（应用数学专业论文）两种基于包含度的广义粗糙集模型.pdf

摘要 摘要 粗糙集理论是一种分析和处理不精确、不一致和不完整等不完备信息的新型数学工 具。粗糙近似算子是粗糙集理论的核心概念，它主要依赖于定性的包含关系，难以处理 定量包含关系问题。此外，粗糙集理论难以处理随机性问题、模糊性与随机性共存的问 题。本文利用包含度来定量描述近似空间中的包含关系，提出了两种基于包含度的广义 粗糙集模型一基于包含度的随机粗糙集模型和基于包含度的模糊随机粗糙集模型，从而 利用粗糙集的思想分别处理随机性问题、模糊性与随机性共存的问题。本文迸一步讨论 了两种广义粗糙集模型粗糙近似算子的性质，并将基于包含度的模糊随机粗糙集模型应 用到分类中。 关键词粗糙集包含度随机集模糊随机集决策表 a b s t r a c t a b s t r a c t 1 1 1 et h e o 巧o fr o u 曲s e t si san e wm a t h e m a t i c a lt o o lf o ra i l a l y z i n ga n dd e a l i n g 谢m i m p r e c i s e ，i n c o m p l e t ea n di n c o n s i s t e n ti n f o n t l a t i o n r o i l g ha p p r o x i m a t i o no p e r a t o r ，m a i l l l y d e p e n d i n go nq u a l i 协t i v ei n c l u s i o nr e l a t i o n ，i sak e yc o n c e p to ft h l et h e o r yo fr o u 曲s e t s ni s d i m c u l tt od o 谢t hq u e s t i o n sw i t hq u a n t i t a t i v ei n c l u s i o nr e l a t i o n b e s i d e s ，t h et h e o 巧o fr o u 曲 s e t si sd i m c u l tt oh a r l d l ep r o b l e m sw i t hr a n d o m n e s s ，o rf h z z i n e s sa 1 1 dr a n d o m n e s sa tm es a m e t i m e t h i sp a p e r ，d e s c r i b e sq i l a 呲i t a _ t i v e l yi i l c l u s i o nr e l a t i o no na p p r o x i m a t i o ns p a c eb ym e c o n c e p t o fi n c l u s i o n d e g r e e ，a n dp r o p o s e s t w ok i n d so f g e n e r a l i z e dr o u 曲 s e t m o d e l s 1 a n d o mr o u 曲s e tm o d e lb a s e do ni n c l u s i o nd e g r e ea n dm z z y 啪d o mr o u 曲s e t m o d e lb a s e do ni n c l u s i o nd e g r e e ，w h i c hc a i l r e s p e c t i v e l yc o p e 、i t hp r o b l e m sa b o v e m e n t i o n e d ，b yt 1 1 e i d e a lo ft 1 1 et h e o 巧o fr o u g hs e t s w h a t sm o r e ，p r o p e r t i e so fr o u 曲 印p m x i m a t i o no p e r a t o r so ft h e s et 、) l ，o k i n d so fg e n e r a l i z e dr o u g hs e tm o d e l sa r e 缸曲e r d i s c u s s e d ，a n d 矗亿z yr a n d o mr o u 曲s e tm o d e lb a s e do ni n c l u s i o nd e g r e ei sa p p l i e di n c l a s s i f i c a t i o n k e y w o r d s ：r o u 曲s e t s ；i n c l u s i o nd e g r e e ；r 肌d o ms e t s ；f u z z ) ，r 觚d o ms e t s ；d e c i s i o n 切b l e 河北大学 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得河北大学或其他教育机构的学位或证书 所使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示了致谢。 作者签名：多超囊袅日期：舛年善月l 日 学位论文使用授权声明 本人完全了解河北大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留并向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。学校可以公布 论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年月日解密后适用本授权声明。 2 、不保密e ( 请在以上相应方格内打“) 保护知识产权声明 本人为申请河北大学学位所提交的题目为( 两种基于包含度的广义粗糙集模型) 的学位论文，是我个人在导师( 哈明虎、田大增) 指导并与导师合作下取得的研究成 果，研究工作及取得的研究成果是在河北大学所提供的研究经费及导师的研究经费资助 下完成的。本人完全了解并严格遵守中华人民共和国为保护知识产权所制定的各项法 律、行政法规以及河北大学的相关规定。 本人声明如下：本论文的成果归河北大学所有，未经征得指导教师和河北大学的书 面同意和授权，本人保证不以任何形式公开和传播科研成果和科研工作内容。如果违反 本声明，本人愿意承担相应法律责任。 声明人： 多丞囊象日期：j 4 年丘月j 日 作者签名： 导师签名： 日期：讧年上月l 日 第l 章绪论 第1 章绪论 1 1 粗糙集理论的产生与研究现状 在现实生活中，大量含糊现象是客观存在的。因此，长期以来许多逻辑学家和哲学 家就致力于含糊概念的研究。早在1 9 0 4 年，谓词逻辑的创始人qf r e 1 1 就提出了含糊( 德 文是v a g 嘴) 一词，并把它归结为边界线的存在，也就是说，在论域上存在一些个体既不 属于某个子集，也不属于该子集的补集。2 0 世纪6 0 年代，l a z a d e h 【2 】提出了模糊集 ( 蛔s e t s ) 的概念，但遗憾的是，模糊集并没有给出精确的数学公式描述这一模糊概 念，许多科学家试图通过这一理论来解决gf r e g e 的含糊概念的想法也难以实现。 1 9 8 2 年，z p a w l a k 【3 ，4 】针对gf r e g e 的边界线的思想提出了粗糙集( r 0 u g hs e t s ) 的概 念。粗糙集理论是一种有效的分析和处理不精确、不一致和不完整等不完备信息的新型 数学工具。由于最初关于粗糙集理论的研究主要是用波兰语发表的，因此当时并未引起 国际数学界与计算机学界的重视，研究地域也仅限于东欧一些国家。从2 0 世纪9 0 年代起， 粗糙集理论逐渐成为信息科学的一大研究热点，受到越来越多国内外学者的关注。1 9 9 2 年，第一届关于粗糙集理论国际学术会议在波兰召开。1 9 9 5 年，a c mc o m m 岫i c 撕0 n 将 其列为新浮现的计算机科学的研究课题。1 9 9 8 年，国际信息科学杂志( i n 硒肌a t i o n s c i c 懿) 还为粗糙集理论的研究出版了专辑。2 0 多年来，粗糙集理论的研究越来越深入， 并且已经成功的应用到机器学习与知识发现、数据挖掘、决策支持与分析等领域【5 d 0 1 。 我国关于粗糙集的研究起步较晚，但是目前受到越来越多的国内科研人员的关注，先后 出版了一系列的有关粗糙集的专著【1 1 彤】。自2 0 0 1 年在重庆成功召开“第一届中国r 0 u 曲 集与软计算学术研讨会”以来，我国已经成功举办七届该研讨会，第八届中国r 0 u g h 集 与软计算学术研讨会也将于2 0 0 8 年8 月在河南召开。2 0 0 3 年中国人工智能学会粗糙集与 软计算专业委员会成立。粗糙集理论和应用近年来在中国获得快速发展，这一速度令人 惊奇。 粗糙集模型的推广一直是粗糙集理论研究的主流方向之一。从粗糙集模型拓展方法 的角度讲，大致分为构造性方法和公理化方法两种【1 4 】：从粗糙集模型扩展类型的角度讲， 、河北大学理学硕士学位论文 有基于一般关系的粗糙集模型1 5 1 7 1 、变精度粗糙集模型【1 8 ，1 9 1 、概率粗糙集模型【狐捌、模 糊粗糙集模型与粗糙模糊集模型【2 3 一冽、s 一粗糙集模型f 2 7 】等。虽然这些模型不同，但都 是建立在一个论域上的。随着研究范围的不断扩大和深入，目前一些研究人员已经开始 涉及两个论域上的粗糙集模型，最近也见过少量这方面的文献【2 3 。3 3 1 。这些粗糙集模型已 经把处理问题的范围从一个论域拓展到属于同一个空间的两个论域上。粗糙集模型的推 广拓展了粗糙集理论和应用的研究范围。 1 2 基于包含度的广义粗糙集模型的提出及意义 不确定推理方法主要分为定性推理方法与定量推理方法两种。定量推理方法是通过 给出命题的数值计算得出因果关系的数值趋势。该方法首先要对不确定信息进行表示与 度量，不同的信息表示方法与度量方法构成了不同的不确定推理。张文修等人通过多年 的研究发现：这些方法的共同点是用一种测度来度量假设，这种测度可以是各种特殊的 模糊测度，而不确定推理的实质是利用各种测度对于包含关系做出一种评价【卅。基于上 述认识，张文修等【3 ”6 j 于2 0 世纪9 0 年代初提出了包含度( i n c l u s i o nd e 擎e e ) 的概念。经过 多年的深入研究，包含度的概念进一步明确，初步建立了包含度理论体系。在逻辑上与 实贱上都证明了包含度理论是对已有的各种不确定推理的概括与抽象。包含度给出了不 确定关系的定量描述，将确定性关系的研究推进到不确定关系的研究，进一步扩展了关 系的研究范围。包含度理论不仅是研究不确定性现象的工具，而且是研究不确定性的方 法学【3 6 1 。 在粗糙集理论中，上下近似算子是一对核心概念，经典的粗糙集模型的上下近似算 子主要是依赖于定性( 或经典) 包含关系的。然而，在实际生活中，一方面有时定性( 或 经典) 包含关系的要求太严格对于很多问题难以满足，甚至是不必要的。这一要求大大 限制了粗糙集在现实生活中的应用范围。另一方面，由于我们所要处理的数据往往受到 人为、环境等诸多因素的影响，使得处理的数据含有噪声，考虑到噪声因素的影响我们 处理问题的方法应该具有一定的容错能力。从这两个角度讲，我们在构造上下近似算子 的时候有必要进一步拓展定性( 或经典) 包含关系，讨论一定程度的包含关系。包含度正 是定性( 或经典) 关系的推广，并且是对不确定关系的定量描述。因此将包含度理论引入 粗糙集模型中是有实际意义的。 众所周知，粗糙性、模糊性和随机性是广泛存在于现实世界中的三种重要的不确定 第l 章绪论 性现象，由处理这三种不确定现象分别建立的粗糙集、模糊集和随机集理论是三种主要 的、在实际问题中应用非常广泛的处理不确定性的方法，它们各有优缺点，如何有效地 将它们两两或三者有机融合，使它们优势互补，同时克服各自的缺点，无疑将是很有兴 趣的研究课题。例如：粗糙集和模糊集两种方法的结合产生了粗糙模糊集( 1 b u 曲f l l z z y s 删与模糊粗糙集( 呦i 渤g l ls e t s ) 。模糊集和随机集两种方法的融合又产生了模糊随 机集( f l l z z ) rr a n d o ms e t s ) 和随机模糊集( r a n d o mf 忆z ys e 哟。本文一方面把粗糙集与随 机集进行结合用粗糙集的思想来处理随机问题，另一方面把粗糙集与模糊随机集相结合 尝试处理模糊性与随机性并存的问题。 综合考虑，本文结合粗糙集理论、包含度理论以及随机集与模糊随机集理论，将包 含度引入粗糙近似空间中。一方面对基于随机集的粗糙集模型哪，2 9 】进行了推广，提出 了建立在随机近似空间上的基于包含度的随机粗糙集模型。另一方面，将包含度引入到 模糊随机近似空间中，在模糊随机近似空间上建立了基于包含度的模糊随机粗糙集模 型。前者是用粗糙集的思想来处理随机问题，而后者处理的是随机性与模糊性共存的问 题。本文提出的两种基于包含度的广义粗糙集模型进一步拓展粗糙集理论研究和实际应 用的范围。 1 3 本文的主要内容 本文主要针对随机性问题和模糊性随机性共存的两类不确定性问题，提出了建立在 随机近似空间上的基于包含度的随机粗糙集模型与建立在模糊随机近似空间上的基于 包含度的模糊随机粗糙集模型，从不同的角度进一步拓展了现有一些粗糙集模型，扩展 了粗糙集的应用范围。本文的主要内容包括： 1 ) 第2 章给出了后续章节的一些预备知识，介绍了经典粗糙集的基本知识，讨论 了一些基本性质；介绍了包含度的定义，并且给出了几个常用的包含度；介绍 了随机集与模糊随机集的基本概念； 2 ) 第3 章针对随机性问题，提出了建立在随机近似空间上的基于包含度的随机粗 糙集模型。将包含度引入随机近似空间中，给出了基于包含度的随机近似空间 的概念，建立起了随机近似空间上的基于包含度的随机粗糙集模型，进一步讨 论了该模型的一些性质； 3 ) 第4 章主要针对随机性与模糊性同时存在的问题，提出了建立在模糊随机近似 3 河北大学理学硕士学位论文 空间上的基于包含度的模糊随机粗糙集模型。给出了模糊随机近似空间的概念， 并将包含度引入模糊随机近似空间中，建立了模糊随机近似空间上的基于包含 度的模糊随机粗糙集模型，并讨论了模糊随机粗糙集的一些性质。最后，给出 了该模型在分类问题中的一个说明性的例子。 4 ) 第5 章是对前面工作的总结以及将来研究问题的展望。 4 第2 章预备知识 第2 章预备知识 本章主要介绍有关粗糙集、包含度、随机集与模糊随机集的基本知识，为后面的讨 论提供理论基础。 2 1 粗糙集理论的基本知识 本节将介绍一些有关粗糙集理论的基本概念与基本性质，更多内容可参阅文献【l l 】。 定义2 1 假设u 为非空有限集合( 称论域) ，r 是定义在【，上的等价关系，【x k 表 示包含元素x 【厂的r 等价类。u r 表示尺的所有等价类的集合。 定义2 2 对于任意的x g u ，r 是定义在c 厂上的等价关系。二元组( u ，r ) 称作 p a w l a k 近似空间。下面定义的两个子集： 基( x ) = u 】，【，r i y x ， r ( z ) = u y 【，r i 】，n x 囝 ， 分别称为x 的r 下近似集合和r 上近似集合。 下近似集合与上近似集合也可以用下面的表达式定义： 基( x ) = x u l 【x 】置z ) ， 页( x ) = x 【，l 【x 】矗n x 乃) 集合砌r ( x ) = r ( 彳) 一星( x ) 称作集合石的尺边界域；胛足( x ) = 星( x ) 称作集合石 的r 正域；胛( x ) = u - r ( x ) 称作集合x 的尺负域。 显然，心= p 矗( x ) u 钿矗( x ) 成立。 叁( z ) 或朋晨( x ) 是根据等价关系尺判断肯定属于x 的u 中的元素组成的集合； r ( x ) 是根据等价关系尺判断可能属于x 的u 中的元素组成的集合；锄r ( x ) 是根据等 价关系r 既不能判断肯定属于x 也不能判断肯定属于x 。的【厂中的元素组成的集合； 刀昭足( x ) 是根据等价关系r 判断肯定不属于x 的【，中的元素组成的集合。 从上下近似集合的定义我们可以直接得到下面的性质。 s 河北大学理学硕士学位论文 定理2 1 在p a w l a k 近似空间( u ，只) 中，对于任意的x ，y u ， ( 1 ) 尽( x ) x s j i i ( x ) ； ( 2 ) 尽( x n y ) = 基( x ) n 尽( y ) ，瓦( x u y ) = 页( x ) u 豆( y ) ； ( 3 ) x 】，j 页( x ) 豆( 】，) ，星( x ) 尽( y ) ； ( 4 ) 豆( x 。) = ( 尽( x ) ) 。，尽( x 。) = ( 豆( x ) ) c 定义2 3 在p a w l a l ( 近似空间( u ，r ) 中，x 量阢如果r ( x ) = 星( x ) ，则称集合x 为可定义集；如果尺( x ) 星( x ) ，则称集合x 为不可定义集，或者是粗糙集。 定义2 4 在p a w l a l 【近似空间( u ，r ) 中，对于任意的x s 阢由等价关系足定义的集 合x 的近似精度为： 们勖耐( 尽( x ) ) ( x ) 。戮 i ，d ml “i - l 其中x 彩，c 口以( x ) 表示集合x 的基数。 集合x 的粗糙度定义为： “( x ) = 卜( x ) 集合的近似精度用来反映我们对于集合了解的完全程度；集合的粗糙度与近似精度 恰恰相反，它表示的是我们对于集合了解的不完全程度。 集合x 的近似精度a r ( 工) 与粗糙度p k ( x ) 具有下面的性质： 定理2 2o 0 【r ( x ) 1 ，o 限( x ) 1 除了用数值特征来表示粗糙集的特征外，我们也可以根据上下近似集合的定义来表 达粗糙集的另一个有用的特征，即拓扑特征。 下面定义四种不同的重要粗糙集。 定义2 5 在p a w l a k 近似空间( u ，尺) 中，x u ， ( 1 ) 如果星( x ) o 并且豆( x ) u ，则称集合x 是r 粗糙可定义的； ( 2 ) 如果尽( x ) = f 2 j 并且瓦( x ) u ，则称集合彳是足内不可定义的； ( 3 ) 如果尽( 石) f 2 j 并且豆( x ) = u ，则称集合x 是r 外不可定义的； 6 第2 章预备知识 ( 4 ) 如果基( x ) = f 2 j 并且j i i ( z 1 = u ，则称集合x 是尺全不可定义的。 如果集合石是足粗糙可定义的，则意味着我们可以确定u 中某些元素属于z 或 x 。如果集合x 是r 内不可定义的，则意味着我们可以确定u 中某些元素是否属于x 。， 但是不能确定c ，中的任一元素是否属于x 。如果集合x 是r 外不可定义的，则意味着 我们可以确定【，中某些元素是否属于彳，但是不能确定u 中的任元素是否属于x 。 如果集合x 是r 全不可定义的，则意味着我们不能确定【，中任意元素属于x 或x 。 2 2 包含度的定义 本节主要介绍有关包含度的定义，更多细节内容可参阅文献粥6 】。 定义2 6 设三为非空集合，一5 一是定义在三上的一个二元关系，称( ，5 ) 是一个 偏序集，若对于任意的口，厂厶二元关系”5 一满足： ( 1 ) 自反性：口5 口； ( 2 ) 反对称性：口5 并且冬口j 口= ： ( 3 ) 传递性：口5 并且5 j 口5 7 定义2 7 设( 厶! ) 是一个偏序集，如果对于任意的工，y 三，有数d ( y 功与之对应， 并且满足： ( 1 )0 d ( 夕x ) l ； ( 2 ) 当工冬y 时，d ( y 力= 1 ； ( 3 )当z 墨y 冬z 时，d o z ) d o y ) ； ( 4 )当x 5y 时，对于任意的z 三有d o z ) 5 d ( 少z ) ， 则称d 为偏序集犯，) 上的包含度。 包含度可定义在任何非空偏序集上，因此包含度是对偏序关系的一种定量描述。在 上述定义中，第一条是包含度的规范化；第二条是包含度与经典包含关系的协调性；第 三、四条是包含度的单调性。 例2 1 设u 是非空有限集合，只u ) 表示集合u 的幂集。包含关系”g 竹是以u ) 的偏 序关系。对于任意的x ，】，以u ) ，实值函数d ：p ( 【厂) 以u ) 专【o ，1 】定义如下： 7 洞北大学理学硕七学位论文 掣忙 甓羿瑚翊； d ( x y ) = c 口以( y ) 7 【 1 ，当y = 霞 从包含度的定义可得，d 是偏序集( 以u ) ，) 上的包含度。 在上述定义中，如果我们取y u r ，则包含度d 就变为近似空间( u ，r ) 中集合并 的粗糙隶属函数【3 7 1 。因此，粗糙隶属函数可以看作是包含度的一种特例。，在r ) u j 出 m e r e 0 1 0 舒【3 8 删中，基于粗糙隶属函数粗糙包含的定义如下： 。孟 甓筹，酆翊； ( x y ) = c 口以( x ) 。 【 l ，酆= a ， 其中x ，y p ( u ) 如果令d ( 】，x ) = ( x 】，) ，我们将得到二元函数d 是包含度。所以，粗糙包含在上 述变换下将转换为包含度。 例2 2 设u 是非空有限集合，在偏序集( p ( ，) 上，对于任意的x ，y p ( u ) ， 实 值函数d ：p ( u ) 以u ) 专【o ，1 】如下： 掣忙郴阶 帮一p r ( 咖o ； 【 l ， 当p r ( y ) = o ， 其中p “) 与p r ( i ) 分别表示概率与条件概率。 从包含度的定义可知，d 是偏序集( p ( ( ，) ，) 上的包含度。 例2 3 设形是非空有限集合，f ( 形) 表示集合矿的模糊幂集。在偏序集( ，( 形) ，) 上，对于任意模糊集j ，矿f ( 形) ，实值函数d ：f ( 形) ，( 矿) 一【o ，1 】如下： f ( 矿( w ) n j ( w ” d ( j 而： 型l l ，矿当y a ；d ( j 而= l ，页r j 1 妇； 【 “矿l ，当矿观 显然，d 是偏序集( ，( 形) ，) 的包含度。 第2 覃预备知识 2 3 随机集与模糊随机集的基本概念 本节主要介绍随机集与模糊随机集理论的基本知识，更多细节内容请参阅文献【4 n 。 定义2 8 假设u ，形是两个非空有限集合，移是( 咱，) 上的b o w d 域，b 召n 【0 ，l 】， f ( 形) 是矽上的模糊幂集。 e ( 雪) = 驴1 7 f ( 矽) ，灭w ) 雪) ， 厂( 形) = e ( 刀) i v w 矿，8 n 【0 ，l 】) ， 厂( 形) = 仃( 尸+ ( 形) ) ， 其中仃( 厂( 矽) ) 是由尸( 形) 生成的仃一代数。则( f ( 形) ，( 矿) ) 是模糊可测空间，若( 【，) 是一个可测空间，称映射：u 专f ( 形) 为模糊随机集，当且仅当满足以下条件： v c 厂( 明，都有函ul 声似) o 成立。我们用r 来表示从( u ，) 到( f ( 矿) ，厂( 形) ) 的全体模糊随机集构成的集合。 定义2 9 假设u ，矿是两个非空有限集合，给定两个可测空间( u ，4 ) 与 ( p ( 形) ，矽( 形) ) ，映射凡u 专尸( 形) 称作随机集，如果它满足下面的可测条件： 厂1 ( 召) = 甜：f ( “) b ) 4 ，v 召矽( 形) 本节引用的模糊随机集与随机集的定义都与x 的拓扑结构无关。 例2 4 假设，( u ) 是非空有限集合u 上的模糊幂集，r 是定义在u 上的等价关系。 从( u ，p ( ) 到( ，( u ) ，芦( u ) ) 的集值函数定义如下： e ) = h 吐，v “u ， 其中【“】晨是在等价关系r 下包含的等价类，仡l | 是陋】足的隶属函数。 根据模糊随机集的定义，我们可知上述给出的集值函数是模糊随机集。由所有这样 的模糊随机集e 生成的矿一代数记作r o 。 定义2 1 0 设霉，z ，r ，模糊随机集霉与e 的并u 霉，夏) 和交n 霉，夏) 分别定 义如下： u 霉，夏 ( “) ( 们= ( 耳( 甜) u 互( “) ) ( 们= m a x 檬o ) ( w ) ，i ) ( w ) ) ，v “u ，v w 形， n 霉，瓦) ) ( w ) = ( 耳( “) n 亏似) ) ( w ) = m i n 衙( “) ( w ) ，茸 ) ( w ) ) ，v u ，v w 矿， 9 河北大学理学硕士学位论文 模糊随机集的补。定义如下： ( 甜) ( w ) = ( 。 ”( w ) = l 一( “) ( 叻，v “u ，v w 形 根据模糊随机集的定义可知，u 耳，爱 ，n 露，e 与芦。都是模糊随机集。 定义2 1 1 设露，夏r ，如果v “u ，耳似) e 似) 成立，则称露包含于e ，或者是丘包 含互，记做：墨最 1 0 第3 章基于包含度的随机粗糙集模型 第3 章基于包含度的随机粗糙集模型 本章主要提出了基于包含度的随机粗糙集模型，进一步推广了文献2 9 】中的粗糙集 模型，讨论了基于包含度的随机粗糙近似算子的性质。 3 1 基于包含度的随机粗糙集近似算子 定义3 1 假定u ，形是两个非空有限集合，是从可测空间( 阢4 ) 到可测空间 p ( 矿) ，矽( 形) ) 上的随机集，d 是定义在偏序集( 尸( 矿) ，) 上的包含度，四元组 ( u ，d ) 称作基于包含度的随机近似空间，简称随机近似空间。 定义3 2 在随机近似空间( u ，形，d ) 中，对于任意的j 尸( ) ，我们可以定义集 合z 关于给定参数0 ) 下面给出集合的正域、负域和边界域的定义。 定义3 3 在随机近似空间，驴，d ) 中，对于任意的x 尸( 形) ，集合x 关于给定 参数0 口1 的正域、负域和边界域的定义如下： p ( 彳，f ，口) = 伽u i d ( 石f ) ) 口) ， 砌( j ，口，) = 伽u i o ) = 似u i ，似) n x f 2 j ) = 昭矿，( x ) 因此，文献2 & 2 9 】中基于随机集的粗糙集的上下近似算子只是本章给出的建立在随机 近似空间上的基于包含度的随机粗糙集的上下近似算子的一个特例。本章给出的粗糙集 模型是文科2 8 ，2 9 】中模型的推广。 集合的粗糙性是由于边界域的存在。边界域越大，集合越粗糙。为了更好的描述集 合，我们同样可以把经典粗糙集理论的中的近似精度与粗糙度的概念推广到本章给出的 基于包含度的随机粗糙集模型中。 定义3 4 在随机近似空间( u ，矿，d ) 中，o 口sl 是给定的参数。对于任意的 x 形集合x 的近似精度定义为： 、c 口耐( 型：( x ) ) 烈朋2 面藩镯 c a 耐i 口p p ，：( x ) i 近似精度仃( x ) 反映了我们对于集合x 的知识了解的完全程度。显然有，o 仃( x ) s l 成立。当盯( x ) = l 时，集合x 的边界域为空集，因此集合x 是可定义的；当仃( x ) 1 时， 集合x 的边界域为非空集合，这时集合x 是不可定义的，或称作粗糙的。 集合x 关于给定参数0 口1 粗糙度定义为： p c x ，= - 一盯c 爿) = t 一矧 前面的近似精度与粗糙度都是从数字特征的角度对粗糙集进行了描述，下面我们从 拓扑的角度，给出四种重要的粗糙集的定义。 定义3 5 在随机近似空间( u ，形，d ) 中，0 口1 是给定的参数，对于任意的 1 2 第3 章基于包含度的随机粗糙集模型 ( 1 ) 如果昭矿：( x ) f 2 j ，并且翰矿：( x ) u ，则集合x 称作粗糙可定义的； ( 2 ) 如果孵矿：( x ) = 彩，并且唧，：( x ) u ，则集合石称作粗糙内不可定义的； ( 3 ) 如果昭矿：( x ) 彩，并且卿，；( x ) = u ，则集合x 称作粗糙外不可定义的； ( 4 ) 如果唧，：( 幻= 彩，并且孵矿：( z ) = u ，则集合x 称作粗糙全不可定义的。 通过上述定义可以知道：如果一个集合是粗糙可定义的，我们可以确定论域中的哪 些元素属于这个集合，或者是哪些元素属于它的补集；如果一个集合是粗糙内不可定义 的我们可以确定哪些元素属于该集合的补集，但是我们无法确定任何元素是否属于该集 合。 到现在为止，我们给出了描述粗糙集的两种重要方法，其一是用近似精度来表示粗 糙集的数字特征；其二是粗糙集的分类表示粗糙集的拓扑特征。数字特征给出的是集合 边界大小的信息，而拓扑特征给出的是粗糙集的结构特征。从表面上看两者似乎没有联 系，其实不然。当一个集合是粗糙内不可定义的，或者是粗糙全不可定义的话，则该集 合的近似精度一定等于零。为了更好的描述粗糙集，我们经常把两者结合起来。 3 2 基于包含度的随机粗糙集近似算子的性质 在上一节给出的建立在随机近似空间上的基于包含度的随机粗糙集的上下近似算 子概念的基础上，本节我们进一步讨论上下近似算子的一些性质。 性质3 1 在随机近似空间( u ，矿，f ，d ) 中，对于任意给定的参数 o 口l ，v x g 形， ( 1 ) 昭矿：( x ) 互鲴矿：( x ) ； ( 2 ) 如果呸，a 厦，则堡型：( x ) 婴( x ) ，面歹暑( x ) 2 鬲万拿( x ) ； ( 3 ) 唧，：( 形) = u ，仰，：( 形) = u 。 ( 4 ) 卿，：( o ) = 乃，叨，：( o ) = 乃； ( 5 ) 如果对于任意的“u ， ) n x = a ，则卿，：( x ) = o ，鬲孑：( x ) = g 证明：由定义显然可得。 1 3 洞北大字理学硕士学位论文 根据性质3 1 ( 3 ) 可知，集合的上近似集合( 或下近似集合) 关于参数( 或口) 是单调递减的。， 性质3 2 在随机近似空间( u ，形，f ，d ) 中，对于任意给定的参数o 口l ，任意 的x ，y 矽， ( 1 ) 如果x 删型翌：( y ) ，而翩面翮； ( 2 ) 翌：( x n y ) 翌：( x ) n 型：( y ) ， 而：( x uy ) 2 面：( x ) u 面：( y ) ； ( 3 ) 型：( z u 聊2 婴：( 柳u 型：( y ) ， 乏石：( x n n s 面石：( z ) n 面石：( 】，) 证明：( 1 ) v 甜堡婴：( x ) ，由下近似的定义知， d ( x ，似) ) 口 由于石y ，根据包含度的单调性可得： d ( 】，( “) ) 口 所以， “昭矿：( 】，) 成立 “翌f 【j ) 戚业 因此， 型：) s 型：( 】，) 同理可得： 而：( x ) s 而：( 】，) ( 2 ) 由j n 】，x ，z n 】，y ，根据上面的结论可知： 堡婴：( x ny ) 堡型；( x ) ， 塑：( x n y ) 婴：( d 所以， 明矿：( x n n 昭矿：( x ) n 印妙：( d 。型，【五i i j ) 型；( 爿) f i 婴：( y j 。 孑石：( x u y ) 2 面万：( x ) u 历孑：( y ) 类似可证。 第3 章基于包含度的随机粗糙集模型 ( 3 ) 由上述性质显然可得。 定理3 1 在随机近似空间缈，形，d ) 中，对于任意的0 ，) = 秽二( x ) 根据性质3 1 ( 2 ) 得，卿，：( x ) 关于参数口是单调递减的。因此， 瓣丝壁( 朋= u 丝壁( 幻s 而二( x ) 下面我们将证明 面二( x ) s u 垡噬 假设存在面万：( x ) u 监( x 则 d ( x f o ) ) r 但是我们知道：v 口 ，则诺曼婴：( 朋，也就是说， v 口 ，d ( x f ) ) ，矛盾。因此， 乏歹二( x ) u 丝( x ) 结论( 1 ) 证毕。 ( 2 ) 结论( 2 ) 类似可证。 定理3 2 在随机近似空间( u ，形，f ，d ) 中，对于任意的0 ， 1 ，任意的x 形， 1 5 河北大学理学硕士学位论文 脚型( x ) = n 丝( x ) = 堡婴二( 工) ； ( 2 ) 卿菥( 耻骈菥( 耻而( n 证明： ( 1 ) 由性质3 1 ( 2 ) ，垡丝：( x ) 关于参数口是单调递减的，所以， 姆堡塑的= n 堡笙( 朋 我们知道，对于任意的口 厂下式成立： 哪矽哆( x ) 2 驯( x ) 所以， 卿丝( x ) 2 n 丝( 司2 翌醛( x ) 假设存在n 丝( x ) 型( x ) ，则对于任意的口 7 一方面， 另一方面，对于任意的 ， 上式等价为： 所以， 得到矛盾，故，结论成立。 问题得证。 d ( 石f ( ” ， 正u 昭群( x ) ， d ( x ，( ) ) ， d ( x f 似o ) ) ， 1 7 河北大学理学硕士学位论文 第4 章基于包含度的模糊随机粗糙集模型 本章主要针对随机性与模糊性同时存在的问题，将粗糙集的思想引入到模糊随机近 似空间中，提出了基于包含度的模糊随机粗糙集模型，进一步推广粗糙集理论。 为了简单起见，在不混淆的前提下，我们用f 来代替模糊随机集芦 4 1 基于包含度的模糊随机粗糙集近似算子 定义4 1 假设u ，形都是非空有限集合，r 是r 的子类生成的盯代数。三元组 ( u ，矽，r ) 叫做模糊随机近似空间。如果d 是定义在( r ，) 上的包含度，则四元组 ( 【厂，形，r ，d ) 叫做基于包含度的模糊随机近似空间，简称模糊随机近似空间。 定义4 2 设，形，r ，d ) 是模糊随机近似空间，0 办 模糊随机集f 的下近似集可以理解为r 中与f 的包含度大于等于口的所有模糊随 机集的并。与此类似，模糊随机集f 的上近似集可以理解为r 中与，的包含度大于所 有模糊随机集的并。 图1 模糊随机集f 与它的上下近似集之间的关系 1 8 第4 章基于包含度的模糊随机粗糙集模型 图1 给出了个模糊随机集与它的关于参数对( ，口) 的上下近似集之间的关系。这 两个参数在实际应用中具有很重要的作用，我们可以通过调节参数口与的值得到同一 模糊随机集不同程度的近似。 如果对于给定的参数对( ，口) ，若等式蛾( f ) = 鬲孑，( ，) 成立，则模糊随机集f 称作关于参数对( ，口) 是可定义的；否则，模糊随机集，称作关于参数对( 肛口) 是不可 定义的，或者是粗糙的。 因此，一个模糊随机集是否可定义不仅与模糊随机近似空间有关，而且与参数对 ( ，口) 的选择也有直接关系。 下面让我们把边界域、正域和负域的概念推广到基于包含度的模糊随机近似空间 中。对于给定的参数o 口1 ，模糊随机集，关于参数对( ，口) 的边界域、正域和 负域的定义如下： 拥扣力( f ) = u e r i 砖 = u 一鬻小0 = u 甜】足| c ( 【“】詹，工) ) = u 4 a i d ( 趸4 ) ) 上述上下近似算子正好与基于包含度粗糙集模型h 2 1 中的上下近似算子一致。所以， 基于包含度的模糊随机粗糙集模型是基于包含度的粗糙集模型的进一步推广。 从上述两个例子可知，本章提出的基于包含度的模糊随机粗糙集模型是现有一些粗 糙集模型的推广。这一结论使得我们对于粗糙集模型推广的工作更加有意义。同时，我 们也相信基于包含度的模糊随机相糙集模型必将有广泛的应用。 河北大学理学硕+ 学位论文 定义4 3 设缈，形，r ，d ) 为模糊随机近似空间，o 口l 是两个给定的参数。对 于任意的互，互r ， 若鬲孑，( 互) = 面万夕( 最) ，则模糊随机集互与互称作上粗糙相等，记作：互二e ； 若戮( 互) = 塑竺口( e ) ，则模糊随机集互与最称作下粗糙相等，记作：互= 最； 若面孑，( 鼻) = 鬲万声( 匠) 并且叱( 巧) = 堡婴。( e ) ，则模糊随机集互与e 称作粗 糙相等，记作：互互 注： 显然“= 一、“= 与“是等价关系。 定义4 4 设( u ，矿，r ，d ) 为模糊随机近似空间，o 口l 是两个给定的参数。对 于任意的f r ，模糊随机集f 关于参数o 口l 的下近似集与上近似集还可以定 义为： 荔薄嚣篡东 荔雠嚣篡未 荔窭篇篡未 对于上述三种近似算子我们可以得到与前面类似的性质，在这里就不再一一赘述。 在p a w l a l 【粗糙集模型中，近似精度可以用来反映我们对集合描述的准确性，粗糙 度可以反映我们对集合描述的粗糙程度。下面我们将这两个概念推广到基于包含度的模 糊随机粗糙集模型中，用来反映我们对模糊随机集描述的准确程度和粗糙程度。 定义4 5 设( 【厂，矿，r ，d ) 为模糊随机近似空间。对于任意的，r ，模糊随机集，关 于参数对( ，口) 的近似精度定义为： 国耐( 叱( f ) ) 以砷2 剥 c a 耐i 堋7l ，l i 其中，秽p ( ，) a 第4 章基于包含度的模糊随机粗糙集模型 模糊随机集f 关于参数对( ，口) 的粗糙度定义为： 户( ，) = 1 一仃( ，) = 1 一矧 下面我们从上下近似结构的角度来定义四种重要的模糊随机集。 定义4 6 设( u ，形，r ，d ) 为模糊随机近似空间，0 故：e 面孑芦( e ) 所以面万声( 互) 面孑卢( 互) 成立。 ( 3 ) 由于互n 最互，根据结论( 2 ) 可知：垡翌口( 墨n 最) 望竺口( 互) 。同理可 以证得，缕( 正n e ) 翌芝口( 最)