第6章地下水的非稳定渗流运动随着工农业生产的不断发展,

第 6章地下水的非稳定渗流运动 随着工农业生产的不断发展，以及人口数量的不断增加，工业、农业及生活用水的需求量的不断增大，地下水作为重要的供水水源其开采量及开采规模迅速扩大，大多数地区普遍出现区域地下水的持续下降，而作为地下水运动要素均不随时间发生变化的稳定流理论及其裘布依（ Dupuit）水量计算公式，无法解决和预测这一现象，以及未来地下水动态的变化趋势。 本章主要讨论由于抽水而产生的非稳定渗流。 非稳定渗流理论所解决的主要问题 1.评价地下水的开采量 2.预报地下水位下降值 3.确定含水层的水文地质参数 泰斯以达西定律为基础，利用热传导理论提出了地下水非稳定井流的计算公式，称为泰斯公式。 泰斯非稳定流理论认为在抽水过程中地下水的运动状态是 随时间而变化的，即动水位不断下降，降落漏斗不断扩大， 直至含水层的边缘或补给水体，而且距抽水井越远，漏斗的 曲率越小，扩展速度越来越缓慢。 6.1 非稳定渗流基本概念及其基本微分方程 侧向边界离井很远，可不考虑其影响时，按无越流补给时处理， 此时越流补给强度 e =0。 6.1.1轴对称二维不稳定潜水井流基本微分方程 本节所要研究的问题是：在均质、各向同性、隔水底板水平的 无限含水层中，单个完整井进行抽水的情况（考虑为二维流动）。 渗流遵守达西线性定律，渗入强度为 e。 取一以井轴为中心的单元环柱体 作为均衡地段，以 dt为均衡时段。 设断面 r的流量为 Q，断面 r+dr的 流量为 Q+dQ，则均衡方程为： H hrQh+ d QQdrdrre- ( Q + Q ) + 2 + Q = 2d d t r d r d t d t r d r d h鬃鬃 ? meQ = - 2 h r h k r鬃 根据达西定律 V=kJ可得 上式的负号，是表示 Q与 h/r的方向相反，有： QQ = - 2 ( ) hhd d r = k r h h d rr r r r抖抖 +2 ( ) 2h h h k r h h d r r d r r d rr r r t m抖抖 + 鬃 ?e =1 ( ) h h hk h hr r r r t抖抖 + + ? me =简化为 将上式代入式（ 6.1） : （ 6.2） （ 6.1） 使式（ 6.2）线性化的方法，常用的有下列两种。 第一种线性化的方法，是将式（ 6.2）左端部分中作为乘数的 h 用平均值 hm代替，并视为常量，则式（ 6.2）可改写为 221mkh h h hr r r t抖 ?+抖 ?e =当无渗入时（ e =0），方程可写为 221mkh h h hr r r t抖 ?+抖 ? =对于水平二维无压流动，令 mkha =则式（ 6.3）和（ 6.4）可写成为 （ 6.3） （ 6.4） 221h h har r r t抖 ?+抖 ?e =221h h har r r t抖 ?+抖 ?=式中 a为水位传导系数， m2/d； （ 6.5） 第二种线性化的方法，是在式（ 6.2）的两端均乘以 h，并令势函数 22()()H h sHs- =- =221k h hr r r t抖 ?+ - ?抖 ? m e =得： 再以平均值 hm代替 h，并将式（ 6.5）代入上式，得 221 mhar r r t抖 ?+-抖 ?e =当 e =0时： 221ar r r t抖 ?+抖 ? =令： T =kh 导水系数，表示含水层的导水性能； 将 T、 a代入上式则得潜水完整井非稳定流的微分方程： rTrrr = 122或 rarrr = 1122 6.1.2不稳定承压井流基本概念及其基本微分方程 1.承压含水层的弹性水量 首先分析：在承压含水层中抽水（假定含水层的顶底板是不透水的， 而且抽水时保持承压状态），抽出的水是哪里来的？ 从潜水含水层中抽水，它导致含水层的疏干，表现为地下水位 自由液面 的下降，抽出的水量正是含水层被疏干部分的水量 （当 e =0时）。 psph=p测压水头php=但是，从承压含水层中抽水，周围 形成的降落漏斗并不是对含水层的 疏干，而只是构成水头（压力）的 降低。 压力降低为什么能释放出水来？ 物体均具有可压缩性，只是程度不同 而已。当作用在物体上的压力增大时， 物体的体积缩小，密度增大；反之， 当压力减小时，其体积增大，密度减小。 对于承压含水层（取一处于平衡状态的地层柱体来研究，见图 6.2），含水层上覆岩体外部荷载的重量和大气压力由两部分力与其平衡，一是含水层多孔介质对它的反力 ps，另一是承压水作用在隔水顶板上的浮托力 p（ p=hp， 其中 hp是承压含水层顶面的测压高度； 是水的重率）。 这是抽水前的平衡状态。 如果发生水头降低。也即含水层中每点地下水的压力 p减小，它将引起下列作用：（ 1）由于水压的降低，地下水的体积发生膨胀，从而释放出部分地下水；（ 2）水的压力 p的降低，即地下水对上覆岩体的浮托力降低，为了维持平衡，这部分力将转嫁到含水层多孔介质上，从而压缩含水层，其结果使含水层的空隙率 n变小和含水层厚度变薄，这两个因素均使得从含水层中释放出部分地下水；（ 3）由于压力的降低，组成含水层骨架的固体部分将会膨胀，而这又引起含水层厚度和空隙率的变化，其关系比较复杂。考虑到含水层固体部分的压缩性一般比水和含水层要小得多，因此，建立微分方程时可以忽略固体部分的压缩性，将它视为刚体。 如果承压含水层测压水头上升，则发生相反的过程。 上述分析说明：假如水头降低，承压含水层会释放出部分地下水；如果水头升高，承压含水层也会储存部分地下水，这就是通常所说的“弹性储量”。 弹性储量提供承压抽水井水量的概念，是与齐姆稳定井流的设想不相同的。后者假设，承压抽水井全靠“水平补给”。可以想像，如果没有弹性储量，依据水流连续性原理，则在抽水开始的一刹那，各断面 (包括 r) 的流量均等于抽水井的流量 Q。或者为了把矛盾暴露得更突出些，考虑承压含水层中沟流的情况，则在刚抽水的一瞬间，各断面 (包括 r) 的流速均相等。这显然不符合实际情况。因此，弹性储量必须加以考虑。 承压含水层由于水的来源是含水层的弹性压缩与水的弹性膨胀，因此其基本微分方程的建立除根据水均衡原理和渗流基本定律外，还应与水及含水层的状态方程（体积与压力间的关系）有关。 2.水的状态方程 假定水近似地符合弹性变形，依虎克定律，有 因为 V随 p的增大而减小，即 dV/dp0，而 bw规定为正值，所以上两式右侧有一负号。 bw的物理意义是：当压力改变一个单位时，单位体积水的增量。 bw的单位：压力的单位通常采用 kg/cm2（大气压），故 bw的单位采用 cm2/ kg。 对方程（ 6.12）进行积分 1wdVdpV= - ?b1 ipVwdVdpV-=蝌b( ) l n iwi Vpp V-=b依照马克劳林级数 : () 2 2 3 3111 + ( ) + ( ) + ( ) +2 ! 3 !wi ppw i w i w ie p p p p p p- = - - - 鬃 ?b b b b在压力变化不大时上式可近似取头两项 , ()wipp iVeV- =b （ 6.13） 式（ 6.13）可写成 1 + ( - ) i w iV V p p= b ()i w i wVVV p p pVV -D = = - = - Dbb（ 6.14） （ 6.12） 压力 p的变化引起水的体积 V的变化，但是水的质量 m和重量 G是不变的。由 Vr =m和 V =G的关系可知：若体积 V增大，则密度 r和重度 相应减小，有 ()Gdd V dGV= = - 由式（ 6.12）得 1wddp =? b3.岩层（多孔介质）的状态方程 ( 1 + )isM M p=Db H hhQr drM Qrr + d ( Q r )e ( r )t, 4.轴对称二维不稳定承压井流基本微分方程 这里讨论均质、各向同性、等厚的 承压含水层中完整井的抽水情况。 考虑含水层底板（或顶板）为弱透水 层，抽水时通过它有越层渗透，其越 流强度为 e。 设断面 r的重量流量为 Qr，断面 r+dr的重量流量为 Qr+d（ Qr） ， 单元环柱体中水的重量为 G，则其均衡方程为 - Q ( Q ) 2 Qr r rd d t r d r d t d t d G+ 鬃 ?= e H hhQr drM Q r r + d ( Q r )e ( r )t,按达西定律 Q2rh r M Kr=- 鬃则 22( Q ) ( Q ) 2 ( )rrhhd d r M K r d rr r r抖 ?=? 鬃 +抖 ? 均衡段内地下水的重量为 2G r d r M n= 鬃 式中 n 空隙率， 1EnE= + 2 ()1GEr d r Mt t E抖= 鬃抖 + 1+ 1+sassVM M M MVVEVVV= = =Q 2 ( ) = 2 ( )1 1 +G M M Er d r E r d r Et E t E t t抖抖 = ? 抖 ?221()( ) ( )w s w sk M h h hM n r r r M n t抖 ?+ ? =+ 抖 +?e b b b b可推得： 此式与潜水井微分方程式（ 6.3）对比，从形式上看，承压含水层 中的 M (nbw+bs)起着潜水含水层的给水度 的作用。 自己看 P84P86，可推出： （ 6.32） 当无越流时 e =0时 （ 6.33） 221()*h h har r r t抖 ?+ ? =抖 ?e221()h h har r r t抖 ?+?抖 ?上两式就是轴对称二维非稳定承压井流的基本微分方程。 对比式（ 6.33）和（ 6.10），如果令 =M(H h)=Ms （ 6.34） 则式（ 6.33）可写成 （ 6.35） 2 2 1()a r r r t抖 ?+?抖 ? 式 （ 6.35）和（ 6.10）的形式完全相同，只是其中的势函数 不同。 对非完整井，可推导出均质各向异性介质中地下水三维流动的 微分方程为： tayx = 1z 222222 或 tarrr = 1z12222 6.2无越流含水层中的单个定流量完整井流 因为无越流故无垂向渗流所以： e =0。 6.2.1无限承压含水层中单个定流量完整井流 含水层均是有限的。如果含水层是如此之大，以致边界对于含水层研究区段的水头分布没有明显的影响，则可称它为无限含水层。对于压力传导系数小的含水层进行短时间抽水的情况，可视为无限的含水层。 1.承压含水层定流量抽水时的 Theis（泰斯）公式。 承压含水层中单个井定流量抽水的数学模型是在下列假设条件下建立的： （ 1）含水层为均质各向同性、等厚、侧向无限延伸，产状水平、导水系数 T为常数； （ 2）抽水前地下水的水头面水平； （ 3）定流量抽水井，井径无限小； （ 4）含 水层中水流服从达西定律； （ 5）抽水后，水头下降引起地下水从贮存量中的释放是瞬时完成的，储水系数 *为常数 储水系数是常数，故承压含水层的压力传导系数 a=T/*是常数，其中 *是释水系数。所以：导水系数T=kM，式中 M为含水层的厚度。 （ 6）承压井流要保持承压状态，则水位降深 s不得大于（ H-M）。 （ 7） 承压井按泰斯理论，抽出的水来自含水层储存量的弹性释放，并且是瞬时完成，所以 T=kM为常数。 抽水井抽水时，抽水量完全是来自含水层中的储存量，随着抽水时间的延续，以井轴为对称的下降漏斗不断的扩展，水流始终是非稳定渗流状态。 在上述假设条件下，将坐标原 点放在含水层底板抽水井的井 轴处，井轴为 z轴，如右图所示。 tHQ时水面线MZohsr r 0根据上述假设条件 (1)和 (5)可以应用 不稳定承压井流基本微分方程（ 6.6） ,(2)是初始条件 ,(3)和含水层侧向无限 延伸是内外边界条件。令 =kMH+C=M1(H h)=M1s 因此，该定解问题可写成为： 221ar r r te =抖 ?+抖 ?j j j0( , 0 )r r t 221ar r r t=抖 ?+抖 ?j j j （ e =0时） ( , 0 ) 0r = 0()rr ( , ) 0t = ( 0 )t 0l i m 2 Qrrk r-?jp （常数） ( 0 )t 该定解问题可用积分变换法，分离变量法或博尔兹门变换法求解， 它的解是 Q4uue dukup-= 其中 22*44rruT t a t=m令 ( )uue d u W uu-= =M(H h)=Ms ( ) ( )QQ44s W u W uk M Tpp = =4Q()TsWup=)Q4(4 12TsaWrt= 式（ 6.45）、 式（ 6.46）和 式（ 6.47）称为泰斯公式。 W（ u）称为承压水定流量的井函数。 右端为指数积分，将其展成幂级数并逐项积分。 W（ u）可 表示为下列无穷级数的形式 因为 0.577216=ln1.78107， 当抽水时间 t 较长、抽水井 u0.01 或观测井 u0.05时， 式（ 6.48）第二项以后（不包括第二项）可忽略不计，则 式（ 6.45）、式（ 6.46）和式（ 6.47）可简化为 见 P89表 6.1、 P91例 6.1 。 2.对泰斯公式的简要分析见 P91,属于了解的范畴。 duueuWuu =)(= 11!)1(ln577216.0)( nnnnnuuuW225.2ln4QratTs 225.2ln4QratTs= Q42445.0Tseart = 6.2.2无限潜水含水层中单个定流量完整井流 在潜水含水层中抽水时，潜水面是随时间不断变化的上界面。 1.地下水向潜水井的非稳定渗流的主要表现以及与承压井的非稳定渗流的比较： （ 1）潜水井的导水系数 T=kh是随时间和距离而变化的，而承压井的 T=kM为常数； （ 2）潜水井降深较大时，垂直分速度不可忽略，在井附近为三维流。水平含水层中的承压井可作为二维流处理； （ 3）潜水井中抽出的水量主要来自含水层的重力疏干。考虑疏干的滞后性时，虽然潜水面下降了，而潜水面以上新形成的饱和带中仍有水继续向下排水，补给潜水层。这时，潜水层的给水度是变化的，故潜水含水层的水位传导系数 a=T/是变化的。 给水度 是随着抽水时间的增加而逐渐趋向于稳定的最大值，一般提供的给水度值，便是这个最终值。导水系数 ，式中： 。 HkT =2)( m a xsHHH =从实测的水头降深 s和 t时间的关系曲线分析，潜水含水层存在滞 后疏干的现象， s t曲线反映出抽水过程三阶段： 抽水初期 s t曲线与承压井的泰斯曲线一致。这时主要为弹性释 放，可以储水系数表示。潜水位下降了，重力疏干因滞后反应 所引起的作用还很小。所以，含水层的作用相当于贮水系数小 的承压含水层。这阶段的时间很短，也许只有几分钟。 抽水中期 s t曲线的变化很象有越流补给时半承压含水层的情况， 明显偏离泰斯曲线，曲线斜率变小，甚至出现短时间的假稳定。此 时，重力疏干的作用逐渐明显，贮存的重力水逐步释放出来，起到 连续再补给的作用。弹性释放的作用依然存在，但所占比例已逐渐 减弱。此时给水度的数值逐级增大而趋向潜水含水层的最大值。这 个阶段，由于潜水层性质的不同，可能是几分钟，也可能是几天。 抽水后期 s t曲线又与泰斯曲线相一致，水头下降速度增大，降 落漏斗扩展，这时主要为重力疏干作用，由于抽水时间的增长，重 力排水已跟得上水位的下降，滞后作用可忽略不计，此时的给水度 达到最大值。 （ 4）当降深不大时，含水层为无限含水层时潜水完整井单井抽 水非稳定流运算模型参照承压水完整井的方式进行一系列代换导出 时，将式（ 6.5）代入式（ 6.43），则得计算潜水井流的基本方程 ： 上三式也称为泰斯公式。 )(2 Q2 uWkHHs =)()2(2Q 00uWssHk = Q)2(24 12ssHkaWrt= 所以泰斯公式有 6个式子，即：公式（ 6.45）、 式（ 6.46）、 式（ 6.47）、 式（ 6.58）、式（ 6.59）和式（ 5.60）。 式中 W（ u）的求解与承压水完整井非稳定流时相同。 当抽水时间 t较长、抽水井 u0.01或观测井 u0.05时，式（ 6.48）第二项（不包括第二项）以后可忽略不计，则式（ 6.58）、式（ 6.59）和式（ 6.60）可简化为 22 25.2ln2QratkHHs 20025.2ln)2(2QratssHk = Q)2(22445.0ssHkeart = 2.博尔顿法数学模型及其解 * ),( DruW yaaa uDruW 1),( 井函数 的数值解在双对数坐标纸上绘得曲线簇 , 曲线，适用于 抽水初期； 它包括两组曲线， 左边为 A组 右边为 B组 曲线，适用于抽水后期。因式 （ 6.63）的条件是 h ，两组曲线的中间部分为一水平线，可用式（ 6.65）表示。当 h 100时，曲线中间部分仍趋近于一水平线，如 h 100时，曲线中间部分就不是水平线了，而是一条比抽水初期和后期的斜率小得多的曲线，可用两组曲线间它们的共同切线连接。 曲线簇说明：抽水初期以弹性释放为主，水头降深与左边的泰斯曲线吻合；中期滞后重力排水的影响曲线簇偏离泰斯曲线，水头下降速度变小，并随不同的 r/D，以不同方式向水平线趋近；后期滞后重力排水影响逐渐减弱，水头下降速度又由小变大。滞后重力排水影响基本结束时，曲线簇与右边的泰斯曲线趋近。 yy uDruW 1),( Ttruy 42 =Ttrua 4*2 = ； 6.3有越流补给时承压含水层中的单个定流量完整井流 如果抽水层的顶板或底板不是隔水层，而是弱透水层或弱含水层，那么当抽水层抽水时，水位下降，抽出的水除了抽水层本身的弹性释放之外，还得到弱透水层的弹性释放补给和相邻含水层通过弱透水层的补给。这种含水层系统称为越流系统。它包括抽水含水层和相邻含水层。见下图。 越流系统可分为三种类型： （ 1）弱透水层的弹性储量很小，可忽略不计，而且在抽水含水层抽水期间，相邻含水层的水位不变。 hsh k/k/相邻含水层抽水含水层弱透水层MMH （ 2）弱透水层中释放出来的水量相当大，甚至是越流补给的主要来源，相邻含水层的水位保持不变；所以应考虑弱透水层的弹性储量。 （ 3）补给层的水头随主含水层的抽水情况而变化，这种类型的计算很复杂，本书不讨论此类问题。 本书只介绍第一类及第二类特定条件下的计算公式。 越流系统中常用的三个系数 （ 1）弱透水层越流系数 b：其含义为，水头降低一个单位时，单位时间内，单位水平面积上，相邻含水层通过弱透水层补给抽水含水层的水量。 Mkb=（ 2）阻越流系数 B kMTB=阻越流系数 B表示越流补给量大小， B愈大则渗透系数 就愈小，故垂直补给量愈小。 k （ 3）越流补给强度 e 越流补给强度是单位时间通过单位水平面积补给抽水含水层的水量，（ m/d） （ 6.68） 式中 s 抽水含水层水头降深。 sMk =e一、第一类越流系统地下水流向承压完整井的非稳定运动 1.汉土斯假设： （ 1）越流系统中每层都均质各向同性、产状水平、 等厚、侧向无限延伸； （ 2）抽水含水层和相邻含水层初始水位水平且相等，抽水后，抽水 层中水流为平面径向流； （ 3）抽水后相邻含水层越流补给抽水层，但其中水位保持不变； （ 4）抽水层中水流服从达西定律； （ 5）水和含水层均为弹性体，储水量的释放是瞬时完成的； （ 6）抽水井以定流量抽水为井径无限小的完整井； （ 7）弱透水层的弹性释放水量可忽略不计，通过其中的水流为垂向 一维流。 在上述水文地质条件下抽水时，井的抽水量 Q由二部分组成：一是由于水位降低，抽水含水层本身的弹性释放量；二是在抽水含水层与相邻含水层之间的水位差作用下，来自相邻含水层的越流补给量。随着抽水时间的延续，水位差增大，降落漏斗扩展，使越流补给量在井的抽水量中所占比重也逐渐增大。当井的抽水量与越流补给量相等时，抽水含水层的降落漏斗达到稳定，抽水含水层不再释放储存量。 2.汉土斯数学模型及其解 在上述假设条件下，可应用承压二维渗流的微分方程，结合相应 的初始条件和边界条件，构成一个理想的数学模型： s（ r， 0） =0 =0 这一数学模型有非稳定流和稳定流的解。 （ 1）有越流补给时非稳定流的解 将上式 积分变换，得： 解得： tsatsTTrsrrs= 11 *22 e),( ts Trsrr 2Qlim0=dyyBryyTtrs u )4e x p (14Q),(22= hHBruWTtrs = ),(4 Q),( 为不考虑弱透水层弹性释水时越流系统的井函数，其值 ),( BruW见 P101表 6.2。 （ 2）有越流补给时非稳定流的解的分析 有越流时的降深比无越流时小 将有越流时的解式 （ 6.71）和泰斯的解式（ 6.45）对比可看 出，当 u值相同时，因为 恒为正值，故积分 较 为小。因此，该含水层的 降深 s比无越流的承压含水层的降深值要小。这是因为在越流 时，水井中抽出的水，一部分来自越流补给，抽水含水层可 以少释放一些弹性储量造成的。 当 k/=0时，弱透水层变为不透水层，越流因素 B ，没有越 流补给。式中的 0，则变成泰斯公式。 时， 就是泰斯曲线。 s t曲线的形状 按表 6.2有越流井函数绘制 标准曲线，见下图。 atrTtru44* 22 = yBr224dyyBryyu)4e x p (1 22dueuuyBr2240Br),( BruW u1),( BruWBrBrkMTB=Br此曲线相当于 s t曲线。抽水初期， 降深较小，越流尚未进入抽水层， 井中抽水的水量几乎全部是消耗 抽水层的贮存量，可看出这时的 降深曲线与泰斯曲线一致。 在理论上即越流量等于 0， 或 B ， W(u)，降深曲线与泰斯曲线一致。 值时的曲线形状。在其他条件和 越小，与泰斯曲线一致的过程越长，相邻含水层的 分析， 小，即 B大，则透弱水层的渗透性小，厚度大， 标准曲线 中表示了不同 r相同时 , 越流量进入抽水含水层的时间越迟。从 所以越流发生得迟。 抽水中期 ，降深曲线变缓，偏离泰斯曲线。这说明越流开始 进入抽水层，这时抽水量由两部分组成：一是来自抽水层的弹 性释放，二是来自相邻含水层的越流补给。其他条件和 r相同 时 , 大，越流补给量大，消耗抽水层的储 存量小，所以抽 水层的降深也小，偏离泰斯曲线早。 抽水后期 ，降深曲线趋向水平直线，也就是说水头不再下 降，抽水量等于越流补给量，流水由非稳定流变为稳定流。 水头下降速度 当存在越流时，含水层中水头下降速度为 Br)4(e x p 14Q22BatatrtTts = 与泰斯公式的水头下降速度对比看出， 恒为正值，故 有越流时水头下降速度比无越流的承压含水层为小。 t 足够 大时，井周围的降落漏斗等速下降。 )( 2Bat2)(05.0Br)(2),( 0 BrkBruW =（ 3）有越流补给时的稳定流解 当 t足够大时， u便很小。实用上只要 u 导，井函数部分为： ，经数学推 一般越流含水层的阻越流系数 B都相当大，故 1， 上式要求 注：见表 5.5， 大，则 小 。稳定时的降深 即最大降深，可表示为： Br0)(2 Q 0 BrkTs m a x =式中 )(0 Brk 为零阶第二类虚宗量塞尔函数，见 P103表 6.3。 能满 足 Br )(0 Brk 当 0.05时，在抽水井附近，则按贝塞尔函数性质： 则 稳定流中求得的裘布依公式为 对比上两式得 :R=1.12B R就是裘布依公式中的影响半径，在一定水文地质条件下 B是常数，因而 R也是定值。此时， R的意义是在抽水效果不 变的条件下，把面积形式补给的越流量转化为具有圆柱形侧 向补给时的圆周半径。 见 P104例 6.2 BrrBBrk 1 . 1 2ln)(0 rBTs m a x1 . 1 2ln2Q=rRTs ln2Q=第二类越流系统水流向承压完整井的非稳定运动的计算公式 hHBuHTtrs = ),(4 Q),( dyuyyuByeBuHuy)(e r f c),(= atru42= 当弱透水层上下为两个相邻含水层，抽水时间又很短的第二类越流系统（弱透水层中释放出来的水量相当大，不能忽略时）可用下列公式计算： erfc (x) 误差函数的补函数。 井函数自变量； 第二类越流系统井函数； kMTB=kMTB=22111BBB= 6.4集中开采区定流量完整干扰井群 在集中开采区，往往在较小范围内布置数量很多的单井，形 成相当密切的干扰井群。由于单井的数量很多，用前面讲的叠加方 法进行计算是相当繁琐的。为了简化计算，可以把集中开采区的干 扰井群近似概化为具有均匀开采（或补给）强度的开采地区，变成 假想的连续型干扰井群。若井群的总开采量为 Q，开采区面积为 A，则开采强度 e=Q/A。 实际的干扰井群无论怎样密集总是 离散型的，概化为连续型只是一种近 似，把井群作为一个整体看待。在平 面上按井的分布应用较多的连续型开 采地区有圆形和矩型。在含水层稳定 展布的平原区，各种井群往往不均匀 地分布着，难以概化为单一的具有均匀开采强度的圆形或矩型开采 地区。因此，可以按井孔的分布和流量的情况、概化成若干个不同 开采强度、 不同几何形状的开采地区的组合。还可加上若干个难以 包括的单井 ,见上图。 然后将若干个概化地区和单井叠加起来，就可求解。 3e1ee 2 6.4.1圆形开采区 右图表示一平面无限延伸的承压含 水层，厚度为 M，压力传导系数 a=T/*，圆形开采地区的半径为 R， 均匀开采强度为 e，总开采流量为 Q， 开采后区域降落漏斗、概化如图中 所示。水流为轴对称的，可列出以 降深表示的数学模型： 可推得 开采中心区最大降深 MH0hs 0R rhsm a x 0Q ()4 cs W uT= 0000(1 )( ) ( ) uceW u W uu=20 4Ruat=当 u00.05，即抽水时间较长， 时 001 1ueu00 26 . 1 1( ) ( ) 1 l ncatW u W uR= = 1r 时， 00200Q (1 ) ( ) 4uues W u r eTu= 1r 时， 00Q ( ) 0 . 5 4 us W u uT = (1 . 5 2 )rr时， 0Q ()4s W uT= 此式表示在距离比较远处，圆形开采区的作用与单井的作用 相同，可以用单井公式计算。 见 P106例 6.3。 6.4.2矩形开采区 图 6.12表示一平面无限延伸的承压 含水层，厚度为 M，压力传导系数 a=T/*，矩形开采地区的边长为 2L和 2b，总开采流量为 Q，开采 后区域降落漏斗、概化如图中所 示，均匀开采强度为 e =Q/4Lb， MH0hs 0L0xybs1 * ( ) * ( ) * ( ) * ( ) 4 2 2 2 2 2 2 2 2L x b y L x b y L x b y L x b ys s s s sa t a t a t a t a t a t a t a t = 10* ( , ) e r f ( ) e r f ( )s = bb d 在开采中心 x =0， y =0处 降深最大， m a x * ( , )* 22t L bssa t a t=e上式简化为： 见 P106例 6.4 。 6.4.3潜水含水层在降深不大时 可近似应用承压井的公式 （ 6.89） 见 P107例 6.5 。 6.5无越流含水层中水流向完整干扰井群的非稳定渗流 6.5.1.1承压完整干扰井群 211 Q ( )2nn i iis H H W uk= - - p 根据叠加原理 ，若 n个井同时抽水， t时刻在 A点的水位降深为 ： )4(Q4 1121= ni iiAinAAAA Tt*rWTssss当 01042.TtsriiA 时，其近似公式为： 252lnQ411 2= ni iAiiA*rTt.Ts 6.5.1.2潜水完整干扰井群 对潜水含水层在降深不大时可近似用下式： )4(Q2 1)2(21202iiAni iAAA TtrWkhHssH = 当 时，其近似公式为： 01042.uTt sr iiiA = 2 . 2 5lnQ21)2(21202iAini iAAA ratkhHssH = 6.5.2边界附近地下水向井的非稳定渗流 6.5.2.1直线补给边界 承压含水层一侧为定水位的河流，另一侧无限延伸。有一抽水 井在工作。设以河流边界为镜面，在另一侧对称位置上有一注水 井，以 Q注 =Q抽 工作。根据叠加原理可写出直线补给边界附近的 单井非稳定抽水时， t时刻任意一点 A的降深计算公式： )(-)(4 Q 21 uWuWTs A =当 u10.01， u20.01时，可用下列近似公式： 122221ln2 Q2 . 2 5ln-2 . 2 5 l n4 Q rrTr atr atTs A = 上式的右端没有时间 t的变量，说明 sA不随 时间而变化，和稳定 流的方程式一样。所以有补给边界存在的条件下，抽水井工作一 段时间后，便可达到稳定状态。 见 P 109例 6.6 。 6.5.2.2直线隔水边界 如工作井是在承压含水层中的抽水井，虚构井可看成是抽水 井，流量同真实的抽水井一样。根据叠加原理可写出直线隔水边 界附近的单井非稳定抽水时， t时刻任意一点 A的降深计算公式： )()(4 Q 21 uWuWTs A = 当 u10.01， u20.01时，可用下列近似公式： 212221252ln2Q2 . 2 5ln2 . 2 5 l n4Qrrat.TratratTs A = 6.6地下水向非完整井的非稳定流渗流运动基本方程式 对于承压水非完整井： ),(2)()(4QrMMLuWhHkM=对于潜水非完整井： ),(2)()(2Q 22rMMLuWhHk= 6.7水文地质参数的确定 利用稳定流抽水试验计算水文地质参数 一、单井稳定抽水试验计算渗透系数 k 2103 4Q ( m 3s(m)2460 0 0 0 0 0 000 0 0 0/ d )a 型b 型h2利用裘布依型稳定流公式进行渗透系数计算时，若没有观测孔而只能根据抽水井的出水量、水位下降等数据，则应消除抽水井附近产生的三维流、紊流的影响；特别是在抽水井水位下降值较大的情况下，最好采用下列 消除渗透阻力的方法： 首先根据单井内水位下降值 s 与相应的出水量 Q绘制 Q s关系 曲线，如 右 图所示，再按所得曲 线类型选择适当的计算公式。 1.当承压井 Q s(或潜水井 Q )呈直线关系时 （见右图中的 a型曲线）， 地下水运动为平面流，可 直接采用第五章的公式计算 渗透系数 k。 (注：潜水含 水层在自然情况下： )。见 P112例 6.7。 2. 当 Q s(或 )关系呈曲线关系时（见图 6.14中的 b型 曲线），抽水井壁及其附近含水层中，已产生三维紊流，不 符合裘布依的基本假定条件，因此不能直接用稳定流公式进 行计算。为了消除三维流、紊流的影响，在计算时应采用消 除阻力法。方法如下： 首先绘制 或 关系曲线， 若根据三次水位下降 2103 4Q ( m3s(m)2460 0 0 0 0 0 000 0 0 0/ d )a 型b 型h22h2022 hHh =2hQQ s QQ2h的 Q、 s P113例 6.8 QQ sQQ2hQsQ2h值所做的承压水的 或潜水的 则可将直线在纵轴上的截距 a值代入第五章的公式计算 渗透系数，这种方法称为截距法。即用 a代替承压井公式中的 ；用 a 代替潜水井公式中的 ，然后再求渗透系数 k。 呈直线时， / d )3Q ( m)2s/Q(d/ma4.02.00 0300.0200.0. 100000020001123关系曲线 式中 s0 =H -h0 ； h0 井中水深。 二、带观测孔的单井稳定抽水试验计算渗透系数 k 为了避免抽水井附近的三维紊流影响，所选的最近观测孔距 主井的距离一般为含水层厚度的一倍，而所选的最远观测孔距 第一个观测孔的距离也不宜太远，以保证各观测孔内有一定的 水位下降值，并使各观测孔的水位下降值在 )( 2hs 或的直线段内。 1.有一个观测孔 lgr曲线 承压水完整井 010ln)(2 Q rrssMk = 潜水完整井 0122 ln)(Qrrhhk = 当观测孔距抽水井较近时，易受三维紊流影响，如采用 6.7.1.1中 的方法，则渗透系数偏小；当远离抽水井时，如采用 6.7.1.1中的方 法，则渗透系数偏大。 2.有两个观测