（概率论与数理统计专业论文）关于下一个失效时刻估计的讨论.pdf

摘要 4 6 7 2 9 3 一、f 若n 个独立同分布产品同时开始定数寿命试验，假设我们已经观察到前r 个产品 的次序失效时刻扛( 1 ) x ( ：) 工( ，) j ，那么第r + 1 个产品将再活过一段时间缸的概率 ( 以下记其为只) 为多大? ) 本文主要讨论了在定数截断缺失数据场合及污染数据场合 ， 下只的估计问题，并给出了定数截断缺失数据场合下参数及只的b a y e s 估计。第一章 绪论介绍了该问题的起源、背景和问题的一般性描述。第二章将讨论以下问题：当数 据由于某种原因出现缺失，只能观察到部分定数截断数据情况下，如何估计参数及只， 本章对单参数指数分布、双参数指数分布及两参数威布尔分布分别使用了两种方法进 行了讨论，并通过随机模拟比较了两种方法。第三章讨论了在定数截断缺失数据场合 下，双参数指数分布在形状参数已知、形状参数未知时尺度参数与只的b a y e s 估计， 并分别构造了一种计算较为简单的近似b a y e s 估计方法。第四章将问题集中在定数截 断污染数据场合下，分别讨论了三种污染模型下只的估计，并讨论了估计的大样本性 质，进行了随机模拟。 关键词：定数截断定数截断缺失数据污染数据 a b s t r a c t d u r i n gt h et y p ei ic e i l s o m de x p e r i m e n t ，s u p p o s ew ec a no b s e r v et h ef i r s trs e q u e n t i a l f a i l u r et i m ei x ( 1 ) x ( 2 ) x ( ，) j ，w h a tw i l lb et h ep r o b a b i l i t y ( b e l o ww ed e n o t ei ta s 只) t h a tt h er + l s tp r o d u c tw i l ls u r v i v ea n o t h e ra t ? t h i sp a p e rm a i n l yd i s c u s s e st h ee s t i m a t o r o fp 丽t l l m u l t i p l et y p ei ic e n s o r e dd a t aa n dc o n t a m i n a t e dd a t a , a n dp r o p o s e st h eb a y e s e s t i m a t o ro fpa n d p a r a m e t e r su n d e rm u l t i p l et y p e i ic e n s o r i n g t h ef i r s tc h a p t e r i n t r o d u c e st h eo r i o n ，b a c k g r o u n da n dt h ed e s c r i p t i o no f t h ep r o b l e m u n d e rm u l t i p l e t y p e i ic e n s o r i n g ，t h es e c o n dc h a p t e rp r o p o s e st w om e t h o d st oe s t i m a t et h ep a r a m e t e ra n d p ，o f o n e a n dt w o p a r a m e t e re x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o n sa n dt w o - p a r a m e t e rw e i b u l l d i s t r i b u t i o n a n dt h et w om e t h o d sa r ec o m p a r e dt h r o u g hs i m u l a t i o n t h et l l i r dc h a p t e r d i s c u s s e st h eb a y e se s t i m a t o ro fpf o ro n e a n dt w o - p a r a m e t e re x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o n u n d e rm u l t i p l et y p e i ic e n s o r i n g ，a n dp r o p o s e so n ea p p r o x i m a t eb a y e se s t i m a t i o nm e t h o d w h i c hi sm o r es i m p l e t h el a s tc h a p t e rm a i n l yd i s c u s s e st h ee s t i m a t i o no f 只w i t ht h r e e k i n d so f c o n t a m i n a t e dm o d e lu n d e rt y p e i ic e n s o r i n ga n dt h ec h a r a c t e ro f e s t i m a t o r k e yw o r d s ：t y p e i ic e n s o r i n gm u l t i p l et y p e i ic e n s o r i n g c o n t a m i n a t e dd a t a 第一章绪论 在某些实际问题中，我们有时会关心下一个失效时刻例如，n 个独立同分布的产 品同时开始寿命试验，假设我们已经顺序观察到r 个产品的失效时刻，那么第r + 1 个 产品将于何时失效? 确切的问题归结为，第r + 1 个产品将以多大的可能性再活过一段时 间a t ? 再如，n 个病人同时进入某种药物的治疗研究，假设我们已经顺序观察到r 个病 人的死亡时间，那么下一个病人还能活过垃的概率为多大? 据此，我们可以决定是否 需要采取某种相应的辅助治疗以及更好地控制治疗时间这个问题，1 9 9 3 年t s o k o s 等 人对w e i b u l l 分布进行了研究，1 9 9 4 年李刚对定数截断的一般情形进行了讨论 问题的一般描述如下： 设有n 个产品同时进行寿命试验，产品寿命 x 。，x ：，x 。) 是独立同分布的随机变 量，共同的分布函数为f ( x ) ，密度函数为f ( x ) 我们仅能观察到r 个次序失效时间： x ( 1 ) x ( 2 ) x ( ，) f 1 1 ) 现在的目的是根据顺序样本( 1 1 ) 去估计 尸r 2p ( x ( ) 一x ( ，) a t i ( ，) ) 令 k = 一x ( ，) + x ( h ) 艺= x f r l 容易得到( i ，e ) 的联合密度函数为： ( y - ，y z ) 2 i 了二i 豇i ：! ：了二j 可f 。1 ( y z ) 1 一( f ( y l + y 2 ) 。厂( y ：) 厂( y l + y 2 ) 故 匕的密度函数为 妒( y z ) = i 7 二西；：j 二面f 。( y ：) 1 一( f ( y z ) ”一7 厂( _ y z ) 于是给定x ( ，) 时x ( ) 一x ( ，) 的条件密度为 川舻= 矧 =(”一r)!lilll簪f(x 厂( y ，+ x 。，) ( 1 _ 2 ) 。 。 一(。) r ” 第l 页，共3 5 页 只= e ( x ”1 ) 一( ，) c 工( ，) ) 2 j 妒( y 1l z ) d y ：r i 二! 堕立氅 叫1 j 丽 ：( 掣广， 3 )= i il dj 、s ( 五，) 此处，s ( f ) = p ( x f ) = 1 一，( f ) 为生存函数我们可以发现n r 个独立个体活过 x 后，又全部活过x ( ，) + a t 的概率就是( 1 t3 ) 根据( 1 3 ) ，我们可以得到z ”的置信度为1 一d 的置信区间【z 【，) ，z ( ，) 十f ， 其中a t 由方程an - r s ( x ( ，) ) = s ( x + f ) 确定 在参数情况下，设x 。，x ：，x 。i i d f ( x ；毋) ，口0 ，这里f 的数学形式已知，只 有参数护未知，并且x 具有连续的密度函数厂( 置矽) 假如我们已获得参数口的一个估计 6 ，由( 1 3 ) ，我们可以得到只的估计 a 、 只a ：l 型止掣l ( 1 4 ) ls ( x r ，r i o ) j 在参数情况下，李刚证明了只a 的大样本性质与各的大样本性质有关 引理1 ( 李刚1 9 9 4 ) 若以下条件同时满足： a ) 当n m 时，三一a ，其中a 是大于0 小于1 的常数； ，n b ) a t ( n ) = o ( 与，l a g = 1 1 婴n z x t ； n “7 c ) 存在吖 o ，使馏 a t lx ( r ) ) 以下2 2 将利用最小二乘法和近似似然估计方法讨论单参数指数分布的估计问 题，2 3 将利用此两种方法讨论双参数指数分布的估计问题2 4 将分别使用逆矩估 计方法和最小二乘法讨论两参数威布尔分布的估计问题 2 2 单参数指数分布 设产品寿命 鼻。) f i d 参数为0 的指数分布，其分布函数为： ，( 石；曰) = 1 一口一。7 9 ，石0 ，0 0 现假定有n 个产品进行定数截断寿命试验，由于数据缺失，我们仅能观察到k 个次 序失效数据：x ( 1 ) x ( 。) x ( a ) 预估计& ，下面先求护的估计值 第4 页，j 3 5 页 2 2 1 方法一：最j j 、- - 乘法估计 设五= l i b ，则f ( x ) = p ( x 0 现假定有n 个产品进行定数截断寿命试 验，由于数据缺失，我们仅能观察到k 个次序失效数据： x ( ) x ( 丘) x ( 略) 预估计& ，下面先求，0 的估计值 2 3 1 方法一：最小二乘法估计 设五= i 0 ，贝l j f ( x 。) = l 一日一2 h m 令y = h a ( 1 一f ( x ) ) = 一2 x y 。= i n ( 1 1 一f ( x n ) ) = 一x ( x 一) + 占 令q ( ，a ) ：壹 - 旯( x 。一) 一y a 】2 最小 詈= 2 扣( x n - # 一a 拙f 舻。 嚣= z 扣魄刊啮a 舻。 解这个方程组，可得 “2 t _ ( l ；l l = 1 y 。 x _ 】 k 只a i m 一( 圭_ ) ( k _ ) ，h 。) j lj 1 圭奠 旯= 一i - ( _ 一二 ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) 。 以 。 一 、j 这里，可以用样本分位数估计f ( a ) = n + l l ，则只a = 1 n ( 1 一旨) 由( 1 3 ) 可得： t 玎旷崩。e x p ( n 一班f i a y f i 一f ) ( 2 3 3 ) 则z ( 州) 的置信度为l 一口的置信区间为： 石( r i ) ，x ( ，1 1 + f ，其中血= 一i i 0 l n 口 2 3 2 方法二：近似极大似然估计 类似于2 2 2 单参数指数分布求近似极大似然估计的方法，可得到未知参数 a t 。0 的近似极大似然估计 + ( n 一_ ) + z e r r l l m 墨+ ( 1 6 ，) x l + l 卜( n 一 + 1 ) 。l 归瓦j 鬲1 ) r 一 眩，舢 七一( + l 一一 。 2 3 4 a ：x 。+ p a i n ( 型) 2 x 一+ p 1 “( 半 d i 一 一l k 一( k 。一一1 妒 f = 1 类似于2 2 2 ，可计算估计量的期望与方差如下： d ( 口) = e ( o ) = 一一1 妒， 2 一一1 ) r c ， ( 2 3 - 5 ) ( kc ，z 卢。+ 2 kc ，c ，岛) ( 2 3 6 ) 卢lf - 第l i 页，兵3 5 页 一 ( 一t + “ 一 陋 其中 旷喜南2 毒去 = 喜赤= 。：薹汀1 ， aa 最= e 一”“ 一( 一l l 驴。 i 一l = e x p _ ( 一) f r i j 土旦一 ) + ( n - r d x ( q ) + o i 一一1 】 一z ( ) + ( 1 4 ) x ( ) + 一r k 十1 ) x ( 1 ) 则x ( 州) 的置信度为1 一口的置信区间为：k 咿x ( 。) + f ，其中出= 一i 兰l n a 以下是一组随机模拟的结果： 取n = 1 0 0 0 ，k = 4 0 0 ，i = l ，3 ，5 7 ，7 9 9 ，取参数真值0 = = 2 ，0 = 3 ，= 1 两种组合 分别用最小二乘法、近似极大似然估计法进行了模拟，结果见表2 3 1 及表2 3 2 表中 参数估计数据为2 0 次重复模拟所得估计的均值与标准差 参数 最小二乘法 近似极大似然估计法 n 2 0 0 2 0 0 30 0 2 6 4 7 72 0 0 1 5 8 20 0 0 1 9 6 1 口 2 0 2 7 5 7 60 0 4 4 3 7 81 9 9 9 3 2 30 0 4 5 5 5 9 x ( r d 模拟值 5 2 0 2 5 8 4 4 45 2 0 2 5 8 4 4 4 石( + 1 ) 模拟值 5 2 0 4 7 0 4 5 25 2 0 4 7 0 4 5 2 0 1 3 7 7 0 1 8 9 60 1 3 3 8 9 7 5 0 6 p ( a t = 0 0 2 ) 0 9 0 5 6 2 2 0 6 60 9 0 4 3 5 4 3 3 4 只( a t = 0 0 0 1 ) “( 4 + ”置信区间 5 2 0 2 5 8 4 4 4 ，5 2 3 2 8 0 3 7 1 8 5 2 0 2 5 8 4 4 4 ，5 2 3 2 3 8 2 6 31 ( 置信度9 5 ) 表2 3 10 = 2 ，= 2 第1 2 页。共3 5 页 表2 3 2 0 = 3 ，= 1 从上表可以看出，两种方法的模拟结果的精度都是令人满意的，其中近似极大似然 估计方法的估计效果更优 2 4 两参数w e i b u l l 分布 设产品寿命 x 0f i d 服从两参数w e i b u l l 分布，其分布函数为： f ( z ；，0 ) = l e x p - ( 丢- ) “ ，x 0 ，其中m o 称为形状参数，0 o 称为刻度参数 v 现假定有n 个产品进行定数截断寿命试验，由于数据缺失，我们仅能观察到k 个次 序失效数据：z ( ) x ( ) 上( ) 预估计& ，下面先求趿肌的估计值 2 4 1 方法一；逆矩估计 王蓉华、徐晓玲( 1 9 9 6 ) 提出了定数截断缺失数据下w e i b u l l 分布参数的逆矩估计方 法，令： z ( m ) + 1 ) ( 等) ” + 1 ) ( 孚) ” 第1 3 页共3 5 面 参数最小二乘法近似极大似然估计法 爿 o 9 8 7 5 9 6o 0 3 3 5 0 8 1 0 0 2 7 0 3o 0 0 2 7 9 臼 3 0 4 7 1 3 9o 0 9 6 0 3 53 0 0 9 2 8 7o 0 9 1 4 8 7 石( ) 5 4 4 7 2 4 9 9 95 4 4 7 2 4 9 9 9 x l + ” 5 4 5 6 5 3 7 35 4 5 6 5 3 7 3 & a ( a t = 0 0 2 ) 0 2 6 7 3 3 0 31 3 0 2 6 2 9 3 0 7 5l p l a ( 出= 0 0 0 1 ) 0 9 3 616 5 0 2 20 9 3 5 3 8 8 5 9 2 石( + ”置信区间 5 4 4 7 2 4 9 9 9 ，5 4 9 2 6 6 4 9 7 8 5 4 4 7 2 4 9 9 9 ，5 4 9 21 0 0 8 2 7 ( 置信度9 5 ) 竺眦 _ 一 一 一 一 珂 一 胛 。日丸百 同 i | r 血口 一 一 一 一 一 。守厶孚，【，厶 闩 可以看出t t ( m ) 的分布与参数无关由此利用m o n t e - - c a r l o 模拟方法易知正) 的期望 值，记其为k 。，令 t z ( m 2 善( 堋等) k ( 等门= - - ，。z 。( 一川) ( 石品，吖三一)l ：i vvv l - l 可以看出t z ( m ，臼) 的分布与参数无关由此利用m o n t e - - c a r l o 模拟方法易知疋( m ，目) 的 期望值，记其为k 。：，于是利用逆矩估计思想可得形状参数r n 的点估计m ，即m 为如 下方程的根 正( m ) = k 。 ( 2 4 1 ) 由参考文献 1 1 知( 2 4 1 ) 有唯一正数根进而可以得到刻度参数口的点估计目： 臼a2 东善k ( 叫+ 1 ) ( x i ，薯) ) 1 篇( 2 。2 ) 则代入( 1 3 ) 得： 最：e x p ( n _ r k ) ( 竿) ：一( 每竺炳 ( 2 _ 4 3 ) 丘= ( n 。r k ) ( ) k ( _ 午一) ”】 ( 2 4 3 ) 则。( 。+ 1 ) 的置信度为1 - 口的置信区间为： x ( ) ，x ( ) + 订，其中 扯廿6 f ( 1 n a c 拶 屈 以下是一组随机模拟的结果： 取参数真值0 = m = 1 ，分别对n = 1 0 ，k = 6 ，= 1 ，3 ，4 ，6 ，8 ，9 ( 称为情形1 ) ： n = 2 0 ，k = 1 0 ，= 1 ，3 ，4 ，6 ，8 ，9 ，1 2 ，1 6 ，1 8 ，1 9 ( 称为情形2 ) 两种场合进行了1 0 0 次m o n t e c a r l o 模拟，结果如表2 4 1 所示( a t = 0 0 2 ) 。表中参数估计数据为1 0 0 次重复模拟所 a 得估计的均值与标准差，并根据当前数据及参数估计值计算得到的最 第1 4 页，韭3 5 页 情形情形l情形2 足 5 4 9 3 6 6 7 9 3 1 1 2 5 9 5 1 9 8 2 3 2 k 。2 5 0 1 2 3 5 3 2 51 1 1 1 9 1 3 4 5 7 均值：1 0 3 1 4 0 2 1 2 3均值：1 0 6 2 4 3 7 0 9 8 口 标准差：0 1 0 6 2 3 8标准差：o 0 7 3 6 8 均值：1 0 1 7 4 l均值：1 0 0 7 5 6 5 m 标准差：o 11 0 2 3 4标准差：o 0 4 6 3 2 1 x ( n ) 1 6 8 0 1 5 0 0 1 72 1 6 1 2 8 6 4 6 4 x ( h + 1 ) 1 7 1 3 1 1 4 5 4 72 9 1 1 1 2 4 5 7 2 只 0 9 8 0 3o 9 8 1 1 l 表2 4 1 从上表可以看出模拟结果是比较令人满意的。 2 4 2 方法二：最小二乘法估计 设兄= i 0 ，则f ( x ) = p ( x 0 假定最短寿命l 已知“= o 时，双参数指数分布即一般的单参数指数分布 f ( x ；o ) = l e 一。7 9 ，x o ，臼 0 在定数截断寿命试验数据缺失场合下，我们取n 个产品参加寿命试验，假设仅能观 察到k 个次序缺失数据：x ( n ) 戈( ) x ( 1 ) ( 3 2 1 ) 由于0 是尺度参数，因此其先验分布可取为无信息先验分布： 第j 8 页，共3 5 页 石。( 护) 4 万1 ，o 口 。 ( 32 3 ) 这是定数截断数据场合下口的共轭先验分布当超参数a ：o ，彦：o 时逆伽玛分布即为无 信息先验分布( 3 2 2 ) 先验分布( 3 2 3 ) 中的超参数口，口可以由历史数据或专家意见确定，也可以根据工 程经验或历史数据给出平均寿命p 的上限先和下限吼，使之满足 p ( 护 0 ，记 d ( ，；f ) = i o 7 9 ( o ；a ，f 1 ) l ( to ) a o f ，m ，+ j ( t h t ，) s ( t ) + p + t l m ? + j ( t j 。 =rc口+七一，差善。ct，一篓“(fic：1s。，+k-itim!+j(t,+l-ti)i=0l i = 0 “+ 。 如= o 1 = o j 从而在平方损失下，0 的b a y e s 估计为 0 = e ( o i t ) = 忙( 曰；口，p ) u of ) 棚弦( 铀，f 1 ) l ( a t ) d a 010 = d ( 1 ；t ) d ( o ；t ) 则代入( 1 3 ) 得到的b a y e s 估计为： 最一e x p 础锱( n 训) p =一，二3 二里( 一以) 3 3 双参数指数分布形状参数已知时& 的近似b a y e s 估计 ( 3 2 4 ) 上节我们讨论了双参数指数分布形状参数已知时& 的b a y e s 估计，并给出了显 性表达式，但其计算过程非常复杂，本节我们将给出一种近似b a y e s 估计方法 第2 0 页。共3 5 页 令。( 。) 一= f ，w r , = f 0 ，i = 1 2 ，k ，则样本( 3 2 1 ) 的似然函数变为 l ( w 1 日) = c o n s t 0 “ 其中m 。= + l 一+ 1 相应的对数似然函数为 ( 3 3 1 ) 3 2 中0 的b a y e s 估计计算的复杂性主要是因为l ( x 口) 的形式过于复杂，我们这里考 虑它的一种较简单的近似 记 ( k ，+ ) = l n ( e 一一e - t ) p 。= 斋，g “一p 。，s t , 一l n g 则是标准指数分布的n 的分位数 把函数 ( ，w r j ，) 在( ，s ) 处t a y l o r 展开得 帆，w 。嘶。1 。也抄焘+ ( w r ，1 - - f r , , t ) 焘 孝子城( e 一s “) 2 ” = 口，一层+ 以+ 一4 ( 一+ ) 2 + 如 其中，口，= n c 。一a 。+ ，+ ! 卫l 塑半一! 旦! ：i 窘 疗： 生 一生纽塑纽二! ! 型 i g 一q 1 。( g 。一g 。) 2 ，。= 一，+ 屈，瓯。持 余项r 。由下式给出： r。=击cc一s。，+cw。+s。+，3!堕二：i：i!；：!ii铲 ( 3 3 2 ) 第2 l 贝共3 5 页 m 、) 一 e一 一 e ，l 兀 w 、， k 一阼 ，l +w 。h p xe ， 一 e一 口 w p ，l nm 瑚 + w 、j 唯 一 n ，l + 。 一臼n，k fs门dcn = e n 忽略余项，并代入( 3 3 1 ) 得： 女 k - 1 i n lz i n l = l n c o n s t k l n o 一 w + ( h r d w 。 + z m 。 口。一p , w l 十y 。w + i = ii = 0 因w ，= t ，0 ，对上式进行整理得： 呲旧= c o n s t - k i n 0 + b 口( t ) 一笋 ( 3 3 3 ) 其中，c o n s t 为常数， k l 占( f ) = 一j ( f ) + m f ( - p , t + m + ，) i = 0 c ( f ) = 6 i ( t 一f ) 2 s ( f ) = t 。+ o - r d t ， 进而基于样本( 3 2 1 ) 的近似似然函数形式如下： 砌印= c o n s t 旷唧学一詈) 引理1 ( 王乃生王玲玲2 0 0 1 ) 设对于每个酊= 1 , 2 ，k 1 ) ，存在o 占： + 。 0 = l 第2 3 页，共3 5 页 显然一切6 1 都适合这个要求，且容易算出上述积分值为生t o 蔓) 丁6 一 以d ( b ，c ，d ) 记一分布，其密度函数为： 鱼生。“口啪叫。一竽 r ( b ) 记f = d ( b ，c ，d ) ：6 1 ，c o ，d 0 定理1 定数截尾数据场合下双参数指数分布的参数( 口，p ) 的共轭先验分布为 f = d ( b ，c ，d ) ：b 1 ，c 0 ，d o ) 证明：设( 臼，) 的先验分布为d ( b ，c ，d ) ，其联合密度函数为 枷) = 而b - 1 c 矿一学 则( 曰，) 的后验概率为： 石c 口，lj r ，。- j ：；i ：孑j 畿 鱼土。“口m 叫。竽l 口一r 。一r 。” ： ! 蚴竺二型 f 糕产矿一学- 南o - , e - r e - w , d 娜 ：! ! ：! ，! ：兰f c + 丁1 6 + ，一1 口一( 6 + ，一1 ) p 一! ! ! ：! ：! ；二1 1 8 r ( b + ，1 、 ( 3 4 2 ) 即汐，) 的后验分布为d ( 6 + ，c + t ，d + 开) ，仍属于，这证明了，是其共轭先验分布 族 下面求在定数截尾缺失数据场合下，o 的b a y e s 估计 取( 护，) 的先验分布为d ( b ，c ，d ) ，则样本( 3 4 1 ) 的似然函数为： 第2 4 页，共3 5 页 嘶 d 竽 扣 一胪 o 婕眵b些目 定确 l ( x f 护，) = i i _ = = _ i ：_ ：。五而f ，( 工- ) 】1 一p ( 上c n ，) p ( _ 。，) p ( x ( r d ) 一1 1 _ f ( 石( 。) ) r 兀 ，( 工( 叫) ) f ( t ) p 1 ” 一删铲 1 - e x p ( _ 皇艺掣n r l - - i 一石l 。跏k + 住_ ( n - r k + 堋 # e x p ( 一等- ) 唧( 一字坩” 令r o = x o = 0 ，m f = + i r 一1 ，i = 0 , 1 ，k 一1 s ( 工) 2 蚤x + o 一_ ) j ( r i ) 则 地旧舻一加e x p 一扣曲叫n - r k + k ) 】 珥k - i f e x p ( 一竽) 一e x p ( 一玉铲旷 ( 3 4 3 ) j r ( o ，jz ) d ( o ，；6 ，c ；d ) l ( x0 ，) “一半e x p h - 爹( d - n + r k - k ) 珥k - i e x p ( 等) _ e 册孚矿r o c e 一掣唧 一詈”m 卅 符i f f i o 溉j 。o ( 砒卅扣x ( n ，0 - - x ( r d m 如刊 。c 0 - ( b _ k - l ) e x p 一弘1 一s 。) 十p 耐一n + 一 - 差茎0 嚣( - l p ，e 一万1 c j ix p u ( 飞一x ( r 9 ) + 州，一删 - 兀( 一1 ) “，e 一石 ，( ) 一) + 肌；( z 一) 】 山= 0 一1 = 0l f ；o j “争篇。 ”扣矿1 ( x p - h 厂) ) + 刚。) + m l x c ，1 】一钞 小州 硼。“” n ( 一1 ) “c ie 。i h 厂。) + c + s o】一告( d + 一n 一女哪) = 0 j - dl 枷 v9 j 珂”“嘻斟一n 轧唧憎i k - t 吨。，1 一鼬帅 ) e x p 芳篓c d + 一n t 一，”。，) 对任意，0 ，记 第2 5 页，其3 5 页 d j ) = jj 护。d ( 口，a ；b , c ；d ) 三( z f 曰，) z 删p 00 叮争釜关氅 _ r ( 小3 ) 长艺 = 0m 1z o 俨“e x p 一；扎i = 0 慨。， ( _ 1 ) 菇c ；) ( d + - n - k - m 。) 上“ ) + c + s ( j ) + m x “，】 d 目 j 7k - i、一( 6 “一，一3 ) 一z ) + c 十s ( x ) + m 。x l i = 0 j 从而在平方损失下，目的b a y e s 估计为： ；叫卟) = 器 则t 的b a y e s 估计为： 最= e x p 一a t 嬲( n 训r k 只= 一亏湍( n 一) ) 3 5 双参数指数分布形状参数未知时最的近似b a y e s 估计 ( 3 4 4 ) ( 3 4 5 ) ( 3 4 6 ) 上节我们讨论了双参数指数分布形状参数未知时最的b a y e s 估计，并给出了显 性表达式，但其计算过程较为复杂，本节我们将给出一种近似b a y e s 估计方法 屯= 竿，l f = 1 ，2 ，七 则样本( 3 4 1 ) 的似然函数变为： l ( t io ，) = c o n s t 口- t e x p - 杰f 。+ ( n - r d f 。】 n k - i ( g 一一g 一) 嘶 其中 r t 。= 。一r i + 1 ，则相应的对数似然函数为： l n 三：l n 渊盯一胁臼叫窆。+ ( n 一咯) f _ + k - i 朋，1 n ( e w _ _ e - t q i ) ( 3 5 1 ) 3 4 中矽的b a y e s 估计计算的复杂性主要是因为l ( x ) 口，) 的形式过于复杂，我们 这里考虑它的一种较简单的近似 记 ( f ，r ) = l n ( e 。1 一p + 1 ) p 。= 熹，吼_ 1 一以，一l n 吼 则。是标准指数分布的p 。的分位数类似3 3 ，将函数h ( w 。，w 。) 在点( s 。，s 。) 处 t a y l o r 展开得： h ( w ，+ ，) = 口，一臼i w r , + ，。w + ，一玩( 一。) 2 + r 。 ( 3 5 2 ) 其中，口。= n ( 。一q 。，) + 1 2 土：警一! ! ! j 等 肛去qq 一毪q 铲一+ j【一g 。j y - = 一t + 屈，占一2 抬 尺。=三cc一占。，+c+一占。+，3!旦!：；!：i!i；ii：铲 忽略余项，并代入( 3 5 1 ) 得 l n l l n f t 一l = i n c o n s t k l n o 一 f + ( ”一k y l 】+ z m f 口，一f l , t + y ，t 1 ：，一, 5 i ( f 一f “，) 2 】 f _ ll - 0 因铲竽，对上式进行整理得 呲b 旧= c o n s t - k i n 0 + b p ( x ) + 字一铲 ( 3 5 3 ) - 1 其中，c o n s t + 为常数，占( 石) = 一j ( z ) + ( 一层+ ，工) f = 0 s ( z ) = + o - r 。) x 。， 女一l d = ( n - r k + j ) + 州，6 j = 0 c ( j ) = m ，口( _ 一_ + ) 2 赃| 垫亍仟不( 3 4 1 ) 的j 拄似似然函数形式如f ： m l e ) = 矽- k e x p f f _ 笋+ 字一铲 ( 3 1 5 4 ) 在样本量n 较大的情况下，可以根据近似似然函数r 对参数做推断首先利用近似 似然函数r 求得( 口，) 的近似后验密度为： 万c 目，ix ，石+ c 只卢lx ，2 了7 丢嚣；盖；：薹芸 - c 俨“) c x p 竽+ 丁( d - d ) p 一铲 其中，c 为正则化常数( c 。矿f ，d ( 只彬6 ，c , d ) l ( x i o , , t t d o d f l ) 则可计算得一的近似后验边际密度为： 石( el 加c 伊m 2 击唧 字一笋 “一9 - ( k + b - 2 ) e x p 竽一笋 ( 3 s 5 ) 类似于3 3 ，利用l a p l a c e 近似算法，可以很容易地求出口的近似b a y e s 估计为： 否= ( 口= 吼t r f l 乒b 2x p 伸( 垆c 】畸一旁一c ( 坝寿一寿) ) 1 + 。( 聆_ 2 ) 】 ( 3 5 6 ) 其中，对f-o，1，p：c-8(x)+,jc-b(x)2+8c(x)(k+b-2-i) z 【七十b 一2 ) 铲o 。 k + b - 2 - i + 2 c f ( x ) 证明略 则e r 的近似b a y e s 估计为： 乓：e x p ( _ f 皇芝型 ( 3 5 7 ) 第2 8 页，共3 5 贝 4 1 模型l 第四章定数截断污染数据的讨论 模型i ：我们在观察随机变量x ，时，受到随机变量e 的污染和干扰，事实上我们 只能观察到z ，。x 。+ 蟛其中， x 。) 谴d e x p ( ) ， e f 彳e x p ( a 2 ) 且与 z ) 相互独立s 亦称为污染系数，为一个很小的数，可进一步假定云玄“1 。 z ( 。，五：) z ( 时为( z 。，z 2 ，乙) 的顺序统计量，试验在出现第r 个失效产品时停止 记总试验时间为r ：圭z ( ，) + o r ) z ( ，) 则此时，z 的分布函数与密度函数分别为： 哪h 一去e - & z + 纛e 吐“ 1 。d 骅) = 警= 毪旷年叫吐2 “) h l2 根据郑祖康、郎春梅、张宏鹏( 2 0 0 1 ) ，2 z 1 的分布函数为： g ( f ) = p ( 2 丁 1 ) = ( 1 一砉s ) - k 2 r + o ( ) ， 其中k 2 ，( r ) 表示自由度为2 r 的z 2 分布函数 假设互，疋，乙为一列历史数据，即过去试验中的总时间，r 是当前试验的总时间i 则用矩估计的方法，我们可以构造下面的方程组，从而得到参数的估计值 熹嘻b ( 1 一鲁矿盘 熹( 喜私矿川l 一砉矿4 ，( ，+ 1 ) 熹( 豁删专玎”西( ，+ 驸+ 2 ) 第2 9 页共3 5 虹 解此方程组，可得到参数 ，五：及占的矩估计值 ，五和占 若s ， 已知，a ：未知，则可计算得 盆：苎! ! ( 4 1 3 ) 1 _ ( 争 舯于= 熹( 善+ ) 代入( 1 3 ) 及( 4 1 1 ) 可得 a p = 一阜( z ( ，) + m l f e 弧一1 + ( 1 一( 旁”) e 12 7 二再= _ e 唧+ ( 1 一( 铲弦2 7 ( 4 1 4 ) 下面讨论估计的相合性： 引理1 ：设g ( 口) = 矗( 以， ；o j j ，仃。) ，从，盯，都是口 的函数， 为其各变元的连 续函数，则g ( 臼) 的矩估计g ( 口) = ( 口矿埘- ；埘 ，聊山) 为g ( 口) 的强相合估计其中a 。为 样本原点矩，m 。为样本中心矩 证明：见参考文献 1 引理2 ：设未( 屯，矗) ，j ：1 ，p 分别为既( 口) ，七：1 ，p 的相合估计，假设函数 e ( y ，y 。) 满足如下的条件： 1 对任何n 及x ，x 。，( 自( _ ，x 。) ，g 。( x ”，x 。) ) 落在9 的定义域内；对任何臼o ， ( 蜀( 口) ，g 。够) ) 落在妒的定义域内 2 对任何口 ，函数妒在点( 自( 力，g 。p ) ) 处连续 则妒( 晶，以) ，g ，( 五，) ) 为妒( g 。妒) ，g ，( 卯) 的