应用统计学第6章置信区间估计.ppt

1,本章教学目标：(1)单个正态总体均值和方差的区间估计。(2)总体比例的区间估计。(3)均值和比例置信区间估计中的样本容量确定。(4)两个正态总体的均值差和方差比的区间估计。(5)单侧置信区间估计。,第6章置信区间估计,2,2,由于点估计存在误差，因此仅对总体参数作出点估计是不够的，还需要了解估计的精度及其误差。参数的区间估计就是在给定的可信度下，估计未知参数的可能取值范围。,设为总体分布的未知参数，,若由样本确定的两,个统计量,和,对给定的概率(0t(n)=由给定的概率，可查表得到t(n)。由t分布的对称性，可得：t1-(n)=-t(n)。,t(n),t1-(n),=-t(n),17,可用Excel的统计函数TINV返回t(n)。语法规则如下：格式：TINV(2,n)功能:返回t(n)的值。说明：TINV(,n)返回的是t/2(n)的值。,用Excel求t/2(n),18,4.2未知时总体均值的区间估计,t(n-1),设总体XN(,2)，,和S2分别为样本均值和样本方差。,由此可得的置信度为1-的置信区间为,因此，对给定的置信度1-，有,即,X1,X2,Xn为X的容量为n,的样本，,可以证明：,19,用样本比例代替总体比例，,设总体比例为P，,则当nP和n(1-P)都大于5时，,样本成数p近似服从均值为P，,方差为P(1-P)/n的正态,分布。,从而,对给定的置信度1-，,由,可得总体成数P的置信度,为1-的置信区间为,6.2总体比例的区间估计,20,【例3】求例1中元件平均寿命的95%置信区间。,故所求的95%置信区间为,解：由例1，,/2=0.025，,=1423.1，,S=196.5，,=1-0.95=0.05，,n=10，,查表得t0.025(9)=2.2622,可用Excel的【工具】“数据分析”“描述统计”求解正态总体均值的置信区间。,21,课堂练习2：,某车床加工的缸套外径尺寸XN(,2)，下面是随机测得的10个加工后的缸套外径尺寸(mm)，90.01，90.01，90.02，90.03，89.9989.98，89.97，90.00，90.01，89.99（，）求的置信度为95%的置信区间；,22,【例4】某厂为了解产品的质量情况，随机抽取了300件产品进行检验，其中有5件次品，求该厂产品次品率的置信度为95%的置信区间。解：产品次品率为比例，=1-0.95=0.05，/2=0.025，n=300,，查表得Z0.025=1.96，样本成数,该厂产品次品率的置信度为95%的置信区间为,23,案例思考题,国外民意调查机构在进行民意调查时，通常要求在95%的置信度下将调查的允许误差(即置信区间的d值)控制在3%以内。问为满足该调查精度要求，至少需要多大的样本？如果要求置信度达到99%，调查误差仍为3%，此时至少需要多大的样本？,24,案例思考题解答(1),本案例中，,故需要的样本容量至少为,25,案例思考题解答(2),如果要求置信度达到99%，则Z/2=Z0.005=2.575，,26,6.3样本容量确定,前面的分析都是在给定的样本容量和样本数据下求置信区间。但在实际应用中，应当在随机抽样前就确定所需抽取的样本容量。抽取的样本容量过大，虽然可以提高统计推断的精度，但将增加不必要的人力、物力、费用和时间开支；如果抽取的样本容量过小，则又会使统计推断的误差过大，推断结果就达不到必要的精度要求。确定样本容量的原则在满足所需的置信度和允许误差条件(置信区间的d值)下，确定所需的最低样本容量。,27,1.总体均值区间估计时样本容量的确定,在给定置信度和允许误差d的条件下，由,可得,其中总体标准差或样本标准差也是未知的，通常可以先通过小规模抽样作出估计。由于使用的是近似公式，可知实际采用的最低样本容量应比计算结果稍大。,28,【例6】在例3元件平均寿命的区间估计问题中，要求,在95%的置信度下，使估计的允许误差不超过其平均寿命的10%，并设已得到例1的先期抽样数据。求所需的最低样本容量。其他条件不变，在99%的置信度下求所需最低样本容量。解：由例1，,S=196.5，,d=1423/10=142.3,可知取n=10已能满足所给精度要求。,可知此时取n=20就能满足所给精度要求。在总体均值的区间估计中，通常n=30就称为大样本。在大样本时，无论总体服从什么分布，都可用前述公式进行区间估计。,29,2.总体比例区间估计时样本容量的确定,其中样本成数p同样可先通过小规模抽样作出估计，也可根据其他信息估计，或取0.5。,30,【例7】,某企业要重新制定产品抽样检验的规范。已知过去检验的次品率在3.6%左右，现要求允许误差不超过2%，置信度为95%。问每次至少应抽查多少产品？解：由题意，要推断的是总体成数，p=0.036，1-p=0.964，d=0.02，=0.05，z/2=z0.025=1.96,故每次至少应抽查334件产品。由此可知，在总体比例的区间估计问题中，要达到一定的精度要求，样本容量至少要在几百以上。,31,【例5】(1)求例1中元件平均寿命的95%置信下限。(2)求元件寿命方差的95%置信上限。,解:(1),从而的单侧1-置信下限为,本例中，t0.05(9)=1.8331，故所求置信下限为,1423.1-1.8331196.5/,该在95%的置信度下，该元件的平均寿命大于1309.2小时。,=1390.2,可得,由,6.4单侧置信限的区间估计,32,同理可得2的置信度为1-的单侧置信上限为,本例中，,故所求2的95%置信上限为9196.52/3.325=323.32(小时2)由以上