（计算数学专业论文）各向异性的besov空间加权积分的误差分析.pdf

中文摘要 中文摘要 多变量数值积分是计算数学的个主要研究课题，d 维变量函数的敦值积分已 经引起了关注，并且在许多领域有了实际的应用，例如在统计，物理与工程领域最 近，对于很大的数值d ( 几百或几千) 已经被应用在金融数学领域对于路径积分， d = 0 0 及其较准确的逼近要求d 维函数的积分，其中d 可以任意的大另一方面， 我们知道函数逼近或称函数恢复和函数的积分问题在多变量问题中是主要问题，并 且逼近和积分的结果经常被用到其他多变量问题中 多变量数值积分与逼近的主要目的是估计各类d 维多变量函数在确定的，平均 的，概率的及随机情形下的第n 个最小的误差即所有可能获得的最好的算法，该 算法至多只用n 个信息泛函它与复杂性及逼近问题的宽度有密切关系，比如考虑 在确定情形下的第n 个最小误差设f 和g 是d r d 上的实赋范线性空间，解 算子s ：f g 是连续的映射我们想通过算法u = 妒o n 来逼近算子s ，其中映射 n ：f r n 称为信息算子，具有形式 n ( f ) = ( l 1 ( ，) ，k ( ，) ) ，ef 其中妒：n ( f ) 一g 在上述情形中，我们重点考虑两类信息，即所有的连续线性泛 函a 枷和所有的标准信息泛函a 埘，其中对于每个z d ，标准信息泛函a 刚仅 包含n 个函数值f ( x ) 所以 a 8 n = l ：l f ) a 砌= 也：$ d ，v f f ，工。( ，) = ，( z ) 我们现在来定义确定情形下的个算法的误差，即 e ”( 最u ) = s u pl l s ( ，) 一v ( f ) l l c 1 其中第n 个最小的误差定义为； 啊( 最a ) = 够 童( s 矿) ：l t ，l ne a ，c a r d ( 【，) 件 i 中文摘要 其中a = a a no ra 砌是可以得到的泛函类，且c a x d c u ) 表示信息泛函的个数，称作 算法u 的c a r d i n a l i t y 近年来，已经有很多文章研究了在各种不同的情形下各种函数空间的多变量的 数值积分与逼近的第n 个最小误差例如，b a k h v a l o v 和n o v a k 研究了在确定的和 随机的情形下关于h f l d e r 空间中多变量函数积分与逼近的第n 个最小误差，并且 得到了关于第n 个最小误差的最优的渐近阶与最优的收敛速度1 1 , 2 ，3 】研究了在确 定的和随机的情形下关于s o b o l e v 空间中多标量的数值积分与逼近问题的第n 个最 小误差最近，已经有一些人开始对各向异性的函数空间感兴趣，这是因为其不仅 在数学理论中有着重要作用，而且还在数学物理，生物统计及其它学科分支中有着 重要应用在第二章我们将给出各向异性的函数空间的定义，r m 】y 蜘y ( 4 l 研究了 在确定的情形下各向异性的s o b o l e v 与n i k o l s k i i 函数类中的周期函数的第n 个最小 误差，并且得到了其收敛速度的最优渐近阶 此论文共分为三章 第一章预备知识，本章主要阐述了信息计算复杂性理论的产生与发展，以及 当今阶段的一些主要研究问题同时简单介绍了信息计算复杂性的一些基本理论， 并简略的叙述了在各种不同的框架下，在特定的函数空间里，在给定的信息类的前 提下，给出了积分的第1 7 1 个最小误差的估计问题 第二章主要概括了t r a u b ，w c g n i a k o w s k i ，w a s i l k o w s k i ，h e i n r i c h ，n o v a k ，房艮 孙，黄仿伦等人的主要研究结果，给出了在若干函数空间中积分问题的复杂性估 计本章在前人的工作基础上，重点研究了对于各向异性的b e s o v 空间中，加权积 分的误差分析有下列结果t e w n o r ( ) x 仃一9 ( r )1 p o o e 尹c l p ) x n - g ( o 一1 2 2 p so 。 e ( 厶) x t i - 9 ( r ) 一( 1 1 ，) 1 p 2 e ( 易) n - g ( d 一1 2 2 p s o o e ( j p ) n - s ( d 一( 1 1 脚1 曼p 2 i i 中 文摘要 第三章本章给出了古典的h s l d e r ，s o b o l e v ，n i k o l s k i i 函数空间的定义及其范数的 表示，简略地概述了在e 述三种空间中积分的误差界问题，我们主要运用积分误差 分析方法，重点讨论了在确定的，平均与随机情形下的积分的误差分析结果： 在h 6 1 d e r 函数空间中，有 e v ( 1 ) n - 半 e t ( i ) n - 字一 e 帮( j ) n - - 串一 在s o b o l e v 函数空间中，有 e ( j ，a ) n - - j1 p o 。 e ( j ，a ) x n - 吾一圭2 p 。o e ( j ，a ) 竹一吾一( 1 一刍) 1s p 2 关键词：信息基础的复杂性；多变量数值积分；各向异性的b e s o v 空间；古典的 s o b o l e v 与n i k o l s k i i 空间；第n 个最小误差；m o n t ec a r l o 方法；误差估计；最优恢 复 i n 英文摘要 a b s t r a c t m u l t i v a r i a t en u m e r i c a li n t e g r a t i o ni so n eo ft h em a i nr e s e a r c ht o p i c si nc o m - p u t a t i o n a lm a t h e m a t i c s m u l t i v a r i a t ei n t e g r a t i o nf o rv a r i o u sc l a s s e so ff u n c t i o n so f dv a r i a b l e sw i t ha r b i t r a r ydh a sa t t r a c t e dm u c ha t t e n t i o nd u et oi t sa p p l i c a t i o n s t op r o b l e m si nm a n yf i e l d s a l lv a l u e so fds e e m so fp r a c t i c a li n t e r e s t s m a l ld o c c u r si np h y s i c sa n de n g i n e e r i n g ，a n di ns t a t m t i e s r e c e n t l y , l a r g ed ( h u n d r e d se v e n t h o u s a n d s ) i su s e di nf i n a n c i a lm a t h e m a t i c s f o rp a t hi n t e g r a t i o n ，d = o oa n da na e c u r a t ea p p r o x i m a t i o no ft h ep a t hi n t e g r a lr e q u i r e sa p p r o x i m a t i o n sf o rd - d i m e n s i o n a l i n t e g r a l s ，w h e r edc a nb ea r b i t r a r i l yl a r g e o nt h eo t h e rh a n d ，w ek n o wt h a ta p - p r o x i m a t i o np r o b l e mo ff u n c t i o n s ( o rf u n c t i o nr e c o v e r y ) p l a y sad o m i n a n tr o l ei n t h ec l a s so fm u l t i v a r i a t ep r o b l e m s ，a n dt h er e s u l t so na p p r o 曲n a t i o np r o b l e m sc a n b eo f t e nu s e df o ro t h e rm u l t i v a r i a t ep r o b l e m si n c l u d i n gi n t e g r a t i o n t h a ti sw h y t h et h e s i ss t u d i e st h e s et w om u l t i v a r i a t ep r o b l e m so fi n t e g r a t i o na n da p p r o x i m a t i o n f o rv a r i o u sc l a s s e so ff u n c t i o n so fdv a r i a b l e s o n eo ft h em a i ng o a l so fm u l t i v a r i a t en u m e r i c a li n t e g r a t i o na n da p p r o x i m a t i o n p r o b l e m si st oe s t i m a t et h en t hm i n i m a le r r o ro ft h ep r o b l e m ，w h i c hi st h eb e s t p o s s i b l ep r e c i s i o nt h a tc a l lb eo b t a i n e db ya n ya l g o r i t h mu s i n gl e s st h a nni n f o r m 舢 t i o nf u n e t i o n a l sf o rv a r i o u sc l a s s e so ff u n c t i o n so fdv a r i a b l e si nw o r s t c a s e ，a v e r a g e c a 辩p r o b a b i h s t i ca n dr a n d o m i z e ds e t t i n g s ，i ti sc l o s e l yr e l a t e dt ot h ec o m p l e x i t y a n d7 l p w i d t h so ft h ea p p r o x i m a t i o np r o b l e m f o re x a m p l e ，c o n s i d e rt h ew o r s td e - t e r m i n i s t i cc a s es e t t i n g l e tfa n dg b e ( r e a l ) n o r m e ds p a c e so v e rd ( 1 一) t h e s o l u t i o no p e r a t o rs ：f _ gi sa s s u m e dt ob eac o n t i n u o u sm a p p i n g w ew a n tt o a p p r o x i m a t esb y8 0 m ea l g o r i t h mu = 妒o ，w h e r et h em a p p i n gn ：f _ r 4i s c a l l e dt h ei n f o r m a t i o no p e r a t o rw i t ht h ef o r m n ( f ) = ( l l ( f ) ，k ( ，) ) ，f f a n d 妒：n ( f ) _ g i n8 l ls e t t i n g s ，t w oc l a s 8o fi n f o r n m t i o nf u n c t i o n a l sa r ec o n s i d - e r e d ：t h ec l a s s a 棚o f l i n e a r i n f o r m a t i o n c o n s i s t i n go f 8 h c o n t i n u o u s l i n e a r f u n c t i o n a l s i v 英文摘要 a n dc l a s sa 削o fs t a n d a r di n f o r m a t i o nc o 璐i s t i n go n l yo ff u n c t i o ne v a l u a t i o n s ，( z ) f o r z d t h a t i s a 曲= l ：l f + ) a n d a 砌= k ：$ d ，v f ek ( ，) = ，( 霉) ) t h ew o r s t - c a s ee r r o ro ft h ea l g o r i t h mui sd e f i n e d 嬲 e ”。【eu ) = s u pi i s ( 1 ) 一己，( ，) g i i 1 1 1 t h en t hm i n i m a le i t o ri sd e f i n e db y e ( s a ) = i 萨 e 删( 只c ，) ：l i ，n a ，c a r d ( u ) n ) ， w h e r e a a 础o ra 8 讨i st h ec l a s so fp e r m i s s i b l ef u n c t i o n a l sa n dt h ec a r d ( u 1d e n o t e s t h en u m b e ro ff u n c t i o n a le v a l u a t i o n sw h i c hi sc a l l e dt h ec a r d i n a l i t yo fu t h e r ea l eal o to fp a p e r sw h i c hs t u d yt h en t hm i n i m a le r r o ro fm u l t i v a r i a t e i n t e g r a t i o na n da p p r o x i m a t i o nf o rv a r i o u sf u n c t i o ns p a c e si nd i f f e r e n ts e t t i n g s f o r e x a m p l e ，b a k h v a l o va n dn o v a ks t u d i e dt h en t hm i n i m a le r r o ro fm u l t i v a r i a t ei n - t e g r a t i o na n da p p r o x i m a t i o np r o b l e mf o rt h eh 6 1 d e rs p a c ei nt h ew o r s tc a s ea n d r a n d o m i z e ds t i n ga n dg o tt h ea s y m p t o t i co r d e ro ft h ec o n v e r g e n c er a t ef o rt h e n t hm i n i m a le r r o r ，t h en t hm i n i m a le r r o ro fm u l t i v a r i a t ei n t e g r a t i o na n da p p r o x - i m a t i o np r o b l e mf o rs o b o l e vs p a c ei nt h ew o r s tc , a s ea n dr a n d o m i z e ds e t t i n ga r e s t u d i e di nf 1 , 2 ，3 】 r e c e n t l ys o m ep e o p l ea r ei n “强e s t e di na n i s o t r o p i cf u n c t i o nc l a s s e sw h i c hp l a y v e r yi m p o r t a n tr o l e 8i nt h et h e o r ya n da p p l i c a t i o no fm a t h e m a t i c sa n dm a t h e m a t i c a l p h y s i c s t h ed e f i n i t i o no fa na n i s o t r o p i cf u n c t i o ns p a c ew i l lb eg i v e ni nc h a p t e r2 t e m l y a k o vo b t a i n e dt h ea s y m p t o t i co r d e ro fc o n v e r g e n c er a t ef o rt h en t hm i n i m a l e r r o rb o u n d so fq u a d u a t u r sf o r m u l ao i lt h ep e r i o d i ca n i s o t r o p i cs o b o l e vc l a s sa n d n i k o l s k i ic l a s so ff u n c t i o ni nt h ew o r s tc e d es e t t i n gi n 【4 | t h i sp a p e rh a v et h r e ec h a p t e m ： v 英文摘要 c h a p t e r1p r e l i m i n a r yk n o w l e d g e i ti sm m n l yd e s c r i b e dt h ed e v e l o pc o u r s e a n dt h ec u r r e n tr e s e a r c hd i r e c t i o n so fi n f o m a t i o n - b a s e dc o m p l e x i t ya n dn a r r a t e t h eg e n e r a lt h e o r yo ft h ei n f o r m a t i o n - b a s e dc o m p l e x i t ya n da 1 8 0g i v et h ep r o b l e m o fe s t i m a t e sf o ri n t e g r a t i o no fn t hm i n i m a le r r o ri nd i f f e r e n ts e t t i n g s ，t h eg i v e ni n - f o r m a t i o nc l a 目黜a n di nt h ec e r t a i nf u n c t i o ns p a c e s c h a p t e r2 i ti sd e s c r i b e dt h em a i n l yr e s e a r c hr e s u l t so ft r a u b ，w o l n i a k o w s k i ，w a s i - l k o w s k i ，h e i n r i c h ，n o v a k ，f a n gg e n s u nh u a n gf a n g h ma n da l s og i v et h ec o m p l e x i t y e s t i m a t eo ft h ei n t e g r a t i o np r o b l e mi ns e m ef u n c t i o ns p a c e t h i sc h a p t e r m a i n l yd i s - c u s st h ea n i s o t r o p i cb e s o vs p a c e sa n dg e tt h er e s u l t s ： e ：o r ( ) x ，r f 1s p 0 0 e 驴( 易) t l s ( d 一1 22 p o g e ( 易) n 口( r ) 一( 1 1 ，p )1 p 2 e ( ) x n 一9 ( 一一1 22 p 曙5 ( 如) x n - g o ) 一( 1 1 p )1 p 2 c h a p t e r3i nt h i sc h a p t e r ，i ti sm a i n l yd e s c r i b e dt h ed e f i n i t i o na n dt h ed e n o t e o fn o r m a n da l s og e n e r a l l yd i 8 c u s st h eq u e s t i o no fe r r o re s t i m a t e w em a i n l y1 】s e t h em e t h o do fi n t e g r a t i o ne l t o ra n a l y s i sa n d g i v et h er e s u l t si nt h r e ed i f f e r e n tc a s e s e t t i n g s i nt h eh s l d e rf u n c t i o ns p a c e ，t h e r ea r e ( ，) n - 字 e 产( ，) 札一串一 e ( ，) xn t 辛， i nt h es o b o l e vf u n c t i o ns p a c e ，t h e r ea r e e ( ，a ) n 一5 1 p 英文摘要 e 尹( ，a ) n 一暑一言2 p 0 ，使得对于任意的f e ( 【o ，1 0 ，i l f l l v 曼m ，则有 i i ( ) 1 = i 0 1m - - 0 1 i ( z ) i 出 。m 删a x i f ( 。) i = i l f l l c mv ，c ( 刚) 对于任意给定的f o c ( o ，1 1 ) ，及任取e 0 ，令6 = ，当i i 一o i c j 时，有 i x ( ) - l ( f o ) = 0 1 ( ，一，o ) 。) d x l 0 ，使得l i t ：v i m l = i i ，则成m 为算子t 的范 数记为i i t l l 即 l i t 1 = 埘 m ：l i t = i l m l l z n ，v 霉研 4 第一章预备知识 由上面定义我们很容易得到下面的结论 ( 1 ) v z f ，我们有i i t = i l i i t i i i i = i i ； ( 2 ) l i t i i =s u pi i t x l i ； s u pi i t x l l i l x l _ 0 ，j l f ( x ) 一，( p ) i sc 陋一l ，1 ) 是一线性空间 f = ，：d r ：i f ( x ) 一f o ) i i z 一l 是只的凸的，平衡子集f 五，s ：f 1 一r ： s ( ，) = j ( ，) = 厶，( 。) 如，v f l k ：。d ) 是线性泛函因此积分问题就是一个线性问题 定义1 2 1 0 ( ) ， k ) 为两个序列，我们称a n k ，即序列 ) 与 k ) 渐近等价，如果当”充分大时，有 c l 暨晚 其中c 1 ，晚为正常数 定义1 2 1 1 设f , g ，sa 依据前面的所述，下面定义在确定的情形下 的算法u 的误差与费时 i ”( s 阢a ) ：= s u p0 s ( ，) 一u ( f ) l l a ， i l ，f s l 7 刘传钧；各向异性的b e s o v 空间加权积分的误差分析 其中a = a a u 或a 砌而且在确定框架下第n 个最小误差记为： e ( s ，a ) ：= 1 n f ( s 玑a ) ： c a r d n ，l = l ，当匮 e ( g u = q uo n ，a ) ： c a r d n ) 算法u 在函数，处的费时分为两个部分，即计算信息的费时与生成算法u 的费 时 c 0 6 t ( u , f ) = c t ( ，f ) - t - c 0 6 t ( 妒，( ，) ) c o s t ( u ) 28 u p c06t(u,f)fef 定义1 2 1 2 设f , g ，s ，a 依据前面的所述，( n ，e ，p ) 为概率空间，对每个，n ， 考虑算法z 乩( ，) = q o w ( l l ( f ) ( w ) ，k 如) ( ，) ) ) g 个抽象的随机算法定义为： u ：= 【0 ：，n ，( n ，p ) ， 其中( n ，e ，p ) 是概率空间对每一u n ，乩= o 虬是如前面所定义的在 确定情形下的算法 定义1 2 1 3 随机情形下的算法u 的误差及费时定义为： ，m ( 最u ) - 掣p ( 吼( in s ( f ) 一乩( ，) i i 各) ) m 1 州p 茎1 、 7 其中 e a i i s ( f ) 一乩( 川i 当) = 二忪( ，) 一乩( ，) | b 中( 以 8 第一章预备知识 随机情形下第n 个最小的误差 。( 墨a ) 。铲e r ”( s ，u ) ：工，k a ，。删”( u ) ”) 其中a = a 削或a 棚 c a r d r 目 ( u ) ：= e 如( 堋21 2 = ( 上( 吣) ) 2 蛳) ) v 2 是算法u 的平均情形下的基数随机情形下的费时； c o s t “( u ) = 罂( 耳( 僦( ( 川2 ) ) 1 胆 = s u p ，f ( ，n t ( ，) ) 2 咖( u ) ) 1 7 2 定义1 2 1 4设( n ，e ，) 为一概率空间，n = f ，e = b ( f ) 是f 上的全体函 数所生成的b o r e l 域v 是定义在b ( f ) 上的概率测度平均情形下的算法u 的误 差及费时定义为； 、e 一( 墨= ( 加( ，) _ u ( f ) l l 各d v c f ) ) v 2 第n 个最小的误差： 嗜( s a ) = 1 n f e 哪( 只u ) ：c 缸拶( 【，) n 其中a = 删或a 蚰且 c a 胛( 叭= ( 二( 删( ，) ) 2 螂) ) v 2 定义1 2 1 5对于信息n ，我们定义： 刘传钧：各向异性的b e s o v 空间加权积分的误差分析 ( 1 ) + ，一，：的计算费时为l ； ( 2 ) ， ：的计算费时为l ； ( 3 ) g 中的加法，g 中的数量积计算费时为。l 1 ( 4 ) 信息算子n ，l ( f ) 的计算费时为c 2 1 一个算法u 的总费时定义为组成该算法的所有的各部分的计算费时的总和，记为 c t ( u ) 我们定义解算子s 的 复杂性为所有误差不超过的其中费时最小的 算法，称为解算子s 的复杂度，记为c o m p ( e ，回即c o m p ( e ，s ) = m i n v c o s t ( u ) ： e ”( s ，u ，a ) o ；1 p o o 我们得到 1 6 ； ；苷；i ，( z ) l l l f l l g + 1 9 ( z ) r 1 9 l i ； 上述不等式两边同时积分，即得； i i f # l h i f l l p 蚓i 口 特别的，当p = q = 2 时，h 6 1 d e r 不等式就变成了熟知的c a u c h y 不等式， z 1i ，( z ) 9 ( z ) i d z ( j ( 1i ，( 。) i ，d z ) 1 7 2 ( z 1b ( z ) i a 如) 1 7 2 事实上，当p = 时，h 6 1 d e r 不等式也是成立的，即 j ( 1 l 如黑1 i z l l 如 引理2 ( m i n i k o w s k i 不等式) 若，g l p c 0 ，1 】) ，( 1 p o o ) ，则 i i f - i - g l l p i i f l l p4 - i i g l l p 证明z 因为由等式 f + 9 1 9 1 = i f + g l p 9 ( 【0 ，l j ) 1 i f ( ) + g ( z ) i d z = 0 1i f ( z ) + 9 ( ) 1 9 1 i f ( ) + 口( z ) i d 。 - 0 ，对每个耖( f ) ，取元素岛g 使得 s u pi i g 一珊0 r a d ( s n 一1 ( ) ) + e g e , q n 一】 1 3 刘传钧：各向异性的b e s o v 空间加权积分的误差分析 我们定义妒( f ) = 珊，( 掣( f ) ) j ”( s ，妒o n ) = s u p i i s ( f ) 一妒( ( ，) ) 0 = s u ps u p i i g 一妒( 口) i e f y e n ( f ) 9 e s n 一1 ( f ) s u pm d ( s 一1 ( 掣) ) + 手= r ( ) - i - y e n 【f ) 再令e 一0 ，引理即得证 由上述引理我们知道，任何个算法的第n 个最小误差不会小于该算法所用的 信息算子n 的半径r ( ) 所以我们今后要衡量一个算法的误差及其运行效率，只 需计算该算法的信息半径即可 引理4 设解算子s ：f g 是个线性问题，且n ：f 一舻是个非适应 性n o n - a d a p t i v e 信息算子，则 d ( n ) = d ( n , 0 ) = 2 s u p i i s ( h ) l l c h e 只( h ) = o 证明：令o = s u p | i s ( h ) 1 1 我们首先来证明d ( n ) 2 a f ( ) = o 由于d ( ) = s u pd ( n ，p ) ，只要证明对v y ( f ) ，d ( n ，) 2 a 因为 y e n ( f ) d ( n ，y ) =z m p 1 1 9 1 9 2 0 g ， m 加s - i 我们只需证明v g l ，9 2 s n 0 ) ，i l 吼一出j l g 2 a v 9 l ，虫es n 一1 ( ! ，) ，j ，2 n 一1 ( ) 使得9 1 = s ( ，1 ) ，9 2 = s ( ，2 ) 且f = ( ) ： ( ，2 ) ，令j l = ( 一，2 ) = 争h e f 由于是叶哟椎哟事子( ( ，) = ( 工1 ( ，) ，k ( ，) ) ) j 、r ( 危) = ；( ( ) 一( ，2 ) ) = o 第一章预备知识 慨刊l = i i 蛳) 一s ( f 2 ) l l = 2 m 华) i | = 2 i l s h l l _ 0 ，由引理4 知 r ( ) 2i 1 d ( ) 2 旌只s u ( p ) ：。l s ( 7 1 ) i 令= ( 工l ，“) 定义y 舻+ 1 ， y = ( s ( ，) 工l ( ，) ，k ( ，) ) ：，f ) 由 y 是凸的，平衡集l l ( f ) 一工。( ，) = 0 辛s ( ，) sr ( j v ) 所以( r ( ) ，仉，o ) 是 ，上的个边界点，即点( r ( ) ，0 ，o ) 的任何个邻域既有y 中的点，也有y c ( y 的补集) 中的点 刘传钧：各向异性的b e s o v 空问加权积分的误差分析 所以存在过空间y 中的点( r ( ) ，0 ，o ) 的正切超平面t ( 不包含( o ，o ) ) ，使得 t = ( x o t ，x n ) ；c o x o + - + c n n = d 因为0 t 辛d = 0 所以t 是正切的故 ( 如，) y 辛c o y o + + c ，l d ( r ( ) ，。，。) t 辛c d r ( ) = d r ( ) = 未 c o s t f ) - t - 4 厶( ，) d ( v f f ) ，辛- f j l l ! i 硐 叫，) - 砉釉，) r ( ) 岫+ 耋言w ，b ， 我们定义映射t 伽，一耋昙 因此咖是个线性映射所以 一耋三w ) 啪( ( ，) ) i s ( ，) 一伽( ) i r ( ) ，( ，f ) 辛i 。“ 伽0 n ) r ( ) 从而定理得到证明 到此为止，由于本人知识肤浅，视野有限，只简单讨论了数值问题复杂性的些基 第一章预备知识 本理论与引理，更多的内容见( 1 1 ，2 ，5 ，6 】) 我们说明了个算法u 的第”个最小误 差反映该算法的收敛速度及其在计算机上的可实现程度，也反映了算法的速率与效 率故算法的第n 个最小误差是我们研究问题的重点与主要目标 1 7 刘传钧：各向异性的b 一空间加权积分的误差分析 第二章各向异性的b e s o v 空间上加权积分的 误差估计 这一章主要研究各向异性的b 空问在确定的，随机的，平均的三种情形下多变 量函数加权积分在无界区域r 4 上的误差估计问题对于各向异性的b e s o v 空间中 的函数，我们主要考虑如下形式的加权积分 i p ( f ) = r d f ( z ) p ( 甸如，v ，f 并分别得到了在上述三种情形下的关于第n 个最小误差的收敛速度的最优渐近阶 2 1 基本理论与主要结果 我们首先来介绍一下各向异性的b c s o v 空间，令，( 甸= f ( x 。，跏) 是l 一上 的实值函数，p 是个给定的正的加权函数，即 厶p ( 甸如= 1 当1 p 时，定义 i l f l ，：= ( r f ( x ) l 叫姊d 句； n 不是本质的因为不同的对应个等价的半范数 详细论述见【7 】我们知道当0 = 。时，p ( r 4 ) 恰好就是古典的h ；6 i d e r - n i k o l s k i i 空 间郦( r d ) 因此，h 6 1 d e r - n i k o l s k i i 空同蟛( r d ) 是各向异性的b e o s v 空间口( r d ) 的个特殊的子空间即当0 = o 。时，。( r 4 ) = 譬( r 4 ) 并且由嵌入定理及其逆定理的公式知 郦“( r d ) 一b 知( r d ) 一丑；( r 4 ) 1 0 0 ，= 1 ，d 进一步，由【7 | 我们知道w p r ( r d ) 空间与p ( r d ) 空间有如下关系t 睨2 ( r 4 ) = w ；( e d ) 磁p ( r 4 ) 一w ( r 4 ) q 2 ( r 8 ) 1 n ，f = 1 ，d ，1 0 0 0 ，1 n ，f = 1 ，d ，l 口 3 0 ，1s p 。则对每个n n ，我们有 e n r a n ( ) xr t - g ( - ) 一1 2 2 p e ( 易) 扎一9 ( 一一( 1 1 p )1 p n ，i = 1 ，d ， 1 0 ，1 p 则对每个n ，我们有 e ( 如) n - o c t ) 一1 2 2 p 。 e 吖g ( ) x n - g ( - ) 一( 1 1 p ) 1 p 2 注：当日= ，1 p o 。时，f 1 4 】证明了此定理综合定理2 与定理3 的结 果与定理1 的结果相比要有所改进，因此，在随机的与平均的情形下，其加权积分 的误差估计的第n 个最小误差的收敛速度要比在确定的情形下的速度快，结果更好 一些 第二章各向异性的b e s o v 空间加权积分的误差估计 2 2 一些重要的引理 为了定理的证明，我们引入插值函数t 令m = ( m 1 ，r o d ) 酽，1 p 。o ， f l p ( r d ) 1 c ( r 4 ) 不失一般性，我们假设i m l 具有形式n = i m l = n a 他，( 佻= h 哿】) 鲁= ( 警等，鲁) ，点。i ，( 鲁) p o o 则存在唯一的插值函数 l 。( ，) ( 动= 。邑l ，( 等妒娶d ，慨) 号笔：! 三毒竽 蜒z 4 ，2 i 。 其中 l 。( 硝旦) ：，( 旦) k z d 引理1 ( 见【1 5 】)令f l p ( r d ) n a ( r d ) ，1 1 ( 朵) i p ，m = l ，m d ) n 8 ，n = i m l = m 1 w , d 则存在插值函数k ( ，甸，使得k ( ，鲁) = ，( 鲁) 且对 于每个三角插值函数“霉) 都有 1 1 ：- k ( ，) 1 1 p s e ( ：1 1 ，( 等) 一t 【等) 1 9 ) o + 1 1 1 一t i i 一 旌z 4 其中c ：e ( d ，p ，订，啦：陋警】，n ：l ，忭d ) 引理2 ( 见f 1 7 】)令1 p 。o ，耳( r d ) ，。= ( $ 1 ，8 d ) n 4 ，h = s l + + 即反且函数，的所有h 阶广义导数霹8 叼1 1 1 e l p ( r d ) 则有 ( ：三叭等胪) 5 到，川。萎。磊。砺o f ”；蓦g 暑剖器卜。+ 到瓦i 等i i ，