（计算数学专业论文）一类非线性发展方程精确解的构造方法.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 本文根据数学机械化的思想，在导师张鸿庆教授“a c ：b d ”理论的指导下，研究在 弹性力学、流体力学、空气动力学、等离子体物理、生物物理和化学物理等现代科学技术 中引出的非线性偏微分方程求精确解的方法。 第一章介绍了数学机械化的思想与应用的情况，符号计算软件的发展，以及孤立子 理论的历史与发展，同时介绍了一些关于该学科领域的国内外学者所取得的成果。 第二章在“a c = b d ”统一理论框架下考虑非线性偏微分方程( 组) 精确解的构造。给 出了“a c = b d ”理论的基本思想和应用，通过具体的变换给出了构造c d 对的算法。 第三章简要介绍了非线性发展方程的若干求解方法，如反散射方法，对称与微分方程 约化，b a c k l u n d 变换和d b 0 1 l ：( 变换方法，h i r o t a 双线性方法p a i n l e v e 奇性分析法，a c = 露d 框架下的精确求解等。通过引入更为一般的变换，我们推广了构造非线性发展方程精 确解的有理展开方法，推广后的方法一扩展的椭圆方程有理展开方法，可以获得非线性 发展方程( 组) 的更多形式的精确解。 关键词：数学机械化；孤立子；“a c = b d ”理论；c d 对；非线性发展方程；精确解 大连理工大学硕 一学位论文 ac o n s t r u c t i v em e t h o df b rs o l v i n ge x a c ts 0 1 u t i o n so fs o m e n o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n s a b s t r a c t h lt h i sd i s s e r t a t i o l l ) b ya p p l y i n gt h ei d e a so ft h em a t h e m a t i c sm e c h a n i z a t i o n ，u i l d e rt h e i n s t r u c t i o no f “a c = b d ”t h e o r yo fp r o f e s 8 0 rz h a n gh o n g q i n g ，w ec o n s d e rs o m em e t h o d s s e e k i n ge x a c ts o l u t i o i l st on o n l i n e a rp a r t i a jd i 踮r e n t 瑚e q u a t i o ( s ) a r i s i n gf r o mt h e 丘e l d 8o f e l a s t i c i t y n l l i dm e c l l a n i c s ) a e r o d y n 啪i c s jp l a s m 8p h y 西c s ，b i o p h y 吕i c sa n dc h e m i c 址p h y s i c s c 1 1 a p t e rlo ft h i sd i s 8 e r t a t i o ni 8d e v o t e dt oi n s t i g a t i r l gt h et l l e o r ya n da p p l i c a t i o no f m a t h e m a t i c sm e c h a n i z a t i o n ，r e v i e w i n gt h eh i s t o r ya n dd e v e l o p m e n to ft l l es 0 1 i t o nt h e o t 矿i n a d d i t i o n ，8 0 m ed 。m e s t i ca c h i e v e m e n t sa n df ( 1 r e i g no i l e 8o t h es u b j e c ta r ep r e s e n t e d c h a p t e r2c o n c e r n st h ec o i l s t r u c t i o no fe ( a c ts o l u t i o n 8t on o n l i n e a rp 盯t i “d i 珏b r e n t i a le q u 跏 t i o n ( s ) u n d e rt h eu n i f 。r m 盘a n ew o r ko f “a c = b d ”t h e o r ”t h eb a s i ct h e o r ya n da p p l i c a t i o n r e g a r d i n g “a c = b d ”m o d e la n dt h ec o n s t r u c t i o no fo p e r a t o r sca n dda r ei n t r o d u c e d c h a p t e r3i n t r o d u c e ss o m em e t h o d ss e e k i n ge x a c ts 0 1 l l t i o n s f o rt h en o n l i n e a re v o l u t i o n e q u a t i o n ，s u c ha si n v e r s es c a t t e r i n gm e t h o d ，8 y m m e t r yr e d u c t i o nm e t h o d ，b a c k l u n dt r a n s f o r m a t i o n ，d 盯b o u xt r a n s f o r m a t i o n ，h i r o t ab i l i n e a rm e t h o d ，p a i n l e v ea n a l y s i sm e t h o d ，a c = b d m o d e l ，a n ds oo nw ep r e 8 e n tan e we 1 1 i p t i ce q u a t i o nr a t i o n a le x p a n s i o nm e t h o dt ou n i f o r m l y c o 瑚t r u c tas e r i e so fe x a c ts o l u t i o n sf o rn o n l i l l e a rp a r t “d i 髓r e n t i a le q u a t i o n 8 a sa na p p l i c a 乞i o n o ft h em e t h o d ，w ec h 0 0 s et h e ( 2 + 1 ) - d i m e n 8 i o n a lb u r g e r se q u a t i o nt oi l l u s t r a t et h er n e t l l o da n d s u c c e s s f u l l yo b t a i ns o m en e wa n dm o r eg e n e r a lb 0 l u t i o n s k e y w o r d s ：m a t h e m a t i c sm e c h a n i z a t i o n ；s o l i t o n ；“a c = b d t h e o r y ；“c d p a i r n o n l i n e a re v o l u t i o nd i 圩b r e n t i a le q u a t i o n ；e x a c ts o l u t i o n i i i 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的 研究工作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致 谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也 不包含为获得大连理工大学或其他单位的学位或证书所使用过的 材料。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献均已在论文中做 了明确的说明并表示了谢意。 作者签名：至! ! 查：日期：q 垄 大连理工大学硕【：学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位论文版权使用 规定”，i 司意大连理工人学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩日j 或扫描等复制手段保存和汇编学位论 文。 作者签名 导师签名 王赢寿 憩 立年互月上生日 大连理工大学硕士学位论文 第一章绪论 本章简述了数学机械化思想与符号计算软件，以及孤立子理论的国内外研究概况。 1 1数学机械化思想与符号计算软件 历史上公理化的思想与机械化的思想彼此辉映，贯穿整个数学历史，对数学的发展 都起到了巨大的作用。前者是在现代数学一尤其是纯粹数学中占统治地位的，但是后者 也同样发挥了极其重要的作用。如：希尔伯特( h i l b e r t ) 所倡导的数理逻辑，为日后计算机 设计原理的发展奠定了基础。数学巨匠嘉当( e e a r t a n ) 在微分方程，微分几何及李群( l i e g r o u p ) 的著作中体现了机械化思想的特色。h c a r t m 关于代数拓扑中同调群计算的工作 也可视为机械化思想的成功典范。基于计算机自动推理性强的特点，中国科学院院士吴 文俊院士极力倡导数学机械化的研究f 1 4 1 。2 0 世纪7 0 年代，吴文俊先生由中国的传统思想 出发，从初等几何定理证明入手开始数学机械化方法的研究。他引入的非线性代数方程 组的吴方法是求解代数方程组精确解最完整的方法之一，已经被成功地用于解决很多问 题，并实现在当前流行的符号计算软件中。在r i t t 等人工作的基础上，1 9 8 9 年，吴先生将 吴代数消元法的思想推广到微分情形，创立了吴微分消元法。吴方法的创立引发了机械 定理证明的高潮。 随后，高小山研究员，张景中院士，周成青教授5 8 1 合作提出了基于几何不变量的“消 元法”，实现了自动生成几何定理可读证明这一目标。这一工作被认为是五十年代g e r l e n t n e r 的经典工作及七十年代吴方法以来这一领域又一重要进展。在几何自动推理方面，他们 提出微分几何自动定理证明的新方法并予以计算机实现，成功地机械化证明了上百个定 理并发现了新的结果；给出了c a l e y k l e i n 几何的转换定理，大大简化了非欧几何的自动定 理证明；解决了z a s s e n h a u s 与m a c l a n e 公开问题；提出了几何推理的演绎数据库方法；改进 了基于搜索的定理证明方法，并第一次用此类方法证明了大量几何定理。吴尽昭研究员、 刘卓军研究员f 9 1 将吴代数消元法运用到逻辑中去，较好地解决了逻辑中的一阶定理证明 问题。石赫研究员f l o 】利用吴方法，研究了著名的y a n g b “t e r 方程解的问题。之后他利 用张鸿庆教授提出的“a c = b d ”的思想，研究了y a n g - m i l l s 方程，将其化为三个简单的二 阶线性微分方程。 在构造非线性发展方程精确解方面，李志斌教授等f 1 1 1 4 1 利用吴代数消元法，在求孤 子解方面作了很多重要的工作。他通过引入t a n h 函数方法，将偏微分方程求解问题转化为 代数方程组的求解问题，沟通了吴代数消元法与微分方程之间的关系。近年来，范恩贵教 授1 2 1 在这方面的工作受到了国内外同行的关注。他推广了t a n h 函数方法及椭圆函数展开 法，借助符号计算和吴方法求得了一大批菲线性发展方程的精确孤波解。朝鲁教授f 1 3 1 将 一类非线性发煨方程精确解的构造方法 吴微分特征列法( 吴微分消元法) 应用于微分方程对称计算，取得了很好的结果。闰振 亚博士【14 】在微分方程的求解代数化方面做了大量的工作。他基于两种m c c a t i 方程，提出 了求解非线性发展方程的更为有效的算法，获得了很多方程的精确解。朱思铭教授f 1 5 1 根 据a m s 猜测，利用符号计算和吴代数消元法对偏微分方程的p a i l l l e v 6 性质进行了研究，证 明了一批方程具有p a j n l e v 6 性质。谢福鼎博士、张玉峰博士、陈勇博士、李彪博士和郑学 东硕士【1 6 - 2 2 1 将吴微分消元法应用于偏微分方程p a i n l e v 性质研究，并根据他们给出的算 法编制了m a p l e 软件包，对许多偏微分方程进行了p 出l 毹性质检验。吕卓生博士f 1 9 浣成 了l k 对称的程序编制。 符号计算软件的发展大体经历了三个阶段一卜个世纪6 0 年代的专门化程序；7 0 年代 的通用程序和8 0 年代至今的商业化程序。1 9 6 0 年，用于表处理的计算机语言l i s p 在美国开 发成功。l i s p 在符号计算软件中起了重要作用。j a u m ss 】a g l e 写的第一个符号积分程序以 及稍后由j o e lm 0 8 e s 写的符号积分程序都是用l i s p 写成的。1 9 7 1 年，第一个基于l i s p 的通 用符号计算软件m s y z n a 问世，它提供了计算极限和解方程的功能。a c h e a r n 用l i s p 开 发了符号计算系统r e d u c e ，后来成为一个广泛应用的通用软件。另一个广泛应用的通用 软件是用e 语言写成的m a p l e 。与其它符号计算系统比较，m a p l e 的效率比较高，这是由其 自身的设计特点决定的。m 印l e 系统的核心由尽可能小的关于基本运算的程序组成，这 些运算包括：指令函数，整数，有理数和多项式运算以及空间管理。该软件的其它部分 是由m 印l e 语言写成的软件包。这些软件包的管理很灵活，用户可以加入，改变和删除函 数。目前m p l e 已有大量专用软件包。最引人注目的商业系统是由s t 印h e nw 0 1 丹a m 组织编 写的m a t h e m a t i c a 。该系统是用c 语言写成的，有很新颖的特点。例如：“代数发动机”和用 户接口有本质的区别；综合了符号计算，数值计算和作图功能；具有结构清晰的用户编程 语言等。与其它系统相比，m a t h e m a t i c a 不仅成功吸引了很多学术界以外的注意，也得到 了大量用户的支持。从上个世纪6 0 年代至今，各类符号计算软件曾出不穷，各有特色，为 相关学科研究提供了极大的方便。 众多用户多年来的经验证明符号计算软件有诸多优点： l 、它使用户避免大量的繁琐计算。利用符号计算软件，用户可以把繁琐复杂的计算 交给计算机，而集中精力研究用什么样的算法解决问题。 2 、它使用户容易使用先进的的数学技术( 例如：因式分解，符号积分，吴方法等) 。 通用的符号计算软件不仅有操作符号计算的能力，而且还实现了很多强有力的和复杂的 算法。 3 、它帮助研究者完成大量繁琐运算的证明。例如：四色定理的证明，为了得到结论， 需要验证大约2 0 0 0 多种地图满足某些性质，这只能通过计算机来完成。 4 、它帮助研究者通过大量例子进行试验，验证猜想。 5 、它使一些古老的数学问题获得新生。例如：大整数的素数判定和分解，该问题在 2 大连理工大学硕士学位论文 编码理论中有重要应用。 6 、它促使研究者改进已知的算法和发明新算法。 当然符号计算软件也有其不足之处，主要表现在： l 、计算机代码的局限性。利用符号计算软件时，常会遇到时间和空间的限制，其原 因部分在于运用的是准确运算和符号表达式，部分在于缺乏有效的算法。 2 、中间表达式膨胀。使用符号计算软件时一个常见的也是最严重的问题就是中间表 达式膨胀。中间表达式的规模与输入表达式的规模之间的关系可能是线性的，也可能是 指数的甚至是双指数的。例如，对于辗转伪除法( “无分式”除法) ，他们之问的关系是指 数型的。 3 、输出难于管理。用户可能发现系统会返回难于处理的大型输出。例如一般4 次多项 式的完全解集，其公式会超出整个屏幕。 4 、可靠性。软件中所含的错误是一个重要的问题。大多数通用系统的基本运算，如 大整数加法和乘法，都是非常可靠的，但是关于复杂算法的软件，很可能有错误。 随着计算机代数的发展和计算机性能的改进，符号计算软件必然会越来越趋向成熟。 尽管如此，作为符号计算软件的用户，仍然有必要追求算法上的创新，从而进一步提高符 号计算的效率。 1 2 孤立子理论的历史与发展 孤立子f s 0 1 i t o n ) 现象最初是由英国科学家s c o t tr l l s 8 e l l 发现的。1 8 4 4 年，r u s 8 e 1 1 在一篇 题为论波动的报告中记述了他1 8 3 4 年观察到的一种奇特的水波现象。当时他正在观 察由两匹马拉着的船在一条狭窄的运河中行驶。船突然停止了前进，但运河中被船推动 的水却并没有停止，而以汹涌翻腾的状态聚集在船头，然后以巨大的速度滚滚向前，且 保持着巨大的轮廓分明的光顺孤立的峰状外形。显然，它不改变形状与速度，沿运河继 续前进。他骑着马跟踪了一至两英里，在运河的拐弯处，这种孤立行进的水峰才终于消 失。r u s s e l l 认识到这种水波现象是具有关键性质的新现象、新事物，随后进行了更加细致 的研究，在实验室作了很多实验，用多种方法激发，也观察到了同样的现象。他称这种波 为孤立波( s0 1 i t a r yw a v e ) 。但限于当时的数学理论和科学水平，人们无法从理论上给予这 种现象一个圆满的解释，科学家们甚至怀疑孤立波现象是否真正存在。 在随后的几年，a i r y 、b 0 u s s i n e s q 和r a y l e i 曲等人相继对孤立波进行了研究。a i r y 得出 结论：r l s s e l l 所提到的孤立波根本不存在；s t o k e s 使用了正确的方程，却得到了错误的结 果；b o u s s i n e s q 和r a y l e i 曲分别从数学角度证明了孤立波的存在性。b o u s s i n e s q 为近似描述 孤立波，提出了一个非线性发展方程，后来被命名为b o u s s i n e 8 q 方程。但是，b o u s s i n e s q 和 r a y l e i 曲的工作仍然没有使那些对孤立波感兴趣的科学家们完全信服。这也促使荷兰数 学家k o r t e w e g 和他的搏士生d ev r i e 8 对水波现象作迸一步研究。 3 类非线性发展方程精确解的构造方法 1 8 9 5 年，k o r t e w e g 和d ev r i e s 根据流体力学研究了浅水波的运动，在长波近似和小振 幅的假定下，求得了单向运动的浅水波运动方程，即著名的k d v 方程。通过一定的数学变 换，k d v 方程变为如下形式 其中u 为波形函数。k o r t e w e g 和d ev r i e s 从上式求出了与r u 8 s e l l 所发现的孤立波现象一致的 结果，即具有不变形状的脉冲状孤立波解。k d v 方程的解，准确地描述了浅水波的非线性 特性：行波速度依赖其本身的振幅，当两个这样的脉冲波沿着同一方向运动时，波峰高的 脉冲波的行进速度快，因此会赶上前面波峰低的波而发生碰撞。 然而这样的孤立波是否稳定，两个这样的孤立波碰撞后是否形变，这一直是科学家 们感兴趣而又无法证实的问题。因此在没有新的发现之前，k d v 方程以及孤立波仍长期 处于被埋没之中。 1 9 6 5 年美国普林斯顿( p r i n c e t o n ) 大学的两位应用数学家m d k r u 8 k a l 和n z a b u s k v 通 过数学模拟方法深入地研究了等离子体中孤立波碰撞的非线性相互作用过程。他们意外 地发现，两个孤立波在碰撞后各自的波形与行进速度居然都能保持不变，仅仅是相位发 生了改变。这一性质使人们联想起质点粒子和波粒二象性等熟悉的现象。只有粒子的碰 撞才会有类似的情形出现，于是将这种波定名为孤立子( s o t o n ) ，以反映其粒子属性。 “孤立子”没有明确的定义，但是它可用来描述一个非线性方程或非线性体系的任 意解，若此解满足：1 可表示成一个固定形式的波；2 是局部的、衰变的或在无穷大时变 为常数；3 可与其他的孤子进行强烈的相互作用，在相互作用后叠加原理成立其形式不会 改变。 总之，k r u s m 和z a b u s k y 的这一研究工作为推动孤立子理论的发展，树立了一个重要 的里程碑。此后，科学家们对孤屯子的研究兴趣和热情便一发难收，在很多学科领域都发 现了孤立子运动形态，相应地，在数学上发现了一大批具有孤立子解的非线性发展方程， 而且已逐渐建立起较系统的研究孤立子的数学物理方法【2 3 2 6 。 孤立子现象无论对于非线性科学来说，还是对于整个科学体系来说，都起着非常重要 的角色并具有非常重要意义： 第一，孤立子是自然界中普遍存在的现象。如木星的红斑旋涡、用隧道电子显微镜 成像方法发现的晶体中的电荷密度波、在小尺度湍流环境中长期存在的有序大尺度组织、 神经元轴突上传递的冲动电信号、大气中的台风、激光在介质中的自聚焦、晶体中的位 错、超导体中的磁通量等。社会经济系统中也广泛地存在着非线性相互作用。由非线性 机制产生的孤立子，无论其现象还是本质，都可能启发我们更好地理解某些社会经济现 象，如社会财富、社会权利等的稳定集中，某些社会意识等的长时间稳定传播。 第二，孤立子深刻地反映了非线性系统相干结构中惊人的有序。从k d v 方程的结构 4 大连理工大学硕士学位论文 中我们可以来分析其产生孤立子的机理：其中。项是弥散项，使初始的局部脉冲扩展 开来随着波的行进而改变形状；而非线性对流项6 “倾向于在脉冲已经很大的地方增大 该脉冲并由此使扰动凸起，从而使得频率扩展，坐标空间收缩，其效果是挤压波包。这两 种对抗因素的巧妙平衡为孤立子的形成提供了条件。所有拟序结构，包括孤立子拟序结 构和非孤立子拟序结构，都具有非线性效应和弥散力巧妙平衡这一共同特征，它为我们 提供了一种从稳定性角度考察事物的新方法。 第三，孤立子理论发展了散射反演方法。由于孤立子的形状在相互作用期间经过暂 时的变形之后又严格地得到了复原这一特性的启发，g a r d n e r ，g r e e n e ，k r u s k a l 和m i u r a 等 人发展了散射反演方法，通过一系列线性变换运算得到了一大类具有孤立子的非线性方 程的精确而系统的显式解，对无限维分析、代数几何、偏微分方程和动力系统理论产生了 深远的影响。散射反演方法的成功，表明了人们可以精确而系统地解一大类非线性方程， 这本身就有很大意义，而且对我们深刻理解非线性的本质问题也极具启发性。 目前，较为完整的孤立子理论体系正在逐步形成，国内外在这方面出版了很多专 著2 3 ，2 5 ，2 6 1 。孤立子理论已经被应用于解决等离子体物理、凝聚态物理、生物学和非线 性光学等领域中某些难以解决的问题，以及非线性作用下的运动规律等。从数学方面来 看，已经发现一大类非线性发展方程具有孤波解，求解方法也出现了许多独特的分支。 大连理工大学硕士学位论文 第二章“a c = b d ”理论与c d 对的构造方法 众所周知，微分方程( 组) 求解是一个困难而重要的课题。长期以来，许多数学物理 学家在这方面作了大量的工作，提出了诸多的求解方法。但是由于问题的复杂性，一种方 法往往只能适用于一类方程或只能求某些特殊解，很难有一个适用于各类方程( 组) 的统 一方法。自从张鸿庆教授2 7 1 于二十世纪六十年代提出了“a c = b d ”思想，并于1 9 7 8 年发 表以来，他和他的学生们在这方面做了大量的工作，使得这一思想在电动力学、弹性力 学、流体力学、量子力学、孤立子理论、物理学等方面得到了广泛的应用。这一思想是一 个开放的思想，遵循“简易、变易、不易”的原则。近年来该思想推广到解决非线性问题 中，张鸿庆教授又提出了c d 可积系统与c d 对的概念，形成了在微分方程( 组) 求解中 的c d 可积理论，在孤立子理论及其应用方面有了很好的成绩。本章简要介绍张鸿庆教授 提出的关于微分方程( 组、求解的“a b = c d ”理论及应用，c d 对的构造方法。 2 1 “a c = b d ”理论及其应用 “a c = b d ”理论的基本思想就是将复杂不易求解的方程( 原方程) 通过适当的变换 转换为简单易于求解的方程( 目标方程) 。不失一般性，可形式地将原方程和目标方程 分别表示为a “= o 和d ”= o ，则原方程的求解就变为寻找适当的变换“= e m 将原方 程化为易于求解的目标方程d ”= o 。但是，在实践中往往需要求得算子日( 辅助算子) ， 使其满足“a c = b d ”，有时还需要求得算子r ( 余算子) ，使得a g = b d + r 。其具体格 式是：设a “= o 为待求解的原方程，d ”= o 是易求解的目标方程，寻找变换“= e ”使 得a u = o d ”= o ，且g e r d = e r a 。对一般微分方程的求解，就转化为以下问题的解 决：给定算子a ，构造算子c 和d ，使得g 女e r d = 触r a ，及如何构造变换u = e m 将待求解 的方程a ”= o 约化为目标方程d ”= o 。 定义2 1 ：设x 是线性空间，a ，b ，c t d 是从x 到x 的算子，对任意”x ， a g 一) = a ( c ) ，b d ( ”) = 日( d ) 如果对 x ，a a w = b d ，则称a g = 口d 。 定义2 2 ：如果对于算子| 4 ，存在算子b ，e ，d ，使得a g = b d ，g k e r d = 肌 ，其 中k e r a = f la “= o ，e r d = ui _ 】_ ) u = o ) ，则称a “= o 是可积系统。若c k e r d k e r a ，但g e r dck e r a ，则称a u = o 为部分可积系统。 定义2 ，3 ：算子g 和d 称为算子a 的e d 对，如果系统： ，c ( ) 2 o ， 、 id h 札) = o 、 7 一类非线性发展方程精确解的构造方法 其相容条件恰为a “= o ，其中“为参数，“恰”的意义为：如果系统( 2 1 ) 的另一个相容条 件为a + u = 0 ，那么耳e r 小c 耳e r 以。 若g ( 口，n ) = o 可写为u = c u ，d ( ，u ) = o 可写为d = o ，那么a 有显式的g d 对。 若g k e r dc k e r 且，则对_ d u = o 的任意解 ，若：西，则a “：o 。 若g e r d 耳e r a ，则对4 “= o 的任意解，必有u k e r d ，使得“= g 。 如果g k e r d 耳e r a 和a k e r dc e r a 同时成立，即g e r d = k e r a ，这时方程a “= o 的一般解为n = g ”，其中满足d 口= o ，也称在变换u = c ”下，方程 “= o 与d ”= o 等 价。 定义2 4 ：若方程组 三艺茏 三：的相容性条件为舢= 。，则称舢= 。是g 一。可积 的，并且 戮棠：黼= 懒一怵 定理2 1 2 8 设x 是线性空间，a ，b ，e ，d 是x 到x 的线性算子。如果且g = b d ，b ( o ) = o ，且ck e 加1 k e r a ，则方程( 组) a u = o 的一般解为u = c ”，其中 满足d u = o 。 定理2 21 2 9 】：设 习 其中n j 是线性偏微分算子，b ，g ，d 是偏微分算子矩阵，且满足a e = b d ，a e r d = k r 以，则非齐次方程舢= ，的一般解可表示为u = e t 什e ，d 。= g ，其中e ，g 是方程m + b 9 = ，的一组解。 推论2 1f 2 8 1 ：若x 是线性空间且e e r d ) e r 一，则a u = o 的解可以用u 。= e u 。逼 近，其中”。满足d ”。= o 。 推论2 2f 2 7 1 设x 是线性空间，a ，_ 日，e ，d 是x 到x 的线性算子，x ，且a e = 日d ，g 女e r d e r a ，则方程( 组) a u = ，的一般解为：“= e + e ，d u = g 。其中e ，g 满足 方程( 组) a e + 毋= ，。 证明：如果存在从x 到x 的算子m ，和e 使得4 m + 且= e ，则e = m 和g = 西满足 方程a e + 励= ，其中满足方程e = ，。 张鸿庆教授及其学生应用“a c = b d ”理论在微分方程求解方面作了大量的工作，这 思想是开放性的，所以在很多方面得到了广泛的应用，如弹性力学、电动力学、流体力 学、量子力学、孤立子理论、理论物理等。目前，算子a 和d 可以有如下不同的表达形式： d 任意微分方程组 具有对角形式的微分方程组 8 人连理工大学硕士学位论文 非线性微分方程 变系数微分方程 高阶微分方程 高维方程 微分方程 任意的方程 不可分离变量微分方程 不会求解方程 下面我们举例加以说明。 线性微分方程 常系数微分方程 低阶微分方程 低维方程 代数方程 具有特定性状的方程 可分离变量微分方程 会求解方程或具有重要性的方程 情况1 任意微分方程组一对角型微分方程组 例1 齐次m a x w e l l 方程组a u = o 【2 7 l 利用如下的变换 ，键。i 鼹 = 卜拯 一；醉 o ( 荔) = ( 警。砖荨i 霹) c 龛， 碟+ 留+ 谚 d 曲= l 。 0 例2c a u c h y _ r i e m a n n 方程组【2 7 】 0 霹+ 露+ 馥 ( 2 ) = 。 f 22 1 f 2 3 1 f 24 1 f 2 5 1 日一 0一 + 一巩 江 n 0 一 = 1 一c 0 = 忙 ) ) 盯 日 0 z + + e e 以 仲 r d ，il，、l 二耋! ! 垡堡垄垦查型堕堕堡塑塑造查鎏 令“= ( u 1 ，u 2 ) ，作变换 将( 27 ) 代入( 2 6 ) 可得 篦! “一= c 南， c 器+ 势= 。 情况2 非线性微分方程一线性微分方程 例3 势b l i r g e r s 方程 3 0 】 a “= a + ；( 岛) 2 一 岛。】u = o 借助“a c = b d ”的思想，取变换 u = g w = 一2 a l n 将( 2 1 0 ) 代入( 2 9 ) 可得 日 ：一坠，_ d u ：仇一a 。：o 可以证明a c = b d ，同时有c 耳e r d = e r 一。因此4 “ e ? 7d = n 。 f 26 1 f 2 7 ) f 2 8 1 f 2 9 1 f 2 1 0 ) f 2 1 1 1 o 的解析解可以表示为n ： 例4b e r n o u l l i 方程 1 8 】 考虑方程 4 u = + p ( 。) “q ( z ) u “= 0 扎1 ， 令 u ：e w ：”1 南 则有： a u = a g ”= ”尚丁兰i ”7 + p ”一。) = o ( 即b d ”= o ) ，其中d ”= t 与”+ p 一( 是线性常微分方程。 情况3 变系数微分方程一常系数微分方程 情况3 j 变系数偏微分方程一常系数常微分方程 l n f 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) f 2 1 4 1 大连理工大学硕士学位论文 例5 具有三个任意函数的变系数k d v m k d v 【3 1 】方程 4 u = “t + ( t ) 【。一n l u 2 乱。+ 2 n 2 ( u ；+ 。) 1 + n 3 ( ) f 如( t ) “u 。 + 弘0 ( t ) + k 2 ( t ) z 。+ 一2 ( ) u ( 21 5 ) 其中毗g = 1 ，2 ，3 ) 为常数， ( t ) = e x p 卜k 2 ( s ) d s 】梳( t ) ，耳1 ( ) ，鲍( ) 为的任意函数 做变换 u ( z ，z ) = g = ，( t ) u ( ) ，= ，( 扣+ 9 ( f ) ( 21 6 ) 则( 2 15 ) 变为 u = j 南( t ) 【，4 ”一n 1 ，4 u 2 7 + 2 0 2 ( ，4 u 7 2 + ，4 ”) 】+ 0 3 h ( t ) j 如( ) ，3 口 7 + k l ( ) ，2 + ，9 亡+ ( 鲍( t ) ，2 + ， ) 茁】u 十( 尥( t ) ，+ ) ”= o 令 k 2 ( ) ，2 + ， = 0 虬( t ) ，+ ，乳= d 0 硒( ) ，4 可得 ，( t ) = ae x p 【尥( s ) d s 】， 9 ( ) = z 。【d o a 3 蜀小) “p ( 一3 上。尥( s ) 如) 一一- ( t ) e x p ( 一z 。鲍( s ) 如) 出十b ( 21 7 ) 利用( 2 1 7 ) 可知目标方程为 d = u n 1 2 + 2 “2 ( w 2 + u u ，) + 署u 7 + d o u = u ( 2 1 8 ) 情况3 2 变系数偏微分方程一常系数偏微分方程 例6 变系数k d v 方程【1 2 】 考虑方程： a “= + 1 ( ) ( “。+ 6 u u 。) + 4 如( 亡) u 。一 3 0 ) ( 2 u + z 札。) = o ( 2 1 9 ) 其中 。( t ) 0 = 1 ，2 ，3 ) 为t 的任意函数 作变换 u = e x p ( 2 3 ( t ) c 托) ( ，f ) 1 1 一类非线性发展方程精确解的构造方法 = e x p ( j 厂坝啪啦4 吲帅x p ( 2 吲咖姚 ( 2 2 0 ) r = 州咖x p ( 3 州洳舭 则( 2 1 9 ) 约化为常系数k d v 方程 例7 变系数m k d v 方程 1 8 ( 22 1 ) a n = 1 “+ j 南“) ( u 。黜+ 6 u 2 “。) + 4 k 1 ( t ) “。一h ( ) ( + z “。) = o ( 22 2 ) 其中尬( ) ( = o ，1 ) ， ( t ) 为的仕葸幽毅 作变换 u = “p ( 。) 蛐( 叫) = z 酬酢) d f ) 一4 j 厂剐咖x 一( m ) d f ) 出， ( 2 2 3 ) r = r e x p ( 3 m 州帆 则( 2 2 2 ) 约化为常系数k d v 方程 脚+ 6 2 吨+ 屯硅= 0 情况4 高阶微分方程一低阶微分方程 例8 浅水中的w h i t h a m b r o e r k a u p 方程【3 2 作变换 ( 2 2 4 ) f 22 5 ) u _ ( 踟：蛳) 协 u = ( 芸) = e ”= ( ，。“：。，l 。) 心z 。， 、w舻。“”7 目标方程为低阶b u r g e r s 方程 情况5 微分方程一代数方程 d 训= t + 2 “b + 叫z z = 0 1 2 f 2 2 7 ) 0 = 吼 i | 卢 一 阻 彗 + m 巩 一 旧 r + 毗 巩 ，j(1【 巨蠹i 栅。巾一。， 二0 夏_ 二 皿。， 陵嘉茹c n 删 u ，：婴：冗+ u 2 ， ( 23 1 ) u = j 汪= “十u 一， 【z5 1 ) ，n n 玎，6 “，叼，奶，( i = 1 ，2 ，嗡j = 12 ，m 。) ，兄为待定常数，将( 2 3 0 ) 代入( 2 曲) 并 令护( 们可再：芦) 9 ( q = o ，1 ；p = o ，1 ，2 ，) 的系数为零，可以得到一个代数方程组( 限于篇幅， 这里不详细列出。) 这样我们将a “= o 的求解问题转化为对该代数方程组的求解问题。 2 2c d 对的构造方法 一般情形下，在非线性偏微分方程精确求解的过程中，构造其c d 对的方法大致有两 种：一是直接法，即直接从方程本身出发，直接构造满足需要的c d 对；二是假设法，即 基于一定的需要，对于c ，d 对的构造提出一定的假设，在假设的基础上构造变换的d d 对。 这种方法目前很多，例如精确求解中的l “对、d a r b o u x 变换、p a j i l l e v 6 检验法、齐次平衡 法、相似约化等。运用这一思想，解决了一一类非线性系统的求解问题，使其在弹性力学、 电动力学、流体力学、量子力学和孤立子理论中得到了广泛的应用。尤其是在非线性系 统的求解中，运用数学机械化的方法，使得部分c d 对的构造得以机械化的实现，大大节 约了人的脑力劳动，丰富和发展了“a c = b d ”的内容。下面给出c d 对构造的方法，我们 通过具体例子来说明。 1 3 一类非线性发展方程精确解的构造方法 i 直接构造c 。d 对 1 代数法 定理2 3 【2 7 1 ：设吼j 【t ，j = 1 ，2 ，3 ) 是凸区域n 上的具有常系数的线性偏微分算子， n 1 1 a = ln 2 1 。 。1 2。1 3 、 0 2 20 2 3i 。3 23 3 斗：1 “3 l a 甜表示元素。巧的代数余子式，幻黾山3 ( j = 1 ，2 ，3 ) 和a 研的最大公园子，且a 巧2 e 嘞，山3 2 e 岛3 ( j ：1 ，2 ，3 ) ，其中n l l 与。1 2 互质，a 3 。和a 3 3 互质，则a u = o 的一般解可由 ( 州戮) 给出，其中与妒分别满足e = 。，訾妒= 。，川表示a 的行列式。 上述定理给出了直接构造c d 对的方法。具体地： g = ( = ( i 经计算可得 b l l b = i6 z - t 岛i 其中b 。j 是任意微分算子。易验证a c = b d 。 例1 平面应力问题【3 4 考虑方程如下 写成矩阵的形式为： a ：( 童 其中= 壤+ 露则如l = ，也2 5 由定理2 ，3 可知： o b 3 3 e f 2 3 岛 o 、如、 害妙一 一磋。，1 4 3 3 = 甓，e = 1 ，i a i = 2 a 2 一搿a j 4 ( 2 3 6 ) m m 却 噜像m 坠如堕曲涟 盔垄塑三盔堂堡主堂鱼堡塞 其中”满足2 w = o ，称 为a i r y 应力函数。 例2 三维弹性动力方程组 27 】 r 墙+ 扣谚量玳卜 肥i 墙岫x 一霹磊 l f 。1 ：o ； 露：谚+ 女，一p 辟” a 3 1 = 一磋：( 1 p 辞) ， a 3 2 = 砖。( k l 一p 曾) ， a 3 3 = ( h 一p 谚) ( 碳+ 瑶+ 七1 一p 钟) ， j a i = ( 七1 一p 霹) 2 ( ( 1 + 七1 ) 一p 毋) ， e = 1 一p 群 ( i ) = ( i ，辞一罨公一锑。+ h ，三霍乏一，群) ( 虽) ( 1 一p 学) ( ( 1 + 1 ) 一p 辞) 妒= o ( j ! ) = 雌。羔制) ( i ) ( h 一p 群) ( ( 1 + 1 ) 一p 辞) 妒= o 若令曲= 妒l + 妒2 ，则妒l ，如满足 ( 女l p 孝) 母1 = o ， 类非线性发展方程精确解的构造方法 ( 本段中的偏微分方程均假定为某个微分多项式环上的微分多项式。) 运用“a c ：b d ” 的思想，在微分伪带余除法的基础上，张鸿庆教授提出了基于“a c ：b d ”的微分情形的带 余除法，运用这种方法，对于一些偏微分方程，可以机械化的得到其c d 对，在文献【3 5 1 中 有相应的程序描述。 情况1 目标方程已知一对给定的偏微分方程a “= o ，目标方程已知为d u = o ，求变 换u = e 。 基本算法： i n p u t ：待解偏微分方程a u ：o ，目标方程d ：o 。 o u t p u t ：给定方程的c d 对。 步骤1 ：设变换的形式为u = e 口= ，( u ，) ； 步骤2 ：对算子a 用算子d 去除一作微分伪带余除法，即将“= 西= ，( ”，) 代入方 程4 ”= o ，得到一个关于 的偏微分方程，再用d ”去除a 函，可得到表达式：a e = 曰d + 矗； 步骤3 ：令余式r 中”及其偏导数的各项系数为o ，得到关于”及其偏导数的微分方程 组； 步骤4 ：求解上述的方程组，得到函数，的具体形式从而得到变换g ，且有a c = b d 成立。 例3 ：w h i t h a m b r o e r k a u p 浅水波方程 f 毪佃一玩 z = 0 l 凰+ ( 日t 。) 。+ n “一卢日；。：o 目标方程已知为 i h = 。h 一 z t = o ， a 为待定常数。 步骤1 ：设变换a 为 乱= ，( ，叫) ， = 9 ( 叫，叫z ，叫$ z ) 其中”