线性方程组的解法.ppt_第1页
线性方程组的解法.ppt_第2页
线性方程组的解法.ppt_第3页
线性方程组的解法.ppt_第4页
线性方程组的解法.ppt_第5页
已阅读5页,还剩57页未读 继续免费阅读

下载本文档

版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领

文档简介

第二章线性方程组的解法,设有n元线性方程组,或记为,其中,(2.1),(2.2),设系行列式,则方程组(2.1)有唯一解。,解线性方程组的两类方法,直接法,如果不计运算过程的舍入误差,,经过有限,次运算后可得到方程组的精确解的方法。,迭代法,从解的某个近似值出发,,通过构造一个无穷序,列去逼近精确解的方法。,迭代法一般在有限步内得不到方程组的精确解。,Cramer法则,由Cramer(克莱姆)法则,方程(2.1)的解为,阵。,如果用按照某行(或某列)展开的方法计算,行列式,,那么用Cramer法则求解一个n元线性,方程组所需的乘法运算次数为,加,法运算次数为,当n较大时,,这个计算量,大得惊人。,2.1Gauss消去法,消元过程,写出方程组(2.1)的增广矩阵,,并记,2.1.1顺序Gauss消去法,若,则施行第一次消元:,原增广矩阵被变换成,将这一过程继续下去,步的计算过程为,第,原增广矩阵被变换成,若所有的,则经过,次消元得到:,(2.3),与原方程组(2.1)是同解方程组。,回代过程,回代过程就是由方程组(2.3)的最后一个方程解,然后通过逐步回代,,依次求出,出,具体算法为,例1,用顺序Gauss消去法解以下线性方程组,解,用增广矩阵表示法求解:,消元过程,回代过程,同解方程组为,乘除法次数,顺序Gauss消去法的运算量,消元过程,加减法次数,回代过程,乘除法次数,加减法次数,总运算量,乘除法次数,加减法次数,2.1.2列主元Gauss消去法,引例,考虑用顺序Gauss消去法求解以下方程组,,在运算中每次运算保留到小数点后四位。,消元后的同解方程组为,回代求解得,与准确解,相差很大。,改进:,对调方程,消元后的同解方程组为,回代求解得,与准确解,相差不大。,误差分析:,设准确解为,顺序Gauss消去法求得的解,为,改进后的Gauss消去法求得的解,为,顺序Gauss消去法的误差,则,改进后的Gauss消去法的误差,则,列主元Gauss消去法,若,1消元过程,对,选主元,则计算停止,,若,则换行,,消元,2回代过程,则计算停止,,若,对,否则,例2,2.2直接三角分解法,2.2.1Doolittle分解法与Cout分解法,其中L是下三角矩阵,,U是上三角矩阵,,这时方,程组就可化为两个容易求解的三角形方程组,(2.4),矩阵A分解成(2.4)的形式称为矩阵的三角分,解。,若L是单位下三角阵,,则称相应的分解为,Doolittle分解(也称为LU分解)。,若U是单位上,三角阵,,则称相应的分解为Crout分解。,定理1,定理2,Doolittle分解法,主子式都不为零。,则A有Doolittle分解,(2.5),由分解式(2.5)及矩阵的乘法知,Doolittle分解算法,对,对,Doolittle分解表上作业法,利用LU分解求解线性方程组的算法,先求解,即,所以,再求解,即,回代求解,例3,利用Doolittle分解求解以下方程组,解,回代求解x,2.2.3追赶法求解三对角线性方程组,设n元线性方程组Ax=b的系数矩阵A为非奇异,的三对角矩阵,这类方程组具有许多明显的应用背景,,这种方程组称为三对角线性方程组。,分方程数值解、三次样条函数等问题中,,在求微,都会遇,到这样的线性方程组。,唯一的LU分解,,则A有,并且A的LU分解有如下形式,其中,向前“追”的过程,往回“赶”的过程,(1),求解三对角线性方程组的追赶法,(1),表上作业的“追赶法”,例4,利用追赶法求解以下方程组,解,2.4解线性方程组的迭代法,直接法:经过有限次运算后可求得方程组精确解的方法(不计舍入误差!)如前面我们介绍过的Gauss消去法和直接三角分解方法。,迭代法:从解的某个近似值出发,通过构造一个无穷序列去逼近精确解的方法。(一般有限步内得不到精确解),直接法比较适用于中小型方程组。对高阶方程组,既使系数矩阵是稀疏的,但在运算中很难保持稀疏性,因而有存储量大,程序复杂等不足。,迭代法则能保持矩阵的稀疏性,具有计算简单,编制程序容易的优点,并在许多情况下收敛较快。故能有效地解一些高阶方程组。,2.4.1迭代法概述,迭代法的一般形式,设n元线性方程组,(1),的系数矩阵,为n阶可逆方阵,,从而此方程组有唯一的非零解向量。构造形如,(2),的方程组,,其中G为n阶可逆方阵,,任取,作为(1)的初始近似解,,按递推公式,(3),产生向量序列,当k充分大时,,以,作为方程组,的近似解,,这种求解线,性方程组的方法称为迭代法。,递推公式(3)称为,迭代公式,其中G称为迭代矩阵。,迭代矩阵的产生方法,把系数矩阵A分解成两个矩阵N和P的差,其中N是n阶可逆方阵,,代入(1)式得,即可取,关于收敛性的概念,定义,如果,记为,如果对任意的初始向量,迭代公式,则称该迭代法是收敛的。,此时,,是方程组(2),解向量,,收敛定理1,向量x的充分必要条件是,其中,证明:,由收敛性的定义及范数等价性定理有,,收敛于x,对任意的,有,收敛定理2,定义2,若n阶方阵G的特征值为,则,对任意的向量d,迭代公式(3)收敛,的充分必要条件是,收敛定理3,若方阵G的某种范数,则,对于迭代公式(3)产生的序列,有,并且,(4),(5),对收敛定理3的几点说明,由(4)式知,,越小,,收敛的越快;,由(5)式知,,就会充分接近于,方程组的解,所以在实际计算中可用,作为迭代的终止条件。,此时,应构造其它的迭代方法求解。,设线性方程组,的系数矩阵满足,称迭代公式,所表示的迭代法为Jacobi迭代法(或简单迭代法)。,2.4.2Jacobi迭代法,记,其中,则Jacobi迭代法可表示为,(7),若取,(8),收敛条件,Jacobi迭代法收敛的充分必要条件,若,则Jacobi迭代收敛。,若n阶方阵A是主对角线按行(或按列)严格,占优阵,,则用Jacobi迭代法求解线性方程组,Ax=b必收敛。,说明,当n阶方阵A为主对角线按行严格占优阵,,即,满足条件,此时有,由收敛定理3知线性方程,组Ax=b有唯一解,,并且Jacobi迭代法收敛。,当n阶方阵A为主对角线按列严格占优阵,,即,满足条件,可用反证法,得到,从而说明Jacobi法收敛。,例1,用Jacobi迭代法求解,解:,此方程组的系数矩阵是主对角线按行严格占,优阵,,常数项,迭代矩阵,Jacobi迭代公式为,所以用Jacobi迭代法求解必收敛。,计算结果,由于,绝对误,差限为,Jacobi迭代法的计算过程:,1.,输入,维数n,误差,初,始值,最大迭代次数N;,2.,置k=1;,3.,对,4.,若,输出x,停机;否则转5。,5.,若,置,转3;,否则,输出失败信息,停机。,2.4.3Gauss-Seidel迭代法代法,在Jacobi迭代公式,若把迭代公式改写成,(9),便得到所谓的Gauss-Seidel迭代公式。,它只需用,n个单元储存近似解分量。,而且通常情况下,,得到的近似解可能比老近似解更接近精确解,,新,因此,可望这种迭代会更有效。,矩阵表示,记,其中,则Gauss-Seidel迭代法可表示为,其中,,为Gauss-Seidel迭代法的,迭代矩阵,,是其右端常数项。,收敛条件,Gauss-Seidel迭代法收敛的充分必要条件,若,则Gauss-Seidel迭代收敛。,若n阶方阵A是主对角线按行(或按列)严格,占优阵,,则用Gauss-Seidel迭代法求解线性方,程组Ax=b必收敛。,例2,用Gauss-Seidel迭代法求解,解:,此方程组的系数矩阵是主对角线按行严格占,优阵,

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

评论

0/150

提交评论