[课件资料]数学期望修改1

概率统计,数学科学学院,刘秋丽,4.1数学期望4.2方差4.3协方差与相关系数4.4大数定理与中心极限定理,教学内容,第四章随机变量的数字特征,一.离散型随机变量的数学期望,甲,次数,10,80,10,8,9,10,乙,次数,20,65,15,8,9,10,试比较甲、乙射击技术水平的高低。,引例,成绩如下：,甲、乙两人射击比赛，各射击100次，,平均成绩,解,甲的平均成绩,乙的平均成绩,甲的射击水平高于乙。,甲,次数,10,80,10,8,9,10,乙,次数,20,65,15,8,9,10,设离散型随机变量X的概率分布为,若级数绝对收敛，,则称的值为随机变量X的数学期望(均值)，,定义1,即,记作,收敛,1)数学期望描述随机变量取值的平均特征,注,2)不是每个随机变量都有数学期望,并非所有离散型随机变量都有数学期望，,例如，,概率分布为,由于,发散，,注,型的产品，用,试比较他们技术水平的高低。,0.3,0.3,0.2,0,1,2,0.2,0.5,0.3,0,1,2,3,0.2,3,0,例1,次品数,次品数,甲乙两工人每天生产出相同数量同种类,人某天生产的次品数，经统计有,分别表示甲乙两,根据定义，,解,因此，乙的技术水平高。,的数学期望为,某种产品每件表面上的疵点数服从参数,的泊松分布,若规定疵点数不超,值10元;,1个不多于4个为二等品,价值8元;,数超过4个为废品,求:,(1)产品的废品率;,(2)产品价值的平均值.,价,过1个为一等品,疵点数大于,疵点,例2,由题意知,因为,所以产品的废品率为,解,所以产品价值的平均值为,设盒中有5个球，其中2个白球，3个黑,例3,解,只可能取0,1,2这三个实数值，而且,根据古典概型计算，有,为抽取,球，从中随意抽取3个球。,记,到的白球数，求,于是,二.连续型随机变量的数学期望,如果积分绝对收敛，,记为,设X为连续型随机变量，概率密度为,为连续型随机变量X的数学期望或均值.,定义2,即,则称积分值,并非所有连续型随机变量都有数学期望，,例如，,密度函数为,由于广积分,发散，,注,求,使用分部积分法，,得到,例4,解,求,例5,解,求,故,例6,解,三.随机变量的函数的数学期望,设X是随机变量,是X的函数,(1)若X是离散型随机变量，其概率分布为：,当收敛时,定理1,随机变量的数学期望为：,求,设离散型随机变量X的分布律为：,X012,例7,答案,若积分绝对收敛，,的数学期望为：,(2)若X是连续型随机变量，概率密度是,随机变量,定理1,解,设X服从上的均匀分布，,已知X的概率密度为:,求,例8,设是二维随机变量，,(1)设的联合分布律为:,则Z的数学期望为,定理2,是关于X和Y的函数,若级数,收敛.,特别,2)二维随机变量的联合概率密度为,若,则Z的数学期望为,特别,收敛,例11,设国际市场上对我国某种出口商品的每年需,它服从区间,上的均匀分布,每销售出一吨商品,可为国,家赚取外汇3万元;,若销售不出,则每吨商品需贮,存费1万元,问应组织多少货源,才能使国家收益,最大?,解,显然应要求,达式为,表,解,则,此组织3500吨商品为好.,易得,因,四、数学期望的性质,性质1若C是常数，则E(C)=C,性质4设X、Y相互独立，则E(XY)=E(X)E(Y),性质2若k是常数，则E(kX)=kE(X),性质3E(X+Y)=E(X)+E(Y),注,性质4逆命题不成立.,性质3E(X+Y)=E(X)+E(Y),证,是离散型随机变量，分布律为,1)设,则由数学期望的定义，,2)若为连续型随机变量，见课本的证明,了解,其中分别为X与Y的边缘