（应用数学专业论文）一类非线性退化方程的最优控制问题.pdf

摘要 本文研究一类由非线性退化抛物方程 ( 警= ( 删广一 支配系统的最优控制的存在性及稳定性。供中( ) 20 我们只考虑 单点退化的情形，即存在唯一的可，使得( ) = m 广一 在渗流理论，生物化学以及生物群体动力学等领域都提出这类方 程与线性方程和不具退化性的拟线性方程相比，这类方程更能反映某 些物理实际，因此研究由这类方程支配系统的最优控制问题更具有现实 意义 利用抛物正则化方法，我们首先研究了非退化系统 倍：州础) ) 卜r ， 最优控制的存在性，供中 九( s ) = ( 厶+ ) ( s ) 一( 厶+ ) ( o ) + i ， 而厶是r 上的软化子j 利用d eg i o r g i n a s h 技巧，对正则化问题 的解可以得到一些一致估计，利用紧性，通过一个逼近过程我们得到了 退化系统最优控制的存在性 最后，通过对伴随方程解的估计，利用h o l m g r e n 方法，我们证明 了系统最优控制的稳定性 关键词存在性，m a l t h u s i a n 规则，最优控制，稳定性 a b s t r a c t i n t h i sp a p e r ，w ed i s c u s st h ee x i s t e n c ea n ds t a b i l i t yo fo p t i m a l c o n t r o lp r o b l e mg o v e r n e db yac l a s so fn o n l i n e a rd e g e n e r a t ep a r a b o l i c e q u a t i o n s o _ 矾y = ( 妒( y ) ) + u 玑 w h e r e ( ) 0 w ec o n s i d e ro n l yo n ep o i n to fd e g e n e r a c y ，n a m e l y t h e r ee x i s t so n l yo n ep o i n tys u c ht h a t ( ) = 0 t h i se q u a t i o ni s s u g g e s t e da sm a t h e m a t i c a lm o d e l so fp h y s i c a l p r o b l e m si nm a n yf i e l d s ，s u c ha sf i l t r a t i o n ，b i o c h e m i s t r y a n dd y n a m i c so fb i o l o g i c a lg r o u p s c o m p a r i n gt ol i n e a re q u t i o n sa n dq u a s i l i n e a r e q u a t i o n sw i t h o u td e g e n e r a c y ，s u c he q u a t i o n s ，t oa c e r t a i ne x t e n t ，r e f l e c t e v e nm o r ee x a c t l yt h ep h y s i c a lr e a l i t y t h e r e f o r e ，s t u d y i n gt h eo p t i m a l c o n t r o lp r o b l e mo fs u c he q u a t i o ni sm o r ei m p o r t a n tf o rp r a c t i c a lu s e u s i n gt h em e t h o do fp a r a b o l i cr e g u l a r i z a t i o n ，w ef i r s ts t u d yt h e e x i s t e n c eo ft h eo p t i m a lc o n t r o lo fn o n d e g e n e r a t es y s t e m sg o v e r n e db y o m y = ( 如( ) ) + u y ， w h e r e 毋。( s ) = ( 厶+ ) ( s ) 一( 厶+ ) ( o ) + i ， a n d 厶i sm o l l i f y i n gs e q u e n c ei nr b yd eg i o r g i n a s h st e c h n i q u e ， w eo b t a i ns o m eu n i f o r m l ye s t i m a t e so fs o l u t i o n so fr e g u l a r i z i n gp r o b l e m ，f r o mc o m p a c t n e s s ，w ep r o v et h ee x i s t e n c eo f t h eo p t i m a lc o n t r o lo f d e g e n e r a t es y s t e mb y aa p p r o x i m a t ea p p r o a c h f i n a l l y ，b a s i n go nt h ee s t i m a t e so fs o l u t i o n s o ft h e c o n j u g a t e e q u t i o i n s ，w ep r o v et h es t a b i l i t yo ft h es y s t e m sb yv i r t u eo fh o l m g r e n a p p r o a c h k e y w o r de x i s t e n c e ，m a l t h u s i a nl a w ，o p t i m a lc o n t r o l ，s t a b i l i t y 独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论 文中不包含其他人已经发表的研究成果，也不包含他人为获得东北师 范大学或其它教学机构的学位或证书而取得的研究成果。与我一同工 作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表 示谢意。 签名：銎坠渣蚂日期：至! 坚生曼基! ! ! 关于论文使用授权的说明 本人了解并遵守东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定， 即：学校有权保留、向国家有关部门送交学位论文的复印件，允许论 文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影 印、缩印或其它复制手段保存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 作者签名： 曰期： 指导教师签名：窒盔 日期： 目丝盆 1 引言 在这篇文章中，我们考虑一类由非线性扩散方程 瓦o y = ( 咖( ) ) + u ， ( z ，t ) = 0 ， ”( z ，0 ) = o ( z ) ， 于q t 于r ， 于q ， ( 1 1 ) ( 1 2 ) ( 1 3 ) 支配系统的最优控制问题，其中( ) 0 ，q l t = q ( 0 ，t ) ，qc r “ 是边界适当光滑的有界区域，r = a q ( 0 ，t ) ，t 0 是给定常数 u 是我们加在系统上的控制量 非线性扩散方程是一类重要的抛物型方程，它描述了自然界广泛存 在的扩散现象例如在渗流理论，相变理论，生物化学以及生物群体动 力学等领域都提出这类方程在许多情形下，所提出的方程具有退化性 或其他奇异性，这类方程比线性方程和不具退化性或其它奇异性的拟线 性方程更能反映某些物理实际，例如扰动传播的有限性等因此考虑由 这类方程支配系统的最优控制问题更具有现实意义( 见专著【4 1 ) 我们先简单介绍一下非线性扩散模型，以生物群体动力学中单个种 群的扩散同题为例 在生物群体动力学中，方程( 1 1 ) 被用来描述生物群体的空间扩 散事实上，生物种群扩散的典型方程为 轨+ d i v p + g ( z ，t ，y ) = 0 ，( 1 4 ) 其中户表示种群的扩散速度，( 茹，t ) 表示种群分布的密度，g ( x ，t ，y ) 表示提供种群数量供应的“源”，它一般是与增长率，死亡率或其它因 素相关的非线性函数由d a r c y 定律， p = 一( z ，t ，y ，v y ) v y ，( 1 5 ) 其中k ( x ，t ，y ，v y ) 称为扩散系数 如果种群的分布是均匀的，则扩散系数k ( x ，t ，y ，v y ) = 0 这时种 群密度就和空间变量无关，而只和时间变量有关，相应的方程( 1 4 ) 变 为常微分方程 如果扩散系数k ( x ，t ，y ，v y ) 三1 ，即种群的扩散速度与种群的密度 大小无关，则( 1 4 ) 化为方程 y t a y + g ( x ，t ，y ) = 0 对于这类半线性抛物方程支配系统的最优控制问题，已经有大量的文献 ( 见【5 】一f 7 】，【1 5 卜 1 7 1 ，及所列文献) 如果扩散系数和种群密度的变化率有关。例如( z ，t ，”，v y ) = j v y l p _ 2 2 ) ，这时( 1 4 ) 化为含非线性源的p l a p l a c e 方程 y t d i v ( v y p - 2 v y ) + g ( x ，t ，y ) = 0 对于由p l a p l a c e 方程支配系统的最优控制问题参见文献【8 】- 【9 】 g u r t i n 和m a c c a m y 在1 中研究了允许迁徙的种群扩散方程在 他们的模型中，非线性项妒刻画了一种拥挤效应，即个体易于从种群 密度高的地区迁往种群密度低的地区他们选取的扩散项和反应项分别 是( ) = s i g n y ，m 1 ，g ( x ，t ，y ) = p y ，其中p 是某个常数，此时 扩散系数只与种群的密度有关他们研究了如下c a u c h y 问题 瓦o y = a ( 1 y m s i g n y ) + p 9 ( z ，0 ) = y o ( x ) ， 其中y o ( x ) 是给定的非负的函数 于q ( 0 ，+ o o ) 于q ， 选取g ( z ，t ，y ) = p ，p 0 ，相应于种群增长的m a l t h u s i a n 规则， 即种群的增长速度是与种群的密度成正比的a r o n s o n 和p e l e t i e r 在 2 【2 】中研究了如下方程的初边值问题 0 _ a y t = a y + p ， ( z ，) q ( o ，+ 。) 并且得到下面的结果： 当出生率占主导地位，即p 0 时，有 l ( z ，) 一，( z ；p ) i 茎c ，( z ，“) e 一( p 7 h ，于豆【0 ，+ ) 其中7 = v ( m 一1 ) ，是由下述方程确定的非平凡的非负解 ，“+ ，y ，= 0 ， ，( z ) = 0 ， 于q ， 于独 也就是说，当t - 4 + 时，人口分布的密度不会趋向无穷，而是稳定于 某一非零的平衡状态 而当死亡率占主导地位，即肛 0 ，其中p o 是在 给定条件下，环境可承受的最大种群密度相应于种群增长的v e r h u l s t 规则，如果y p o ，那么g ( z ，t ，”) 0 是一个固定的常数 假设种群的生活区域为qcr ，状态量满足边界条件： y ( x ，t ) = 0 ， 于r ， 这相当于在种群生活的区域的边界处，种群的蜜度为零 考虑如下的目标泛涵 j u ) 5 他，。；札) 一a ( z ，。) 陋4 2 ， ( 1 7 ) 其中a ( x ，t ) l 2 ( q t ) 是给定的函数 我们希望找到适当的控制量，使得二次泛函t ，( u ) 达到最小值如 果方程描述的是人1 3 扩散的模型，a ( x ，t ) 表示符合社会发展要求的人 口密度，那么我们的目的就是使方程描述的状态量最接近所期望的人口 密度于是我们的最优控制问题为：寻找一个缸u ，使得 t ，( = i n f j ( u ) l u u ) ( 1 8 ) 满足( 1 8 ) 的允许控制u 称为同题( l 1 ) - ( 1 3 ) 的最优控制，相应的状态 y ( x ，t ) = ( z ，出u ) 称为最优状态，( y ，u ) 称为最优对 已经有许多文章讨论了由半线性及拟线性一致抛物方程支配系统 的最优控制问题，据我们所知，仅有少量的文章研究了由拟线性退化 抛物方程支配系统的最优控制问题然而正如前文所提及的，由于方程 ( 1 1 ) 的解具有扰动传播速度有限的性质，这在刻画许多实际问题时， 更接近客观事实 本文讨论了由非线性扩散方程( 1 1 ) 支配系统的最优控制我们得 到了最优控制的存在性，并且证明了当控制量出现小的扰动时，相应的 状态量不会有大的变化，即系统的稳定性 本文是这样安排的由于方程( 1 1 ) 的退化性，我们首先在2 中讨 论相应的正则化问题，并对正则化方程的解得到一致估计在3 中， 我们讨论了逼近问题的最优控制，并证明了问题( 1 1 ) 一( 1 3 ) 支配系统的 最优控制的存在性最后在4 中。我们给出了系统稳定性的证明 4 2 扰动系统 2 1 问题的提出 在这一节里，我们讨论退化扩散系统最优控制的存在性首先引进 下列记号： k ( q t ) = l o o ( o ，丁；l 2 ( q ) ) nl 2 ( o ，t ；h 1 ( q ) ) ， 也( q r ) = l o 。( o ，丁；l 2 ( q ) ) nl 2 ( o ，t ；h o ( q ) ) ， i l y l i u ( q r ) 28 舳。 0 ，i s l m ，m 0 ， ( s ) p 2 ) 0 ，l s i 6 ，占 0 ( h 2 ) y o l ”( n ) 2 2 扰动系统解的存在唯一性 我们来讨论下面的扰动系统 祟：( 。( ) ) + u 珧 一”“一。 y ( x ，t ) = 0 ， ( z ，0 ) = ! 0 ( z ) ， 6 于q r 于r ， 于q ， ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) 其中 咖。( s ) = ( 厶+ 咖) ( s ) 一( 矗t 庐) ( o ) + i 这里厶是定义在r 上的软化子显然 妒n g 。( 兄) ，n ( o ) = o ，is 咖：( s ) o 的情 形，可参见文献f 1 4 1 引理2 设y n ( n = 0 ，l ，2 ，) 为满足下列循环不等式的正数序列 y 。+ 1 c b ”疋+ o ， 其中c 0 ，b 1 ，o l 0 如果 y o c - i n b 一1 ”， 7 则当他斗。o 时，蜘_ 0 此引理可直接用归纳法证明 引理3 如果u 和y o 适当光滑，且( ，) 一( 凰) 满足，则存在与礼 无关的常数c 一，使得问题( 2 3 ) 一( 2 5 ) 的解满足 f f ( 鲰一七1 ) + 忆，( 口，) c l ， 其中k l = i i 蜘 i 肿( n ) 证明 为简单起见，记y = y 。，用p ( y 一岛) + ( p _ 1 去乘方程( 2 3 ) 的两端，并在q ，= qx ( 0 ，t ) ，r ( o ，t 】上积分得 厶，妄( 一k ) 却如出+ 乞，p ( ) v y v ( y - k 1 ) 帕一，出出 = 厶，舢( 岫) 如q 乜出 名；z ，r ) k 1 ) + 9 d x ，半厶，i v ( ! ，一h ) + 1 2 d z 出 j f 名，r ( 川1 ) + 蚴+ 石，酬”一和叫 e r 。厶，( y - k 1 ) 却如出+ c ” 五o ( 。，丁) 一h ) + p 出g 上7 正b h ) 押如出+ c j 女 i ( k - 丝k 1 ) p ， ( 2 6 ) n k 1 ) + 雌詈 七 o ， j n 女) i 南i b k 1 ( t 。+ 1 ) c o m ( k 2 ) 南；m i n 互1 ，p 2 ( h ) ) ( 2 7 ) 籀k 二+ 恐篡o t - t - 揪 拟x,t-旷k+。2dx+缎旷-矿)=i 七2 ，k = ( 2 一击) ，k = m ( h 。) ，( 仇= o ，l ，2 ，) 在( 2 8 ) 式中，令k = h 。，h = h 。+ 1 ，得到 i m + 1s b 1 b 蛩i 譬b 警中b - 2 ( 1 6 四g ) 学，b 2 = 4 学，6 = 1 一( 1 一；) ( 学) o ；由引理2 知，如果 肘( ) 口r 1 加巧1 7 铲 ( 2 9 1 1 0 一俨小w 咖印 一 一 0 ，使得m ，于是 8 ( u ( 。，t ) ) 0 注意l 口( z ) l 2 风( z ) ，因此 厶，i v ”1 2 蚴5 g 其中c 与r t ，i t 无关 由命题2 1 ，2 2 我们可得到问题( 2 3 ) 一( 2 5 ) 解的存在唯一性 定理2 3 如果条件( 日1 ) 一( h 2 ) 成立，那么对任意的“u ，问题 ( 2 3 ) 一( 2 5 ) 存在唯一解y ( x ，t ) = y ( x ，t ；z t ) c ( q t ) nl o 。( q r ) 证明首先证明存在性 对任意的u u 及y o l o 。( q ) 存在光滑的函数列 u 及 y o k ， 使得 熙慨一u | | l 2 ( q r ) - 0熙一y o l l l 2 ( n ) 2 0 对给定的u k 和y o 女我们知道问题( 2 3 ) 一( 2 5 ) 存在唯一一个古典解 y k ( x ，t ) = p ( z ，；u 女) ，由命题2 1 及命题2 2 ， i i 挑扛，洲脾( q t ) c ， ( 2 1 1 ) f l v 咖。( 鲰( 。，t ) ) i i l ( q ，) c ( 2 1 2 ) 利用文献【1 0 】中定理1 1 知，讯= “( g 女) 在q t 的任一紧子集上 是等度连续的由咖。( s ) 的定义及估计式( 2 1 1 ) ，易知啦在q t 上是一 致有界的于是由a r z e l a a s c o l i 定理知，存在子序列岛0 0 和函 数f 7 ，y c ( q t ) n l o o ( q t ) ，使得t 7 = “( 口) ，眠y ，斗q 于q t 的任意紧子集上是一致的 由( 2 1 2 ) 存在子序列b o o 和函数叫l 2 ( 龟b ) ，使得v 叫弱收敛于l 2 ( q t ) 对任意妒c 0 0 ( q r ) s q t 妒v d x d t = - 1 q t w o d x d t 令如- ，得 lb 叫d x d t 一 l q t 亦节龇 即w = v 叩( 在分部意义下) 于是 v 玑斗v 仉弱收敛于l 2 ( q t ) 】2 对任意的检验函数妒 r 厶，( 乳箬吲州蚓) v 妒地蚶) d x d t + f y o “咖( 圳) 虻。 令k j _ o 。，有 厶，( 警_ v ( 删) v 妒州z 出+ 。y o ( 咖( 刈) 如= 。 而且y l 2 ( q t ) ，。( ) v 2 ( q 丁) ，因此y 是问题( 2 3 ) 一( 2 5 ) 的广 义解 再证唯一性 假如y l 与玑是问题( 2 3 ) 一( 2 5 ) 的两个解，那么由广义解的等价定 义( 2 2 ) ，l 与驰满足 尼，”箬如出+ 厶，咖。( ) 妒出出+ j 厂厶，u ”妒如d t 2 厶( ( 7 - ) 妒( r ) 一珈( z ) i p ( z ，0 ) ) d x 其中q ，= qx ( 0 ，r ) ，于是有 小刊( 警+ a a 。o ) d x d t + 上u ( y l - y 2 ) 妒出 2 n ( y - ( r ) 一抛( r ) ) i p ( r ) 如 ( 2 1 3 ) 其中 巾，牡 黔h 删他l 咄 霪耋： 由于y l 与y 2 是有界的，因此o ( z ，t ) l ”( q r ) ，并且n ( z ，) 0 我们现在选择特殊的妒。去代替( 2 1 3 ) 中的妒选取一列光滑的函 数 n 。) ，使得 1 m sa 。si l a l | 。4 - 1 m ， ( o 。一o ) 、，伍。斗0 ，于l 2 ( q r ) 令f c 铲【，并且0sf 1 我们选取妒m 为f 。述倒向初边值问题 的解 望窘+ n 。妒。= a 于 ( 2 1 4 ) 妒。( z ，t ) = 0 ， 于a q ( 0 ，r ) ，( 2 1 5 ) 妒m ( z ，r ) = ，( z ) ，于q ( 2 1 6 ) 由古典的抛物方程理论，初边值问题( 2 1 4 ) 一( 2 1 6 ) 存在唯一解妒。 g ( 国t ) 引理4l p 。满足下列估计： ( 1 ) 0 妒。1 ， ( 2 ) 石，n 。( 2 如d t c ， 其中常数g 仅依赖于， 证明 ( 1 ) 可由极值原理得到现在我们证明( 2 ) ，用去乘 方程( 2 1 4 ) 的两端，并在q ( t ，1 ) 上积分得 ，7 五鲁如疵+ z 7 正。( ) 2 出出= z 7 正a 妒。如抚 分部积分得 ；正j v ( t ) 1 2 + z 7 上n m ( 妒m ) 2 + 上a i v 1 2 如出= f n i v f l 2 如 因此( 2 ) 可得 在( 2 1 3 ) 中，用代替忆我们得到 加( r ) 一时) ) f d x 一r 厶，一洲鲁+ n ) d x d t 2 二u ( 掣，抛) 妒m 出 注意到妒。0 ，并且我们可以选取a ，使得u + a 0 ，因此 乓；，( 丁) 一耽( r ) ) ，如一厶，( 可，一驰) ( - - a m ) 妒。出出 2 厶，( u + a ) ( ! ，l 一2 ) d x d t ( 2 1 7 ) ( u 。+ a ) 厶，( 旷纠+ 如出 o ，l a - a m 忪i d x d t = o ，导掣( 删归础 由引理4 ，当m _ 时， i i ( a 。一a ) a ( p 。i l l t ( o ，) i i ( a m 一。) v l l 驴( 洲 _ m 训l 2 ( 。r ( 2 1 8 ) v i i i a 佤- a m - 一l 。( 。r ) 一o 、 结合( 2 x t ) ，( 2 1 8 ) 得 厶( ( r ) 一轨( r ) ) ，出厶，( 钍。+ a ) ( y t - y 2 ) + 如出 ( 2 1 9 ) 注意到( 2 1 9 ) 对任意的，c 常( q ) 且0 ， ( 7 - ) ) 其他 o ( ( - r ) 一抛( r ) ) 十d x f 厶一( u 。+ a ) ( ”- 一轨) + 如d t ( 2 2 0 ) “ 由g r o n w a u 不等式 上( t ( r ) 一妇( r ) ) + d x ”r 于是我们得到 上( 耶( r ) 一( r ) ) + d x c p + ( u 。+ a ) 乞，( y p - y ) + 出出 由g r o n w a l l 不等式 二( 郇( 丁) 一( r ) ) + 出c e ( u o + 1 ) t p 同样我们可得到 上( ( 7 - ) 一蜘( _ r ) ) + d z c e 州t p 在上述论证过程中，注意到r ( 0 ，t ) 是任意的，因此我们有 上i v p ( t ) 一y ( 0 1 如c e ( u o + 1 t p 故 i i 一y l l c o ，t ；l ( n ) ) c p 证毕 2 1 参考文献 1 g u r t i nm e a n dm a c c a m y ，o n t h ed i f f u s i o no f b i o l o g i c a lp o p - u l a t i o n s ，m a t h e m a t i c a lb i o s c i e n c e s3 3 ，3 5 4 9 ( 1 9 7 7 ) 2 】d g a r o n s o na n dl a p e l e t i e r ，l a r g et i m e b e h a v i o u ro fs o l u t i o no ft h ep o r o u sm e d i u me q u a t i o ni nb o u n d e dd o m a i n s ， j d i f f e q u a t i o n s3 9 ，3 7 8 4 1 2 ( 1 9 8 1 ) 3 jh o w a r d a l e v i n ea n dp a u le s a c k s ，s o m e e x i s t e n c ea n dn o n e x i s t e n c et h e o r e m sf o rs o l u t i o n so f d e g e n e r a t ep a r a b o l i c e q u a - t i o n s ，j d i f f e q u a t i o n s5 2 ，1 3 5 - 1 6 1 ( 1 9 8 4 ) 【4 】伍卓群，尹景学，赵俊宁，李辉来，非线性扩散方程 吉林大学出版社，1 9 9 6 f 5 】b e ih u a n d j i o n g m i ny o n g ，p o n t r y a g i nm a x i m u mp r i n c i p l ef o r s e m i l i n e a ra n dq u a s i l i n e a rp a r a b o l i ce q u a t i o n sw i t hp o i n t w i s es t a t ec o n s t r a i n t s ，s i a mj c o n t r o lo p t i m ，v o l3 3 n o 6 ， p p 1 8 5 7 - 1 8 8 0 ，n o v e m b e r1 9 9 5 【6 】x u n j i n gl ia n dj i o n g m i ny o n g ，n e c e s s a r yc o n d i t i o n f o ro p t i m a lc o n t r o lo f d i s t r i b u t e dp a r a m e t e r s y s t e m s ，s i a mj c o n t r o l o p t i m ，v 0 1 2 9 ，n o 4 ，p p 8 9 5 - 9 0 8 ，j u l y1 9 9 1 【7 1 e d u a r d oc a s a s ，p o n t r y a g i n sp r i n c i p l ef o rs t a t e - c o n s t r a i n e d b o u n d a r yc o n t r o lp r o b l e m so fs e m i l i n e a rp a r a b o l i ce q u a - t i o n s ，s i a mj c o n t r o lo p t i m ，v 0 1 3 5 ，n o 4 ，p p 1 2 9 7 1 3 2 7 ， j u l y1 9 9 7 【8 】w uz h u o q u n ，y i nj i n g x u ea n d g a oh a n g ，o p t i m a lc o n t r o lo f g r o w t hr a t ef o rac l a s so fp o p u l a t i o ns y s t e m s ，t oa p p e a r 【9 】非线性扩散中的一类周期控制问题，温明峰硕士论文 11j-ifil-，_ 1 0 p a u le s a c k s ，c o n t i n u i t yo f s o l u t i o n so fa s i n g u l a rp a r a b o l i c e q u a t i o n ，n o n l i n a n a l t m a ，v 0 1 7 ，n o4 ，p p 3 8 7 4 0 9 ，1 9 8 3 11 】p a u le ，s a c k s ，t h ei n i t i a la n d b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o ra c l a s so fd e g e n e r a t ep a r a b o l i ce q u a t i o n s ，c o m m pd e 8 ( 1 9 8 3 ) ，6 9 3 7 3 3 1 2 d o n a l da r o n s o n ，s t a b i l i z a t i o no fs o l u t i o n so fad e g e n e r a t e n o n l i n e a rd i f f u s i o np r o b l e m ，n o n l i n a n a l t m av 0 1 6 ，n o1 0 p p 1 0 0 1 1 0 2 2 ，1 9 8 2 1 3 o a l a d y z e n s k a j a ，v a s o l o n n i k o v ，n n u r a l c e v a ，l i n e a ra n dq u a s i l i n e a re q u a t i o n