（概率论与数理统计专业论文）增长曲线模型的参数估计与估计的可容许性.pdf

摘要 参数估计和估计的性质是线性模型理论的中心内容在选择线性估计时， 通常希望它是无偏的，且方差尽可能小，以提高”精度”从而产生了寻找所 谓的最佳线性无偏估计( bbu e ) ”的问题另一方面，随着统计决策理论的 发展，损失函数和风险函数概念的提出，又提出了估计的可容许性问题，取 得了不少成果增长曲线模型是一种特殊的线性模型，其背景主要来自生物 生长问题自6 0 年代提出以来，已有不少统计学家作了多方面的研究本文 的主要内容在于研究此类模型参数阵的线性函数的b l ue 的形式及线性函 数的线性估计的可容许性问题 在第二章，我们首先介绍了此类模型参数的线性估计的形式和性质一些 已有结果利用线性模型理论和矩阵知识，在没有附加任何条件的情况f ， 得到了参数阵的线性函数的b lu e 的形式及方差的无偏估计的两种表达式 者和一参并证得在正态分布假设下a 和o ；以概率l 相等在第三章，在对协 方差阵作了一定限制的情况下，我们得到了参数阵的线性函数的线性估计在 向量损失函数下可容许的充要条件。 关键词：增长曲线模型无偏估计向量损失函数可容许性 i i a b s t r a c t t h ep a r a m e t e re s t i m a t i o na n di t sp r o p e r t ya r et h ef o c u so ft h el i n e a rm o d e l t h e c r y w h e nc h o o s eal i e n a re s t i m a t o r ( le 1 w ea l w a y se x p e c tau n b i a s e do n ew i t h t h e l e a s td e v i a t i o nt oi m p r o v et h e ”a c c u r a c y ”t h a tl e a dt ot i l en e e dt of i n d t h e ”b e s tl e a s t u n b i a s e de s t i m a t o r ( b lue 卜o nt h eo t h e rh a n d ，w i t ht h ep r o g r e s so f t h es t a t i s t i c a l d e c i s i o nt h e o r ya n dt h ep r e s e n t a t i o no fl o s sf u n c t i o na n dr i s kf u n c t i o n ，t h eq u e s t i o n o fa d m i s s i b i l i 押h a se m e r g e da n dt h e r eh a sb e e nl o to fa c h i v e m e n t st h eg r o w t hc u r v e m o d e lc o m e sf r o l nt h er e s e r e hw o r ko nc r e a t u r e s g r o w t h s i n c ei t sp r e s e n t a t i o ni n 1 9 6 0 s ，m a n ys t a t i s t i c i a n sh a sm a d e l o t so fr e s e a r c hw o r km y p a p e rf o c u so i lt h ed i s c u s s i o nt h ebluea n dt h ea d m i s s i b i l i t yo ft h el i n e a rf u n c t i o no ft h ep a r a m e t e rm a t r i x o ft h i sm o d e l i nc h a r p t e r2 f i r s tw ei n t r o d u c e ds o l r l ea v a i l a b l er e s u l t sa b o u tt i l ele ：sf o r ma n d p r o p e r t yo fs u c hm o d e l t h e n w eg o tt h eb l u e 1 s f o r ma n dt w of o r i l l so fu n b i a s e de s t i m a t o ro f0 - 2t h e nw ep r o o f e dt h a tt h et w of o r m so f0 - 2 a r ee q u a la l m o s te v e r y w h e r e t h u sw eg e n e r a l i z e d 、u s h e n h u a & h e c a n z h i ；sr e s u l t st ot h ew i d e s ts c o p ei nc h a r p t e r 3 u n d e rs o h l el i m i t si ut h ec o v i a n c em a t r i x 、w eg e tt h e n e c e s s a r y s u f f i c e n tc o n d i t i o no f le sa d m i s s i b i l i t yf o rt i ml i n e a rf u n c t i o no ft h ep a r a m e t e rm a t r i x ，i e w eg r e a t l yg e n e r a l i z e dz h a o j i a n x i n ：sc o n c l u s i o n k e y w o r d s ：g r o w t h w - c u r v e - - m o d e l v e c t o rl o s sf u n c t i o nu n b i a s e de s t i m a t o r a d m i s s i b i l i t y 东南大学学位论文 独创性声明及使用授权的说明 一、学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。尽我所知，除了文中特别加以标明和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过 的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并 表示了谢意 二、关于学位论文使用授权的说明 签名：日期： 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的 复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文本人电子文档的内 容和纸质论文的内容相一致除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可 以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权东南大学研究 生院办理。 签 名：导师签名：糖- 日期：匹驻删 卯j o 第一章绪论 1 1 研究状况 线性模型是数理统计中发展教早，理论丰富而且应用性很强的一个重要分支一些富有实际意 义的统计分支诸如回归分析，方差分析和多元分析等，都以这种模型理论为基础或与之有密切联系 线性模型的参数估计问题的研究可以追溯到上世纪初著名数学家a m l e g e n d r e 和g fg a u s s 分别先后于1 8 0 6 年和1 8 0 9 年独立地把晟小二乘法应用十观测数据的误差分析后来a a m a r k o v 于1 9 0 0 年证明了最4 , - - 乘估计的方差最小性质，即著名的g a u $ 8 一m a r k o v 定理，奠定了最小二 乘法在参数估计理论中的地位，咒c b o s e 在1 9 4 4 年引入的可估计函数的概念蛳及广义逆矩阵的 应用，使得设计阵为列降秩的线性模型的估计理论表述得更加严格而简洁误差协方差阵为列降秩 的线性模型的估计理论的研究始于本世纪6 0 年代中期g o l d m a n 和z e l e n 率先提出了用满秩线 性变换把模型化为协方差阵为d 2 j 且带约束的情形后来， c rr a o 采用推广最小二乘的途径， 提出了所谓的”最小= 乘统一理论”( t h eu n i f i e dt h r o r yo fl e a s ts q u a r e ) 这种方法既适用于 设计阵列满秩或列降秩，又适用于协方差阵奇异情形导出的估计形式简单便于理论研究，得到普 遍采用使得奇异的线性模型和多元线性模型的参数估计问题也可顺利得以解决 直观上讲衡量一个估计优劣的标准应该是估计量与被估参数的接近程度当然，从不同角度 出发就有不同的度量这种接近程度的准则对于一般线性模型。记口为回归系数的l s e ，许多 作者，如a l i 和p a n n a p a l l i “，h w a n g 2 1 ，s i n h a 和d r y g a s 剖以及b e r k 和h w a n g 等，研究 一卢落在任一对称凸锥的概率他们证明了，如果模型误差服从椭球等高分布，则在线性估计类 中，g l s e 使得这个概率达到最大此性质后来又被推广到任意的对称凸集 aw a l d 在四十年代提出了统计判决函数理论，其核心是损失函数损失函数的数学期望祢风 险函数基于风险函数准则，提出了参数估计的可容许性问题直观上，可容许性是对一个估计的 最起码的要求因为如果一个估计是不可容许的。那么我们就能找到另外一个更好的的估计击替代 它一般来说，对一个未知参数向量，可容许估计是很多的，构成一个很大的估计类我们可以根据 其它一些标准，如无偏性，方差最小性等，从中选取某一特殊的估计， 常见的也是最常用的损失函数是二次损失函数和矩阵损失函数这二次损失函数下，线性模型 参数估计的可容许性问题在线性估计类中已经有了比较成熟的结果，若拓广到全体估计类中，则结 果仍然有限且主要限于误差服从正态分布的情况近年来很多学者研究了在矩阵损失函数下，线 性模型参数估计在线性估计类中的可容许性问题，得到了不少结果而对参数存在等式或不等式约 束( 线性约束，椭球约束等) 的条件下。估计的可容许性的研究也取得了很多的进展 对于其他的损失函数，则研究较少德兴忠【4 j t 9 9 4 年给出了不同损失函数的比较标准，并得 到了平方损失函数在线性估计类中的性质在此基础上，赵建昕 5 1 2 0 0 2 年针对一般线性模型，多元 线性模型和增长曲线模型( 方差均为单位阵时) 研究了在向量损失函数下参数阵的可容许性问题然 而，其对于多元线性模型可容许性的结果虽然是正确的，证明却有欠妥当关于增长曲线模型的结 果必要性的证明中存在错误因此很难说他得到的确实是充要条件本文作者将在相应的章节中加 以说明。 增长曲线模型( t h eg r o w t hc u r v em o d e l ) y = x 1 b 弼+ e e ( y ) = x 1 b 墨 d ( y ) = d ( v e e y ) = a 2 o u ( 风) l 一 其中y 是礼oq 阶随机观测阵，x l ，x 2 分别为礼o p 和g 后阶设计阵b 为p 七阶未知参数 阵，e 为noq 阶的随机误差阵，k ，b 分别是n n 和gog 阶已知非负定矩阵。 增长曲线模型是一类特殊的线性模型它是w i s h a r t1 9 3 8 年在研究不同组间动值物的生长情 况时引入的概念 1 9 6 4 年p o h o f & r a y 对这种广义线性模型的背景做了详细研究由于增长f | 1 线模型是比一般线性模型更广泛的摸型，几十年来，许多统计学家，如e 咒r a o ，k h a t i a ， l e e ，c b o x ，ge p 等对增长曲线模型作了大量研究并给出了多种不同条件下增长f f 线模型中 未知参数的极大似然估计( m l e ) v o nr o s e n d i e t r i c k 于1 9 8 4 年通过矩阵方程组求解法得到的 a f l e 形式上要比以前的结果好得多，但仍然较复杂对这些估计的可容许性则鲜有讨论 1 9 8 8 年，潘建新【6 j 在”t r 8 c e ”的意义下，得到了特定方差阵( u = i ， 0 ) 下增长曲线模 型的回归参数k b 工的最佳线性无偏估计( b 上u f ) 和方差盯2 的一个无偏估计 喻胜华，何灿芝【_ 研究了当u = ，u o 时k b l ( l 为列向量的) b l u e 估计的充 要条件并给出了方差一的一十无偏估计张宝学，鹿长余削研究了琏o ，班20 时， p = ( t r a ：d ，t r 越b ，打a i r ) l 。2 的可估性，b l u e 估计及此口三u e 的最大概率性质与a l i 和p a n n a p a l l i 9j 的结果相比，去掉了所有满秩的假定，并推广到了一般的增长曲线模型 对增长曲线模型参数阵的线性函数估计z 1 b 蜀的的可容许性国内很多学者( 吴启光，潘 建新，谢民育【”- 1 q 等) 也都在各种不同的风险函数及优良性准则下作了大量研究赵建听则在 k = j ，u = ，及向量损失函数下研究了k b l 的估计在线性估计和一切估计类中的可容许性 1 2 本文的主要工作 我们知道在一般线性模型和多元线性模型中，若参数卢( 或日) 的b l u e 为口。( 或b + ) ，则 可估函数s 卢( 或s b ) 的b l u e 是s 矿( 或s b ) 很自然的猜测对增长曲线模型应该有同样的结 果对一般线性模型和多元线性模型成立的其他性质在增长曲线模型中应也能找到类似的结论，比 如概率最大性质，方差矿的无偏估计，可容许性等等 本文第二章在k 0 ，i = 1 ，2 的条件下，得到了增长曲线模型参数阵的线性函数z l b 墨 的b l u e 和方差矿的无偏估计的两种形式，与喻胜华，何灿芝所做的工作相比，对方差阵的限 制更少，实际上已经将潘建新的结果推广到了很一般的情况且方差的此两个表达式在常用的正态 分布假定下以概率l 相等从所得的误差方差一的无偏估计的形式上看，一般线性模型和多元线 性模型误差方差矿的无偏估计的形式都是本结果的特例 本文第三章在只k 只sk ，其中只为x 生成的正交投影阵，i = 1 ，2 的条件下，得到了在 向量损失函数下，增长曲线模型参数阵的线性函数z 1 口乏的线性估计在线性估计类和一切估计类 中的可容许的充要条件同时还讨论了当方差阵为一般正定阵时，一般线性模型和多无线性模型参 数的线性估计在线性估计类和一切估计类中的可容许性问题本章的证明借鉴了赵建昕的方法，但 因为u ，k 已不限于单位阵，故所得结果较赵建听【5 】广泛得多，赵的结论实际上是本文的特例 同时，本章中还指出了赵建听削文中的错误 2 第二章增长曲线模型的参数估计 2 1 引言 类似亏对多兀线性模型的处理，在研冗增长曲线模型爿3 时，通常也采片 糈冥j 立亘成列向量， 转化为一般线性模型的形式，从而可使用一般线性模型的技巧来处理 以v e c ( a j 表示矩阵a 按列拉直，a o b = ( a i j b ) 表示a 与b 的k n o n e c k e r 乘积以 4 一表示a 的正变补空间，即a7 a 。= 0 以r ( a ) 表示矩阵a 的秩 k ， e c k 乘积和v e c 运算具有如下性质： ( 1 ) o o a = a 0 0 = o ( 2 ) ( a ，+ a ：) o b = ( a - 砭多b ) + ( z 砭多b ) ， _ 砭多( 目- + b 。) = ( a 眨多b i ) + ( a 眨多玩) ， ( 3 ) ( 1 - 4 ) ( a 2 b ) = 1 沁( a o b ) ( 4 ) ( a lob d ( a 2o b 2 ) = ( a 1 a 2 ) o ( b 1 8 2 ) ， ( 5 ) ( a 眨多b ) = a 7 正多b ， ( 6 ) ( 4 0 b ) 一= a o b 一， ( 7 ) v e c ( a + b ) = v e c ( a ) + v e c ( b ) ， ( 8 ) v e c ( a b c ) = ( g 0 a ) v e c ( b ) 其中 1a ，为数 潘建新f 1 9 8 8 ) 结果如下： 定理1 设有模型h a ，= 如，n 0 ，z i b 召可估，则； ( 1 ) z 1e 1 z ；的b l u e 为z 】b 乏，其中b + = ( x ；h 一1 x 1 ) 一x i k 一1 】，x 2 ( 巡x 2 ) f 2 1 盯2 0 的一个无偏估计为 i 2 = 打( 1 y x 1 8 4 x 9 v 7 1 ( y x 1 b + x d ) i ( n g n ( x 1 ) r ( x 2 ) ) 喻胜华何灿芝( 1 9 9 8 ) 的结果如下； 定理2 设有模型风，h = 厶，k 0 ，z 1 b 互可估，则： ( 1 ) z 1 b z 的b l u e 为z 1 b + z ：，其中b = ( x i x l ) x i y t ；x 2 d i ( 2 ) 口2 0 的一个无偏估计为疗2 = t r ( ( y x 1 b + 墨) 丐( y x 1 b + x ；) 7 ) ， 其中，= ( r ( 噩) 一r ( 尥) ) r ( x 1 ) + ( n r ( x 1 ) j 打( 马f ) 注：孔，d 2 的取法见本章第= 节引理2 2 4 本章将上述结果推广到k20 的情形，主要结果如下： 定理2 2 1 任意可估函数p = z 1 b 乏 中b + = d i 五i 巧y 巧x 2 d ；，d i = x ；曩 r a n k ( k y ：) i = 1 ，2 在模型丑3 下的b l u e 估计为：p + = z 1 b + z ；，其 置，丑= k + x f 巩弼，阢0 ，满足r a n t ：( t ) = 定理2 3 。1 对增长曲线模型丑3 ，其未知参数0 - 2 0 的一个无偏估计为： 自i = ( v e c ( y ) 一( x zo x ，) y e c ( b ) ) 7 t v e c ( y ) 一( x 2o x ) v e c ( b ) ) ， 啦= 打( 可( y x 1 b + 弼) 巧( y x 1 b + 弼) ) ， 3 其中，= r ( t 2 ) r ( t j r ( x z ) r ( x 1 ) 一( r ( 卫) 一r ( x 2 ) ) 打( d - u 1 ) 一( 冗( 噩) 一n ( x 1 ) ) 打( d 2 巩) t = t 2 0 x 1 其中丑同定理2 2 1 中的正 定理2 3 2 - 若v e c ( e ) 一n 口( o ，u o v j ，则5 - i 与噬以概率j 相等 2 2 增长煞线模型中的b l u e 估计 定义2 2 1 ，未知参数矩阵b 的线性函数p = z i b 互称为可估的，若存在观；煲| j 阵】，的线性 函数p = c i y q 使得曰( p ) = p 对任意口成立。并称p 为p 的线性无偏估计。 定义2 2 2 在p 的线性无偏估计中，若存在矿满足d ( p + ) 墨d ( p ) ，对所有的线性无偏估 计i 成立则称它为p 的最佳线性无偏估计( b 三h e ) 由可估函数性质有： 引理2 2 1 卢= c i y g ! 是p = z 1 b 乏的线性无偏估计的充要条件是：蜀= a 】c i x ，z 2 = a 2 0 。也，且a l 2 = i 证明：”# ”，显然， ”号”因p = c i y q 是p = z i b z 5 的线性无偏估计，则vb 彤”，有 e ( c 1 y q ) = z 1 b 乏辛c 1 x 1 b x i q = z i b 乏 ( 2 21 ) 取b = e ：1 ) e j 其中e ( ，e ( 2 1 ，分别是p 1 ，七1 的列向量t = 1 ，2 p ，j = 1 ，2 ，惫 记a ；、表示矩阵a 的第i 行则对v i ， 都有( 窃x 1 ) “q 恐) 知1 = ( z i ) ( ) z 2 ，印 ( a x l ) ( 岛尥) ( ) = v d z j ( o = 吁( 历) ( ， v2 = 1 ，p vj = 1 k 吡岣为实数，且v i ，都有v i 卟= 1 由代数知识易知v l = = v p = 1 ，”1 = = h = 2 且 1 a 2 = 1 ，证毕口 引理2 2 2 若a 兰b 0 ，c d 0 ，则且o c a d 芝b d 0 证明见潘建新【6 的引理3 4 引理2 2 3 若霉= k + x z 阢趔，其中巩20 使得r a n k ( z ) = r a n k ( v i ：墨j ，i = 1 ，2 又 若d t = 掣巧x i ，则d i 对称，且与可的取法无关并有( 2 2 2 ) 到( 2 21 7 ) 式成立 证明： - 正一五职鞘k 谚，( 羡) 叫 则p ( 正) = 弘( k 5 ：置呼) cp ( k ：蕊) ，又r a n k ( t i ) = r a n k ( v ：蜀) ，因此有 p ( 丑) = p ( k ：墨) 寺p ( x i ) cp ( 孔) ，p ( k ) cp ( 丑) 令x 。= 丑a 。，则有 d f = 爱巧五= 叫互巧t i a i = a ；z a 。 显然d i 对称且与可的取法无关故d i = d ：= 弼可置= 掣( 可) x i 叉因d ；与可的取法无关，故可选取一正定的z - ，则可知p ( d ) = p ( x ；) 4 令x i = b 。d 。，碱南x l d ：d t = b 。d l d ：d t = b ；d t = x 4 ，叉困d 。对称断珏。南 5 x d d i ) d ：= b i ( d i ) 7 ( d i ) ( d ：) = b 。( d 。d i d i ) 7 = b ，d 。= 置 及x ：d ix ：= b t d z d id ：耳= b i d i d d i b ；= b i d i b i 显然对称与d i 取法无关 叉p ( 。) f 4 t d ，p ( k ) cp ( 丑) ，类似可得五= 正可砥= 正( 巧) x ：及x ：巧k x ；( 可) k 与可取法无关所“综合的有 蜀= x i d i d i = x d d ) d i = 丑巧五= 丑( 可) 置 墨= 毋珥墨= d i ( d ( ) x 暑巧正= 捌( 可) 7 z 趔巧x i = 趔( 正一) x i = d i 置珥崔= x i ( d ) ，k 可k = k ( 巧) k 趔可k = 弼( 可) k 、k 可x i = k ( 可) 五 引理2 2 3 的其他结论：由( 2 22 ) 式，( 2 2 3 ) 式和( 2 24 ) 式， 墨( x ：d i 墨丐) 7 巧恐= 墨巧( x 2 班墨巧) 恐= 弼巧x 2 = d 2 x i ( x 1 d ；x ；可) t i x l = 墨玎( 甄班墨巧) x 1 = 捌百x 1 = d 1 南( 2 25 ) 式和( 2 2 6 ) 式， ( 丐恐珥蜀) k = 恐d i x ；巧k = 恐喀弼巧噩一x 2 d 2 弼巧尥巩弼 = x 2 d 2 蜀一x 2 d 2 d 2 巩迎 = x 2 d 2 x ；一x 2 u 2 x ； ( 丐噩d ；墨) k ( 巧豇d 2 - 2 i ) = x 。班型互茎! 班x ；一蜀巩圣堑垄d i 趔 = x 2 d 2 d 2 d 2 x ；一凰巩d 2 d 2 弼 = 恐d i 弼一凰巩弼 类似的方法可得到： ( x l d i x i 百) n = ( x 1 d i x i t i ) h ( x 1 d j x i t i ) = x 1 ( d i 一巩) x i x ：b d 2 b x ；= ( x l d i 墨可) x b d 2 b x i 由( 2 2 9 ) 式有 打( 巧( 巧x 。d - x tx k ) = 打( 巧( 扔班玛巧) ) = 打( 巧恐d i 墨i ! ：墨一丐x 。d i 墨丝羔垫巩x ：) = 打( 巧噩d i 弼一巧恐巩墨) = t r ( 墨巧恐班一曷巧恐巩) = 打( d 2 d ；一d 2 巩) ( 222 ) ( 223 ) ( 22 4 】 ( 225 ) f 226 1 证毕口 ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) f 22 1 0 l ( 2 2 1 1 ) ( 2 2 1 2 ) ( 2 2 ，1 3 ) ( 22 1 4 ) 类似的方法得到： t r ( ( x d ；x i t ? ) 可) = 打( t 1 ( x d ；x ；t i t r ( d ：d l d 1 u 1 )( 221 5 ) 州巧) = 打( 可乃一玎x 1 u 1 x i ) = t r ( t 1 巧一d 1 u 1 ) 打( 巧k ) = 打( 巧马一巧x 2 u 2 墨) = t r ( t 2 巧一d 2 u 2 ) ( 22 1 6 ) ( 22 1 7 ) 引理2 2 4 在引理223 下有k x i ( d 。一u d 捌 证明：因r a n k ( 正) = r a n k ( k ：x i ) ，则p ( x 。x ；正) cp ( 五) 显然的 则由kb a k a s a l o r y 1 6 】推论3 有孔置( x ；可x i ) + x ； 又南引理2 2 3 知：d 。= 墨可置与可取法无关，x ：d i x ；与d i 取法无关- 故可取将 x 。( 工：寸置) + x j 中的”+ ”号逆都换成”号逆时不等式仍成立即有 互2x i ( 捌丑x t ) x 将互= + x i 巩掣代八得到 k x ；( ( 弼可墨) 一一阢) 弼，即k x i ( d 一阢) 雹 、， 定理2 2 1 的证明：先证明p 的无偏性 南引理2 2 1 ，3p 1 ，p 2s t z l = p 1 x l ，z 2 = p 2 x 2 南引理2 2 3 ，x 1 d j d l = 墨，d 2 班弼= 弼则：v b 彤“ e ( 矿) = f ( z 1 d ；x i 可y 巧恐d i 墨) = z 1 d ix i 玎x 1 b x 5 巧x 2 d 2z ； = p t x l d i x i 巧x l b 弼t 2 x 2 d 2 x ；琏 = h x l d ；d 1 b d 2 口2 - a 2 t 爿 = r x l b x ；琏= z 1 b z ； 故p + 线性无偏。 其次证：对vp = z l b 召的线性无偏估计p = c t y q ，有d ( p + ) d ( p ) 事实上， d ( p ) = d ( v e c ( a y q ) ) = d ( ( 岛o g z ) 矿e c ( y ) ) = 。2 ( c 2 q c z ) ( o h ) ( q 0 g ：) ( 2 2 i s ) 由引理2 2 1 ，有z 1 = c 1 x 1 ，疡= c 2 j ，2 ( 为简单记不妨取k = 1 ，并不影响证明结果) 则 d ( p + ) = d ( v e c ( z 1 b + 彩) ) = d ( ( z j o z l ) v e c ( b 8 ) ) = d ( ( z 2 0 z ，) 【( 丐x 。d i ) o ( d i x i 巧) 】v e c ( y ) ) = d ( ( 岛o g - ) ( x 。( 巧x 。d i ) ) o ( x t d i x i 巧) v e c ( y ) ) = a 2 ( q 0 0 ) x 2 ( 丐凰班) ) ( x ，珥x i 玎) ( k 0 ) i 【巧x 2 d ；x ：) o ( ( d i x i t ) x i ) l ( q o g i ) = a 2 胁oc 1 ) | ( ( t 2 x 2 d ；x ；) 7 v 2 ( t ；x ：d ；x 9 ) q ( ( x ，d i 墨巧) h ( x 1 d i x i t ) ) i ( 岛0 e i ) 又由c 22 1 1 ) 式与( 2 2 1 2 ) 式，可得： d ( p 4 ) = 一2 ( 岛o q ) ( 恐( d i 一巩) 曷) o ( x ( d 1 一u , x o c ；o 0 时，p 的b l u e 为： p + = z l ( 剧h 噩) 一弼叮1 y 盯1 x 2 ( 彤v 2 - 1 憨) 2 3 方差口2 的无偏估计 引理2 3 1 设a 和b 分别为nxn 和m m 方阵，则 打( a 砭多b ) = ( 打a ) ( 打b ) 证明见王松桂，贾忠贞 1 7 1 p 4 7 推论1 1 0 2 的证明 引理2 3 2 若a 幂等，则f , r ( a ) = r ( a ) 证明见王松桂【1 8 p 1 9 定理3 3 的证明 ( 22 1 9 ) 证毕口 引理2 3 3 对任意的n 。q 矩阵y ，q 。q 矩阵a 和n n 矩阵b ，则始终有下式成立 ( r e c ( y ) ) 7 ( ao 口) y e c ( y ) = 打( 4 y 7 b y ) = 打( b y a y ) = 打( y a y _ 日) = 打( 口y a y ) 证明 以叭表示矩阵y 的第i 列，n z j 表示矩阵a 的第i 行第j 列的元素，由矩阵乘积和 k n o n e c k e r 乘积性质，易知有： ( v e c ( y ) ) 7 ( a o b ) y e c ( y ) f = ( 矾，g 扎删；) i l a l l b0 1 2 b 0 2 1 b q l bo 庐b = t , r ( a 7 y b y ) = t r ( b y a y ) 引理2 3 4 对模型凰，任给g q 矩阵a ，有下式成立 e ( y a y ) = 矿t r ( a v 2 ) + x l b 墨a x 2 b x i 7 、 虮驰蜘 ， 、 b 日 舛 0 0 u rby ，7 a 。 。皿 一一 鲫 日 m o 。 。埘 证明：记e 的第i 行为e ；m u ，u 的第i 行第j 列的元素为吃”、w u e ( v e c ( e ) ) = o ，d ( v e c ( s ) ) = u u ，知 e ( 讯锄) = d ( h c ( e ) ) 怯。阱“卅，0 - 2 ( ko h ) ( h 圳叫。+ ， = 口2 蜡“、w ” 所以日( 5 ( 。) e b ) ) = 口2 k k 例从而 e ( e 4 e ) = ( e ( e ，) a e ( ，) ) ) 。= ( e t r ( 4 e 。) s ：) ) ) = ( 打( a 曰( e 。，e 。，) ) ) 。= 盯2 ( 打( a v j ) v f 。) 。 = j 2 打( a v 2 1 v l e ( y a y ) = e ( ( x l b 墨+ e ) a ( x 1 b x ；+ e ) ) = 0 - 2 t t ( a v 2 ) k + x 1 b x ；a x 2 b x i 特别的，当取a = 巧时，并由引理23 2 有 8 e ( y t f y ) = 0 - 2 打( 丐) + x 1 b 弼巧x 2 b x i = a 2 打( 丐( 马一x 2 巩砭) ) h + x 1 b d 2 b x i = 口2 打( 巧孔一x i 丐x 2 巩) h + x l b d 2 b x ； = 盯2 ( 噩) 一打( d 2 巩) ) ，+ x l b d 2 b 捌 ( 23 1 ) 由( 23 1 ) 式的对称性知： e ( y ( 巧) y ) = e ( y t f y 7 ) = 口2 ( r ( 噩) 一打( d 2 啦) ) h + x l b d 2 b x i ( 23 2 ) 当取a = 巧恐d i 墨巧时，有 e ( y 巧( 凰d ；墨巧) y ) = 一2 打( 巧恐呸墨巧)h + x 1 b 型：互垄d i 型互：丝b 7 墨 2 a 2 打( 巧噩班圣互墨一巧兰堕圣堑丝巩墨) ，h + 量b d 2 d i d 2 b 弼 = 口2 打( 巧恐d i 雹一巧x 2 u 2 墨) + x ；b d 2 b 墨 = 0 - 2 打( d 2 d i d 2 u 2 ) h + x 1 b d 2 b x i = 盯2 ( r ( x 2 ) 一打( d 2 l 如) ) h + x l b d 2 丑7 x i ( 2 3 3 ) 又因为有( 2 2 1 3 ) 式( 曼21 4 ) 式和( 2 2 4 ) 式所以同理可证 e ( z t f ( t f x 2 d 2 x ；) 】，) = e ( y ( 巧) ( t 2 x 2 d 2 x ；) y 7 ) = 。2 ( r ( x 2 ) 一打( d 2 c ，2 ) ) k + x l b d j b x l ( 234 ) 引理2 3 5 若设x 为p 1 随机向量，e ( x ) = 卢，c o v ( x ) = ，a 为p p 方阵，则 e ( x a x ) = t r ( a e ) + p 舢 9 证明同王松桂 1 8 p a g e 7 5 的定理3 1 ，只需将2 e ( x7 a 肛) 改为e ( x a p ) + e ( 弘7 a x ) ，而两式实际 相等故王松桂定理3 1 结果仍成立 引理2 3 6 设x 0 ( p ，) ，则 v a r ( x a x ) = 打( 4 a ) + t r ( a e a ) + 肛( + a 7 ) ( a + a ) p 证明 x ) ，则存在y ，q ，其中0 q = ，】，| v ，( o ，) ，使得x = p + ( ? y 井记日皇q a q 则 ( x a x ) 2 = f ( 肛+ q y ) a ( 肛+ q y ) 1 = ( 肛7 a 舢+ y 7 q a q g + p7 a q y + y 7 0 a u ) 2 = f p 7 l p + y q a o y + p ( a + 4 t q y ) = ( p 7 且p ) 2 + ( y 7 b y ) 2 + f p ( a + 月i q y ) 2 + 2 芦，( a + 以，) 口y y i b y + 2 p7 a f y 7 b y + ( 以+ a i q r ) ，一u ( o ，1 ) e ( 玑玑玑鼽) = 3，卯i = 歹= 盘= 1 e ( 掣，玑玑轨) = 1y o ti = j 南= 2 o rz = 七j = fo r i = 2 j = 七 e ( y ，g ，玑) = 0y o r o t h e r w i s e ( 打b ) 2 = ( b u ) 2 = 晚十b 。，打( b b ) = 6 弓，州b 2 ) = b ”吆 2 z j2 jl j e ( ( 】“删) 2 ) = e ( 6 ”6 删，巩驯，) = 3 嘬+ b l l b j j + 略+ b 。， 2 ，k f t l ，l j； j = ( t 7 b ) 2 + t r ( b 2 ) + t r ( b b7 ) = ( 打( a e ) 1 。+ 打( a e ) + t r ( a a ) e ( ( p ( j 4 + 且7 ) q y ) 2 = e ( y q ( a + 4 ) p p ( 以+ a ) q y ) = 打( o ( a + a ) p p ( a + a ) q ，) = 打( ( + a ) 卢p 7 ( a 7 + a ) q q ) = t r ( p 7 ( 4 + a ) ( a + a ) p ) = p 7 ( 且+ a ) ( a + a ) p e ( p ”+ j 4 ) q y y b y ) = ( p ”+ a ) ，e ( 口圳。) = o 1 j ，t e ( y7 b y ) = t r ( b ) = 打( a e ) e ( 2 p7 ( a + a ) q y ) = o 。 v n r ( 盖7 a x ) = e ( ( x a x ) 2 ) 一( e ( x a x e ) 2 = ( p 7 a u ) 2 + ( 打( a e ) ) 2 + 打( a a ) + 扣( a a e ) + 芦，( 4 + a ，) ( a + a 跏 + 2 p a pt r ( a ) 一f t r ( a ) + “，a p l 2 = t r ( a e a ) + t r ( a e a ) + p ( a + a ) ( a + a ，) f 1 注意本引理中的a 不要求是对称阵 一9 定理2 3 l 对增长曲线模型h 3 ，其未知参数0 2 0 的两个无偏估计为： 1 0 啊。v 8 。( y 卜( 噩 x 1 ) v e c ( 占+ ) ) ( 巧。可) ( v e c ( y ) 一( 恐o x 。) v 。( b + ) ， 噬。缸( 互( y x l b 墨) 蔓( y x i b + 墨) 7 1 ， ，= r 【疋) r ( t j n ( x 2 ) m x l ) 一( r ( t 2 ) 一r ( 噩) ) t r ( d 1 u 1 ) 一f r ( 丑) 一n ( x 1 ) 1 打( d 2 巩) ， b + = d f x i 玎y t ；x 2 d $ ，其中正取法同定理2 2 ( 1 中的b 、 7 证明： 因x i b + 驾= ( j i d i 墨玎) y ( 巧恐班墨j ， 易知( x i b + 玛) 7 = ( 巧x 2 d 2 x ；) y ( x 。d i x ；玎) ， ( 丐q 巧) v e c ( y ) = 仃( 玎y ( 巧) y 7 ) 皇m 1f 2 35 1 ( v e c ( y ) ) 7 ( 丐。可) ( i ，e c ( x 。b + 捌) ) 2 ( y e c ( 】，) ) 。( 巧。可) ( ( 巧噩巧彰) 7 0 ( 噩d i 置玎) ) 矿。( 1 ，) 2 ( y e c ( y ) ) ( 巧( 巧恐巧弼) o ( 可丑d i 捌玎) 1 矿e c ( y ) 2 r 、( 可局d i 墨百】，丐恐d i 墨( 虿) y ) = 打( 可( x ，d j 弼巧) y 巧( 巧恐呸曷j y ) 皇坞2 3 6 ) e c ( x ，日+ 弼) ) ( 丐q 玎) e c ( y ) ) 2 一e c ( y ) ) ，( ( 巧x ：d ；x 90 ( x ，巧弼百) ) ( 巧0 巧) p 。【y ) 2 ( 丫8 c ( y ) ) ， ( 阿五呸x ；) 巧) o ( ( 蜀珥墨玎) 7 百) y e c ( y ) 。打( ( 丑) x d i 墨可y ( 丐) 扔d ；弼( 丐) y 1 。打( ( x d i 墨可) 可y ( 巧) ( 巧局巧墨) y 7 ) 皇炳( 23 7 ) ( e c ( 五z 曰弼) ) 。( 巧 可) v e c ( x 1 b + 趔) 2 ( y 8 。( y ) j ( 簖恐巧弼) 0 隅珥墨巧) ，) ( 巧0 百) ( ( t ；x 。d ；x 9 q ( 蜀d ：墨可) ) v e c ( 玎 2 ( y e c ( y ) ) f ( 巧蜀喀墨互墨巧玛( 巧) ) 、 7 l 、= = = = = = = ：， o ( ( 可) x l d l - 21 i 二! - 兰! u 1 - n 1 ：1 - j 1v e c ( 1 ，) 2 c ( 1 ，) ) 【江五巧彰阿) 7 ) ( 阿) 7 x 。d i 墨可) 1 ( 1 ，) 2 ( 儿c ( y ) j 【( 巧( 巧恐巧弼) 7 ) o ( ( x - 珥墨丁) ，可) 1 矿”( y ) 2 打( ( x ，d i 剃可) 7 可 7 巧恐呸弼( 巧) 7 y ，1 = 打( ( 可) x d j