精度的，我们熟知二阶精度的数 值算法比一阶精度的要好因此，在解决上述抽象微分方程( 2 2 6 ) 时，我们采 取二阶方法数值求解，希望能得到比一阶方法更好的效果 1 ，微分方程及中点法求解公式 我们考虑用二阶r i m p k u t t a 方法一一中点法【4 0 】数值求解上面的抽象微 分方程( 2 2 6 ) 设t k = k r ，7 0 为步长，z k 为z ( 如) 的近似值，则用中点法求 解方程可得 瓢x k - i + 7 小( “ ) ，( 2 删 【一j2 靠一1 + i 匆一a 一1 ) ，却2 0 整理上式得 z k = 【1 一r a a + ；( a a ) 2 】。 一l + p 一；a a ) a y ，跏= 0 ( 2 2 9 ) 下面考虑步长r 满足什么条件时，有 1 i m 以= a + e + 记而= ( 0 ，4a 旧，历和毋分别为自共轭算子4 和a 岔的谱系 式，可得 瓢= u k ( a a ) a y ， 其中 t 船( a ) = u r ( a ) = ( 1 一p k ( a ) ) a ， r ( a ) = r ，( a ) = ( 1 一r a + 名竽) ， ( 2 2 1 0 ) 由( 2 2 9 ) ( 2 2 1 1 ) ( 2 2 1 2 ) 2 0 0 7 上海大学硕士学位论文 1 4 定理2 2 1 ( 2 2 1 0 ) 式对任意的y d ( a + ) 成立的充要条件是参数r 满 足 o f 0 ，因此由 拿一l 0 记仉( a ) = a ”最( a ) ， 对其求导，由旌( a ) = 0 ，即 一( 1 - ，- a + 竿m 七( r - r 2 a ) 2 0 0 7 上海大学硕士学位论文 整理后得， ， ( 百v t - + k r 2 ) 妒一( + k r ) x + p = 0 求解上面关于a 的一元二次方程，得 k r + f4 - 扔鬲f 囊万万i 孕= 面孕 2 两f 瓦一 对固定的和任意的k 2 1 ，对上述解取主部，得 r 【( 1 + ) 士v 1 一警+ 生苦生】 “2 1 丽f 唾_ 一 = 丢i ( 1 + ；) 士( 1 一i 2 v + v - 。6 v 2 ) + d ( 去) 】( 1 一磊v + d ( 壶) ) 因此 a 产丽1 ( 3 v 一百v - 6 v 2 + o ( 占) ) ( 1 - 轰+ o ( 去) ) = 蕊3 u ( 1 + 丝+ o ( 去) ) a 。= 去( 2 一i v + d ( 百1 ) ) ( 1 - 轰+ d ( 去) ) = ；( 1 + o ( ；) ) 是m ( a ) 在a 0 ，k 1 时的极值点， 蝴1 ) - ( 丽3 v h 1 一罢+ d ( 抄= 筹( 1 + o ( 如 挑( a 2 ) 2 赤( 1 + d ( i ) 其中，c 1 ( u ，k ) 一( 番) ” 一o 。) 显然，对于固定的和r ，当k o 。 时，叮k ( x 2 ) 啦( a 1 ) ，于是可得 ) s ( r k ) s u pr k ( a ) i i a i piiek(z s u p di i 即i i 1 m ：q ( u ) ( 1 + d ( ；) ) i izi iaei) sp k ) ( a ) z 玖zv 2 = q ( u ) ( 1 + d ( 云) ) 。 oj o 几 取a o 为任一正数，满足0 a o 0 ，则成立 1 1 x k - - x + i i 砘南 其中e k ( z ) = g ”k ( z ) 由( 2 2 1 7 ) 式定义 ( 2 2 1 9 ) 2 0 0 7 上海大学硕士学位论文1 7 3 、扰动方程( 1 1 4 ) 的收敛速率及残差准则 对于方程( 1 1 4 ) ，迭代公式为 ：l j 兰三二乏! ：! i ；：a 。4 ；! a 罐：0 c z 2 。， lz ：一 2 一z + 矽( 矿一 一- _ 罐= ” 即 = 【i 一柑a + ；( a + a ) 2 】一l + p 一；a a ) a y 4 ，。5 = 0( 2 2 2 1 ) 类似的，= u k ( a 4 a ) a + y 5 引理2 2 2 | | “( 4 + a ) a + j j ( 七r ) 证明设。y ， i lu k ( a a ) a z 胪= ( u k ( a a ) a 。，u k ( a a ) a + z ) = ( a a 4 u k ( a a ) z ，z ) = a “；( a ) 引r 20 2 s u p a u ；( a ) 1 1 2 = s u p ( 1 一足( a ) ) 2 船( a ) f | zj | 2 s u p “ ( a ) zj 1 2 结合定理2 2 1 中的讨论及条件( 2 2 1 3 ) ， 。州k ( a ) ：8 u p 型掣。p i ( a ) f ：8 u p ik ( 1 - r a + 竿) ( 一r + p a ) l 1 是取定的常数 定理2 2 5 设z + = ( a 。a 尸2 艺，其中y 0 ，0 ： 厂( a ) 上；k = ( 6 ) 由 残差准则确定则当j 一0 时，七( d ) 一o 。，并且有误差估计式 0 一矿i l = o ( 6 圳( 知+ 1 ) 证明记虞= f a 一q 矿np k = 0a x 女一q y0 ，立即有碟= i | p k ( a a ) q y 6 由前面的讨论，可得f u n k 。虞= 0 ，再由( 2 2 2 5 ) 式，显然当6 0 时，k ( 5 ) 一 o o 2 0 0 7 上海大学硕士学位论文 综合前面的讨论及( 2 2 2 5 ) 式，得 p k ( a ) 虞( 6 ) + 0a ( z 2 p ) 一$ k ( d ) ) 一q ( 6 一，) i i 7 5 + 0 最( 毋，( a a 。) q ( 矿一y ) i i s ( 7 + 1 ) 5 p k ( a ) 一1 虞) 一l + 0a ( z ( 6 ) 一。i 岱) ) 一q ( 矿一) i w 一0p k ( t ) 一1 ，( a a + ) q ( 矿一口) l i ( 7 1 ) 5 一方面，因为a = a * a x + ，q y = a x + ，有 m = 1 1 ( a a ) 坍p k ( a a ) ( a ) ”：i i = v 2 7 ( 砒寿) 卧1 7 2 由( 2 2 2 6 ) ( 2 2 2 7 ) ( 2 2 2 8 ) 式，引理2 2 1 及h s l d e r 不等式得 ( 2 2 2 6 ) ( 2 2 2 7 ) ( 2 2 2 8 ) x k ( 6 ) 一。+ i i=