毕业论文 辅助函数在数学中的应用 .doc.doc

09级毕业论文答辩稿辅助函数在数学中的应用学号：902091126组别：第（9）组内容提要高等数学中运用辅助函数就像是在几何中添加辅助线，在数学中的应用是非常重要的.当我们遇到特殊的题目时，用常规方法可能比较复杂.这时我们就需要构造辅助函数，就如同架起一座桥梁，不需要大量的算法就可以得到结果.因此，学习构造辅助函数对于我们证明、解题是非常有帮助的.本论文是从证明定理与解题两方面分别来阐述辅助函数的作用，通过本文我们会更好的了解辅助函数在数学中的应用.关键词：辅助函数定理证明AbstractSummary：Theauxiliaryfunctionisappliedtohighermathematicsasaddingauxiliarylineingeometry.Itsapplicationsofmathematicsisveryimportant.Usetheconventionalmethodmaybecomplicatedwhenweencounterspecialproblems.Thenwecanconstructtheauxiliaryfunctionlikeabridgedonotneedalotofalgorithmtogettheresult.Therefore,itisveryhelpfulforustostudythestructureofauxiliaryfunctiontoproveandsolveproblem.Thispaperexpoundstheapplicationofauxiliaryfunctionrespectivelyfromtwoaspectsoftheoremprovingandproblemsolving.Throughthispaperwewillknowbetterinmathematics.Keywords:auxiliaryfunctiontheoremtestify目录一、绪论.1二、辅助函数在定理证明中的应用.1(一)构造辅助证明牛顿-莱布尼兹公式.1(二)构造辅助函数证明泰勒公式.2(三)构造辅助函数证明拉格朗日中值定理.4三、辅助函数在解题中的应用.5(一)构造辅助函数证明恒等式.5(二)构造辅助函数证明不等式.7(三)构造辅助函数讨论方程的根.9(四)构造辅助函数证明中值问题.10(五)构造辅助函数求极限.11四、总结.12参考文献.13后记.131辅助函数在数学中的应用一、绪论辅助函数是一种让我们更好的，更简单的学习数学知识的方法，.我在本文讨论了一下辅助函数的应用，发现它在数学中的应用是非常广泛的.我们学习数学不只是探索与发现，还有找到最简单的方法解决问题，本文主要内容是关于一些定理的证明，如牛顿-莱布尼兹公式的证明，泰勒公式的证明和拉格朗日中值定理的证明.这三个定理是我们在学习数学过程中经常用到的，掌握它们的证明非常关键.当然它们的证明有很多方法，这里我们只研究用构造辅助函数的方法来证明.另外还有关于解题时运用构造辅助函数的方法，有关于不等式的证明，恒等式的证明等.我们可以知道在解题方面，辅助函数也是比较适用的，本文就辅助函数的构造举例来说明.二、辅助函数在定理证明中的应用(一)构造辅助证明牛顿-莱布尼兹公式牛顿-莱布尼兹公式是微积分基本定理，他把定积分和不定积分两者联系起来，使得定积分的计算更加简洁和完善，关于它的证明是我们必需要掌握的，学好牛顿-莱布尼兹公式也使我们能够更好地了解微积分.下面我们来看这个公式的证明.定理1若()fx在,ab上是连续的，且()Fx是()fx在,ab上的一个原函数，那么()()()baftdtFbFa分析首先我们来构造辅助函数()()xaxftdt，现在，我们来研究这个()x函数的性质.我们定义函数()()xaxftdt，那么()x连续，若()fx连续，则有()()xfx.证明：让函数()x获得一个增加的量x，则对应的函数增量()()()()xxxaaxxxxftdtftdt那么可以根据区间的可加性，()()()xxxxxaaxftdtftdtftdt假设m、M分别是()fx在,ab上的最小值和最大值，我们可以根据积分第一中值定理，则存在实数,mM，使得()xxxftdtx2当()fx连续时，存在(,)xxx，使得()f于是当x趋近于0时，趋近于0，即()x是连续的.若()fx连续，当0x，x，()()ffx，则0lim()xfxx.从而我们得出()()xfx现在，我们来证明牛顿-莱布尼兹公式.证明我们在上面已经证得()()xfx，所以，()()xCFx.显然，()0a（因为积分区间为,aa，故面积为0），所以()FaC.于是有()()()xFxFa,当xb时()()()bFbFa.此时，我们就得到了牛顿-莱布尼兹公式.证毕.(二)构造辅助函数证明泰勒公式泰勒公式是一个用函数在已知某一点的信息描述这一点附近所取值的公式，在函数某一点的各阶导数值已知的情况下，泰勒公式可以将这些导数值的相应倍数作系数构建多项式来近似函数在这一点的值.这样，有时不必计算大量的式子，用泰勒公式来直接近似函数值，会更简单，更快捷的得出结果.我们接下来证明泰勒公式（拉格朗日余项型）.定理2若函数()fx在开区间,ab有直到1n阶导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于0()xx的多项式和一个余项的和，即()20000000()()()()()()()()1!2!nnnfxfxfxfxfxxxxxxxRn分析我们知道000()()+()()fxfxfxxx，那么由拉格朗日中值定理导出的有限增量定理，得到0000lim()()()xfxxfxfxx3当lim0x，则0limxx时，误差0.因此，在近似计算时时不够精确，那么我们就需要构造一个足够精确的能把误差估计出来的多项式，这个多项式是2010200()()()()nnPxAAxxAxxAxx来近似表示函数()fx，并且，还要写出误差()()fxPx的具体表达式.这时，我们开始证明.证明设函数()Px满足00()()Pxfx，00()()Pxfx，00()()Pxfx，()()00()()nnPxfx，依次求出012,nAAAA显然，00()PxA，则00()Afx；01()PxA,10()Afx；02()2!PxA，02()=2!fxA，()0()!nPxnAn,()0()!nfxAnn；至此，这个多项式的各项系数都已经求出，得()20000000()()()()()()()()2!nnfxfxPxfxfxxxxxxxn接下来，我们需要求出误差的具体表达式.设()()()nRxfxPx，则000()()()0nRxfxPx故得出()0000()()()()0nnnnnRxRxRxRx由柯西中值定理可以得到01110010()()()()()()0(1)()nnnnnnnRxRxRxRxxxxnx，10(,)xx.继续使用柯西中值定理得1021102()()()(1)()0(1)()nnnnnRRxRnxnnx，这里2在1与0x之间；连续使用1n此后，得出(1)210()()()(1)!nnnnRxRxxn，4但是(1)(1)(1)()()()nnnnRxfxPx，因为()!nPnAn，!nAn是一个常数，所以(1)()0nPx，于是得(1)(1)()()nnnRxfx.综上所述，余项(1)10()()()(1)!nnnfRxxxn，这样，泰勒公式得证.(三)构造辅助函数证明拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广，也是柯西中值定理的特殊情况.它的应用非常广泛，像洛必达法则，泰勒展开式都是它的应用.对于它的证明，我们知道有很多的方法来证明它，现在我们做辅助函数来证明.定理3设函数()fx在,ab上连续，在,ab内可导，则在,ab至少存在一点，使得()()()fbfafba分析从结论中可以看出，若将换成变量x，则可得到一阶微分方程()()()fbfafxba其通解为()()()fbfafxxCba.若将函数C变为x函数()Cx，那么得到一个辅助函数，()()()()fbfaCxfxxba.现在我们来开始证明证明做辅助函数()()()()fbfaCxfxxba，有()()()()bfaafbCaCbba.则()Cx满足罗尔定理的三个条件，故在,ab至少存在一点使5()()()()0fbfaCfba所以()()()0fbfafba.拉格朗日中值定理证毕.三、辅助函数在解题中的应用(一)构造辅助函数证明恒等式恒等式是很常见的一种题型，对于这种题型的证明，找到简单快速的证明方法可以节省很多时间.如对于下面的题，形式比较复杂，还存在一阶导数，我们可以构造辅助函数，然后变幻形式，创建出中值定理的成立条件，利用中值定理来证明，就会很简单了.例1设函数()fx在,ab上连续，在,ab内可导，证明在,ab内至少存在一点，使得()()()()bfbafaffba分析令()()bfbafakba，则()()bfakbafaka为关于a与b的对称式，故取()()Fxxfxkx.证明令()()()()bfbafaFxxfxxba则()Fx在,ab上连续，在,ab内可导，又因为()()0FaFb，所以()Fx在,ab上满足罗尔定理，那么存在一个(,)ab，使得()0F.即()()()+()0bfbafaffba，6即()()()+()bfbafaffba.上题构造辅助函数后应用了罗尔定理，使得上式证明变得简单明了.下面这个题属于条件恒等式，我们要看好条件，可以适当的进行变形，做辅助函数.例2设()fx在0,上连续，在0,内可导，且20()1xfxx，则至少存在一点0,，使得2221().(1)f分析我们先把看成变量x，由