2018-2019学年高二数学下学期第一次月考开学试题理.doc

2018-2019学年高二数学下学期第一次月考开学试题理评卷人得分一、单选题(每题5分，共60分)4设点M(0,-5),N(0,5),MNP的周长为36,则MNP的顶点P的轨迹方程为( )A (y0) B(x0)C (y0) D (x0)5若命题p的否命题为q,命题q的逆命题为r,则r是p的逆命题的( )A原命题 B逆命题 C否命题 D逆否命题6如图所示,在正三棱锥V-ABC中,D,E,F分别是VC,VA,AC的中点,P为VB上任意一点,则DE与PF所成的角的大小是 ( )A30 B90 C60 D随P点的变化而变化7已知双曲线的焦点在x轴上，焦距为，且双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的标准方程为（ ）A B C D8将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(ab0)同时增加m(m0)个单位长度,得到离心率为e2的双曲线C2,则 ( )Ae1=e2 Be1e2 De1,e2之间的大小不确定9如图,四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,四边形ABCD是直角梯形,BAD=ADC=90,E为CB的中点,AB=PA=AD=2CD,则AP与平面PDE所成角的正弦值为 ( )A B C D10命题p:函数y=loga(ax-3a)(a0且a1)的图像必过定点(4,1),命题q:如果函数y=f(x)的图像关于点(3,0)对称,那么函数y=f(x+3)的图像关于点(6,0)对称,则 ( )Apq为真 Bpq为假 Cp真q假 Dp假q真11已知抛物线y2=4x的焦点为F,A,B为抛物线上两点,若O为坐标原点,则AOB的面积为( )A B C D12已知双曲线(ab0)的左、右焦点分别是F1,F2,过F2的直线交双曲线的右支于P,Q两点,若|PF1|=|F1F2|,且3|PF2|=2|QF2|,则该双曲线的离心率为 ( )A B C2 D评卷人得分二、填空题（每题5分，共20分）13已知点A,B,C的坐标分别为(0,1,0),(-1,0,-1),(2,1,1),点P的坐标为(x,0,z),若PAAB,PAAC,则点P的坐标为_.14双曲线(a0,b0)的右焦点为F,B为其左支上一点,线段BF与双曲线的一条渐近线相交于A,且,其中O为坐标原点,则该双曲线的离心率为_.15边长为1的等边三角形中，沿边高线折起，使得折后二面角为60，点到平面的距离为_16已知椭圆的右焦点为，设A，B为椭圆上关于原点对称的两点，AF的中点为M，BF的中点为N，原点O在以线段MN为直径的圆上，若直线AB的斜率k满足，则椭圆离心率e的取值范围为_评卷人得分三、解答题（共70分）17已知p:方程表示双曲线,q:斜率为k的直线l过定点P(-2,1)且与抛物线y2=4x有两个不同的公共点.若pq是真命题,求实数k的取值范围.（10分）18已知动圆过定点P(4,0),且在y轴上截得的弦MN的长为8.(1)求动圆圆心C的轨迹方程;(2)过点(2,0)的直线l与动圆圆心C的轨迹交于A,B两点,求证:是一个定值（12分）19如图所示,在四棱锥E-ABCD中,四边形ABCD是平行四边形,BCE是等边三角形,ABE是等腰直角三角形,BAE=90,且AC=BC.(1)证明:平面ABE平面BCE;(2)求二面角A-DE-C的余弦值.（12分）20已知斜率为k的直线l经过点(-1,0),且与抛物线C:y2=2px(p0,p为常数)交于不同的两点M,N.当k=时,弦MN的长为.(1)求抛物线C的标准方程.(2)过点M的直线交抛物线于另一点Q,且直线MQ经过点B(1,-1),判断直线NQ是否过定点?若过定点,求出该点坐标;若不过定点,请说明理由.（12分）21如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD底面ABCD,侧棱PA=PD=,PAPD,底面ABCD为直角梯形,其中BCAD,ABAD,AB=BC=1,O为AD的中点.(1)求直线PB与平面POC所成角的余弦值.(2)线段PD上是否存在一点Q,使得二面角Q-AC-D的余弦值为?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.（12分）22已知椭圆C:(ab0)的离心率为,以坐标原点O为圆心,椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x+y+=0相切.A,B分别是椭圆C的左、右顶点,直线l过B点且与x轴垂直.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设G是椭圆C上异于A,B的任意一点,过点G作GHx轴于点H,延长HG到点Q使得|HG|=|GQ|,连接AQ并延长交直线l于点M,N为线段MB的中点,判断直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系,并证明你的结论.（12分）1C【解析】A中命题的逆否命题需将条件和结论交换后分别否定；B中方程x2-3x+2=0的根为x=1,x=2，因此“x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要条件；C中pq为假命题，则p、q至少有一个是假命题；D中特称命题的否定是全称命题2C【解析】双曲线的方程是，双曲线渐近线为，又离心率为，可得，即，可得，由此可得双曲线渐近线为，故选C.3D【解析】由题意，点与点共面,则，只有选项D满足，.故选D.4B【解析】由题意MNP的周长为36,M(0,-5),N(0,5),|MN|=10,|PM|+|PN|=26,可知点P的轨迹是以M,N为焦点,长轴长为26除去长轴的两个端点的椭圆,所以点P的轨迹方程为+=1(x0).故选B.5C【解析】根据四种命题的关系,命题p的否命题为q,命题q的逆命题为r,则r是p的逆否命题,所以r是p的逆命题的否命题.故选C.6B【解析】设=a,=b,=c,则|a|=|b|=|c|,=.D,E,F分别是VC,VA,AC的中点,= (c-a).连接VF,则= (c+a).点P在VB上,可设=t,=-= (c+a)-tb,所以= (c-a)= (c2-a2)- t(cb-ab)=0,DE与PF所成的角的大小是90.故选B.7A【解析】不妨设双曲线的标准方程为，所以，且，所以，双曲线的标准方程为.选A.8B【解析】由ab0, -=0,可得，又e1=,e2=,e1e2，故选B.9C【解析】以A为原点,AD,AB,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,设CD=1,则P(0,0,2),D(2,0,0),E,A(0,0,0),=(0,0,2),=(-2,0,2),=.设平面PDE的法向量为n=(a,b,c),则取a=3,得n=(3,2,3).设AP与平面PDE所成的角为,则sin=,AP与平面PDE所成角的正弦值为.10C【解析】对于命题p,当x=4时,y=loga(4a-3a)=1,故命题p为真命题.对于命题q,如果y=f(x)的图像关于点(3,0)对称,则y=f(x+3)的图像关于原点对称,故命题q为假命题.故选C.11 B【解析】由抛物线的对称性,不妨设直线AB的斜率为正.如图所示,设抛物线的准线为l,过点A作ADl,交l于D,过点B作BCl,交l于C,过点B作BEAD,交AD于E.由已知条件及抛物线的定义,不难求出,|AB|=2|AE|,所以直线AB的倾斜角为60.易知F(1,0),故直线AB的方程为y=(x-1).联立直线AB的方程与抛物线的方程可求得A(3,2),B,所以|AB|=.又原点到直线AB的距离d=,所以SAOB=.故选B.12D【解析】连接F1Q,设F1(-c,0),F2(c,0),则|PF1|=|F1F2|=2c.由双曲线的定义可得|PF2|=|PF1|-2a=2c-2a,由3|PF2|=2|QF2|,可得|QF2|=3c-3a,由双曲线的定义可得|QF1|=|QF2|+2a=3c-a.在PF1F2和QF1F2中,cosF1F2P=,cosF1F2Q=.由F1F2Q+F1F2P=,可得cosF1F2Q+cosF1F2P=0,即有+=0,化简得5c=7a,所以e=.13【解析】由已知得=(-1,-1,-1),=(2,0,1),=(-x,1,-z),由题意得即解得P(-1,0,2).14【解析】不妨设点B在第二象限.由题意知OA垂直平分线段BF，设F(c,0),B(m,n),则=-,且=,得m=,n=,代入双曲线的方程,可得-=1,又b2=c2-a2,化简并整理可得c2=5a2,该双曲线的离心率e=.15【解析】如图，过D点作DEBC，连AE，则AEBC，AE为点A到直线BC的距离，在直角三角形ADE中，AE=又BC面ADE，且BC面ABC，面ABC面ADE，AE为高线，作DHAE于H，则DH面ABC，DH为点D到面ABC的距离，由DHAE=ADDE，得DH= 16【解析】设A(x,y),则B(-x,-y),易知x0,M,N,由题意得=0,即+=0,即x2+y2=1.又+=1,所以+=x2+y2,即=.因为直线AB的斜率k满足0k,所以0,即01,所以10,解得k-.由题意,设直线l的方程为y-1=k(x+2),即y=kx+2k+1,联立方程消去x并整理得ky2-4y+4(2k+1)=0,要使直线l与抛物线y2=4x有两个不同的公共点,则需满足解得-1k0,可得y1+y2=8k,y1y2=-16.又=(x1,y1),=(x2,y2),=x1x2+y1y2=(ky1+2)(ky2+2)+y1y2=k2y1y2+2k(y1+y2)+4+y1y2=-16k2+16k2+4-16=-12,是一个定值.19【解析】(1)证明:设O为BE的中点,连接AO,CO,易知AOBE,COBE.设AC=BC=2,则AO=1,CO=,可得AO2+CO2=AC2,所以AOCO.又AOBE=O,所以CO平面ABE.又CO平面BCE,故平面ABE平面BCE.(2)由(1)可知AO,BE,CO两两垂直,设OE=1,以O为坐标原点,OE,OC,OA分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,则A(0,0,1),E(1,0,0),C(0,0),易得D(1,1),故=(1,0),=(1,0,-1),=(-1,0),=(1,0,1).设n=(x1,y1,z1)是平面ADE的法向量,则即令y1=1,可得n=(-,1,-).设m=(x2,y2,z2)是平面DEC的法向量,则即令y2=1,可得m=(,1,-),则cos=.易知二面角A-DE-C为锐角,所以二面角A-DE-C的余弦值为.20【解析】(1)当k=时,直线l的方程为y= (x+1),即x=2y-1.联立消去x得y2-4py+2p=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1+y2=4p,y1y2=2p,故|MN|=|y1-y2|=4,解得p=2或p=- (舍去),所以抛物线C的标准方程为y2=4x.(2)设M(t2,2t),N(,2t1),Q(,2t2),则k=,则直线MN的方程为y-2t=(x-t2),即2x-(t+t1)y+2tt1=0,同理可得直线MQ的方程为2x-(t+t2)y+2tt2=0,直线NQ的方程为2x-(t1+t2)y+2t1t2=0.由点(-1,0)在直线MN上,可得tt1=1,即t=.由B(1,-1)在直线MQ上,可得2+t+t2+2tt2=0,将代入可得t1t2=-2(t1+t2)-1,将代入直线NQ的方程可得2x-(t1+t2)y-4(t1+t2)-2=0,易得直线NQ过定点(1,-4).21【解析】(1)在中，为AD的中点，所以,侧面PAD底面ABCD,PO面ABCD.又在直角梯形ABCD中，连接,则,以O为坐标原点，直线OC为X轴，直线OD为Y轴,直线为Z轴建立空间直角坐标系., 所以，直线PB与平面所成角的余弦值为.(2) 假设存在，则设=（01）因为=（0，1，1），所以Q（0，1）设平面CAQ的法向量为=（a，b，c），则，所以取=（1，1，+1），平面CAD的法向量=（0，0，1），因为二面角QACD的余弦值为，所以=，所以3210+3=0所以=或=3（舍去），所以