2019年中考数学复习专题复习（七）函数与几何综合探究题练习.docx

专题复习(七)函数与几何综合探究题如图，对称轴为直线x的抛物线经过B(2，0)，C(0，4)两点，抛物线与x轴的另一交点为A.(1)求抛物线的解析式；【思路点拨】已知对称轴，可设顶点式ya(x)2k，然后将点B，C的坐标代入，解方程组即可得到抛物线的解析式(一题多解)【答题示范】解法一：抛物线的对称轴为直线x，设抛物线的解析式为ya(x)2k(a0)抛物线经过点B(2，0)，C(0，4)，解得抛物线的解析式为y2(x)2，即y2x22x4.解法二：抛物线的对称轴为直线x，A，B两点关于直线x对称且B(2，0)，A(1，0)设抛物线的解析式为ya(x1)(x2)(a0)抛物线经过点C(0，4)，2a4，解得a2.抛物线的解析式为y2(x1)(x2)，即y2x22x4.解法三：设抛物线的解析式为yax2bxc(a0)抛物线的对称轴为直线x且经过点B(2，0)，C(0，4)，解得抛物线的解析式为y2x22x4.二次函数的解析式的确定：1确定二次函数的解析式一般用待定系数法，由于二次函数解析式有三个待定系数a，b，c(a，h，k或a，x1，x2)，因而确定二次函数的解析式需要已知三个独立的条件：(1)已知抛物线上任意三个点的坐标时，选用一般式，即yax2bxc(a0)；(2)已知抛物线的顶点坐标和另外一点的坐标时，选用顶点式，即ya(xh)2k(a0)；(3)已知抛物线与x轴的两个交点(或横坐标x1，x2)时，选用交点式，即ya(xx1)(xx2)(a0)2用待定系数法求二次函数解析式的步骤：(1)设二次函数的解析式；(2)根据已知条件，得到关于待定系数的方程(组)；(3)解方程(组)，求出待定系数的值，从而写出函数的解析式(2)若点P为第一象限内抛物线上一点，设四边形COBP的面积为S，求S的最大值；【思路点拨】先设点P的坐标，再利用割补法将四边形COBP的面积表示成几个容易计算的图形面积的和差，然后根据二次函数的性质求最值(一题多解)【答题示范】解法一：如图1，连接BC，过点P作PFx轴于点F，交BC于点E.图1设直线BC的解析式为ydxt(d0)直线经过点B(2，0)，C(0，4)，解得直线BC的解析式为y2x4.P为第一象限内抛物线上一点，设P点坐标为(n，2n22n4)(0n90，只能CMMQ.由(2)的解法一得：直线BC的解析式为y2x4.设M点坐标为(m，2m4)(0m2)，则Q点坐标为(m，0)，MQ2m4，OQm，BQ2m.在RtOBC中，BC2.MQOC，BMQBCO.，即.BM2m.CMBCBM2(2m)m.CMMQ，2m4m，m48.Q(48，0)解法二：由(2)的解法一得：直线BC的解析式为y2x4.设M(m，2m4)(0m90，只能CMMQ.由(2)的解法一得：直线BC的解析式为y2x4.设M点坐标为(m，2m4)(0m2)，过点M作MDy轴于点D，则Q点坐标为(m，0)，DMm，CD4(2m4)2m，BQ2m.在RtCDM中，CMm.CMMQm.tanCBO2，tanMBQ2，即2.m48.Q(48，0)()解法一：如图5所示：当QMB90时，图5CMQ90，只能CMMQ.过点M作MNx轴于点N，设M(m，2m4)(0m2)，则ONm，MN2m4，NB2m.由()得：BM2m，CMm.QBMOBC，QMBCOB90，RtBOCRtBMQ.，即.MQ2(2m)42m.CMMQ，CMm，m42m.m.M(，)MNx轴于点N，MQBC，QMNNMB90，NMBNBM90，QMNMBN.又BNMMNQ90，RtBNMRtMNQ.，即.NQ.OQNQON.Q(，0)解法二：如图6所示：当QMB90时，图6CMQ90，只能CMMQ.设M点坐标为(m，2m4)(0m2)在RtCOB和RtQMB中，tanCBOtanMBQ2，又tanMBQ，由()知BM2m，MQCMm.tanMBQ2.m42m.m.M(，)此时，BM2m，MQ.BQ.OQBQOB2.Q(，0)综上所述，满足条件的点Q的坐标为(48，0)或(，0)1在解答直角三角形的存在性问题时，具体方法如下：(1)先假设结论成立，根据直角顶点的不确定性，分情况讨论；(2)找点：当所给定长未说明是直角三角形的斜边还是直角边时，需分情况讨论，具体方法如下：当定长为直角三角形的直角边时，分别以定长的某一端点作定长的垂线，与坐标轴或抛物线有交点时，此交点即为符合条件的点；当定长为直角三角形的斜边时，以此定长为直径作圆，圆弧与所求点满足条件的坐标轴或抛物线有交点时，此交点即为符合条件的点；(3)计算：把图形中的点坐标用含有自变量的代数式表示出来，从而表示出三角形的各边(表示线段时，还要注意代数式的符号)，再利用相似三角形的性质得出比例式，或者利用勾股定理进行计算，或者利用三角函数建立方程求点的坐标(如P207T2(2)2除了探究直角三角形外，还常常探究等腰三角形的存在性，这个和直角三角形的方法类似：(1)假设结论成立；(2)找点：当所给定长未说明是等腰三角形的底还是腰时，需分情况讨论，具体方法如下：当定长为腰时，找已知直线或抛物线上满足条件的点时，以定长的某一端点为圆心，以定长为半径画弧，若所画弧与坐标轴或抛物线有交点且交点不是定长的另一端点时，交点即为符合条件的点；当定长为底边时，根据尺规作图作出定长的垂直平分线，若作出的垂直平分线与坐标轴或抛物线有交点，则交点即为所求的点，若作出的垂直平分线与坐标轴或抛物线无交点，则满足条件的点不存在；以上方法即可找出所有符合条件的点；(3)计算：在求点的坐标时，大多时候利用相似三角形求解，如果图形中没有相似三角形，可以通过添加辅助线构造直角三角形，有时也可利用直角三角形的性质进行求解(如P207T1(3)，P208T3(3)如图，直线y2x2与x轴交于点A，与y轴交于点B，把AOB沿y轴翻折，点A落到点C，过点B的抛物线yx2bxc与直线BC交于点D(3，4)(1)求直线BD和抛物线的解析式；【思路点拨】由直线y2x2可求出B点的坐标，把B，D两点代入yx2bxc中即可求出抛物线解析式，由B，D两点可求出直线BD的解析式【答题示范】y2x2，当x0时，y2.B(0，2)当y0时，x1，A(1，0)抛物线yx2bxc过点B(0，2)，D(3，4)，解得抛物线的解析式为yx2x2.设直线BD的解析式为ykxm，由题意，得解得直线BD的解析式为y2x2.(2)在第一象限内的抛物线上，是否存在点M，作MN垂直于x轴，垂足为点N，使得以M，O，N为顶点的三角形与BOC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；【思路点拨】与BOC相似的MON，只有两个直角顶点可以确定对应，所以要分两种情况讨论，再利用MON的两条直角边长恰好是点M的坐标，与BOC的两直角边对应成比例，便可列出方程，求解即可，注意是否符合条件【答题示范】存在由(1)知C(1，0)，设M(a，a2a2)MNx轴，BOCMNO90，即点O与点N对应，可分两种情况讨论：如图1，当BOCMNO时，.，解得a11，a22(舍)M(1，2)；如图2，当BOCONM时，.，解得a1，a2(舍)M(，)符合条件的点M的坐标为(1，2)或(，),探究三角形相似的存在性问题的一般思路：解答三角形相似的存在性问题时，要具备分类讨论的思想以及数形结合思想，要先找出三角形相似的分类标准，一般涉及动态问题要以静制动，动中求静，具体如下：(1)假设结论成立，分情况讨论探究三角形相似时，往往没有明确指出两个三角形的对应顶点(尤其是以文字形式出现让证明两个三角形相似的题目)，或者涉及动点问题，因动点问题中点的位置不确定，此时应考虑不同的对应关系，分情况讨论；(2)确定分类标准：在分类时，先要找出分类的标准，看两个相似三角形是否有对应相等的角，若有，找出对应相等的角后，再根据其他角进行分类讨论来确定相似三角形成立的条件；若没有，则分别按三种角对应来分类讨论；(3)建立关系式，并计算由相似三角形列出相应的比例式，将比例式中的线段用所设点的坐标表示出来(其长度多借助勾股定理运算)，整理可得一元一次方程或者一元二次方程，解方程可得字母的值，再通过计算得出相应的点的坐标(如P208T(3)，P210T1(2)(3)在直线BD上方的抛物线上有一动点P，过点P作PH垂直于x轴，交直线BD于点H，是否存在点P，使四边形BOHP是平行四边形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【思路点拨】点P在抛物线上，可设出点P的坐标，从而可表示出点H的坐标，因为作PHx轴，所以可得PHOB.要证四边形BOHP是平行四边形，只需证PHOB，再利用PH的长可列方程求出P点的坐标【答题示范】存在设P(t，t2t2)，H(t，2t2)如图3，四边形BOHP是平行四边形，BOPH2.PHt2t22t2t23t.2t23t，解得t11，t22.当t1时，P(1，2)；当t2时，P(2，0)存在点P(1，2)或(2，0)，使四边形BOHP为平行四边形在解答平行四边形的存在性问题时，具体方法如下：(1)假设结论成立；(2)探究平行四边形通常有两类，一类是已知两定点去求未知点的坐标，一类是已知给定的三点去求未知点的坐标第一类，以两定点连线所成的线段作为要探究平行四边形的边或对角线，画出符合题意的平行四边形；第二类，分别以已知三个定点中的任意两个定点确定的线段为探究平行四边形的边或对角线，画出符合题意的平行四边形；(3)建立关系式，并计算根据以上分类方法画出所有符合条件的图形后，可以利用平行四边形的性质进行计算，也可利用全等三角形、相似三角形或直角三角形的性质进行计算，要具体情况具体分析，有时也可以利用直线的解析式联立方程组，由方程组的解为交点坐标求解(如P208T1(3)类型1探究线段最值问题1(2018永州)如图1，抛物线的顶点A的坐标为(1，4)，抛物线与x轴相交于B，C两点，与y轴交于点E(0，3)(1)求抛物线的表达式；(2)已知点F(0，3)，在抛物线的对称轴上是否存在一点G，使得EGFG最小，如果存在，求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由；(3)如图2，连接AB，若点P是线段OE上的一动点，过点P作线段AB的垂线，分别与线段AB.抛物线相交于点M，N(点M，N都在抛物线对称轴的右侧)，当MN最大时，求PON的面积图1 图2解：(1)设抛物线的表达式为ya(x1)24，把(0，3)代入，得3a(01)24，解得a1.抛物线的表达式为y(x1)24x22x3.(2)存在作点E关于对称轴的对称点E，连接EF交对称轴于G，此时EGFG的值最小E(0，3)，抛物线对称轴为直线x1，E(2，3)易得直线EF的解析式为y3x3.当x1时，y3130.G(1，0)(3)A(1，4)，B(3，0)，易得直线AB的解析式为y2x6.过点N作NHx轴于点H，交AB于点Q，设N(m，m22m3)，则Q(m，2m6)(1m3)NQ(m22m3)(2m6)m24m3.ADNH，DABNQM.ADBQMN90，QMNADB.MN(m2)2.0，当m2时，MN有最大值过点N作NGy轴于点G，GPNABD，NGPADB90，NGPADB.PGNGm.OPOGPGm22m3mm2m3.SPONOPGN(m2m3)m.当m2时，SPON2(433)2.2(2018柳州)如图，抛物线yax2bxc与x轴交于A(，0)，B两点(点B在点A的左侧)，与y轴交于点C，且OB3OAOC，OAC的平分线AD交y轴于点D，过点A且垂直于AD的直线l交y轴于点E，点P是x轴下方抛物线上的一个动点，过点P作PFx轴，垂足为F，交直线AD于点H.(1)求抛物线的解析式；(2)设点P的横坐标为m，当FHHP时，求m的值；(3)当直线PF为抛物线的对称轴时，以点H为圆心，HC为半径作H，点Q为H上的一个动点，求AQEQ的最小值解：(1)由题意，得A(，0)，B(3，0)，C(0，3)，设抛物线的解析式为ya(x3)(x)，把C(0，3)代入得到a，抛物线的解析式为yx2x3.(2)在RtAOC中，tanOAC，OAC60.AD平分OAC，OAD30.ODOAtan301.D(0，1)直线AD的解析式为yx1.由题意，得P(m，m2m3)，H(m，m1)，F(m，0)FHPH，1mm1(m2m3)，解得m或(舍去)当FHHP时，m的值为.(3)如图，PF是对称轴，F(，0)，H(，2)AHAE，EAO60.EA2OA2.C(0，3)，HC2，AH2FH4.QHCH1.在HA上取一点K，使得HK.AKAHHK.HQ21，HKHA1，HQ2HKHA，可得QHKAHQ.，即KQAQ.AQQEKQEQ.当E，Q，K共线时，AQQE的值最小，最小值为EK.类型2探究角度问题1(2018莱芜)如图，抛物线yax2bxc经过A(1，0)，B(4，0)，C(0，3)三点，D为直线BC上方抛物线上一动点，DEBC于点E.(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图1，求线段DE长度的最大值；(3)如图2，设AB的中点为F，连接CD，CF，是否存在点D，使得CDE中有一个角与CFO相等？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由图1图2解：(1)由题意，得解得抛物线的函数表达式为yx2x3.(2)设直线BC的解析式为ykxb，由题意，得解得yx3.设D(a，a2a3)(0a4)，过点D作DMx轴交BC于点M，则M(a，a3)，DM(a2a3)(a3)a23a.DMEOCB，DEMBOC，DEMBOC.OB4，OC3，BC5.DEDM.DEa2a(a2)2.当a2时，DE取最大值，最大值是.(3)假设存在这样的点D，使得CDE中有一个角与CFO相等点F为AB的中点，OF，tanCFO2.过点B作BGBC，交CD的延长线于点G，过点G作GHx轴，垂足为H，若DCECFO，tanDCE2.BG10.GBHBCO，.GH8，BH6.G(10，8)设直线CG的解析式为yk1xb1，解得直线CG的解析式为yx3.解得x或x0(舍)若CDECFO，同理可得，BG，GH2，BH，G(，2)同理可得，直线CG的解析式为yx3.解得x或x0(舍)综上所述，存在点D，使得CDE中有一个角与CFO相等，点D的横坐标为或.2(2018扬州)如图1，四边形OABC是矩形，点A的坐标为(3，0)，点C的坐标为(0，6)，点P从点O出发，沿OA以每秒1个单位长度的速度向点A出发，同时点Q从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，当点P与点A重合时运动停止设运动时间为t秒(1)当t2时，线段PQ的中点坐标为(，2)；(2)当CBQ与PAQ相似时，求t的值；(3)当t1时，抛物线yx2bxc经过P，Q两点，与y轴交于点M，抛物线的顶点为K，如图2所示，问该抛物线上是否存在点D，使MQDMKQ？若存在，求出所有满足条件的D的坐标；若不存在，说明理由图1图2解：(2)如图1，当点P与点A重合时运动停止，且PAQ可以构成三角形，0t3.四边形OABC是矩形，BPAQ90.当CBQ与PAQ相似时，存在两种情况：当PAQQBC时，.解得t13(舍)，t2.当PAQCBQ时，.解得t.0t3，x不符合题意，舍去综上所述，当CBQ与PAQ相似时，t的值是或.(3)当t1时，P(1，0)，Q(3，2)，把P(1，0)，Q(3，2)代入抛物线yx2bxc中，得解得抛物线解析式yx23x2(x)2.顶点K(，)Q(3，2)，M(0，2)，MQx轴作抛物线对称轴，交MQ于点E，KMKQ，KEMQ.MKEQKEMKQ.如图2，MQDMKQQKE.设DQ交y轴于点H.HMQQEK90，KEQQMH.MH2.H(0，4)易得HQ的解析式为yx4.则解得x13(舍)，x2.D(，)同理，在M的下方，y轴上存在点H，如图3，使HQMMKQQKE，图3由对称性得，H(0，0)，易得OQ的解析式为yx.则解得x13(舍)，x2.D(，)综上所述，点D的坐标为(，)或(，)类型3探究面积问题1(2018菏泽)如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2bx5交y轴于点A，交x轴于点B(5，0)和点C(1，0)，过点A作ADx轴交抛物线于点D.(1)求此抛物线的表达式；(2)点E是抛物线上一点，且点E关于x轴的对称点在直线AD上，求EAD的面积；(3)若点P是直线AB下方的抛物线上一动点，当点P运动到某一位置时，ABP的面积最大，求出此时点P的坐标和ABP的最大面积解：(1)抛物线yax2bx5交x轴于点B(5，0)和点C(1，0)，解得此抛物线的表达式是yx24x5.(2)抛物线yx24x5交y轴于点A，点A的坐标为(0，5)ADx轴，点E是抛物线上一点，且点E关于x轴的对称点在直线AD上，点E的纵坐标是5，点E到AD的距离是10.当y5时，5x24x5，得x0或x4.点D的坐标为(4，5)AD4.SEAD20.(3)设点P的坐标为(p，p24p5)，设直线AB的函数解析式为ymxn，由题意，得解得即直线AB的函数解析式为yx5.当xp时，yp5.OB5，SABP5(p)2点P是直线AB下方的抛物线上一动点，5p0.当p时，S取得最大值，此时S，点P的坐标是(，)即点P的坐标是(，)时，ABP的面积最大，此时ABP的面积是.2(2018内江)如图，已知抛物线yax2bx3与x轴交于点A(3，0)和点B(1，0)，交y轴于点C，过点C作CDx轴，交抛物线于点D.(1)求抛物线的解析式；(2)若直线ym(3m0)与线段AD，BD分别交于G，H两点，过点G作EGx轴于点E，过点H作HFx轴于点F，求矩形GEFH的最大面积；(3)若直线ykx1将四边形ABCD分成左、右两个部分，面积分别为S1，S2，且S1S245，求k的值 备用图解：(1)抛物线yax2bx3与x轴交于点A(3，0)和点B(1，0)，解得抛物线的解析式为yx22x3.(2)由(1)知，抛物线的解析式为yx22x3，C(0，3)由x22x33，得x0或x2.D(2，3)A(3，0)和点B(1，0)，直线AD的解析式为y3x9，直线BD的解析式为yx1.直线ym(3m0)与线段AD，BD分别交于G，H两点，G(m3，m)，H(m1，m)GHm1(m3)m4.S矩形GEFHm(m4)(m23m)(m)23.当m时，矩形GEFH有最大面积为3.(3)A(3，0)，B(1，0)，AB4.C(0，3)，D(2，3)，CD2.S四边形ABCD3(42)9.S1S245，S14.设直线ykx1与线段AB相交于点M，与线段CD相交于点N，M(，0)，N(，3)AM3，DN2.S1(32)34.k.类型4探究特殊三角形的存在性问题1(2018赤峰)已知抛物线yx2x的图象如图所示：(1)将该抛物线向上平移2个单位长度，分别交x轴于A，B两点，交y轴于点C，则平移后的解析式为yx2x2；(2)判断ABC的形状，并说明理由；(3)在抛物线对称轴上是否存在一点P，使得以A，C，P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由解：(2)当y0时，x2x20，解得x14，x21，即B(4，0)，A(1，0)当x0时，y2，即C(0，2)AB1(4)5，AB225，AC2(10)2(02)25，BC2(40)2(02)220，AC2BC2AB2，ABC是直角三角形(3)yx2x2的对称轴是直线x，设P(，n)，AP2(1)2n2n2，CP2(2n)2，AC212225，当APAC时，AP2AC2，n25，方程无解；当APCP时，AP2CP2，n2(2n)2，解得n0，即P1(，0)当ACCP时AC2CP2，(2n)25，解得n12，n22，P2(，2)，P3(，2)综上所述：使得以A，C，P为顶点的三角形是等腰三角形，点P的坐标(，0)，(，2)，(，2)2(2018临沂)如图，在平面直角坐标系中，ACB90，OC2OB，tanABC2，点B的坐标为(1，0)抛物线yx2bxc经过A，B两点(1)求抛物线的解析式；(2)点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PEDE.求点P的坐标；在直线PD上是否存在点M，使ABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)B(1，0)，OB1.OC2OB2，C(2，0)在RtABC中，tanABC2，2.AC6.A(2，6)把A(2，6)和B(1，0)代入yx2bxc，得解得抛物线的解析式为yx23x4.(2)A(2，6)，B(1，0)，易得AB的解析式为y2x2.设P(x，x23x4)，则E(x，2x2)PEDE，x23x4(2x2)(2x2)，解得x1(舍)或1.P(1，6)M在直线PD上，且P(1，6)，设M(1，y)，AM2(12)2(y6)21(y6)2.BM2(11)2y24y2.AB2(12)26245.分三种情况：i)当AMB90时，有AM2BM2AB2，1(y6)24y245，解得y3.M(1，3)或(1，3)ii)当ABM90时，有AB2BM2AM2，454y21(y6)2，解得y1.M(1，1)iii)当BAM90时，有AM2AB2BM2，1(y6)2454y2，解得y.M(1，)综上所述，点M的坐标为(1，3)或(1，3)或(1，1)或(1，)3(2018眉山)如图1，已知抛物线yax2bxc的图象经过点A(0，3)，B(1，0)，其对称轴为直线l：x2，过点A作ACx轴交抛物线于点C，AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m.(1)求抛物线的解析式；(2)若动点P在直线OE下方的抛物线上，连接PE，PO，当m为何值时，四边形AOPE面积最大，并求出其最大值；(3)如图2，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由图1图2解：(1)设抛物线与x轴的另一个交点为D，由对称性，得D(3，0)设抛物线的解析式为ya(x1)(x3)把A(0，3)代入，得33a，a1.抛物线的解析式为yx24x3.(2)设P(m，m24m3)，OE平分AOB，AOB90，AOE45.AOE是等腰直角三角形AEOA3.E(3，3)易得OE的解析式为yx.过P作PGy轴，交OE于点G，G(m，m)PGm(m24m3)m25m3.S四边形AOPESAOESPOE33PGAE3(m25m3)m2(m)2.0，当m时，S有最大值是.(3)当点P在对称轴左侧时，过点P作MNy轴，交y轴于点M，交l于点N，OPF是等腰直角三角形，且OPPF，易得OMPPNF，OMPN.P(m，m24m3)，则m24m32m，解得m或.P的坐标为(，)或(，)当P在对称轴右侧时，过P作MNx轴于点N，过F作FMMN于点M，同理得，ONPPMF，PNFM.则m24m3m2，解得x或；P的坐标为(，)或(，)综上所述，点P的坐标是：(，)或(，)或(，)或(，)类型5探究特殊四边形存在性问题1(2018自贡)如图，抛物线yax2bx3过A(1，0)，B(3，0)，直线AD交抛物线于点D，点D的横坐标为2，点P(m，n)是线段AD上的动点(1)求直线AD及抛物线的解析式；(2)过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求线段PQ的长度l与m的关系式，m为何值时，PQ最长？(3)在平面内是否存在整点R(横、纵坐标都为整数)，使得P，Q，D，R为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由解：(1)把A(1，0)，B(3，0)代入抛物线解析式，得解得抛物线的解析式为yx22x3.当x2时，y3，即D(2，3)设AD的解析式为ykxb，将A(1，0)，D(2，3)代入，得解得直线AD的解析式为yx1.(2)设P点坐标为(m，m1)，Q(m，m22m3)，l(m1)(m22m3)(m)2.当m时，l最大，即PQ长度最长为.(3)由(2)可知，0PQ.当PQ为边时，DRPQ且DRPQ.R是整点，D(2，3)，PQ是正整数PQ1或2.当PQ1时，DR1.此时点R的横坐标为2，纵坐标为312或314，R(2，2)或R(2，4)当PQ2时，DR2.此时点R的横坐标为2，纵坐标为321或325.R(2，1)或R(2，5)当QR为边时，QRDP，且QRDP.设点R的坐标为(n，nm2m3)，则QR22(mn)2.又P(m，m1)，D(2，3)，PD22(m2)2.(m2)2(mn)2，解得n2(不合题意，舍去)或n2m2.点R的坐标为(2m2，m23m1)R是整点，2m1，当m1时，点R的坐标为(0，3)；当m0时，点R的坐标为(2，1)综上所述，存在满足R的点，它的坐标为(2，2)或(2，4)或(2，1)或(2，5)或(0，3)或(2，1)2(2018齐齐哈尔)综合与探究如图1所示，直线yxc与x轴交于点A(4，0)，与y轴交于点C，抛物线yx2bxc经过点A，C.(1)求抛物线的解析式；(2)点E在抛物线的对称轴上，求CEOE的最小值；(3)如图2所示，M是线段OA的上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P，N.若以C，P，N为顶点的三角形与APM相似，则CPN的面积为或4；若点P恰好是线段MN的中点，点F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点D，使以点D，F，P，M为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由注：二次函数yax2bxc(a0)的顶点坐标为(，)图1图2解：(1)将A(4，0)代入yxc，c4.将A(4，0)和c4代入yx2bxc，b3.抛物线解析式为yx23x4.(2)作点C关于抛物线的对称轴直线l的对称点C，连接OC，交直线l于点E.连接CE，此时CEOE的值最小抛物线对称轴为直线x，CC3.由勾股定理，得OC5，CEOE的最小值为5.存在设M坐标为(a，0)，则N为(a，a23a4)则P点坐标为(a，)把点P坐标代入yx4.解得a14(舍去)，a21，则P(1，3)当PFFM时，点D在PM的垂直平分线上，则D(，)当PMPF时，由菱形性质得，点D坐标为(1，)或(1，)当MPMF时，M，D关于直线yx4对称，点D坐标为(4，3)类型6探究全等、相似三角形的存在性问题1(2018衡阳)如图，已知直线y2x4分别交x轴，y轴于点A，B，抛物线过A，B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PCx轴于点C，交抛物线于点D.(1)若抛物线的解析式为y2x22x4，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N.求点M，N的坐标；是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；(2)当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B，P，D为顶点的三角形与AOB相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由解：(1)如图1，图1y2x22x42(x)2，顶点为M的坐标为(，)当x时，y243，则点N坐标为(，3)不存在理由如下：MN3.设P点坐标为(m，2m4)，则D(m，2m22m4)，PD2m22m4(2m4)2m24m.PDMN，当PDMN时，四边形MNPD为平行四边形，即2m24m，解得m1(舍去)，m2.此时P点坐标为(，1)PN，PNMN.平行四边形MNPD不为菱形不存在点P，使四边形MNPD为菱形(2)存在如图2，OB4，OA2，则AB2.图2当x1时，y2x42，则P(1，2)PB.设抛物线的解析式为yax2bx4.把A(2，0)代入，得4a2b40，解得b2a2.抛物线的解析式为yax22(a1)x4.当x1时，yax22(a1)x4a2a242a，则D(1，2a)PD2a2a.DCOB，DPBOBA.当时，PDBBOA，即，解得a2，此时抛物线解析式为y2x22x4.当时，PDBBAO，即，解得a，此时抛物线解析式为yx23x4.综上所述，满足条件的抛物线的解析式为y2x22x4或yx23x4.2如图，抛物线yax2c(a0)与y轴交于点A，与x轴交于B，C两点(点C在x轴正半轴上)，ABC为等腰直角三角形，且面积为4.现将抛物线沿BA方向平移，平移后的抛物线经过点C时，与x轴的另一交点为E，其顶点为F，对称轴与x轴的交点为H.(1)求a，c的值；(2)连接OF，试判断OEF是否为等腰三角形，并说明理由；(3)现将一足够大的三角板的直角顶点Q放在射线AF或射线HF上，一直角边始终过点E，另一直角边与y轴相交于点P，是否存在这样的点Q，使以点P，Q，E为顶点的三角形与POE全等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由图1 图2图3 图4图5 图6解：(1)ABC为等腰直角三角形，OABC.又SABCBCOA4，即OA24，OA2.A(0，2)，B(2，0)，C(2，0)解得a，c2.(2)OEF是等腰三角形理由如下：如图1，A(0，2)，B(2，0)，直线AB的函数解析式为yx2.又平移后的抛物线顶点F在射线BA上，设顶点F的坐标为(m，m2)平移后的抛物线函数表达式为y(xm)2m2.抛物线过点C(2，0)(2m)2m20.解得m10(舍去)，m26.平移后的抛物线函数解析式为y(x6)28，即yx26x10.当y0时，x26x100，解得x12，x210.E(10，0)，OE10.又F(6，8)，OH6，FH8.OF10.OEOF，即OEF为等腰三角形(3)存在点Q的位置分两种情形：情形一：点Q在射线HF上，当点P在x轴上方时，如图2.PQEPOE，QEOE10.在RtQHE中，QH2，Q(6，2)；当点P在x轴下方时，如图3，有PQOE10，过P点作PKHF于点K，则PK6.在RtPQK中，QK8.PQE90，PQKHQE90.HQEHEQ90，PQKHEQ.又PKQQHE90，PKQQHE.，即，解得QH3.Q(6，3)情形二：点Q在射线AF上，当PQOE10时，如图4，有QEPO，四边形POEQ为矩形，Q的横坐标为10.当x10时，yx212，Q(10，12)当QEOE10时，如图5.过Q点作QMy轴于点M，过E点作x轴的垂线交QM于点N.设Q的坐标为(x，x2)，MQx，QN10