2019-2020学年高一数学下学期期末综合测试试题(四)(含解析).doc

2019-2020学年高一数学下学期期末综合测试试题(四)(含解析)一、选择题：1. 下列函数中，周期为的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】易知的周期为，的周期为，的周期为，的周期为；故选D.2. 设P是ABC所在平面内的一点，则（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】移项得.故选B3. 已知向量a=(1,1),b=(2,x),若a+b与4b2a平行，则实数x的值是（ ）A. -2 B. 0 C. 1 D. 2【答案】D【解析】解法1因为a=(1,1),b=(2,x)，所以a+b=(3,x+1),4b2a=(6,4x2),由于a+b与4b2a平行，得6(x+1)3(4x2)=0，解得x=2。解法2因为a+b与4b2a平行，则存在常数，使a+b=(4b2a)，即(2+1)a=(41)b，根据向量共线的条件知，向量与b共线，故x=2。4. 已知O是ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2OA+OB+OC=0，那么（）A. AO=OD B. AO=2OD C. AO=3OD D. 2AO=OD【答案】A【解析】由O为BC边上中线AD上的点,可知2OD=OB+OC=-OA=AO，故选：B.5. 若函数f(x)=3sin12x, x0, 3, 则函数f(x)的最大值是 ( )A. 12 B. 23 C. 22 D. 32【答案】D【解析】【分析】先求出12x的取值范围，然后再求出3sin12x的最大值，进而得到函数f(x)的最大值【详解】0x3，0x26，0sinx212，03sinx232，即0f(x)32，f(x)的最大值为32故选D【点睛】本题考查函数fx=Asin(x+)的最值的求法，解题时将x+看作一个整体，求出x+的范围后再结合函数的图象可得所求，注意整体思想及数形结合思想的运用6. (1+tan250)(1+tan200 )的值是 ( )A. -2 B. 2 C. 1 D. -1【答案】B【解析】【分析】逆用两角和正切公式求解可得所求【详解】由题意得1+tan251+tan20=1+tan20+tan25+tan20tan25，又tan20+tan25=tan20+251-tan20tan25=1-tan20tan25，1+tan251+tan20=1+1-tan20tan25+tan20tan25=2故选B【点睛】解答类似问题时既要熟悉常见三角公式的代数结构，更要掌握公式中角和函数名称的特征，要体会公式间的联系，掌握常见的公式变形，如和差角公式变形：tan xtan ytan(xy)(1tan xtan y)等7. 已知、为锐角，a=sin(+)，b=sin+cos，则a、b之间关系为（ ）A. ab B. ba C. a=b D. 不确定【答案】B【解析】【分析】根据两角和的正弦公式可得a=sin+=sincos+cossin，再由、为锐角可得0sin1,0cos1，从而得sincos+cossinsin+cos，即ab【详解】、为锐角，0sin1,0cos1又sin+=sincos+cossin，a=sin+=sincos+cossin0)的最小正周期为T=2函数y=sinx在区间0，1至少出现2次最大值，5421，又0，52，的最小值为52故选A【点睛】解答本题时注意转化思想方法的运用，将函数在给定区间内取得最值的个数转化为函数在该区间内周期的个数的问题解决，建立不等式后解不等式即可得到所求11. 在直角坐标系xOy中，i,j分别是与x轴，y轴平行的单位向量，若直角三角形ABC中，AB=2i+j，AC=3i+kj，则k的可能值有 ( )A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个【答案】B【解析】试题分析：根据题意，由于直角三角形ABC中，AB=2i+j，AC=3i+kj，那么当角A是直角时，则满足ABAC=(2i+j)(3i+kj)=0,6+k=0,k=6，当角B为直角时，ABBC=(2i+j)(i+(k1)j)=0,6+k1=0,k=7或者角C为直角时分别求解得到CBAC=(i+(1k)j)(3i+kj)=0,3+k(1k)=0,无解，故有两个值，选B.考点：向量的数量积运用点评：解决该试题的关键是根据数量积为零来求解垂直问题，属于基础题。12. 如图，l1、l2、l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2间的距离是1， l2与l3间的距离是2，正三角形ABC的三顶点分别在l1、l2、l3上，则ABC的边长是 （ ）A. 23 B. 463 C. 3174 D. 2213【答案】D【解析】【分析】设AC与直线l2交于点D作AEl2于E，BGAC于G，CFl2于F设AD=x，则可得AC=3x，DG=x2,BG=33x2由RtBDGRtCDF可得DF=233，DF=133，然后根据勾股定理可得AD=2219，于是可得ABC的边长为3AD=2213【详解】设AC与直线l2交于点D作AEl2于E，BGAC于G，CFl2于F设AD=x，则可得AC=3x，于是DG=x2,BG=323x=33x2由题意得RtBDGRtCDF，BGCF=DGDF，即33x22=x2DF，解得DF=233，DE=133在RtADE中，可得AD2=AE2+DE2=1+(133)2=2827，AD=2827=2219，正ABC的边长AC=3AD=2213故选D【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，平行线之间的距离，等边三角形的性质，勾股定理等，考查学生的转化能力和运算能力，在本题的解法中作辅助线将问题进行转化是关键二、填空题： 13. 设两个向量e1,e2 ，满足e1=2,|e2|=1，e1,e2的夹角为60,若向量2te1+7e2与向量e1+te2的夹角为钝角，则实数的取值范围为_.【答案】(7,142)(142,12).【解析】【分析】当两向量的夹角为钝角时，则两向量的数量积为负数，由此可得实数的取值范围，但要注意排除两向量共线反向的情形【详解】e1=2,|e2|=1，e1,e2的夹角为60,e1e2=21cos60=1向量2te1+7e2与向量e1+te2的夹角为钝角，(2te1+7e2)e1+te2=2te12+2t2+7e1e2+7te22=2t2+15t+70，解得-7t-12令2te1+7e2=(e1+te2)(0，反之不成立（注意共线同向的情形）；当a,b的夹角为钝角时，可得ab0，反之不成立（注意共线反向的情形）14. 若sincos=75，（0，），则tan=_.【答案】43或34.【解析】【分析】由sincos=75可得2sincos=-2425，由此可求得sin+cos的值，然后可求得sin,cos，于是可得所求【详解】sincos=75，(sin-cos)2=1-2sincos=4925，2sincos=-2425，(sin+cos)2=1+2sincos=125，sin+cos=15由sincos=75sin+cos=15解得sin=45cos=-35，故得tan=sincos=-43；由sincos=75sin+cos=-15解得sin=35cos=-45，故得tan=sincos=-34综上可得tan的值为-43或-34【点睛】对于sin cos ，sin cos ，sin cos 这三个式子，已知其中一个式子的值，其余二式的值可求，其中转化的公式为(sin cos )212sin cos ，但解题中要注意判断sin cos 和sin cos 的符号15. 如右图，在ABC中，BAC=120,AB=2,AC=1,D是边BC上一点，DC=2BD,则ADBC=_.【答案】83.【解析】【分析】将向量AD,BC用向量AB,AC表示，然后根据向量数量积的定义求解可得结果【详解】由题意得AD=AB+BD=AB+13BC=AB+13AC-AB=23AB+13AC，又BC=AC-AB，ADBC=23AB+13ACAC-AB=-23AB2+13ACAB+13AC2=-234+1321-12+13=-83【点睛】解决类似问题时，首先要抓住题中所给图形的特点，利用平面向量基本定理和向量的加减运算，将所给向量统一用AB,AC表示，然后再根据数量积的运算律求解，这样解题方便快捷16. 下面有五个命题：函数y=sin4x-cos4x的最小正周期是；终边在y轴上的角的集合是|=k2,kZ；在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点；把函数y=3sin(2x+3)的图象向右平移6得到y=3sin2x的图象；函数y=sinx-2在0，上是减函数。其中真命题的序号是_（写出所有真命题的编号）【答案】 .【解析】【分析】根据三角函数的相关性质对五个命题分别分析、判断后可得其中的真命题【详解】对于，由于y=sin4x-cos4x=sin2x+cos2xsin2x-cos2x=cos2x-sin2x=cos2x，所以函数的最小正周期为因此命题正确对于，终边在y轴上的角的集合是|=k+2,kZ，因此命题不正确对于，在同一坐标系中，由三角函数的性质可得，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象只有在原点处有唯一的公共点因此命题不正确对于，把函数y=3sin(2x+3)的图象向右平移6所得图象对应的解析式为y=3sin2x-6+3=3sin2x因此命题正确对于，函数y=sinx-2=-sin2-x=-cosx，所以函数在区间0，上单调递增因此命题不正确综上可得所有正确命题的序号为 【点睛】本题考查角的有关概念和三角函数的性质及图象的有关知识，解答问题的关键是根据题意并结合相关的知识进行分析、判断，逐步得到所给的结论是否正确，考查学生综合运用知识分析问题和解决问题的能力三.解答题：17. 在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知bsin A3csin B，a3，cos B23.(1)求b的值；(2)求sin(2B3)的值【答案】(1) b=6.(2) 45+318.【解析】(1)在ABC中，由asinAbsinB，且bsinA3csinB，a3，asinB3csinB，c1，由b2a2c22accosB，cosB23，可得b6.(2)由cosB23，得sinB53，进而得cos 2B2cos2B119，sin 2B2sinBcosB459.所以sin(2B3)sin 2Bcos3cos 2Bsin345+31818. 已知函数f(x)=2cosx(sinx-cosx)+1,xR.（1）求函数f(x)的最小正周期；（2）求函数f(x)在区间8,34上的最小值和最大值【答案】(1) .(2) 函数f(x)在区间8,34上的最大值为2,最小值为-1.【解析】【分析】（1）运用三角变换，将函数的解析式化为f(x)=2sin2x-4的形式，结合周期的计算公式可得所求；（2）根据函数f(x)=2sin2x-4在区间8,38上的单调性可求出最大值和最小值【详解】(1)由题意得f(x)=2cosx(sinx-cosx)+1 =sin2x-cos2x =2sin2x-4.函数f(x)的最小正周期为T=22=.(2)解法一：8x34，02x-454，当22x-42，即8x38上单调递增；当02x-454，即38x34上单调递减当x=38时，f(x)取得最大值，且最大值为f38=2；又f8=0,f34=2sin32-4=-2cos4=-1,函数f(x)在区间8,38上的最小值为-1解法二：作函数f(x)=2sin2x-4在长度为一个周期的区间8,98上的图象，如下图所示：由图象得函数f(x)在区间8,34上的最大值为2,最小值为f34=-1.【点睛】本题考查三角函数中的特殊角三角函数值、两角差公式、倍角公式、函数y=Asin(x+)的性质等基础知识，考查转化能力和基本运算能力其中的解题关键是把所给函数化为y=Asin(x+)的形式，然后再运用整体的思想解题19. 设向量a=(4cos,sin),b=(sin,4cos),c=(cos,4sin) （1）若与b2c垂直，求tan(+)的值； （2）求|b+c|的最大值; （3）若tantan=16，求证：b【答案】(1)2.(2)32.(3)见解析.【解析】本小题主要考查向量的基本概念，同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式，考查运算和证明得基本能力。满分14分。20. 若函数f(x)=sinx+3cosx+a在(0, 2)内有两个不同零点、。(1)求实数的取值范围；(2)求tan(+)的值。【答案】（1）a的取值范围是(-2, -3)(-3, 2).（2）3.【解析】【分析】（1）由于fx=sinx+3cosx+a=2sin(x+3)+a，故可将问题转化为方程sin(x+3)=-a2在(0, 2)内有相异二解，由条件得到3x+373，结合函数的图象可得所求范围（2）根据、为函数f(x)=sinx+3cosx+a的零点可得sin+3cos+=0且sin+3cos+=0，将两式相减并结合和差化积公式可得tan+2=33，从而可得所求【详解】(1)由题意得sinx+3cosx=2(12sinx+32cosx)=2 sin(x+3)， 函数f(x)=sinx+3cosx+a在(0, 2)内有两个不同零点，关于x的方程sinx+3cosx+a=0在(0, 2)内有相异二解，方程sin(x+3)=-a2在(0, 2)内有相异二解 0x2，3x+373结合图象可得若方程有两个相异解，则满足-1-a21且-a232，解得-2a2且a-3实数的取值范围是(-2,-3)(-3,2)(2) ,是方程的相异解， sin+3cos+=0 sin+3cos+=0 -得(sin-sin)+3( cos-cos)=0， 2sin-2cos+2-23sin+2sin-2=0，又sin+20， tan+2=33， tan+=2tan+21-tan2+2=3【点睛】本题以函数的零点为载体考查三角变换及函数图象的应用，考查转化变形能力和运算能力以及数形结合能力，熟练掌握公式的变形及应用是解题的关键21. 一海监船发现在北偏东45方向,距离12 nmile的海面上有一敌船正以10 nmile/h的速度沿东偏南15方向逃窜.海监船的速度为14 nmile/h, 若要在最短的时间内追上该敌船,海监船应沿北偏东45+的方向去追,.求追及所需的时间和角的正弦值.【答案】所需时间2小时, sin=5314.【解析】分析：先设时间，表示路程，再根据余弦定理求时间，再根据正弦定理求角.详解： 设A，C分别表示缉私艇，走私船的位置，设经过x小时后在B处追上（如图所示）.则有AB=14x，BC=10x，ACB=120，14x2=122+10x2-240xcos120，所以x=2，AB=28，BC=20，sin=20sin12028=5314，所以所需时间为2小时，角的正弦值为5314.点睛：解三角形问题，多为边和角的求