（教育学专业论文）对初中学生数学错误的分析和研究.pdf

中文摘要 我们每一个人都会在数学学习过程中会犯不同程度的错误，因此，数学学习 过程中的错误一直是教师们关注的热点问题。错误的产生并非偶然，而是反映了 学生产生这些错误的各种潜在因素。因此对错误的辨别、归纳、总结、分析与研 究，以及在错误中吸取经验和教训，应当成为数学教育过程中一个不可忽视的重 要方面。 本论文结合教育心理学的几个主要流派：行为主义、认知主义、人本主义、 建构主义等学派对于学习认识的不同观点，从不同角度阐述了错误在数学学习中 的重要作用。根据笔者在教学实践中对初中学生常见错误的收集和分类，归纳总 结了初中学生常见的七种错误类型：1 概念性错误；2 审题错误；3 运算错误； 4 心理因素：5 逻辑型错误；6 思维错误；7 方法和策略错误。并根据错误的不 同表现，对这些错误的主要类型进行了更加具体的再分类，列举了一些常见的错 误实例，并对产生这些错误的原因进行了分析和研究。在此基础上提出了在教学 中可行的策略与方法，即培养学生解题能力和通过课堂纠正学生的数学错误。本 论文试图通过系统研究学生在数学学习中产生错误的各种表现，寻找错误的根 源，从而提出一些合理化的意见和建议，有效地指导今后的数学教育教学与实践。 关键词：初中学生、数学错误、错误分类、教学策略 a b s t r a c t e v e r y b o b ym a d eo rw i l lm a k ed i f f e r e n tk i n d so fm i s t a k e si nt h em a t h e m a t i c sl e a r n i n gp r o c e s s t h e r e f o r e ， e r r o r sh a v eb e e nt h ef o c u so ft h et e a c h e r si nt h ep r o c e s so fl e a r n i n gm a t h e m a t i c s t h ee r r o r sa r en o tg e n e r a t e d b ，h a n c e , b u tr e f l e c t sav a r i e t yo fp o t e n t i a lf a c t o r so fh o wt h es t u d e n t sm a k i n gt h e s ee r r o r s s ot h e i d e n t i f i c a t i o n ，c o n c l u s i o na n ds u m m a r y , a n a l y s i sa n dr e s e a r c ho ft h ee r r o r s , a sw e l la st h e l e s s o n sf r o mt h e m ， b e c a m ea ni m p o r t a n ta s p e c to fm a t h e m a t i c se d u c a t i o np r o c e s s t h i sp a p e rd e s c r i b e dd i f f e r e n to p i n i o n so nt h ei m p o r t a n tr o l eo fe r r o r si nt h el e a r n i n go fm a t h e m a t i c s f r o md i f f e r e n tp e r s p e c t i v e s c o m b i n e dw i t ht h e s es e v e r a le d u c a t i o ns v c h o l o g y ：b e h a v i o r i s m ，c o g n i t i v es o c i a l i s t ， h u m a n i s ma n dc o n s t r u c t i v i s m t h ea u t h o rh a sc o l l e c t e dt h ec o m m o ns t u d e n t s e r r o r sf r o mh i sm a t h e m a t i c s t e a c h i n gp r a c t i c e ，h e ss u m m a r i z e da n dc l a s s i f i e dt h e s es e v e nt y p e so fe r r o r sw h i c ht h ej u n i o rh i g hs c h o o l s t u d e n t sa l w a y sm a k e ：1 c o n c e p t u a le r r o r ；2 m o d e r a t i o ne r r o r ；3 o p e r a t i o ne r r o r ；4 p s y c h o l o g i c a lf a c t o r s ； s l o g i ce r r o r s ；6 t h i n k i n ge r r o r s ；7 m e t h o d sa n ds t r a t e g i e se r r o r s a c c o r d i n gt ot h ed i f f e r e n tm a n i f e s t a t i o n so ft h ee r r o r s ，t h ea u t h o rc l a s s i f i e dt h e s em a j o rt y p e so fe r r o r s s p e c i f i c a l i y ，l i s t e ds o m ec o m m o nm i s t a k ee x a m p l e s ，a sw e l la ss t u d i e da n da n a l y z e dt h er e a s o n so ft h e s ee r r o r s 8 a s e do nt h e s e ，t h ea u t h o rp r o p o s e ds o m ep r a c t i c a lt e a c h i n gs t r a t e g i e sa n dm e t h o d st ot r a i ns t u d e n t s 。a b i l i t y o fs o l v i n gp r o b l e m sa n dc o r r e c ts t u d e n t s 。m a t h e m a t i c a le r r o r si nc l a s s i nt h i sp a p e r , w ea t t e m p t e dt of i n dt h e s o u r c e so ft h ee r r o r s ，b a s e do nt h es t u d yo fs t u d e n t s e r r o r si nm a t h e m a t i c sl e a r n i n g ，a n dp u tf o r w a r ds o m e r e a s o n a b l ec o m m e n t sa n dp r a c t i c a ls u g g e s t i o n st og u i d et h ef u t u r em a t h e m a t i c st e a c h i n g k e v w o r d s ：j u n i o rh i g hs c h o o ls t u d e n t s ，m a t h e m a t i c se r r o r s ，c l a s s i f i c a t i o n ，t e a c h i n gs t r a t e g y 上海师范大学硕士学位论文第一章绪论 ( 一) 问题的提出 第一章绪论 作为一位年轻的中学数学教师，每天都在和学生的数学错误打交道。与周围 的同行们一样，寻找错误、纠正错误、分析错误，成了我每天最重要、也是最辛 苦的工作之一。因此，学生的数学错误一直是笔者关注的热点问题。传统的教育 是“永远正确 的教育，是消灭错误、轻视错误的教育。夸美纽斯认为“只有要 求学生在课堂上不犯任何一个错误，才能在练习中没有错误”。他建议教师“不 要使学生在第一次学习新教材时就在语法规则上犯错误，不要使学生在第一次学 习数学规律时就解错例题和应用题”。长期以来，这样的教育观念深深地影响 着广大教育工作者，在教学的各个过程中，大家所关注的都主要是那些正确的、 积极的部分，而对于学习过程中所产生的错误，大家更多地是持一种否定的、排 斥的、消极的态度和做法。比如，作业批改“一叉 了事，学生犯错“一骂 了 之，使学生对于“错误”产生畏惧心理，在“错误”中不能获得任何有益的启示， 不能汲取错误中一些合理成分。 其实，我们每一个人都会在数学学习过程中会犯不同程度的错误，这里的每 一个人不仅指学生与教师，也包括大数学家们。因此，学生在数学学习中出现错 误是非常自然的现象。问题是学生为什么一而再，再而三地重复同样的错误，纠 错为什么这样难? 一方面，肯定有学生的原因，如上课没有专心听讲、作业马虎、 订正不到位、知识没有及时消化理解等；另一方面，教师选择教法是否恰当、教 学设计是否合理、作业的布置是否合适、纠错是否及时等等，这些都是我们需要 分析和研究的问题。对学生数学错误的研究不仅可以帮助学生找出错误产生的原 因、提出改正的意见，还有助于帮助教师完善自身的知识结构，改进教学观念， 提高教师的专业能力。 随着国内外学者们对错误的研究领域在不断扩大和深入，人们对错误的理解 。【捷】夸美纽斯著付任敢译大教学论 m 人民教育出版社1 9 8 4 年 1 第一章绪论上海师范大学硕士学位论文 以及认识也在不断发生变化，学生错误的合理性逐渐得到一些数学教育专家和一 线数学教师的认可。英国数学学会会长施瓦茨伯格，在1 9 8 4 年会上的长致词中曾 提出这样的观点：错误在数学中和正确答案一样重要，错误帮助了数学的发展； 错误帮助我们了解数学的来龙去脉：错误可作为诊断工具，让我们能了解学生心 里可能的想法，错误并非漫无目地发生，而是有其理由。数学错误的地位和价值 由此可见一斑。目前在许多教育研究中，“错误率 的测量已经被当作是一种研 究的重要工具，许多研究者已开始逐渐重视对错误的关注。这些研究大都试图将 学生所犯的错误予以特征化，通过分析学生错误的类型与性质，建立起有效的教 学策略和方法。 研究数学错误对于数学教师来说，可以将学生所犯的数学错误作为检验学生 数学知识掌握情况的一种工具，也可以借此了解学生内心的想法，从而使学生的 错误得以有效地纠正。而教师对于数学错误的研究，目的不仅仅是诊断与治疗， 更应该把错误看作一种有效的教学资源。本论文试图通过系统研究学生在数学学 习中产生错误的各种表现，寻找错误的根源，从而提出一些合理化的建议和策略， 有效地指导今后的数学教育教学与实践。 ( 二) 研究的意义 研究学生的数学错误，无论对学生的数学学习，还是对教师的教学都有着非 常重要的价值与意义： 1 使师生能正确认识数学错误 在学习数学的过程中，难免会遭遇困难、挫折、失误甚至是失败。在探索的 过程中，一些想法和结论在开始时往往是不成熟、不完善的，甚至是有错误的， 但却具有重要的启发意义。人类的数学发展史就是人类不断地犯错误，又不断地 发现错误、纠正错误、总结错误，最终找到通往数学科学真理道路的历史。所以， 作为教师，我们应当对学生的错误表现出更加积极的态度，认识到错误是学习中 的一种正常现象，错误是学生数学学习过程中的一个重要阶段，错误有其合理的 成分，从错误中学也是学习的一个重要环节，错误是数学学习与教学的一种重要 资源。同样，我们也需要改变学生对数学错误的认识，要让学生树立起学习数学 2 上海师范大学硕士学位论文 第一章绪论 的自信心，帮助学生学会分析数学错误，使学生学会利用数学问题中的错误，让 错误不但不会成为前进的障碍，相反可以成为学生知识增长的重要动力。 2 提高教师的教学效率 教育心理学的研究指出：学生在学习过程中会主动建构所学习的知识，也会 在建构的过程中产生错误的概念。因此，数学教学最重要的是让学生在学习时能 自我建构正确的数学概念。当然教师也可以透过对错误概念的成因分析，了解他 们对基础知识的掌握情况、运用解题能力的方式与方法，并对学生产生错误的类 型进行归类，研究错误产生的原因，进而改进今后的教学工作，使今后的教学更 具有针对性地，进一步提高教师的教学效率。 3 有助于教师的专业成长 数学教与学研究手册一书中曾经指出：“新教师对于学生学习的教学法 内容的知识是有限的，他们对于学生所误解的知识掌握甚少，他们的教学纲要对 他们自己理解是足够的，但是发展和相互联系并不充分，可以相信，不切实际的 教学内容，就不能获得教学法的推理和教学法内容的知识。新教师和老教师 的一个明显的差别就是在教学内容的重点和难点的把握上。通常来说，容易出现 错误的知识点就是教学的重点和难点。老教师因为以往的教学经验，很好地了解 和掌握了学生容易出错的地方，所以往往在课堂教学中比新教师更有目性。如果 新教师在这个方面有所思考和研究的话，就能用较短的时间缩短和老教师的差 距。从理论研究上说，对数学错误的研究，能使教师通过学生的数学错误，了解 学生内心的真正想法，进而明白学生形成数学错误的本质原因。由此可见，藉学 生的错误使教师了解学生错误的真正原因，是教师提高自身专业水平的一个良好 契机。 4 有助于完善学生的认知结构 心理学意义上的数学认知结构，是一种由学生主观改造后的数学知识结构， 是数学知识结构与学生心理结构相互作用的产物。认知心理学和建构主义都认 为：学生的学习是通过已有的认知结构对新的知识同化和顺应来学习新知识的。 让学生直接感受，经历知识的发生和发展过程是形成认知结构的一个重要环节。 回a 格劳斯主编数学教与学研究手册 m 上海：上海教育出版社1 9 9 9 年 3 第一章绪论 上海师范大学硕士学位论文 通过对数学错误的分析，学生可以了解原有数学知识结构上的缺陷，在教师的帮 助下就能够有针对性地对数学知识进行深入学习，完善基础知识结构或者加深对 基础知识的理解，从而完善学生的认知结构。 5 能提高学生学习数学的兴趣与自信 数学学习成绩差的学生一个重要的表现就是考试解题时的错误较多，对数学 错误有一种畏惧感和挫败感。通过本课题的研究，笔者希望能够让学生树立起正 确的错误观，正视数学错误，以自己的错误为学习资源，对错误进行反思，认识 到错误的合理性及其产生的根源。同时对错误的改正也是学习和提高的过程，既 可以对自己的学习做出正确客观的分析，也有助于消除学生的不良情绪，有效地 培养学生对学习数学的兴趣与自信。 6 有助于培养学生的反思能力 在教学过程中，教师可以针对学生的数学错误，对学生进行个别化的指导， 采取不同的教学策略，帮助学生正确地分析错误的本质所在，使错误的纠正更有 针对性，目的性也更明确。学生也能从数学错误中意识到自己思维过程中的缺陷， 自觉地改正错误。学生根据自身的需要，灵活运用各种方法和技能进行数学思维 操作，这又无形中提高了学生的数学反思能力，让他们学会如何去反思，体会反 思的巨大作用。学会对数学错误进行反思学习，使学生逐步养成对自己的错误进 行主动反思的习惯，形成学生对数学错误的反思能力，进而迁移到学生一般反思 能力的培养。 总之，分析和研究学生的数学错误，对学生和教师来说是双赢的。对教师而 言，能帮助教师有效地了解学生的学习状态，有针对性地去纠正学生的错误，并 且可以通过调整自己的教学，使学生今后不容易再犯同样的错误。对学生而言， 发现数学习题中的错误，学生不仅能减少往后发生相同错误的可能性，而且也能 从以往发生的错误中，意识到自己解题思维过程的问题与缺陷，自觉地进行控制 与调节，提高解题的能力，并且增强对数学学习的兴趣和自信。 4 ( 三) 国内外研究的现状 1 国内的研究情况 上海师范大学硕士学位论文第一章绪论 我国体系最完整的教育论专著学记中指出，“学者有四失，教者必知之。 人之学也，或失之多，或失之寡，或失之易，或失之止。此四者，心之莫同也。 不仅指出了学习就有过失，而且还指出了四种失败的原因：或者是因为贪多，或 是知识面偏窄，或者是态度轻率，或者是畏难中止。这都是学生的不同心理和才 智引起的。“教也者，长善而救其失也 ：教育的作用，就是使受教育者发扬优 点并克服缺点。 关于学生在数学学习中遇到的错误也逐渐引起相关学者和老师的关注，有关 的文章也很多。我国陕西师范大学罗增儒教授在数学解题学引论中把学生的 错误归结为三类：知识性错误；逻辑性错误；心理性错误。指出在个人的解题经 历中，“尚未成功”乃至失败，实在比激动人心的成功多得多。在解题分析 谈错例剖析这本书中，罗增儒教授不仅对错误的实例进行了详细的分析，而且 还进一步提出了对错误剖析的四个基本态度：错误一般都有其合理性，在分析 错误时要充分理解这种合理性；要学会创设情景和利用反例等方式揭露错误， 启发学生自我反思；要学会寻找错误、剖析错误、分析错误产生的原因；要 将错误与正确的解法进行对比，对错误的补救和及时的纠正是非常重要的。从罗 教授对学生错解的态度中，我们不难发现他对于错误的理解不止是纠错与改错， 而是应该更加深入地了解学生的真实思维活动，通过对错误的分析真正地达到锻 炼思维的目的。 汤炳兴老师在他的中学数学解题学习一书中总结指出影响学生正确解题 的因素可以从以下几个方面去认识：知识因素( 知识缺漏、偏差、忽视命题成立 的条件，基本技能不熟练，运算基本功不扎实) ，能力因素( 阅读理解的能力、 思维障碍、化归能力) ，经验因素，个性品质( 情绪、动机强度) 。 我国浙江教育学院的戴再平教授从解题结果的角度，在数学习题理论中 也把数学解题错误分为以上四类。还有涂荣豹教授在文中指出：“数学解题学习 是有意义的学习，对解题的真正学习是解题回顾，不仅要回顾有关知识，解 。罗增儒数学解题学引论 m 陕西师范大学出版社2 0 0 1 年 。汤炳兴中学数学解题学习( 自编教材) 2 0 0 8 年 戴再平数学习题理论 m 上海教育出版社1 9 9 6 年 5 第一章绪论上海师范大学硕士学位论文 题方法以及理解题意的过程，而且更要回顾，一开始是怎样探索的，走过哪些弯 路，产生过哪些错误，为什么会出现这些弯路和错误等 。 冯卫东老师经过研究发现影响学生解题错误的因素还可能是题意理解和概 念的干扰，具体可以从以下几个方面来考虑：理解不详细的错误、概念的内涵与 外延的理解不清的错误、概念的得出以偏概全的错误、知识学习和掌握环节上出 ，。见的：昔误 。 2 国外的研究情况 祈；对错误产生原因的分析中，意大利学者g i o r g i ot b a g n i 比较重视学生 错误心理中的情感因素，他认为学生出现错的原因可以归结为两方面：一是学生 在解题中比较喜欢运用简单与容易的方法和思想；二是在解题中，学生害怕困难， 害怕题目解错。 德国学者h e n d r i kr a d a t z 以“信息加工理论”为基础，将学生所犯错误归因 为五个类型：语言困难；空间感知困难；已有知识或经验的不足；思维僵化；不 一适当地应用或推广。 随着瑞士教育心理学家皮亚杰的“建构主义教学观”理论的兴起，更加深了 人们对于数学错误的认识。如纽曼认为学生在解答文字题时，必须扫清一切障碍， f 现任何的失误都会影响到最后的过程，导致最终的解题失败。凯西发展了纽曼 的理论，将错误分为问题形式、问题阅读、问题理解、策略理解、技能选择、技 能操作等6 个层级。 美国学者e r l w a n g e r ，a s h l o c k ，g i n s b u r g 等人也对数学学习中产生的错误作 了分析和研究，他们更强调学生数学错误中的合理性。“从现实的错误类型中可 西涂荣豹数学解题的有意义学习 j 数学教育学报2 0 0 1 年( 3 ) 。冯卫东初中数学解题错误的原因探析 j 成才之路2 0 0 8 年( 4 ) b o r g i ot b a c n i ：a ni n v e s t i g a t i o no fs 伽em i s c o n c e p t i o n si nh i g hs c h o o ls t u l d e n t t s ，m i s t a k e s l e a r n i n gi nm a t h e m a t i c sa n ds c i e n c ea n de d u c a t i o nt e c h n o l o g y m c y p r u sn i c o s i a ：i n t e r c o l l e g e h e n d r i dr a d a r z e r r o ra n a l y s i si nm a t h , j 盼t i c se d u c a t i o nmj o u r n a lf o rr e s e a r c hi nm a t h e m a t i c s e d u c a t i o n 1 9 7 9 1 0 ( 3 ) 向正凡辨析中学生数学解题错误与培养数学解题能力的研究 j 硕士学位论文2 0 0 6 年 6 上海师范大学硕士学位论文 第一章绪论 以清楚的看出，很多错误都是有规律的而不是偶然的。从学习者身上观察到的一 系列错误表明，错误不是教给的，而是学习者构造了自己特有的概念与程式造成 的。 ( 四) 研究的内容与方法 1 研究的内容 研究的内容主要分成四个部分： 第一部分导论。本部分的内容包括：问题的提出、研究的目的与意义、国内 外研究的现状、研究内容与方法，简单论述了文章的主题内容。 第二部分主要阐述数学教育中的错误观。对于错误在一般意义上的界定、以 及和错误有关的教育心理学理论、数学教育领域内对错误的一般认识。 第三部分根据对初中数学错误的不同类型进行了归纳与分类，并对产生错误 的原因进行了分析和研究。本文将数学错误归纳为七种主要类型，即：概念性错 误、审题错误、运算错误、心理因素、逻辑型错误、思维错误、方法和策略的错 误。 第四部分为克服数学错误的教学策略和方法。结合上一章节对数学错误的分 类与分析，提出了从两个方面来克服数学错误。即培养学生解题能力和通过课堂 纠正学生的数学错误，并结合一些教学上的案例进行了阐述。笔者希望通过本文 的一些观点，指导教师正确处理学生所犯的数学错误，充分利用数学错误提高学 生的数学能力，指导数学教育的教学与实践。 2 研究的方法 研究的方法主要有文献研究法、经验总结法、问卷调查法、案例分析法、访 谈调查法。 文献研究：在大量阅读关于数学错误的著作、期刊、论文等相关研究的论述 后，进行了归纳、整理、总结与分析。 经验总结法：结合自己的教学经验与记录，认真分析学生的解题错误成因并 o 英 p a u le r n e s t 数学教育哲学 m 齐建华译上海：上海教育出版社1 9 9 8 年 7 第一章绪论上海师范大学硕士学位论文 研究其对策。 问卷调查法：就中学生的心理适应能力设计了一份共2 0 个项目的问卷，对笔 者所任教的两个班级中的5 7 位同学进行了问卷调查。 案例分析法：通过对教学案例的分析，将论文中的理论在实践中作进一步检 验，并可直接了解教学中理论的实施情况、并对理论中存在的问题作进一步的探 j t 肫研究。 访谈调查法：通过与访谈对象深入地交谈，可以获得较为可靠有效的资料， 乜_ f j 利于相互启发影响，促进问题的深入。访谈对象为任课教师、出错学生等。 8 上海师范大学硕士学位论文 第二章数学教育领域内对错误的一般认识 第二章数学教育领域内对错误的一般认识 ( 一) 对错误的一般认识 错误是一个普遍的概念，在生活中经常被用到。现代汉语词典对错误的界定 包括两个意思：不正确，与客观实际不符合，如错误思想；不正确的事物、 行为等。因此可以看出，错误是和正确相对的一个概念，一般意义上的错误不 仅包括错误的认识，也包括错误的行为。 在哲学上错误被称为谬误，具有与真理相对的意思。谬误是片面的、主观的、 是主观对客观的歪曲反映 。同真理一样，错误也属于认识范畴，所以只包括个 体对错误的认识，而不包括个体错误的行动。在哲学字典里对错误这样下定义： 错误同正确相对立，指主体与客体规律不相一致的认识或者实践 。而错误只有 通过行为表现出来时，才能够被人们所识别。显然，这里对错误的定义不再局限 于认识层面，而将错误的行为因素也考虑了进来。错误不仅是一种同正确相对立 的观点与认识，而且可以是一种不正确的行为。 错误和正确是矛盾的两个方面，在人类认识和改造客观世界的过程中，错 误与正确始终相伴相生。没有错误也就无所谓正确，没有正确也就无所谓错误。 人类文化的发展和积累的进程就是错误和正确发生、发展、修正的过程。那些有 用的、正确的成果最终成为人类文化遗产的宝贵财富，而人们在探索过程中所经 历的那些失败、挫折、教训、甚至错误，也同样是人类文化遗产的宝贵财富。我 们不仅要传承那些正确的成果，而且还应注重在探索和创造过程中经历的错误和 失败，并从错误和失败中寻求正确的解决途径。错误中孕育着正确，我们研究错 误的目的就是要将错误中的真理挖掘出来，将错误转化为正确。错误是正确的先 导，错误和正确同样宝贵。 o 莫衡等当代汉语词典 m 第1 版上海：上海辞书出版社2 0 0 1 年 固范彬马克思主义哲学原理自学高考纲要 m 湖南人民出版社1 9 8 5 年 。黄楠森，李宗阳，涂荫森哲学概念辨析词典 m 中共中央党校出版社1 9 9 3 年 9 第二章数学教育领域内对错误的一般认识上海师范大学硕士学位论文 ( 二) 与错误研究相关的教育心理学理论 教育心理学理论对错误的研究已有很长的历史，也形成了一些相关的错误理 论。行为主义、认知主义、人本主义、建构主义学派等是教育心理学的几个主要 流派，虽然对学习的认识有所不同，但是它们都同时强调了错误在学习中的重要 作用。 1 行为主义学习理论 行为主义学派的代表人物是桑代克，他通过一些实验证明：学习就是建立一 定的“刺激反应联结 ，而这种联结主要又是通过“试误 建立起来的。即 在反复的尝试中，错误的反应逐渐减少，正确的反应不断得到加强，直至最后形 成一种固定的形式，即“刺激反应联结 。行为主义的观点意味着学生在学 习中要经历犯错误、改正错误、然后再犯错误、再纠正错误这样一个持续不 断、循环往复的过程，并在这个过程中得到逐步的提高。由此可见，学习是一种 由错误逐渐接近正确的过程，学生所犯的每一次错误都是一种尝试，而每一次尝 试都会让学生更加接近成功，并且在这个过程中获得宝贵的学习经验。学习的过 程是渐进的“尝试错误 直至最后成功的过程。 如果说学习是一种试误的过程，那么教学则是一种行为不断修正的过程。 在教学过程中，行为主义心理学理论强调的是一种“正反应”的加强效果。就 是在学生做出任何预期学习效果的反应后，对学生的反应进行“奖励与肯定”。 行为主义同样重视错误在学习过程中的作用，推崇以“错误作为“负反应”的 学习刺激，反面“强化 ( 警示、否定、修正) 错误，以达到正强化之目的。这种 刺激的加强效果尤其明显，在教学过程中的某些环节，教师设计一些陷阱或有意 识地出错，诱使学生出现错误，再以此为契机，通过错误巩固相关知识。这种坚 持以错攻错、以反显正、以错施教的方法，提高了错误在教育中的价值。其实， 暴露学生在学习过程中的错误，也就是为学生提供了以错误为源泉的学习反应刺 激，使学生在重新尝试错误中审视、体验、反思所给予的“刺激 ，引起“知错、 纠错、改错、防错”的良性反应，以此建立起科学稳固的刺激反应联结。显然， 这种“尝试错误”的教学方法，不是鼓励和诱导学生重蹈覆辙，而是力求增强学 1 0 上海师范大学硕士学位论文 第二章数学教育领域内对错误的一般认识 生对错误的“免疫力 。对培养学生正确地掌握数学思想方法，培养学生思维的 批判性，培养学生的自主探索的学习与创新能力等都大有好处。 人们一般认为，行为主义原理无法合理地解释如何获得高层次技能和理解的 深层次过程。在教学的实践过程中，行为主义将学习等同于可观察的业绩，因此， 行为主义容易导致机械性学习。特别像数学这样需要理解的学科，如果学习过程 中的强化不能有效的促进学生的理解，那么就会导致机械学习，而这些是在教学 中应当避免出现的。 2 认知主义学习理论 与行为主义学习论认为一切学习行为都要依靠“刺激反应联结”这一系 统相反，认知主义学习理论认为学习者在学习过程中，会透过认知过程，把各种 资料加以储存、组织、归纳，最后形成自己的知识结构。认知主义学习理论强调 学习中的主体积极主动地作用于环境，强调学习者在学习过程的积极作用。因为 认知主义学习理论强调学生的认知结构、学习内容的结构、学生独立思考等的重 要作用，由此丰富了教育心理学的内容，也为教学提供了理论依据。 学生的学习是以现有认知发展水平为出发点，以“最近发展区”为定向，在 不断的产生错误和纠正错误的过程中进行的。学生只有在错误中学习，在成功与 失败的亲身体验中，才能真正领悟和掌握所学知识的精神实质和思想方法。因此， 在数学教学中，让学生在学习中适当经历困难，使学生有独立思考的时间和克服 困难的机会，亲身体验失败与成功的过程，这是让学生“学会学习”的根本途径。 如果学生在学习过程中遇到的困难较小，缺乏在错误情境中的亲身体验，那么， 学习过程中的这种无挫折性，会掩盖知识理解上的片面与肤浅，造成知识的记忆 困难和灵活运用，特别是难以在复杂情境下运用知识。忽视学生经历知识的发生 发展过程，未经学生独立思考就直接告知学生学习结果，这事实上剥夺了他们亲 身体验学习的过程，特别是体验成功与失败的机会，这必然会降低学生学习的质 量，影响他们理解知识的深刻度和洞察错误的敏锐度，造成学习上的“事后诸葛 亮”现象。在数学教学中，教师应当根据自己的教学经验，向学生提出能发现错 误纠正错误的关键问题，鼓励学生思考问题中所包含材料的某些潜在关系，发展 学生的思维能力，完善学生的认知结构。 i i 第二章数学教育领域内对错误的一般认识上海师范大学硕士学位论文 3 人本主义学习理论 人本主义学习理论是二十世纪五六十年代在美国兴起的一种心理学思潮，其 主要代表人物是马斯洛和罗杰斯。罗杰斯强调在学习过程中获得的不仅仅是知 识，更重要的是获得如何学习的方法和经验。这些方法和经验可以运用到以后的 学习中去，所以学习的最终目的是学会学习。他在学习的自由一书中明确指 出：“只有学会如何学习和学会如何适应变化的人，只有意识到没有任何可靠的 知识，唯有寻求知识过程的人，才是可靠的人，才是有教养的人。现代世界中， 变化是唯一可以作为确立教育目标的依据，这种变化取决于过程而不取决于静止 的知识。”罗杰斯认为很多知识和经验不是现成的知识，也不可能从现成的知识 中学习得到的，而是需要在学习的过程中获得。他特别强调对于学习方法的学习 和掌握，认为学生最宝贵的知识应该是在实际参与学习活动过程中，通过自我发 现、自我评价和自我创造，获得的有价值的、有意义的经验。罗杰斯的上述思想 被称为“学习是形成”的观点。所谓学习是“形成 ，就是要在“做”中学，在 学习过程中学会如何进行学习。 在教育实践中，罗杰斯等人本主义心理学家倡导以学生经验为中心的“有意 义的自由学习”，深刻地影响了传统教育理论，推动了教育改革运动的发展。这 种影响和推动主要表现在：突出了情感在教学中的作用和地位，形成一种以情感 为教学目标的新教学活动模式；强调教学过程中人际关系的重要性，并在教学中 以学生的“自我”完善为核心；把教学活动的主体由教师的教转向了学生的学， 将学生在学习中的行为、体验、思想、情感和态度看作教学的重点，促进了个性 化教学的发展。 人本主义学习理论中的许多观点在教学中都值得教师们借鉴。首先，在数学 教学中应该尊重学生，真诚对待学生，把他们视为数学学习活动的主体。其次， 应该建立良好的师生关系，形成情感融洽，气氛适宜的学习氛围，这样学生才会 积极地与老师、同学交流，发现与纠正自己学习中出现的数学错误。最后，在师 生共同经历从失败到成功的过程中，学生就会获得宝贵的知识和经验，即教师教 学生学会学习。在学生收获成功喜悦的同时，也体会到了学习中的乐趣。这种“以 生为本”的教学理念，使发展水平处于不同层次的每一个学生都获得了适合自己 上海师范大学硕士学位论文 第二章数学教育领域内对错误的一般认识 发展的需要和情感的体验。学生的学习动力不再是外界的一种强迫，而是内在的 一种迫切的“自我实现 的需要。因为“在人本主义者看来， 自我实现既是 人的最高价值，又是人的一种本能需要，它根植于人的先验的潜能之中”。这 种将学生的学习由被动转为主动的过程，充分发挥了学生学习的选择权与自主 权，这也是当今教育改革的发展趋势和时代需要。在数学教学中，体现“以人为 本 的人本主义思想可以有效地预防和避免学生出现数学错误。我们应该也需要 创设一个宽松、自由、平等、民主的学习环境，以学生的成长与发展为本，使学 生能主动发挥自己的潜能，愉快地、有创造性地进行数学学习。 4 建构主义学习理论 建构主义认为“课本知识是一种关于各种现象的较为可靠的假设，而不是问 题的唯一正确的答案。学生对这些知识的学习是在理解基础上，对这些假设做出 自己的检验和理解的过程 。按照建构主义理论，知识不能通过教师被动地传 授给学生，而是学生在一定的情境下，根据已有的知识和经验主动建构而成的。 这种建构不仅是对新知识的建构，同时又包含了对原有知识经验的改造和重组。 在学习过程中，由于每个学生有着不同的认知结构，都用自己独特的方式来建构 知识，所以也就产生了各种不同于“标准观念 的想法，建构主义者称之为“替 代观念 。对于学习中的这种“替代观念 ，教师应采取宽容的态度，同时促进 学生由“替代观念”向“标准观念 的转变，最终实现二者的进一步整合。这说 明我们通常认为的错误，是一种学生对知识建构的正常现象。对于学生的错误， 如果教师仅仅是指出错误，给出正确答案，则对学生是没有任何好处的。由建构 主义的理论我们可知，学生的错误不能简单地靠正面示范和反复操练来纠正，必 须有一个“自我否定”的过程。而“自我否定又是以“自我反省 ，特别是内 在的“观念冲突 为首要前提的。因此，为了有效地帮助学生纠正错误，教师就 应该提供适当的外部环境来促进学生的“观念冲突 和“自我反省”。如创设合 适的情景或提出恰当的问题来引起学生的思考和讨论；在讨论中进一步把问题深 化，以加深学生对所学内容的理解；要启发并引导学生自己去发现规律、自己去 。张华课程与教学论 m 上海：上海教育出版社2 0 0 0 年 圆张大均教育心理学 m 北京：人民教育出版社1 9 9 9 年 第二章数学教育领域内对错误的一般认识上海师范大学硕士学位论文 纠正错误和完善知识的认识。上述“自我否定”的过程不仅对错误的认识进行了 纠正，而且也提高了学生构建知识的能力，对形成良好的数学认知结构起到至关 重要的作用。 学习具有主观性和个别性，“一百个人就是一百个主体，并会有一百个不同 的建构 。因此，不同的学生都是带着自己不同的经验和认识进入教学过程的， 并且存在着比较大的差异性。根据建构主义理论的观点，教师确定学习目标，是 以教师的经验和认知为起点的，这容易造成目标的整齐划一。事实上，学生自主 选择确定学习目标，才会以自己的经验和认知为起点，并且带有明显的个体差异。 由此可见，教师应让学生主动地、因人而异地选择和确定学习目标。在针对学生 数学学习中出现的错误时，我们也应该因人而异地区别对待，不能像传统教学一 样，一味重视老师的教，而忽视学生自主地去学。建构主义心理学家皮亚杰认为： “学生应该从尝试和错误中学习，应该主动和独立地工作，即在没有任何限制、 有大量自由支配的时间的条件下学习劬。在教学中，教师如果让学生自主探索， 在学生需要时做一些提示和指导，那么开始时这样的教学效果可能不甚理想，学 习效率也可能比较低，远远比不上教师的现成讲授，但这毕竟是学生在自主学习。 学生尝试得多了，教师引导多了，“尝试引导 不断地循环，学生的自主学 习能力就会不断地获得提高，学生也将在自由的支配和选择中学习，从中获得认 知的提高和体验学习的快乐。实践证明，运用建构主义学习理论对学生的错误加 以纠正和分析，可以收到较好的教学效果，不仅大大降低学生重复出错的机率， 也提高了学生思维的深刻性、批判性和创造性，是符合认知规律的。 ( 三) 数学教育领域内对错误的一般认识 在数学教育中，由于数学学科与教学的特点，对于学生数学错误的定义与哲 学上的和一般意义上的有所不同。数学课程标准指出：“在数学教学活动中， 错误往往是教师在教学中和学生在学习过程中，反映在各方面，出现违反教学结 西张华课程与教学论 m 上海：上海教育出版社2 0 0 0 年 。赵卿敏课程论基础 m 武汉：华中科技大学出版社2 0 0 4 年 1 4 上海师范大学硕士学位论文第二章数学教育领域内对错误的一般认识 论或数学方法的现象。 查阅相关资料可知，对于数学错误的相关论述不少。比 如，郑毓信在数学教育的现代发展中有这样的表述：“有些教师往往把学生 在学习过程中产生的各种不同于标准观念的想法或做法看成是错误的。这里 的“标准观念”是指教科书、权威专家或是教师自身的观念。这说明了相当 一部分教师对于学生错误的理解，过多地拘泥于所谓的“标准观念这样一个结 论，而忽视了学生对于知识主动建构学习的过程。 随着现代认知心理学，数学教育研究的不断深入，对数学错误的认识也发生 了巨大的变化，研究者提出了新的建构主义数学观。改变了人们对于数学错误的 态度，“由纯粹的否定转而采取了更为理解的态度，并力图去发现其中的积极成 分”圆。d r i v e r ，a b i m b o l a ，p t u n d t 等一些建构主义学者研究后指出：“所说的 各种不同观念，事实上根本不应被看成错误观念，而应正名为替代观念 。a s h l o c k ，g i n s b u r g ，e r l w a n g e r 等对于数学学习中产生的错误研究分析后 得出了：“从现实的错误类型中可以清楚地看出，很多错误是有规律的而不是偶 然的。而从学习者身上观察到的一系列错误则表明，错误不是教给的，而是学习 者构造了自己特有的概念与程式造成的”固的观点。于是学者们提出了“规律性 错误”、“合理性错误等观点。比如，有些学生把“一a 看成是负数，建构 主义者就指出这是一种“合理性错误”，因为这时的学生所熟悉的仍只是正数。 随着数学教育理论的发展，人们逐渐认识到，数学中的一些内容是人为规定 的，要学生死记硬背这些人为规定的内容，或在探索数学规律的过程中不犯错也 是不可能的。学生在建构知识的过程中，有一个自身加工与整理的过程，在这个 过程中，每个人都有自己特有的习惯和方法。因此，并非不符合“标准观念”就 是错误的。可见，在数学教育中对错误的认识，也同样经历了由纯粹的否定转向 更为理解的态度，承认并力图去发现错误的积极成分，以形成数学教学的资源， 并逐渐形成了科学的错误观。 郑毓信数学教育的现代发展 m 南京：r r 苏教育出版社1 9 9 9 年 雪r o l lb i e h l e r 数学教学理论是- - 1 3 科学 m 唐瑞芬译上海：上海教育出版社1 9 9 8 年 谚郑毓信数学教育的现代发展 m 南京：江苏教育出版社1 9 9 9 年 英 p a u le r n e s t 数学教育哲学 m 齐建华译上海：上海教育出版社1 9 9 8 年 刘莹，部舒竹例谈学生数学错误的辨别标准 j 小学教学研究2 0 0 6 年( 8 ) 第二章数学教育领域内对错误的一般认识 上海师范大学硕士学位论文 因此我们在教学中也要有效地利用错误，化弊为利。俗话说：个坏的老师 奉送真理，而一个好的老师让人发现真理。课堂上教师如果仅仅将正确的解法介 绍给学生，忽视失败和错误解法，特别是如何由错误走向正确的过程，就没有更 好地起到优化学生思维品质、培养学生能力的作用。著名科学家李政道博士在回 忆起当时在芝加哥大学求学的时候，教授们在教学中真实展现了“错误到正确 的过程，他认为正是这种“错误到正确”的过程深深影响了他的学习，教授们的 这种教学方式最终也培养了他，造就了他今后的成绩。对于学生在数学学习中的 错误，如果教师能够充分利用，就一定能获益匪浅。最后用美国教育家杜威的话 来结束这一章的内容：“失败是有教导性的，真正懂得思考的人，从失败和成功 中学到的一样多 。 1 6 上海师范大学硕士学位论文第三章初中学生常见数学错误的类型及错误原因分析 第三章初中学生常见数学错误的类型及错误原因 分析 ( 一) 概念性错误 对数学概念的正确理解是掌握数学基础知识的前提，也是数学解题的基础。 对数学概念的透彻理解和正确把握十分重要。如果学生对数学概念或基本的数学 事实缺乏准确理解，对概念的适用范围把握不住，对一个概念和另一个概念之间 的区别和联系模糊不清，那么在运用概念时，错误就会暴露出来。对数学概念似 是而非的理解都将造成学生的解题失误，并进一步阻碍学生数学能力的发展，对 其学习态度的影响也是消极的。比如，在二次根式的学习中，学生容易出现 “1 6 = + 4 ”这样的典型错误。显然，学生是将平方根与算术平方根的概念混淆 了，错误地认为1 6 表示的是求1 6 的平方根。这说明学生对二次根式口( a 0 ) 的 意义没有掌握。口( a o ) 的意义是“非负数a 的算术平方根 ，口本身也是个 非负数。如果学生能理解二次根式的这一概念，就不会出现类似“1 6 = + 4 的 错误了。另外，一些学生会把“不大于”理解为“小于 ，把