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一类带跳扩散模型及其在金融上的应用 专业：概率论与数理统计 申请人：马远新 导师：区景祺教授 摘要 本文研究了基于双指数假设的带跳扩散模型和基于该模型的股票价格运动过 程首达时分布的性质，在此基础上独立证明了带跳市场的不完全性和计算了关卡 期权的价格，并总结了用函数变换求解期权价格的方法。基于双指数跳的的股 票价格动态过程能很好的捕捉金融时问序列数据的狭峰后尾性和“波动率微 笑”，并且基于双指数跳的关卡期权定价公式的l a p l a c e 变换能得到显式表达式， 因此该模型是值得我们探讨研究的。本文首先介绍了m e r t o n 提出的关于股票价 格运动的带跳扩散过程，独立证明了存在跳市场的不完全性，即存在无穷多的等 价鞅测度，通过选取适当的测度，使得价格运动过程是风险中性的，然后给出该 微分方程的三种解法：在该模型下，有别于m e r t o n 的方法，介绍了用f o u r i e r 变换的方法获得的欧式期权的定价公式；接着介绍了k o u 提出的双指数跳模型， 分析对比了m e r t o n 模型和k o u 模型的特征：进一步，分析了资产价格扩散过程 的首达时分布以及首达时和资产终点价格联合分布的l a p l a c e 变换；最后，用测 度变换的方法，得到了关卡期权价格的l a p l a c e 变换表达式。由于在双指数跳的 假设下，扩散过程首达时分布的l a p l a c e 变换有解析表达式，因此把有关首达时 分布的结果应用到期权价格的求解中。获得了一个很有启发性的求解期权定价问 题的方法。 关键词：双指数跳，关卡期权，l a p l a c e 变换，首达时，鞅变换 a j u m pd i f f u s i o nm o d e l w i t ha p p l i c a t i o ni nf i n a n c e m a j o r ：p r o b a b i l i t ya n dm a t h e m a t i c a ls t a t i s t i c s n a m e ：m ay u a n x i n s u p e r v i s o r ：o uj i n g q i a b s t r a c t t h i sp a p e rs t u d yt h ed o u b l ee x p o n e n t i a lj u m pd i f f u s i o nm o d e l w h i c hc o n s i s t so f ac o n t i n u o u sp a r td r i v e nb yab r o w n i a nm o t i o na n daj u m pp a r tw i t hj u m ps i z e s h a v i n gad o u b l ee x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o n ，a n da n a l y z et h ef e a t u r eo ft h ef i r s t p a s s a g et i m eo fs t o c kp r i c ep r o c e s s b a s e do nt h i sm o d e l i nt h ep a p e r , ip m v e t h ei n c o m p l e t e n e s so ff i n a n c i a lm a r k e tw i t hj u m pa n ds o l v et h eb a r r i e ro p t i o n s p r i c i n gp r o b l e m t h e m a r k e t i n c o m p l e t e n e s s i sp r o v e db yf i n d i n gi n f i n i t e n u m b e ro fm a r t i n g a l ep r o b a b i l i t ym e a s u r ea n de x p l i c i ts o l u t i o no ft h el a p l a c e t r a n s f o r mo ft h eb a r r i e ro p t i o np r i c i n gi so b t a i n e d i nt h ee n d 。h e u r i s t i cs u m m a r y i s g i v e nt op r e s e n tt h ef u n c t i o nt r a n s f o r mm e t h o dt o s o l v eo p t i o np d c i n g p r o b l e m k e yw o r d s ：d o u b l ee x p o n e n t i a lj u m p ；b a r r i e ro p u o n s ；l a p l a c et r a n s f o r m ；f i r s t p a s s a g et i m e ；m a r t i n g a l et r a n s f o r m 第1 章绪论 1 1 研究背景 第1 章绪论 金融衍生品定价理论的最新革命始于1 9 7 3 年b l a c k s c h o l e s 模型( 简记为b s 模型) 的提出，又由m e r t o n 进一步完善和系统化，标志着证券定价理论进入了 现代发展阶段。目前在全世界的证券市场上，每天都有成千上万的投资者和交 易者用它来对各种衍生证券估计。它与t a r k o w i t z s h a r p e 理论一起，构成蓬勃 发展的金融数学这一新学科的主要内容；同时也是研究新型衍生证券设计的新学 科金融工程的理论基础。由于b s 理论对未来的风险提供了系统的不依赖于人们 对风险的主观态度的估价方法( 鞅方法) ，并且还为如何化解风险提供了完整的思 路，使得这一理论还被广泛应用于一切带不确定性的环境下的决策问题，例如， 实物期权的定价，项目投资决策，保险合同估价等。大量实践证明，他们的 理论是极为有效的。 b s 模型的推导基于七个基本假设，其中也包括假设股票等标的资产价格的 变化符合几何布朗运动： d s , = s t i m d t + s , a d 彤。 这里s 是资产在时n t 的价格，弘是标的资产的瞬间期望收益率或称为漂移 率， 盯是瞬间波动率，而彬是标准的布朗运动。而且利用金融资产定价的无 套利原理，建立了风险中性条件下的一般金融衍生品价格满足如下微分方程： 专+ r s | 鼍+ ! 0 2 s 墙20 2 _ f _ f 2 _ r f a t a s ?a s ? 并结合边界条件，根据风险中性假设，成功地求解了该微分方程，得到适合于 所有风险偏好世界的基于一种不支付红利股票的欧式看涨期权和看跌期权的定价 第1 章绪论 公式，可以表示为 其中 c = s , n ( d 1 ) 一k e “。”x ( e 2 ) 吐= 竖等等幽口、，一r d，：一in(s,k)+(r-az2)(t-t)：d一口再 。 a 4 t t s 是t 时刻资产的价格，k 是执行价格，r 是到期日，r 是无风险利率，仃 是资产收益率的波动率， n o ) 为标准正态分布的概率分布函数。 1 2 研究现状及文献综述 尽管基于几何布朗运动的b s 模型已取得很大的成功，但是作为一个在现实 世界使用的工具，与实证的结合促进产生了更符合现实的模型，同时也给衍生 证券的估价和规避风险的计算带来了新的挑战。 实证主要在两方面提供了对b s 模型的分析。第一个方法主要检验标的资产 价格变化与几何布朗运动假设的是否一致：第二个方法主要检验期权价格与通过 公式计算得出的定价是否一致，以及由此产生的对添加了额外条件的模型与价格 变化过程的联合检验。 在实证分析中仍存在的两个现象需要引起注意：( 1 ) 资产收益分布的狭峰后 尾性，即，与正态分布相比较，资产收益的分布有更突的峰和更厚的尾部；( 2 ) 波动率的“微笑”；如果b s 模型是符合实际的 根据它的假设，波动率应该 是常数，但在现实中普遍发现波动率曲线像一张人脸的“微笑”，确切意思是 说：波动率是关于敲定价格的凸函数。 为了在资产定价中，可以反映狭峰后尾性，已有许多研究试图修正b s 模型， 包括：( a ) 分形布朗运动，可参考文献，r o g e r s ( 1 9 9 7 ) ；( b ) 一般情形的双曲 模型，包括对数t 模型和对数双曲模型；可参看b a r n d o r f f - n i e l s e n s h e p h a r d 第l 章绪论 ( 2 0 0 1 ) ； ( c ) 非时齐布朗运动：可参阅m a d a n s e n e t a ( 1 9 9 0 ) ， m a d a ne ta 1 ( 1 9 9 8 ) 及h e y d e ( 2 0 0 0 ) 。对于这些模型一个主要的问题是很难获得期权定价解 的表达式。或者说，他们只能给出欧式期权定价的表达式，但是对于利率衍生 品和某些与路径有关的期权却无能为力。 同样，许多模型也被提出来，以实现能够较好的反映期权定价中的波动率 “微笑”。比较常见的有：( a ) 随机波动率模型a r c h 模型：可参看e n g l e ( 1 9 9 5 ) ；( b ) 由m e r t o n ( 1 9 7 6 ) 提出的基于正态分布跳模型；( c ) 仿射随机波动 率和仿射带跳扩散模型；见文献d u f f i ee ta 1 ( 2 0 0 0 ) ：( d ) 基于l e v y 过程的 模型；可参阅文献c e m a ne ta 1 ( 2 0 0 1 ) 以及论文中的参考：( e ) 称为“隐含 二叉树”的数值方法； 见文献d u p i r e ( 1 9 9 4 ) 。上述模型除了不容易找到显式 解之外，其中的某些模型不能产生狭峰后尾性。 1 3 本文的研究思路 目前国内外对跳模型的引用主要基于假设跳服从对数正态分布，而对基于其 它类型分布的假设比较少，由于在具体应用时很难找到期权定价的显示表达式， 寻找一种与实际更符合的分布就显得很困难。本文研究的基于双指数跳的扩散模 型在某种程度上克服了上述的困难。 本文的结构安排如下：第一章介绍本文的研究背景，理论发展和文献综述。 第二章介绍了m e r t o n 和k o u 的模型，并从理论上对他们进行研究对比。在这一 章我用鞅变化的方法重新求解了带跳情形下欧式期权的价格。第三章介绍了关于 k o u 模型的首达时。第四章用鞅变化的方法求解关卡期权的价格，并在理论上说 明了把有关首达时的结果应用到关卡期权定价中的可行性。第五章对全文做了一 个总结和指出有待研究的问题。后面两个附录包括我独立完成内容： 方程的求 解和用鞅方法证明带跳情形下市场的不完备性。 本文使用的随机分析方法主要是鞅变换方法，我运用该方法证明了带跳市场 的不完全性和计算了关卡期权价格的表达式。 第2 章带跳情形下的扩敞模型 第2 章带跳情形下的扩散模型 2 1 模型的描述 m e r t o n ( 1 9 7 6 ) 第一个提出7 跳基于正念分抑的扩散模型。我们先忽略i f 念性 的假设，而先把模型理解清楚。 假设存在完备概率空间( q ，3 ，p ) 以及口代数流 墨) 。， 其懈口黔，卜 。 m e r t o n 考虑了咀下模型： p ：睾s2 础删+ d 除一d ) ， + l 台一j 其中p 是自然概率测度， s 是右连左极的资产价格运动过程，彬是标准布 朗运动， n t 是泊松过程， 强度是a ， 彬和n ，相互独立。北 是独立同分布 非负随机变量，关于g 可测，其分布未定，在不混淆情况下记为v ，与彬和n ， 相j r 独立。 与口均为常数， 分别是漂移率和波动率。 金融意义上， p 表示 期望收益。 注：假设跳发生的时间分别为一，吃，飞，则有毛一k s 。一a 在金融意义上， k 表示发生跳之后资产价格是原来价格的多少倍。 注：令j ，2 善( k 一1 ) ，关于盯代数流 毯l 一它是独立增量过程，出乇它可 第2 章带跳情形下的扩散模型 分解为，2 ( k 一1 ) - ；t e ( v 一1 ) t + a e ( v 一1 ) f ， 可知，是半鞅， 因此在数学意 义上，微分表达式是合理的：它可表示为可料过程对半鞅的随机积分。 首先，须指出，在存在跳的情形下，模型是不完备的。如在附录2 所阐 述的那样，因为存在多种可能的风险中性概率测度，即，存在多个测度q p ， 使得墨的贴现过程是一个鞅。因此在后面的讨论e p ，我们假设所选取的概率测 度是风险中性概率测度。而在此概率测度下，资产的回报率是无风险利率。 求解随机偏微分方程( 1 ) ( 附录1 给出了三种解法) ，我们得到解 p ：s 嘟x 一肛三1 盯2 ) f + 叫m ， 令置= i n ( s , s o ) ， 则上式可以写成 p ：置= ( p j 1 盯2 ) r + 盯彬+ 耋誓， 通常忽略常数项，把它进一步简记为 p ： 置。i z t + 叫+ 善 ( 2 ) 2 2m e r t o n 的方法 令- y l o g ( i 1 ，在m e r t o n 首先提出的模型中，他假设y 服从正态分布，即 】，n o , ，盯2 ) ( 3 ) 他做了这样的处理：如b s 模型一样，改变布朗运动的漂移率，同时保持复 合泊松过程部分不变，从而得到 q m ：置：品e x p + 叫叶a k ， 其中彬“是标准布朗运动，m ，如上所定义，与彬”相互独立。选择p ”使得 第2 章带跳情形下的扩散模型 贴现过程毫= s ，e ”在q 下是一个鞅 = r 一了0 2 一肛 k l 】- r 一了o 2 叫e x p ( 肛+ 譬) - 1 】sr 一了o 2 一碱， 既是等价于p 的鞅测度它通过改变布朗运动的漂移率，保持跳部分不变而得 到。m e r t o n 通过假设跳风险是“分散化的”， 即对于跳不需要支付风险溢价。 此处测度q 卅在数学上意义上的解释见附录2 。 接着，m e r t o n 应用该模型给欧式期权定价。 下面给出的欧式期权支付( s ，一k ) + 的计算有别于m e r t o n 给出的方法， 但它 与b s 定价公式以及后面k o u 给出的定价公式有形式上的一致性。 支付为( s ，一k ) + 的欧式期权价格为： e - t e ： ( s r k ) + j = e 。7 e ：【s r i 即郴”卜k e ”7 咄1 懈m ( 】 e ：【l 即。唧”】= 绋( j 0 ，l i l ( k ) ) 可以用下式计算。令， ) = e ：【p ”以】， 是x ，的特 征函数。使用f o u r i e r 逆变换公式 q ( x t y ) ；j 1 + 矗r e ( m ) 詈矽 ( 4 ) 特征函数可以计算如下： m 阀一】= 蓑学哳i 坼吲 。薹警e 印卜竽) 。h 缸一竽) y p 卜竽叫e x p ( 肌十等) ) i 其中m = x 。+ ( r a ：一仃2 2 ) t ， 通过测度变换，我们来计算另外一项。 令研m e s t s o ，d o r l r d q ，则 第2 章带跳情形下的扩散模型 e ；【s ，i l x r m ( 鲫】- 正品i m m ( 础d 绒 = l o s ，i 懈。( r 1 ，7 ；1 d 龟= 8 ”s o o ( x , ，l n ( k ) ) ， 在新变换下的特征方程变为 g 酗) ；岛 e i c , x r 】= e ：协，p + 以】 a e - r r - x o e o e “。r 】= e - r t - x o ，( f + 庐) ， 其中，( ) 如上定义。于是通过在式( 4 ) 中把，替换为g ，概率屯( x ，l n ( k ) ) 可 以用f o u r i e r 逆变换求得。于是在m e r t o n 的跳扩散模型下，欧式看涨期权的价 格公式为 s 。屯( z ， i i l ( k ) ) 一k e ”7 绒( 工， l i l ( k ) ) 。 2 3k o u 的方法 模型假设如下：对数资产价格的变化遵循一个布朗运动加上一个复合泊松过 程，泊松过程的跳服从双指数分布。正是因为模型的简单，模型参数可以很容 易的得到解释，而且可以很好的得到期权定价的解析解。计算上的便利部分的 归功于指数分布的无记忆性。 模型的刻画与随机微分方程( 1 ) 相同。 假设资产的价格运动过程由下式确定，并且假设是在风险中性概率测度p + 下： p _ s t = s o e x p u k r + 叫) 1 7 1 ， 其中i 略= r - 譬一肛哦一， = r 一譬一舶翥+ p 希- q ；r 一譬一“， 其中彬是一维布朗运动， n 。是泊松过程， 强度为 ， 以 是独立同分布 非负随机变量， y = l o g ( v ) 不对称的双指数分布， 密度为 第2 章带跳情形下的扩敞模型 f y ( y ) = p r i l e - “y ， ，：0 ) + q # 1 2 e n 2 y ， ，。0 ) ， ( 5 ) t 7 1 1 ，t 7 2 0 ， 其中p , q o , p + q = 1 ，分别表示向上向下跳的概率。换句话说， 阶y 鼍裟蒿褂 其中亭+ 和亭一是指数分布随机变量， 均值分别为1 叩。和1 , 7 ：。在模型中，m ， 彬和y 相互独立。为了获得各种期权定价的解析解，我们假设漂移率肛和波动 率盯是常数， 而且布朗运动和跳假设是一维情形。这些假设可以很容易的推广 到一般情形。 注意到： e ( y ) 2 景一q v a r ( y ) = p q ( 去+ 去) 2 + ( 嚣+ 毒) ， 和 e ( 矿) = e ( p 7 ) ；目墨+ p 墨，7 。，0 ，7 ：，o 。 ，7 2 + 1 叩l 一1 条件吼) 1 保证e ( y ) c m 且e ( s ) c m 。这意味着向上跳的平均值不超过1 0 0 ， 是相当合理的。 k o u 在论文中给出在时i l l 区i l la t 内的收益近似公式 垒蔓。m k ￥o z 0 五 b y ? s 。 其中z 和b 是标准正态分布和b e r n o u l l i 分布随机变量，相应的，p ( b 一1 ) = a f p ( b ：m ：1 一a f ， y 的密度由( 5 ) 给出。该式右边部分记为g ，g 的概率密 度函数显示出了尖峰后尾的性质， 详细介绍见文献( k o u2 0 0 2 ) 。 第2 章带跳情形下的扩散模型 2 4k o u 模型与m e r t o n 模型的比较分析 下面用下表对这两个模型的基本特征做一个比较： m e r t o n 的模型k o u 的模型 模型的种类复合泊松过程+ 布朗运动 参数 4 个：盯，a ，盯25 个：口，a ，f i x ，叩2 ，p 跳的概率密度 式( 3 )式( 5 ) e 【置】 t ( u 。+ p ) f ( “+ a p l q l 一 ( 1 一| 口) ”2 ) v a r ( x , )t ( 0 2 + a o 2 + 柚。2 ) t ( a 2 + a _ p ，q ? + z ( 1 - p ) q ：) e e 。五】 唧 卜+ 妒+ ( 鼬+ l o o _ i ) a h唧卜1 ：0 2 a ：+ a b 皿7 2 + 0 一- ) 】f 简要给出在k o u 模型中e ex , 】的计算：假设为了计算它，只需分别计算 e ”嘭】= ：1 旧2 盯2 ， ek8lx，。耋。【冉im。尸。q。，。砉掣，其中。一啦，喁， 双指数跳模型吸引人的地方在于它有一些特点：模型简单；对某些与路径有 关的期权和利率期权有解析解。许多基于b s 假设的模型都只能用来计算标准期 权，对于其它的衍生品得不到很好的解析解。若用数值方法来计算基于b s 假设 的利率期权和与路径有关的期权，也不是那么的容易，因为用二叉树模拟和 m o n t ec a r l o 模拟的方法收敛速率很慢( 参见b o y l ee tl a 1 9 9 7 ) 。 我们仍使用模型( 1 ) 的记号，m e r t o n 在模型中假设y 服从正态分布。该模 型与本文的模型一样，能够重现狭峰后尾性( 后者的峰度更为显着) 和隐含波动率 微笑，也能给出看涨看跌期权和利率期权的解析解( g l a s s e r m a n k o u1 9 9 9 ) 。但 这两个模型仍存在不同之处，主要不同的地方在于后者能给出某些与路径相关期 权的解析解。在本文最后一章给出关卡期权的定价公式。 9 第2 章带跳情形下的扩散模型 这里我先给出为何基于双指数跳的模型可以给出紧凑的解的形式的直观理 解。为了能够在一般的带跳扩散模型下给永久美式期权，关卡期权和回望期权 定价， 对扩散过程首次通过边界的研究是很有必要的。当一个扩散过程穿过边 界的时候，有时它准确的停留在边界，有时却超过了边界。 价格超过边界给期权定价带来了若干问题。首先，我们需要知道价格超过 边界这种可能的概率分布。 从随机过程更新理论我们知道， 只有当】，具有指数 类型分布时才有可能求得该概率分布。这要归功于指数分前i 的无记忆性。第二， 我们需要知道价格超过边界和首达时的关系。这两个随机变量依条件相互独立。 这样的关系似乎只是对指数性分布才能成立，而其它分布，如正态分布，不具 有这样的性质。 因此，从双指数跳的假设可以获得永久美式期权 回望期权和关卡期权的 解析解表达式。而对于其它带跳扩散过程似乎无法做到这一点，包括e 态假设 的带跳扩散过程。 第3 章k o u 模型中扩散过程的首达时研究 第3 章k o u 模型中扩散过程的首达时研究 下面主要来研究跳服从双指数分布的时候，扩散过程的首达时。关于布朗 运动，几何布朗运动的首达时均已经得到其分布的表达式，而对带跳扩散，由 于跳的存在，能否得到其首达时的表达式还取决于对跳的性质的选择，譬如，跳 的分布，跳的类型等等。k o u 和w a n g 在文章 2 0 中用l a p l a c e 变换的方法得了 带跳扩散情形下首达时分布的求解方法。 定义：5 i n f t 苫0 ：x ，芑6 ) ， b o ， 其中在忆= o 。) 上，x 。s l i m s u p ，。一。 下面主要求解这样两个问题： ( a ) 首达时t 的分布 p ( 吒s f ) ；p ( m 譬x ，苫6 1 ， ( b ) 首达时与其终点时刻的联合分布 p ( 置z 玑m 。a 。x x ， 6 ) ；p 瓴乱置苫n ) ， 对固定的asb 和b ，0 ，这个条件在关卡期权的定价中是很有用的。 本节的内容主要是对k o u 和w a n g 文中 2 0 的内容做一个综述，为下一节把 他们的结果应用到期权的定价做准备。 3 1 首达时的分布 舣g ”讹+ + 【嚣+ 惫一，卜 显然，根据c ( s ) 的定义，e e ”】= e x p g ( o ) t 。 第3 章k o u 模型i 扩散过程的酋达n 寸研究 引理：方程 o ( x 1 = 口， 对a 0( 6 ) 有四个根：卢1 ，卢：一只一只一 其中 0 ( 岛，a r 1 , 6 2 ，口( 0 0 ，0 岛，a 一曲。 3 3l a p l a c e 变换 命题：联合分布( 7 ) 的l a p l a c e 变换为 工e “p 瓴虬墨 a ) d t 5 “e “p 口一b ) d t + 瓢e - o p ( x r + 亭+ 苫n b ) d t 这里宇+ 是与置独立的指数分布随机变量，参数为叩l ， 肛e e - , ”q 刚】- 盟芦2 , o - & oe - b a t 4 + 按e 蚺_ ， 口；e e l l x 。 b 】= ! ! j i 搿( e - 6 “：一e 4 ) 。 ( 8 ) 第3 章k o u 模型巾扩教过程的首达时研究 其中 定理：应用上面引进的函数，( 7 ) 式可以写为 正p 1 p ( r b 乱工， a ) d t 叫删耄等州舭，一钞 托伽1 荟荟鲁只，+ 口耳 j ) 【荟1 ( 。叩) i 凰( 九l ，c + 川j 。“ 1 ” 一 、 一e “砉薹等即q ，+ b 杰，j ) ( 蓦 - 1c 叼：，。q c n ，l ，c - ；n ，) “曰砉骞等( 州讯u m 撕。b h o ( f 心c + ；。) 驴剐加瞄- i - 1 ) ( 焘门焘r ；副办叫m - i - 1 ) ( 纛九焘厂 易知c 。_ _ p 4 和q 。_ q ”： 瓦；砉q ，( 纛) f 毛，2 i g n + l , 1 s fs 订一1 ， 1 s f n 一1 酷剃咖( 纛九焘厂1 ，s n c + z 叨。+ 告，c 一；叨：一警，ls a + a + 笔z o ，ns 等，od o 4 和口由式( 8 ) 和( 9 ) 给出。 以上命题和定理的证明详细请看 2 0 。 知道了上述两个分布的l a p l a c e 变换以后，就可咀对它们用l a p l a c e 逆变换的算 法，计算出分布的估计值。 第4 章对关卡期权的定价 第4 章对关卡期权的定价 4 1 关卡期权介绍 关卡期权式这样一张欧式期权含约，他的最终收益除了依赖于原生资产在期 权到期日的价格，还与原生资产价格在整个期权有效期内是否达到某一规定水平 ( 即关卡值b a r r i e r ) 有关。 按照原生资产价格达到规定关卡后期权的状态，关卡期权分为两大类，一类 是敲出期权，这类期权的特点是：当原生资产价格达到规定关卡时，期权终止 有效。如果在期权的有效期内原生资产价格大于关卡值，那么称为下降敲出期 权；如果在期权的有效期内原生资产价格小于关卡值，那么称为上升敲出期权。 另一类是敲入期权，这类期权的特点是：当原生资产价格达到规定关卡时，期 权开始有效，此时关卡值被称为激发值。按照与前面同样的理由，根据眼下期 权价格与规定的激发值之间的关系，有下降敲入期权和上升敲入期权。 由于每一类欧式期权都可以分为看涨和看跌两大类，因此关卡期权的最终收 益函数可以细分为8 种类别： 假设s 。是关卡值 敲出期权 下降敲出期权 上升敲出期权 日o r 】 日o 丁l 日0 ，r 】) 目0 ，r 】) 敲入期权 下降敲入期权( 品一k ) + 【1 1 俩，矗咀叫 】 l 僻一品) + 【1 一i 即岛，t e t 0 2 品 品 品 品 品 品 墨 、i、，雀s 罐& 一 一 一 一 品k 品k ，l r【 第4 章埘关卡媚权的定价 上升敲入期权j s ，一k ) + 【1 1 俩t 品日。川 】 l ( k s r ) + 【l i 卧t e l 0 3 l 其中，丁和k 表示期权合约的到期时间和敲定价格， s ，f 【o ，t 】表示资产的变 化过程，其过程遵循式( 2 ) ，s ，表示终点时刻原生资产的价格。 关于关卡期权，它与标准欧式期权有以下一个简单的关系 敲出期权的收益+ 敲出期权的收益= 标准期权的收益。 4 2 关卡期权价格的计算 下面，我利用前面一节的结果求解看涨类型的上升敲入删权明价格，“，然便 用测度变换的方法，其它类型的关卡期权价格的求解方法类似。 易知1 一l 幅t s 。j 日。，r 】) 2i 墨器s t s 。 e 沁。7 ( 品一k ) + ( 1 一i s 。s 。，q o r 】 ) 】 = e ；i e - 7 r s r l 懈“器懒 ) 卜k e “p ( s r 疋m 。a 。x s , 2s s ) = i k e 一“ 对上式求解只需要知道关于随机变量x ，和m a 】( x t 的联合分布即可。 记h ( p ，盯，a ，p ，叩，叩：；4 ，6 ，丁) = p ( 墨z n ，m 。；，a 。x x ，6 ) ， , 贝l j h = h 1 1 弛, o , 3 - , p , r h , r h ；l n ( 豢- 。) ，1 n ( ，f ) 。 对于i 项，我们用在m e r t o n 的模型中使用过的测度变换方法。 引进新的概率测度p ，定义如下： ，d 霉_ , o r e r r s r 。= e x p c 一三盯2 一a 以，r + 口件+ 耋v ) ， 第4 章对关卡期权的定价 命题：在耕的概翠删度pp ，布明匿动变为彬= 彬一g t ，则资严价格的匿动过 程变为 墨；品e x p ( 地弘+ 川 矗k ， 证明：首先我们计算彬在测度p 下的均值 嗍坷暇t e x p 降2 嘲嘭+ 聊 p k “) 巾+ 暇te x p ( 删) 】e 【e x p ( 耋驯 一p ( _ 三a 2 t ) e i w , k c x 咖噼) 】 = e x p ( 一；仃2 r ) e 【彬e x p ( 盯彬) 】【e 【e x p p ( 昨一彬) ) 】 p ( _ 吾卉) c x p t 0 2 t ) 讲c x p 枣r 2 ( 丁_ f ) 第一个等号是由于彬，和y 相互独立， 第三个等式利用布朗运动的独增量 性。 下面计算谚在卢下的特征函数。 妒噜f 【e m ( 坼* - m ) c x p ”1 r + 卅+ 耋) 】 十c 丫12 一砒扩 e 【c x p p + 咧+ 誊 卜 一十咖+ ( - j 1 “f e 【e 印慨+ 叫 】e 【唧( 耋驯 j e x p - f t j 1 盯才 e 【e 【e x p 坩彬+ 盯昨 f 墨盯 de x p 卜胁一互1 仃2 r ) e 【e x p p 以一畔) 】e 【e x p ( f p + 口川) 】 第d 章对父卡期权的定价 = e x p 一言口2 r ， 它的特征函数是均值为0 ，方差为t 的正态分布的特征函数。 显然矿的轨道连续，初始值为0 ，再加上它在p 下的独立增量性质，可知它是 p 下的布朗运动。 在p 下的资产价格扩散过程显然得证。 茚赳：仕pr ， 汨私近程j l v 。阴镭厦叟力丑；a e ( y ) ；a e ( e ) = a ( 14 - 以) 酏】_ e i n , 唧”“肌。畔+ 羹) 】 p h 。2 一十【e x p ( 州) 】e re x p ( 耋驯 = e x p ( 一三c ，2 一a “) 丁 ，e x p ( 吉c r 2 r ) ， e i n , 一j v ，】e + 【e x p ( 耋誓) 】+ e 【re x p ( 耋i ) 】 = e x p ( 一a 版z ) - t ；t ( t t ) e x p z , u ：t ) + 丁( ：+ 1 ) e x p ( g z f 1 ) = a r “：+ 1 ) t 。 命题：在p 下，跳的大小的对数y 仍然服从双指数跳分布，新的概率密度为 丽1 e ，y ( y ) = 两1e 朋1 e i 忙。，+ 丽1 e 聊：溯协。， = p 高希”啦m 1 山_ 脚 + g 南者吣啪慨m q 删， 因此， 它仍然服从双指数跳分布， 唬= r ，一1 和坑；t 7 ：+ 1 第4 章对关卡期权的定价 脚鼯+ 嚣 _ l 希 阳鼯+ 嚣) _ l 焘。 让明：假砹征t 町刻日u 友生阴跳为k ，k ，k ，我1 以k 为例，采求j 骅征pry 的概率密度函数 p 旺s y ) 2 正i 撕 2 j ：- 。，e x ， c 一三。2 一 疋，z + 盯h 譬+ 耋y d p + = e x 一 c 一三c r 2 一 卢：，r 正e x ，( o w ) d p e t - t x ；e x 一 耋v ) ， 一一 一砒r 护卜酬mj n p ( | 圳 一一 婶 ：| | ；铲鲫川州叫 = e 斧；r 南e o 帆 【e “】j - p 。k ” 于是，由概率密度的定义，我们知道结论成立。 同样， 我们可以进一步证明x ，e ，在j 下是相互独立的a 因此我们有 ，e s o e e 一，7 妾- t 品：x ：尝s 。岛，】 = & p ( 墨= k ，m 。a 。x s , 苫) 强h 枷 丽叫珈褂r ) 从而暑潞拳疆! | 的r 抖高占入期舸的价格南下吉给小 第4 章对关p 期权的定价 & h 【r + 三a 2 - a p ：，盯，互，卢，磊，坑；t n ( 妄) ，t n ( 妾) ，r ) 一k e - r r h ( r 一三c r 2 一a p t ，仃，a ，p ，叩t ，叩：；- n ( 妻) ，h ( 妻) ，丁) 。 由上一节可知，函数h ( - ) 的l a p l a c e 变换有解析表达式，因此，利用数值方法 通过l a p l a c e 逆变换算法可以获得期权的价格。 在这里我做一个小结，从第2 章和本章可以看到，函数变换方法在期权定 价中的应用是值得深入探讨的方法。它提供了对某些很难直接计算的期权价格的 解决思路。该方法的大体思路可以归结如下：计算期权价格到期时刻价格表达式 的函数变化，接着利用该变化的逆变化反过来求解期权价格。例如前面分别可以 利用快速傅立叶变化算法和g a v e r s t e h f e s t 算法实现对傅立叶逆变化和l a p l a c e 逆变化的数值计算。一般l e v y 过程的傅立叶变换可以参看c o n t 和 t a n k o v ( 2 0 0 4 ) ；具体应用可以参看c a r r 和m a d a n ( 1 9 9 9 ) 采用的f o u r i e r 方法： g e m a n 和y o r ( 1 9 9 3 ) 在b s 框架下用l a p l a c e 方法对亚式期权进行定价以及 d u f f i e 等( 2 0 0 0 ) 用更为一般函数变化的对仿射跳扩散过程定价方法。 第5 章结语 第5 章结语 期权定价的方法在某种程度上已趋于成熟，然而，仍然存在若干方面的挑战 模型的简约和计算上的可行性模型的建立，一方面要保持与观察到的数据相吻 合，另一方面又须保持模型的简约和计算上的可操作性。随着人们对金融市场数 据研究的深入，人们已经知道传统b s 模型不能很好捕捉金融时间序列数据波动 性的某些性质，例如狭峰后尾性，波动率微笑，聚集性等性质。因此，许多模型 相应被提了出来，但是大部分模型在与路径相关的期权定价问题上很难获得解析 解，因此，其在实际中的应用很有限。鉴于此，本文研究了k o u 提出的基于双指 数跳的模型。一方面，虽然存在跳的市场是不完全的，但由于鞅测度的存在，使 得我们可以用鞅方法定价的框架下来对计算期权价格。另一方面该模型在模型的 简约及计算上的可行性上都具备优势，而且它与实际数据在某种程度上相吻合， 因此是值得深入研究的。 由于时间和精力所限，本文只研究了k o u 模型及其在关卡期权定价上的应用 在其它期权，例如回望期权，美式期权定价上的应用尚未涉及；在使用计算机计 算期权价格方面( 使用逆l a p l a c e 算法) 也由于时间有限未能写出算法，我想这两 方面都是本文可以进一步补充的方向同时，我们看到，k o u 使用l a p l a c e 变换 的方法具有启发性，是否可以通过对期权定价公式做函数变换，然后通过求逆算 法求出期权价格也是一个值得深入探讨的问题。 附录1 附录1 为求解万程( 1 ) 我在第一个万 去中便用半鞅情彤r 的i t o 公式。 设x ，是半鞅，定义醚，= 并，一x 。， ) 是二次可微函数，则 f ( x ，) 一f ( x 。) ；f o i ( x ，) d r ，+ - ；i o , 。( x ，一m f 工，x 】o ) + 荟卜卜则j ( 继，一扣碳2 】， 对i n s , 使用上述i t o 公式。 首先把微分方程写成积分形式 s i = s o p d h + l ，s q - o d w 。+ l ，s 。d j t 。 为了计算 s ，s ，注意到，和彬相互独立，有 ，1 ；0 ，通过计算易得 【，- ，】，= 一1 ) 2 a 所以 【5 ，s l = l c s 。一p 幽+ z 瓯一口矗睨+ j ：鼠一彬，瓦一芦幽+ j ：一。矗睨+ f o s 一彩r 】 5 m 州睨+ j ：一弘，上一州睨+ j ：e 一奶】 = 上s ：盯2 如+ f o s ：d 芝诺一1 ) 2 ， 把这个式子代入i t o 公式中，同时注意墨= k & 一，很容易求得方程( 1 ) 的解表达 式。 下面介绍另外一种更为简洁的解法。 定理：令z 是一个半鞅，则随机微分方程 d u ；u ，疆， 有唯一解 附录i u 。：e 。扣“1 - i o + 蝇扣q + i 1 2 。 用该指数公式可以求得方程( 1 ) 的解跟用半鞅情形下的i t o 公式求得的解是一样 的。 在金融恿义f ，或许我们更容易接受f 面的解法。 跳发生的时间分别为_ ，屯，k 在时间t e 0 ，q ) ，价格变化没有跳发生 价格在_ 的左极限是 5 。e s oe x p ( 肛一手h + 吧】， 在时间r 。，价格跳了k 一1 的幅度，所以价格变为 s 。= 品e x p 【( p 一了g 2 h + 彬。形， 对时间f n ，屯) ，在区间( 一，f 】无跳发生，所以价格为 s t = 曳e x p 【( p 一争( f 训+ 盯一) 】， 代入& 的表达式，我们得到 s , = s o e x p ( p 一0 2 + 叫m ， 重复上述过程就可得到解的表达式。 附录2 附录2 下面我将说明存在跳的市场是不完备的市场，依据是市场是完备的当且仅当 存在唯一的等价鞅测度。为此，我证明了以下的定理。 定理：假设彬和m 是概率空间( q ，3 ，置，p ) 上的布朗运动和泊松过程， m o srs t ，n ，的强度为a ，令x ，。z t + o w , + 彤一1 ) ；+ 彬+ j ，其中k ， e k tm ，f = 1 ，2 ，n ，是独立同分布随机变量，则存在无穷可列个等价概率测 度q ，使得x 是q 鞅。 定灿a ( f ) = 鲁p 一( a m + 2 m三n 2 ( a m + z ) f ) ，其中蹦_ 1 卜 注：在后面将会看到测度q 即是我们找出来的鞅测度，显而易见它是不唯一的。 下面以q 1 为例，证明q l 是鞅测度其它情形类似。 引理1 ：彬，j ，的定义如定理1 所述。则存在等价概率测度q l ，q 1 的定义如定义 l 所描述，使得肛+ 叫+ a m t 和j 。一a m t 在q l 是鞅。从而z 是q l 鞅。 为了证明引理1 ，需要以下引理 引理2 ：一个随机过程是m ，是q 1 鞅当且仅当a q ) m ，是p 鞅。 其中，a ( f ) = d d p q l 。 证明可以参看l i p s t e ra n ds h i r a y e v ( 1 9 7 4 ) 。 引理3 ：假设彬和m 是概率空间( q ，韪毯，p ) 上的布朗运动和泊松过程，则7 附录2 c x 巾肘彬一：( 砌训2 r 卜珈f ) 在p 下是鞅。 证明：用分部积分公式证明。 令z ，je x p ( a ，”+ p ) 彬一( a m + g ) 2 r = ，一a 肌r 。 则d z , y , ；z , d y , + y d z , + d 【z ，y l ，由于z ，是连续的，而y 是有限变差，所以 【z ，y l = 0 ，于是z ，y z 。r oe j ：互d r + 上甄，由于z 。和y 为右连左极过程， 因此可知z f y 是p 鞅。 由引理2 ，我们知道z 是q l 鞅。根据定义1 ，易知z t + 口彬+ a m t 是q 1 鞅，所 以z 是q l 鞅。对q 情形的证明类似。 于是，我们就找到了无穷多个的鞅测度，使得置是鞅，由上述证明还可以 看出，实际上测度的选择不依赖于n ，月可以为任意的实数。 注：我们已经证明了在存在跳的市场中，存在大于1 个的鞅测度，那是否存 在一种资产动态过程，使得在该过程的支配下，市场不存在鞅测度呢? 答案是肯 定的。在r o g e r s ( 1 9 9 7 ) 文中，他详细描述了当资产变化遵循分形布朗运动的时 候，它的动态过程不再是半鞅，此时不存在等价鞅测度，并且构造出了存在套利 的例子尽管不存在鞅测度，使得该模型在描述资产运动上不具备布朗运动的良 好性质，但是可用它来描述在实证中资产运动出现的性质：历史对未来有长期的 影响。 现在我们考察下面形式的资产价格运动过程： s t s o 。囊s t d x , ， 由于存在无穷多个测度使得置是鞅，因此可知，存在无穷多个测度使得资产价 格的动态过程是鞅。那怎么选取鞅测度，使得资产的收益率是无风险利率r 呢? 我们做以下变形 睾一硎川炯咿例删除q 卜， 附录2 从而只需要找出一个测度p 使得彬- ，) f + 滔彤- 1 ) ) _ 胁t 是鞅， 并且在p 下，彬+ 口。1 ( a 用+ 一r ) f 是布朗运动，在f 文