（应用数学专业论文）skyrme模型解的存在性和渐近性.pdf

河南大学硕士学位论文 中文摘要 s k y r m e 模型是大n q c d 理论的一种近似，在非微扰领域内，该模型能有效地描 述低能强相互作用在s k y r m e 模型中存在孤子，孤子可以量子化为费米子和波色子这 种孤子就是通常的重子而通常的核子则是孤子的基态本文用变分法证明 s k y r m e 模 型解的存在性，并讨论了解的单调性和凸性同时，我们还给出了解的渐近估计 关键词：s k y r m e 模型；解的存在性；渐近估计；变分法 河南大学硕士学位论文 a b s t r a c t s k y r l l l ei a o d e li sak i n do fa p p r o x i m a t ef o rb i gn q c dt h e o r y i nu n p e r t u r b e df i e l d ，t h i s m o d e lc a nu s e f u ld e s c r i b et h ei n t e r a c t i o no fl o w - e n e r g y t h es k y r m em o d e lc o n t a i n sk o k v i a r t h a tc a nq u a n t i z a t e db o s o n t h ek o k v i a ri su s u a l l yb a r y o nt h a ti st h eg r o u n d s t a t eo f k o k v i a r t h i sp a p e ru s ev a r i a t i o n a lm e t h o dt op r o v et h es o l u t i o ne x i s t e n c eo ft h es k y r m s m o d e l ，a n ds t u d yt h en o n i n c r e a s i n ga n dc o n v e x i t yo fs o l u t i o n a tt h es a m et i m ew eg i v e t h ea s y m p t o t i ce s t i m a t e so ft h es o l u t i o n k e y w o r d s ：t h es k y r m em o d e l ；e x i s t e n c eo fs o l u t i o n s ；a s y m p t o t i ce s t i m a t e s ；v a r i - a t i o n a lm e t h o d i i 关于学位论文独立完成和内容创新的声明 本人向河南大学提出硕士学位申请。本人郑重声明：所呈交酌学住论文是 本人在导师的指导下独立完成的，对所研究的课题有新的见解。据我所知，除 文中特别加麒说明、标注和致谢的地方外，论文中不包括其他人已经发表或撰 写过的研究成果，也不包括其他人为获得任何教育、科研机构的学住或证书而 使用过酌材料。与我一同工作的同事对本研究所做的任何贡献均已在论文中作 了明确的说明并表示了谢意。 爿 僭 学位申请人( 学住论文作者) 釜名：丛 蕴 2 0卑 月 日 关于学位论文著作权使用授权书 本人经河南大学审核批准授子硕士学位。作为学住论文的作者，本人完全 了解并同意河南大学有关保留、使用学位论文的要求，即河南大学有权向国家 图书馆、科研信，息机构、数据收集机构和本校图书馆等提供学位论文( 纸质文 本和电子文本) 以供公众检索、奎阅。本人授权河南大学出于宣扬、展览学校 学术发展乖进行学术交流等目的，* - l - p y 采取影印、缩印、扫描和拷贝等复制手 段保存、汇编学住论文( 纸质文本和电子文本) 。 ( 涉及保密内容的学位论文在解密后连用本授权书) 替缓 学位获得者( 学位论文作者) 釜名： 塑。刍 2 0年月 曰 学位论文指导教师釜名： 2 0 第一章引言和结果 近年来，s k y r m e 模型已经被公认为是描述低能重子强相互作用一个很好的有效 理论在该模型中，重子被认为是存在于非线性盯模型中的拓扑孤立子解，而重子数 则对应于孤立子的绕数众所周之，在大极限下，量子色动力学( q c d ) 等价于一 个介子场的有效理论在低能情况下，该有效理论退化为手征对称自发破缺的非线 性仃模型而非线性盯模型的拓扑孤立子解，则恰好给出量子色动力学中重子的各种 低能量激发态的量子数 s k y r m e 模型在s u ( 2 ) 上的拉格朗同密度是： l ：鬈t r 钆u 秒+ 丽1 t r a 。, u u o , u u - 1 , a 。, u u 一1 】 u u 一1 ，a p u u 一1 】 l2箭t r 钆u 秒+ 面t r 一1 】 u u 一1 ，a p一1 】 + 击2 r 丌2 t r ( 汐一1 2 ) ， 这里u ( t ，z ) 表示s k y r m e 域，b 表示介子的衰变常数，e 表示无穷小参量且m 丌为介子 质量 s k y r m e 模型存在有限能量的孤子，孤子带有一个守恒的环绕数，它不会衰变， 由于有s k y r m e 稳定项，它亦不会收缩1 9 8 3 年，w i t t e n 三j i 入w e s s - z u m i n o 项，采用流代 数的方法得出重子数流玩和重子数b ( u ) ： 吼= 帮t r ( 彤酽舻) ， b = b o ( x ) d 3 z 因此s k y r m e 模型中的孤子可以解释为重子，孤子所带的拓扑守恒量就是重子数当 重子数为偶数时，孤子可量化为玻色子当重子数为奇数时，孤子可量化为费米子 在参考文献 1 0 中，有理拟映射使用了拓扑的悬挂概念，利用有理映射s 2 _ s 2 构 造出了r 3 一s 3 的s k y r m i o n 估计，把非线性变量分离为依赖于s k y r m e 场的径向和角 度其等价于在r 3 的同心球面的s 2 域，这里s 2 是s 3 的球面纬度这样在r 3 中的任意点 都可以等价的表示为z ) ，其中r 为从原点到点的径向距离，z 表示从原点到点的方 向由球极平面映射z = t a n ( ；) e 硒，复坐标z 可转变成更为方便的球坐标点z 等价于单 1 河南大学硕十学位论文 位向量： 其反变换为： 礼：= 丁羽1 ( z + 乏，i ( 虿一z ) ，1 一f 石f 2 ) 对于s k y r m e 场的拟映射，全都依赖于有理映射r ( z ) = p ( z ) q ( z ) ，这里的p 和口是 关于z 和径向曲线函数，( r ) 的多项式有理映射引拘值与单位径向 有关拟映射 佗r = 丁诵1 ( r + 页，i ( 元一冗) ，1 一i 冗j 2 ) v ( r ，z ) = e x p ( i f ( r ) n r ( 。1 7 _ ) 其中，( r ) 满足，( o ) = 丌和，( o o ) = 0 ，介子值通过 b = 第( 半) 21 + i z l 2 ) 2 者斋船 给定这里擀等价于通常的2 维球面面积微元s i n o d o d 刷拘s 矿( 2 ) m o b i u s 变换 乱等价于一个等旋光度；z 的s u ( 2 ) m o b i u s 变换m j 在物理 空间中等价于一个自转则引进有理映射a ( z ) - 冗( z ) 一n ( z ) = 尬( r ( ( z ) ) ) 对于( 1 1 ) 的场能量形式为： ( 1 2 ) e 曲“c r 2 + 2 b s i n 2 烈门2 + ( r 警瑚) 咖2 ，- t - 2 m 2 r 2 c 1 - c o s f ) d r ( 1 3 ) 三4 7 rl 荨h ( f ) d r 其中，( r ) 满足，( 0 ) = 丌和，( o 。) = 0 ( 1 3 ) 式中的正角度丁，满足： 丁= 去( 茹) 4 者斋， 丁仅依赖于有理映射r 由于b 和r 与z 无关，所以能量e 在( 1 1 ) 的变换下为不变量 2 河南大学硕十学位论文 ( 1 3 ) 式的欧拉一拉格朗同方程知： ( r 2 + 2 b s i n 2f ) f 砌，+ s i n 2 f ( 咿- 1 ) 一下警) 卅 i n ，巩( 1 4 ) 其d p f ( r ) 满足： f ( o ) = 丌，( ) = 0 ( 1 5 ) 本文的主要结果 定理设手征角，( r ) 为边值问题( 1 4 ) 和( 1 5 ) 的解，那么，( r ) 也是极小化问题叩= m i n e ( f ) f 彤】的解同时满足 ( i ) f ( r ) 是非增且对于充分大的r ，f ( r ) 是严格下凸的； ( i i ) 当r _ 0 时，有，( r ) 一丌= 0 ( r ) 成立 当r 一。时，对于任意的0 a 2 ，有，( r ) ( ，7 ( r ) ) = o ( r q ) 成立 其中影= f l f ( r ) 在【o ，。) 连续，在任意的( o ，o o ) 的紧子区域上都是绝对连续的，f ( o ) = 7 r ，( 。) = 0 ，且e ( f ) ) 3 第二章定理的证明 下面我们将分4 个引理来完成定理的证明 引理2 1 边值问题( 1 4 ) 和( 1 5 ) 有解且为极小问题叩= m i n e ( f ) l f 】的解 证明考虑极小问题 7 7 = m i n e ( f ) l f 彤) ( 2 1 ) 由( 1 3 ) 式知，e 0 ，所以存在( 2 1 ) 的极小化序列 砌) c 影设 厶】是( 2 1 ) 的极小 化序列易得到对于任意的两数0 a 0 ，使 得f ( r ) f ( r o ) ，r ( r o ，r o + 6 ) 定义 r m i n = m a x f 【0 ，r o l f ( r - ) = m i n f ( r ) l r 0 ，7 - o 】” 由当r _ 0 0 时，有f ( r ) _ o 知在( 0 ，) 中存在一非空紧子域 m 伽= r ( r o ，c o ) l f ( r ) = ，( r m t n ) ) 设饥= m i n r l r m 讯】i ，则有r m 伽 r m i n 选取_ r m 。 r m i n ，伽 ，我们有 f ( r m 口z ) = m a x f ( r ) l r 溉 仇伽】) 事实上，我们由 r m i n r o ，( 饥) ，( r o ，r o + 6 ) ， 可得 r m i n 。z 讥和，( r m 讯) ，( ) 下面分三种情况进行讨论 i ) ，( z ) 蓦 在这种情况下，我们有 f ( r m i n ) 附) 三，r ( 溉协) 因此对于r ( 溉一r m i n ) ，有s i nf ( r m i n ) s i nf ( r ) ，c o sf ( r ) c o sf ( r m i n ) 6 河南大学硕士学位论文 定义灭r ) 如下： r 氕r ) - 八) ， 【m ) ， ( r m 打；，艿仉t n ) ， r 0 ，伽 u 仇) 易看出厂影且e ( 乃 虿7 1 记妒m 。z = r ( 0 ，r m i n ) l f ( r ) = ，( ) ，显然妒眦互非空 令。= m a x d r 妒m 。z ) ，则对r ( 羁懈，r m 。z ) ，有0 再懈 r m 饥 l f ( r ) 一引， 因此s i n 2 ，( ) s i n 2 ，( r ) ，r ( ，z ) 定义氕r ) 如下： 氕归 八如代( r m a x , r - - m a x ) l ，( r ) ， r 【0 ，口爿u ( ，。) 易得，形且e ( 乃 蓦，( 竹) 吾 ，( r ) 的图像在，= 暑之上的部分均沿，= 量向下翻折，假设翻折的图像为知，f o ( r ) = 三一n ，厂( r ) = 羞+ q ，0 口 蓦( 对有多于两次的情形我们可以用同样的方法处理) 定义氕r ) 如下： 氕r ，= f o ( r ) ：茎苫i ：i 乙 他，。， 易知，彤( 如果尹( r ) l ，：户( 删，：，。不存在，可修改它们的值使得磐l ，：，。= 等l ，：r 。) 7 河南大学硕士学位论文 于是，有 e ( i ) 一e ( f ) ： n r 2 2 b s i n 2 2 一( r 2 2bsin2州，)2+学+)sin22bsino)(fd 2 b s i n- r s i n - o2 bs i n o = ( 2 一 ，) ( ，7 ) 2 + ：f 一十 ) ，t o 一( 丁警+ 2 b ) s i n 2 ，+ 2 m 2 r 2 ( c 。s ，一c 。s ，o ) 渺 2 m 2 r 2 ( 一s i na s i n a ) d r 0 由上可知e ( 乃 e ( 厂) ，这与，( r ) 是极小化变量矛盾 综上，我们证明了结论，7 ( r ) 0 ，r ( 0 ，) 引理2 3 当7 - 适当大时，( r ) 是严格卜凸的 证明 使用方程( 1 4 ) f f 1 s c h w a r z 不等式，对于1 r 1 刁， 其中f = m a x 1 ，c ( ，) ， 0 】，而为在( o ，。) 中唯一使，( 0 ) = 号的点则引理得证 引理2 4 对于任意的o o t 0 ， 8 ( 2 7 ) 河南大学硕士学位论文 其中c ，a 为确定常数那么 l ，( 仃) 三( r 2 + 2 b s i n 2f - d 口2 r a 。+ ( 2 r + b s i n 2 f 口d f r , d n a r 叫q + 2 跏) s i n r 2 f 一半 由方程( 1 4 ) 式和上面的等式，我们有 姒州) 刮( 州) + 2 b ( a + 1 ) 丁s i n 2f b s i r n 2 f 扩d f ) - 2 ( 晰警可s i n 2 f 川2 8 ) 假设n ( 1 ，2 ) ，我们有0 0 使得 而s i n 2 ：( r ) 1 - e , 2 a ( q + 1 ) s i n 矿g _ 2 f 一半筹 7 - 0 ) ， ( 2 9 ) 其中 o 充分小使得q ( q + 1 ) + e 2 ( 1 一) 成立 在( 2 7 ) 式中，取c 充分大使之满足： p f ) l 仁r ( 。) 0 ( 2 1 0 ) 联系椭圆微分不等式( 2 9 ) 和边界条件( 2 1 0 ) ，可得。一，) _ 0p _ o 。) ，由最大值原 理可知，当r r ( ) 时，有。一，) 0 所以当r _ 时，有，( r ) = o ( r 咄) 下面我们将对，协) 的渐近性进行估计 记妒( r ) = ，协) ，则有 州加( 川b 孚) 警 = ( 2 + b s i n 2 f d d 善f r ) 妒+ ( b + 7 - s i n 矿2f ) s i n i 2 一f + m 2 r 2s i n 2 ， 因此 m ，( 妒+ 盯) ( 2 + b s i n r 2 f 石d f ) 妒一q ( b + 2 ts r i n 。2f ) 口，7 0 ( 2 1 1 ) 9 河南大学硕+ 学位论文 其中盯与( 2 7 ) 的定义相同且 0 是( o ，。o ) 中唯一的点，所以有，( 而) = 三 给定( 0 ，1 ) ，存在r ( e ) 而，使得 了s i r , 2 i 矿d l - g ，rd r 将( 2 1 1 ) 式带代入( 2 1 2 ) 式，并注意到妒0 ，得到不等式 ( 2 1 2 ) m s ( 1 ，o + 口) 一( 2 一) ( 妒+ 盯) ，r r ( e ) ， ( 2 1 3 ) 只要 0 2 _ 够大，使得 ( 妒+ 盯) l r ：，( 。) 0 ( 2 1 4 ) 联系椭圆微分不等式( 2 1 3 ) 和边界条件( 2 1 4 ) ，可得( 妒+ 口) _ 0p o 。) 由上面的两 个不等式得当r r ( ) 时，有( 妒+ 盯) ( r ) o 即当r o 。时，7r ) = o ( r 咄) 1 0 参考文献 1 】n s m a n t o na n dp m s u t c l i f f e ，t o p o l o g i c a ls o l i t o n s ，c a m b r i d g eu n i v e r s i t yp r e s s ( 2 0 0 4 ) 【2 】2 r a b a t t y e ，n s m a n t o na n dp m s u t c l i f f e ，s k y r m i o n sa n dt h ea p a r t i c l em o d e lo f n u c l e i ，h e p t h 0 6 0 5 2 8 4 ( 2 0 0 6 ) ( t oa p p e a r 讥p r o c r o y s o c a j 【3 】t h r s k y r m e ，an o n l i n e a rf i e l dt h e o r y ，p r o c r o y 踟c a 2 6 0 ：1 2 7 ( 1 9 6 1 ) 4 】e w i t t e n ，g l o b a la s p e c t sd ，c u r r e n ta l g e b r a ，n u c l p h y s b 2 2 3 ：4 2 2 ( 1 9 8 8 ) 【5 】e w i t t e n ，c u r r e n ta l g e b r a ，b a r y o n s ，a n dq u a r kc o n f i n e m e n t , n u c l p h y s b 2 2 3 ：4 s s ( 1 9 8 3 ) 【6 】c j h o u g h t o n ，n s m a n t o na n dp m s u t c l i f f e ，r a t i o n a lm a p s ，m o n o p o l e sa n ds k y r m i o n s ， n u c l p h y s b 5 1 0 ：5 0 7 ( 1 9 9 8 ) 【7 】y i s o n gy a n g ，o nt h eg l o b a lb e h a v i o u ro ，