（应用数学专业论文）一类非共振椭圆型方程边值问题的研究.pdf

学位论文独创性声明 本人郑重声明： l 、坚持以“求实、创新一的科学精神从事研究工作。 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果。 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真 实的。 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它 机构已经发表或撰写过的研究成果。 5 、其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并 表示了谢意。 作者签名逸盗垄 日期： a 芝丝：厶：if 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京信息工程大学有关保留、使用学位论文的规定，学校 有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸 质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书 馆被查阅：有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索：有权将学位论 文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本规赢。 作者签名：乏壁霉至塾 j 日 期： 壶竺呈显：6 ：卫 中文摘要 微分方程解的研究在近几十年来已经成为一个很活跃的研究领域，因为微 分方程大部分是从实际问题中抽象建模而成的，所以研究微分方程的解有重要 的作用和基础性的意义。二阶非线性方程解的存在唯一性一直是研究的热点问 题。人们致力于用不同的方法，多个角度来尝试放松其求解的约束条件，以证 明解的存在唯一性。其研究方法有变分方法，微分同胚方法，算子半群方法等 等。本文中作者主要讨论了非共振椭圆型方程解的存在唯一性，而对椭圆型方 程的研究，离不开常微分方程的理论作为基础。论文的第一部分，推广了l a z c r 在【4 冲的结果，继续利用两个基本的抽象代数引理，运用二维傅立叶展开研究 一类非共振椭圆型方程解的唯一性。论文的第二部分，运用同胚理论，在较弱 的限制条件下考虑非共振椭圆型方程解的存在唯一性。 关键词：非线性椭圆型方程，傅立叶变换，双线性型引理，周期解，微分同胚 a b s t r a c t t h er e s e a r c ho ns o l u t i o n so fd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sh a sb e c o m ea v e r ya c t i v ea r e ai nr e c e n t l yd e c a d e s ，b e c a u s em o s td i f f e r e n t i a le q u a t i o n sc o m ef r o m t h er e a lp r o b l e m si nt h ea b s t r a c tm o d e l i n g i ti so fg r e a ti m p o r t a n c et o s t u d yt h e s o l u t i o n sf o rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h er e s e a r c ho nt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so f s e c o n d - o r d e rn o n l i n e a re q u a t i o n si sa l w a y ss op o p u l a r u s i n gd i f f e r e n tm e t h o d s ， p e o p l et r yt or e l a xt h ec o n d i t i o n sf o rt h eb i n d i n gt op r o v e t h e r ea r em a n ym e t h o d s t os t u d yt h i s ，s u c ha sv a r i a t i o n a lm e t h o d ，h o m e o m o r p h i s mm e t h o d ，s e m ig r o u po f o p e r a t o r se t c i nt h i st h e s i s ，w ed i s c u s st h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s sf o rt h es o l u t i o n o fan o n l i n e a re l l i p t i cs y s t e m t h es t u d yo ne l l i p t i ce q u a t i o nc a nn o tb es e p a r a t e d f r o mo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o nt h e o r ya st h eb a s i s f i r s t , w i t h2 - df o u r i e r t r a n s f o r m ，w ep r o v et h a tt h e r ec a nb ea tm o s to n es o l u t i o no fak i n do fe l l i p t i c e q u a t i o n sb ya p p l y i n gt w oe l e m e n t a r ya b s t r a c ta l g e b r a i cl e m m a s s e c o n d ，u n d e r s o m ew e a k e rr e s t r i c t i o n s ，w es t u d yt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s sf o rt h es o l u t i o no f t h es a m ee q u a t i o nb yh o m e o m o r p h i s mm e t h o d k e y w o r d s ：n o n l i n e a re l l i p t i cs y s t e m s ，f o u r i e rt r a n s f o r m ，al e m m ao nb i l i n e a rf o r m s ， p e t i o l es o l u t i o n ，d i f f e o m o r p h i s m 2 一类非共振椭圆型方程边值问题的研究 硕士论文 第一章绪论 1 1 问题背景和国内外研究进展 微分方程解的研究在近几十年来已经成为一个很活跃的研究领域，因为微分方程大部 分是从实际问题中抽象建模而成的，所以研究微分方程的解有重要的作用和基础性的意义。 目前，线性微分方程解的研究已经比较完善。由于非线性方程在许多领域都有着十分广泛 的应用，而在自然现象和科学技术的理论研究中存在着大量的非线性微分方程。这方面的 研究工作始终处于国际数学界的主流研究方向之上。以物理、力学、大气、海洋、生态等 众多科学领域中许多复杂问题为背景的动力系统，是当代数学的一个重要组成部分，它是 连接数学理论与实际应用的一座桥梁。这方面的工作一直非常活跃，研究和应用的领域日 渐扩大。 二阶非线性方程解的存在唯一性一直是研究的热点问题。人们致力于用不同的方法， 多个角度来尝试放松其求解的约束条件，以证明解的存在唯一性。d u f f i n g 型和l i 6 n a r d 型方程解的存在性问题因涉及领域广泛而备受人们关注，此类方程在大气科学中有着非常 广泛的应用。但是人们在研究实际问题时往往采取近似方法求解，这在一定程度上就产生 了偏差，所以先求证这类方程解的存在性以及对解存在的条件的了解就显得至关重要。 研究这类方程的方法通常有动力系统方法，代数方法，非线性分析方法等，而非线性 分析方法又包括变分与临界点理论，拓扑度同伦方法，上下解与单调迭代方法，不动点方法， 微分同胚方法等。 在过去的3 0 年里，国内外许多学者讨论了牛顿类( d u t i i n g 类) 运动方程及其衍生的 各类方程的初边值问题，这类方程解的存在性一直是一个研究热点。 1 9 6 9 年，l a z g r 和s a n c h e z l l 】运用b r o u w e r 不动点定理证明了牛顿方程 材”( r ) + v g ( u ( t ) ) = p ( t ) ( 1 ) 在以下条件( l ) 下存在2 丌周期解，这里g ：r ”_ r 有连续的二阶偏导数，p ：r ”寸r 是 3 一类非共振椭圆型方程边值问题的研究 硕士论文 连续的，2 万一周期的，这类方程表示质点受到守恒的内力和周期性外力作用。 正) 存在整数n 0 ，实数p n 和p n + l ，使得n 2 p n p n + l ( + 1 ) 2 和 p n l a 2 g ( a ) ，) p n + l l 对所有的a er 一成立。 d ”。0 u ， 但是，这个存在性定理的证明是基于d o l p h 2 1 的一个定理的轻微修改以及b r o u w e r 不 动点定理，并不能得到解的唯一性结论。l a 瑟r 【3 1 基于两个基本的抽象代数引理和傅立叶级 数的基本性质证明了满足以下条件( l ) 时，方程( 1 ) 的解是唯一存在的。 ( l ) 存在实常对称阵么，b ，使得彳( 霎堕竺) b v 材r u u u h j 且如果 九九和h 心心分别是么，b 的特征值，那么存在整数 0 0 ，七= 0 ，1 ，2 ，刀，满足条件m 2 九心 0 ；z z ，z 0h ( z ，z ) 0 ，则h 非退化，即如果对某个 w v ，h ( v ，w ) = 0 ，v v v ，则w = 0 。 证明如果y 是有限维的，那么证明和y 的基是关于日正交的情况下的存在性以及 s y l v e s t e r 的惯性定律是一样的，这里我们为了应用定义y 为无穷维的。 假设w v ，且对v v v ，h ( v ，w ) = 0 。因为v = x0z ，那么对于va x 和 vz z ，总有w = a + z 。因此根据日的双线性和对称性，有 0 = h ( w ，a z ) = h ( a + z ，a z ) = h ( a ，a ) - h ( a ，z ) + 日( 三，a ) - h ( z ，z ) = h ( a ，a ) 一日( z ，z ) ， 所以h ( a ，a ) = h ( z ，z ) 。 因为h ( a ，a ) 0 ，h ( z ，z ) 0 ，所以h ( a ，a ) = h ( z ，z ) 。那么根据引理的条件 a = z = 0 ，从而w = 0 。引理得证。 引理2 【3 1令x ，】，为实向量空间v 的两个子空间，v = x o y ，如果】，是有限维 7 一类非共振椭圆型方程边值问题的研究硕士论文 的，v 的子空间z 使得x 厂、z - o _ 且d i m r = d i m z ，则y = x o z 。 证明考虑线性变换序列 i j z 专y v x 。 这里f 是包含，是矿到商空间y x 上的标准射影。因为复合。f 的核是x n z = o ) ， 所以线性映射j o i 是1 1 的。但是由于v = x o y ，y 是有限维的，矿x 的维数= y 的 维数= z 的维数，所以j f 。i 也是映上的。令8 = ( j o f ) ，根据下列三角形的交换性 恒等变换 z z 它遵从了a b e l i a n 群的基本定理，于是有v = i 的象o p 。j 的核= z o x ，引理得证。 引理3 如果f ：dcr ”一r ”在区间【，引cd 内每一点都可导，每个分量函数 的导数厂，( c o + s ( g 一国) ) 在 o ，1 】a = x 于s 是可积的，那么 f ( ) 一f ( c o ) = f f ( + s ( 亭一) ) 办( 一c o ) 。 注： 国，g 】( 国， 鲰 p g t l ( 8 ) t ，彳( q 舢c o s p x e o s q y + b k gs i n p x c o s q y + c k ，p ，gc o s p x s i n q y + d k ，p ，gs i n p x s i n q y ) ( 9 ) 函数列石以及由( 9 ) 式逐项偏导所得的函数列在q 上一致收敛。 3 y 卢( 五y ) = & ( x ，y ) 瓦， g k ( x ，y ) = 6 m ( q 属gc o s p x c o s q y + b k 属gs i n p x c o s q y ( 1 0 ) + c k ，p ，g c o s p x s i n q y + d k ，j p 。口s i n p x s i n q y ) 。( 1 1 ) 因为一p 2 - q 2 以，显然有矿= x0 y 。 。 v 一 叩 一类非共振椭圆型方程边值问题的研究硕士论文 如果v 矿，有v ( x ，) ，) ；窆 一b k 。因为 是二阶可微函数， 由f b u r i e r 级数理论可得 - - 工( x ，y ) + g ( x ，力。 其中五和g k 分别由( 9 ) ( 1 1 ) 唯一决定。 我们如下定义矿上的实双线性对称型h ： 若u 矿，v v ， h ( u ，) = f f ( + + 岫毋， ( 1 2 ) 掣靠出卵甜 则日在盖上负定。 事实上，令ae 并，由( 1 2 ) 式， h ( a ，a ) = ( + - i - ) a x d y =矗盘卵印 sf f ( + + ) d x d y 。( 1 3 ) s 掣水面面 + + 如 m 3 若a 由( 8 ) 表示，由( 7 ) ，( 9 ) 及定理l ， 小 + + ) a x a y u a k x a y 一一 + + 融7 缸 印旁 识( x ，y ) ) 2 蛐+ ( 七= 1n 识( x ，y ) ) 2 出咖 + “胍2 ( 五y ) a x d y f = - n 口2n 一，z _ q 心 = 等( p 2 + 9 2 ) 。2 + 也彳+ c k , p , q 2 + 以以。2 ) 5 2 m t k = l p 4 = 1 了t ( 2 - p 2 己- q z l ( q ，z + 以p , q 2 + c 2 + 或以。2 ) 以，】 t p 。q = l 1 2 b 盯c： 。问 = + 2 o0q 2 0矗 2 石 r l肛 。阔 + 一类非共振椭圆型方程边值问题的研究 硕士论文 石 4 h p 2 _ q 2 a k yy 厶厶 k = l p ，q = l + 0 k = l ( p 2 + 9 2 + 以) 奴o + o + 靠o + 喀, p , q 2 ) 艿2 m q z 2 2 q o ，0 2 这是因为显然有p 2 + 9 2 + 心 0 且心 0 ，所以可知h ( a ，a ) 0 ，va x ，a 0 。 即日在x 上负定。 另外，定义矿的另一个子空间z ： i l l z z z ( x ，y ) = 魂( x ，y ) 瓦， k = l p 2 _ q 2 h k ( x ，y ) = 以g ( 口。c o s p x c o s q y + b k , p , qs i n p x c o s q y p ，宁= i ( 1 4 ) + c i ，坷c o s p x s i n q y + d , , p , q s i n p x s i n q y ) 。 ( 1 5 ) 其中a k 由( 6 ) 定义。则日在z 上正定。 事实上，令z 表示为( 1 4 ) 的形式，由( 1 2 ) ( 3 ) ( 6 ) 和( 1 5 ) 式，得 嘶，。g c 蚴 j c + + 边方 庀2 4 戤( x ，y ) h _ p 2 _ q 2 ( 厶 yy ，一j ，一 k = l p ，q = 1 ) 2 a x + 壹( k = lq 巩( x ，y ) ) 2 a x d y +九职2 ( w ) 蛐 k = l q ( p 2 + 9 2 + 九) ( 口。彳“。o + c i 彳+ d k , p , q 2 ) 6 ”m 1 3 爪n 。h = 一类非共振椭圆型方程边值问题的研究硕士论文 这是因为显然有p 2 + 9 2 + 九 o ，所以可知日在z 上正定。 由于日在x 上负定，h 在z 上正定，可知xn z = 0 ) 。比较( 1 0 ) 、( 1 1 ) 和( 1 4 ) ( 1 5 ) 式，我们有 d i m y = d i m z 。 则由v = x0 】，并应用引理2 ，得v = x0 z 。由引理1 得，若n ( v ，= 0 ，v 1 ，v ， 则w = 0 。 下面继续完成定理2 的证明。 设w v 满足方程( 5 ) ，v v v ，则 ( + ) d x d y = o 。 n 由格林公式，可知 h ( v ，w ) = j ( + + ) d x d y ：o 。 g 劣戗 砂砂 由于v 的任意性，所以由引理1 可知w ( x ，y ) = 0 ，x ，y ( 0 ，石) ( 0 ，7 r ) ，证明完毕。 定理3 令g c 2 ( 尺”，r ) ，如果存在两个常数对称矩阵么和b ，满足定理2 的条件 使得对于所有的u r “，有 彳( 堕燮) b ， 优f 。掰， 则( 1 ) 至多存在一个解。 证明 设识和屯分别是( 1 ) 的解， g r a d g ( “) ：f 要，兽1 ：f ) ，则有 l o u 。 f ( z ，) ：擘掣) ，f ，：1 ，胛。 o u i 咖； 由引理3 可知 1 4 一类非共振椭圆型方程边值问题的研究硕士论文 即 这里 f ( 唬) 一f ( c k 2 ) = 【f 。( 欢+ s ( 如一九) ) a s ( 蛾一也) ， g r a d g ( d a ) 一g r a d g ( d ? ：) = q ( x ，y ) ( 咖一九) ， 鼬y ) = ? 1 瓦0 2 g ( 晚+ j ( 旃一蝴出 显然有a q ( x ，y ) b ，工，y ( 0 ，万) ( 0 ，7 r ) 。 令w = 破一晚，则w 是方程( 5 ) 的解，由定理2 ，w = 0 ，即证。 一类非共振椭圆型方程边值问题的研究 硕士论文 3 1 引言 第三章非共振椭圆型方程周期解的研究 在第二章的定理3 中，作者证明了方程( 1 ) 至少存在一个解，也就是说只解决了解的 唯一性，没有得到存在性的结论。第二章是把l a z c r 在【4 】中的结果推广而来的。但是按照 近年来的新发展，在一定的条件下，是可以获得存在性的结论。近年来，涌现了一些新成 果，这使得我们在较弱的限制条件下考虑牛顿方程 甜”o ) + v g ( “o ) ) = p o ) 的周期解的存在唯一性成为可能，如沈祖和1 0 1 进一步推广前人的成果。本文的工作就是把 【1 0 】中的结论扩充到椭圆型方程领域。 本文研究以下边值问题： f 甜+ v g ( u ) = p ( x ，y )( x ，y ) q = ( o ，2 n ) x ( o ，2 7 v ) ， 材( x ，o ) = u ( x ，2 z ) ，a ( 工，o ) 缸= 锄( x ，2 z r ) &v x ( o ，2 z ) ， i u ( o ，少) = 材( 2 7 r ，y ) ，抛( o ，y ) 砂= 0 u ( 2 z ，y ) a yv y ( o ，2 z ) 其中l a p l a c e 算子= a 2 苏2 + a 2 e y 2 ：d ( a ) c ( r ( q ) ) ”专( r ( q ) ) “，g c 2 ( r ”，r ) 且v g ( o ) = 0 ，p c ( a ，r ”) 。 3 2 预备知识 记x = l n 2 ( q ) = u i “：q 专r ”，”( 工，y ) = ( ( x ，y ) ) 。，( 工，少) r ( q ) 。 定义内积：对v u ，v x ， 1 6 一类非共振椭圆型方程边值问题的研究 硕士论文 ( ) = d x d y = 兰肌( w n ( x ，y ) a x d y ， q i = l q 范数恻l = 厕，则z 为删6 e 玎空间。 设d ( 三) = “xj o 甜l ，锄砂在q 上绝对连续 ( o ，y ) = u , ( 2 r c ，y ) ，晏辑( o ，y ) = 晏( 2 石，y ) ，砂( o ，2 石) 卵卯 “，( x ，o ) = ( x ，2 7 r ) ，l 当u ，( x ，o ) = l 当u ，( x ，2 石) ，v x ( o ，2 丌) f ：1 ，2 9 * t g n ) 。 o x僦 线性算子l ：d ( 三) jx 由l u = - a u 定义，则三在d ( l ) 上是稠定的自伴算子。事实 上，对v u ，v d ( 三) 有 ( l u ，v ) = = ( 一窘一雾，v = ( 一等，v r r a 2 “ + ( 一雾q 、v 一喜鹰v 姗，= lnu = 喜黠铷+ 壹i = 1 岿+ 和 和一喜扩，和 =兰i=l咖十鲁一鲁蚴fl t j y l “ = 虹等一矿0 2 v 芦 1 7 助 v 如 一 爪n 砂 幽 q 盟妒 c： 。闽 一 肛q 。问 一 = 一类非共振椭圆型方程边值问题的研究 硕士论文 = j ( “，- a 恤a y q = ( “，l v ) 可知l 的特征值为p 2 + 9 2 ，p ，q n 。 定义图范数l i ：x r ： l l u l l l = l u l l + l l u l l = i l u l + 1 1 一a u l i 则d ( l ) 在图范数下是b 口门口c 办空间。因图范数等价于s o b o l e v 范数，所以根据s o b o l e v 嵌 入定理，d ( ) 可以紧嵌入c ：( q ) ，其中 c ：( q ) = 趣 r - r ”k 在q 上有连续的一阶偏导数 。 本章在b a n a c h 空间考虑以下问题。 引理( h a d a m a r d l e v y 定理) 设x 和yb a n a c h 空间，假设f ：d 互x _ y 是连 续可微的，且对于溉d ，有f ( x ) 非奇异，i i f ( x ) 一1 ( 例f ) ，其中，c o ( t ) ：r + j 天+ 是连续的，且f i d 两t = o 。，则，是。到】，上的全局同胚a 3 3 主要结论 由于g ( u ) 有连续的二阶偏导数，设y ， ) ，y ：( 材) ，九 ) 是( 罢掣) 在“r 一的特 o u ，咖， 征值。4 - q ( “) ：掣) ，q ) 对v “r 一为对称矩阵。 o u j o u ， 假设存在两个 x 玎实常对称矩阵a ，b ，使得 么( 掣) 召， 、乱i 钿j 4 l 并且彳和b 各有特征值九九九和p l 肛2 心， 使得 1 8 一类非共振椭圆型方程边值问题的研究硕士论文 ( 拟叫州驴g v u e r n , 这是非共振条件，记为条件( 厶) 。其中，o - ( l ) - - p 2 + 9 2 ：p ，q n ) 。 条件( z o ) 表明了对每一个七，1 七刀，都存在整数段，以，使得 f ( 见，吼) 丸, u k f ( 见+ 1 ，q k + 1 ) 其中， f ( 所，吼) = p 2 + q k 2 ，z ( p i + 1 ，吼+ 1 ) = ( 鼽+ 1 ) 2 + ( 吼+ 1 ) 2 。 定理1 假设存在整数p k ，吼，1 k 行，使得对于v u r ”，有 f ( 仇，q k ) y 女( ”) f ( p t + l ，q 女+ 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 6 0 帅= r a 删i n 陋m i n 。( 7 。( v ) 一f ( 见，吼) ，f ( 以+ 1 ，”1 ) 吨( ，) ) ) ， 且有 j c o 占。渺= o 。 ( 4 ) i 甜+ v g ( ”) = p ( x ，y )( x ，y ) q = ( o ，2 z r ) x ( o ，2 r e ) ， u ( x ，o ) = u ( x ，2 庀) ，o u ( x ，o ) 苏= 锄( x ，2 1 r ) 叙v x ( o ，2 万) ， 【u ( o ，y ) = u ( 2 7 r ，少) ，a u ( o ，y ) 砂= o u ( 2 r c ，y ) 砂 v y ( o ，2 1 r ) 显然舰在d ( 三) 上连续可微，且 ) ：一掣) ，则有 o u o u 。 1 9 一类非共振椭圊型方程边值问韪的研究 硕士论文 现考虑特征值问题 l u + q u = a , u ( 5 ) a 由于仃( ) = 卜p 2 一q 2 ：p ，g n ，可知l 的特征值为p 2 + 9 2 ，p ，g n 。显然 a = p 2 + 茸2 + y l ( “) ， 由于( 3 ) ，可知零不是( 5 ) 的特征值，所以对于所有的“d ( 三) ，算子l + q 在j 上 可逆。 根据谱理论阱1 ，0 ( 三+ q ) _ 10 = d ( o ，盯( 三+ q ) ) ， 这里c r ( l + q ) 为上+ q 的谱。d ( o ，仃) 指从o 到石的距离，那么 肛+ q ) 一1 1 | 嬲( h ( 扯) 一f ( p k 以) ，f ( p k + 1 ，吼+ 1 ) 一“( ) ) _ 1 ， 可知 l i t l - n 。( “) - 1 1 - 8 ( i 甜旷。 夸o , ( 1 1 “1 1 ) = 6 ( 1 蚓1 ) ，则有| | 三一( “) - 1 i l ( 恻1 ) 。由于f 5 ( s ) 出= ，可知 md t i = ， 南国( n 所以根据h a d a m a r d - l e v y 定理，工一是从d ( l 1 到x 上的全局同胚。所以对每个 p x ，边值问题存在唯一的解。 定理2 假设g ：r ”一r 有连续的二阶偏导数，且满足条件( 厶) ，则定理1 得证 证明由条件( 厶) 和( 2 ) ，砜m ，州雌( 鬻m 醐”的特征 值，我们有 f ( 既，q i ) 以h ( “) sj u 女 z ( p k + l ，g i + 1 ) 一类非共振椭圆型方程边值问题的研究硕士论文 从而可知 6 0 i “1 1 ) n 血( 九- t - ( p 。，吼) ，f ( p 。+ l ，q 。+ 1 ) 一。) 。 所以( 3 ) 和( 4 ) 都满足，从而定理1 得证。 2 1 一类非共振椭圆型方程边值问题的研究 硕士论文 第四章总结 4 1 工作的意义和创新之处 论文的主要结论如f ： ( 1 ) 论文第二章研究了如下问题解的唯一性： f z l u + v g ( u ) = p ( x ，y ) ( x ，y ) q = ( 0 ，疗) x ( o ，t ) 【u ( x ，) ，) = 0( x ，y ) 弛， 其中l a p l a c e 算子 = a 2 舐2 + a 2 a y 2 ：d ( a ) c ( r ( q ) ) ”一( r ( q ) ) ”，g c 2 ( r ”，r ) 且v g ( o ) = 0 ，p c ( f i ，r ”) 。l a z e r 4 1 基于两个基本的抽象代数引理和一维傅立叶展开 证明了满足一定条件时常微分方程材f ) + v g ( f ) ) = p ( f ) 的解的唯一性。作者推广了 l a z e r 在【4 】中的结果，继续利用两个基本的抽象代数引理，运用二维傅立叶展开研究一类 非共振椭圆型方程解的唯一性。 ( 2 ) 论文第三章，运用同胚理论，在较弱的限制条件下考虑以下非共振椭圆型方程 f 掰+ v g ( 材) = p ( x ，y ) ( x ，力q = ( o ，d r ) x ( 0 ，2 z r ) ， ”( x ，0 ) = u ( x ，2 万) ，o u ( x ，0 ) 叙= a “( x ，2 z ) & v x ( o ，2 7 r ) ， l u ( o ，夕) = u ( 2 z r ，y ) ，如( o ，y ) o y = 0 u ( 2 z ，y ) 砂 v y ( o ，2 乃) 周期解的存在唯一性。 4 2 未来研究的设想 本文运用了不同的方法，尝试证明非共振椭圆型方程解的存在唯一性，使得常微分方 程中的理论得以向椭圆型方程领域扩展。本文所做的只是初步的工作，认识还很粗浅，但 一类非共振椭圆型方程边值问题的研究 硕士论文 是本文确实对于今后的研究工作起到了基础性工作。在未来的研究中，希望可以从数值计 算的角度，利用计算机语言，实现数值求解，进而可以更清楚的说明在实际问题的应用。 一类非共振椭圆型方程边值问题的研究硕士论文 参考文献 【1 】l a z e rac ，s a n c h e zd a o n p e r i o d i c a l l yp e r t u r b e dc o n s e r v a t i v es y s t e m s j m i c h i g a nm a t h j ，1 9 6 9 ，1 6 ：1 9 3 - 2 0 0 【2 】d o l p hc l n o n l i n e a ri n t e g r a le q u a t i o n si f t h eh a m m e r s t e i nt y p e j a m e rm a t h s o c ，1 9 4 9 ， 6 6 ：2 8 9 3 0 7 【3 】l a z e rac a p p l i c a t i o no fal e m m a o nb i l i n e a rf o r m st oa p r o b l e mi nn o n l i n e a ro s c i l l a t i o n s j p r o c a m e r m a t h s o c 。，1 9 7 2 ，3 3 ( 1 ) ：8 9 9 4 【4 】a h m a ds a ne x i s t e n c et h e o r e mf o rp e r i o d i c a l l yp e r t u r b e dc o n s e r v a t i v es y s t e m s j m i c h m a t h j ，1 9 7 3 ，2 0 ：3 8 5 - 3 9 2 5 】l e a c hd c o np o i n c a r 6 sp e r t u r b a t i o nt h e o r e ma n dat h e o r e mo fw s l o u d j d i f f e q n s ， 1 9 7 0 7 ：3 4 - 5 3 6 】k a n s a s 凡l o c k e rj o nac l a s so fn o n l i n e a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m j d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ，1 9 7 7 ，2 6 ( 1 ) ：1 - 8 【7 】b r o w nkj ，l i nss p e r i o d i c a l l yp e r t u r b e dc o n s e r v a t i v es y s t e m sa n dag l o b a li n v e r s e f u n c t i o nt h e o r e m j n o n l i n e a r a n a l y s i s ，1 9 8 0 ，4 ( 1 ) ：1 9 3 - 2 0 1 8 】p l a s t o c kr h o m e o m o r p h i s m sb e t w e e nb a n a c hs p a c e s j t r a n s a m e r m a t h s o e ，19 7 4 ，2 0 0 ： 1 6 9 18 3 【9 】m a r i u sr a d u l e s c u , s o r i nr a d u l e s c u g l o b a li n v e r s i o nt h e o r e m sa n da p p l i c a t i o n s t o d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s j n o n l i n e a ra n a l y s i s ，19 8 0 ，4 ( 4 ) ：9 51 9 6 5 【1 0 】s h e nz u h e o nt h ep e r i o d i cs o l u t i o nt ot h en e w t o n i a ne q u a t i o no fm o t i o n j n o n l i n e a r a n a l y s i s ，1 9 8 9 ，1 3 ( 2 ) ：1 4 5 - 1 5 0 【i1 】s h e nz u h e ，w o l f ema o nt h ee x i s t e n c eo fp e r i o d i cs o l u t i o n so fp e r i o d i c a l l yp e r t u r b e d c o n s e r v a t i v es y s t e m s j 。j o u r n a lo fm a t h e m a t i c a la n a l y s i sa n da p p l i c a t i o n s ，1 9 9 0 ，1 5 3 ( 1 ) ： 7 8 - 8 3 1 2 】w ug u a n g r o n g , h u n gw e n h u a , s h e nz u h e o nam i n - m a xt h e o r e m j a p p lm a t hj c u ， 1 9 9 7 ，1 2 b ( 3 ) ：2 9 3 - 2 9 8 2 4 13 l a z e rac ，l a n d e s m a nem ，m e y e r sdr o ns a d d l ep o i n tp r o b l e m si nt h ec a l c u l u so f v a r i a t i o n s ，t h er i t za l g o r i t h ma n dm o l l o t o n ec o n v e r g e n c e j ，jm a t ha n a la p p l ，1 9 7 5 ，5 2 ( 2 ) ： 5 9 4 6 1 4 【1 4 】m a w h i nj - c o n t r a c t i v em a p p i n g sa n d p e r i o d i c a l l yp e r t u r b e dc o n s e r v a t i v es y s t e m sma 地 m a t h 0 3 t o o ) ，1 9 7 6 ，1 2 ：6 7 - 7 4 1 5 】b a t e spw h i l b e r ts p a c em e t h o d sf o rn o n l i n e a r e l l i p t i ce q u a t i o n s j j o 啪a io f d i f f e r e n