（数学专业论文）流体力学中的若干方程的研究.pdf

摘要 对流体力学中数学模型的研究是数学物理研究的重要组成部分，具有重要 的应用价值本人在博士后期间的研究工作主要就集中于流体力学中的不可压 n a v i e r - s t o k e s 方程及与之相关的方程，包括广义n a v i e r s t o k e s 方程和复g i n z b u r g - l a n d a u ( c g l ) 方程等的研究，主要利用调和分析中的各种工具和分析技巧就方程 解的适定性，长时性态和正则性等问题进行研究，得到了一些结果，主要包括三 个部分： 第一章，考虑以下具有超耗散( h y p e r d i s s i p a t i o n ) 广义n a v i e r - s t o k e s 方程c a u c h y 问题， 诜“+ ( 一) “u + ( u v ) t + v p = 0 ，0 ，) r “ 0 ，t ) ， d i vu = 0 ， ( 茁，t ) r - n 【0 ，t ) ， t l b o = o 珲 其中d 是一个正实数， n22 ，( 一) 8 由吲2 ，( ) = ( ( 萄4 ，) ( f ) 定义我们利用 【7 的思路，先对方程的线性项和双线性项进行估计，再利用压缩映射原理，得到 存在性和唯一性其关键是对象征的分析，其余的证明和 7 】是类似的 第二章，考虑全空间上n a v i e r - s t o k e s 方程 一a u + ( u v u ) u + v p = ，i n 0 ，) l r “ d i v u = 0 ，i n 0 ，o 。) r n u ( ，z ) - 40 ，_ 。， u ( o ，z ) = o ( z ) ，i n r n ， 解的l * 一范数衰减，其中给定初值o ( z ) 瑶，外力f ( t ，z ) l 2 ( ( o ，o o ) ；l 2 a ( p 。n ) ) 我 们利用c a r p i o 5 】的结果，改进了w i e g n e r ( 【1 9 】) 的结果具体的说明参见r e m a r k 2 1 1 _ r e m a r k2 2 1 第三章，考虑超临界复g i n z b u r g - l a n d a u 方程 “= ( 1 + i # ) a u 一( 1 十i v ) l u l 2 4 u + r u ，i n n 【0 ，t ) ， u ( $ ，0 ) = t o ( z ) ，z n ， “( z ，t ) = 0 ， # 舯，0 t 0 ，“r ，i o - n 2 + 。4 ，n 是r “ 中有界区域或全空间当n = 础，第三行要改写为u ( 。，) _ 0 ，当_ 对 0 t 1 ( p 2 3 ) a b s t r a c t t h es t u d yo fm a t h e m a t i c a l m o d e l so ff l u i dm e c h a n i c sa r ea ni m p o r t a n tp a r to f m a t h e m a t i c a lp h y s i c s d u r i n gm yp o s t d o c t o r a lp e r i o d s ，ic o n c e n t r a t e do nt h es t u d y o ft h ew e l l p o s e d n e s s ，l a r g et i m eb e h a v i o ra n dr e g u l a r i t yo ft h ei n c o m p r e s s i b l en a v i e r s t o k e se q u a t i o n sa n dr e l a t e de q u a t i o n sb yt h et e c h n i q u e sa n dt o o l so f h a r m o n i ca n a l y s i s m yr e s u l t sc o n t a i nt h r e ep a r t s i nc h a p t e ri w ec o n s i d e rt h ec a u c h yp r o b l e mf o rag e n e r a l i z e dn a v i e r - s t o k e s e q u a t i o n sw i t hh y p e r d i s s i p a t i o n ， o t u + ( 一l x ) 4 t + ( v ) n + v p = 0 ， ( z ，t ) r n 【o ，t ) d i vu = 0 ， ( z ，) r “ 0 ，t ) “l t ：0 = a # w h e r edi sap o s i t i v er e a ln u m b e r ，n 2 ，a n d ( 一) 。i sd e f i n e db y 幢1 2 4 ，恁) = ( ( j 萄8 ，) ( ) w ef o l l o wt h et h e m eo f 7 】b u tw i t ha m o r ec o m p l i c a t e da n a l y s i so i l t h es y m b o la n do b t a i nt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s sr e s u l t s - i nc h a p t e ri i ，w ec o n s i d e rt h el 。n o r md e c a yo ft h es o l u t i o n so fn a v i e r - s t o k e s e q u a t i o n si nt h ew h o l es p w o e ， u t a u + ( u v u ) u + v p ：， i n 0 ，。) r n d i v u = 0 ，i n 0 ，o o ) 舯 “限o ) 0 u ( o ，。) = u ( x ) i zj 一 i n 正p w h e r et h ei n i t i a ld a t a8 ( 茹) l ；a n dt h ee x t e r n a lf o r c e s ，( t ，z ) l 2 ( ( o ，o 。) ；睇( ) ) a x eg i v e n ，w h i c hi m p r o v et h er e s u l to f w i e g n e r ( 1 1 9 1 ) s e er e m a r k2 - 1 1 ，r e m a r k2 2 l i nc h a p t e ri i i ，w ec o n s i d e rs u p e r c r i t i c a lc o m p l e xg i n z b u r g - l a n d a ue q u a t i o n t 工t = ( 1 + l p ) u 一( 1 + t ) i t 1 2 4 t + r u ， i nn o ，t ) u ( 茹，0 ) = t o ( z ) ，z q ， u ( 茁，t ) = 0 ，。0 1 2 ，0 t 0 ，p ，v ra n d ： 口 咝2 n ，qi s8 b o u n d e dd o m a i ni n 即o rt h ew h o l es p a c e w h e nn = ，t h e t h i r d l i n es h o u l db er e p l a c e db y “( z ，t ) _ + 0 船寸0 0 f o r0 t 2 t h eb a s i ci d e ai st h ef o l l o w i n g 。o n ef i r s t l yt r a n s - f o r m s ( 1 1 ) i n t om i l di n t e g r a le q u a t i o n s ，t h e ng i v e sab i l i n e a re s t i m a t e s ，f i n a l l yb yt h e c o m m o ni t e r a t i v ea r 9 1 m a e n t s ，o b t a i n st h er e s u l t s t h ek e yt ot h i sp a p e ri st h e o r e m 1 2 2 w h e ndi sa n yp o s i t i v ei n t e g e r ，i ti se a s yt o p r o - c et h e o r e m1 2 2 ，b e c a u s ei n t h ec a s e ，q 晤) = e 一。列s ，t h es c h w a r t zc l a s s ，s od o e sn f z ) a dd e c r e a s e sr 8 p i d l yi n i n f i n i t y b u tw h e ndi sn o ta ni n t e g e r ，n ( ) 隹s ，n e i t h e rn ，t h e nw ec a n n o tc o n c l u d e d i r e c t l yt h a tqd e c r e a s e si nag i v e no r d e rw en e e di ni n f i n i t y , s ow en e e db o m em o r e c o m p l i c a t e da n a l y s i st oo b t a i nt h e o r e m1 2 2 o u rr e s u l t sc o n t a i nt h er e s u l t sl i s t e di 【7 t h i sp a p e ri s o r g a n i z e di nt h ef o l l o w i n gw a y i ns e c t i o n2 ，w ew i l lg i v es o m e n o t a t i o n sa n db a s i cb u ti m p o r t a n tp r o p o s i t i o n s s e c t i o n3c o n t a i n sab i l i n e a re s t i m a t e f i n a l l y , i ns e c t i o n4 ，w eg i v et h em a i nt h e o r e m so nt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so f ( 1 1 ) w i t h o u tp r o o f s 1 2 p r e l i m i n a r y n o ww eg i v es o m en o t a t i o n sa n dc o n v e n t i o n s l e t g 器( 时) = ，( z ) 卵( r 一) ：d i v f = o 2 a n d pb et h en o r mo f 胪( 舯) ，1 p o 。l e t 琊b e t h ec o m p l e t i o no f c 器( r n ) i n 2 l e tib ea ni n t e r v a li nr 十a n dl q ( 1 ，驴( 舯) ) b et h el e b e s g u es p a c ew i t hm i x e d ，“。c ，。，c r 。，= i 壹= l ( ( i 疗c z ，t ， 如) 。7 出) 1 7 9 0 ， r 朋( 鸲巩( 删扛1 q ) ( s 击z ) s 爷1 卜出 g j ( 。( 1 + i 柑i ) 却“s 嵴。挑 = g z 7 1 几仆is 击) 一加+ 1 s 簪- 1 捌s = g z 卜帕 ) - ( n + o d y s - 蠡s 学- i d s 1 2 t h e nt h e r ee x i s t sa c o n s t a n tct h a td e p e n d so n l y o nna n dd ，s u c ht h a t i a r ( x ，t ) l g ( k i + t 击) 一( n + ， i a 码r k r ( ，t ) l c ( i x l + t 击) 一扣+ p r o o f a g a i nw eo n l yp r o v e ( 1 2 2 ) b y ( 1 2 0 ) ，f o rd 1 2 o o j o k ( 一) 4 1 n ( z ) l g ( 1 + i x l ) 一“一2 s o f 0 l a 1 0 j o k ( 一) n ( s 击z ) 卜学_ 山 g ，2 ( 1 1 s 去+ 1 ) - ( n + 2 ) s 噤一t d s = d ，。( i z l + s 一去) 一( n + 2 ) s 一1 矗d 。 = g 雨2 d ( h + 南一n + 1 1 t h e nb y ( 1 1 3 ) ，w eo b t a i n ( 1 2 2 ) b y ( 1 9 ) a n dt h e o r e m1 2 2 ，w eh a v et h ef o l l o w i n gc o r o l l a r y ( 1 2 1 ) ( 1 2 2 ) c o r o n a r y 1 2 1w h e nd 1 2 t h e r ee x i s t sac o n s t a n tt h a td e p e n d so n l yo nn a n dd ，s u c ht h a t l y e ( $ ，t ) i c ( 1 = l + t 矗) 一( n + ”( 1 2 3 ) l e t ，( 。，t ) = fr ( 。一v ，t ) 9 ( y ，t ) d y b yy o u n gi n e q u a l i t y , 叭，t ) l l p 优刍( i i g ( ，t ) l l ， s o i i t 。( t ) l l p 茜( ；) | | 。| 1 ，i f 鑫( ；一i 1 ) + i 1 0 ，t h e n 1 u 0 1 1 m r g t i ，a l ( ；1 一) 十训1n ( 1 。2 4 ) 1 3 b i l i n e a re s t i m a t e s i nt h i ss e c t i o n ，w eg i v ee s t i m a t eo n 口( t ， ) f i r s t l y , w eg i v eag e n e r a lt h e o r e mw h i c h c a nb eu s e dt od e a lw i t hs o m em o r eg e n e r a lc a s t h eb a s i ca n a l y t i ct o o li st h eh a r d y l i t t l e w o o d s o b o l e vi n e q u a l i t yw h i c hc a nb ef o u n di n 1 6 l e tu ，u ：r ，【0 ，t ) 斗舯， a n df ( “， ) = 川l “hd e f i n e 咖归t r 矗瀚州s ， z s ， w h e r ek 2 d + li sap o s i t i v ei n t e g e r ，t h e nw eh a v et h ef o l l o w i n ge s t i m & t e s t h e o r e m1 3 1f o ru ，u l p 1 ( s ) ，r u eh a v e 例i f p ，p l ，q ，q ls a t i s f y 警一；+ 旦( 坐_ 1 ) 一丽k 2 dp lq 1口p 2 d ( 1 2 6 ) w i t h1 且l + a p ，1 最 q o 。，o r p l = p = o o ，l q ，t h e n t k f i i p ，口，r c1 1 j 1 1 p 。，口，tw l t , l l ；，口，r p t f p ，p t ，q ，q ls a t i s f y 警一；+ 砑n ( 等一；1 ) 一刍i 一i + 砑i ；- 一；j 1 一菇 ( 1 2 7 ) ( 1 2 8 ) w i t h1 p o 。，l 撬 q 。，o r p l = p = ，1 器 g o c ，o r q l = q = o o t h e n t 。f i i p , q , tg t l 一“皆一；) 一蠡( 皆一i i 。，r ( 1 2 9 ) p r o o f f o r0 日0 i n d e p e n d e n to f 口，s u c ht h a t i t f ( z t ) l 曼ci tf ，0ji 一”i ( - 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p o s e d n e s st h e o r e mo f ( 1 1 ) w i t hs m a l li n i t i a ld a t a t h e o r e m1 4 5s u p p o s er l 0a n ds = 0 ，b e c o m es t r o n ga f t e raf i n i t et i m e ( 【1 5 ) w i e g n e rc o n s i d e r e di n 【1 9 】t h el o o n o r i nd e c a yo fs o l u t i o no fn a v i e r - s t o k e se q u a t i o n u n d e rc e r t a i na s s u m p t i o n sw h e n ，= 0 t h e o r e ma l e t “b eds t r o n gs o l u t i o na n dq s s u m et h a t 口f ll 1 ，o rs o l v e p n s u p p o s e r t h e ra ( f ) g 蚓，t h e n l n ( t ) l l 。= o ( t 一( “+ 1 ) 2 ) 3 o u rr e s u l t s8 x et h ef o l l o w i n g t h e o r e m2 1 1f o rn 3 ，s u p p o s et h a ta 1 2nl “，p 2 n c n + 2 ) a n d l a ) lsg i f l o ，a2 1 一n + 2 n l p 0 ，w h i c h n o tl e s st h a nj a s s u m et h a tt 工b ea g l o b a ls t r o n 9s o l u t i o n t h e nw eh a v e ( t ) l l 。茎c t 一；， w h e r eci si n d e p e n d e n to nt t h e o r e m2 1 2f o rn = 2 a , g s u m et h a t “i sa9 i o b a ls o l u t i o nw i t ha l pnl 2 l 曼p 2 ，a n dl a 任) i g i f i 。，w h e r en 1l o t p = 1b n da 一3 + i 4f o r1 p 2 t h “ 川。餐：篇 2 ( 2 2 ) r e m a r k2 1 1b yt h e o r e m2 1 j ，圹a = l ，8 0p = 2 n 1 ( 2 + n ) ，t h e nl o ra l p n l n ，i a ( ) i g i i 。，w eh a v ei l u ( t ) l l o 。sc t 一(