2020版高二数学下学期期末考试试题 理(含解析).doc

2020版高二数学下学期期末考试试题 理(含解析)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.1.玲玲到保山旅游，打电话给大学同学姗姗，忘记了电话号码的后两位，只记得最后一位是6，8，9中的一个数字，则玲玲输入一次号码能够成功拨对的概率是()A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由分步计数原理和古典概型求得概率。【详解】由题意可知，最后一位有3种可能，倒数第2位有10种可能，根据分步计数原理总共情况为，满足情况只有一种，概率为。【点睛】利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏.在本题中，只有两个号码都拔完这种事情才完成，所以是分步计数原理。2.2.若函数f(x)=x33x27x+a的图象与直线y=2x+1相切，则a=()A. 28或4 B. 28或-4 C. 28或4 D. 28或-4【答案】B【解析】【分析】设切点为(x0，f(x0)，由f(x0)=2x0+1，f(x0)=2，可解得切点坐标与参数的值。【详解】设切点为(x0，f(x0)，则由题意知f(x0)=2x0+1，f(x0)=2，即x033x027x0+a=2x0+1，3x026x07=2，解得x0=3，a=28，或者x0=1，a=4，故选B【点睛】高考对导数几何意义的考查主要有以下几个命题角度：（1）已知切点求切线方程；（2）已知切线方程(或斜率)求切点或曲线方程；（3）已知曲线求切线倾斜角的取值范围3.3.若(x31x2)n二项展开式中的系数只有第6项最小，则展开式的常数项的值为（ ）A. -252 B. -210 C. 210 D. 10【答案】C【解析】n=10，Tr+1=C10r(x3)10r(1x2)r=(1)rC10rx305r，令305r=0r=6，所以常数项为(1)6C106=C104 =210，故选C点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r+1项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r+1项，由特定项得出值，最后求出其参数.4.4.曲线cos+1=0关于=4对称的曲线的极坐标方程是( )A. sin+1=0 B. sin1=0 C. cos1=0 D. cos+1=0【答案】A【解析】【分析】先把两曲线极坐标方程化为普通方程，求得对称曲线，再转化为极坐标方程。【详解】化为标准方程可知曲线cos+1=0为x+1=0，曲线=4为y=x，所以对称直线为y+1=0，化为极坐标方程为sin+1=0，选A.【点睛】由直角坐标与极坐标互换公式x=cosy=sinx2+y2=2，利用这个公式可以实现直角坐标与极坐标的相互转化。5.5.若函数f(x)=lnx+ax22在区间(12,2)内单调递增，则实数的取值范围是( )A. (,2 B. (2,+) C. (2,18) D. 18,+)【答案】D【解析】【分析】由函数在区间上单调递增，可知函数的导数在这个区间上恒大于等于0，再由分离参数解得的范围。【详解】f(x)=1x+2ax=2ax2+1x，2ax2+10在12,2内恒成立，所以a(12x2)max，由于x12,2，所以x214,4， （12x2）2,18，所以a18,选D【点睛】已知单调性求参数的范围的常见方法： 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间a,b上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; 利用导数转化为不等式fx0或fx0恒成立问题求参数范围. 但要检验导数不恒等于0.6.6.10张奖券中有3张是有奖的，某人从中依次抽取两张.则在第一次抽到中奖券的条件下，第二次也抽到中奖券的概率是( )A. 27 B. 29 C. 310 D. 15【答案】B【解析】【分析】根据第一次抽完的情况下重新计算总共样本数和满足条件样本数，再由古典概型求得概率。【详解】在第一次抽中奖后，剩下9张奖券，且只有2张是有奖的，所以根据古典概型可知，第二次中奖的概率为P=29。选B.【点睛】事件A发生的条件下，事件B发生的概率称为“事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率”，记为P(B|A)；条件概率常有两种处理方法：（1）条件概率公式：P(B|A)=P(AB)P(A)。（2）缩小样本空间，即在事件A发生后的己知事实情况下，用新的样本空间的样本总数和满足特征的样本总数来计算事件B发生的概率。7.7.用数学归纳法证明“1n+1+1n+2+1n+n1124(nN+)”时，由n=k到n=k+1时，不等试左边应添加的项是( )A. 12(k+1) B. 12k+1+12k+2C. 12k+1+12k+21k+1 D. 12k+1+12k+21k+11k+2【答案】C【解析】【分析】分别代入n=k,n=k+1，两式作差可得左边应添加项。【详解】由n=k时，左边为1k+1+1k+2+1k+k，当n=k+1时，左边为1k+2+1k+3+1k+k+1k+k+1+1(k+1)+(k+1)所以增加项为两式作差得：12k+1+12k+2-1k+1，选C.【点睛】运用数学归纳法证明命题要分两步，第一步是归纳奠基(或递推基础)证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立，第二步是归纳递推(或归纳假设)假设nk(kn0，kN*)时命题成立，证明当nk1时命题也成立，只要完成这两步，就可以断定命题对从n0开始的所有的正整数都成立，两步缺一不可8.8.定积分aaa2x2dx等于( )A. 14a2 B. 12a2 C. a2 D. 2a2【答案】B【解析】【分析】由定积分表示半个圆的面积，再由圆的面积公式可求结果。【详解】由题意可知定积分表示半径为的半个圆的面积，所以S=12(a2)=12a2，选B.【点睛】1由函数图象或曲线围成的曲边图形面积的计算及应用，一般转化为定积分的计算及应用， 但一定要找准积分上限、下限及被积函数，且当图形的边界不同时，要讨论解决(1)画出图形，确定图形范围；(2)解方程组求出图形交点坐标，确定积分上、下限；(3)确定被积函数，注意分清函数图形的上、下位置；(4)计算定积分，求出平面图形的面积2由函数求其定积分，能用公式的利用公式计算，有些特殊函数可根据其几何意义，求出其围成的几何图形的面积，即其定积分有些由函数的性质求函数的定积分。9.9.已知服从正态分布N(1,2),aR，则“”是“关于x的二项式(ax+1x2)3的展开式的常数项为3”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 既不充分又不必要条件D. 充要条件【答案】A【解析】试题分析：由，知a=1因为二项式(ax+1x2)3展开式的通项公式为Tr+1=C3r(ax)3r(1x2)ra3rC3rx33r，令33r=0，得r=1，所以其常数项为a2C31=3a2=3，解得a=1，所以“”是“关于x的二项式(ax+1x2)3的展开式的常数项为3”的充分不必要条件，故选A考点：1、正态分布；2、二项式定理；3、充分条件与必要条件10.10.某班微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名同学同时抢4个红包，每人最多抢一个红包，且红包全被抢光，4个红包中有两个2元，两个5元(红包中金额相同视为相同的红包)，则甲、乙两人同抢到红包的情况有( )A. 36种 B. 24种 C. 18种 D. 9种【答案】C【解析】【分析】分三种情况：（1）都抢到2元的红包（2）都抢到5元的红包（3）一个抢到2元，一个抢到5元，由分类计数原理求得总数。【详解】甲、乙两人都抢到红包一共有三种情况：（1）都抢到2元的红包，有C32种；（2）都抢到5元的红包，有C32种；（3）一个抢到2元，一个抢到5元，有C21A32种，故总共有18种故选C【点睛】利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏.在本题中，是根据得红包情况进行分类。11.11.已知某随机变量X的概率密度函数为P(x)=0,x0,ex,x0,则随机变量X落在区间(1,3)内在概率为( )A. e+1e2 B. e21e3 C. e2e D. e2+e【答案】B【解析】【分析】求概率密度函数在（1，3）的积分，求得概率。【详解】由随机变量X的概率密度函数的意义得P=13exdx=ex13=e21e3，故选B【点睛】随机变量X的概率密度函数在某区间上的定积分就是随机变量X在这一区间上概率。12.12.已知曲线y=ex+a与y=(x1)2恰好存在两条公切线，则实数的取值范围为( )A. (,2ln2+3) B. (,2ln23) C. (2ln23,+) D. (2ln2+3,+)【答案】B【解析】【分析】设切点分别为(m，n)，和(s，t)，再由导数求得斜率相等，得到a=ln2(s1)s+32(s1)，构造函数由导数求得参数的范围。【详解】y=(x1)2的导数为y=2(x1)，y=ex+a的导数为y=ex+a，设与曲线y=ex+a相切的切点为(m，n)，与曲线y=(x1)2相切的切点为(s，t)，则有公共切线斜率为2(s1)=em+a=tnsm，又t=(s1)2，n=em+a，即有2(s1)=(s1)2em+asm =(s1)22(s1)sm，即为sm=s121，即有m=s+32(s1)，则有em+a=2(s1)，即为a=ln2(s1)s+32(s1)，令f(s)= ln2(s1) s+32(s1)，则f(s)=1s112，当s3时，f(s)0，f(s)递减，当1s3时，f(s)0，f(s)递增，即有s=3处f(s)取得极大值，也为最大值，且为2ln23，由恰好存在两条公切线，即s有两解，可得a的取值范围是a2ln23，故选B【点睛】可导函数y=f(x)在x=x0处的导数就是曲线y=f(x)在x=x0处的切线斜率,这就是导数的几何意义,在利用导数的几何意义求曲线切线方程时,要注意区分“在某点处的切线”与“过某点的切线”,已知y=f(x)在x=x0处的切线是yf(x0)=f(x0)(xx0),若求曲线y=f(x)过点(m,n)的切线,应先设出切点(x0,f(x0),把(m,n)代入yf(x0)=f(x0)(xx0),求出切点，然后再确定切线方程.而对于切线相同，则分别设切点求出切线方程，再两直线方程系数成比例。二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.13.一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则DX=_【答案】1.96【解析】由于是有放回的抽样，所以是二项分布XB(100,0.03)，DX=npq=1000.030.97=2.91,填2.91.14.14.若点M的柱坐标为(2,23,2)，则点M的直角坐标为_；【答案】M(1,3,2)【解析】【分析】由柱坐标转化公式求得直角坐标。【详解】由柱坐标可知=2,=23,z=2，所以x=cos=1,y=sin=3,z=2，所以直角坐标为M(-1,3,-2)。所以填M(-1,3,-2)。【点睛】空间点P的直角坐标(x,y,z)与柱坐标(,Z)之间的变换公式为x=cosy=sinz=z。15.15.设n=024cosxdx，则二项式(x1x)n的展开式的常数项是 .【答案】6【解析】试题分析：n=024cosxdx=4sinx20=4设第项为常数项，则Tr+1C4rx4r(1x)r=（1）rC4rx42r，令42r=0可得r=2T3=C42=6故答案为6考点：二项式定理16.16.已知函数f(x)=ex+x3，若f(x2)0，所以函数f(x)为增函数，所以不等式f(x2)f(3x2)等价于x23x2，即x23x+201x2，故x(1，2)三、解答题（本大题共6小题，17小题10分， 18-22题每小题12分，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.17.已知复数z1=23i,z2=155i(2+i)2，求下列各式的值：()z1z2()z1z2【答案】(1)z1z2=79i;(2)z1z2=1110+310i.【解析】【分析】由复数的平方，复数的除法，复数的乘法运算求得下面各式值。【详解】()因为z2=15-5i(2+i)2= 155i3+4i=(155i)(34i)25=1-3i所以z1z2=(2-3i)(1-3i)=-7-9i； ()z1z2=2-3i1-3i= (23i)(1+3i)(13i)(1+3i)=1110+310i.【点睛】复数代数形式的四则运算设z1abi，z2cdi，a，b，c，dR.z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i.z1z2(abi)(cdi)(acbd)(bcad)i.z1z2=a+bic+di=ac+bdc2+d2+bcadc2+d2i(c+di0)18.18.某种设备随着使用年限的增加，每年的维护费相应增加.现对一批该设备进行调查，得到这批设备自购入使用之日起，前五年平均每台设备每年的维护费用大致如下表：年份 (年)12345维护费y(万元)1.11.51.82.22.4（）求y关于的线性回归方程；（）若该设备的价格是每台5万元，甲认为应该使用满五年换一次设备，而乙则认为应该使用满十年换一次设备，你认为甲和乙谁更有道理？并说明理由. (参考公式：b=i=1n(xix)(yiy)i=1n(xix)2=i=1nxiyinxyi=1nxi2nx2, a=ybx.)【答案】（）y=0.33t+0.81; （）见解析.【解析】【分析】（）先算出t,y，再由公式分别算b，和线性回归方程。（）分别算出五年与十年的每台设备的平均费用，费用越小越好。【详解】(1)t=3，y=1.8，t2=9，ty=5.4， i=15tiyi=30.3，i=15ti2=55，b=i=1n(ti-t)(yi-y)i=1n(ti-t)2=i=15tiyi-5tyi=15ti2-5t2=30.3-2755-45=3.310=0.33，a=y-bt=1.8-0.333=0.81， 所以回归方程为y=0.33t+0.81.（）若满五年换一次设备，则由（）知每年每台设备的平均费用为：y1=5+51.85=2.8（万元），若满十年换一次设备，则由（）知每年每台设备的平均费用大概为：y2=5+0.33(1+2+10)+100.8110=3.125（万元），因为y15.024。（）在(xx，2500组获奖人数X为0，1，2，求得概率及期望。【详解】（）因为网购金额在xx元以上（不含xx元）的频率为0.4，所以网购金额在(2500，3000的频率为0.40.3=0.1，即q=0.1，且y=1000.1=10，从而x=15，p=0.15，相应的频率分布直方图如图2所示 （）相应的22列联表为：由公式K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100(3520-405)2406075255.56，因为5.565.024，所以据此列联表判断，在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为网购金额超过xx元与网龄在3年以上有关 （）在(xx，2500和(2500，3000两组所抽出的8人中再抽取2人各奖励1000元现金，则(xx，2500组获奖人数X为0，1，2，且P(X=0)=C60C22C82，P(X=1)=C61C21C82， P(X=2)=C62C20C82，故(xx，2500组获得现金奖的数学期望E(X)=0C60C22C82+1000C61C21C82+xxC62C20C82=1500【点睛】本题综合考查频数分布表、频率分布直方图、补全22列联表、卡方计算及应用、随机变量分布列及期望，需要对概念公式熟练运用，同时考查学生的运算能力。20.20.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是x=3cos,y=sin,(为参数),以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为cos(+4)=22()写出曲线C的普通方程和直线的直角坐标方程；()已知点A、B为直线上的两个动点，且AB=42,点P为曲线C上任意一点，求PAB面积的最大值及此时点P的直角坐标【答案】()见解析; ()见解析.【解析】【分析】()由参数方程利用cos2+sin2=1消去，得到普通方程，由x=cosy=sinx2+y2=2把极坐标化为普通方程。 () 设点P(3cos，sin)，由点P到直线的距离和面积公式SPAB=12|AB|d结合三角函数求得面积最值。【详解】（）曲线C化为普通方程为x23+y2=1，直线的直角坐标方程为x-y-4=0（）设点P(3cos，sin)，则点P到直线的距离d=|3cos-sin-4|2=2sin-3+42SPAB=12|AB|d=22sin-3+4，当sin-3=1时，当点P的直角坐标为-32，12时，SPAB有最大值12【点睛】由直角坐标与极坐标互换公式x=cosy=sinx2+y2=2，利用这个公式可以实现直角坐标与极坐标的相互转化。21.21.已知函数f(x)=12x2mlnx.（1）若函数f(x)在(12,+)上单调递增的，求实数m的取值范围；（2）当m=2时，求函数f(x)在1,e上的最大值和最小值.【答案】(1) m14 (2) f(x)max=e242【解析】试题分析：（1）若函数f（x）在（12，+）上是增函数，f（x）0在（12，+）上恒成立利用二次函数的单调性即可得出；（2）利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出试题解析：（1）若函数f(x)在(12,+)上是增函数，则f(x)0在(12,+